formler og ligninger

brikkerne tilregning & matematik

formler og ligninger

basis+G

preben bernitt

brikkernetilregning & matematikformler og ligninger GISBN: 978-87-92488-07-710. Udgave som E-bog© 2010 by bernitt-matematik.dkKopiering er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk. Læs nærmere om dette påwww.bernitt-matematik.dk

eller kontakt nedenstående adresse.

[email protected] Fjordvej 64300 Holbæk

Til den, der skal bruge hæftet

Hæftet er et af ti, der er udarbejdet til undervisning påVUC på niveauerne basis+G og dette indeholderkernestoffet, som det er beskrevet om ligninger iundervisnings-vejledningen om G.

Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund iden vejledning om undervisning på VUC, der udkom i 2009. I forhold til de krav til det faglige indhold, denenkelte kursist eller hold stiller, kan der være indhold, derspringes over.

bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar foreventuelle følger af at anvende hæftet.

Siderne er opdelt således, at først forklares og vises medeksempler og derefter er der opgaver, man skal løse. Hvisman kan se at man uden vanskelighed kan løse opgaverne,kan man springe dem over.

Under opgaverne står en henvisning til bagerst i hæftet,hvor reglerne, der er arbejdet med blive beskrevet. Nårman har løst opgaverne er det en god idé, at læse dette, såman er sikker på, at have lært det, der var meningen.

Fra side 34 er en facit liste.

Læse formler

Eksempel 1:Du skal læse formlen herunder:

P: pris i kr.F: forbrug i stk.P = 4,5 A F

Formlen siger at man kan finde prisen i kr. ved at gange4,5 med forbruget i stk.

Forklaring:Over selve formlen står en forklaring til deforkortelses-bogstaver, der bruges i formlen. I selveformlen står først det, man kan regne ud. Efterlighedstegnet står det regnestykke, man skal udregne.Man læser formler fra venstre mod højre som var det almindelig tekst.

1 Læs formlen.

A: kvadratets areals: kvadratets sidelængdeA = s A s

2 Læs formlen.

P: prisen i kr. for en taxaturT: prisen i kr. pr. kma: afstand i km.P = a A T + 25

3 Læs formlen.

P: prisen i kr. for el-forbrugF: forbruget af kilowatt-timerP = 0,985 A F + 750

4

Eksempel 2:Se formlen herunder.

P: pris i kr. for elforbrugF: forbrug af kilowatt-timerP = 0,985F + 750

Forklaring:Når der ikke står noget regnetegn mellem et tal og etbogstav eller mellem to bogstaver, er det et gangetegn,der er udeladt.

1 Læs formlen.

A: trekantens arealh: trekantens højdeg: trekantens grundlinieA = 0,5hg

2 Læs formlen.

Pmoms: prisen i kr. med momsP: prisen i kr. uden momsPmoms = 1,25P

3 Læs formlen.

a: kørt afstand i kmH: hastighed i km/tt: køretid i minuttera = tH:60

4 Læs formlen.

A: rektangels arealb: rektangels breddel: rektangels længdeA = bl

Om matematiske tegn side 42

Læse formler 5

Brug af formler

Eksempel:Du vil finde prisen for et el-forbrug på 3.500 kilowatt-timer ved at bruge formlen herunder.

P: pris i kr. for el-forbrugF: el-forbrug i kilowatt-timerP = 0,985F + 1.500

P = 0,985 A 3.500 + 1.500P = 4.947,5Prisen bliver 4.947,50 kr.

Forklaring:Først læser man formlen:"Man kan finde prisen i kr. for sit el-forbrug ved atgange 0,985 med forbruget og lægge 1.500 til."Dernæst bruger man den:Man skriver formlen igen, men denne gang skriver manikke bogstavet F men i stedet tallet 3.500.Så regner man regnestykket til højre for lighedstegnet.

1 Læs formlen og brug den.

Pincl: pris med 25% momsPexcl: pris uden momsPincl = 1,25Pexcl

Ž En vare kostede uden moms 67 kr. Find prisen med moms.Ž Hvad skal du betale, hvis prisen uden moms er 167,50 kr.?


H: hastigheden i km/ta: den kørte afstand i kmt: køre-tiden i minutterH = a : t A 60

Ž Du har kørt 4 km på 3 minutter. Find hastigheden.Ž Du har på 7 minutter kørt 5 km. Find hastigheden.

6


Pincl: pris med 25% momsPexcl: pris uden momsPexcl = 0,8Pincl

Ž En vare kostede med moms 98 kr. Find prisen uden moms.Ž Find også momsen i prisen på 98 kr.


P: prisen for valuta k: kursen for den pågældende valutaa: mængden af valutaP = a A k : 100 + 45

Ž Hvad koster 500 US-$ til kurs 565,75?Ž Hvad koster 150 Euro til kurs 762,41?


h: hastighed i m/sekH: hastighed i km/tH = 3,6h

Ž Vinden blæste med 15 m/sek. Hvad er det i km/t?Ž Hvor mange km/t sejler en båd, der sejler 8 m pr. sek?

6 Læs formlerne og brug dem.

T: den del af lønnen, du skal betale skat af (træk-grundlaget)L: lønnenf: fradragett: trækprocentenS: skattenT = L - fog:S = T A t : 100

Ž Find træk-grundlaget, når lønnen er 15.400 kr. ogfradraget 4.320 kr.

