formula 6-guia-1oct08-72

l t d

Educación Básica

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Tabla decontenidoFórmula como respuesta

a los estándares básicos

de competencias ......................... 3

Tabla de estándares

grados 6 a 7 ................................... 5

Así es el Libro del alumno .......... 6

Así es el Libro de actividades ... 7

Unidad 1

Lógica y conjuntos

Planeador ...................................... 8

Sugerencias metodológicas

y proyectos integradores ........... 9

Prueba Saber .............................. 10

Unidad 2

Los números naturales

Planeador .................................... 11


y proyectos integradores ......... 12

Prueba Saber .............................. 13

Unidad 3

Teoría de números

Planeador .................................... 14



Prueba Saber .............................. 16

Unidad 4

Fracciones y decimales

Planeador .................................... 17



Prueba Saber .............................. 19

Unidad 5

Números enteros

Planeador .................................... 20



Prueba Saber .............................. 22

Unidad 6

Geometría

Planeador .................................... 23



Prueba Saber .............................. 25

Unidad 7

Estadística

Planeador .................................... 26



Prueba Saber .............................. 28

El movimiento pedagógico

de la Escuela Nueva .................. 29

Acerca de la programación

neurolingüística ......................... 30

Glosario básico de términos

de evaluación educativa .......... 31

El libro Fórmula de Sexto grado, Guía del edu-cador para la Educación Básica ha sido ela-borado según el plan de la Empresa Editorial y bajo su responsabilidad por las siguientes personas del Departamento de Investigación Educativa de EDITORIAL VOLUNTAD S. A.

Autoría: Luis Enrique Gutiérrez CastañoEspecialista en Pedagogía Grupal

Andrea Viviana Saavedra GarzónLicenciada en Matemáticas

Javier Alfonso Cely RuizLicenciado en Matemáticas

Edición: Víctor Hernando Ardila GutiérrezLicenciado en Matemáticas

Deisy Yanira Camargo GarcíaLicenciada en Matemáticas

Coordinación de las pruebas de campoAndrea Escobar ViláEspecialista en Psicología del Consumidor

Coordinación de equidad de género y adecuación a la diversidad culturalMiriam Cristy León Acosta

Diseño gráfi co Gina Andrea Navas NegretDiego Sánchez Cristancho

DiagramaciónDiego Sánchez Cristancho

Coordinación de diagramaciónGina Andrea Navas Negret

IlustraciónLuz Patricia Colorado CorreaEnrique Martínez FerreiraMarlén Mora Rincón

Documentación gráfi caIngrid Alejandra Pineda Becerra

Diseño de carátulaGonzalo Ochoa Martínez

Dirección de arteJorge Alberto Osorio [email protected]

Gerencia editorialCarlos William Gómez Rosero M. ScISBN Tomo 978-958-02-2685-7 ISBN Colección 978-958-02-2530-0© EDITORIAL VOLUNTAD S. A. 2009Derechos reservados. Es propiedad del Editor. Esta publicación no puede ser reproducida en todo ni en parte, ni archivada o trasmitida por ningún medio electrónico, mecánico, de graba-ción, de fotocopia, de microfi lmación o en otra forma, sin permiso previo del Editor. Depósito legalPrimera edición, 2009EDITORIAL VOLUNTAD S. A.Carrera 7a. No. 24-89 Piso 24Teléfono 2410444 - Fax 2410439Bogotá, D. C. - Colombia.www.voluntad.com.coSus comentarios comuníquelos al área de Matemá[email protected] en Colombia.Printed in Colombia.


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[ 3 ]

Fórmula como respuesta a los estándares básicos de competencias

Competencia matemática

Una noción amplia de competencia la señala como un conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafec-tivas y psicomotoras que se relacionan entre sí de manera apropiada para facilitar el desempeño fl exi-ble, efi caz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a respon-der en el aula de clase.

Las competencias matemáticas no se alcanzan por ge-neración espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema signifi cativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.

En un sentido superior, la competencia no sólo implica lo conceptual: saber qué y saber por qué, sino lo procedi-mental que está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias y que puede identifi -carse como el saber cómo.

Toda esta concepción se enmarca dentro de la enseñan-za para la comprensión.

Los cinco procesos generales de la actividad matemática

Los cinco procesos generales que se contemplan en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formu-lar y resolver problemas; modelar procesos y fenóme-nos de la realidad; comunicar; razonar; formular, com-parar y ejercitar procedimientos y algoritmos.

Dicha clasifi cación en cinco procesos generales tiene en cuenta que existen traslapes y relaciones e interac-ciones múltiples entre ellos.

Los cinco tipos de pensamiento matemático

Ser competente en las matemáticas requiere ser dies-tro, efi caz y efi ciente en el desarrollo de cada uno de los procesos generales, en los cuales cada estudiante pasa por distintos niveles de competencia. Además de

relacionarse con esos cinco procesos, ser competente en matemáticas se concreta de manera específi ca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numé-rico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional.

• El pensamiento numérico y los sistemas numéricos

Hace énfasis en la comprensión del uso y de los signifi -cados de los números y de la numeración; la compren-sión del sentido y signifi cado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación.

• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos

El pensamiento espacial, se entiende como "... el con-junto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones menta-les de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o re-presentaciones materiales"

• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas

Los conceptos y procedimientos propios de este pensa-miento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantida-des, su medición y el uso fl exible de los sistemas métri-cos o de medidas en diferentes situaciones.

• El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos

Este tipo de pensamiento, llamado también probabilísti-co, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incerti-dumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de información confi able, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar.

Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura.

• El pensamiento variacional y los sistemas algebrai-cos y analíticos

Tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identifi cación y la caracterización de la variación y el


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cambio en diferentes contextos, así como con su des-cripción, modelación y representación en distintos sis-temas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráfi cos o algebraicos.

Contextos

Hay al menos tres tipos o niveles de contexto: el contex-to inmediato o contexto de aula, creado por el espacio físico, por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema prepara-da por el docente; el contexto escolar o contexto insti-tucional, confi gurado por los escenarios de las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, las tradicio-nes y los saberes de los estudiantes, docentes emplea-dos administrativos y directivos, así como por el PEI, las normas de convivencia, el currículo explícito de las dis-tintas áreas curriculares y el llamado "currículo oculto" de la institución, y el contexto extraescolar o contexto sociocultural, conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local, de la región, el país y el mundo.

Sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación

La enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cuales el docente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemáti-co signifi cativo y comprensivo –y en particular situacio-nes problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen para reconstruir y validar en forma personal y colectiva el sa-ber matemático. A continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones.

• Partir de situaciones de aprendizaje signifi cativo y comprensivo de las matemáticas.

• Diseñar procesos de aprendizaje mediados por esce-narios culturales y sociales.

• Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza.

• Aprovechar la variedad y efi cacia de los recursos di-dácticos.

• Refi nar los procesos de evaluación.

Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero, cuarto a quinto, sexto a sépti-mo, octavo a noveno y décimo a undécimo).

El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias de manera gradual e integrada. Los estándares identifi can niveles de avance en procesos graduales que, incluso, no son termi-nales en el conjunto de grados para el que se proponen.

La organización curricular de cada institución, en cohe-rencia con su PEI, debe buscar el desarrollo de un traba-

jo integrado en los distintos pensamientos, más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás.

Cómo se formula cada estándar

Los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas, se encabezan por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados con él, y satisfacen la siguiente es-tructura:

La estructura de los estándares básicos

Conceptos y procedimientos matemáticos

Procesos generales Contextos

Los estándares para cada pensamiento se basan en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las

matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar, se re-quiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales.


➔

[ 5 ]

Pensamiento numérico

y sistemas numéricos

Pensamiento

espacial y sistemas

geométricos

Pensamiento

métrico y siste-

mas de medidas

Pensamiento

aleatorio y sistemas

de datos

Pensamiento varia-

cional y sistemas alge-

braicos y analíticos

• Resuelvo y formulo problemas en

contextos de medidas relativas.

• Utilizo números racionales, en sus

distintas expresiones (fracciones,

razones, decimales o porcentajes)

para resolver problemas en contex-

tos de medida.

• Justifi co la extensión de la repre-

sentación polinomial decimal

usual de los números naturales a la

representación decimal usual de los

números racionales.

• Reconozco y generalizo propieda-

des de las relaciones entre números

racionales (simétrica, transitiva,

etc.) y de las operaciones entre ellos

(conmutativa, asociativa, etc.) en

diferentes contextos.

• Resuelvo y formulo problemas

utilizando propiedades básicas de

la teoría de números, como las de la

igualdad, las de las distintas formas

de la desigualdad y las de la adición,

sustracción, multiplicación, división

y potenciación.

• Justifi co procedimientos aritméticos

utilizando las relaciones y propieda-

des de las operaciones.

• Formulo y resuelvo problemas en

situaciones aditivas y multiplicati-

vas, en diferentes contextos.

• Resuelvo y formulo problemas cuya

solución requiere de la potencia-

ción o radicación.

• Justifi co el uso de representaciones

y procedimientos en situaciones de

proporcionalidad directa e inversa.

• Justifi co la pertinencia de un cálculo

exacto o aproximado en la solución

de un problema y lo razonable o no

de las respuestas obtenidas.

• Establezco conjeturas sobre

propiedades y relaciones de los

números, utilizando calculadoras o

computadores.

• Justifi co la elección de métodos

e instrumentos de cálculo en la

resolución de problemas.

• Reconozco argumentos combinato-

rios como herramienta para inter-

pretación de situaciones diversas

de conteo.

• Represento objetos

tridimensionales

desde diferentes

posiciones y vistas.

• Identifi co y describo

fi guras y cuerpos ge-

nerados por cortes

rectos y transver-

sales de objetos

tridimensionales.

• Clasifi co polígonos

en relación con sus

propiedades.

• Predigo y comparo

los resultados de

aplicar transforma-

ciones rígidas (tras-

laciones, rotaciones,

refl exiones) y homo-

tecias (ampliaciones

y reducciones) sobre

fi guras bidimensio-

nales en situaciones

matemáticas y en el

arte.

• Resuelvo y formulo

problemas que

involucren relacio-

nes y propiedades

de semejanza y

congruencia usando

representaciones

visuales.


problemas usando

modelos geométri-

cos.

• Identifi co caracterís-

ticas de localización

de objetos en

sistemas de repre-

sentación cartesiana

y geográfi ca.

• Utilizo técnicas

y herramientas

para la construc-

ción de fi guras

planas y cuerpos

con medidas

dadas.

• Resuelvo y for-

mulo problemas

que involucren

factores escalares

(diseño de ma-

quetas, mapas).

• Calculo áreas

y volúmenes

a través de

composición y

descomposición

de fi guras y

cuerpos.

• Identifi co rela-

ciones entre dis-

tintas unidades

utilizadas para

medir cantida-

des de la misma

magnitud.

• Resuelvo y for-

mulo problemas

que requieren

técnicas de

estimación.

• Comparo e inter-

preto datos prove-

nientes de diversas

fuentes (prensa,

revistas, televisión,

experimentos, con-

sultas, entrevistas).

• Reconozco la

relación entre un

conjunto de datos y

su representación.

• Interpreto, produz-

co y comparo repre-

sentaciones gráfi cas

adecuadas para

presentar diversos

tipos de datos.

• Uso medidas de

tendencia central

(media, mediana,

moda) para inter-

pretar compor-

tamiento de un

conjunto de datos.

• Uso modelos para

discutir y predecir

la posibilidad de

ocurrencia de un

evento.

