fortescue symmetrical component

8/2/2019 Fortescue Symmetrical Component

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P r e s e n t e d a t t h e 3 4 t h A n n u a l C o n v e n t i o n o ft h e A m e r i c a n I n s t i t u t e o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r s ,

A t l a n t i c C i t y , N . J . , J u n e 2 8 , 1 9 1 8 .

C o p y r i g h t 1 9 1 8 . By A . I . E . E .

METHOD OF SYMMETRICAL CO-ORDINATES APPLIEDTO THE SOLUTION OF POLYPHASE NETWORKS

BY C . L . FORTESCUE

ABSTRACT O F PAPERI n t h e i n t r o d u c t i o n a g e n e r a l d i s c u s s i o n o f u n s y m m e t r i c a l

s y s t e m s o f c o - p l a n a r v e c t o r s l e a d s t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e ymay b e r e p r e s e n t e d b y s y m m e t r i c a l s y s t e m s o f t h e s a m e numbero f v e c t o r s , t h e number o f s y m m e t r i c a l s y s t e m s r e q u i r e d t o d e f i n et h e g i v e n s y s t e m b e i n g e q u a l t o i t s d e g r e e s o f f r e e d o m . A f e wt r i g o n o m e t r i c a l t h e o r e m s w h i c h a r e t o b e u s e d i n t h e p a p e r a r ec a l l e d t o m i n d . The p a p e r i s s u b d i v i d e d i n t o t h r e e p a r t s , a na b s t r a c t o f w h i c h f o l l o w s . I t i s r e c o m m e n d e d t h a t o n l y t h a tp a r t o f P a r t I u p t o f o r m u l a ( 3 3 ) a n d t h e p o r t i o n d e a l i n g w i t hs t a r - d e l t a t r a n s f o r m a t i o n s b e r e a d b e f o r e p r o c e e d i n g w i t h P a r t I I .

P a r t I d e a l s w i t h t h e r e s o l u t i o n o f u n s y m m e t r i c a l g r o u p s o fn u m b e r s i n t o s y m m e t r i c a l g r o u p s . T h e s e n u m b e r s may r e p r e -s e n t r o t a t i n g v e c t o r s o f s y s t e m s o f o p e r a t o r s . A n ew o p e r a t o rt e r m e d t h e s e q u e n c e o p e r a t o r i s i n t r o d u c e d w h i c h s i m p l i f i e s t h em a n i p u l a t i o n . F o r m u l a s a r e d e r i v e d f o r t h r e e - p h a s e c i r c u i t s .S t a r - d e l t a t r a n s f o r m a t i o n s f o r s y m m e t r i c a l c o - o r d i n a t e s a r e g i v e na n d e x p r e s s i o n s f o r p o w e r d e d u c e d . A s h o r t d i s c u s s i o n o f h a r -m o n i c s i n t h r e e - p h a s e s y s t e m s i s g i v e n .

P a r t I I d e a l s w i t h t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d t os y m m e t r i c a l r o t a t i n g m a c h i n e s o p e r a t i n g o n u n s y mm e t r i c a lc i r c u i t s . G e n e r a l f o r m u l a s a r e d e r i v e d a n d s u c h s p e c i a l c a s e s ,a s t h e s i n g l e - p h a s e i n d u c t i o n m o t o r , s y n c h r o n o u s m o t o r - g e n e r a -

t o r , p h a s e c o n v e r t e r s o f v a r i o u s t y p e s , a r e d i s c u s s e d .

I N T R O D U C T I O N

IN THE l a t t e r p a r t o f 1 9 1 3 t h e w r i t e r h a d o c c a s i o n t o i n v e s t i -g a t e m a t h e m a t i c a l l y t h e o p e r a t i o n o f i n d u c t i o n m o t o r s u n d e r

u n b a l a n c e d c o n d i t i o n s . T h e w o r k w a s f i r s t c a r r i e d o u t , h a v i n gp a r t i c u l a r l y i n m i n d t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e o p e r a t i n g c h a r -

a c t e r i s t i c s o f p h a s e c o n v e r t e r s w h i c h may b e c o n s i d e r e d a s a

p a r t i c u l a r c a s e o f u n b a l a n c e d m o t o r o p e r a t i o n , b u t t h e s c o p eo f t h e s u b j e c t b r o a d e n e d o u t v e r y q u i c k l y a n d t h e w r i t e r u n d e r -t o o k t h i s p a p e r i n t h e b e l i e f t h a t t h e s u b j e c t w o u l d b e o f i n t e r e s tt o m a n y .

Th e m o s t s t r i k i n g t h i n g a b o u t t h e r e s u l t s o b t a i n e d w a s t h e i rs y m m e t r y ; t h e s o l u t i o n a l w a y s r e d u c e d t o t h e sum o f t w o o r

more s y m m e t r i c a l s o l u t i o n s . The w r i t e r w a s t h e n l e d t o i n -

q u i r e i f t h e r e w e r e n o g e n e r a l p r i n c i p l e s b y w h i c h t h e s o l u t i o no f u n b a l a n c e d p o l y p h a s e s y s t e m s c o u l d b e r e d u c e d t o t h e s o l u -1 0 2 7



1 0 2 8 FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES [ J u n e 2 8

t i o n o f t w o o r m o r e b a l a n c e d c a s e s . Th e p r e s e n t p a p e r i s a ne n d e a v o r t o p r e s e n t a g e n e r a l m e t h o d o f s o l v i n g p o l y p h a s e

n e t w o r k w h i c h h a s p e c u l i a r a d v a n t a g e s w h e n a p p l i e d t o t h et y p e o f p o l y p h a s e n e t w o r k s w h i c h i n c l u d e r o t a t i n g m a c h i n e s .I n p h y s i c a l i n v e s t i g a t i o n s s u c c e s s d e p e n d s o f t e n o n a h a p p y

c h o i c e o f c o - o r d i n a t e s . An e l e c t r i c a l n e t w o r k b e i n g a d y n a m i cs y s t e m s h o u l d a l s o b e a i d e d b y t h e s e l e c t i o n o f a s u i t a b l e s y s t e mo f c o - o r d i n a t e s . T h e c o - o r d i n a t e s o f a s y s t e m a r e q u a n t i t i e sw h i c h w h e n g i v e n , c o m p l e t e l y d e f i n e t h e s y s t e m . T h u s a s y s t e mo f t h r e e c o - p l a n a r c o n c u r r e n t v e c t o r s a r e d e f i n e d when t h e i rm a g n i t u d e a n d t h e i r a n g u l a r p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o s o m e f i x e dd i r e c t i o n a r e g i v e n . S u c h a s y s t e m may b e s a i d t o h a v e s i xd e g r e e s o f f r e e d o m , f o r e a c h v e c t o r may v a r y i n m a g n i t u d e a n dp h a s e p o s i t i o n w i t h o u t r e g a r d t o t h e o t h e r s . I f , h o w e v e r , wei m p o s e t h e c o n d i t i o n t h a t t h e v e c t o r sum o f t h e s e v e c t o r s s h a l lb e z e r o , we f i n d t h a t w i t h t h e d i r e c t i o n o f o n e v e c t o r g i v e n ,t h e o t h e r t w o v e c t o r s a r e c o m p l e t e l y d e f i n e d w h e n t h e i r m a g n i -

t u d e a l o n e i s g i v e n , t h e s y s t e m h a s t h e r e f o r e l o s t t w o d e g r e e so f f r e e d o m b y i m p o s i n g t h e a b o v e c o n d i t i o n w h i c h i n d y n a m i c a lt h e o r y i s t e r m e d a " c o n s t r a i n t " . I f we i m p o s e a f u r t h e r c o n -d i t i o n t h a t t h e v e c t o r s b e s y m m e t r i c a l l y d i s p o s e d a b o u t t h e i rcommon o r i g i n t h i s s y s t e m w i l l now h a v e b u t t w o d e g r e e s o ff r e e d o m .

I t i s e v i d e n t f r o m t h e a b o v e d e f i n i t i o n t h a t a s y s t e m o f nc o p l a n a r c o n c u r r e n t v e c t o r s may h a v e 2 n d e g r e e s o f f r e e d o m a n d

t h a t a s y s t e m o f n s y m m e t r i c a l l y s p a c e d v e c t o r s o f e q u a l m a g -n i t u d e h a s b u t t w o d e g r e e s o f f r e e d o m . I t s h o u l d b e p o s s i b l et h e n b y a s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n t o d e f i n e t h e s y s t e m o f na r b i t r a r y c o n g r u e n t v e c t o r s b y n o t h e r s y s t e m s o f c o n c u r r e n tv e c t o r s w h i c h a r e s y m m e t r i c a l a n d h a v e a common p o i n t . T h en s y m m e t r c a l s y s t e m s s o o b t a i n e d a r e t h e s y m m e t r i c a l c o -o r d i n a t e s o f t h e g i v e n s y s t e m o f v e c t o r s a n d c o m p l e t e l y d e f i n e

i t . T h i s m e t h o d o f r e p r e s e n t i n g p o l y p h a s e s y s t e m s h a s b e e ne m p l o y e d i n t h e p a s t t o a l i m i t e d e x t e n t , b u t u p t o t h e p r e s e n tt i m e t h e r e h a s b e e n a s f a r a s t h e a u t h o r i s a w a r e n o s y s t e m a t i cp r e s e n t a t i o n o f t h e m e t h o d . The w r i t e r h o p e s b y t h i s p a p e r t oi n t e r e s t o t h e r s i n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d , w h i c h w i l l b ef o u n d t o b e a v a l u a b l e i n s t r u m e n t f o r t h e s o l u t i o n o f c e r t a i nc l a s s e s o f p o l y p h a s e n e t w o r k s .

I n d e a l i n g w i t h a l t e r n a t i n g c u r r e n t s i n t h i s p a p e r , u s e i smade o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e w h i c h i n i t s m o s t g e n e r a l f o r m



1 9 1 8 1 FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES 1 0 2 9

may b e r e p r e s e n t e d a s a v e c t o r o f v a r i a b l e l e n g t h r o t a t i n g a b o u ta g i v e n p o i n t a t v a r i a b l e a n g u l a r v e l o c i t y o r b e t t e r a s t h e r e -

s u l t a n t o f a n u m b e r o f v e c t o r s e a c h o f c o n s t a n t l e n g t h r o t a t i n ga t d i f f e r e n t a n g u l a r v e l o c i t i e s i n t h e s a m e d i r e c t i o n a b o u t a

g i v e n p o i n t . T h i s v e c t o r i s r e p r e s e n t e d i n t h e t e x t b y I , E ,e t c . , a n d t h e c o n j u g a t e v e c t o r w h i c h r o t a t e s a t t h e s a m e s p e e di n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n i s r e p r e s e n t e d b y f , E , e t c . The e f f e c -t i v e v a l u e o f t h e v e c t o r i s r e p r e s e n t e d b y t h e s y m b o l w i t h o u tt h e d i s t i n g u i s h i n g mark a s I , E , e t c . Th e i m p e d a n c e s Z a , Z b ,Z a b , e t c . , a r e g e n e r a l i z e d e x p r e s s i o n s f o r t h e s e l f a n d m u t u a l

i m p e d a n c e s . F o r a c i r c u i t A t h e s e l f - i m p e d a n c e o p e r a t o r w i l lb e d e n o t e d b y Z a a o r Z a I n t h e c a s e o f t w o c i r c u i t s A a n d Bt h e s e l f i m p e d a n c e o p e r a t o r s w o u l d b e Z a a Z b b a n d t h e m u t u a li m p e d a n c e o p e r a t o r Z a b . T h e s u b l e t t e r s d e n o t e t h e c i r c u i t s t ow h i c h t h e o p e r a t o r s a p p l y . T h e s e o p e r a t o r s a r e g e n e r a l l y

df u n c t i o n s o f t h e o p e r a t o r , D = d t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f

t h e c i r c u i t ; t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s a r e c o n s t a n t s o n l y w h e n t h e r ei s n o p h y s i c a l m o t i o n . I t w i l l t h e r e f o r e b e n e c e s s a r y t o c a r e -f u l l y d i s t i n g u i s h b e t w e e n Z a 7 a a n d I a Z a w h e n Z a h a s t h e f o r mo f a d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r . I n t h e f i r s t c a s e a d i f f e r e n t i a l o p e r a -

t i o n i s c a r r i e d o u t o n t h e t i m e v a r i a b l e T a i n t h e s e c o n d c a s e t h e

d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r i s m e r e l y m u l t i p l i e d b y I a .T h e m o s t g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r a s i m p l e h a r m o n i c q u a n t i t y

e i s e = A cos p t - B s i n p ti n e x p o n e n t i a l f o r m t h i s b e c o m e s

A +jBEJPI+ A-j B > je- 2 t+ 2

P

( A + j B ) E P I r e p r e s e n t s a v e c t o r o f l e n g t h V A 2 + B 2 r o t a t i n gi n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n w i t h a n g u l a r v e l o c i t y p w h i l e ( A - j B )

E - i P i s t h e c o n j u g a t e v e c t o r r o t a t i n g a t t h e same a n g u l a rv e l o c i t y i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . S i n c e E 1 P I i s e q u a l t o

c o s p t + j s i n P t , t h e p o s i t i v e l y r o t a t i n g v e c t o r E = ( A +j B ) e i t

w i l l b eA = A c o s p t- B s i n p t + j ( A s i n p t + B c o s p t )

o r t h e r e a l p a r t o f E w h i c h i s i t s p r o j e c t i o n o n a g i v e n a x i s i se q u a l t o e a n d t h e r e f o r e A may b e t a k e n t o r e p r e s e n t e i n p h a s e

a n d m a g n i t u d e . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e c o n j u g a t e v e c t o r. l i s e q u a l l y a v a i l a b l e , b u t i t i s n o t s o c o n v e n i e n t s i n c e t h e



1 0 3 0 FOR TESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES [ J u n e 2 8

o p e r a t i o n d t e . P t g i v e s - j p e - i P t a n d t h e i m a g i n a r y p a r t

o f t h e i m p e d a n c e o p e r a t o r w i l l h a v e a n e g a t i v e s i g n .Th e c o m p l e x r o o t s o f u n i t y w i l l b e r e f e r r e d t o f r o m t i m e t o

t i m e i n t h e p a p e r . T h u s t h e c o m p l e t e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o nx -1 = 0 r e q u i r e s n d i f f e r e n t v a l u e s o f x , o n l y o n e o f w h i c hi s r e a l when n i s a n o d d i n t e g e r . To o b t a i n t h e o t h e r r o o t s weh a v e t h e r e l a t i o n

1 = c o s 2 r r + j s i n 2 i r r

- 2 - r r

Where r i s a n y i n t e g e r . We h a v e t h e r e f o r e

1 . 2 i r rn = X

a n d b y g i v i n g s u c c e s s i v e i n t e g r a l v a l u e s t o r f r o m 1 t o n , a l lt h e n r o o t s o f xn- 1 = 0 a r e o b t a i n e d n a m e l y ,

n - . 2r 2a , = = c o s s+ n2n

n n

4 i r n 4T .w 4wa 2 = = C o S +j s i n

n

6w 6 w ra3=E =c o s +±j s i n

n 1

= E C 2 J = 1

I t w i l l b e o b s e r v e d t h a t a 2 a 3 . . . . a , a r e r e s p e c t i v e l y e q u a l t oa , 2 a , 3 ...., ( . - l )

When t h e r e i s r e l a t i v e m o t i o n b e t w e e n t h e d i f f e r e n t p a r t so f a c i r c u i t a s f o r e x a m p l e i n r o t a t i n g m a c h i n e r y , t h e m u t u a li n d u c t a n c e s e n t e r i n t o t h e e q u a t i o n a s t i m e v a r i a b l e s a n d whent h e m o t i o n i s a n g u l a r t h e q u a n t i t i e s e J w t a n d e - j w t w i l l a p p e a r

i n t h e o p e r a t o r s . I n t h i s c a s e we d o n o t r e j e c t t h e p o r t i o n o ft h e o p e r a t o r h a v i n g e - i w t a s a f a c t o r , b e c a u s e t h e e q u a t i o n sr e q u i r e t h a t e a c h v e c t o r s h a l l b e o p e r a t e d o n b y t h e o p e r a t o ra s a w h o l e w h i c h when i t t a k e s t h e f o r m o f a h a r m o n i c t i m ef u n c t i o n w i l l c o n t a i n t e r m s w i t h E j w t a n d e - - j w i n c o n j u g a t er e l a t i o n . I n s o m e c a s e s a s a r e s u l t o f t h i s , s o l u t i o n s w i l l a p p e a rw i t h i n d i c e s o f e w h i c h a r e n e g a t i v e t i m e v a r i a b l e s ; i n s u c hc a s e s i n t h e f i n a l s t a t e m e n t t h e v e c t o r s w i t h n e g a t i v e i n d e x

s h o u l d b e r e p l a c e d b y t h e i r c o n j u g a t e s w h i c h r o t a t e i n t h ep o s i t i v e d i r e c t i o n .



1 9 1 8 ] FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES 1 0 3 1

T h i s p a p e r i s s u b d i v i d e d a s f o l l o w s :P a r t I.-"The Method o f S y m m e t r i c a l C o - o r d i n a t e s . " D e a l s

w i t h t h e t h e o r y o f t h e m e t h o d , a n d i t s a p p l i c a t i o n t o s i m p l ep o l y p h a s e c i r c u i t s .P a r t I I . - A p p l i c a t i o n t o S y m m e t r i c a l M a c h i n e s on U n b a l -

a n c e d P o l y p h a s e C i r c u i t s . T a k e s u p I n d u c t i o n M o t o r s , G e n e r -a t o r a n d S y n c h r o n o u s M o t o r , P h a s e B a l a n c e r s a n d P h a s eC o n v e r t o r s .

P a r t I I I . A p p l i c a t i o n t o M a c h i n e s h a v i n g U n s y m m e t r i c a lW i n d i n g s .

I n t h e A p p e n d i x t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f f i e l df o r m s a n d t h e d e r i v a t i o n o f t h e c o n s t a n t s o f d i f f e r e n t f o r m s o fn e t w o r k s i s t a k e n u p .

T h e p o r t i o n s o f P a r t I d e a l i n g w i t h u n s y m m e t r i c a l w i n d i n g sa r e n o t r e q u i r e d f o r t h e a p p l i c a t i o n s t a k e n u p i n P a r t I I a n dmay b e d e f e r r e d t o a l a t e r r e a d i n g . T h e g r e a t e r p a r t o f P a r t Ii s t a k e n u p i n d e r i v i n g f o r m u l a s f o r s p e c i a l c a s e s f r o m t h e

g e n e r a l f o r m u l a s ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) , a n d t h e r e a d i n g o f t h e t e x t f o l -l o w i n g t h e s e e q u a t i o n s may b e c o n f i n e d t o t h e s p e c i a l c a s e s o fi m m e d i a t e i n t e r e s t .

