fortalece antioquia matematicas_8 sep12
TRANSCRIPT
8
“Estoy segura de que entendería las matemáticas si entendiera las
palabras con que me las explican”. Berta, ocho años.
José Antonio Marina.
8
Expresiones Algebraicas
Iré donde Diocelina Matemáticas
8
Contenidos
• Expresiones Algebraicas
• Valor numérico de una expresión
• Monomios
• Ecuaciones
8
Objetivos
• Simplificar expresiones algebraicas utilizando las operaciones entre variables y coeficientes
• Identificar variables y coeficientes en un problema cotidiano
• Plantear ecuaciones que permitan resolver un problema cotidiano e interpretar su solución
8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
Vamos a ayudar a Janeth a interpretar lo que le dice Diocelina.
Janeth es una joven Antioqueña que tiene problemas económicos en su casa, le da
miedo hablarle al joven que le gusta y le está yendo mal en matemáticas en el colegio.
8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
Por consejo de una tía, Janeth decide ir donde Diocelina Matemáticas.
Diocelina es una adivina que encuentra soluciones a cualquier problema, pero todos los consejos de Diocelina se deben descifrar
utilizando matemáticas.
8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las expresiones algebraicas correspondientes a los materiales de una pijama
• Monomios: Simplificaremos las expresiones algebraicas de los materiales de las pijamas
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales: Cuál es la edad de Carlos
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas horas debe estudiar Janeth?
8
Conozcamos a Diocelina y a Janeth.
Veamos el video.
8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las expresiones algebraicas correspondientes a los materiales de una pijama
• Monomios: Simplificaremos las expresiones algebraicas de los materiales de las pijamas
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales: Cuál es la edad de Carlos
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas horas debe estudiar Janeth?
8
¿Qué le dice Diocelina a Janeth acerca de sus problemas
económicos?
Veamos el video.
8
Expresiones algebraicas
Es una expresión matemática en la que se utilizan letras, números y signos de
operaciones para reflejar la relación que existe entre varias magnitudes.
Por ejemplo: 5𝑥2 − 𝑥𝑦2 + 8𝑥3𝑦3
8
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se reemplazan las letras por números y se
realizan las operaciones indicadas se obtiene un resultado que se denomina
valor numérico de la expresión algebraica.
8
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en la expresión algebraica 5𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 8𝑥3𝑦3
reemplazamos 𝑥 por 2 y reemplazamos 𝑦 por 3 obtenemos
5𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 8𝑥3𝑦3 5(2)2(3)2−(2)(3)2+8(2)3(3)3 5 4 9 − 2 9 + 8 8 27
180 − 18 + 1728 1890
8
Monomios
Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables y las constantes son el producto y la potencia con exponente un número natural.
Ejemplo: 3𝑥𝑦
Parte literal. Coeficiente.
8
Monomios
Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables y las constantes son el producto y la potencia con exponente un número natural.
Ejemplo: 4𝑎3𝑏
Parte literal. Coeficiente.
8
Monomios Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Los monomios 2𝑎𝑥3𝑦2, −4𝑎𝑥3𝑦2 y 9𝑎𝑥3𝑦2 son semejantes.
Los monomios 5𝑎𝑥3𝑦2y −𝑎𝑥3𝑦 no son semejantes.
8
Suma y resta de monomios Para poder sumar o restar dos monomios deben ser semejantes y, en este caso, se suman o restan los coeficientes. Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada.
Por ejemplo 3𝑥3𝑦2 − 2𝑥3𝑦2 = 𝑥3𝑦2
5𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦2 = 5𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦2
8
Producto de monomios Se multiplican los signos, los coeficientes y las potencias que tengan la misma base.
Por ejemplo 4𝑎3𝑏2𝑐 −2𝑏3𝑐2 = −8𝑎3𝑏5𝑐3
8
¿Dónde encontramos expresiones algebraicas?
Para representar un problema de la vida real utilizando expresiones algebraicas debemos comprender cuáles son los parámetros del problema, cuáles son conocidos y cuáles
desconocidos.
Los parámetros que son conocidos estarán representados por los coeficientes y los
desconocidos estarán representados por las variables.
8
¿Qué está diciendo Diocelina? Veo que dentro de tu familia una persona sabe coser y pijamas puede empezar a hacer.
Para que el negocio pueda florecer cuidado con los gastos deben tener.
Algodón y seda usarán para las pijamas fabricar.
Un pantalón y una camisa todas tendrán.
El pantalón tiene mucha piel por cubrir, así que con la tela de dos camisas un pantalón se puede construir.
Con esta información y lo que sepas de tu capital, decidirás cuánta tela comprar.
Actividad 1
8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Un pantalón y una camisa todas tendrán.
El pantalón tiene mucha piel por cubrir, así que con la tela de dos camisas un pantalón se puede construir.”
𝑥 cantidad de tela para una pantalón.