• Conjeturo acerca

del resultado de

un experimento

aleatorio usando

proporcionalidad y

nociones básicas de

probabilidad.


problemas a partir

de un conjunto

de datos presen-

tados en tablas,

diagramas de

barras, diagramas

circulares.

• Predigo y justifi co

razonamientos

y conclusiones

usando información

estadística.

• Describo y repre-

sento situaciones de

variación relacionando

diferentes represen-

taciones (diagramas,

expresiones verbales

generalizadas y tablas).

• Reconozco el conjunto

de valores de cada una

de las cantidades varia-

bles ligadas entre sí en

situaciones concretas

de cambio (variación).

• Analizo las propiedades

de correlación positiva

y negativa entre varia-

bles, de variación lineal

o de proporcionalidad

directa y de propor-

cionalidad inversa en

contextos aritméticos y

geométricos.

• Utilizo métodos infor-

males (ensayo y error,

complementación) en

la solución de ecuacio-

nes.

• Identifi co las caracte-

rísticas de las diversas

gráfi cas cartesianas (de

puntos, continuas, for-

madas por segmentos,

etc.) en relación con la

situación que represen-

tan.

Tabla de estándares grados 6 a 7


[ 6 ]

Así es el Libro del alumno 6

Resumen y refuerzo Aquí se muestran las relacio-nes que existen entre los conceptos abordados a lo largo de la unidad y se proponen algunas actividades de apoyo y seguimiento.

Marco histórico En esta sección se señalan algunos de los acontecimientos ocu-rridos en forma contemporánea con el desarrollo del tema que es el motivo de estudio en la unidad y que infl uenciaron o acompañaron su evolución.

El estudiante se da cuenta que cada temática abordada ha evolucionado y evolu-ciona de manera permanente en el tiempo.

Aplicaciones reales Son hechos o acciones en los que se usan de manera perma-nente los temas que se abordan en la unidad. Buscan que el estudiante entienda la aplicabilidad de las matemáticas en su entorno próximo.

Temáticas Giran en torno al desarrollo de los conceptos básicos de la uni-dad. Comienzan con la formulación de un logro, una pregunta o actividad diagnóstica a la que se le denomina Comparte lo que sabes y continúa con la formalización de las ideas y conceptos y la inclusión de ejemplos.

Práctica en contexto Son las actividades propias de la temática. A cada una de ellas o conjunto de ellas se les identifi ca con una competencia par-ticular.

Al pie de página aparecen las competencias y los desempeños esperados con el desarrollo de las actividades y problemas.

Tecnología En esta sección se entiende la Tecnología como un conjunto de sabe-res que permiten fabricar objetos y modifi car el medio ambiente para satisfacer las necesidades y deseos huma-nos. Fórmula orienta en esta sección hacia la Educación Tecnológica como disciplina escolar abocada a la familiari-zación con las tecnologías más importantes.

Pruebas de Mejoramiento Apuntan hacia la evaluación de los procesos y desempeños de los estudiantes. Estas pruebas no solamente se abordan desde la perspectiva nacional (Prueba Saber e ICFES) sino que tienen en cuen-ta marcos más universales (Pruebas TIMSS y PISA).

Otras seccionesRespuestas Orientan a los estudiantes y les permite reco-nocer sus avances y difi cultades.

Glosario Listado de términos comunes y usuales en el de-sarrollo de las temáticas en todo el texto.

Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del tex-to o sugeridos para la ampliación de las temáticas.


[ 7 ]

Así es el Libro de actividades – problemario

El Libro de actividades hace su énfasis en el desarrollo de un pensamiento orientado hacia la solución de problemas.

Este Libro de actividades acompaña al libro del estudiante unidad por unidad para que los profesores encuentren en él un material de permanente uso.

Cada unidad del libro de actividades comienza con un preámbulo al tema de estudio y unas actividades introductorias que sirven como diagnóstico.

El desarrollo de las temáticas se orienta de la misma forma que el libro del estudiante: se parte con la formulación de un logro y de una actividad de inicio: COMPARTE LO QUE SABES.

Práctica en contexto

Aquí se proponen las actividades y problemas corres-pondientes a las temáticas de cada unidad del libro del estudiante.

Competencias

Tanto en la cabecera del enunciado de las actividades como al pie de las páginas, se señalan las competencias particulares o proce-sos que se busca desarrollar con cada actividad y los desempeños o indicadores de logros enlazados con alguna de las competencias generales: propositiva, argumentativa o interpretativa.

Pruebas de mejoramiento

Buscan evidenciar los logros de los estudiantes a partir del desarrollo de pruebas nacionales e internacionales (Saber, ICFES, TIMSS, PISA).

Calendario matemático

Problemas diarios encaminados a desarrollar los procesos de pensamiento que cita el documento de Estándares Básicos por competencias.

Otras secciones

Respuestas Orientan a los estudiantes y les permite reconocer sus avances y difi cultades.

Glosario Listado de términos comunes y usuales en el desarrollo de las temáticas en todo el texto.

Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del texto o sugeridos para la ampliación de las temáticas.


[ 8 ]

Unidad 1 Lógica y conjuntosPlaneador Unidad 1Grado Sexto Período ........................ Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................

Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Lógi

ca y

con

junt

os

Pensamiento lógico

• Representar

y validar

proposiciones

lógicas.

• Representar

situaciones

problemáticas

mediante el

uso de conjun-

tos.

• Realizar

operaciones

lógicas y

asociarlas con

las represen-

taciones de

conjuntos.

• Reconocer el

uso de la lógi-

ca conjuntos

en diversos

contextos.

• Representación de

proposiciones median-

te el uso de conjuntos.

• Compuertas lógicas

And y Or.

• Tablas de verdad.

• Termómetro.

• Plano cartesiano.

Actividades con compuertas lógicas en:

http://www.profesor-

molina.com.ar/electro-

nica/componentes/int/

comp_log/and.swf

http://docencia.udea.

edu.co/SistemasDiscre-

tos/contenido/d_cir-

cuitos.html

Actividades con conjuntos y plano cartesiano en:

http://www.guiamath.

net/

http://www.edilatex.

com/index_archivos/

algebra5tintas.pdf

http://personal.

redestb.es/jlabreu/des-

cartes/plano.htm

• Representación

de proposiciones

mediante diagra-

mas de Venn.

• Uso del lenguaje

de la lógica en

diversos contex-

tos.

• Lectura de

documentos

científi cos en

los que se use

el lenguaje de la

lógica.

• Uso de diagra-

mas de com-

puertas lógicas

combinadas.

• Uso de los

mapas como

modelos de pla-

nos cartesianos.

Razonamiento

• Interpreta la

validez, desde el

punto de vista de

la lógica, de enun-

ciados y proposi-

ciones en diversas

situaciones.

• Identifi ca la

operación lógica

pertinente en di-

versos contextos.

Procedimientos

• Usa diagramas de

Venn para repre-

sentar enunciados

lógicos.

Solución de problemas

• Analiza, resuelve

y plantea situacio-

nes donde se in-

volucran la lógica

y los conjuntos.

Comunicación

• Realiza dibujos

para representar

problemas de

lógica.

• Da ejemplos

reales en los que

es importante un

uso de la lógica.

Modelación

• Convierte

expresiones del

lenguaje cotidia-

no al simbólico y

matemático.

Tecnología

Las compuertas

lógicas como mo-

delos de conjun-

ción y disyunción.

Sociales

Ubicación de

sitios en la ciudad

mediante sus

coordenadas en el

plano.

Castellano

Uso e interpreta-

ción del lenguaje

de la lógica en

diversos textos.

Ciencias

Clasifi cación de

los seres de la

naturaleza.


➔

[ 9 ]

Sugerencias metodológicas y proyectos integradores


A. Manejo de ideas previas

1. Describa situaciones en donde se vea la necesidad de usar las proposiciones, los conjuntos y el plano cartesiano. Haga énfasis en que usamos la lógica en muchas situaciones de la vida diaria cuando toma-mos decisiones.

2. Pida a sus estudiantes que den ejemplos de proposi-ciones y que evalúen su valor de verdad. También pí-dales que den ejemplos de proposiciones cuyo valor de verdad dependa del objeto del que se habla.

B. Formalización de la idea o concepto

1. Muestre las compuertas lógicas como ayuda en la solución de los planteamientos de la lógica.

2. Dé las condiciones necesarias para que una propo-sición compuesta sea verdadera y vaya llenado las tablas de verdad correspondientes.

3. Plantee y explique las diferentes propiedades de las operaciones entre conjuntos y las leyes de la lógica.

4. Muestre que el plano cartesiano es un modelo válido en muchas situaciones escolares y extraescolares. Válgase de planos de la ciudad o de gráfi cas de la física que apoyen esta idea.

5. Diagrame un plano de los alrededores del colegio, donde el colegio es el origen.

C. Práctica

1. Solicite la ayuda de varios estudiantes, donde al-gunos de ellos den ejemplos de proposiciones y los otros le asignen el valor de verdad.

2. Dadas dos o más proposiciones, pida a los estudian-tes que las evalúen en su conjunción, su disyunción, su implicación o su doble implicación. Pida que modi-fi quen las proposiciones para que la composición de ellas arroje un valor de valor dado de antemano.

3. Solicite a los estudiantes que empleen símbolos apropiados para cada operación lógica y de conjun-tos.

4. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen la lógica y se apoyen en la representación de conjuntos en su so-lución.

5. Solicite a los estudiantes que busquen modelos de plano cartesiano y que expliquen su uso.

D. Identifi cación de las difi cultades

En algunos casos se presentan difi cultades para:

1. diferenciar proposiciones de expresiones que no lo son.

Alternativa:

Elabore una cartelera de dos columnas como:

No proposición Proposición

Simple Compuesta

Solicite a los estudiantes que la completen con fra-ses adecuadas a cada requerimiento.

2. identifi car el valor de verdad de proposiciones lógi-cas compuestas a partir del valor de verdad de sus componentes.

Alternativa:

Construya ejemplos de proposiciones compuestas, evalúe su valor de verdad. Ahora, haga lo contrario: a partir del valor de verdad de una proposición com-puesta, pida a los estudiantes que den ejemplos de proposiciones simples que hagan que se satisfaga ese valor de verdad.

Proyectos integradores

Ciencias

Tome la temperatura de algún estudiante con un termó-metro durante algunos días y luego registre esa informa-ción en una tabla y luego, en un plano cartesiano.

Tecnología

Construya una gráfi ca con los lugares que ocupan los estudiantes dentro del salón de clase y explíquesela so-bre el plano cartesiano. Indíqueles que en el programa Excel la información se ubica de manera análoga.

Fila 4

Fila 3

Fila 2

Fila 1

Columna 1 Columna 2 Columna 3


[ 10 ]

Prueba SaberElige la respuesta correcta para cada una de las pregun-tas 1 a 5.

1. Una proposición se diferencia de cualquier otro enunciado que no lo es, en que

a. la proposición siempre es verdadera.

b. la proposición siempre es falsa.

c. la proposición tiene un único valor de verdad.

d. la proposición puede representarse mediante conjuntos.

2. El valor de verdad de una proposición compuesta depende de:

a. el valor de verdad de la primera proposición.

b. el valor de verdad de la segunda proposición.

c. el valor de verdad de las dos proposiciones.

d. el valor de verdad de alguna de las dos proposiciones.

3. Si una proposición se compone de tres proposicio-nes simples su valor de verdad:

a. es siempre verdadero.

b. es siempre falso.

c. depende de la proposición que se compone con ellas.

d. no puede establecerse.