Ž Find derefter skatten, hvis trækprocenten er 48.

Om brug af formler på side 42

Brug af formler 7

Parenteser

Eksempel 1:Du har en løn på 12.500 kr. Dit fradrag er 4.500 kr. Dintrækprocent er 48.Du vil regne din kildeskat ud ved at bruge formlenherunder.

K er kildeskat i kr.L er lønnen i kr.F er fradrag i kr.t er trækprocentK = t(L - F) : 100

K = 48(12.500 - 4.500) : 100K = 48 A 8.000 : 100K = 3.840Du skal betale 3.840 kr. i kildeskat.

Forklaring:En parentes, der står i et regnestykke er en ordre om, atman skal begynde med dét, der står i parentesen. Derforbegynder man med at udregne 12.500 - 4.500.

1 S: ejendomsværdiskat i kr.E: ejendomsværdi i kr.S = 0,015(E - 1.775.000)

Ž Hvad skal der betales i ejendomsværdiskat af enejendomsværdi på 3.000.000 kr?

Ž Hvad skal der betales i ejendomsværdiskat af en ejendommed en værdi på 100.000.000 kr.?

2 Kr: Kapital med rente

K0: Kapital uden renter: rente-procentKr = K0(1 + r : 100)

Ž Find kapital med rente for en kapital uden rente på 50.000kr., når renteprocenten er 5.

8

3 Til en række prøver fik du følgende karakterer:

8 7 9 7 6 10 9 8Formlen herunder kan bruges til at udregne gennemsnittet.

G: gennemsnittetn: antallet af tala1 ,a2 ,a3 ... an: De tal gennemsnittet skal findes forG = (a1 + a2 + a3 + .... + an ) : n

Ž Find gennemsnittet for dine karakterer.

4 K: kirkeskat

S: skattepligtig indkomstk: kirkeskat-procentK = k(S - 22.500) : 100

Ž Find kirkeskatten for en skattepligtig indkomst på 156.000i en kommune, hvor kirkeskat-procenten er 0,8

5 Formlen herunder kan bruges til at finde den rente, man kan

få for sine penge, hvis de står på en bankkonto et antal dage.

R: renteK: indestående på bankkontor: rente-procent pr. år.d: antal dageR = (K A r A d) : (100 A 365)

Ž Hvad vil man få i rente, hvis man har haft 3.400 kr.stående på en bankkonto i 20 dage og rente-procenten er6?

6 Formlen herunder handler om rektangler. Et rektangel er en

firkant, hvor siderne står "lodret-vandret" (vinkelret) påhinanden.

O: omkredsl: længdeb: breddeO = 2(l+b)

Ž Hvor stor en omkreds har en grund, der har form som etrektangel, hvor længden er 25 m og bredden 15 m?

Om parenteser i formler på side 42

Parenteser 9

Brøkstreger

Eksempel 1:Du vil købe 150 Euro til kurs 760 og bruger formlenherunder.

P: pris i kr. for Eurok: kursen for Euroa: antal Euro

k A a P = ))))))

100

760 A 150 P = ))))))))))))

100P = 11.400 : 100P = 114150 Euro koster 114 kr.

Forklaring:En brøkstreg viser, at man skal dividere. Er derbrøkstreg i en formel, kan man begynde med at regnedet ud, der står over brøkstregen, derefter det der stårunder, og til slut deler man de to tal med hinanden.

1 R: er rente i kr for et år.K: er kapital i kr.r: er rentesats pr. år i %

K A r R = ))))))

100

Ž Hvad vil du få i rente for 3.400 kr., hvis rentesatsen er 8%.Ž Hvad vil du med en rentesats på 4% få i rente af 5.600 kr.?

2 Pincl: pris med moms

Pexcl: pris uden moms Pexcl A 25

Pincl = ))))))))) + Pexcl 100

Ž En vare koster 45 kr. uden moms. Hvad koster den medmoms?

Ž Hvor stor er momsen?

10 Brøkstreger

3 A: en trekants areal i cm2

h: trekantens højde i cmg: længden af trekantens grundlinie i cm

h A g A = ))))))

2

Ž Hvor stort et areal har en trekant, der er 5 cm høj og har engrundlinie, der er 10 cm?

4 Denne formel handler om en rundsav.

H: tændernes hastighed i m pr. sekO: antal omdrejninger pr. minutD: savens diameter (tværmål) i cm

3,14D A O H = )))))))))))

100 A 60

Ž Hvor hurtigt kører tænderne på en rundsav, der hardiameteren 15 cm, og som kører med 3.000 omdrejninger iminuttet?

5 Denne formel handler om færdselslovens mindste-krav til

bilers bremselængde på tør vej.

B: bremse-længde i mH: hastighed i km/t

2H A H B = ))))))))

225

Ž Hvad bliver bremselængden for en bil, der kører 60 km/t?Ž Hvad bliver bremselængden, hvis den kører 110 km/t?

6 Formlen herunder beskriver, hvor mange liter olie en

kugleformet olie-tank kan rumme.

I: indhold i literD: diameter (tværmål) i cm

0,5236D A D A D I = ))))))))))))))))

1.000

Ž Hvor meget rummer en tank, der har diameteren 200 cm?