I w i s h t o e x p r e s s my a p p r e c i a t i o n o f t h e v a l u a b l e h e l p a n ds u g g e s t i o n s t h a t h a v e b e e n g i v e n me i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h i sp a p e r b y P r o f . K a r a p e t o f f who s u g g e s t e d t h a t t h e s u b j e c t b ep r e s e n t e d i n a m a t h e m a t i c a l p a p e r a n d b y D r . J . S l e p i a n t ow h o m I am i n d e b t e d f o r t h e i d e a o f s e q u e n c e o p e r a t o r s a n d b y

o t h e r s who h a v e b e e n i n t e r e s t e d i n t h e p a p e r .

PART I

Method o f S y m m e t r i c a l G e n e r a l i z e d C o - o r d i n a t e s

R E S O L U T I O N O F UNBALANCED S Y S T E M S O F V E C T O R S ANDO P E R A T O R S

T h e c o m p l e x t i m e f u n c t i o n A may b e u s e d i n s t e a d o f t h e h a r -

m o n i c t i m e f u n c t i o n e i n a n y e q u a t i o n a l g e b r a i c o r d i f f e r e n t i a li n w h i c h i t a p p e a r s l i n e a r l y . The r e a s o n o f t h i s i s b e c a u s e i fa n y l i n e a r o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d o n A t h e s a m e o p e r a t i o n p e r -f o r m e d o n i t s c o n j u g a t e A w i l l g i v e a r e s u l t w h i c h i s c o n j u g a t et o t h a t o b t a i n e d f r o m A , a n d t h e sum o f t h e t w o r e s u l t s o b t a i n e di s a s o l u t i o n o f t h e s a m e o p e r a t i o n p e r f o r m e d o n A + X , o r 2 e .

I t i s c u s t o m a r y t o i n t e r p r e t A a n d A : a s c o p l a n a r v e c t o r s ,r o t a t i n g a b o u t a common p o i n t a n d e a s t h e p r o j e c t i o n o f e i t h e rv e c t o r o n a g i v e n l i n e , A b e i n g a p o s i t i v e l y r o t a t i n g v e c t o r a n d *




A b e i n g a n e g a t i v e l y r o t a t i n g v e c t o r , a n d t h e i r p r o j e c t i o n o nt h e g i v e n l i n e b e i n g

+ ( 1 )2

O b v i o u s l y i f t h i s i n t e r p r e t a t i o n i s a c c e p t e d o n e o f t h e t w ov e c t o r s b e c o m e s s u p e r f l u o u s a n d t h e p o s i t i v e l y r o t a t i n g v e c t o rE may b e t a k e n t o r e p r e s e n t t h e v a r i a b l e " e " a n d we may d e -f i n e " e " b y s a y i n g t h a t " e " i s t h e p r o j e c t i o n o f t h e v e c t o r Eo n a g i v e n l i n e o r e l s e b y s a y i n g t h a t " e " i s t h e r e a l p a r t o f t h e

c o m p l e x v a r i a b l e .I f ( 1 ) , a , a 2 . . . . a l - 1 a r e t h e n r o o t s o f t h e e q u a t i o n x n - 1 = 0

a s y m m e t r i c a l p o l y p h a s e s y s t e m o f n p h a s e s may b e r e p r e s e n t e db y

E l i = E l

E 2 1 = a

E 3 1 = a 2 E 1 1.............. .........2 )

A f t 1 = a n - l A 1

A n o t h e r n p h a s e s y s t e m may b e o b t a i n e d b y t a k i n g

E ~ 1 2 = E 1 2

E 2 2 = a 2 E 1 2

E 3 2 = a 4 E 1 2

.............. ( 3 )

= 2 ( n - 1 ) A 1 2n2 = a (flE12

a n d t h i s a l s o i s s y m m e t r i c a l , a l t h o u g h i t i s e n t i r e l y d i f f e r e n tf r o m ( 2 ) .

S i n c e 1 + a + a 2 + a n - l = 0 , t h e sum o f a l l t h e v e c t o r so f a s y m m e t r i c a l p o l y p h a s e s y s t e m i s z e r o .

I fE 1

A 2E 3 . . . .

E Ab e a s y s t e m o f n

v e c t o r s ,t h e

f o l l o w i n gi d e n t i t i e s may b e p r o v e d b y i n s p e c t i o n :



1 9 1 8 1 FOR TESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES 1 0 3 3

n

- 1 + a 2+E3 + a..E3+.2(A 1 +aE2±2 (-3+E .n-aE(nn

nE l + a - I E -+ a 4 E + , , . En(-1

+ + An

El+ar-'E2 + a ' ( - l E 3 + Enl(-n)

+ + 2a2 a - 2 3 ±aEnn

+ a 2E1 + aE2a a3 + +n ~ ~ 4

a(r1)+ar+ a 2 ( r i )a3+a(n)En

+ a - 2 1 1 + a E 2 + a ' E 3 + a . . a - - 1 E nn ( 4 )

+ a - ( r - l ) - A 1 + aA 2 E 2 a 3 E±+a-1 (l

+ a - ( n - 1 ) E l + a-'2 + a - 2 E 3 + . . a - ( n - 1 ) En

An _ 9 1 +a)2 + E 3 + . . . . E nn

+ a 1 - A l +a'E2+ a 2 E 3 + . . - . a n - ' E

+a - 2 ( n - 1 ) E l +at E2x+pa ss + fr A En t abov

n

+ a - ( n - 1 ) ( r - 1 ) t r1i2+....a(-)(-)fn

+ a - ' E l + a - 1 t 2 + a - 2 1 2 3 + . . . a - ( n E nn

I t w i l l b e n o t e d t h a t i n t h e e x p r e s s i o n f o r A l i n t h e a b o v e

f o r m u l a s i f t h e f i r s t t e r m o f e a c h component i s t a k e n t h e r e s u l t i sn - o r E 1 . I f t h e s u c c e e d i n g t e r m s o f e a c h component i n v o l v i n g



1 0 3 4 FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES [ J u n e 2 8

E 2 E 3 . . . . E n r e s p e c t i v e l y , a r e t a k e n s e p a r a t e l y t h e y a d d u p t o e x -

p r e s s i o n s o f t h e f o r m ' (1+a+a2 +... a l - ) w h i c h a r e a l ln

e q u a l t o z e r o s i n c e ( 1 + a +a2 . . . a - 1 ) i s e q u a l t o z e r o . I n l i k em a n n e r i n t h e e x p r e s s i o n f o r E 2 E 3 . . . E , n r e s p e c t i v e l y , a l l t h e t e r m so f t h e c o m p o n e n t s i n v o l v i n g e a c h o f t h e q u a n t i t i e s E 1 E 2 E 3 . . . e t c .e x c e p t i n g t h e t e r m s i n v o l v i n g t h a t o n e o f w h i c h t h e c o m p o n e n t s

a r e t o b e d e t e r m i n e d a d d u p t o e x p r e s s i o n s o f t h e f o r m E rAl ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

( 1 + a + a 2 + . . . . a n - ' ) a l l o f w h i c h a r e e q u a l t o z e r o , t h e r e -m a i n i n g t e r m s a d d u p t o E 2 E 3 . . . . E , , r e s p e c t i v e l y . I t w i l ln o w b e a p p a r e n t t h a t ( 4 ) , i s t r u e w h a t e v e r may b e t h e n a t u r eo f E l E 2 e t c . , a n d t h e r e f o r e i t i s t r u e o f a l l n u m b e r s , r e a l c o m p l e xo r i m a g i n a r y , w h a t e v e r t h e y may r e p r e s e n t a n d t h e r e f o r es i m i l a r r e l a t i o n s may b e o b t a i n e d f o r c u r r e n t v e c t o r s a n d t h e ymay b e e x t e n d e d t o i n c l u d e n o t o n l y v e c t o r s b u t a l s o t h e o p e r -

a t o r s .I n o r d e r t o s i m p l i f y t h e e x p r e s s i o n s w h i c h b e c o m e u n w i e l d y

w h e n a p p l i e d t o t h e g e n e r a l n - p h a s e s y s t e m , l e t u s c o n s i d e r a

t h r e e - p h a s e s y s t e m o f v e c t o r s E a E b E C . Then we h a v e t h e

f o l l o w i n g i d e n t i t i e s :

Ea_E + E s b + E c + E , + a E b + a 2 E ,E a ~ 3 +3

E a + a 2 E b + a E ,+ 3

E a +Eb + E c E a + aEb + a 2 E c

Ea+a2Eba ( 5 )3 3

~ E_ E a+

± E o +C+

Ea + a Eb + a 2 E c

Ea + a 2 ] A b + a E 13

( 4 ) s t a t e s t h e l a w t h a t a s y s t e m o f n v e c t o r s o r q u a n t i t i e smay b e r e s o l v e d when n i s p r i m e i n t o n d i f f e r e n t s y m m e t r i c a lg r o u p s o r s y s t e m s , o n e o f w h i c h c o n s i s t s o f n e q u a l v e c t o r s a n d

t h e r e m a i n i n g ( n - 1 ) s y s t e m s c o n s i s t o f n e q u i - s p a c e d v e c t o r sw h i c h w i t h t h e f i r s t m e n t i o n e d g r o u p s o f e q u a l v e c t o r s f o r m s




a n e q u a l n u m b e r o f s y m m e t r i c a l n - p h a s e s y s t e m s . Whenn i s n o t p r i m e s o m e o f t h e n - p h a s e s y s t e m s d e g e n e r a t e i n t o

r e p e t i t i o n s o fs y s t e m s

h a v i n gn u m b e r s

o fp h a s e s

c o r r e s p o n d i n gt o t h e f a c t o r s o f n .E q u a t i o n ( 5 ) s t a t e s t h a t a n y t h r e e v e c t o r s E a E b E c may b e

r e s o l v e d i n t o a s y s t e m o f t h r e e e q u a l v e c t o r s E a O . a O E a o a n dt w o s y m m e t r i c a l t h r e e - p h a s e s y s t e m s E a , , a 2 E a l , a E a l , a n d E a 2 ,

E a

-

Ea=o + a l +Ea2~II

~ ~ ~ ~ I , , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

E b , i

/b

Ea=aO+ Ea l/ E a 2

E c = E a O + a E a l + a 2 I a 2

F i g s . ( 1 ) a n d ( 2 ) s h o w a g r a p h i c a l m e t h o d o f r e s o l v i n g t h r e ea e c t o r s aEb a n d E c i n t o t h e i r s y m m e t r i c a l t h r e e - p h a s e c o m -

p o n e n t s c o r r e s p o n d i n g t o e q u a t i o n s ( o ) . Th e c o n s t r u c t i o n i s a s

f o l l o w s : - E L 0 E b o , E ; ore= o b t a i n e d b y c r a w i n g a l i n e f r o m 0 t o



1 0 3 6 FOR TESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES [ J u n e 2 8

t h e c e n t r o i d o f t h e t r i a n g l e E a E b E , . E a 1 E b b , , c i a r e o b t a i n e d

Ebhrough ~ ~ ~ ~ 2rb y r o t a t i n g E b p o s i t i v e l y t h r o u g h a n a n g l e 3, a n d E , n e g a -

3't i v e l y t h r o u g h t h e s a m e a n g l e g i v i n g t h e p o i n t s a E b a n d a 2 E ,r e s p e c t i v e l y . E a i i s t h e v e c t o r o b t a i n e d b y a l i n e d r a w n f r o m 0 t ot h e c e n t r o i d o f t h e t r i a n g l e E a , a E b , a 2 E , ; a n d E b l a n d Ea l a g

t h i s v e c t o r b y 3 a n d 3 r e s p e c t i v e l y . To o b t a i n E a 2 E b 2

E c 2 , E b i s r o t a t e d n e g a t i v e l y a n d E p o s i t i v e l y t h r o u g h t h e a n g l e

2 3 g i v i n gt h e

p o i n t s a 2E b a n d a

E , r e s p e c t i v e l y ;t h e l i n e

d r a w n f r o m 0 t o t h e c e n t r o i d o f t h e t r i a n g l e - a , a 2 E b , a E c i s t h e

aCE

F I G . 2-GRAPHICAL REPRESENTATION OF EQUATION 5 .

v e c t o r Fa2 b 2 a n E2 l e a d t h i s v e c t o r b y t h e a n g l e s a n d

a~~~4w~~~~~~a

4 3 7 r e s p e c t i v e l y .

The s y s t e m o f o p e r a t o r s Z a a Z b b Z c c Z a b Z b c Z c may b e r e s o l v e d

i n a s i m i l a r m a n n e r i n t o s y m m e t r i c a l g r o u p s ,

Z a a = Z a a O +Z a a i +Z a a 2

Zbb = ZaaO + a 2 Z a a i +a Zaa2 (8)

cc= Z a a O +a Z a a i +a 2 Zaa2J

Z ab = Z a b O ± Z a b l + Z a b 2

Z b c = Z a b o + a 2 Z a b 1 +a Zab2 } ( 9 )

Z c a = Z a b o + a Z a b l + a b Z a 2T h e r e a r e s i m i l a r r e l a t i o n s f o r n - p h a s e s r y s t e m s .




E X P L A N A T I O N OF THEORY AND USE OF SEQUENCE OPERATOR

L e t u s d e f i n e t h e s y m m e t r i c a l s e q u e n c e s o f n t h r o o t s o f u n i t y

i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r :S O ° = 1 , 1 , 1 . . . . 1 .

SI= 1 , a - ' , a - 2 . . .a--1)

S 2 =1, a - 2 , a - 4 . . . . a- 2 ( n - 1 )

S r = 1 , a r , a-2r . . . . a - ( n - U ) r ( 1 0 )

S ( r + 1 ) = 1 , a - ( r + 1 ) , a - 2 ( r + 1 ) . . . a - ( n - 1 ) ( r + 1 )

S ( n - 1 ) = a - ( n - 1 ) a-2(n-) ... a - ( n - 1 ) 2

C o n s i d e r t h e s e q u e n c e o b t a i n e d b y t h e p r o d u c t s o f s i m i l a r

t e r m s o f S r a n d S 1 . I t w i l l b e

S ( r + 1 ) = 1 , a - k r + 1 ) , a - 2 ( r + l ) . . a - ( n - 1 ) ( 1 ) ( 1 1 )S i m i l a r l y

Sk 1 , a - k , a-2k .. a - ( " - l ) k ( 1 2 )

a n d t h e s e q u e n c e o b t a i n e d b y p r o d u c t s o f l i k e t e r m s o f t h i ss e q u e n c e a n d S r i s

S ( r + k ) = 1 , a - ( r + k ) , a - 2 ( r + k ) . a- ( n - 1 ) ( r + k ) ( 1 3 )

We may t h e r e f o r e a p p l y t h e l a w o f i n d i c e s t o t h e p r o d u c t s o fs e q u e n c e s t o o b t a i n t h e r e s u l t i n g s e q u e n c e .

I n t h e c a s e o f t h e t h r e e - p h a s e s y s t e m we s h a l l h a v e t h e f o l -l o w i n g s e q u e n c e s o n l y t o c o n s i d e r , v i z . :

S=1, 1 , 1

SI= 1 , a 2 , a ( 1 4 )

8 2 = 1 , a , a 2

T h e c o m p l e t e s y s t e m o f c u r r e n t s I a l b I , a r e d e f i n e d b y

S ( I a ) SIO 0+ S l a l + S2a2 ( 1 6 )

S i m i l a r l y t h e i m p e d a n c e s Z a a Z b b Z c , may b e e x p r e s s e d i n s y m -m e t r i c a l f o r m

S ( Z a a ) S o Z a a O + S ' Z a a l ± S Z a a 2 ( 1 6 )

a n d t h e m u t u a l i m p e d a n c e s Z a b , Z b c , Z c a a r e e x p r e s s e d b y

S ( Z a b ) _ S ' Z a b o + S ' Z b l + 5 2 Z b 2 ( 1 7 )




A t t e n t i o n i s c a l l e d t o t h e i m p o r t a n c e o f p r e s e r v i n g t h e c y c l i co r d e r o f s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e s , o t h e r w i s e t h e r u l e f o r t h e

s e q u e n e e o p e r a t o r w i l l n o t h o l d . T h u s , Z a b , Z b 6 a n d Z c a a r e i np r o p e r s e q u e n c e a s a l s o a r e Z c a , Z a b , Z b , .When i t i s d e s i r e d t o c h a n g e t h e f i r s t t e r m i n t h e s e q u e n c e o f

p o l y p h a s e v e c t o r s t h e r e s u l t i n g e x p r e s s i o n w i l l b e

S ( T b ) S o I a o + S ' a 2 I a l + S 2 a 1 a 2( 1 8 )

S ( I c ) - S ° A I a o +1ra I a +2l I a 2 j

S i m i l a r l y i n t h e c a s e o f t h e o p e r a t o r s S ( Z a b ) we h a v eS ( Z b c ) = S o Z a b O + S ' a 2 Z a b l + S 2 a Z a b 2

( 1 9 )S ( Z c a ) = S o Z a b O + S ' a Z a b l + S 2 a 2 Z a b 2

S i m i l a r r u l e s a p p l y t o t h e e . m . f s . E a E b E ,

S ( E a ) = S I E a O + S E a l + S 2 E a 2

S ( E b ) = S E a o+ S a 2 E a + 2aa2 ( 2 0 )

S ( E c ) = S O E a O + S I a E a l + S 2 a 2 E a 2

I t s h o u l d b e k e p t i n m i n d t h a t a n y o n e o f t h e s e v e r a l e x p r e s -s i o n s S ( l a ) S ( I b ) S ( I ) , e t c . , c o m p l e t e l y s p e c i f i e s t h e s y s t e m ,a n d e a c h o f t h e m e m b e r s o f t h e g r o u p s o f e q u a t i o n s g i v e n a b o v ei s a c o m p l e t e s t a t e m e n t o f t h e s y s t e m o f v e c t o r s o r o p e r a t o r s

a n d t h e i r r e l a t i o n .A P P L I C A T I O N T O S E L F AND MUTUAL I M P E D A N C E O P E R A T I O N S