4. Una conjunción es:

a. una operación entre conjuntos.

b. una operación entre proposiciones lógicas.

c. una operación matemática.

d. una proposición.

5. De la tabla de valor de verdad de una implicación puede concluirse que:

a. una proposición falsa no puede implicar una pro-posición verdadera.

b. una proposición verdadera no puede implicar una proposición falsa.

c. una proposición verdadera puede implicar una proposición falsa.

d. una proposición falsa siempre implica una propo-sición falsa.

Resuelve los siguientes problemas de lógica.

6. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que:

- Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido.

- Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio.

- A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos.

- No había dos mujeres juntas.

¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando?

a. La mujer de Dionisio.

b. La mujer de Basilio.

c. La mujer de Carlos.

d. La mujer de Armando.

7. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gim-nasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?

El razonamiento lógico que conduce a la respuesta es:

a. Carmen es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Carmen, ni Beatriz (mujer casada). Por eliminación, la tenista es Bea-triz.

b. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nada-dora. La gimnasta no es Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Carmen.

c. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la na-dadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.

d. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es la tenista; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada). Por tanto, la tenista es Beatriz.


[ 11 ]

Unidad 2 Los números naturalesPlaneador Unidad 2

Grado Sexto Período ........................ Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................


propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Los n

úmer

os n

atur

ales

Pensamiento numérico y sistema numéricos

• Reconozco y generalizo

propiedades de las

relaciones entre núme-

ros naturales y de las

operaciones entre ellos

(conmutativa, asocia-

tiva, etc.) en diferentes

contextos.


problemas utilizando

propiedades bási-

cas de la teoría de

números, como las de

la igualdad, las de las

distintas formas de la

desigualdad y las de la

adición, sustracción,

multiplicación, división

y potenciación.

• Justifi co procedi-

mientos aritméticos

utilizando las relaciones

y propiedades de las

operaciones.

• Formulo y resuelvo pro-

blemas en situaciones

aditivas y multiplica-

tivas, en diferentes

contextos.

• Resuelvo y formulo pro-

blemas cuya solución

requiere de la potencia-

ción o radicación.

• Justifi co la pertinencia

de un cálculo exacto o

aproximado en la solu-

ción de un problema y

lo razonable o no de las

respuestas obtenidas.

• Establezco conjeturas

sobre propiedades y

relaciones de los núme-

ros, utilizando calcula-

doras o computadores.

• Justifi co la elección de

métodos e instrumen-

tos de cálculo en la re-

solución de problemas.

• Lecturas sobre los

sistemas de nume-

ración en diversas

culturas.

• Tablas de valor de

posición.

• Línea del tiempo

usada como modelo

de la recta numérica.

• Tablas con operacio-

nes incompletas.

• Tablas con informa-

ción de precios para

proponer problemas

a partir de ellas.

• Gráfi cas estadísticas

de las que se infi era

información numéri-

ca.

Actividades con números binarios en:

http://www.trebol-

a.com/2006/03/29/

numeros-binarios-y-

un-truco-de-magia/

http://platea.pntic.

mec.es/~lgonzale/tic/

binarios/aritmetica.

html

Actividades con números romanos en:

http://www.vivir.com/

vivir/universidad/in-

dex.htm?http://www.

vivir.com/vivir/univer-

sidad/convnumroma-

nos.htm

http://sauce.pntic.

mec.es/~ebac0003/

descartes/romanos/

normas.htm

Actividades con la recta numérica en:

http://descartes.cnice.

mecd.es/WEB_EDA/

Documentos/mate-

riales/JR_Galo/2ESO/

enteros/m0030.htm

• Luego de lec-

turas acerca de

los sistemas de

numeración, un

buen ejercicio

es comparar-

los unos con

otros desde

sus ventajas y

desventajas.

• Completar ta-

blas de valor de

posición, una

vez que usted

haga la lectura

de algunos

números.

• Búsqueda de

situaciones en

las que se evi-

dencie el uso de

modelos mate-

máticos: envío

de correos

electrónicos,

crecimientos

de poblaciones,

incremento de

salarios, etc.

• Representación

en la recta nu-

mérica de even-

tos históricos.

El uso de este

recurso puede

emplearse para

mejorar en los

estudiantes el

uso adecuado

de las escalas.

Razonamiento

• Determina las semejan-

zas y diferencias de los

sistemas de numeración.

• Deduce y aplica propie-

dades de las operaciones

básicas y las aplica.

• Hace inferencias a partir

del estudio de gráfi cas

estadísticas en las que se

involucran cantidades

enteras.

Procedimientos

• Usa las reglas de forma-

ción de cantidades en

diferentes sistemas de

numeración para escribir

cantidades.

• Usa la reciprocidad de

las operaciones con

naturales para agilizar

cálculos numéricos.

• Usa de forma correcta la

recta numérica.

• Resuelve ecuaciones y

explica el paso a paso

para ello.


• Analiza, resuelve y plan-

tea situaciones donde se

involucran los números

naturales.

Comunicación

• Realiza dibujos para

interpretar situaciones

problemáticas.

• Entiende la informa-

ción numérica que se

presenta en los medios

de comunicación.

• Convierte expresiones

del lenguaje cotidiano a

un lenguaje simbólico y

matemático.

Modelación

Usa la recta numérica

como modelo para

interpretar situaciones

numéricas.

Ciencias

• Uso de modelos

de crecimiento

poblacional

para analizar el

incremento de

una población y

sus consecuen-

cias para el me-

dio ambiente.

Sociales

• Ubicación de

fechas históricas

en la recta

numérica.

• Conversión de

una escala de

temperatura en

otra.

Economía

familiar

• Usa las opera-

ciones básicas

para contribuir

al buen manejo

del dinero en las

compras de la

casa.

Informática

• Identifi ca el uso

del sistema de

numeración

binario en los

sistemas infor-

maticos.


➔

[ 12 ]




1. Describa situaciones en donde se vea la necesidad de usar las operaciones de los números naturales. Por ejemplo: el alza de la canasta familiar, una comparación entre el precio del dólar y el del petróleo, estaturas, ve-locidad de los automoviles, encuestas de interés, etc.

2. Haga notar a sus estudiantes que los números na-turales se usan en diversas circunstancias y tiene múltiples usos: para ordenar, para cuantifi car, para codifi car, para contar, etc. Pregunte a sus estudian-tes en cuáles de esas situaciones es válido aplicar las operaciones básicas.

3. Indague a sus estudiantes acerca de lo que piensan acerca del uso del número en los inicios de la huma-nidad: ¿cómo creen que se sumaba en la antigüedad? ¿Por qué se originaron las operaciones?


Defi na un número natural como cualquiera de los nú-meros: 0, 1, 2, 3... o el mismo conjunto excluyendo el 0 según otros autores, que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Señale que algunos matemáticos (especialmente los de teoría de números) prefi eren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, espe-cialmente los de teoría de conjuntos, lógica e infor-mática, tienen la postura opuesta.

C. Práctica

1. Plantee varios ejemplos donde se haga uso de los nú-meros naturales en diversos contextos matemáticos y no matemáticos: para medir (pensamiento métrico); para entender estadísticas (pensamiento aleatorio); para establecer propiedades y regularidades numé-ricas (pensamiento variacional).

2. Solicite a los estudiantes que establezcan relaciones entre las formas de representar un número en dife-rentes sistemas de numeración.

3. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen los conceptos y propiedades de los números naturales. Pregunte

acerca de las razones por las que es importante co-nocer las propiedades de las operaciones entre natu-rales.

4. Use la recta numérica no solamente para recono-cer relaciones de orden sino para evidenciar lo que ocurre al sumar y restar naturales. Muestre la recta como un modelo matemático de gran ayuda.

5. Haga énfasis en las clases en la solución de proble-mas. El módulo de actividades es muy útil para ello.

6. Tome la sección económica de la prensa y ubique las tablas que presenta, explique la importancia de los datos numéricos en ellas.



1. recordar las tablas de multiplicar.

Alternativa:

muestre y enseñe regularidades numéricas que per-mitan a los estudiantes reconstruir las tablas cuando tengan problemas con su memorización.

2. entender para qué sirven las propiedades de las operaciones.

Alternativa:

use las propiedades para agilizar cálculos como pro-ductos por 11, descomponiéndolo como 10 + 1 y usan-do la propiedad distributiva, etc.


Economía familiarRealice una lectura con los estudiantes sobre los recibos de los servicios públicos, las cifras y lo que indican y las barras estadísticas que se manejan en ellos.

LiteraturaSugiera lecturas de libros como Malditas matemáticas o Alicia en el País de los números de Carlo Frabetti.

Infórmatica • Haga notar la utilización del sistema binario en los

sistemas de información. Haga lecturas acerca de su manejo y su utilidad en este contexto.

• Dibuje y realice algunas operaciones en el sistema de numeración binaria.


[ 13 ]

Prueba Saber 1. María forma triángulos agregando cada vez dos

palitos de fósforos como se muestra abajo.

El número de triángulos que se forma con 71 fósfo-ros es:

3 fósforos 5 fósforos 7 fósforos 9 fósforos

a. 30 b. 34 c. 35 d. 36

2. Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, enton-ces a + 1 es igual a:

a. m + n + 1 c. 10 m + n + 1

b. 100 m + n + 1 d. 100 m + 10 n + 1

3. El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cer-cada es de 40 m2 , ¿cuál es el largo de la piscina de la fi gura?a. 3 m b. 6 m c. 12 m d. 10 m

1m

1m 1m

1m

4. Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al fi nal de este período lograron reunir $ 192 000. Si el herma-no mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor. El ahorro correspondiente de cada uno es:

a. el hermano mayor: $ 48 000 y el menor $ 144 000.

b. el hermano mayor: $ 190 000 y el menor $ 2 000.

c. el hermano mayor: $ 144 000 y el menor: $ 48 000

d. el hermano mayor: $ 150 000 y el hermano menor: $ 42 000

5. En una fi nca hay sólo corderos y gallinas. Patricia y Ana deben contar cuántos animales hay allí. Cada una cuenta a su manera. Cuando regresan, Patricia dice que contó 192 patas y Ana, que contó las ca-bezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?

a. 24 gallinas y 36 corderos.

b. 36 corderos y 24 gallinas.

c. 12 gallinas y 72 corderos.

d. 72 corderos y 12 gallinas.

6. Emilio recorre 200 metros en su entrenamiento del primer día y cada día duplica lo hecho el día ante-rior. Para saber cuántos metros habrá recorrido el día décimo del entrenamiento se debe:

a. multiplicar 200 metros por 10.

b. multiplicar 200 metros por la suma:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

c. sumar 200 metros diez veces.

d. multiplicar 200 metros por la suma

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

7. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. El nú-mero de litros de vino que contiene cada tonel en forma respectiva es:

a. 40 y 68

b. 70 y 38

c. 58 y 50

d. 60 y 48

8. Al tratar de encontrar un número de dos cifras que al sumarle 9 se convierte en otro número con las mismas dos cifras en orden invertido, se obtiene:

a. una respuesta única.

b. más de una respuesta.

c. infi nitas respuestas.

d. exactamente cinco respuestas.


[ 14 ]

Unidad 3 Teoría de númerosPlaneador Unidad 3

Grado Sexto Período ................................ Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................

Contenidos EstándaresRecursos

propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Teor

ía d

e nú

mer

os

Pensamiento numé-rico y sistemas de numeración


problemas utilizando

propiedades básicas de

la teoría de números.