Om brøkstreger i formler på side 42

Brøkstreger 11

Potens og kvadratrod

Eksempel 1:Du vil udregne et cirkel-formet blomsterbeds areal udog har fundet formlen herunder. Bedets radius er 1,5 m.

r: cirklens radius mB: tallet 3,14A: cirklens areal i m2

A = Br2

A = 3,14 A 1,5 A 1,5A = 7,065Bedets areal er ca 7 m2.

Forklaring:r2 er en kortere måde at skrive r A r. Det lille 2-talbetyder altså, at man skal gange med r to gange efterhinanden. På samme måde betyder r3, at man skalgange med r tre gange.Man kalder denne måde at skrive tal på for potens-tal.

Eksempel 2:Du vil lave et blomsterbed, der skal have et areal på 9 m2

og vil regne dets radius ud. Du har fundet denne formel: .

A: cirklens areal i m2

r: cirklens radius i mB: tallet 3,14

Bedet skal have en radius på 0,955 m

Forklaring:Tegnet %&hedder et kvadratrodstegn og angiver, at manskal finde det tal, der gange med sig selv giver tallet, derstår under tegnet. Mange lommeregnere har en tast, derkan udregne dette.

12

1 Udregn:

Ž 22 Ž 53 Ž 102 Ž 43

2 A: en cirkels areal i cm2

r: cirklens radius i cmB: tallet 3,14

A = Br2

Ž Hvor stort et areal har en cirkel med radius på 30 cm?

3 Denne formel handler om, hvor meget der kan være i en

kugleformet olietank.

D: tankens invendige tværmål i mB: tallet 3,14I: indhold i liter

4 H = 125 A ))BD3

3

Ž Hvor mange liter olie kan der være i en tank, der har etindvendigt tværmål på 2 m?

4 Når man skal bruge en lommeregner til at udregne

kvadratroden af et tal skal man først taste tallet ind ogderefter taste på %&Brug en lommeregner til at udregne:

Ž Ž

Ž Ž

5 Denne formel kan bruges til at udregne, hvor hurtigt en bil

har kørt, hvis man kender dens bremselængde på tør vej.

B: bremse-længde i mH: hastighed i km/t

Ž Hvor hurtigt har en bil kørt, der har været 25 m om atbremse?

Om potens og kvadratrod på side 42

Potens og kvadratrod 13

Lave formler og bruge dem

Forklaring:Du har fået formlen herunder, der kan bruges til at udregne udsalgs-prisen for en vare, når du kender den oprindelige pris og rabat-procenten.

U er udsalgsprisen P er den oprindelige prisr er rabat-procentenU = P - P A r : 100

Hvis du f. eks. ved, at prisen for en vare var 98 kr. og at rabatten var10%, kan du skrive:

U = P - P A r : 100U = 98 - 98 A 10 : 100U = 98 - 9,80U = 88,20

Forbrugerprisen bliver altså 88,20 kr.

Forklaring:Når man skal lave en formel, er der tre spørgsmål man skal kunnesvare på:

- Hvad skal man kunne regne ud?- Hvilke oplysninger skal man have for at kunne regne det ud?- Hvordan regner man det ud?

I eksemplet er svarene:- man vil udregne udsalgsprisen og kalder den U.- man skal kende prisen uden rabat (kaldes P) og rabat-procenten

(kaldes r).- man kan finde forbrugerprisen ved at trække rabatten fra prisen.

Rabatten finder man ved at gange prisen med rabatprocenten ogdele med 100.

1 Hvis man kender en pris med moms, kan man finde momsen ved at

dele med 5.

Ž Lav en formel der viser, hvordan man kan udregne moms.Ž Brug formlen til at finde momsen i en pris på 200 kr.

14

2 Man kan finde prisen for en taxatur ved at gange antallet af

km, der er kørt med 20 og lægge 25 kr. til.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen for entaxatur.

Ž Brug formlen til at finde prisen for en tur på 12 km.Ž Brug også formlen til at finde prisen for en tur på 25 km.

3 Man kan finde prisen for sit strømforbrug ved at gange

forbruget (Kilowatttimer) med 0,987 kr. og lægge 750 kr. til.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at udregne prisen for enpersons strømforbrug.

Ž Brug formlen til at regne ud, hvad et forbrug på 3500Kilowatttimer koster.

4 Man kan finde, det man skal betale i rente på sit lån ved at

dele låne-beløbet med 100 og gange med rentesatsen.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at regne renten ud.Ž Brug formlen til at finde renten på et lån på 15.000 kr., når

renteprocenten var 5.

5 Man kan finde et kvadrats areal i m2 ved at gange

sidelængden i m med sig selv.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at regne renten ud.Ž Brug formlen til at finde arealet af et kvadrat, der har

sidelængden 125 cm..

6 Man kan finde en bils hastighed i km/t ved at dele den

strækning, den har kørt i km med den tid i minutter, den harværet om det og derefter gange med 60.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at regne hastigheden ud.Ž Brug formlen til at finde hastigheden for en bil der på 1

minut har kørt 1 km.Ž Brug også formlen til at finde hastigheden for en bil, der

har kørt 35 km på 25 minutter.

Om formler side 43

Lave formler og bruge dem 15

Formlen bliver til en ligning

Eksempel: Du ved at udsalgsprisen for en vare er 80 kr., og at denoprindelige pris var 100 kr.Du vil bruge formlen fra før til at finde rabat-procenten.