We may n o w p r o c e e d w i t h t h e c u r r e n t s y s t e m s S ( I ) , S ( I b ) ,S ( I C ) a n d t h e o p e r a t i n g g r o u p s S ( Z a a ) S ( Z b b ) S ( Z c c ) e t c . a n dt h e e l e c t r o m o t i v e f o r c e s i n e x a c t l y t h e same manner a s f o rs i m p l e a - c . c i r c u i t s . T h u s ,

S ( E a ) = S ( Z a a ) S ( , a ) + S ( Z a b ) S ( I b ) + S ( Z c a ) S ( I c ) ( 2 1 )= ( S O Z a a O + S 5 Z a a l + 5 2 Z a a 2 ) ( S O l a O + S ' I a l + S 2 I a 2 )

+ ( S O Z a b O + S O Z a b l + S O Z a b 2 )( S O l a O + S a 2 I a + S 2 a I a 2 )

+ S O Z a b O + S ' a Z a b l + S 2 a 2 Z a b 2 )

( S O I a o + S a I a i + S 2 a 2 I . 2 )i S I ( Z q q o + 2 Z : b o ) l a O + S { Z a a 2 + ( 1 + a 2 ) Z a b 2 I I a ,



1 9 1 8 ] FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES 1 0 3 9

+ S o { Z a a l + ( 1 + a ) Z a b l } 1 a 2

+ S 1 { Z a a l + ( 1 + a ) Z a b i } I L O+ S 1 { Z a a O + ( a + a 2 ) Z a b O } I a l+ S 1 { Z a a 2 + 2 a Z a b 2 } 1 a 2

*+ S2 { Z a a 2 + ( 1 + a 2 ) Z a b 2 } I a o

+ S 2 { Z a a l + 2 a 2 Z a b 1 } I a 1

+ S 2 { Z a a O + ( a + a 2 ) Z a b o } 1 a 2 ( 2 2 )O r s i n c e 1 +a+a2 = 0 , 1 +a -a2, 1+a2-a a n da + a 2 -1

S ( A a ) = S o ( Z a a O + 2 Z a b O ) T a O + S ( Z a a 2 - a Z a b 2 ) I a l

+ S o ( Z a a i - a 2 Z a b l ) 7 a 2 +S 1 (Zaai- a Z a b l ) 0 a O

+ S ' ( Z a a O - Z a b O ) I a l + S ' ( Z a a 2 + 2 a Z a b 2 ) 1 a 2+ S 2 ( Z a a 2 - a Z a b 2 ) I a o + S 2 ( Z a a l + 2 a 2 Z a b i ) I a l

+ 5 2 ( Z a a O Z a b O ) I a 2 ( 2 3 )O r s i n c eS ( Z b c ) = S o Z b c O + S ' Z b , l +S 2 Z b c 2

S0 Z a b O + S ' a 2 Z a b l + S 2 a Z a b 2

we may w r i t e ( 2 3 ) i n t h e f o r m

S ( A a ) = S o ( Z a a O + 2 Z b c O ) 1 a 0 + S o ( Z a a 2 - Z b c 2 ) I a l

+ S O ( Z a a l -Z b c l ) 1 a 2

+

S 1 ( Z a a l-

Z b , l ) l a O+ S ' ( Z a a O- Z b c O ) I a l + S ' ( Z a a 2 + 2 Z b c 2 ) 1 a 2

+ 5 2 ( Z a a 2 - Z b c 2 ) l a O + 2 ( Z a a i + 2 Z bf,)i a

+ S 2 ( Z a a O - Z b c O ) 1 a 2 ( 2 4 )w h i c h i s t h e m o r e s y m m e t r i c a l f o r m . We h a v e t h e r e f o r e f r o m( 2 4 ) b y e x p r e s s i n g S ( E a ) i n t e r m s o f s y m m e t r i c a l c o - o r d i n a t e st h e t h r e e s y m m e t r i c a l e q u a t i o n s

S 0 E a O = S o { ( Z a a O + 2 Z b c O ) I a O + ( Z a a 2 - Z b c 2 ) I a

+ ( Z a a i - Z b c l ) 1 a 2 }

S 1 E a l = S 5 { ( Z a a l - Z b l ) L a O + ( Z a a O - Z b c o ) l a l

+ ( Z a a 2 + 2 Z b c 2 ) I a 2 ( 2 5 )

$2

E a 2=2 {

( Z a a 2-

Z b c 2 ) l a O + ( Z a a l +2

Z b C 1 ) f a l+ ( Z a a O - Z b c o ) 1 a 2 }




An i m p o r t a n t c a s e t o w h i c h we m u s t n e x t g i v e c o n s i d e r a t i o ni s t h a t o f m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n a p r i m a r y p o l y p h a s e

c i r c u i t a n d a s e c o n d a r y p o l y p h a s e c i r c u i t . T h e m u t u a l i m -p e d a n c e s may b e a r r a n g e d i n t h r e e s e t s . L e t t h e c u r r e n t s i nt h e s e c o n d a r y w i n d i n g s b e I . L , a n d l w , w e may t h e n e x p r e s st h e g e n e r a l i z e d m u t u a l i m p e d a n c e s a s f o l l o w s :

( I ) Z a u Z b v Z c w

( I I ) Z b w Z c u Z a v ( 2 6 )

( I I I ) Z c v Z a w Z b u

E a c h s e t may b e r e s o l v e d i n t o t h r e e s y m m e t r i c a l g r o u p s , s o

t h a t

S ( Z a u ) = S ° Z a u o + S ' Z a u l + S 2 Z a u 2

S ( Z b w ) = S° Z b W O + S ' Z b w l +S 2 Z b W 2 ( 2 7 )

S ( Z c v ) = S ° Z c , o + S i Z c v 1 + S 2 Z , v 2

a n d we h a v e f o r S ( E a ) t h e p r i m a r y i n d u c e d e . m . f . d u e t o t h es e c o n d a r y c u r r e n t s S ( I U )

S ( E a ) = S ( Z a u ) S ( I u ) + S ( Z a v ) S ( I v ) + S ( Z a w ) S ( I w ) ( 2 8 )

S u b s t i t u t i n g f o r S ( I a ) , S ( I t ) a n d S ( I w ) a n d S ( Z a u ) , S ( Z a v )S ( Z a w ) t h e i r s y m m e t r i c a l e q u i v a l e n t s w e h a v e

S ( E a ) = S o ( Z a u o + Z b W O + Z c v O ) I , o

+ S O ( Z a u 2 + a Z b w 2 + a 2 Z c v 2 ) I u i

+ S O ( Z a u l + a 2 Z b w l + a Z c v i ) I u 2

+ S 1 ( Z a u l + a Z b w l + a 2 Zclu)u o+ S O ( Z a u O + a 2 Z b w o + a Z c v o ) ' u l

+ S ( Z a u 2 + Z b W 2 + Z c v 2 ) 1 u 2

+ S 2 ( Z a u 2 + a 2 Z b w 2 + a Z v 2 ) I u o

+ 5 2 ( Z a u l + Z b w l + Z c v l ) I u l

+ S 2 ( Z a u O + a Z b w o + a 2 Z u o )u 2 . ( 2 9 )



1 9 1 8 ] FOR TESC U E : SYMMETRICAL CO-ORDINA TES 1 0 4 1

On e x p r e s s i n g S ( E . ) i n s y m m e t r i c a l f o r m we h a v e t h e f o l l o w i n gt h r e e s y m m e t r i c a l e q u a t i o n s

S 0 t a O = S ' { ( Z a u O + Z b w o + Z c v O ) I u o

+ ( Z a u 2 +a Z b w 2 + a 2 Z c v 2 ) f u l

+ ( Z a u l + a 2 Z b w l + a Z c v l ) I u 2 }

SEal = S ' I ( Z a u l + a Z b w l + a2Z1) l u o

+ ( Z a u O + a 2 Z b w O + a Z . v 0 ) I u , ( 3 0 )+ ( Z a u 2 +Z b w 2 +Z c v 2 ) I u 2 }

S Z E , E 2 = S 2 { ( Z a u 2 + a 2 Z b w 2 + a Z c v 2 ) I u °

+ ( Z a u l + Z b w l + Z c v 1 ) I u

+ ( Z a u O + a Z b w o + a 2 Z 1 u 2 )U 2 }

F o r t h e e . m . f . S ( E A u ) i n d u c e d i n t h e s e c o n d a r y b y t h e p r i m a r yc u r r e n t s S ( I a ) we h a v e

S ( E u ) = S ( Z a u ) S ( I a ) + S ( Z b u ) S ( L ) + S ( Z c u ) S ( I C ) ( 3 1 )

S i n c e S ( Z b u ) b e a r s t h e s a m e r e l a t i o n t o S ( Z c v ) a s S ( Z a v )d o e s t o S ( Z b w ) a n d S ( Z a u ) b e a r s t h e s a m e r e l a t i o n t o S ( Z b w )a s S ( Z . w ) d o e s t o S ( Z c , ) t o o b t a i n S ( A . ) a l l t h a t w i l l b e n e c e s -

s a r y w i l l b e t o i n t e r c h a n g e Z b w a n d Z , v i n ( 2 9 ) a n d c h a n g e 1 o I g l 1 u 2t o l a o I a l a n d 7 a 2 r e s p e c t i v e l y , t h i s g i v e s

S ( E u ) = S o ( Z a u o + Z b w O + Z c v O ) l a O

+S ° ( Z a u 2 + a 2 Z b w 2 + a Z c v 2 ) ' a l

+ S O ( Z a u l + a Z b w i + a 2 Z c v l ) ' a 2

+ S 1 ( Z a u i + a 2 Z b w l + a Z c v 1 ) ' a O

+ S 1 ( Z a u o + a Z b W O + a Z c v ) I a l

+ S 1 ( Z a u 2 + Z b w 2 + Z , v 2 ) I a 2

+ S 2 ( Z a u 2 +a Z b w 2 + a 2 Z c v 2 ) ' a O

+ S 2 ( Z a u l + Z b w l + Z c v l ) I a l

+ 5 2 ( Z a u O + Z b w O + Z c v O ) 1 a 2 ( 3 2 )




a n d t h e t h r e e s y m m e t r i c a l e q u a t i o n s w i l l b e

S oS u O =

S oI

( Z a u O+

Z b w o+

Z c v O ) l a O]

+ ( Z a u 2 + a Z b w 2 + a Z w 2 + a Z c v 2 ) - a l

+ ( Z a u i + a Z b w l + a Z c l ) I a 2 1

S A a l = S 1 I ( Z a u l + a 2 Z b w l + a Z c v l ) ' a O

+ ( Z a u o + a Z b w O + a Z I , , )a l ( 3 3 )

+ ( Z a u 2 + Z b W 2 + Z c , 2 ) 1 a 2 }

S 2 E u 2 = S 2 { ( Z a u 2 + a Z b w 2 + a 2 Z c , 2 ) ' a O

+ ( Z a u l + Z b w l + Z c v 1 ) I a l

+ ( Z a u O + a 2 Z b w O + a Z c v o ) I a 2 1

T h e s a m e m e t h o d s may b ea p p l i e d

t o p o l y p h a s e s y s t e m s o f a n yn u m b e r o f p h a s e s . When t h e n u m b e r o f p h a s e s i s n o t p r i m e t h e

s y s t e m may s o m e t i m e s b e d e a l t w i t h a s a n u m b e r o f p o l y p h a s es y s t e m s h a v i n g m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n them:-For e x a m p l e ,a n i n e - p h a s e s y s t e m may b e t r e a t e d a s t h r e e t h r e e - p h a s e s y s -t e m s , a t w e l v e - p h a s e s y s t e m a s t h r e e f o u r - p h a s e o r f o u r t h r e e -p h a s e s y s t e m s . I n c e r t a i n f o r m s o f d i s s y m m e t r y t h i s m e t h o d i so f g r e a t p r a c t i c a l v a l u e , a n d i t s a p p l i c a t i o n w i l l b e t a k e n u p l a t e r .

F o r t h e p r e s e n t p a r t o f t h e p a p e r we s h a l l c o n f i n e o u r s e l v e st o t h e t h r e e - p h a s e s y s t e m , a n d d i s s y m m e t r i e s o f s e v e r a l d i f -f e r e n t k i n d s .

T h e o p e r a t o r s Z a u Z a a , e t c . , must b e i n t e r p r e t e d i n t h e b r o a d e s ts e n s e . T h e y may b e s i m p l e c o m p l e x q u a n t i t i e s o r t h e y may

b e f u n c t i o n s o f t h e d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r d t F o r i f

i = I ( A n c o s n w t + B , , s i n n w t )i t may b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m

i I (Airn 6 j n w t + A 2 j B n, - j , w t

I 7 ( 3 4 )2 2

- r e a l p a r t o f I




a n d a n y l i n e a r a l g e b r a i c o p e r a t i o n p e r f o r m e d o n 1 / 2 w i l l g i v ea r e s u l t w h i c h w i l l b e c o n j u g a t e t o t h a t o b t a i n e d b y c a r r y i n g

o u t t h e s a m e o p e r a t i o n o n f / 2 a n d s i n c e t h e t r u e s o l u t i o n i st h e sum o f t h e s e r e s u l t s , i t may a l s o b e o b t a i n e d b y t a k i n g t h er e a l p a r t o f t h e r e s u l t o f p e r f o r m i n g t h e o p e r a t i o n o n i .

M O D I F I C A T I O N OF THE GENERAL CASE MET WITH I N P R A C T I C A LNETWORKS

S e v e r a l s y m m e t r i c a l a r r a n g e m e n t s o f t h e o p e r a t o r Z a u e t c . 'a r e f r e q u e n t l y m e t w i t h i n p r a c t i c a l n e t w o r k s w h i c h r e s u l t i n

a much s i m p l e r s y s t e m o f e q u a t i o n s t h a n t h o s e o b t a i n e d f o rt h e g e n e r a l c a s e a s i n e q u a t i o n s ( 2 9 ) t o ( 3 3 ) . T h u s f o r e x a m p l ei f a l l t h e o p e r a t o r s i n ( 2 6 ) a r e e q u a l , a l l t h e o p e r a t o r s i n ( 2 7 ) ,e x c e p t S e Z a u O S ° Z b w o a n d S ° Z , , o a r e e q u a l t o z e r o , a n d t h e s et h r e e q u a n t i t i e s a r e a l s o e q u a l t o o n e a n o t h e r s o t h a t e q u a t i o n( 3 0 ) b e c o m e s

S ° E a o = S ° ( Z a u o + Z b w O + Z c v O ) I u o 1

S i E a l = 0 ( 3 5 )

S 2 E a 2 = 0

a n d e q u a t i o n ( 3 3 )

S O E u o = S o ( Z a u o + Z b W O + Z c v O ) I a o

S ' E u , = 0 ( 3 6 )

S 2 E u 2 = 0

T h i s i s t h e s t a t e m e n t i n s y m m e t r i c a l c o - o r d i n a t e s t h a t a s y m -m e t r i c a l l y d i s p o s e d p o l y p h a s e t r a n s m i s s i o n l i n e w i l l p r o d u c en o e l e c t r o m a g n e t i c i n d u c t i o n i n a s e c o n d s i m i l a r p o l y p h a s es y s t e m s o d i s p o s e d w i t h r e s p e c t t o t h e f i r s t t h a t m u t u a l i n d u c -

t i o n s b e t w e e n a l l p h a s e s o f t h e t w o a r e e q u a l e x c e p t t h a t d u e t os i n g l e - p h a s e c u r r e n t s p a s s i n g t h r o u g h t h e c o n d u c t o r s .

I f i n ( 2 6 ) t h e q u a n t i t i e s i n e a c h g r o u p o n l y a r e e q u a l , e q u a t i o n s( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) b e c o m e

S ° E a O =S O ( Z a u O + Z b w O + Z c v O ) ' u o

S i E a l = S ' ( Z a u o + a 2 Z b w o + a Z c v o ) I u i ( 3 7 )

S 2 A a 2 = S 2 ( Z a u O + a Z b w o + a 2 Z 0 v o ) ' u 22




S O E u o = S ( Z a u O + Z b w O + Z t c v O ) I a 1

S ' E a l = S 1 ( Z a u O + a Z b w o + a 2 Z c v O ) I a i ( 3 8 )

S 2 E a 2 = S l ( Z a u o + a 2 Z b w o + a Z c v o ) I a 2 2S Y M M E T R I C A L FORMS O F COMMON O C C U R R E N C E

A s y m m e t r i c a l f o r m w h i c h i s o f i m p o r t a n c e b e c a u s e i t i s o ff r e q u e n t o c c u r r e n c e i n p r a c t i c a l p o l y p h a s e n e t w o r k s h a s t h et e r m s i n g r o u p ( I ) e q u a t i o n ( 2 6 ) a l l e q u a l a n d t h o s e i n g r o u p

( I I ) c o s2

t i m e s t h o s e i n g r o u p ( I ) a n d t h o s e i n g r o u p ( I I I )

c o s4

t i m e s t h o s e i n g r o u p ( I ) .