• Justifi co procedimien-

tos aritméticos utili-

zando las relaciones

y propiedades de las

operaciones.

• Justifi co la pertinencia

de un cálculo exacto

o aproximado en la

solución de un pro-

blema y lo razonable

o no de las respuestas

obtenidas.

• Establezco conjeturas

sobre propiedades

y relaciones de los

números, utilizando

calculadoras o compu-

tadores.

• Justifi co la elección de

métodos e instrumen-

tos de cálculo en la re-

solución de problemas.

• Clasifi co los naturales

en primos y compues-

tos.

• Encuentro el m.c.m.

y el m.c.d de un con-

junto de números y lo

uso en la solución de

problemas.

• Representación de

los conjuntos de

divisores y múltiplos

mediante diagramas

de Venn.

• Calculadora para

reconocer regulari-

dades numéricas y

verifi car soluciones

de ejercicios y pro-

blemas.

• Lecturas sobre crite-

rios de divisibilidad y

números primos.

• Diagramas de árbol

para la descomposi-

ción de un número

en factores primos.

• Diagramas del m.c.d

y del m.c.m.

Actividades con los criterios de divisibilidad en:

http://sauce.pntic.

mec.es/jdiego/glosa-

rio/divisibilidad.swf

http://www.

nuevaalejandria.

com/archivos-curri-

culares/matemati-

cas/nota-008.htm

Actividades con números primos y compuestos en:

http://www.

matematicas.

net/paraiso/cripto.

php?id=primos

http://mimosa.pntic.

mec.es/jgomez53/

matema/cono-

cer/10000_primos.

htm

Actividades con m.c.d. y m.c.m en:

http://lubrin.

org/mat/spip.

php?article717.

• Preguntas acer-

ca de aquellos

números que

no tienen más

que dos diviso-

res.

• Utilización del

concepto de

criptografía

para explicar

la importancia

de los números

primos y su

utilización.

• Planteamiento

de problemas

reales en los

que se requiera

del m.c.d. y/o

del m.c.m.

• Diagramas de

descomposi-

ción en factores

primos.

• Utilización de

un algoritmo

para determi-

nar los números

primos meno-

res que 100.

Razonamiento

• Reconoce las diferencias

entre un múltiplo y un

divisor.

• Identifi ca y aplica los

criterios de divisibilidad

de un número.

Procedimientos

• Realiza por medio de

diagramas la descompo-

sición de un número en

factores primos.

• Establece relaciones en-

tre múltiplos y divisores

para hallar el m.c.d y el

m.c.m.

• Aplica los criterios de

divisibilidad para hallar

los números primos y

compuestos en diversos

contextos.


• Plantea, analiza y

resuelve problemas con

el m.c.d. y el m.c.m.

Comunicación

• Sabe claramente las

razones por las que

un número es primo o

compuesto.

• Justifi ca claramente

la escogencia entre el

m.c.d. y el m.c.m. en la

solución de situaciones

de la vida cotidiana.

Modelación

* Expresa problemas de

la vida cotidiana en

términos de la teoría de

números.

Valores

Discute con sus compa-

ñeros los métodos que

utiliza para solucionar

una situación de la vida

real.

Ciencias

• Determina a partir

de los múltiplos del

tiempo de vida del

C14, los periodos

en los que el carbo-

no 14 pierde masa.

• Utiliza la defi ni-

ción de múltiplo

para determinar

las coincidencias

en los horarios de

alimentación en un

zoológico.

Ingeniería

• Maximiza o mini-

miza la cantidad

de material en una

construcción a

partir del m.c.d. y el

m.c.m.


➔

[ 15 ]



1. Describa situaciones en las que se vea la necesidad de usar los múltiplos, los divisores, los criterios de divisibili-dad, los números primos y compuestos.

2. Haga notar a sus estudiantes con un lenguaje sencillo, el uso de los múltiplos y divisores en la vida cotidiana, por ejemplo: los múltiplos y divisores de las unidades de medida metro, decámetro, libra, kilogramo, arroba, tonelada, etc.


1. Muestre que los divisores y los múltiplos son de ayuda en la solución de problemas de la vida cotidiana.

2. Tome comestibles u otros objetos de uso cotidiano que se presenten al público subdivididos en partes iguales, y pregunte a sus estudiantes las diferentes formas en que pueden repartirlo.

3. Plantee diferencias entre un divisor y un múltiplo como que el divisor siempre es menor o igual al número y el múl-tiplo siempre es mayor o igual que el número.

4. Aclare que los criterios de divisibilidad se utilizan no sólo en la descomposición en factores primos sino también en la solución de problemas.

5. Recuerde a sus estudiantes que los números primos son aquellos que tienen únicamente dos divisores y los nú-meros compuestos son aquellos que tienen como mínimo tres divisores.

6. Explique que existen dos números naturales que no son ni primos, ni compuestos (el 0 y el 1).

C. Práctica 1. Escoja a tres o cuatro estudiantes al azar y solicíteles que

digan en voz alta un dígito. Luego, construya los números que se pueden escribir con las diferentes combinaciones de los números dados y determine cuáles de estos núme-ros son primos, cuáles son compuestos y cuáles son sus divisores y sus primeros 20 múltiplos.

2. Plasme diferentes cantidades y expresiones donde los estudiantes puedan ver con claridad los criterios de la di-visibilidad de los números.

3. Mencione varios errores al intentar decidir si un número es divisible por otro y las correcciones respectivas.

4. Solicite a los estudiantes que empleen símbolos matemá-ticos para expresar a qué clase pertenece un número, si a los números compuestos o a los primos.

5. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen los conceptos y propiedades de la teoría de números.

6. Solicite a los estudiantes que dibujen varios diagramas de árbol y construyan maquetas con descomposición de los números en factores primos.

7. Pida a los estudiantes que construyan números que sean divisibles por cierto número después de que usted haya indicado el criterio de divisibilidad correspondiente.

8. Cuente a sus estudiantes que acerca de la infi nitud de los números primos, no se ha dicho la última palabra y que se ha encontrado un número primo mayor que los demás.

Cuénteles que con la ayuda de un programa de computa-ción se ha podido encontrar el primo más grande. Invítelos a consultar por Internet acerca de este tema.

9. Use esquemas de conjuntos para mostrar relaciones entre los divisores o los múltiplos de dos números. Pregunte acer-ca de lo que signifi ca la intersección de estos conjuntos.


En algunos casos se presentan difi cultades para: di-ferenciar el m.c.d. del m.c.m.

Alternativa:

Proponga diversas circunstancias reales en las que se hace evidente el uso de uno y otro concepto.

Por ejemplo, dividir un objeto o colección de objetos en cierta cantidad de partes iguales y elegir la que satisfaga una condición de maximización.

Discuta acerca del concepto que se debe usar para resol-ver problemas de coincidencias.

• Si voy a la casa de Pablo cada 3 días y a la de Juan cada 5 días, ¿cada cuántos días los visitó el mismo día?


Búsqueda de estrategiasDibuje con sus estudiantes un aeropuerto con aviones que llegan y que salen y determine con ellos cuando se habla de congestión aérea o tráfi co aéreo y cómo puede apli-carse la Teoría de números para solucionar el problema.

CienciasEl tiempo de rotación de los planetas. ¿Cada cuántos años se encontrarán sobre la misma línea?

MúsicaVea con los estudiantes video conciertos y determine con ellos qué instrumentos suenan al tiempo, cada cuánto suenan y redacte con ellos problemas acerca de las coincidencias de sonidos.



[ 16 ]

Prueba SaberEn la Panadería el Buen Pan, todos los días llevan los huevos, cada 2 días la harina, cada 3 días, la levadura y cada 4, el azúcar y la sal.

1. El número de días que deben pasar para que todos los productos lleguen al mismo tiempo es:

a. 6 b. 12 c. 9 d. 15

2. ¿Cada cuántos días llegan al mismo tiempo los huevos y la harina?

a. 1 b. 3 c. 2 d. 4

3. Los productos que llegan al mismo tiempo cada tercer día son:

a. los huevos y la levadura.

b. la harina y la levadura.

c. la levadura, el azúcar y la sal.

d. los huevos y el azúcar.

4. ¿Cuántos productos coinciden cada 6 días?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

5. ¿Al cabo de 16 días qué productos coinciden?

a. huevos, sal y harina.

b. harina, levadura, azúcar y sal

c. huevos, harina y levadura.

d. huevos, harina, azúcar y sal.

6. José necesita varios trozos de listones de igual longitud. Le interesa que tengan la máxima longi-tud posible y que no le sobre ningún pedazo y los tiene que cortar de dos listones de 72 centímetros y de 48 centímetros". Una estrategia de solución es:

a. sumar 48 y 72 y dividir esta suma entre 2.

b. restar 72 de 48 y dividir la diferencia entre 2.

c. hallar el máximo común divisor de 48 y 72.

d. hallar el mínimo común múltiplo de 48 y 72.

7. En una fi nca rectangular de 196 metros de largo y 128 metros de ancho queremos plantar árboles. Si entre el límite del terreno y los árboles han de

quedar 6 metros, y éstos están plantados a distan-cias iguales. ¿Cuántos se podrán plantar de mane-ra que la distancia entre ellos sea máxima? Para resolver este problema se puede:

a. sumar 196 y 128 y dividir esta suma entre 2.

b. restar 128 de 196 y dividir la diferencia entre 2.

c. hallar el máximo común divisor de 128 y 196.

d. hallar el mínimo común múltiplo de 128 y 196.

8. El menor número posible que dividido por 15, 20 y 25 da en cada caso un resto igual a 7 es:

a. 307 b. 614 c. 500 d. 225

9. Se quiere alambrar un terreno que tiene forma de cuadrilátero irregular cuyos lados miden: 320 m, 208 m, 396 m y 168 m. Se desea que los postes estén equidistantes y que en cada vértice haya un poste. ¿Cuál es la mayor distancia a la que pueden colocarse?

a. 2 m b. 5 m c. 6 m d. 4 m

10. En el problema anterior, ¿cuál es el número de postes que debe colocarse en total?

a. 250 b. 273 c. 253 d. 280

11. María y Pedro tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?

a. 8 b. 7 c. 5 d. 10

12. Julia tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?

a. 60 b. 120 c. 30 d. 180

13. Para ir al cine dos niños no se ponen de acuerdo. Uno va cada 5 días y otro cada 6. Si coincidieron el 24 de diciembre, ¿qué día volverán a coincidir?


[ 17 ]

Unidad 4 Fracciones y decimales

Planeador unidad 4Grado Sexto Período ............................. Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................


propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Frac

cion

es y

dec

imal

es

Pensamiento nu-mérico y sistemas numéricos

• Utilizar números

(fracciones, decima-

les, razones, porcen-

tajes) para resolver

problemas.

• Justifi car opera-

ciones aritmé-

ticas utilizando

las relaciones y

propiedades de las

operaciones.

• Resolver y formular

problemas cuya

solución requiere

de la potenciación o

radicación.

• Justifi car la elección

de métodos e

instrumentos de

cálculo en la resolu-

ción de problemas.

• Información de las

sección económica

y de tecnología en

los periódicos.

• Planos con dis-

tancias con cifras

decimales y la

escala a la que se

encuentran.

• Extractos banca-

rios o de tarjetas de

crédito.

• Calculadora o

programa Excel.

Actividades con fracciones en:

http://www.cidse.

itcr.ac.cr/revistama-

te/SoftDidactico/

Fracciones3/index.

html

(Se puede bajar

un software para

operaciones con

fracciones).

http://www.

unabvirtual.edu.

co/related/atees/co-

lombia/documen-

tos/atees_juan/

nacional_mat/Ra-

cionales/aplica.

html

(Actividades y pro-

blemas propues-

tos).