U er udsalgs-prisenP er den oprindelige prisr er rabat-procentenU = P - P A r : 100

80 = 100 - 100 A r : 100

Hvis dette skal være rigtigt, skal der stå 20 på r-etsplads. Rabat-procenten har altså været 20%.

Forklaring:Man begynder med at skrive formlen med tallene 80 og100 i stedet for bogstaverne U og P. Dermed bliverformlen til en ligning med én ubekendt - nemlig r.At det er en ligning betyder, at regnestykket til højrefor ligheds-tegnet skal være lig med tallet til venstre.Ved at gætte sig frem og afprøve sine gæt, kan manfinde frem til det tal, der passer.

1 Se formlen herunder:

T = 4s

Ž Hvad skal s være, hvis T skal blive 48?Ž Hvad skal s være, hvis T skal blive 25?


T = s : 5


16


y = 2x + 4

Ž Hvad skal x være, hvis y skal blive 20?Ž Hvad skal x være, hvis y skal blive 10?


y = 4x - 10



T = s2

(s2 betyder det sammen som s A s)



y = 3(x + 2)



y = ½x - 4



y = 3 + 2(x + 2)


Om ligninger på side 43

Formlen bliver til en ligning 17

Løsning af ligninger

Eksempel 1:Du vil regne dig frem til det tal, der passer i en ligning istedet for at gætte dig frem.

20 = 5x + 220 - 2 = 5x + 2 - 218 = 5x18 : 5 = 5x : 53,6 = 1xx skal altså have størrelsen 3,6.

Forklaring:I stedet for at gætte sig frem til løsningen på en ligning,kan man forenkle ligningen, indtil den er så simpel, atman let kan se løsningen. Man siger, at man løserligningen ved at reducere den.

Man reducerer en ligning ved at foretage den sammehandling på begge sider af lighedstegnet og ved at gøredette på en sådan måde, at nogle af tallene forsvinderfra det sted, hvor den ubekendte står. I eksemplettrækker man først 2 fra, og derefter deler man med 5.

1 Løs ligningerne.

Ž 50 = 10x + 20 Ž 30 = 5x + 5 Ž 100 = 10xŽ 75 = 5x + 25 Ž 20 = 2x + 10 Ž 200 = 50x

2 Løs ligningerne.

Ž 5 = 2x + 8 Ž 10 = 3x + 1 Ž 45 = 8x + 5Ž -4 = 3x + 11 Ž 6 = 2x +3 Ž 13 = 2x + 1

3 Løs ligningerne.

Ž 2x + 3 = 8 Ž 3x + 1 = 10 Ž 2x + 5 = 7Ž 4 + 2x = 12 Ž 8 + 2x = 8 Ž 5 + 10x = 80

Regler for løsning af ligninger side 43

18

Eksempel 2:Du vil løse ligningen herunder.

10 = 2x - 410 + 4 = 2x - 4 + 414 = 2x14 : 2 = 2x : 27 = x

Forklaring:Når man vil fjerne et negativt tal skal man lægge dettilsvarende positive tal til.I eksemplet begynder man med at lægge 4 til på beggesider af lighedstegnet for at ophæve -4, der stod ved 2x.

1 Løs ligningerne.

Ž 5 = 2x - 8 Ž 8 = 3x - 1 Ž 40 = 8x - 8 Ž 4 = 3x - 11 Ž 6 = 2x - 3 Ž 13 = 2x - 6

2 Løs ligningerne.

Ž 2x - 5 = 8 Ž -10 + 3x = 11 Ž 8x - 40 = 40Ž 3x - 4 = 11 Ž -6 + 2x = 3x Ž 2x -13 = 1

3 Løs ligningerne.

Ž 7 = 2x + 6 Ž 100 = 70 + 3x Ž 450 = 50xŽ 7 = 4x - 11 Ž 16 = 2x -3 Ž 130 = 5x -20

4 Løs ligningerne.

Ž 15 + 2x = - 8 Ž 15 + 3x = 21 Ž 5 = 8x - 3Ž 3x - 4 = -13 Ž 7 = -3 + 4x Ž 13 + 4x = 1

5 Løs ligningerne.

Ž 3x - 6 = 9 Ž -6 + 3x = 3 Ž 13 = 7 + 2xŽ 2x + 5 = 8 Ž 10 + 4x = 2 Ž 5 = 8x + 5

Løsning af ligninger 19

Eksempel 3:Du vil løse ligningen herunder.

2x + 3 = 4x - 52x - 2x + 3 = 4x - 2x - 53 = 2x - 53 + 5 = 2x - 5 + 58 = 2x8 : 2 = 2x : 24 = x

Forklaring:Hvis den ubekendte står på begge sider aflighedstegnet, starter man med at sørge for at fjerneleddet med det færreste antal x-er ved at trække x-er fraeller lægge x-er til på begge sider af lighedstegnet.