S n e c s 2 wr a +a2 4 w ri n c e c o s 2 7 we h a v e o n s u b s t i t u t i n g

t h e v a l u e s o f t h e i m p e d a n c e s i n t h i s c a s e ,

5 0 E a o = S Y { Z a u O ( 1 + a + a 2 ) } I r u o = 0

S ' E a l = S ' 1 2 ' Z a u O 0 I U ( 3 9 )

S 2 E a 2 = 2 1 2 Z a u o I u 2

S ° E u o = S 0 { Z a u O ( 1 + a + a 2 ) } I a o = 0

S ' E u 1 = S ' 1 1 Z a u o l a l ( 4 0 )

S 2 E u 2 = S 2 1 1 2 Z a u O 1 a 2

T h e e l e m e n t s i n g r o u p I may b e u n e q u a l b u t g r o u p s I I a n d

I I I may b e o b t a i n e d f r o m g r o u p I b y m u l t i p l y i n g b y c o s

2 wa n d c o s 3 r e s p e c t i v e l y .T h e m e m b e r s o f t h e t h r e e g r o u p s w i l l t h e n b e r e l a t e d a s f o l -

l o w s , t h e same s e q u e n c e b e i n g u s e d a s b e f o r e ,

( I ) z a u I Z b v z c wa+ a 2 a + a 2 a + a 2

2 Z W , j 2 Z a u + 2 ( 4 1 )

a + a 2 a + a 2 a + a22II Z b v , 2 Z C W I 2 Z a u




C o n s e q u e n t l y t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s a r e t r u e :

50 = a + a Z a u2

S = a + 2 a Z a u O2

± a 2 Z u

S 2 Z b w 2 = a S 2 Z a u 2 ( 4 2 )2

5 2 Z b W 2 = 2S2 Z a u 22 a u l 2

2

S u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s i n ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) we h a v e f o r t h i ss y s t e m o f m u t u a l i m p e d a n c e s

Z a u O + Z b w O + Z c v O = 1

Z a u O + a Z b w o + a 2 Z " , o = 1 1 Z c , o ( 4 3 )

Z a u O + a 2 Z b w O + a Z c v o = 1 2 Z a w O J

Z a u l + Z b w l + Z , v l = 1 1 2 Z a u l

Z a u l + a Z b w l + a 2 Z c v = 1 2 Z a u l ( 4 4 )

Z a u l + a 2 Z b w l + a Z c v 1 = O

Z a u 2 + Z b W 2 + Z c v 2 = 1 2 Z a u 2

Z a u 2 + a Z b w 2 + a 2 Z c v 2 = 0 ( 4 5 )

Z a u 2 + a 2 Z b W 2 a v 2 = 1 2 Z a u 2

w h i c h o n s u b s t i t u t i o n i n ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) g i v e s

5 ° E a O =0

S' E a l = S' { 1 2 Z a u l I u o + 1 2 Z a u O I u i + 11

Z a u 2 I u 2 } ( 4 6 )

S I E a 2 I l l 21 Z a u 2 I U O + 12 Z a u l I u l + 1 Z a u 0 I u 2 }

Y E u o = 5 0 1 1 1 Z a u 2 I a l + 1 Z a u l 1 a 2 }

5 ' A 5 18'l= { 1 5 Z a u O I

+I a 2 } 4 7 )

S 2 E u 2 = 2 { 1 Z a z u l I a l + 1 Z a u o2} } J




T h e a b o v e s y m m e t r i c a l f o r m s i n w h i c h t h e f a c t o r s c o s 3

a n d c o s o c c u r a p p l y p a r t i c u l a r l y t o e l e c t r o m a g n e t i c i n d u c -t i o n b e t w e e n w i n d i n g s d i s t r i b u t e d o v e r t h e s u r f a c e s o f c o -a x i a l c y l i n d e r s ; w h e r e i f t h e p l a n e o f s y m m e t r y o f o n e w i n d i n gb e t a k e n a s t h e d a t u m p l a n e , t h e m u t u a l i m p e d a n c e b e t w e e nt h i s w i n d i n g a n d a n y o t h e r i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o f t h e a n g l eb e t w e e n i t s p l a n e o f s y m m e t r y a n d t h e d a t u m p l a n e . I n o t h e rw o r d s , t h e m u t u a l i m p e d a n c e s a r e f u n c t i o n s o f p o s i t i o n o n t h ec i r c u m f e r e n c e o f a c i r c l e a n d may t h e r e f o r e b e e x p a n d e d b y

F o u r i e r ' s t h e o r e m i n a s e r i e s o f i n t e g r a l h a r m o n i c s o f t h e a n g l emade b y t h e p l a n e s o f s y m m e t r y w i t h t h e d a t u m p l a n e . S i n c e

t h e s a m e p r o c e d u r e a p p l i e s t o a l l t h e t e r m s o f t h e e x p a n s i o ni t i s n e c e s s a r y o n l y t o c o n s i d e r t h e s i m p l e h a r m o n i c c a s e . I nt h e p a r t i a l l y s y m m e t r i c a l c a s e s o f m u t u a l i n d u c t i o n , s u c h a st h a t t a k e n u p i n t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n , t h e r e w i l l b e a d i f f e r -e n c e b e t w e e n t w o p o s s i b l e c a s e s , v i z : - S y m m e t r i c a l p r i m a r y ,

u n s y m m e t r i c a l s e c o n d a r y , w h i c h i s t h e c a s e j u s t c o n s i d e r e d , a n du n s y m m e t r i c a l p r i m a r y a n d s y m m e t r i c a l s e c o n d a r y i n w h i c ht h e i m p e d a n c e s o f ( 2 6 ) w i l l h a v e t h e f o l l o w i n g v a l u e s

( I ) Z a u , Z b c , Z c w( I I ) a±+2 a +a2 a + a '

) c , 2 Z c w Z a u ( 4 8 )( I I I ) +a2~ a+a2 a + a 2 Z

2 2 +a 2T h e r e s u l t s may b e i m m e d i a t e l y s e t down b y s y m m e t r y f r o m

e q u a t i o n s ( 4 6 ) a n d ( 4 7 ) , b u t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w oc a s e s w i l l b e b e t t e r a p p r e c i a t e d b y s e t t i n g d o w n t h e c o m p o n e n ts y m m e t r i c a l i m p e d a n c e s , t h u s we h a v e

S I b W O 2 a u 0

aS O Z c v o0

a

a ' 2 a u O

S 1 Z b W l 1 +a S ' Z a u (

2 2

S 2 Z b W 2 2S2 Z a u 2 (9

S =1 +2 a 22

22




S u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s i n t h e i m p e d a n c e s u s e d i n ( 3 0 )a n d ( 3 3 ) t h e y b e c o m e

Z a u O + Z b w o + Z c v O = 0 )

Z a u o + a Z b W o + a Z ¢ 0 = 1 I Z a u O ( 5 0 )

Z a u o + a 2 Z b w o + a Z c v o =1 Z a u O J

Z a u l + Z b w l + Z c v l j = 2 Z a u l

Z a u l+ a Z b w l + a 2

Z c v= 0 ( 5 1 )

Z a u l + a 2 Z b w l + a Z , v 1 = 1 1 Z a u l J

Z a u 2 + Z 6 w 2 + Z c v 2 = 1 2 Z a u 2

Z a u 2 + a Z b w 2 + a Z c v 2 = 1 Z a u 2 ( 5 2 )

Z a u 2 + a 2 Z b w 2 + a = 0 J

And we h a v e f r o m ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) , o r b y s y m m e t r y

S ° E a o = S o {1 Z a u 2 I u i + 1 2 Z a u l 1 u 2 }

S 1 E a l = S ' { 1 2 Z a u o f u i + 1 2 Z a u 2 I u 2 } ( 5 3 )

S 2 E a 2 S 2 { 1 2 Z a u l I u l + 1 2 Z a u o 1 u 2 J

So=E°o0

S ' A u i = S l { 1 l Z a u i l a O + 1 Z a u o I u l + 1 ' Z a u 2 I u 2 } ( 5 4 )

S 2 E u 2 = 5 2 { 1 2 Z a u 2 l a O + 1 1 Z a u l I u l + 1 1 Z a u O I u 2 }

I f t h e a n g l e b e t w e e n t h e p l a n e s o f s y m m e t r y o f t h e c o i l s a n d

t h e d a t u m p l a n e a r e s u b j e c t t o c h a n g e s , c o s2

a n d c o s 7 r

i n t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n m u s t b e r e p l a c e d b y27r+ a a 2

c o s ( 4 3 ! E +E)2 - - e + a j ( 6 6 )

w h e r e 0 i s m e a s u r e d f r o m t h e d a t u m p l a n eI n t h e s t r i c t l y s y m m e t r i c a l c a s e o f c o - a x i a l

c y l i n d r i c a ls u r -

f a c e w i n d i n g s i n w h i c h t h e m e m b e r s o f e a c h g r o u p o f m u t u a l




i m p e d a n c e s a r e e q u a l , t h e r e s u l t o f s u b s t i t u t i n g ( 5 5 ) i n t h e

e q u a t i o n s f o r i n d u c e d e . m . f . w i l l b e

S E a o = 0S E a l = S ( 1 2 Z a u O E j ' I u l ) ( 5 6 )S 2 E a 2 = S 2 ( 1 4 Z a u O E - j ' I u 2 )

S o E u o = °u 0 0

a 18 2 E u i = S ( 1 4 Z a u O EIaC ) ( 5 7 )S 2 E u 2 = S 2 ( 1 2 Z a u o E j ' I a 2 ) 2

I n t h e c a s e h a v i n g s y m m e t r i c a l p r i m a r y a n d u n s y m m e t r i c a ls e c o n d a r y i n w h i c h m e m b e r s o f e a c h g r o u p a r e d i f f e r e n t , b u ti n w h i c h t h e r e a r e h a r m o n i c r e l a t i o n s b e t w e e n c o r r e s p o n d i n g

m e m b e r s o f t h e d i f f e r e n t g r o u p s , t h e i m p e d a n c e s a r e

( I ) Z a u , Z b v , Z c w

a a 2 z( I ) ( 2 f + 2 6 - i o ) Z c w

j +a2 ) au,(2 + a 2 ) ( 5 8 )

( I I I ) ( - v - - 2 e j 0 + 2 e - j 9 Z b v ,

( a 2 E j 0 + 2 c j O ) Z c W , ( 2 - E l + 2 e - 1 0 ) Z a u

T h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t m u t u a l i m p e d a n c e s w i l l h a v e t h e

f o l l o w i n g v a l u e s i n t e r m s o f Z a u O Z a u l Z a u 2

S ° z b W O = ( a < + a 2 )

S o Z b W o = ( E2 0 + a 2 e - J ) S Z a u O

S 1 Z b w , -( 2 j + _ ) 8 S Z a u i( 2 2 ( 5 9 )

S 2 Z b w 2 = ( + a+ ) S Z a u 2

S ' Z w l = ( 2 E i + E2) S ' Z a u l

S 2 Z c v 2 = ( + 2 ) S 2




S u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s i n t h e i m p e d a n c e s o f e q u a t i o n s( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) t h e y b e s o m e

Z a u o + Z b w o + Z c v O = 0Z a u O + a Z b W O + a ' Z c v o = 1 4 2 Z a u O E } ( 6 0 )Z a u O + a Z b w o + a Z c v o = 1 2 Z a u 0 j

Z a u l + Z b w l + Z c v l = 1 1 2 Z a u l 6 1

Z a u i + a Z b w l + a 2 Z , , , , = 1 4 Z a u a 1 ( 6 1 )

Z a u l + a 2 Z b w l + a Z c v l=

0Z a u 2 + Z b W 2 + Z c v 2 = 1 2 Z a u 2 j o ]

Z a u 2 + a Z b W 2 + a 2 Z c v 2 = 0 ( 6 2 )

Z a u 2 + a 2 Z b w 2 + a Z c v 2 = 1 4 ' Z a u E i

w h i c h o n s u b s t i t u t i o n i n ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) g i v e

S ° E a O = 0SEal = S { 1 4 Z a u l E j o I U O + l Z a u 0 E ' I u i

+ 1 2 Z a u 2 & 6 ' 1 u 2 } ( 6 3 )8 2 E a 2 S 2 { 1 2 Z a u 2 E - j 0 I u o + 1 2 Z a u l E - j 0 I u l

+ 1 2 Z a u 0 E i ° I u 2 }

S 0 E u 0 = S I { 1 Z a u 2 E0 l I a l + 1 4 Z a u i I - 0 1 a 2 } 1

S l E u l = S ' { 1 2 Z a u O I E - j I a l + 1 4 Z a u 2 E j o I a 2 } ( 6 4 )8 2 E u 2 = S 2 { 1 4 Z a u l E 0 I a l + 1 4 Z a u O C j 0 I a 2 }

I n t h e c a s e o f u n s y m m e t r i c a l p r i m a r y a n d s y m m e t r i c a ls e c o n d a r y , we h a v e f o r t h e v a l u e o f t h e i m p e d a n c e i n t e r m s o fZ a u O Z a u i and Z a u 2

( I ) Z a u , Z b v , Z C W

( I I ) ( a 2 , e j + 2 - j o ) Z b c ,

a _ _ _ _ a a2

( 2 e j e + 2 C e - j ° ) Z c w P , (2 r ; j + 2 E _ j @ ) z a u2 ) ~ ~ ( 6 5 )

( I I I ) ( 02 + 2 ( - j ) Z c w ,

( 2 l E - 0 + 2 C . - i ) Z a u , ( 2 6 + 2 3




T h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t m u t u a l i m p e d a n c e s i n t e r m s o fZ a u O , Z a u l i Z a u 2 ar e

(a f + a2{-jl °Zu

So b o 2 l E j 0 + 2 f E - j 0 ) S ° Z a u ol Z b w o = (-E0±O Z a a 2 a2-) SOa u (S 2 Z cv= ( 2 E0 + E - J ) S o Z a u 2

S l Z b w l = ( + 2 E - j o S 1 Z a u l2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 6 6 )

S 2 Z b w 2 = ( a 2 + 2 - ) S 2 Z n _ u 22 2 2 Z u

( . 0 a 2Ej IZUI Zcvl = 2 + 2

S2Z a e j 02 I E , j S 2 Z a uS 2 c v 2 =

2 2;i)Zau2

And t h e i m p e d a n c e s o f e q u a t i o n s ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) b e c o m e

Z a u O + Z b w o + Z c v O = 0

Z a u o + a Z b w o + a 2 Z , v o , = 1 4 2 Z a u O E j i ( 6 7 )

Z a u O + a 2 Z b w o + a Z c v o = 1 2 Z a u O E i 0 j

Z a u l + Z b w l + Z c v 1= 1 4

Z a u l1 &

Z a u l + a Z b w l + a 2 Z c v , = 0 ( 6 8 )

Z a u i + a 2 Z b w l + a Z c v , = 1 4 Z a u l E1i

Z a u 2 + Z b w 2 + Z c v 2 = 1 4 Z a u 2 E - j 0

Z a u 2 + a Z b . 2 + a 2 Z c v 2 = 1 2 Z a u 2 E 0 ( 6 9 )

Z a u 2 + a 2 Z b w + a Z c v 2 =0

And o n s u b s t i t u t i o n i n ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) , o r b y s y m m e t r y f r o m( 6 3 ) a n d ( 6 4 ) , we h a v e

t J a l a O - S o { 1 Z a u 2 E I u l + 1 2 Z a u l E - j 0 1 u 2 1 1

S 1 E a l = S { 1 1 Z a u O C j 0 I u l + 1 2 Z a u 2 I E 0 I u 2 } ( 7 0 )

8 2 A a 2 = S 2 { 1 Z a u l E i I u l + 1 4 Z a u O E - 0 u j 2 J




S I E u o = 0

S 1 E u 1 =S' { 1 4 Z a u i E - j I a O + 1 Z a u i E- j I u I

+ 1 2 Z a u 2 6 E - j 1 a 2 } ( 7 1 )S 2 E u 2 = S 2 { 1 1 1 Z a u 2 E " 0 I a O + 1 2 Z a i l E j 0 l a l

+ 1 4 Z a u 0 C I a 2 } J

A f u l l e r d i s c u s s i o n o f s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e s o f c o - a x i a lc y l i n d r i c a l w i n d i n g s w i l l b e f o u n d i n t h e A p p e n d i x . I t w i l l b es u f f i c i e n t t o n o t e h e r e t h a t i n t h e c a s e o f s e l f i n d u c t a n c e a n d

m u t u a l i n d u c t a n c e o f s t a t i o n a r y w i n d i n g s s y m m e t r i c a l l y d i s -p o s e d i f t h e y a r e e q u a l

M a b M b c = M c a (A o s )3 j ( 7 2 )

L a a = L b b = L - c = M a a = M b b = M c c = n

I f t h e w i n d i n g s a r e s y m m e t r i c a l l y d i s p o s e d b u t h a v e d i f f e r e n tn u m b e r o f t u r n s

L a a=

M a a= 2

AL b b = M b b = 2 B n ( 7 3 )

L c c = = 2 C . ,

M a b = A Bn c o s )3

Mbc= ( V B Cn c o s 2)S ( 7 4 )

M c a = ( C n An c o s ) j

I f t h e c o i l s a r e a l i k e b u t u n s y m m e t r i c a l l y s p a c e d L a a L b b L C C h a v et h e s a m e v a l u e s , n a m e l y 2 A n a n d

Mab = 1( A U c o s n O f l ) c o s 2 7 rM a b = z ( A n c o s n 0 1 ) C O S 2 n 1 r

3+ ( A n s i n n 0 1 ) s i n 2 n |

M b e =21 ( A U c o s n O 0 2 ) COS 2 n r

Mca2 (AUcosn03)cos 2 n i

+ ( A n s i n n 0 2 ) s i n 2 n 7




I f t h e y a r e u n e q u a l a s w e l l a s u n s y m m e t r i c a l l y d i s p o s e d b u t a r eo t h e r w i s e s i m i l a r L a a L b b L C h a v e v a l u e s a s i n ( 6 4 ) a n d

M a b = ( V / A n B n c o s n 0 1 ) c o s 2 n r3

+ ( . \ / A n B n s i n n 0 1 ) s i n - 3 7

M b c = I \ ( / B n C n c o s n 0 2 ) C O S 23 ( 7 6 )

+ ( V \ B n C n s i n n 0 2 ) s i n 2 n3

M c a = j ( V \ I C n A n c o s n i ) c o s n r

+ ( . \ C n A n s i n n 0 3 ) s i n 2 n jr3

W h e r e t h e w i n d i n g s a r e d i s s i m i l a r i n e v e r y r e s p e c t t h e e x p r e s -s i o n s b e c o m e m o r e c o m p l i c a t e d . A s h o r t o u t l i n e o f t h i s s u b j e c t

i s g i v e n i n t h e A p p e n d i x .I n t h e c a s e o f m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n t w o c o a x i a l c y l i n d r i -

c a l s y s t e m s , o n e o f w h i c h A , B , C i s t h e p r i m a r y a n d t h e o t h e r

U , V , W t h e s e c o n d a r y , t h e f o l l o w i n g A

c o n v e n t i o n s s h o u l d b e f o l l o w e d :

( a ) A l l a n g l e s a r e m e a s u r e d , t a k i n g . ut h e p r i m a r y p l a n e s o f s y m m e t r y a s d a t a

i n a p o s i t i v e d i r e c t i o n . R o t i o n( b ) T h e d a t u m p l a n e f o r a l l w i n d i n g s

i s t h e p l a n e o f s y m m e t r y o f t h e p r i m a r yA p h a s e . v W

( c ) A l l m e c h a n i c a l m o t i o n s u n l e s s B Co t h e r w i s e s t a t e d s h a l l b e c o n s i d e r e d a s F I G . 3 - C O N V E N T I O N A L

p o s i t i v e r o t a t i o n s o f t h e s e c o n d a r y D I S P O S I T I O N OF P H A S E Sc y l i n d e r a b o u t i t s a x i s . AND D I R E C T I O N OF Ro

( d ) The c o n v e n t i o n a l d i s p o s i t i o n o ft h e p h a s e s a n d t h e d i r e c t i o n o f r o t a t i o n o f t h e s e c o n d a r y w i n d -

i n g a r e i n d i c a t e d i n F i g . 3 .We s h a l l c o n s i d e r f i v e c a s e s ; C a s e 1 b e i n g t h e c o m p l e t e l y s y m -

m e t r i c a l c a s e a n d t h e r e s t b e i n g s y m m e t r i c a l i n one w i n d i n g , t h e

o t h e r w i n d i n g b e i n g u n s y m m e t r i c a l i n m a g n i t u d e a n d p h a s e , o r

b o t h , b u t a l l w i n d i n g s h a v i n g t h e same f o r m a n d d i s t r i b u t i o n o f

c o i l s .