• Recolección

y análisis de

información

signifi cati-

va para los

estudiantes

dentro o fuera

del colegio.

• Uso de mapas

para calcular

distancias

entre puntos

sobre él y esti-

mar distancias

reales.

• Lectura de

extractos

bancarios y

obtención de

la información

de tasas de

interés y mora

para entender

este tipo de

documentos.

• Manejo y pro-

gramación de

calculadora y

computador

en diferentes

cálculos, en

especial para

porcentajes.

• Maratones

de cálculo

mental de

porcentajes

especiales y

fracciones de

un número.

• Estimación

de respuestas

a ejercicios

fracciones y

decimales.

Razonamiento

• Identifi ca fracciones

y da ejemplos de

expresiones que no

lo sean.

• Clasifi ca fracciones y

números decimales.

Procedimientos

• Aplica las operacio-

nes entre fracciones

y decimales, sus

relaciones y propie-

dades en diversos

contextos.

Solución de proble-mas

• Analiza, resuelve y

plantea problemas

con fracciones, deci-

males y porcentajes.

Comunicación

• Representa fraccio-

nes y decimales en

forma gráfi ca.

• Lee y comparte

información sobre

temas que involu-

cran porcentajes,

fracciones y decima-

les.

Modelación

• Expresa situaciones

en lenguaje matemá-

tico que involucra

porcentajes, decima-

les y fracciones.

Valores

• Trabaja en equipo y

respeta las opiniones

de los demás.

Economía

• Análisis de la

variación de

los indicadores

económicos en

un intervalo

de tiempo y

determinación

de cuál de ellos

afecta a perso-

nas cercanas.


➔

[ 18 ]



1. Hable a sus estudiantes de situaciones en donde se vea la necesidad de hacer uso de las fracciones y los decimales. La medición del tiempo y el conteni-do de las bebidas gaseosas son una buena opción. En cuanto a los decimales, muestre ejemplos don-de la medición se hace en kilómetros y pida que se transforme en unidades menores que arrojen cifras decimales o cite que en la comercialización del oro, pequeñas partes decimales de un gramo son de gran valor.

2. Es bueno asociar la fracción con su gráfi ca e inclu-so en la adición y sustracción se puede hacer uso de ella para expresarlas con el mismo denominador.


1. Si bien es bueno usar la interpretación gráfi ca para varias situaciones, es importante hacer énfasis en la concepción de una fracción como el cociente entre dos naturales.

2. Muestre que el hecho de que si una fracción esté conformada por números más grandes, no indica que la fracción sea mayor que otra.

3. En la potenciación, muestre que la potencia de un nú-mero racional no siempre es mayor que la base. Esto le mostrará a los estudiantes que esta operación no funciona como en los naturales donde la potencia siempre es mayor o igual que la base.

C. Práctica

1. Según la defi nición de fracción como cociente, pida a los estudiantes que den ejemplos de expresiones que no correspondan a fracciones.

2. Haga mucho trabajo de ubicación de las fracciones en la recta, tanto en forma vertical como horizontal.

3. Válgase de situaciones en las que la fracción es un elemento importante: contenido nutricional de los alimentos, estadísticas, situaciones deportivas para formular y solucionar problemas, etc.

4. Cuando los diferentes procesos operativos con de-cimales estén afi anzados, use la calculadora como herramienta de apoyo. Aprovéchela para mostrar por ejemplo que 2,000 equivale a 2 o que 3, 500 = 3,5.

5. Al comienzo de la explicación de porcentajes, expli-que que se trata de una comparación por cada cien (una fracción con denominador 100). Por ejemplo, el 40 % de 200 se interpreta como el producto de 40 por 200 y ese producto se divide entre 100. Pida que cal-culen otros porcentajes y pida que siempre verbali-cen el proceso.

6. Haga cálculo mental con porcentajes sencillos como 10%, 20%, 25%, 50%, 200%, de una cantidad como 300. Luego, cambie la cantidad por otras cantidades que no sean múltiplos de 10.

7. Hable de los decimales en contextos como los indi-cadores económicos, el crecimiento de la población mundial, la capacidad de almacenamiento de compu-tadores o cualquier dispositivo digital, esto hará que vean el contexto de la temática.


Algunas difi cultades que se pueden presentar al:

1. sumar o restar fracciones homogéneas operando los respectivos numeradores y denominadores.

Alternativa:

Muestre con un ejemplo que no es correcto. Por ejem-plo, que de adicionar dos botellas de medio litro cada una, se llena una completa y no sólo dos cuartos.

2. ordenar números decimales con diferente canti-dad de cifras en la parte decimal.

Alternativa:

Pídales que completen con ceros al fi nal, para que los números queden de la misma cantidad de cifras en la parte decimal y luego sí realicen la comparación.


Economía

Pida a los estudiantes que observen las noticias econó-micas, en especial los indicadores económicos, que ha-gan una tabla de la variación que presentan los mismos. Invítelos a que indaguen por el signifi cado de términos como DTF, Iva, 4 x mil y si alguno de estos índices involu-cra a alguien cercano y de qué forma.


[ 19 ]

Prueba Saber

1. Las letras EA signifi can efectivo anual que corres-ponde al interés anual que se debe pagar por una compra hecha en determinado mes. Según el ex-tracto, es cierto decir que el interés EA:

a. se mantiene constante.

b. llegó a su punto más bajo en el año 2006.

c. para el mes correspondiente al extracto es del 1,86 %.

d. equivale a 1,86% multiplicado por 12 que es el nú-mero de meses.

2. La expresión ATM PR canje recibido nacional sig-nifi ca que fueron avances, es decir dinero que se sacó del cajero. El monto de todos los avances he-chos por el dueño de la tarjeta es:

a. $ 900 000 c. 810 000

b. $ 800 000 d. 910 00

3. La diferencia entre el interés EA para los años 2007 y el 2006 fue de

a. 22, 89 %.

b. No se puede determinar esta diferencia.

c. 4, 34 %

d. 20, 41 %

4. No todo el cupo de la tarjeta puede disponerse para avances, situación que se puede leer en el extracto. El porcentaje del cupo total que se puede gastar en avances es del

a. 50 % b. 100% c. 75 % d. 80 %

5. El número de cuotas pendientes de la compra he-cha en Alkosto es

a. 12 b. 8 c. 10 d. 2

Información de un extracto bancario.

Responde las preguntas de acuerdo con la información del extracto


[ 20 ]

Planeador unidad 5

Grado Sexto Período .............................. Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................


propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Núm

eros

ent

eros

Pensamiento numérico y sistemas numé-ricos.

• Reconocer la ne-

cesidad de am-

pliar el conjunto

de los números

naturales.

• Reconocer

el uso de los

números enteros

en diversos

contextos.

• Representar nú-

meros enteros.

• Completar

tablas para obte-

ner y generalizar

regularidades.

• Realizar

operaciones

aritméticas de

manera precisa

con números

enteros.

• Adquirir una

comprensión

sólida de las

relaciones y

operaciones

entre números

enteros.

• Formular y re-

solver problemas

utilizando nú-

meros enteros.

• Mapas.

• Termómetro.

• Plano cartesiano.

• Reglas gradua-

das.

• Ábacos para

sumar.

Actividades con números enteros en:

http://descartes.

cnice.mecd.

es/materiales_di-

dacticos/ente-

ros2/index.htm

http://w3.cnice.

mec.es/eos/Mate-

rialesEducativos/

primaria/mate-

maticas/conma-

tes/unid-4/nume-

ros-enteres2.htm

Actividades con el plano cartesia-no en:

http://www.

guiamath.net/

http://www.

edilatex.com/in-

dex_archivos/al-

gebra5tintas.pdf

http://personal.

redestb.es/jla-

breu/descartes/

plano.htm

Test en:

http://www.

thatquiz.org/es/

Applets en Java:

http://www.

walter-fendt.

de/m14s/

• Reconocimiento

de expresiones

que requieren

del uso de

números negati-

vos.

• Comparación

de magnitudes

perceptibles y

familiares.

• Organización de

datos en tablas.

• Comparación

de resultados de

diversos juegos,

en donde la

columna de los

resultados se

debe obtener

razonadamen-

te a partir de

comparaciones.

• Representa-

ción de parejas

ordenadas en el

plano cartesia-

no.

• Realización de

operaciones

con números

enteros en las

que falten datos.

• Desarrollo de

polinomios

aritméticos,

teniendo en

cuenta jerarquía

de operaciones.

• Desarrollo de

problemas en

los que falten o

sobren datos.

Razonamiento

• Interpreta gráfi ca-

mente cambios de

temperatura, deudas,

escalas de puntos

sobre y bajo el nivel

del mar.

• Identifi ca y aplica las

operaciones básicas

entre números ente-

ros.

• Establece relaciones

entre las operaciones

con números enteros.

Procedimientos

• Efectúa correctamen-

te operaciones entre

números enteros.

• Grafi ca parejas

ordenadas en el plano

cartesiano.

• Desarrolla polino-

mios aritméticos

usando en forma

apropiada la jerarquía

de las operaciones.

Solución de proble-mas

• Analiza, resuelve y

plantea problemas

con números enteros.

Comunicación

• Describe situaciones

en las que intervienen

los números enteros.

• Realiza gráfi cas para

representar números

enteros en la recta

numérica y en el pla-

no cartesiano.

Modelación

• Convierte expre-

siones del lenguaje

cotidiano al lenguaje

matemático.

Sociales

• Usa mapas de

meridianos para

hallar diferencias

horarias entre

países.

• Realiza compa-

raciones entre

temperaturas

promedio de dife-

rentes planetas.

• Lee un mapa

topográfi co y

ubica puntos de

referencia de él

sobre una recta.

Unidad 5 Números enteros


➔

[ 21 ]


A. Manejo de ideas previas1. Describa situaciones en donde se vea la necesidad de

usar números negativos. Por ejemplo: temperaturas bajo cero, deudas, pérdidas, alturas bajo el nivel del mar, cro-nologías, etc.

Mediante dichos ejemplos, haga notar a sus estudiantes que los números enteros tienen variedad de aplicaciones en la vida diaria.

Algunas situaciones que puede aprovechar para facilitar la introducción del concepto, son las que implican transforma-ciones como: Ganar - perder; Añadir - quitar; Subir - bajar.

2. Compare series cronológicas y secuencias temporales sen-cillas: días de la semana, partes del día, estaciones, etc.

Compare cantidades que tengan que ver con precios: cuesta más, cuesta menos, etc.

B. Formalización de la idea o concepto1. Compare resultados de juegos como tiro al blanco, fútbol,

carreras de autos y deportes en general.2. Pídale a sus estudiantes que realicen gráfi cas de tempera-

turas tomadas cada hora, en diferentes puntos durante una jornada escolar y que organicen los resultados en una tabla.

3. Haga énfasis en que la ubicación de los enteros negativos en la recta es convencional, y en que las divisiones deben ser iguales, sin importar la escala. Pídales que dibujen va-riedad de rectas en diferentes posiciones y con los núme-ros negativos a un lado y a otro, y luego escoja la represen-tación convencional, haciéndoles ver que hubiera podido escoger cualquier otra.

4. Use diferentes formas de comparar números enteros: la recta numérica, la simulación de una máquina, el concep-to de valor absoluto.