1 Løs ligningerne.

Ž 5 + x = 2x + 8 Ž 10 + 2x = 3x + 1 Ž 2x + 3 = 4x + 1Ž 2x + 4 = 3x + 11 Ž 6 + 4x = 2x +3 Ž 4x + 2 = 5x + 1Ž 3x + 5 = 2x + 3 Ž 8x - 10 = 4x + 2 Ž 2x - 3 = 5x + 3Ž -4 + 2x = 4x + 8 Ž x + 6 = 3x +4 Ž x + 5 = 3x - 4

2 Løs ligningerne.

Ž 3x - 5 = 2x - 3 Ž 6x - 10 = 4x + 1 Ž 3x - 2 = 5x + 2Ž -4 + 2x = 3x - 8 Ž x - 6 = 3x +4 Ž x - 5 = 3x + 4Ž 5 = 2x - 8 Ž 10 = 3x + 1 Ž 64 = 8xŽ -4 = 3x + 11 Ž 6x = 2x +4 Ž 13x = 12x + 1

3 Løs ligningerne.

Ž 5t - 3 = 2t + 9 Ž 10y = 3y - 14 Ž 4.500 = 90kŽ -40g = 60g + 100 Ž 6r + 4 = 2r +43 Ž y = 2yŽ 4x - 6 = 6 - 2x Ž 2x - 4 = 3x + 1 Ž 4x - 50 = 8xŽ -14 = 3x + 11x Ž 5x + 3 = 2x - 3 Ž x + x = 3x

20

4 Løs ligningerne.

Ž 4x - 2 = 3x + 2 Ž -x + 2 = 3x - 4 Ž 3 - 2x = 4x + 3Ž -4 = 3x + 11 Ž 6 = 2x +3 Ž x - 4 = 2x - 4

5 Løs ligningerne.

Ž 3 - x = 2x - 9 Ž 1+ x = 3x + 1 Ž 4x + 8 = 3x + 2Ž 4 + 2x = 3x + 11 Ž 6 - x = 2x +3 Ž 2x + 11 = 5x - 1

6 Løs ligningerne.

Ž 8 = -2x + 8 Ž 1 = 3x + 1 Ž 45+ 2x = 8xŽ 2x - 4 = 3x + 9 Ž 6= - x + 2x +3 Ž 1 - 3x = 2x +1

7 Se formlen herunder.

T = 5s + k

Ž Find T, når s er 4, og k er 3Ž Find s, når k er 2, og T skal være 12Ž Find k, når s er 5, og T skal være 20


P = 12n - 3t

Ž Find P, når n er 20, og t er 10Ž Find t, når n er 3, og P skal være 24Ž Find n, når t er 5, og P skal være 45


y = 3x - 5

Ž Find y, når x er 2.Ž Find x, når y skal være 7Ž Find y, når x er 0Ž Find x, når y skal være 1

Om løsning af ligninger side 44

Løsning af ligninger 21

Ligninger med parenteser

Eksempel:Du har en ligning med parentes i. Du løser den ved atstarte med at fjerne parentesen.:

12 = 3 A (x - 2)12 = 3 A x - 3 A 212 = 3x - 6

Nu kan du løse ligningen som normalt.

Forklaring:Parenteser i regnestykker betyder, at man skal starte medat regne det ud, der står i parentesen. Men det kan manikke her, fordi jeg ikke ved, hvilket tal x er. Derfor må jegfinde en måde, der kan bruges til at lave et nytregnestykke, der ikke har parentes, men som giver detsamme resultat.

Man fjerner parenteser sådan:

Hvis der står gange foran:Alt hvad der står i parentesen, skal ganges med det, derstod foran parentesen.5(x - 2) kan omdannes til: 5 A x - 5 A 2

Hvis der står minus foran:Alt hvad der står i parentesen, skal ændre fortegn.6x - (4x - 3) kan omdannes til: 6x - 4x + 3

Hvis der står + foran:Parentesen kan fjernes uden at foretage ændringer.4 + (x - 5) kan omdannes til: 4 + x - 5

Hvis der står et divisionstegn bag ved:Alt hvad der står i parentesen, skal deles med det, der stårefter divisionstegnet.(4x - 8) : 2 kan omdannes til: 4x : 2 - 8 : 2

22

1 Omdan følgende udtryk, sådan at parenteserne forsvinder.

Ž 3x + (x + 2) Ž 2x + (-3 + x) Ž 3x +(-5 - 3)Ž 2x + (2x - 3) Ž (x - 2) + (2x - 3) Ž 5 + (2x - 3)Ž (2x + 3) - 2x Ž (-3 + x) + (-4 + x) Ž 3x + (2x - 3x)Ž 2x + (3 - 2x) Ž (-3 + x + 4 + x) Ž -x + (2x + 3x)


Ž 3x - (2x + 2) Ž 2x - (-x + 3) Ž - (x + 5)Ž 4x - (2x - 2) Ž 5x - (-3 - 4x) Ž - (2x - 3)Ž 5 - (x + 3) Ž 8 - (3x + 8) Ž - (3x + 3) + 4Ž -(2x + 3) - 2x Ž (-3 + x) - (-4 + x) Ž 3x - (2x - 3x)


Ž 3 A (2x + 3) Ž 4(x - 2) Ž (4x - 6) : 2Ž 2 A (3 - 2x) Ž x(2x - 2) Ž (8x - 4) : 5Ž x A (-2 + 2x) Ž (4x + 2) : 2 Ž (4 - x) : 2