C a s e I . A l l W i n d i n g s S y m m e t r i c a l .

M a u = M b v = M c w = f A n c o s n 0

M b w = M c u = M a y = 2 An c o s n ( - 3 + f ) (

M l v = Maw = M b u = - A , , c o s n ( 4 - + f )

C a s e I I . P r i m a r y W i n d i n g s e q u a l a n d S y m m e t r i c a l , S e c o n d a r yW i n d i n g s u n e q u a l b u t o t h e r w i s e S y m m e t r i c a l .

M a u = 2 A n c o s n 6 , M b , = I B n c o s n 0 ,M c w . = 2 C u c o s n 0

Mbw= 2 C n c o s n 3 +

Mcu= A n c o s n ( 2 7 r +

M a v = 2 B n c o s n ( 2 i + a ) ( 7 8 )

M c , = B n c o s n + f

Maw = Cn c o s n + a )

M b u = A n c o s n ( 4i 7 + ± )C a s e I I I . P r i m a r y W i n d i n g s U n e q u a l b u t O t h e r w i s e S y m m e t r i -

c a l , S e c o n d a r y W i n d i n g E q u a l a n d S y m m e t r i c a l .M a u =2Ancosn 0 , Mbv= 2Bncosn 0 , Mcw= C , , c o s n

Mbw- B n c o s n (3W+ O )

M e u = C n c o s n (23 + )

M a v = 2 Anc o s n (3 + 0 ) ( 7 9 )

Mcv=2 Cn c o s n ( 3 +)

M a w A n c o s n(3+3 )

M b u = z B , , c o s n ( i l + 0 )




C a s e I V . S a m e a s C a s e I I e x c e p t i n a d d i t i o n t o i n e q u a l i t yS e c o n d a r y W i n d i n g s a r e D i s p l a c e d f r o m S y m m e t r y b y a n g l e s a ,

a 2 a n d a 3 w h o s e sum i s z e r o .Ma = I ( A , , c o s a , c o s n 0 + A n s i n a , s i n n 0 )

M b v = z ( B n c o s a 2 c o s n 6 + B n s i n a 2 s i n n 0 )

Mc= ( C . c o s a 3 c o s n 0 + C , s i n a 3 s i n n 0 )

M b w CnCos 3 C O S n ( + 0 )

+ Cn s i n a 3 s i n n ( 2 3 + 0 ) }

M c u - { An c o s a , cos n ( 2 L + 0 )

+ An s i n a , s i n n ( 2 3 + o ) }

M a v =2 B , , cos a 2 co s n ( j + a )

+ B n s i n a2 s i n n ( 2 3 r + 0 ) } ( 8 0 )

Mv Bnc os a 2 co s n ( 3 + 0 )

+ B n s i n a2 s i n n ( 4 3 + 0 ) }

Maw Cn cos 3 COS n( 4 3 +)

+ C n s i n a 3 s i n n 4 ( 3 +±6)}

M b u = 2 A c o s a 1 c o s n + 0 )

+ An s i n a , s i n n ( 4 j r + )}

C a s e V . S a m e a s C a s e I I I e x c e p t t h a t t h e P r i m a r y W i n d i n g sa r e U n s y m m e t r i c a l l y d i s p o s e d w i t h r e s p e c t t o o n e a n o t h e r a s w e l l a sb e i n g u n e q u a l .




M a u = z ( A , c o s c a , c o s n 6 + A n s i n a , s i n n 0 )

M b v = z ( B n c o s a 2 C O S n 6 + B n s i n a 2 s i n n 6 )

m = ( C n c o s a 3 c o s n 6 + C n s i n a 3 s i n n 6 )

Mb w 2 { Bn co s a 2 cOsn( + )

+ B n s i n a 2 s i n n ( 2 3 +

A f c u = 4 {Ancos a , c o s n ( L + o )

+ A n s i c t s i ( 2 W 1 + o ) }

+ C u s i n a ( 3 s i n n ( 2 W 7 + o ) }

M c { C n l C O S a C 3 C O S n ( 4 3 W ± 0 )

+ Cn s i n c a a s i r f n ( 4 3 W +0) }

Maw= { Anc o s a c o s n ( 4 3 7 + 6 0 )+ A n s i n a , s i n n ( 4 3 7 9 + a ) }

M b a = 2 { Bn c o S a 2 c o s n (4W + a )

+ . B n s i n a 2 s i n n (-. +6)}

4

The e x p r e s s i o n s f o r d i s s y m m e t r y i n b o t h w i n d i n g s a n d f o r u n -

s y m m e t r i c a l l y wo u n d c o i l s , e t c . , a r e m o r e c o m p l i c a t e d a n d w i l l b ed e a l t w i t h i n t h e A p p e n d i x .

The i m p e d a n c e s Z a a Z b b , e t c . , Z a u Z b v , e t c . , a r e f u n c t i o n s o fM a a M ^ b , e t c . , M a u MbC,t c . , a n d t h e r e s i s t a n c e s o f t h e s y s t e m .

The c o m p o n e n t o f e . m . f . p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t d u e t o




m u t u a l i m p e d a n c e i s s o s m a l l t h a t i t may g e n e r a l l y b e n e g l e c t e d

s o t h a t Z a u b e c o m e s d M a u , Z b v = d t M b , a n d s o f o r t h .dl~~~~d

I f t h e s e c o n d a r y w i n d i n g i s r o t a t i n g a t a n a n g u l a r v e l o c i t ya , 0 i n e q u a t i o n ( 5 5 ) b e c o m e s a t a n d t h e o p e r a t o r s Z a a , e t c .o p e r a t e o n s u c h p r o d u c t s a s c - i x t l U l E j c t 1 u 2 w h e r e I u a n d

1 u 2 a r e t h e v a r i a b l e s .Th e f o l l o w i n g r e l a t i o n s w i l l b e f o u n d u s e f u l i n t h e a p p l i c a t i o n

o f t h e m e t h o d i n a c t u a l e x a m p l e s .

I f D d e n o t e s t h e o p e r a t o r d a n d p ( Z ) i s a r a t i o n a l a l g e b r a i cf u n c t i o n o f Z d x

y V ( D ) e a x - e ; ( a ) e a x 1

y ( D ) { e a x X } = e a x y ( D + a ) X ( 8 2 )p ( D ) Y =e a x y ( D + a ) Y e - a x

W h e r e X a n d Y may b e a n y f u n c t i o n o f x .

S t a r a n d D e l t a e . m . f s . a n d C u r r e n t s i n T e r m s o f S y m m e t r i c a lC o m p o n e n t s

I t h a s b e e n s h o w n i n t h e p r e c e d i n g p o r t i o n o f t h i s p a p e r t h a t

t h e e . m . f s . E a E b a n d E c a n d t h e c u r r e n t s I a I b a n d 7 c w h a t e v e r

t h e i r d i s t o r t i o n , may b e r e p r e s e n t e d b y t h e sum o f s y m m e t r i c a ls y s t e m s o f e . m . f s . o r c u r r e n t s s o t h a t t h e t w o e x p r e s s i o n s

S ( E a ) = S O E a O + S I E a l + S 2 E a 2 )( 8 3 )

S ( I a ) = S ° l a O + S l I a i + S 2 1 a 2c o m p l e t e l y d e f i n e t h e s e t w o s y s t e m s .

I f we t a k e t h e d e l t a e . m . f s . a n d c u r r e n t s c o r r e s p o n d i n g t o

S 5 E a O , S i E a l a n d S 2 E a 2 , S l I a l , S 2 I a 2 , we h a v e , s i n c e E b , l l e a d s E a

b y 2 a n d E b , 2 l a g s b e h i n d E a 2 b y t h e s a m e a n g l e

S ° E b c O = 0

S ' E b c l = j A / 3 S ' E a I l

S 2 E b c 2 = jV / 3 S 2 E a 2

S ° I b C O =i n d e t e r m i n a t e f r o m S ( I a ) ( 8 4 )

Si. ~ ~ ~ 1

S I b c j- S 1 I

5 2 I b c 2 = - i S 2 1 a 2




And t h e r e f o r e i f we t a k e E a b a s t h e p r i n c i p a l v e c t o r

S O EabO = 0

S 1 E a b l = j a s l'V3 E a l

S 2 E a b 2 = - j a 2 S 2 V 3 E a 2 ( 8 5 )

S ( E a b ) = S E a b l + S 2 E a b 2

T h e l a s t e q u a t i o n o f g r o u p ( 8 5 ) w h e n e x p a n d e d g i v e s

E a b = j ' \ / 3 ( a E a l - a 2 E a 2 )

E b c = jV / 3 ( E a l E a 2 ) ( 8 6 )

E c a = j \ / 3 ( a 2 E a l - a E a 2 )

w h i c h may a l s o b e o b t a i n e d d i r e c t f r o m ( 8 3 ) b y means o f t h er e l a t i o n s

E a b = Eb - E a

E b c = E c - b

E c a = E a E oS i m i l a r l y

S 2 l a b = i n d e t e r m i n a t e f r o m S ( I )

S l I a b l = j a ] a' / 3

8 2 I a b 2 = j a 2 [ a 2 ( 8 7 )

S ( l a b ) = 8 2 l a b O + S ' I a b l + S 2 I a b 2

w i t h s i m i l a r e x p r e s s i o n f o r l a b ' b c a n d I e a w h i c h may b e v e r i f i e db y m e a n s o f t h e r e l a t i o n s

' a = I c a - l a b + l a o

l b = l a b -Ibc + l a O

I c = b c- I c a + l a O

C o n v e r s e l y t o ( 8 4 ) w e h a v e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s




5 E a O = i n d e t e r m i n a t e f r o m S ( J i a b )

S t E a l

= S -E b c l

= - jS I

E a b a5 2 E a 2 - j S 2 E b C 2 = j S 2 E a b 2 ( 8 8 )

S O I a o = i n d e t e r m i n a t e f r o m S ( J a b )

S ' f a l = - j \ / 3 - S I I b e l = j a 2 - \ , 3 S t l a b l I

S 2 I a 2 = jV352 I b c j aV / 3 S 2 I a b 2

I t w i l l b e s u f f i c i e n t i n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o ft h e p r i n c i p l e o f s y m m e t r i c a l c o o r d i n a t e s t o s i m p l e c i r c u i t s t oa p p l y i t t o a f e w s i m p l e c a s e s o f t r a n s f o r m e r c o n n e c t i o n s b e f o r ep r o c e e d i n g t o i t s a p p l i c a t i o n t o r o t a t i n g p o l y p h a s e s y s t e m s t ow h i c h i t i s p a r t i c u l a r l y a d a p t e d .

U N S Y M M E T R I C A L BANK OF D E L T A - D E L T A TRANSFORMERSO P E R A T I N G ON A S Y M M E T R I C A L C I R C U I T S U P P L Y I N G A

B A L A N C E D S Y S T E M

L e t t h e t r a n s f o r m e r e f f e c t i v e i m p e d a n c e s b e Z A B Z B C Z C A a n dl e t t h e s e c o n d a r y l o a d c u r r e n t s b e I u I v a n d 1 w a n d l e tt h e s t a r l o a d i m p e d a n c e b e Z . O n e t o o n e r a t i o o f t r a n s -

f o r m a t i o n w i l l b e a s s u m e d , a n d t h e e f f e c t o f t h e m a g n e t i z i n gc u r r e n t w i l l b e n e g l e c t e d . T h e s y m m e t r i c a l e q u a t i o n s a r e

o S o ( Z A B O l a b O + Z A B 2 I a b l + Z A B 1 I a b 2 )

S I E U V 1 - S ' Eabl- S 1 ( Z A . B 1 a b O + Z A B O I a b l + Z A B 2 I a b 2 )

2 E U V 2 O- S 2 ( Z A B 2 l a b O + Z A B 1 I a b l + Z A B O l a b 2 )( 8 9 )

S I o l = 0

5 1 Z I U 2 =EU2

S i n c e t h e t r a n s f o r m a t i o n r a t i o i s u n i t y a n d t h e e f f e c t s o fm a g n e t i z i n g c u r r e n t s a r e n e g l i g i b l e S I ' a b l = S ' ' u v i , S 2 I a b 2

S 2 V 2 . And t h e r e f o r e b y means o f t h e r e l a t i o n s ( 8 5 ) , t h e l a s t

t w o e q u a t i o n s may b e e x p r e s s e d



1 9 1 8 1 FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES 1 0 5 9

S i E U V = S I 3 Z II( 9 0 )

8 2 , u v 2 = S 2 3 Z 1 a b 2

i n o t h e r w o r d s , t h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s a p p e a r i n t h e

s e c o n d a r y a s i n d e p e n d e n t s y s t e m s , 3 Z b e i n g t h e d e l t a l o a d i m -p e d a n c e e q u i v a l e n t t o t h e s t a r i m p e d a n c e Z .

S u b s t i t u t i n g f r o m ( 9 0 ) i n t h e s e c o n d a n d t h i r d e q u a t i o n a n de l i m i n a t i n g 7 a b O b y m e a n s o f t h e f i r s t e q u a t i o n , a n d we h a v e

S ' g a b = S {(3 Z + Z A B O ) a b I

+ (ZAB2Z2' ) i a b 2 }

Z A B O5 2 0 S 2 { ( Z 2 A B 3 2 ) I ( 9 1 )

+ ( 3 Z + Z A B O Z A B Z A B 2 ) b }Z A B O

w h i c h , w h e n S 1 a n d S 2 a r e r e m o v e d , g i v e t w o s i m u l t a n e o u s e q u a -

t i o n s i n l a b , a n d I a b 2 .A m o d i f i c a t i o n o f t h e p r o b l e m may o c c u r e v e n when t h e l o a d

i m p e d a n c e s a r e s y m m e t r i c a l , a s t h e y may h a v e s y m m e t r i c a lb u t u n e q u a l i m p e d a n c e s Z 1 a n d Z 2 , t o t h e t w o c o m p o n e n t s

I u 1 a n d I u 2 r e s p e c t i v e l y , a s i n t h e c a s e o f a l o a d c o n s i s t i n g o f as y m m e t r i c a l r o t a t i n g m a c h i n e . The e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n gt o ( 8 9 ) , ( 9 0 ) a n d ( 9 1 ) t h e n b e c o m e

o = S o ( Z A . 0 ' I a b O + Z A B 2 ' a b l + Z A B 1 I a b 2 )

S 1 A u v 1 = S 1 - a b 1 - S 1 ( Z A B 1 ' a b O + Z A B O l a b l + Z A B 2 I a b 2 )

S 2 E u v 2=Q-

S 2 ( Z A B 2 I a b O + Z A B I l a b l + Z A . B O T a b 2 ) ( 9 2 )s o L u o = 0

S 1 Z 1 I u , = Su

S 2 Z 2 1 u 2 = u 2

S 1 t U v = S I 3 Z 1 I a b I

S 2 E u v 2 = S 2 3 Z 2 l a b 2




S - g a b S i ( 3 , Z l + Z A B O Z I)a b i +

(ZABO - Z2I ) 2 }Z A B O ! . ( 9 4 )

S2 O = S 2 {(ZABI- A B O ) I a b i ±

( 3 Z 2 + Z A B O - ) I a b 2 }

wC

E f f e c t i v e I m p . = Z B

E f f e c t i v e I M P . - Z A B I

BV

F I G . 4-OPEN DELTA O R V C O N N E C T I O N .

I n a n o p e n d e l t a s y s t e m Z A B 1 = ZA2= Z A B O - Z A B t h e t r a n s -f o r m e r s i n t h i s c a s e b e i n g b o t h t h e s a m e . E q u a t i o n ( 9 1 ) b e c o m e si n t h i s p a r t i c u l a r c a s e w h e r e Z A B § O i s i n f i n i t e

S ' A a b i = S ' { ( 3 Z + 2 Z A a ) f a b + Z A B I a b 2 }} ( 9 5 )

5 2 O = S 2 I Z A B I a b + ( 3 Z + 2 Z A B ) I a b 2 J

a n d we h a v e

l a b O = a b l - I a b 2 ( 9 6 )

S i m i l a r l y , i n s t e a d o f ( 9 4 ) we h a v e

S 1 E a b i = S { ( 3 Z 1 + 2 Z A B ) f a b l + Z A B I a b 2 }( 9 7 )

S 2 O = S 2 { Z A B f a b i + ( 3 Z 2 + 2 Z B ) a b 2 } (

T h e s e c o n d a r y v o l t a g e s a r e o b t a i n e d f r o m ( 9 0 ) a n d ( 9 3 ) f o rt h i s l a t t e r c a s e .




T h e s o l u t i o n o f ( 9 5 ) g i v e s

b 3 Z 1 + 2 Z A B E

l a b 1 ( 3 Z 1 + 3 Z A B ) ( 3 Z 1 + Z A B )Z A B

I a b 2 =

( 3 Z 1 + 3 Z A B ) ( 3 Z 1 + Z A B )E a b ( 9 8 )

- T a b O = 3 Z 1 + 3ZAB E a b

And w e h a v e

SlIai= S l 3 Z 1 + 2 Z A B

3 ( Z 1 + Z A B ) ( Z + 3 ) I ( 9 )

5 2 I a 2 = S 2 ZAB E b

3 ( Z I + Z A B ) ( Z I + 3 )

And t h e r e f o r e

= E a 3 Z A B )l a = -+ - g \ a b3 , Z A B ( Z 1 + Z A B ) Z 1 + Z A B

T b = Ez Z A B ( 1 0 0 )

Z1 + A B ( Z 1 + Z A B ) (Z + 3 ) E a b

~ ~ E CC

i=ZAB3

T h r e e - P h a s e S y s t e m w i t h S y m m e t r i c a l Waves H a v i n g H a r m o n i c s

We may e x p r e s s E ai n t h e

f o l l o w i n gf o r m :

Ea = 1 E j w t + E2 E j 2 w t + E3 e j 3 W t( 1 0 1 )

= 2En E j i w t J

w h e r e E n i s i n g e n e r a l a c o m p l e x n u m b e r .I f t h e s y s t e m i s s y m m e t r i c a l t h r e e - p h a s e A b i s o b t a i n e d b y

2

rd i s p l a c i n g t h e c o m p l e t e wave b y t h e a n g l e - ~ - o r




. 2 _ .4 X r 6

b 3 El-teE2jt+ 3Ee3+. 2 t 4X.6r

E C = e E E j w t e 3E2 e j 2 w t E E 3 E j w t +2 3 . 2 w 32X . 3 1

o r s i n c e e a . , = a e t c .