5. Plantee y explique las diferentes relaciones entre las opera-ciones con números enteros: la resta también es una suma.

6. Recalque que en una pareja ordenada, el primer número se representa en el eje de las X y el segundo número se representa en el eje de las Y.

7. Sobre un plano localice tesoros escondido a partir de una serie de mensajes que se pefi eran a desplazamientos y medidas relativas.

C. Práctica1. Dibuje una recta en el piso, marcando un punto de refe-

rencia. Ubique a varios estudiantes a la misma distancia del punto de referencia y de manera intercalada, haga que se ubiquen uno a la derecha y otro a la izquierda, mirando en direcciones opuestas.

2. Solicite a los estudiantes que dibujen una recta para re-presentar a cada persona con números enteros.

3. Solicite a sus estudiantes que dibujen varios diagramas de planos cartesianos y los explique.

4. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen los conceptos y operaciones de los números enteros.

5. Las actividades deben estar encaminadas a la elabora-ción de diagramas, esquemas, gráfi cos, etc., en las que intervengan números enteros.



• sumar y restar números enteros.

Alternativa

Use reglas graduadas para trabajar la suma como un desplazamiento con dichas reglas.

Use el ábaco para sumar. La suma de dos números cua-lesquiera representados en las rectas de afuera viene dada por el número representado por el punto de la recta intermedia alineado con los anteriores:


Sociales

1. Con la ayuda de un mapamundi, ubique diferentes países del mundo sobre él. Al tiempo, marque los países en un mapa previamente pegado en el ta-blero y halle diferencias horarias.

2. Use mapas topográfi cos en los que se utilicen nú-meros negativos para señalar alturas por encima y por debajo del nivel del mar.

3. Explicada la cronología islámica, traslade a una rec-ta del tiempo, fechas de la cronología occidental.

Ciencias

1. Tome la temperatura del aula de clase en diferentes horarios y días, después solicite a los estudiantes que realicen una tabla y que grafi quen los datos recolectados.

2. Realice experimentos con agua, hielo, etc., estu-diando las temperaturas y su comportamiento en diferentes mezclas.


3

2

1

0

-1

-2

3

2

1

0

-1

-2

6

5

3

4

2

1

0

-2

-1

-4-3


-5 -5

-5 -5

-20 5

5 -10

15 20

20 15

0123456789

10111213141516171819202122232425

5 10 15 200123456789

10111213141516171819202122232425

5 10 15 20

0123456789

10111213141516171819202122232425

5 10 15 20

[ 22 ]

Prueba SaberElige la respuesta para cada una de las siguientes pre-guntas.

1. De las siguientes situaciones, la que indica una operación que involucra cantidades negativas es:

a. a un ingreso se le adiciona otro adicional.

b. a una pérdida se le agrega una más.

c. se advierte que una persona tiene fi ebre.

d. luego de haber ascendido 1 000 metros, una per-sona logra ascender 1 000 metros más.

2. En un juego de tiro al blanco, Camilo obtiene los siguientes puntajes en cinco juegos, cada uno de dos lanzamientos: –5, –10, 5, –20 y 15.

Para obtener el puntaje del cuarto juego, los dardos de Camilo cayeron:

a. una vez en 15 y otra en 5.

b. dos veces en –10.

c. dos veces en –5.

d. una vez en 15 y otra en 5.

3. Con un equipo de respiración, es posible bucear hasta una profundidad de 75 m.

Jaime va de vacaciones a San Andrés con su familia y registra todas las inmersiones que efectúa durante los dos primeros días.

El primer día Jaime baja 3 m para practicar respira-ción. El segundo día baja 6 m y luego, 12 m más para estudiar la vida marina.

La diferencia entre la profundidad que alcanzó el segun-do y el primer día fue de:

a. 12 m b. 15 m c. 20 m d. 11 m

4. Nicolás desea medir la variación de temperatura de la gelatina líquida, usando agua fría para bajarla. Al sumergir el líquido en el agua, él marca la hora exacta. La gelatina líquida está a 24 °C. Él examina el líquido cada vez que la temperatura disminuye 3 °C y elabora una gráfi ca con los resultados.

La gráfi ca que representa las anotaciones de Nicolás, es:

a. b.

c.

5. Con respecto a la ubicación de los números ente-ros sobre la recta puede afi rmarse que

a. los enteros negativos se encuentran hacia la de-recha del cero.

b. Los enteros positivos se encuentran a la izquier-da de cero.

c. Cualquier entero positivo se encuentra a la mis-ma distancia de cero que su opuesto.

d. Cualquier entero positivo se encuentra al doble de distancia de cero que su opuesto.

6. La suma de los enteros a y –b se nota como:

a. a + b b. a + (–b) c. a – (–b) d. 0

7. La diferencia de a con –b equivale a:

a. a – b b. a + b c. b – a d. 0

tem

pera

tura

(°C)

tiempo (minutos)

tem

pera

tura

(°C)

tiempo (minutos)

tem

pera

tura

(°C)

tiempo (minutos)


[ 23 ]

Planeador Unidad 6



propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Geo

met

ría

Pensamiento espacial y siste-mas geométri-cos

• Reconocer ele-

mentos básicos

para la descrip-

ción y organiza-

ción del espacio:

puntos, rectas y

planos.

• Reconocer rela-

ciones básicas

para la descrip-

ción y organiza-

ción del espacio:

paralelismo y

perpendiculari-

dad.

• Identifi car y

describir fi guras.

• Clasifi car

polígonos en

relación con sus

características.

• Describir formas

y fi guras con di-

ferentes lengua-

jes geométricos

(palabras, símbo-

los, expresiones

o fi guras).

• Predecir y

comparar los

resultados de

aplicar transfor-

maciones rígidas

sobre fi guras

bidimensionales.

• Reconocer fi gu-

ras equivalentes

y justifi car tal re-

lación mediante

el criterio de las

transformacio-

nes geométricas.

• Regla y compás.

• Papel calcante.

• Transportador.

• Plano cartesia-

no.

Actividades de geometría en:

http://www.sec-

tormatematica.

cl/enlaces.htm

http://www.

matematicas.

net/

Actividades con Cabri en:

http://teleline.

terra.es/perso-

nal/joseantm/

http://www.

jazzfree.com/

jazz6/cpaulo/

Test en:

http://www.

thatquiz.org/es/

• Reconocimiento

de características

y propiedades de

las fi guras.

• Comprensión de

las propiedades

de las fi guras me-

diante construc-

ción de modelos.

• Establecimiento

de conexiones

lógicas entre

las formas y sus

propiedades.

• Utilización de las

propiedades da-

das de una fi gura

para dibujarla o

construirla.

• Comprensión del

concepto de mo-

delo matemático

que representa

relaciones entre

objetos.

Razonamiento

• Reconoce clases de

fi guras equivalentes

según diferentes

criterios de clasifi ca-

ción.

Procedimientos

• Mide por métodos

directos e indirectos

ángulos.

• Clasifi ca fi guras

planas.

• Utiliza el plano car-

tesiano para localizar

polígonos.

• Usa las transforma-

ciones geométricas

para generar y anali-

zar fi guras.


• Busca propiedades,

regularidades y

relaciones en fi guras

geométricas.

• Formula y comprueba

conjeturas acerca de la

solución de problemas

geométricos.

Comunicación

• Valora el uso co-

rrecto del vocabu-

lario adecuado para

conseguir claridad y

precisión al describir

hechos geométricos.

• Describe adecuada-

mente las propieda-

des de una fi gura.

• Comprende las cua-

lidades de una buena

defi nición.

Modelación

• Reconoce un objeto

a partir de una des-

cripción y viceversa.

Artes

• Proponga la cons-

trucción de una

caja para los rega-

los de una fi esta de

cumpleaños a par-

tir de su desarrollo

bidimensional.

Guíe la actividad

para que los estu-

diantes reconozcan

rectas paralelas y

secantes, oblicuas

y perpendiculares.

• Muestre diferentes

formas de elaborar

teselados y motive

a los estudiantes a

que creen algunos

con fi guras geomé-

tricas regulares e

irregulares.

Ciencias

Muestre cómo

las formas que

presentan algunos

animales son pro-

ducto de la evolu-

ción que buscan

su preservación

y además, en su

mayoría confor-

man un ejemplo

de simetría.

Unidad 6 Geometría


[ 24 ]

Sugerencias metodológicas A. Manejo de ideas previas1. Describa objetos del salón de clases en los que sea posible

identifi car puntos, líneas, planos, ángulos y polígonos.2. Trabaje con ilusiones ópticas y haga ejercicios de vi-

sualización para que sus estudiantes reconozcan que la percepción no es sufi ciente para el conocimiento de muchas propiedades de los objetos geométricos, ya que los sentidos engañan.

3. Muéstreles ejemplos variados para que ellos puedan discernir entre lo que puede asumirse como cierto en un dibujo y lo que no.

4. Represente físicamente los movimientos de traslación, rotación y refl exión.

B. Formalización de la idea o concepto1. Para llegar a buenas defi niciones de conceptos geomé-

tricos, es necesario que lleve a sus estudiantes a que descubran las características esenciales de los obje-tos geométricos, a que describan sus características y a que analicen variadas defi niciones encontradas en diversos medios.

2. Seleccione gran variedad de ejemplos y contraejem-plos para identifi car en ellos las características rele-vantes e irrelevantes del concepto que se esté traba-jando. Los ejemplos deben seleccionarse de tal manera que las características irrelevantes de más frecuente aparición sean variadas.

3. Llame la atención de sus estudiantes hacia las carac-terísticas de las fi guras mediante preguntas y explica-ciones. Por ejemplo, en el caso de la construcción del concepto de cuadrilátero pregunte: ¿es necesario que los segmentos rectilíneos sean todos de la misma lon-gitud? o, ¿cómo es posible que estas dos fi guras sean cuadriláteros si una tiene dos lados largos y dos lados cortos, y la otra tiene los cuatro lados iguales?

4. Después de efectuar transformaciones, pídales que usen el compás para comparar las longitudes de los segmentos correspondientes, y el transportador para comparar los ángulos correspondientes.

C. Práctica 1. Haga que señalen diferentes rectas identifi cables en el

salón de clase, como los bordes de los escritorios, de las mesas y de las ventanas. Use estos ejemplos para llegar a la defi nición de ángulo como un par de rayos con un mismo origen.

2. Ahora repita el ejercicio dibujando esta vez rectas, ra-yos, segmentos de recta y planos no similares.

Después de mostrar cómo dibujar rectas, rayos, seg-mentos de recta y planos no similares, discuta con los estudiantes sobre la diferencia entre estas fi guras.

3. En papel calcante, haga que trabajen la noción de trián-gulo, a través de sus propiedades geométricas.

4. Haga que los estudiantes construyan varias fi guras geométricas en cartulina y las recorten, para que luego demarquen sobre el piso el contorno de dichas fi guras, las deslicen sin girarlas y demarquen el contorno nue-vamente. Pregúnteles que relación encuentran entre la fi gura geométrica inicial y la fi nal.


En algunos casos se presentan difi cultades para:1. comprender que las fi guras pueden clasifi carse en di-

ferentes tipos.Alternativa:No le dé a sus estudiantes defi niciones acabadas para que las memoricen. Haga que lleguen a las defi niciones esti-mulándolos con preguntas adecuadas. Por ejemplo: lee la siguiente defi nición de altura de un triángulo:“Una altura de un triángulo es un segmento per-pendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene el lado opuesto”.Determina si las siguientes defi niciones son equiva-lentes a la defi nición anterior. Ilustra con dibujos tus respuestas: a. una altura de un triángulo es un segmento que va des-

de un vértice al lado opuesto. b. una altura de un triángulo es un segmento que va des-

de un vértice del triángulo al lado opuesto y es perpen-dicular a éste.

c. una altura de un triángulo es un segmento que es per-pendicular a uno de sus lados.