4 Omdan ligningerne, så parenteserne forsvinder, og løs dem.

Ž x +(2x + 3) = 2x + 2 Ž (x + 3) = 2x + (x - 4)Ž (x + 3) + (2x - 4) = 5 Ž (2x - 4) - 3 = 4x + 3Ž 6x = 5 + (2x + 3) Ž 3x + 4 = 3 + (x - 4)

5 Omdan ligningerne, så parenteserne forsvinder, og løs dem.

Ž x -(2x + 3) = 2x + 6 Ž - (x + 3) = 2x - (x - 4)Ž (x + 3) - (2x - 4) = 5 Ž - (2x - 4) + 3 = 2x + 3Ž 6x = 5 - (2x + 3) Ž 3x + 4 = 3 - (x - 4)

6 Løs ligningerne.

Ž 3(x - 4) = 5x Ž (4x - 8) : 2 = 3x + 2Ž 2x + 2(x - 2) = 4 + 3x Ž 3x = (5x + 10) : 5Ž 3x = 2(x - 4) Ž (4x + 1) : 2 = (x - 1)

Om parentesregler side 44

Ligninger med paranteser 23

Ligninger med brøker

Eksempel: Du vil løse følgende ligning: 1 x 1)) + )) = 2x - )) 2 3 412 A 1 12 A x 12 A 1)))))) + ))))) = 12 A 2x - ))))) 2 3 4

6 A 1 + 4 A x = 12 A 2x - 3 A 16 + 4x = 24x - 36 + 4x - 4x = 24x - 4x - 36 = 20x - 36 + 3 = 20x - 3 + 39 = 20x9 : 20 = 20x : 200,45 = x

Forklaring:Hvis der er brøker i en ligning, kan man starte med atomdanne brøkerne til hele tal, inden man reducererligningen. Man omdanner brøkerne til hele tal ved atgange alle led i ligningen med et tal, som brøkernesnævnere går op i.

1 Løs ligningerne.

Ž Ž

2 Løs ligningerne.

Ž Ž

3 Løs ligningerne.

Ž Ž

24

4 Løs ligningerne.

Ž Ž

5 Løs ligningerne.

Ž Ž

6 Løs ligningerne.

Ž Ž

7 Løs ligningerne.

Ž Ž

Ž Ž

8 Løs ligningerne.

Ž Ž

Ž Ž

9 Løs ligningerne.

Ž Ž

Ž Ž

Om løsning af ligninger side 44

Ligninger med brøker 25

Ligninger med potenser

Eksempel 1:x2 = 9

Ligningen har to løsninger: Både tallet 3 og tallet -3passer ind på x-ets plads. Man skriver det således:

x = 3 eller x = -3

Eksempel 2:x3 = 8

Denne ligning har kun én løsning: Det er kun tallet 2,der passer ind på x-ets plads. Man skriver det således:

x = 2

Forklaring:Når en ligning ender med, at den ubekendte står som etpotenstal, finder man løsningen ved at finde dentilsvarende rod. Er potensen et lige tal, skal man huskeat ligningen har to løsninger: Både plus-tallet og minus-tallet.

Du kan bruge en lommeregner, når du skal findekvadrat-roden og kubik-roden. Nogle lommeregnerehar en tast, der kan bruges til alle rødder. Den ser sådanud:

Du skal bruge denne tast, hvis du skal kunne løseopgaverne 6, 7 og 8 på næste side.

1 Løs ligningerne.

Ž x2 = 9 Ž x2 - 4 = 5Ž x3 = 27 Ž x3 + 40 = 13Ž x3 = -27 Ž x3 - 40 = -13

26

2 Løs ligningerne.

Ž x2 + 4 = 2x2 - 5 Ž x3 + 1 = 4x3 - 2Ž 5 - x2 = 2x2 - 22 Ž 6 - x3 = 3x3 + 2Ž x2 = 2x2 - 1 Ž 3x3 = 2x3

3 Løs ligningerne.

Ž x(x - 2) = -2x + 9 Ž x2(x + 1) = x2 - 27Ž x(2x + 2) = 2x + 8 Ž 81 + 2x2 = x(3x2 + 2x)Ž 8 - 4x = 2x(x - 2) Ž -3x3 + x(x2 + 1) = 3x3 + x

4 Løs ligningerne.

Ž Ž

5 Løs ligningerne. Skriv løsningen med 1 decimal.

Ž x2 = 10 Ž x3 = -25Ž x3 = 100 Ž x(x - 2) = 5 - 2xŽ x2 = 2 Ž x2(x + 1) = x2 - 40


Ž x4 = 67 Ž x5 = 1Ž x5 = 75 Ž x100 = 1Ž x10 = 2 Ž x99 = 1


Ž x2(x2 + 2) = 2x2 + 1 Ž x4 + x(x3 - 3) = 10 - 3xŽ x2 + 30 = x(x + x3) Ž 5x + 10 = x(x4 + 5)


Ž Ž

Om rod-uddragning på side 44

Ligninger med potenser 27

Omdannelse af formler

Eksempel:Du har en formel, der er lavet for at kunne beregne F,hvis du kender s og v. Men du har mere brug for én, derer god til at regne s ud.