= E l i e i w t + E 2 i C 2 w t + E E 3 C j 3 w + I

E b = a 2 E l E j w t + a E 2 + E3 j 3 w i + ( 1 0 2 )

EC = a E l e j w t + a2 E2E i 2 w t + E 3E j 3 w t +

o r

S ( E a ) = - S { E 3 9 i i 2 w i + E 6 E j C w t + E 9 E j I 9 w t + 1

+ S ' { E I e j w t + E 4 C E i 4 w t + E7 e j7 w t + } ( 1 0 3 )

+ S 2 { E 2 E J 2 w t + E 5 E i 5 w t + E 8 j 8 w t + }

S ( E a ) -SI z ( E 3 , E j 3 n w t ) + S I z ( E U - _ 2 E j ( 3 n - 2 ) w t ) +

S 2 2 ; ( E 3 n _ l 8 ( 3 - n - l ) w t ) ( 1 0 4 )

T h i s s h o w s t h a t a s y m m e t r i c a l t h r e e - p h a s e s y s t e m h a v i n gh a r m o n i c s i s made u p o f p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c eh a r m o n i c s y s t e m s a n d o t h e r s o f z e r o p h a s e s e q u e n c e , t h a t i s t o

s a y o f t h e s a m e p h a s e i n a l l w i n d i n g s , w h i c h c o m p r i s e t h e g r o u po f t h i r d h a r m o n i c s . T h e s e f a c t s a r e n o t g e n e r a l l y a p p r e c i a t e d

t h o u g h t h e y a r e f a c t o r s t h a t may h a v e a n a p p r e c i a b l e i n f l u e n c e i nt h e p e r f o r m a n c e o f c o m m e r c i a l m a c h i n e s . I t s h o u l d b e p a r t i c u -l a r l y n o t e d t h a t i n t h r e e - p h a s e g e n e r a t o r s p r o v i d e d w i t h d a m p e r st h e f i f t h , e l e v e n t h , s e v e n t e e n t h , a n d t w e n t y - t h i r d h a r m o n i c sp r o d u c e c u r r e n t s i n t h e d a m p e r w i n d i n g s .

I n d e a l i n g w i t h t h e c o m p l e x v a r i a b l e i t w i l l b e c o n v e n i e n t t o

u s e f o r t h e a m p l i t u d e t h e r o o t mean s q u a r e v a l u e f o r e a c h h a r -m o n i c . When i n s t a n t a n e o u s v a l u e s a r e r e q u i r e d , t h e r e a l p a r to f t h e c o m p l e x v a r i a b l e s h o u l d b e m u l t i p l i e d b y \ ¶ . I n t h er e m a i n d e r o f t h i s p a p e r t h i s c o n v e n t i o n w i l l b e a d o p t e d .

Power R e p r e s e n t a t i o n i n S y m m e t r i c a l C o - o r d i n a t e s

S i n c e t h e p o w e r i n a n a l t e r n a t i n g - c u r r e n t s y s t e m i s a l s o a h a r -m o n i c a l l y v a r y i n g s c a l a r q u a n t i t y , i t may t h e r e f o r e b e r e p r e -s e n t e d i n t h e s a m e m a n n e r a s t h e c u r r e n t o r e l e c t r o m o t i v e f o r c e ,




t h a t i s t o s a y b y a c o m p l e x v a r i a b l e w h i c h we s h a l l d e n o t e b y( P + j Q ) + ( P H + j Q H ) , P + j Q b e i n g t h e m e a n v a l u e , i st h e t e r m o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e o f z e r o f r e q u e n c y , P r e p r e s e n t -i n g t h e r e a l p o w e r a n d Q t h e w a t t l e s s p o w e r , / p 2 + Q 2 w i l l b e t h ev o l t - a m p e r e s .

T h e v a l u e o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e ( P + j Q ) + ( P H + j Q )may b e t a k e n a s

(P+jQ) + ( P H + j Q H ) = E I +E I ( 1 0 5 )w i t h t h e p r o v i s i o n t h a t f o r a l l t e r m s h a v i n g n e g a t i v e i n d i c e s t h e

c o n j u g a t e t e r m s m u s t b e s u b s t i t u t e d , t h e s e t e r m s b e i n g p r e s e n ti n t h e p r o d u c t E I +E f , w h i c h i s t h e c o n j u g a t e o f t h e p r o d u c t( 1 0 5 ) . A s i m i l a r r u l e h o l d s g o o d f o r t h e s y m m e t r i c a l v e c t o rs y s t e m

S ( E a ) = ° a O + S ' E a i + . . +S- ( n - l )( 1 0 6 )

S ( I a ) = S ' I a O + S ' I a i + . . . + S n 1 I ( a ) } J ( 1 0

The c o n j u g a t e o f S I i s

S ( I a ) = S L a o + S ( n - l ) l a l + . + S ' I a ( n - l ) ( 1 0 7 )

a n d t h e p o w e r i s r e p r e s e n t e d b y

( P + P b ) + j ( Q + Q b ) = { S ( a ) S ( a ) + S ( E a ) S ( I a ) ( 1 0 8 )w i t h t h e s a m e p r o v i s i o n f o r t e r m s h a v i n g n e g a t i v e i n d i c e s . T h e

s i g n z s i g n i f i e s t h a t a l l t h e p r o d u c t s i n e a c h s e q u e n c e a r e a d d e dt o g e t h e r .

z { S ( f a ) S ( E a ) I = Z S O { I a o0 aO + f E a& +

+ I a ( n - 1 ) E a ( n - l ) }

+ z S ' { a o A a l + l a i E a 2 +Ia2Ea3+ * .

+ I a ( n - 1 ) E a O }+ S 2 { f a E a 2 + I a l E a 3 + f a 2 E4 +

+ I a ( n - 1 ) E a , }

+ 2 ( { ! a Ea(n-1)± I a l E a S + n 1

+ I a ( n - 1 ) E a ( n - 2 ) }




T h e t e r m s p r e f i x e d b y S I , S 2 , S 3 . . S ( n - 1 ) a l l b e c o m e

z e r o a n d s i n c e S e b e c o m e s n

X S ( I a ) S ( E a ) = n { I a O E a 0 + I a i E a 1 ++ I a ( z - 1 ) E a ( n - l ) } ( 1 1 0 )

I n a s i m i l a r m a n n e r i t may b e s h o w n t h a t

I S ( I a ) S ( E a ) = n { l a O E a o + I a l E a ( n - 1 l ) + 1 a 2 E a ( n - 2 ) +

+ I a ( n - l ) E a l } ( 1 1 1 )a n d

t h e r e f o r e( P +jQ) + ( P H +jQH) n{ f a O E a O + f a l E a l +

+ I T a ( n - 1 ) E a ( n - 1 ) }( 1 1 2 )

+ n { I a 0 E a O + I a l E a ( n - 1 ) ± + + I a ( n _ l ) E a l }

F o r a t h r e e - p h a s e s y s t e m t h e e x p r e s s i o n r e d u c e s t o

( P + j Q ) + ( P H + j Q b ) = 3 ( f a o E a o + l a i E a i + f a 2 E a 2 )

+ 3 ( l a o E a O + I a i E a 2 + 1 a 2 . a l )

I n t h e a b o v e e x p r e s s i o n P + PH i s t h e v a l u e o f t h e i n s t a n t a n -e o u s p o w e r o n t h e s y s t e m , P b e i n g t h e mean v a l u e a n d PH t h e

h a r m o n i c p o r t i o n . When t h e c u r r e n t s a r e s i m p l e s i n e w a v e s , Qmay b e i n t e r p r e t e d t o b e t h e mean w a t t l e s s p o w e r o f t h e c i r c u i to r t h e sum o f t h e w a t t l e s s v o l t - a m p e r e s o f e a c h c i r c u i t . I nr o t a t i n g m a c h i n e r y s i n c e t h e c o e f f i c i e n t s o f m u t u a l i n d u c t i o n

may b e c o m p l e x h a r m o n i c f u n c t i o n s o f t h e a n g u l a r v e l o c i t y ,t h i s i s n o t s t r i c t l y t r u e f o r a l l c a s e s ; b u t i f t h e e f f e c t i v e i m p e d a n c e st o t h e v a r i o u s f r e q u e n c i e s o f t h e c o m p o n e n t c u r r e n t s b e u s e d , i tw i l l b e f o u n d t o b e e q u a l t o t h e mean w a t t l e s s v o l t - a m p e r e s o ft h e s y s t e m w i t h e a c h h a r m o n i c c o n s i d e r e d i n d e p e n d e n t .

I n a b a l a n c e d p o l y p h a s e s y s t e m PH a n d Q H b o t h b e c o m e z e r o .T h e i n s t a n t a n e o u s p o w e r i s a q u a n t i t y o f g r e a t i m p o r t a n c e i np o l y p h a s e s y s t e m s b e c a u s e t h e i n s t a n t a n e o u s t o r q u e i s p r o p o r -

t i o n a l t o i t a n d t h i s q u a n t i t y e n t e r s i n t o t h e p r o b l e m o f v i b r a -

t i o n s w h i c h i s a t t i m e s a m a t t e r o f g r e a t i m p o r t a n c e , e s p e c i a l l ywhen c a u s e d b y u n b a l a n c e d e . m. f s . A s y s t e m o f c u r r e n t s

a n d e . m. f s . may b e t r a n s f o r m e d t o b a l a n c e d p o l y p h a s e b ym e a n s o f t r a n s f o r m e r s a l o n e , p r o v i d e d t h a t t h e v a l u e o f PH i s

z e r o , w h i l e o n t h e o t h e r h a n d p o l y p h a s e p o w e r c a n n o t b es u p p l i e d f r o m a p u l s a t i n g p o w e r s y s t e m w i t h o u t means f o r




s u p p l y i n g t h e n e c e s s a r y s t o r a g e t o make a c o n t i n u o u s f l o w o fe n e r g y .

PART I IA p p l i c a t i o n o f t h e M e t h o d t o R o t a t i n g P o l y p h a s e N e t w o r k s

Th e m e t h o d s o f d e t e r m i n i n g t h e c o n s t a n t s Z a Z u , M, e t c . , o fc o - a x i a l c y l i n d r i c a l n e t w o r k s i s t a k e n u p i n A p p e n d i x I o f t h i sp a p e r . I t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e r e a d e r h a s f a m i l i a r i z e d h i m -s e l f w i t h t h e s e q u a n t i t i e s a n d u n d e r s t a n d s t h e i r s i g n i f i c a n c e .We s h a l l f i r s t c o n s i d e r t h e c a s e o f s y m m e t r i c a l l y wound m a c h i n e st a k i n g u p t h e s i m p l e c a s e s f i r s t a n d p r o c e e d i n g t o more c o m p l e x

o n e s .S Y M M E T R I C A L L Y WOUND I N D U C T I O N MOTOR O P E R A T I N G ON

U N S Y M M E T R I C A L P O L Y P H A S E C I R C U I T

D e n o t i n g t h e p o l e - p i t c h a n g l e b y r l e t t h e s y n c h r o n o u s a n g u l a rv e l o c i t y b e wo a n d l e t t h e a n g u l a r s l i p v e l o c i t y b e c o , . An d l e tS 1 E a i S 2 E a 2 b e t h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s o f i m p r e s s e d p o l y -p h a s e e . m . f . L e t R a b e t h e p r i m a r y r e s i s t a n c e a n d R . t h e

s e c o n d a r y r e s i s t a n c e . T h e p r i m a r y s e l f - i n d u c t a n c e b e i n g M a a ,t h a t o f t h e s e c o n d a r y b e i n g M u u a n d c o r r e s p o n d i n g s y m b o l sb e i n g u s e d t o d e n o t e t h e m u t u a l i n d u c t a n c e s b e t w e e n t h e d i f -f e r e n t p a i r s o f w i n d i n g s . T h e n b y means o f ( 3 9 ) , ( 4 0 ) , ( 5 6 ) a n d( 5 7 )

S ' 1 a l S i { Ra ai+ 1 2 M a a a l

+ 1 2 M a u d t E J ( w 0 i1)

d l2 Ea 2 =S R a 7 a 2 + 1 2 1 A M a a d t a 2

+ 1 1 M d C - _ j ( , @ - w i ) t S1 2 1 M i a u 2

S ' Ei =0= S ' { R u u l + ± 1 M u u d I i s [ ( 1 1 4 )

+ 1 1 M d - j ( w o - w l ) t I1 1 2 M a u d- l a

S 2 E u 2 = S2Ru I u 2 + 1 2 M u u d t 1 u 2

+ 1 2 M a u i E I - I a 2




d e n o t e 1 2 M a a b y L a a n d 1 4 M u u b y L U , 1 4 M a u b y M , t h e e q u a -t i o n s ( 1 ) b e c o m e

S ' E a l = S (Ra+ La ) I a l

+ M d j ( w o w ) l ) I U

S 2 E a 2 = S 2 ( R a + L a d - t ) I a 2

+ M d E j ( w o - W I ) t J u 2 }d t ( 1 1 5 )

s l E l = - {Ru+Ludt)8

+M dt E d j ( w - W I ) t a i }

S 2 A 2 = = S {(Ru+Lu d t ) I u 2

+ M d t E ( w o - ) I a 2 }d t a

From t h e l a s t two e q u a t i o n s w e h a v e

Md

j j u i - M d t E l j ( w o w l ) ' a i ( 1 1 6 )R u + L u d t

d

R u + L u d t

S u b s t i t u t i n g t h e s e i n t h e f i r s t two e q u a t i o n s o f ( 1 1 5 ) we o b t a i n

S alS1(RaL a d t)

A l 2 d d _J(wow1IM 2

d-J( -4 - a l ( 1 1 8 )R u +Lu { d t -(wo- W I ) t




S 2 E a 2 =S2 ( R a + L a d -)

M2 d dt+(io ) I ( l )~ ~ +( w o - w i4

RU + L U { d § -j ( w o - w 1 ) -

I f E a l E a l E i j w t a n d E a 2 = E a 2 e j w l t h e s o l u t i o n f o r I a I a n d 1 . 2w i l l b e

I a l = a ( 1 2 0 )

I a 2 = Z2(121)z 2

W h e r e

Z 1 R a + j W o L a + R 2 + w 1 2 L 2 (Ru- j W I L u ) ( 1 2 2 )

Z 2 Ra + j w o L a +

R U 2 + ( 2 w o - w 1 ) L 2 { R u- j ( 2 w o -w 2 ) L " } ( 1 2 3 )T h e i m p e d a n c e s Z 1 a n d Z 2 w i l l b e f o u n d more c o n v e n i e n t t o u s ei n t h e f o r m

Z , = ( R a + K 1 2 R u ) + j w o ( L a - K 1 2 L u ) + W o Wi K12 R UWI ( 1 2 4 )

Z 2 = ( R a + K 2 2 R u ) + j w o ( L a - K 2 2 L u ) - W o - W I K 2 2 R s ,

( 1 2 5 )W h e r e , a s we w i l l s e e l a t e r , K 1 2 a n d K 2 2 a r e t h e s q u a r e s o f t h e

t r a n s f o r m a t i o n r a t i o s b e t w e e n p r i m a r y a n d s e c o n d a r y c u r r e n t s

o f p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e .Th e l a s t r e a l t e r m i n e a c h e x p r e s s i o n i s t h e v i r t u a l r e s i s t a n c ed u e t o m e c h a n i c a l r o t a t i o n a n d w h e n c o m b i n e d w i t h t h e means q u a r e c u r r e n t r e p r e s e n t s m e c h a n i c a l w o r k p e r f o r m e d , t h e p o s i -t i v e s i g n r e p r e s e n t i n g w o r k p e r f o r m e d a n d t h e n e g a t i v e s i g nw o r k r e q u i r e d .

T h u s , f o r e x a m p l e , t o e n a b l e t h e c u r r e n t s S 2 I a 2 t o f l o w , t h e

m e c h a n i c a l work 3 1 a 2 2 w Owl

K 1 2 R ,must

b e a p p l i e d t Q2wt-h w ht h e s h a f t o f t h e m o t o r ,




T h e p h a s e a n g l e s o f t h e s y m m e t r i c a l s y s t e m s S ' I a i S 2 1 a 2w i t h r e s p e c t t o t h e i r i m p r e s s e d e . m . f . , S I E a , a n d S 2 E a 2 a r eg i v e n b y t h e s e i m p e d a n c e s

s ot h a t t h e c o m p l e t e

s o l u t i o no f t h e

p r i m a r y c i r c u i t i s t h u s o b t a i n e d .T h e s e c o n d a r y c u r r e n t s a r e g i v e n b y e q u a t i o n s ( 1 1 6 ) a n d ( 1 1 7 )

a n d a r e

= l MRu I a l E = w L u K, I a l f j w l t (126)

j ( 2 w o -w , ) M C j ( 2 u o - w - ) t-12 = E j ( 2 u ' o - w 1 ) t2 = R- j2w-,) 1 a 2 K2 I a

R U + j ( 2 w o - w l ) L u ( 1 2 7 )I n t h e r e s u l t s j u s t g i v e n , M i s n o t t h e maximum v a l u e o f

m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n a p a i r o f p r i m a r y a n d s e c o n d a r yw i n d i n g s b u t i s e q u a l t o t h e t o t a l m u t u a l i n d u c t a n c e d u e t o a

c u r r e n t p a s s i n g t h r o u g h t h e t w o c o i l s W a n d V t h r o u g h t h e c o i l

UA

wVC B

F I G . 5

U a s s h o w n i n t h e s k e t c h F i g 5 a n d t h e w i n d i n g "A" when Aa n d U h a v e t h e i r p l a n e s o f s y m m e t r y c o i n c i d e n t .Where t h e w i n d i n g s a r e s y m m e t r i c a l t h e i n d u c e d e . m . f . i s

i n d e p e n d e n t o f t h e d i v i s i o n o f c u r r e n t b e t w e e n W a n d V , b u t

t h i s q u a n t i t y m u s t n o t b e u s e d i n u n s y m m e t r i c a l w i n d i n g s , o rw i t h s t a r w i n d i n g s h a v i n g a n e u t r a l p o i n t c o n n e c t i o n s o t h a t

I a O i s n o t z e r o .T h e a p p e a r a n c e o f M i n t h i s e q u a t i o n f o l l o w s f r o m t h e e q u a -t i o n

I u + I v + I w = 0s o t h a t

I - ( I v + I W )

T h e p o w e r d e l i v e r e d b y t h e m o t o r i s

P o = 3 w WK12 a l 2 R u - w K 2 2 I a 2 2 Ru} ( 1 2 8 )K i 2 I a i . u 2 wo-w,




T h e c o p p e r l o s s e s a r e g i v e n b y

P L = 3 { I I a i 1 ( R P + K 1 2 R U ) + 1 a 2 2 ( R p + K 2 2 R U ) ( 1 2 9 )

The i r o n l o s s i s i n d e p e n d e n t o f t h e c o p p e r l o s s a n d p o w e r o u t -

p u t . T h e i r o n l o s s a n d w i n d a g e may b e t a k e n a s

P , = I r o n l o s s a n d w i n d a g e ( 1 3 0 )T h e p o w e r i n p u t a s

P = P O + P L + P F ( 1 3 1 )

T h e m e c h a n i c a l p o w e r o u t p u t i s P 0 l e s s f r i c t i o n a n d w i n d a g el o s s e s .