2. formular frases que muestren relaciones entre fi guras.Alternativa:

Escoja actividades que posibiliten procesos de construc-ción de conceptos geométricos que lo lleven a discernir entre las representaciones que encajan dentro de una de-fi nición y las que no.Dibuje varias rectas, rayos, segmentos de recta y planos que tengan características comunes. Trace un rayo y un segmento que sean subconjuntos de una recta dada. Gra-fi que después una segunda recta en el mismo papel y trace un rayo y un segmento de recta correspondientes a esa recta. Con estas dos rectas, construya el plano corres-pondiente, es decir, el plano que las contiene. Después de mostrar cómo dibujar rectas, rayos, segmentos de recta y planos similares, discuta con los estudiantes sobre la simi-litud entre estas fi guras.


Artes Por medio de la construcción de teselados, estudie propiedades de polígonos.


➔


A B

CD

1 2

3

ab

c

mn

o

r

43˚

65˚

[ 25 ]

Prueba Saber 1. Con respecto a los conceptos de punto, recta,

rayo y segmento puede decirse que:

a. no pueden defi nirse pues nadie ha visto un punto, ni una recta, ni un rayo, ni un segmento.

b. son conceptos que se intuyen pero que no pue-den defi nirse de manera explícita.

c. son ideas propias de la geometría que sólo se construyen pero no se defi nen porque no existen.

d. Puede defi nirse lo que es un punto pero no lo que es una recta, un segmento o un rayo.

2. si se tiene una recta paralela…

a. es posible construir otra que sea paralela a ella.

b. es posible trazar infi nitas rectas paralelas que pasen por un punto exterior a ella.

c. Es posible construir una y solamente una recta paralela que pase por un punto exterior a ella.

d. es imposible construir una recta paralela por un punto exterior a ella.

3. Un ángulo puede medirse con el uso de:a. una regla.b. un compás.c. un transportador.d. un termómetro.

4. Cuando dos rectas paralelas son atravesadas por una tercera recta siempre se obtienen:

a. cuatro ángulos rectos.b. ocho ángulos.c. diez ángulos.d. cuatro ángulos.

5. Con respecto a un rombo y un cuadrado puede afi rmarse que:

a. todo cuadrado es rombo.

b. todo rombo es cuadrado.

c. todo rombo es la mitad de un cuadrado.

d. todos los rombos y cuadrados tienen la misma área.

6. La información demuestra que el cuadrilátero es un trapecio, porque:

a. es una fi gura con cuatro lados rectos.

b. Los ángulos 2 y 3 son suplementarios y los ángu-los B y C también.

c. Los ángulos 1 y 3 son congruentes, los ángulos 1 y 2 son suplementarios, por lo tanto, si las rectas son paralelas los ángulos 2 y 3 deben ser suple-mentarios.

d. Todos los ángulos son agudos y hay dos lados paralelos.

7. En la fi gura, la medida del ángulo a, es:

a. 25º b. 15º c. 75º d. 10º

8. Dos ángulos suplementarios son:

a. m y o b. b y r c. o y c d. a y b

9. La medida del ángulo n es:

a. 52º b. 72º c. 62º d. 82º

10. La medida del ángulo c, es:

a. 120º b. 112º c. 95º d. 115º

Para cada una de las siguientes preguntas, elige la opción correcta:


[ 26 ]

Planeador unidad 7



propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Est

adís

tica

Pensamiento aleatorio y siste-mas de datos

• Comparar e

interpretar datos

provenientes de

diversas fuentes.

• Construir

diferentes tipos

de diagramas a

partir de una co-

lección de datos.

• Interpretar

diagramas y cal-

cular frecuencias,

medianas, modas

y medias a partir

de ellos.

• Conjeturar acerca

del resultado de

un experimento

aleatorio.

• Tablas y diagra-

mas obtenidos

de periódicos.

• Dados

• Fichas de domi-

nó.

Actividades de probabilidad en:

http://thales.

cica.es./rd/

Recursos/

rd98/Mate-

maticas/36/

matematicas-

36.html

http://www.

elosiodelosan-

tos.com

http://olmo.

pntic.mec.

es/~mrodri7

• Reconocimiento

de la relación

entre un conjun-

to de datos y su

representación.

• Interpretación,

producción y

comparación de

representaciones

gráfi cas adecua-

das para presen-

tar diversos tipos

de datos.

• Uso de medidas

de tendencia

central para

interpretar el

comportamiento

de un conjunto

de datos.

• Uso de modelos

para predecir la

posibilidad de

ocurrencia de un

evento.

Razonamiento• Interpreta la infor-

mación contenida

en una tabla o en un

diagrama.

Procedimientos• Construye diagra-

mas a partir de una

colección de datos.

• Calcula medidas de

tendencia central

de un conjunto de

datos.

• Predice y justifi ca

razonamientos

y conclusiones

usando información

estadística.


• Resuelve y formula

problemas a partir

de un conjunto de

datos presentados

en tablas y diagra-

mas.

Comunicación• Lee, datos, tablas

y diagramas con

comprensión.

• Describe correcta-

mente el compor-

tamiento de un

conjunto de datos.

Modelación• Evalúa diferentes

representaciones

gráfi cas de los mis-

mos datos.

Sociales

• Recolecte estadís-

ticas sobre movi-

mientos telúricos

en distintos lugares

del mundo.

• Interpretación de

encuestas y censos

poblacionales, ¿por

qué son útiles?

Ciencias

Estadísticas acerca

de la extinción de

algunos animales.

Educación

física y deportes

Récords del mun-

do.

Países más meda-

llistas.

Unidad 7 Estadística


[ 27 ]



• Inicie con una situación problema que sea de inte-rés. Por ejemplo, pregunte a sus estudiantes si han escuchado el comentario acerca de que hay más mujeres que hombres y que corresponden dos mu-jeres a cada hombre. Busque datos actualizados de la población por género en algunos países y elabore con ellos la tabla que represente los datos. Pregunte si la afi rmación dada es válida a la luz de las estadís-ticas o si pueden establecer otros tipos de relación reales.


1. Después de completar la tabla conduzca la discusión sobre el comentario inicial por medio de preguntas como las siguientes: ¿hay países donde son más nu-merosos los hombres?, ¿en cuáles países hay más mujeres?

2. Guíe a los estudiantes a elaborar un diagrama de do-ble barra haciéndoles ver que es más práctico para resolver este tipo de preguntas.

3. Hágales ver que se le debe colocar un título al gráfi -co y que éste debe describir su contenido de manera breve pero completa. También es importante especi-fi car la región, las unidades de medida, la fecha a la que corresponden los datos, etc.

C. Práctica

1. Motive a sus estudiantes para que elaboren encues-tas de gustos y preferencias sobre datos de interés para ellos. Oriéntelos a la organización de los resul-tados que obtienen, cuidando los detalles en cada diagrama que realicen.

2. Permita que con los datos que ellos mismos organi-zan, puedan hacer predicciones sobre la ocurrencia de eventos.



1. hallar la media ponderada de un conjunto de datos.

Alternativa:

Determinar un valor desconocido en un conjunto peque-ño de datos para obtener un valor medio dado haciendo un uso comprensivo del algoritmo, multiplicando el valor medio por el número de valores para hallar la suma total y de ahí, el valor faltante.

2. comprender el signifi cado de la media aritmética.

Alternativa:

Preguntar y refl exionar acerca de cuestiones como: ¿qué quiere decir que el número medio de niños por fa-milia es 2,3?, o ¿qué quiere decir que el salario promedio de un empleado sea $ 450 000?

Invite a los estudiantes a hallar la media de las edades de los integrantes del curso o de sus edades.

Pregunte si es posible hallar la media si se tienen datos cualitativos como color de los ojos, preferencias por un programa de televisión, etc.


Comercio

Proponga la creación de una cafetería escolar por gru-pos. Para la creación de la cafetería, cada grupo debe elaborar una encuesta sobre las preferencias de sus compañeros por la comida. Guíelos para que organicen la información en tablas, y para que la representen por medio de diagramas.

Con los resultados obtenidos, pida que calculen las me-didas de tendencia central para que escojan los produc-tos de más demanda y con ellos elaboren el inventario de las cosas que venderían.

Haga que escojan un nombre, un slogan y una imagen para la cafetería.

Oriéntelos para que tomen decisiones acerca de qué ti-pos de producto deben vender y a qué precio.

Revise el trabajo y formúleles preguntas en las que de-ban usar conceptos sencillos de probabilidad. Por ejem-plo, pregúnteles: Si Juan tiene $ 3 000, ¿qué combina-ciones puede hacer para comprar unas onces?, o, ¿cuál es la probabilidad de que “x” producto se venda más?


➔


Niñas

Les gusta

No les gusta

Niñas

Les gusta

No les gusta

Niñas

Les gusta

No les gusta

Niñas

Les gusta

No les gusta

[ 28 ]

Prueba SaberEl uso de Internet ha crecido de forma acelerada en la última década.

La tabla muestra las estadísticas del número de usuarios de Internet por regiones hasta 2007:

Región Usuarios de internet Población total

África 43 995 700 933 448 292Asia 459 476 825 3 712 527 624Europa 337 878 613 809 624 686Oriente Medio 33 510 500 193 452 727Norteamérica 234 788 864 334 538 018Latinoamérica/caribe 115 759 709 556 606 627Oceanía / Australia 19 039 390 34 468 443

1. De acuerdo con la información de la tabla, la canti-dad de personas que no usaron Internet en África hasta 2 007 fue:

a. 125 365 126 c. 889 452 592

b. 785 231 654 d. 988 478 360

2. La diferencia entre personas que no usaron Internet en Oriente Medio y Oceanía, es:

a. 159 942 227 c. 158 984 284

b. 15 429 053 d. 144 513 174

3. En una bolsa hay 3 bolas rojas y 6 azules. Ganas si sacas de la bolsa, con los ojos cerrados, una bola roja. ¿Qué tan probable es ganar?

a. es imposible.

b. es poco probable.

c. tienes el 50% de probabilidad de ganar.

d. tienes menos probabilidad de ganar que de perder.

4. A un grupo de niños y niñas se les preguntó si les gustaba o no las verduras. Los resultados se pre-sentan en la siguiente tabla:

Gusto

GéneroLes gusta No les gusta

Niños 15 25Niñas 10 30

¿Qué gráfi co representa de mejor manera la distribución entre niñas a las que les gusta y a las que no les gusta las verduras?

5. La tabla muestra los tipos de golosinas que tiene un tendero para regalar el día de los niños:

Golosinas para regalar

Tipo de golosina Cantidad de cada golosina

Chocolatinas 14Panelitas 13Bocadillos 14Bombones 16

¿Cuáles golosinas tienen la misma probabilidad de salir si se saca uno al azar y sin ver.

a. chocolatina y bombón. c. panelita y bocadillo.b. bocadillo y chocolatina. d. bombón y panelita.


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Este movimiento surgió a fi nes del siglo pasado con la fi nalidad de abordar una renovación de la educación y de la problemática escolar.

Es un movimiento educativo esencialmente prác-tico que se desarrolló, sobre todo, en escuelas privadas.