𝑦 cantidad de tela para una camisa.
Como un pantalón necesita el doble de tela que una camisa tenemos que
𝑥 = 2𝑦
Actividad 1
8
2minutos
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Los botones evitan las tentaciones.
Si sensatos ustedes son, harán buen uso de cada botón.
Seis botones tendrán para cuatro pijamas decorar.
No todos los botones iguales serán,
Grandes y pequeños deberán comprar.
Dos tercios del total deben ser grandes y sobre el resto ya sabes.”
¿Cuáles variables identificas? ¿Con cuáles expresiones
algebraicas puedes representar lo que dice Diocelina?
Actividad 1
8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Seis botones tendrán para cuatro pijamas decorar.
Grandes y pequeños deberán comprar.
Dos tercios del total deben ser grandes y sobre el resto ya sabes.”
2minutos
Actividad 1
8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Con el hilo debes coser un bolsillo en cada pijama.
Y todo debe ser hecho con el alma.
Un rectángulo es la forma usual y el perímetro debes calcular.
Para la altura del bolsillo encontrar, las matemáticas vas a trabajar.
Cinco veces el cuadrado de un número igualarás a la edad de tu mamá.
Después debes saber que tres medios de la altura la base debe tener.”
¿Cuáles variables identificas? ¿Con cuáles expresiones algebraicas puedes representar lo que dice Diocelina?
2minutos
Actividad 1
8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Un rectángulo es la forma usual y el perímetro debes calcular.
Para la altura del bolsillo encontrar.
Cinco veces el cuadrado de un número igualarás a la edad de tu mamá.
Después debes saber que tres medios de la altura la base debe tener.”
Actividad 1
8
Ahora que tenemos las expresiones algebraicas correspondientes a la tela, el hilo y los botones
identifica cuáles monomios son semejantes y cuales no.
Pijamas: 𝑥 = 2𝑦
Total de tela para las pijamas 𝑥 + 𝑦 2𝑦 + 𝑦
1 minuto
Actividad 2
8
Ahora que tenemos las expresiones algebraicas correspondientes a la tela, el hilo y los botones
identifica cuáles monomios son semejantes y cuales no.
Total de botones grandes 2
3𝑧
Total de botones pequeños 1
3𝑧
1 minuto
Actividad 2
8
Ahora que tenemos las expresiones algebraicas correspondientes a la tela, el hilo y los botones identifica cuáles monomios son semejantes y
cuales no.
Hilo. 5 𝑥2 + 1 = 50
3
2𝑥 + 𝑥 +
3
2𝑥 + 𝑥 = 𝑤
1 minuto
Actividad 2
8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las expresiones algebraicas correspondientes a los materiales de una pijama.
• Monomios: Simplificaremos las expresiones algebraicas de los materiales de las pijamas.
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales: Cuál es la edad de Carlos.
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas horas debe estudiar Janeth?
8
Veamos ahora en el video qué le dice Diocelina a Janeth
acerca del joven que le gusta.
8
Ecuaciones Es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas.
Por ejemplo, la siguiente expresión es una ecuación.
𝑥 + 𝑦 = 3 + 2𝑥 Miembros
de la ecuación.
8
Clasificación de las ecuaciones
Clasificación de acuerdo al grado.
Una ecuación de grado n, es una ecuación en la que el monomio de mayor grado tiene grado n.
La ecuación 𝑥 + 𝑦 = 3 + 2𝑥 tiene grado 1.
La ecuación 𝑎2 + 3 = 𝑏 − 27 tiene grado 2.
8
Clasificación de las ecuaciones
Clasificación de acuerdo al grado.
Una ecuación de grado n, es una ecuación en la que el monomio de mayor grado tiene grado n.
Cuando una ecuación tiene grado 1 se dice que es
lineal; cuando tiene grado 2 decimos que es cuadrática y cuando tiene grado 3 decimos que es
una ecuación cúbica.
8
Clasificación de las ecuaciones
Clasificación de acuerdo al número de variables.
La ecuación 𝑥 + 𝑦 = 3 + 2𝑥 es una ecuación de dos variables.
La ecuación 𝑎2 + 3 = 27 es una ecuación de una variable.
8
¿Cuáles son las ecuaciones para la edad de Carlos?
• Si a la edad de Carlos le restas tres años obtendrás el doble de la edad que tenías hace 4
años.
• Pero eso no me soluciona nada yo tengo 17 años…
2 minutos
Actividad 3
8
Retomemos el problema de las pijamas.
¿Cuáles ecuaciones puedes plantear si sabemos que la mamá de Janeth dispone de 100 metros
de tela, y la mamá de Janeth tiene 50 años?
2 minutos
Actividad 3
8
¿Qué significa resolver ecuaciones?
Resolver una ecuación significa encontrar un conjunto de valores para las variables, de forma tal que se satisfaga la igualdad que define la ecuación.