T o r q u e = 3 - K 1 2 I J a 2 R - 2w- K 2 2 I a 2 2 R u

X 1 0 7 d y n e - c m . ( 1 3 2 )T h e k v - a . a t t h e t e r m i n a l s i s

V P I 2 + Q I 2= T h e

e f f e c t i v ev a l u e

o f 3 ( E a l I a l + E a 2 I a 2 ) ( 1 3 3 )T h i s l a s t r e s u l t may b e a r r i v e d a t i n t h e f o l l o w i n g way

S ( E a ) = S I E a l + S 2 E a 2 )( 1 3 4 )

S ( I a ) = 5 2 f a l + S 7 1 a 2

S i n c e 8 2 f a l i s c o n j u g a t e t o S I I a l , e t c .

T h e p r o d u c t o f E 8 , a n d f L a i s t h e p o w e r p r o d u c t o f t h e twov e c t o r s , S ( E a ) a n d S ( I a ) a n d o m i t s t h e h a r m o n i c v a r i a t i o n a s a

d o u b l e f r e q u e n c y q u a n t i t y , t h e a v e r a g e w a t t l e s s a p p e a r s a s a ni m a g i n a r y n o n - h a r m o n i c q u a n t i t y .

P I + i Q I = : ( S E E a l 1 i , 1 + S W E a 2 1 a 2 + S ' E a 2 f a l

+ 8 2 E a l 7 a 2 ) ( 1 3 5 )

T h e S I a n d 8 2 p r o d u c t s h a v e z e r o v a l u e s , s i n c e t h e s u m o f t h et e r m s o f e a c h s e q u e n c e i s z e r o , h e n c e -

P , + j Q I = 3 ( E a l l a l + E a 2 P a L ) ( 1 3 6 )

\ / p 1 2 + Q I 2 = T h e e f f e c t i v e v a l u e o f 3 ( E a l P a l + E a 2 f a 2 ) ( 1 3 7 )

Th e s o l u t i o n f o r t h e g e n e r a l c a s e o f s y m m e t r i c a l m o t o r o p e r a -t i n g o n a n u n s y m m e t r i c a l c i r c u i t i s n G t o f a s much i n t e r e s t a s




c e r t a i n s p e c i a l c a s e s d e p e n d i n g t h e r e o n . S o m e o f t h e m o s t i m -p o r t a n t o f t h e s e w i l l b e t a k e n u p i n t h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s .

C a s e I . S i n g l e - p h a s ee . m .

f . i m p r e s s e da c r o s s o n e

p h a s e o ft h r e e - p h a s e m o t o r .

A s s u m i n g t h e s i n g l e - p h a s e v o l t a g e t o b e E b c i m p r e s s e d a c r o s s

t h e t e r m i n a l s B C . T h e known d a t a o r c o n s t r a i n t s a r e

E b c =j3 ( a l - E a 2 ) } ( 1 3 8 )

I a = 0 , I b =-Ic Ja n d t h e r e f o r e

l a - 1 a 2 ( 1 3 9 )

E a , E a 2Z 1 Z 2

E a 2 Z 2 - g a l ( 1 4 0 )z 1S u b s t i t u t i n g i n ( 1 3 8 )

E b c Z_E l = - - ' - z 1 + za =

N / 5 * 1 + Z 2 ( 1 4 1 )

E a 2 = j-*

a n d t h e r e f o r e* E b c

N / 3 . Z + Z 2 ( 1 4 2 )E b c 1

1 a 2 = J 7 / 3 Z l + Z 2

S i n c e I b = I b l + I b 2 a 2 I l a + a ' a 2

lb =-IC E143

z l + z ( 1 4 3 )W o=K 2 2 R ' - 2 w o _ w I K 2 2 R X u I J 2 ( 1 4 4 )

P i + j Q i = l e ( Z 1 + Z 2 ) + P F ( 1 4 5 )

T h e p o w e r f a c t o r i s o b t a i n e d f r o m ( 1 4 5 ) b y t h e f o r m u l a

c o s a x = Pi+ Q i 2 ( 1 4 6 )




S u b s t i t u t i n g f r o m ( 1 4 2 ) i n e q u a t i o n ( 1 2 6 ) a n d ( 1 2 7 ) o f t h e

g e n e r a l c a s e we o b t a i n f o r t h e s e c o n d a r y c u r r e n t s

f u l =- K , E b l+ 2 s e w l tZ 1 = - + K 1 2 1 ( 1 4 7 )

I t s 2 = j K2 - E j ( 2 w o - w w i ) {

Many u n s y m m e t r i c a l c a s e s may b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e

o p e r a t i o n o f c o u p l e d s y m m e t r i c a l m o t o r s o p e r a t i n g o n s y m m e t r i -c a l s y s t e m s . T h i s i s i n v a r i a b l y t h e c a s e w i t h s y m m e t r i c a l p o l y -

p h a s e m o t o r s o p e r a t i n g o n s i n g l e - p h a s e c i r c u i t s . S i n c e t h ep h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n s a r e u s e f u l i n i m p r e s s i n g t h e f a c t s o no n e s memory t h e y w i l l b e g i v e n w h e n e v e r t h e y a p p e a r t o b eu s e f u l .

E q u a t i o n s ( 1 4 1 ) a n d ( 1 4 2 ) s h o w t h a t s i n g l e - p h a s e o p e r a t i o n i se x a c t l y e q u i v a l e n t t o o p e r a t i n g t w o d u p l i c a t e m o t o r s i n s e r i e sw i t h a s y m m e t r i c a l p o l y p h a s e e . m . f . S I E a b i m p r e s s e d a c r o s s o n e

m o t o r , t h e o t h e r b e i n g c o n n e c t e d i n s e r i e s w i t h t h e f i r s t b u t w i t hp h a s e s e q u e i n c e r e v e r s e d , t h e t w o m o t o r s b e i n g d i r e c t l y c o u p l e d .C a s e I I . B a n d C c o n n e c t e d t o g e t h e r e . m . f . i m p r e s s e d a c r o s s

A B .T h e d a t a g i v e n b y t h e c o n d i t i o n s o f c o n s t r a i n t a r e

E a b = - L c a( 1 4 8 )

E b C = O=j3 ( A a l - a 2 )

We t h e r e f o r e h a v e

A a l = E a 2 = - 3 a b ( 1 4 9 )

a n d

E a b1 l a I =-

a2=E a b ( 10

a 2 3 Z 2 }

The r e m a i n d e r f o l l o w s f r o m t h e g e n e r a l s o l u t i o n a n d n e e d n o tb e r e p e a t e d h e r e .

( 1 5 0 ) s h o w s t h a t a m o t o r o p e r a t e d i n t h i s m a n n e r i s t h e e x a c te q u i v a l e n t i n a l l r e s p e c t s t o t w o d u p l i c a t e m e c h a n i c a l l y c o u p l e dp o l y p h a s e m o t o r s , o n e o f w h i c h h a s s e q u e n c e r e v e r s e d , o p e r a t i n g

i n p a r a l l e l o n a b a l a n c e d t h r e e - p h a s e c i r c u i t o f e . m . f . S I Ea




T h e s e c o n d a r y c u r r e n t s f o l l o w f r o m s u b s t i t u t i o n o f ( 1 5 0 )i n e q u a t i o n s ( 1 2 6 ) a n d ( 1 2 7 ) o f t h e g e n e r a l c a s e .

C a s e I I I . B a n d C c o n n e c t e dt o g e t h e r b y

t h e t e r m i n a l so f

a

b a l a n c e c o i l , t h e i m p r e s s e d e . m . f . E A D a p p l i e d b e t w e e n A a n d t h em i d d l e p o i n t o f t h e b a l a n c e c o i l . R e s i s t a n c e a n d r e a c t a n c e o fb a l a n c e c o i l n e g l i g i b l e .

T h e d a t a f u r n i s h e d b y t h e c o n n e c t i o n i n t h i s c a s e i s

l b = I C = _ ( 1 5 1 )2

a n d t h e r e f o r e

_a~~~~~'

Ia aa l a= ~ ~ 2 2 l a _

' a 2 =al = 2

We t h e r e f o r e h a v eZ l l aE a ,

E a l - -2 ( 1 5 2 )Z 2 I aE a 2 2

we h a v e

E a b =j V - 3 ( a Eal- a 2 a 2 )

= jV3- ( a Z 1 - a 2 Z 2 )

- I aA c = j V 3 ( Z 1 - Z 2 )

ad =(ab + Ac)

I a ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 1 5 3 )-jv/3 2 { (a+ ) Z , - ( a 2 + )Z2(

_ - 3 I a ( Z 1 + Z 2 )

a n d t h e r e f o r e ,

a a--14 z ( 1 6 E a da 12 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 1 5 4 )



1 9 1 8 ] FOR TESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES 1 0 7 3

r0-WjWO-i

P W K 2 WO- K 2 2 5 I a R s ( 1 5 6 )

Pi +j Q i = 3Ia1 ( Z 1 + Z 2 ) + P F ( 1 5 6 )

c o s a = P Q ( 1 5 7 )V p 1 2 + Q 1 2

0 -

z 8 - - P o ~ e r a t r

w 60

0

zI0 ~

o z

a-10

2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0>100 M O T O R T O R Q U E

F I G . 6 - C H A R A C T E R I S T I C S O F T H R E E - P H A S E I N D U C T I O N MOTOR-BALANCED THREE-PHASE

E v i d e n t l y ( 1 5 5 ) , ( 1 5 6 ) a n d ( 1 5 7 ) a r e i d e n t i c a l t o ( 1 4 4 ) , ( 1 4 5 )

a n d ( 1 4 6 ) i f I a i s e q u a l t o l b 2 T h i s w i l l b e t h e case i f

t h e v a l u e o f E a d = 2 t i m e s t h a t o f E b , . The t o t a l h e a t i n g o f




t h e m o t o r s w i l l b e t h e s a m e i n e a c h c a s e b u t t h e h e a t i n g i n o n ep h a s e f o r C a s e I I I w i l l b e o n e - t h i r d g r e a t e r t h a n f o r C a s e I .

a .f f i 1 0 0 0 E f f c i e n c y

e t c a r e c o d t P o w e r pa c t o rz 80

Li60

o - M I -

_ . ) S 0., a .Li.40~~__:Powe-r F a c t o r - -

a . _ _ A - "~ : 2 0 - fp - u t 2 0 0z

Uov - K ! W . o u t p u t Z -a . 1 0 0 0 2000 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 >6

M O T O R T O R Q U E YF I G . 7 - C H A R A C T E R I S T I C S O F T H R E E - P H A S E I N D U C T I O N M O T O R - S I N G L E -

' P H A S E O P E R A T I O N - O N E L E A D O P E NT h i s m e t h o d o f o p e r a t i o n i s t h e r e f o r e , a s f a r a s t o t a l l o s s e s ,

e t c . a r e c o n c e r n e d , t h e e x a c t c o u n t e r p a r t o f t w o p o l y p h a s e

1 0 0

L i .

u , j 6 0

0~~~~~~~~~

- E f f i c i n e c y0a _ 2 0 2 0z -

' K . W . O u t p u t a .a . 0 4

1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 >

M O T O R T O R Q U E

F I G . 8-CHARACTERISTICS OF THREE-PHASE INDUCTION MOTOR-S I N G L E - P H A S E O P E R A T I O N I N MANNER I N D I C A T E D

m o t o r s c o n n e c t e d i n s e r i e s w i t h s h a f t s m e c h a n i c a l l y c o n n e c t e d ,o n e o f w h i c h h a s i t s p h a s e s e q u e n c i e r e v e r s e d .

F i g s . 6 , 7 a n d 8 s h o w c h a r a c t e r i s t i c curves o f a t h r e e - p h a s e




i n d u c t i o n m o t o r o p e r a t i n g r e s p e c t i v e l y o n a s y m m e t r i c a l c i r -c u i t , a c c o r d i n g t o C a s e I a n d a c c o r d i n g t o C a s e I I .

S y n c h r o n o u s M a c h i n e r y

THE S Y M M E T R I C A L THREE-PHASE GENERATOR O P E R A T I N G ON

U N S Y M M E T R I C A L L Y LOADED C I R C U I T

T h e p o l y p h a s e s a l i e n t p o l e g e n e r a t o r i s n o t s t r i c t l y a s y m m e t r i -c a l m a i c h i n e , t h e e x c i t i n g w i n d i n g i s n o t a s y m m e t r i c a l p o l y p h a s ew i n d i n g a n d i t t h e r e f o r e s e t s u p u n s y m m e t r i c a l t r a i n s o f h a r -m o n i c s i n e x a c t l y t h e same way a s t h e y a r e s e t u p i n a n i n d u c t i o nm o t o r w i t h u n s y m m e t r i c a l s e c o n d a r y w i n d i n g . T h e s e c a s e s w i l lt h e r e f o r e b e t a k e n u p l a t e r o n . A t h r e e - p h a s e g e n e r a t o r mayh o w e v e r b e w o u n d w i t h a d i s t r i b u t e d p o l y p h a s e w i n d i n g t o s e r v eb o t h a s e x c i t i n g a n d d a m p e r w i n d i n g a n d i f p r o p e r l y c o n n e c t e dw i l l b e p e r f e c t l y s y m m e t r i c a l . S u c h a m a c h i n e w i l l d i f f e r f r o ma n i n d u c t i o n m o t o r o n l y i n r e s p e c t t o t h e f a c t t h a t i t o p e r a t e si n s y n c h r o n i s m a n d h a s i n t e r n a l l y g e n e r a t e d s y m m e t r i c a l e . m . f s .

w h i c h we w i l l d e n o t e b y S 1 E a . , S 2 E a 2 t h e n e g a t i v e p h a s e s e -q u e n c e c o m p o n e n t b e i n g z e r o ; a n e . m . f . S O E a O may e x i s t b u ts i n c e i n a l l t h e c o n n e c t i o n s t h a t w i l l b e c o n s i d e r e d t h e r e w i l l b en o n e u t r a l c o n n e c t i o n i t s v a l u e may b e i g n o r e d . I f t h e l o a di m p e d a n c e s b e Z a , Z b ' a n d Z J ' t h e y may b e e x p r e s s e d b y

Z , a l = S ° Z a o ' + S ' Z a l ' + S 2 Z a 2 '

a n d t h e e q u a t i o n s o f t h e g e n e r a t o r w i l l b e

SEa , S t { ( R a + L a d t I a l ' + Z a 0 ' I a l '

+ Z a 2 ' 1 a 2 + ± M c d t E ' ' I u 1 }

0 5 = S 2 { f ( R a + L a t ) I a 2 ' + Z a O ' I a 2 */t ( 1 5 8 )

+ Z a l l l a l t + M dE j w o t I U 2 }

o = ( R u + L u d u)U l + M d - J w o t I a l a

O (Ru + L u t ) I2' +Mdt E t I a 2 '




T h e l a s t t w o e q u a t i o n s g i v e

d

I 1 ' - d t C - j w o t l a 1

R u + L u d td td ( 1 5 9 )d t

I u 2 - d e i w o t ' a 2 'RU + Lud t

w h i c h o n s u b s t i t u t i o n i n t h e f i r s t t w o e q u a t i o n s o f ( 1 5 8 ) g i v et h e e q u a t i o n s

d d- j ) o jRa+ L a d M d t (d t j o a l 1 I

{ RU +LdUy(L d t o ) J I

+ Z a o l I a l ' + Z a 2 ' I a 2 ' E a l( 1 6 0 )

Z a l I a l i + R a +La

A l 2 d d j W Ad tdt

_t ( dGtJ w ) a 2 Z a O '1 a 2 0 =

0

o r i fE a l = E a l E j u " ' o ( 1 6 1 )

t h e i m p e d a n c e s Z a O , Z a l , Z a 2 b e c o m e o r d i n a r y i m p e d a n c e f o r a ne l e c t r i c a l a n g u l a r v e l o c i t y w o a n d e q u a t i o n s ( 1 6 0 ) b e c o m e

( R a + j wLa + Z a O ) I a l ' + Z a 2 ' I a ' 2 = E a IZ a l ' f a l ' + { Z a O ' + (Ra+ K 2 2 R U ) +j 2 W o ( L a - K 2 2 L u ) - ( 1 6 2 )

K2 2 R u } I a 2 0 J

I t i s a p p a r e n t t h a t i n t h e g e n e r a t o r t h e i m p e d a n c e s

R a + j w o L a = Z 1 '

a n d { ( R a + K 2 2 R u ) +j 2 w o ( L a - K 2 2 L u ) - K 2 R u I = Z 2 '




t a k e t h e p l a c e o f Z 1 a n d Z 2 i n t h e s y m m e t r i c a l i n d u c t i o n m o t o ro p e r a t i n g o n a n u n s y m m e t r i c a l c i r c u i t , a n d we may e x p r e s se q u a t i o n ( 1 6 2 )

( Z a O ' + Z 1 ' ) ' a l ' + Z a 2 ' ' a 2 = E a l( 1 6 3 )

Z a ' ' a l ' + ( Z a O ' + Z 2 ' ) ' a 2 0

w h i c h g i v e sZ a l ' I

a 2 =- I a lZ a O + Z 2

' a l 'E a l

( Z a O ' + Z 1 ' ) z Z a 2 'Z a ' + Z 2 1

O r i n m o r e s y m m e t r i c a l f o r m

( Z a 0 ' Z2')l a l ( Z a O ' + Z 1 ' ) ( Z a O ' + Z 2 ' ) Z a l ' Z a 2 ( 1 6 4 )