La concepción de la Escuela Nueva recoge ade-más del conjunto de teorías y principios de algu-nos autores (Rousseau, Pestalozzi, Flöbel...) que tendieron a replantearse las formas tradiciona-les de la enseñanza como consecuencia lógica de los progresos científi cos que se daban de forma rápida en aquella sociedad.

Surgió el interés por el estudio del niño en sus aspectos biológicos y psicológicos, y la refl exión en torno a los mecanismos para aprender y no sólo la preocupación para enseñar.

Es signifi cativa la escuela de Abbotsholome, creada por C. Reddie cuyas ideas básicas con-sistieron en que la escuela no debe ser un medio artifi cial separado de la vida, sino un pequeño mundo real, práctico que ponga a los alumnos en contacto con la naturaleza y la realidad de las cosas, y donde no sólo debe enseñarse la teoría de los fenómenos sino también su práctica.

Estas experiencias, ideas y progresos pedagó-gicos se propagaron con intensidad, y surgieron distintas escuelas que procuraban introducir cambios en su funcionamiento docente y a las que se les denominó nuevas.

La Escuela Nueva comenzó a reformularse las ideas de la escuela progresista en Estados uni-dos sobre los principios del pragmatismo peda-

gógico de Dewey, según los cuales la escuela es una sociedad viva y sus planteamientos básica-mente sociales: hay que preparar al alumno para la vida y familiarizarse con el medio social.

Principios pedagógicos

Los principios pedagógicos en torno a los cuales se organizan los distintos métodos y técnicas de la Escuela Nueva son:

La individualización: Individualizar la enseñan-za es respetar al niño en sus aptitudes y capa-cidades para que él mismo desde dentro pueda desarrollar lo mejor de sí mismo y ponerse en si-tuación dinámica de aprendizaje y de responsa-bilidad. Se trata de una educación que toma en cuenta las peculiaridades individuales sin negar la socialización.

La socialización: Esta pedagogía pretende educar al individuo para la sociedad y surge de la radical necesidad de asociarse para vivir, desarrollarse y perfeccionarse. A través de actividades escolares realizadas en grupos se desarrollan en el alumno hábitos positivos de convivencia y cooperación social que le preparan para la vida misma.

La globalización de la enseñanza: Comienza a surgir la enseñanza por el todo organizada con un criterio unitario y totalizador. Como los suje-tos perciben las cosas en su totalidad los con-tenidos de la enseñanza, se deben organizar en unidades globales o centros de interés para el alumno.

La autoeducación: Considera al niño el centro de toda la actividad escolar y la causa principal de su saber.

El movimiento pedagógico de la escuela nueva


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La Programación Neurolingüística es un modelo de comunicación conformado por una serie de técnicas, cuyo aprendizaje y práctica están en-focados al desarrollo humano.

Estudia cómo nos comunicamos con nosotros mismos (comunicación intrapersonal) y por ende cómo nos comunicamos con otros (comu-nicación interpersonal).

La Programación Neurolingüística (PNL) es una escuela de pensamiento pragmático que sostiene que en última instancia toda conducta humana se desarrolla sobre una “estructura” o “plantilla de pensamiento” aprendida, la cual puede ser detec-tada para ser modelada (copiada) por otras perso-nas y obtener con ello similares resultados.

La PNL sostiene que es posible cambiar o repro-gramar esta estrategia o plantilla de pensamien-to, si es que hay algo que limite o para potenciar algún recurso, comportamiento o creencia, con el fi n mejorar la calidad de vida.

La PNL defi ne tres elementos como constitu-yentes claves de la conducta humana:

El sistema nervioso (el soporte neurológico).

El lenguaje que sirve para la comunicación externa e interna (con uno mismo) es verbal y no verbal.

La conducta que se puede aprender.

Es difícil establecer una defi nición concluyente de PNL.

Algunos la defi nen como el arte y la «ciencia» de la excelencia personal.

Un objetivo de la PNL es el de construir nuevas opciones de aprendizaje.

La PNL explica el proceso de aprendizaje de un proceso en una serie de etapas por las que pasa el individuo que aprende:

1. Incompetencia inconsciente (No se sabe qué es un coche y, mucho menos, conducirlo).

2. Incompetencia consciente (momento en el que más se aprende. El conductor es consciente de que no sabe conducir y lo intenta).

3. Competencia consciente (El conductor ya sabe conducir y presta demasiada aten-ción al proceso como embrague, intermi-tentes, palanca de cambio de marchas...).

4. Competencia inconsciente (Se libera la atención del consciente. El individuo rea-liza la acción sin ser prácticamente cons-ciente y puede dirigir así su atención para otras cosas. Así vemos a un conductor ha-blar, escuchar música, fumar, etc., mien-tras conduce).

La PNL es el estudio de la estructura de la ex-periencia subjetiva. Es el estudio de cómo hace-mos modelos. Hace referencia al “proceso”,no trabaja con contenidos

Acerca De La Programación Neurolingüística


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Glosario básico de términos de evaluación educativa

Competencia

“Es la manifestación en la actuación (desempeños) de los conocimientos y la inteligencia en determinado con-texto, siendo la inteligencia ‘un potencial bio-psicológi-co’ para procesar información que sirve para resolver problemas o crear productos.

Currículo

“Es el conjunto de criterios, planes de estudio, meto-dologías y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural na-cional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto educativo insti-tucional.”

Educación Básica

La Educación Básica corresponde a la identifi cada en el artículo 356 de la Constitución Política como educación básica obligatoria, la cual es desarrollada en dos ciclos: el de educación primaria y el de educación secundaria. Comprende nueve (9) grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado por las áreas funda-mentales del conocimiento y de la actividad humana.

Educación formal

Se entiende por educación formal aquella que se im-parte en establecimientos educativos aprobados, en una secuencia regular de ciclos lectivos, con sujeción a pautas curriculares progresivas, y conducente a grados y títulos.

La educación formal a que se refi ere la ley 115, se orga-niza en tres (3) niveles:

• El Preescolar: Comprende mínimo un grado obligato-rio.

• La Educación Básica: Con una duración de nueve (9) grados que se desarrolla en dos ciclos:

• La Educación Básica Primaria de cinco (5) grados.

• Educación Básica Secundaria de cuatro (4) grados.

Educación media

La educación media constituye la culminación, conso-lidación y avance en el logro de los niveles anteriores y comprende dos grados, el décimo (10°) y el undécimo (11°). Tiene como fi n la comprensión de las ideas y los valores universales y la preparación para el ingreso del educando a la educación superior y al trabajo.

Educación media académica

La educación media académica permite preparar al es-tudiante, según sus intereses y capacidades, profundi-zar en un campo específi co de las ciencias, las artes o las humanidades y acceder a la educación superior.

Educación media técnica

La educación media técnica permite preparar a los estudiantes para el desempeño laboral en uno de los sectores de la producción y de los servicios, y para la continuación de la educación superior.

Educación no formal

La educación no formal es la que se ofrece con el objeto de complementar, actualizar, suplir conocimientos y for-mar, en aspectos académicos o laborales sin sujeción al sistema de niveles y grados establecidos en art. 11 de la Ley General de Educación.

Educación para grupos étnicos

Se entiende por educación para grupos étnicos la que se ofrece a grupos o comunidades que integran la na-cionalidad y que posean una cultura, una lengua, unas tradiciones y unos fueros propios y autóctonos. Esta educación debe estar ligada al ambiente, al proceso productivo, al proceso social y cultural, con el debido respeto de sus creencias y tradiciones.

Educación Preescolar

La educación preescolar corresponde a la que se ofrece al niño y la niña para su desarrollo integral en los aspec-tos biológico, cognoscitivo, psicomotriz, socio-afectivo y espiritual, a través de experiencias de socialización pedagógicas y recreativas. Esta educación comprende por lo menos un grado obligatorio.

Equipo de gestión institucional

El equipo de gestión institucional es el grupo de directi-vos y docentes con aptitudes complementarias. Se con-sideran responsables y se basan en un muy buen nivel de confi anza. Está dedicado al logro del mejoramiento de los resultados de la acción educativa. Actúa en torno a un conjunto de metas de desempeño comunes y un mismo método de trabajo.

Estándar de contenido

"Lo que los profesores debieran enseñar y lo que se espe-ra que los estudiantes aprendan, en descripciones claras y específi cas sobre habilidades y conocimientos."


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Estándares básicos de competencias

"Son niveles básicos de competencia que los estudian-tes deben alcanzar en determinada área y en determi-nado conjunto de grados."

Estándares curriculares

"Son criterios que especifi can lo que los estudiantes deben saber y ser capaces de hacer."

Estándar de desempeño

"Defi nen grados de dominio o niveles de logro y respon-den a la pregunta ¿Cuán bueno es lo sufi cientemente bueno? Describen qué clase de desempeño representa un logro inadecuado, aceptable, o sobresaliente."

Estándar de oportunidad

"Defi nen la disponibilidad de los recursos que las es-cuelas, distritos y el estado proporcionan para que los estudiantes puedan alcanzar los estándares de conte-nido y de desempeño."

Evaluación de competencias básicas

Eje de la estrategia para el mejoramiento de la calidad de la educación. Establece los estándares de compe-tencias que los estudiantes y las estudiantes deben al-canzar en las áreas de lenguaje, matemáticas y ciencias naturales, para conocer qué tan lejos están los niños y jóvenes de que aprendan lo que deben aprender.

Indicador de logro

"Son indicios, señales, rasgos o conjuntos de rasgos, da-tos e informaciones perceptibles que si se confrontan con lo que se espera, pueden considerarse como evidencias signifi cativas de la evolución del desarrollo humano."

Lineamientos curriculares

Son el fundamento pedagógico, fi losófi co y epistemo-lógico de las áreas del conocimiento. "Con ellos se pre-tende atender la necesidad de orientaciones y criterios nacionales sobre los currículos, sobre la función de las áreas y sobre nuevos enfoques para comprenderlas y enseñarlas."

Plan de área: Es el "mapa de navegación" de cada una de las áreas del conocimiento, donde se estructuran y explican, entre otros, los siguientes aspectos:

1. Antecedentes

2. Sentido

3. Estructura

4. Ejes

5. Contenidos: Estándares, competencias básicas, logros.

6. Metodología

7. Evaluación: Aspectos e instrumentos, estándares de desempeño.

8. Planes para estudiantes con difi cultades.

9. Recursos.

Plan de estudios: Es el esquema estructurado de las áreas obligatorias y optativas con sus respectivas asig-naturas que forman parte del currículo. Debe contener al menos los siguientes aspectos:

1. La intención e identifi cación de los contenidos de cada área.

2. Las correspondientes actividades pedagógicas.

3. La distribución del tiempo del proceso educativo.

4. Los logros, competencias y conocimientos.

5. Los criterios y procedimientos para evaluar el aprendizaje y el desarrollo de capacidades.

6. Planes para estudiantes con difi cultades en su aprendizaje.

7. La metodología aplicable a cada una de las áreas.

8. Indicadores de desempeño para auto evaluación institucional.

Plan de mejoramiento institucional

Es una herramienta gerencial de mejoramiento institu-cional, con la cual es posible reorientar el camino de la institución educativa hacia unos propósitos y resulta-dos queridos y acordados, a partir de una caracteriza-ción y priorización de los problemas más sentidos de la institución.

Rotación de estudiantes

Es un sistema pedagógico de optimización de todos los espacios físicos de una institución educativa, que busca mejorar la calidad y la cobertura mediante la or-ganización y administración de aulas por áreas del co-nocimiento, que responden a un diseño institucional, de grado y de área.


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