F = 2s - vF + v = 2s - v + vF + v = 2sF : 2 + v : 2 = 2s : 20,5F + 0,5v = ss = 0,5F + 0,5v

Forklaring:En formel er en hjælp til at udregne det, der står foranlighedstegnet. Har man oftere brug for at udregne nogetaf det, som står på den anden side, kan man bruge deregne-regler, man kender fra løsning af ligninger ogomregne formlen ved hjælp af dem.


T = 2r + 5p

Ž Omdan formlen, så r kommer til at stå alene.


K = r - 5p

Ž Omdan formlen, så r kommer til at stå alene.Ž Omdan formlen, så p kommer til at stå alene.


T = 2rp


28


T = 2(r + p)



T = 2- (r + 5p)



T = 2r : p



T = 2r + p



r + 3T = )))))) P

Ž Omdan formlen, så p kommer til at stå alene.Ž Omdan formlen, så r kommer til at stå alene.


T = (2r + 4) : p

Ž Omdan formlen, så r kommer til at stå alene.

Om omdannelse af formler på side 44

Omdannelse af formler 29

At lave ligninger og uligheder

Eksempel 1:Du vil regne ud, hvad din trækprocent skal være, for atdin kildeskat bliver 4.500 kr. Du ved, at din løn er14.500 kr., og at du har et fradrag på 3.800 kr.Du laver en formel og sætter dine tal ind:

K: kildeskatL: lønF: fradragT: trækprocentK = (L - F) A T : 1004.500 = (14.500 - 3.800) A T : 100

Nu har du en ligning, som du kan løse og dermed findesvaret på dit spørgsmål.

Forklaring: Hvis man ikke kan ikke finde ud af, hvordan man skalregne det ud, som man er interesseret i, kan man istedet lave et regneudtryk, hvori det indgår og så løseden ligning, man kan danne af dette regneudtryk.

1 Du ved, at en tur med taxa koster 25 kr. fra start og derefter

5 kr. pr. km, der køres.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen på entaxa-tur.

Ž Brug formlen til at finde ud af, hvor langt du kan kommefor 300 kr.

2 Du ved, at man kan regne ud, hvad en vare kommer til at

koste med moms sådan:Momsen findes ved at gange prisen uden moms med 25 ogdele den med 100. Læg momsen oven i prisen uden moms.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde en pris medmoms.

Ž Brug formlen til at finde momsen i en pris på 198 kr.,hvor momsen er med.

30

3 Du ved, at du kan finde prisen på et antal D-mark, du vil

købe, ved at:Dele antallet af D-mark med 100 og gange med kursen.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen på et antalD-mark.

Ž Brug formlen til at finde ud af, hvor mange D-mark dukan købe for 500 kr., hvis kursen på D-mark er 385.

Ž Brug også formlen til at finde ud af, hvilken kurs, der erbrugt, hvis du har betalt 855 kr. for 250 D-mark.

4 Du ved, at man kan finde prisen for en bakke med hakket kød

ved at gange kødets vægt med kilo-prisen.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen på en pakke hakket kød.

Ž Brug formlen til at finde ud af, hvad kilo-prisen er for enpakke kød, der vejer 0,245 g og som koster 24,85 kr.

Ž Brug også formlen til at finde ud af, hvor meget en pakkekød vejer, hvis prisen er 45 kr. og kilo-prisen er 50 kr.

5 Du ved, at dit el-forbrug beregnes således:

1.500 kr. i tilslutningsafgift.0,985 kr. pr kilowatt-time, du forbruger.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen for dit el-forbrug.

Ž Brug formlen til at finde ud af, hvor stort dit forbrug harværet et år, hvor du har betalt 3.675 kr.

6 Du ved, at man betaler en vis procent-del i arbejdsmarkeds-

bidrag af den del af ens indkomst, der er løn-indkomst. Manregner det ud således:Gang løn-indkomsten med bidragsprocenten og del med 100.

Ž Lav en formel, der kan bruges til at finde arbejdsmarkeds-bidraget.

Ž Brug formlen til at finde ud af, hvor stor en lønindkomstdu har haft, hvis dit arbejdsmarkedsbidrag et år er 12.302kr. og bidrags-procenten var 8.

At lave ligninger og uligheder 31

Eksempel 2:Du har valget mellem to tilbud på mobil-telefon. Du vilfinde ud af, hvor mange minutter du skal tale ommåneden, hvis det første tilbud skal være det bedste.:

Abonnement: 199 kr. pr. månedSamtalepris: 1 kr. pr. minut

Abonnement: 99 kr. pr. månedSamtalepris: 2 kr. pr. minut

Du laver to regneudtryk, hvor x er antal minutter dutaler på en måned:

1 A x + 199 skal være mindre end 2 A x + 991 A x + 199 < 2 A x + 99x + 199 < 2x + 99199 - 99 < 2x - x100 < xDu skal tale mere end 100 minutter om måneden, førdet første tilbud bedst kan betale sig.

Forklaring: Her søger man ikke efter lighed men ulighed: Mansøger efter det x, der gør det ene regnestykke større enddet andet.

Man viser, at det er ulighed, man søger, med tegnet: <Der findes følgende uligheds-tegn:< mindre end> større end# mindre end eller lig med$ større end eller lig med

Uligheder løses på samme måde som ligninger.

1 Du vil have lavet personligt brevpapir og har fået to tilbud:

850 kr. pr 1.000 stykker500 kr. for fremstilling af ét stk. og derefter 50 kr. pr 100 stk.