Por ejemplo, para la ecuación lineal de una variable
𝑧 = 4𝑧 +3
11
Una solución es 𝑧 = −1
11.
8
¿Qué significa resolver ecuaciones?
𝑧 = 4𝑧 +3
11
Una solución es 𝑧 = −1
11.
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
Para resolver una ecuación lineal de una variable hacemos los siguientes pasos:
1. Eliminación de denominadores.
2. Eliminación de paréntesis.
3. Transposición de términos.
4. Reducción de términos semejantes.
5. Despeje de la variable.
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
1. Eliminación de denominadores. 3
5𝑥 = −
7
4𝑥 + 2
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
2. Eliminación de paréntesis. 4 3𝑥 + 5 7𝑥 = 2(4)(5)
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
2. Eliminación de paréntesis. 4 3𝑥 = 5 (−7)𝑥 + 2(4)(5)
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
3. Transposición de términos. 12𝑥 = −35𝑥 + 40
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
4. Reducción de términos semejantes. 12𝑥 + 35𝑥 = 40
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
4. Despeje de la variable. 47𝑥 = 40
8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
Veamos otro ejemplo. 3𝑥 + 8 = −2𝑥 + 18
8
Resuelve la ecuación que encontraste en la actividad anterior para hallar la edad de Carlos.
Actividad 5
8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las expresiones algebraicas correspondientes a los materiales de una pijama.
• Monomios: Simplificaremos las expresiones algebraicas de los materiales de las pijamas.
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales: Cuál es la edad de Carlos.
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas horas debe estudiar Janeth?
8
Veamos ahora qué le dice Diocelina a Janeth para que le
vaya mejor en matemáticas en el colegio.
8
Solución de una ecuación cuadrática de una variable
Las ecuaciones cuadráticas generalmente tienen la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Y tienen dos soluciones. Para hallarlas usamos la fórmula
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
8
Solución de una ecuación cuadrática de una variable
Resolvamos la ecuación 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0
Tenemos que 𝑎 = 1, b = 3 y 𝑐 = 2. Por lo tanto
𝑥 =−3 ± 32 − 4(1)(2)
2(1)
8
Solución de una ecuación cuadrática de una variable
𝑥 =−3 ± 32 − 4(1)(2)
2(1)
𝑥 =−3 ± 9 − 8
2
La primera solución es 𝑥 =−3+1
2=
−2
2= −1
La segunda solución es 𝑥 =−3−1
2=
−4
2= −2
8
Plantea la ecuación correspondiente al horario de Janeth . Después halla la solución.
“Un número debes encontrar… A su cuadrado su doble y su triple debes restar. A este resultado un
seis debes adicionar como resultado un cero obtendrás.”
2 minutos
Actividad 6
8
“Un número debes encontrar… A su cuadrado su doble y su triple debes restar. A este resultado un
seis debes adicionar como resultado un cero obtendrás.”
𝑥2 − 2𝑥 − 3𝑥 + 6 = 0
Actividad 6
8
Formen grupos de tres personas.
Miren atentamente la consulta de otro cliente de Diocelina: Marcos.
Cada integrante del grupo ayudará a Marcos a resolver una de las tres preguntas que tiene.
Veamos el video.
Actividad Grupal
8
Formen grupos de tres personas.
Primer problema: ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
“A Marta le corresponde el doble que a Fermín… a Marcos le corresponden 2000 más
que a Marta.”
“lo importante es que reunimos 54000 pesitos para la comida”
Actividad Grupal
8
Formen grupos de tres personas.
Primer problema: ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Actividad Grupal
8
Segundo problema: ¿Cuánta comida deben llevar?
“Nosotros habíamos pensado en latas de atún, algo de pan, algo de tomar como botellas de agua,
de gaseosa y de jugo. Ahhh y también habíamos pensado en llevar galletas y dulces, para ponerle
sabor a la vida.”
“Se deben llevar sólo 20 elementos. Se llevan tantos panes como galletas. Una lata de atún se
come bien con dos panes. Y un par de dulces cada uno se puede comer.”
Actividad Grupal
8
Segundo problema: ¿Cuánta comida deben llevar?
Actividad Grupal
8
Segundo problema: ¿Cómo son los manteles que deben llevar?
“Si el mantel es rectangular, el alto cinco unidades menos que el ancho tendrá. Si el mantel es triangular, la altura y la base 9,3 metros deben sumar. Si un trapecio es el mantel, tres magnitudes vas a tener. La base mayor tu parámetro será y la base menor tres quintos de ella medirá, la altura tendrá sólo un cuarto de la base mayor del trapecio que usarás.”
“El área que tenemos para hacer el picnic es de 20 metros cuadrados.”
Actividad Grupal
8
Segundo problema: ¿Cómo son los manteles que deben llevar?
Actividad Grupal
8
“Estoy segura de que entendería las matemáticas si entendiera las
palabras con que me las explican”. Berta, ocho años.
José Antonio Marina.