Ž Regn ud, hvad det for hvert af tilbudene vil koste pr. stk,hvis du vil have 1.000 stk. brevpapir.

Ž Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvornår detandet tilbud bedst kan betale sig.

32

2 Du ved, at dit el-selskab har to takster. Én til almindelige

små-forbrugere og én til stor-forbrugere.Tilslutningsafgift: 1.500 kr. pr år og 0,985 kr. pr.kilowatttime.Tilslutningsafgift: 4.000 kr. pr. år og 0,655 kr. pr.kilowatttime.

Ž Regn ud, hvad et forbrug på 4.000 kilowatt-timer koster ibegge tilfælde.

Ž Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvor stortforbruget skal være, for at den anden takst bedst kan betalesig.

3 Du vil leje en fotokopi-maskine og har indhentet tilbud fra to

firmaer:Tilbud 1: Leje pr. måned 450 kr. og derefter 15 øre pr. kopiTilbud 2: Ingen leje, men en pris på 25 øre pr. kopi.

Ž Regn, hvad et forbrug på 10.000 kopier om måneden vilkoste ved hvert af tilbudene.

Ž Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvornår detførste tilbud er det billigste.

4 Du har mulighed for at få opsat en vandmåler.

Uden vandmåler betaler du fast 2.400 kr. om året for ditvandforbrug.En vandmåler koster 750 kr., og du regner med at udgiften vilfalde til 2.000 kr.

Ž Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvornår duhar tjent udgiften til vand-måleren ind.

5 Du har et arbejde, hvor du samler legetøjs-biler.

Du har valget mellem at være på time-løn eller akkordløn:Timeløn: 85 kr. pr. timeAkkordløn: 40 kr. pr. time + 3,50 kr. pr. samlet enhed.

Ž Lav en ulighed, der kan bruges til at finde ud af, hvornårakkord-lønnen bedst kan betale sig.

Om at lave ligninger og uligheder side 44

At lave ligninger og uligheder 33

Facit

Side 41. Formlen siger, at man kan finde

et kvadrats areal ved at gange

sidelængden med sig selv.

2. Formlen siger, at man kan finde

prisen i kr. for en taxatur ved at

gange den kørte afstand i km

med prisen i kr. pr. km og lægge

25 til.


prisen i kr. for sit el-forbrug ved

at gange 0,985 med fo rbruge t i

kilowatt-tim er og læg ge 750 til.

Side 51. Formlen siger, at man kan finde

en trekants areal ved at gange 0,5

med trekantens højde og derefter

gange med grundliniens længde.


prisen med moms ved at gange

1,25 med p risen uden mom s.


den kørte afstand i km ved at

gange køretiden i minutter med

hastigheden og dele med 60.


et rektangels areal ved at gange

rektangle ts bredd e med d ets

længde.

Side 61. 83,75 k r.

209,38 kr.

2. 80 km /t

43 km /t

Side 73. 78,40 k r.

19,60 k r.

4. 2.873,7 5 kr.

1.143,6 2 kr.

5. 54 km /t

28,8 k m/t

6. 11.080 kr.

5.318,4 0 kr.

Side 81. 18.375 kr.

1.473.3 75 kr.

2. 52.500 kr.

Side 93. 8

4. 1.068 k r.

5. 11,18 k r.

6. 80 m

Side 101. 272 kr.

224 kr.

2. 56,25 k r.

11,25 k r.

Side 113. 25 cm2

4. 23,55 m/sek

5. 32 m

108 m

6. 4188,8 liter

Side 123. 25 cm2

4. 23,55 m/sek

5. 32 m

108 m

6. 1047,2 liter

Side 131. 4

125

100

64

2. 2826 cm2

3. ca. 4.200

liter

4. 4

5

2,5

3,1623

5. 55 km /t

34

Side 41. Formlen siger, at man kan

finde et kvadrats areal ved atgange sidelængden med sigselv.

2. Formlen siger, at man kanfinde prisen i kr. for entaxatur ved at gange denkørte afstand i km med priseni kr. pr. km og lægge 25 til.

3. Formlen siger, at man kanfinde prisen i kr. for sit el-forbrug ved at gange 0,985med forbruget i kilowatt-timer og lægge 750 til.

Side 51. Formlen siger, at man kan

finde en trekants areal ved atgange 0,5 med trekantenshøjde og derefter gange medgrundliniens længde.

2. Formlen siger, at man kanfinde prisen med moms vedat gange 1,25 med prisenuden moms.

3. Formlen siger, at man kanfinde den kørte afstand i kmved at gange køretiden iminutter med hastigheden ogdele med 60.

4. Formlen siger, at man kanfinde et rektangels areal vedat gange rektanglets breddemed dets længde.

Side 61. 83,75 kr.

209,38 kr.

2. 80 km/t43 km/t

Side 73. 78,40 kr.

19,60 kr.

4. 2.873,75 kr.1.143,62 kr.

5. 54 km/t28,8 km/t

6. 11.080 kr.5.318,40 kr.

Side 81. 18.375 kr.

1.473.375 kr.

2. 52.500 kr.

Side 93. 8

4. 1.068 kr.

5. 11,18 kr.

6. 80 m

Side 101. 272 kr.

224 kr.

2. 56,25 kr.11,25 kr.

formler og ligninger

Documents