Z a l '' a 2 ( Z a O ' +Z1') ( Z a O ' +Z 2')- Z a l Z a 2 ' a l

From ( 1 5 9 ) w e h a v e f o r t h e d a m p e r c u r r e n t s

1 = O i f R > 0

' u = K 2 1 a 2 E j 2 u o t ( 1 6 5 )2 w o M

w h e r e K 2 = ju= + j 2 w o L u

A p a r t i c u l a r c a s e o f i n t e r e s t i s w h e n t h e l o a d i s a S y n c h r o n o u sM o t o r o r I n d u c t i o n M o t o r w i t h u n s y m m e t r i c a l l i n e i m p e d a n c e s i ns e r i e s - E q u a t i o n ( 1 6 3 ) b e c o m e s

( Z a O ' + Z 1 ' + Z 1 ) ' a l ' + Z a 2 ' I a 2 = E a 2

Z a l I a l ' + ( Z a O ' + Z 2 ' + Z 2 ) 1 a 2 ' = 0

Z a 0 ' + Z 2 ' + Z 2a 1 ( Z a O ' + Z l ' + Z l ) (ZaO'+Z2'+Z2)- Z al Z a2 E l a (166)

Z a l1 a 2 ' = ( Z a O ' + Z 1 ' + Z 1 ) ( Z a O ' + Z 2 ' Z 2 ) - Z a l Z a 2 a

An i m p o r t a n t c a s e i s t h a t o f a g e n e r a t o r f e e d i n g i n t o a s y m m e t r i c a lm o t o r a n d a n u n s y m m e t r i c a l l o a d . L e t t h e motor c u r r e n t s b e




I a , I b , f c , t h o s e o f t h e l o a d l a , , I b , , 1 , ' a n d t h e l o a d i m p e d a n c e sZ a ' , Z b ' , Z r ' . T h e e q u a t i o n s o f t h i s s y s t e m w i l l b e

1 E a l = S ' { Z 1 ' ( f a l + l a l ' ) + Z a O ' ' a l ' + Z a 2 ' 1 a 2 'S i E a l = S ' { Z i 1 ( I a i + f a l ) + Z i a lI

S 2 0 = S 2 { Z 2 ' ( I a 2 + f a 2 l ) + Z a O ' 1 a 2 + Z a l ' I a i l (

S 2 0 = S 2 { Z 2 ' ( I a 2 + I a 2 ' ) + Z 2 I a 2 } )

O r , o m i t t i n g t h e s e q u e n c e s y m b o l s a n d r e - a r r a n g i n g -E a l = Z i ' l a l + ( Z 1 ' + Z a O ' ) f a l ' + Z a 2 ' I a 2

E a l = ( Z 1 ' + Z 1 ) f a l + Z l ' I a l l( 1 6 8 )

O = Z 2 ' f a 2 + Z a l ' f a l l + ( Z 2 ' + Z a O ' ) f a 2 '

O = ( Z 2 ' + Z 2 ) f a 2 + Z 2 ' a 2 '

T h e s e e q u a t i o n s c a n b e f u r t h e r s i m p l i f i e d a s f o l l o w s :

o = ( Z 2 ' + Z 2 ) a 2 + Z 2 ' I a 2 '

O = - Z 2 I a 2 + Z a l ' I a l ' + Z a O ' ' a 2( 1 6 9 )

O =- Z f a l + Z a O ' I a O ' + Z a 2 ' I a 2 '

E a l = ( Z i '+ Z i ) f a l + Z l ' f a l 'A s e t o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s w h i c h may b e e a s i l y s o l v e d .

THE S I N G L E - P H A S E GENERATOR I S AN IMPORTANT CASE O F THET H R E E - P H A S E GENERATOR OPERATED ON AN UNBALANCED LOAD

L e t t h e i m p e d a n c e o f t h e s i n g l e - p h a s e l o a d b e Z a n d l e t u s

s u p p o s e i t t o b e made u p o f t h r e e s t a r c o n n e c t e d i m p e d a n c e s

Z a ' - = 3 Z , c + -

zZ b ' = 2

=z

2 c




t h e v a l u e o f Z X i n t h e l i m i t b e i n g i n f i n i t y . T h e n w e h a v e

Z a o ' = Z x + Z

2 ( 1 7 0 )Z a l ' = Z C

Z a 2 ' = Z _ x

E q u a t i o n ( 1 6 4 ) i n t h e l i m i t w h e n Z x b e c o m e s i n f i n i t e r e d u c e st o

1 a lZ+

Z l '+

Z 2 'I ' a 2 E a i ( 1 7 1 )a 2 = Z + Z l ' + Z 2 '

T h e s i n g l e - p h a s e l o a d b e i n g a c r o s s t h e p h a s e B C , t h e s i n g l e -p h a s e c u r r e n t I w i l l t h e r e f o r e b e e q u a l t o I C o r

I j - \ / 3 E - a l1

Z + Z l ' + Z 2 ' (121

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 1 7 2 )Z + Z l' + Z 2'J

I U 1 = 0 i f R U > 0

1 u 2 =-j K2 I E j u ' o tj K 2 ( 1 7 3 )

IU=_ j K 2 I C j 2 u - o tu 2 = -A / 3 J

I u 2 i s d o u b l e n o r m a l f r e q u e n c y

P I + j Q I = 3 1 2 Z 1

P L + j Q L = 3 I 2 ( Z 1 I + Z 2 ) ( 1 7 4 )

( P + j Q ) + ( P H + J Q H ) 3 E b ( f + I )I n t h e c a s e o f t h e g e n e r a l l y u n b a l a n c e d t h r e e - p h a s e l o a d

P 1 + j Q 1 = 3 { ( I a i 2 + I a 2 2 ) Z a O '

+ l a l f a 2 Z a 2 ' + f a l I a 2 Z a l ' }

P L + J Q L = 3 { I a i 2 Z l 1 + I a 2 2 Z 2 ' } ( 1 7 5 )

( P + J Q ) + ( P H + j Q H ) 3 E a l ( 1 a 2 + f a 2 )




When t h e g e n e r a t o r h a s h a r m o n i c s i n i t s wave f o r m e q u a t i o n s( 1 6 2 ) m u s t b e w r i t t e n

(Ra+ j w L a + Z a i ' ) I a 1 ' + Z a 2 ' I a 2 ' = E a i

Z a l ' I a l '+ { Z a O ' + ( R a + K 2 j 2 R u ) ( 1 7 6 )

+ j 2 w ( L a -K2 2 L U ) - 2l a 2 R , , I I a 2 ' = a2 J

W h e r e E a l i s f i n i t e , E a 2 i s z e r o a n d v i c e v e r s a , t h e f r e q u e n c i e sb e i n g d i f f e r e n t i n e a c h c a s e , we h a v e t h e r e f o r e a s o l u t i o n f o r e a c h

f r e q u e n c y d e p e n d i n g o n t h e p h a s e a n d a m p l i t u d e a n d p h a s e s e -q u e n c e o f t h e e . m . f . o f t h i s f r e q u e n c y g e n e r a t e d . O f c o u r s et h e v a l u e s o f Z 1 ' a n d Z 2 ' c h a n g e w i t h e a c h f r e q u e n c y o n a c c o u n to f t h e c h a n g e i n t h e r e a c t a n c e w i t h f r e q u e n c y , a n d a v a l u e m u s tb e t a k e n f o r w c o n f o r m i n g w i t h t h e f r e q u e n c y o f t h e h a r m o n i cu n d e r c o n s i d e r a t i o n .

S y m m e t r i c a l S y n c h r o n o u s M o t o r , S y n c h r o n o u s C o n d e n s e r , E t c .

A s i n t h e c a s e o f t h e g e n e r a t o r , t h e s y n c h r o n o u s m o t o r h a s t w oi m p e d a n c e s , o n e t o t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t o f ag i v e n f r e q u e n c y a n d t h e o t h e r t o t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c ec u r r e n t o f t h e same f r e q u e n c y . B u t , s i n c e t h e r e i s n o q u a n t i t yi n t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e i m p e d a n c e c o r r e s p o n d i n g t o t h e

v i r t u a l r e s i s t a n c e w h i c h i n d i c a t e s m e c h a n i c a l w o r k i n a n i n d u c -t i o n m o t o r , i t s e q u i v a l e n t i s f u r n i s h e d b y t h e e x c i t a t i o n o f t h ef i e l d . L e t u s d e n o t e t h e e . m . f . d u e t o t h e f i e l d e x c i t a t i o n b y

S E a l l a s s u m i n g i t t o b e f o r t h e p r e s e n t a s i m p l e h a r m o n i c t h r e e -p h a s e s y s t e m . L e t P O b e t h e o u t p u t o f t h e m o t o r w h i c h w i l li n c l u d e t h e w i n d a g e a n d i r o n l o s s e s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t .T h e n f o r t h e s y n c h r o n o u s m o t o r o n a b a l a n c e d c i r c u i t o f e . m . f .S ' P a l we h a v e

S ' E a l = S ' { I a l r ( R a t + j w L a ' ) + E a l ) } ( 1 7 7 )

S ° S a l f a I = S o { I a 1 2 ( R a ' + j i t L a ' ) + Q 0 ( 1 7 8 )

Where Q o i s t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e p r o d u c t , P a l l f a l . ( 1 7 8 )r e d u c e s t o

E a l I a l c o s a = I a i 2 R a ' + P 0 ( 1 7 9 )3

Where c o s a i s t h e r e q u i r e d o p e r a t i n g p o w e r f a c t o r . S o l v i n gf o r l a i




a l = E a i , c o s a 1 - 4 R a ' P o } ( 1 0T I Q CS 1 4 i \ 1- 3 2 CS t} ( 1 8 0 )2 R a ' 3 E a l ' c o s 2 a

= c o s a 4 R a i ' P 0I a = E a ' 2 R a i 1 R 1- 3 E a 1 2 c o s 2 a }

( c o s a - j s i n a ) ( 1 8 1 )

T h e a p p a r e n t i m p e d a n c e o f t h e m o t o r i s

2 R , s e c 4 o ( c o s a + j s i n a ) ( 1 8 2 )

1 4 - 1-4 P o

3 E a V 2 c o s 2 aa n d

E a l i E a l [ 1 - 2 1{i 1 V 3 E a i 2 C 0 5 2a2 _ 4 R a ' P 3 E a 1 o s( c o s a - j s i n a ) ( R a ' + j w L a ' ) ] ( 1 8 3 )

T h e s a m e e q u a t i o n s a p p l y t o t h e c a s e o f t h e s y n c h r o n o u sc o n d e n s e r w i t h t h e d i f f e r e n c e t h a t t h e m e c h a n i c a l w o r k i s t h a tr e q u i r e d t o o v e r c o m e t h e i r o n a n d w i n d a g e l o s s e s o n l y .

I f we t a k e

E , 1 = E a l ( c o s a + j s i n a ) E j W o I = ( A 1 + j B i ) E j W t t( 1 8 4 )

E a 0 1 = ( A 1 ' + j B 1 ' ) ' j w o r }

we h a v e

l a 1 = - 2 R a I41 1- 3 3A ° 1 2 e t n ( 1 8 6 )

A 1 l = A 2 1 ( 1 4 ' V ' i 4 R A P o ) E j w o t ( 1 8 6 )

B i t = { B i - j L a / R A I ( 1 4 - 1- 3 4 , ° )o c j w o

( 1 8 7 )

S i n c e a may b e a p o s i t i v e o r n e g a t i v e a n g l e , t h e s i n e may b ep o s i t i v e o r n e g a t i v e f o r a p o s i t i v e c o s i n e , a n d t h e r e f o r e t h e p o w e rf a c t o r w i l l b e l e a d i n g o r l a g g i n g a c c o r d i n g l y a s B 1 i s n e g a t i v e o r

p o s i t i v e r e s p e c t i v e l y . Th e d o u b l e s i g n s t h r o u g h o u t a r e d u e t ot h e f a c t t h a t f o r a n y g i v e n l o a d a n d p o w e r f a c t o r t h e r e a r e a l w a y st w o t h e o r e t i c a l l y p o s s i b l e r u n n i n g c o n d i t i o n s . H o w e v e r , s i n c e




we a r e c o n c e r n e d o n l y w i t h t h a t o n e w h i c h w i l l g i v e t h e m a x .o p e r a t i n g e f f i c i e n c y , t h a t i s t h e c o n d i t i o n t h a t g i v e s I a l t h e l e s s e rv a l u e , f o r a g i v e n v a l u e o f P 0 t h e e q u a t i o n s may b e w r i t t e n

2 ( 1 - 4 R a P o u 0 o t'al 2 Ral (i V 3 A i 2 6 ~ "

A , ' = 1 ( 1 + 2 V i i - 4 1 ) E j i O t ( 1 8 8 )

j w o L _ ( ' A l 4 R a ' P

An d c o r r e s p o n d i n g v a l u e s f o r ( 1 8 0 ) , ( 1 8 1 ) , ( 1 8 2 ) a n d ( 1 8 3 ) mayb e o b t a i n e d b y o m i t t i n g t h e p o s i t i v e s i g n i n t h e s e e q u a t i o n s .

A n o t h e r c o n d i t i o n o f o p e r a t i o n i s o b t a i n e d b y i n s p e c t i o n o f( 1 8 0 ) , d u e t o t h e f a c t t h a t I a l m u s t b e a r e a l q u a n t i t y

3 4 R a ' P O m u s t b e > 1 ( 1 8 9 )3 E a 1 2 c o s 2 a

t h i s i s t h e c o n d i t i o n o f s t a b i l i t y . I n t e r m s o f ( 1 8 4 ) i t b e c o m e s

4 3R A ' P o m u s t b e > 1 ( 1 9 0 )3 A ~

T h e s a m e c o n d i t i o n s a p p l y t o t h e s y n c h r o n o u s c o n d e n s e r , t h e

t o t a l m e c h a n i c a l l o a d i n t h i s c a s e b e i n g t h e i r o n l o s s a n d w i n d a g e

a n d f r i c t i o n l o s s e s .P r o c e e d i n g no w t o o p e r a t i o n w i t h u n b a l a n c e d c i r c u i t s h a v i n g

s i n e w a v e s t h e m o t o r a l s o h a v i n g a s i n e w a v e . I n a d d i t i o n t o

e q u a t i o n ( 1 7 7 ) we s h a l l h a v e

5 2 E a 2 = S 2 Z 2 ' l a 2 ( 1 9 1 )

T h e m e c h a n i c a l p o w e r d e l i v e r e d t h r o u g h t h e o p e r a t i o n o f t h i sn e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f . i s g i v e n b y PN w h e r e

PN = 3 1 a 2 2 R ( 1 9 2 )2

t h i s q u a n t i t y m u s t t h e r e f o r e b e s u b t r a c t e d f r o m t h e v a l u e o f P 0i n a l l t h e e q u a t i o n s i n w h i c h P o a p p e a r s when u n b a l a n c e d c i r -c u i t s a r e u s e d i n c o n n e c t i o n w i t h e q u a t i o n s ( 1 7 7 ) t o ( 1 9 0 ) i n c l u -s i v e . T h e s e e q u a t i o n s , h o w e v e r , g i v e t h e c o n d i t i o n s f o r m a i n -t a i n i n g a g i v e n m e c h a n i c a l l o a d a n d a g i v e n p o w e r f a c t o r i n t h e

p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t , b u t i n p r a c t i s e w h a t i s r e -




q u i r e d i s t h e c o m b i n e d p o w e r f a c t o r o f t h e w h o l e s y s t e m , o r t h ec o n d i t i o n s t o g i v e a c e r t a i n c o m b i n e d f a c t o r w h i l e d e l i v e r i n g ag i v e n m e c h a n i c a l l o a d ; t h i s may b e o b t a i n e d a s f o l l o w s :

The n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t i s a p e r f e c t l y d e f i n i t ei m p e d a n c e a n d i s i n d e p e n d e n t o f t h e l o a d , a n d t h e r e f o r e t h e z e r of r e q u e n c y p a r t o f t h e p r o d u c t E a 2 1 a 2 may b e s e t down a s

P 2 __E a 2 Ia2= 3 +J Q 3 ( 1 9 3 )

w e h a v e a l s o f o r t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e p o w e r d e l i v e r e d

( A l + j B i ) I a i = I a 1 2 R a ' + - P _ P t ;3 3

+ j ( w I a l L a ' + B l l ) I a l ( 1 9 4 )

And t h e p o w e r f a c t o r i s g i v e n b y c o s a , w h e r e

I a B i + Q2

t a n a = 3 ( 1 9 5 )I a i A j + 2

3From ( 1 9 4 ) w e h a v e

A l I a , =I a i 2 R a l +P

- ( 1 9 6 )3 3

B 1 = w I a l L a ' + B l ' ( 1 9 7 )

A 1 2 + B 1 2 = E a 1 2 ( 1 9 8 )

Th e s i m p l e s t m e t h o d o f s o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s i s b y m e a n so f c u r v e s . T a k i n g a r b i t r a r y v a l u e s o f l a l , B 1 a n d A 1 a r e c h o s e n

c o n s i s t e n t w i t h ( 1 9 8 ) s o a s t o s a t i s f y ( 1 9 5 ) , Po A l , a n d B 1 ' a r e3

t h e n o b t a i n e d f r o m ( 1 9 6 ) a n d ( 1 9 7 ) . I f t h e r e a r e h a r m o n i c s i nt h e i m p r e s s e d e . m . f . b u t t h e r e a r e n o n e i n t h e w a v e f o r m o f t h em a c h i n e , t h e m a c h i n e w i l l h a v e a d e f i n i t e i m p e d a n c e t o t h ep o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t s o f e a c h h a r -m o n i c , s o t h a t t h e r e w i l l b e a d e f i n i t e a m o u n t o f m e c h a n i c a lw o r k c o n t r i b u t e d b y e a c h h a r m o n i c w h i c h m u s t b e s u b t r a c t e df r o m t h e t o t a l w o r k t o b e d o n e t o g i v e t h e a m o u n t o f w o r k c o n -t r i b u t e d b y t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e f u n d a m e n t a l c o m p o n e n t ,t h e e q u a t i o n s w i l l b e i d e n t i c a l t o ( 1 9 3 ) , ( 1 9 4 ) , ( 1 9 5 ) , ( 1 9 6 ) ,




( 1 9 7 ) a n d ( 1 9 8 ) , i f we t a k e P N t o mean t h e t o t a l m e c h a n i c a lw o r k d o n e b y t h e h a r m o n i c s b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s es e q u e n c e a n d

P 2a n d

Q 2t o r e p r e s e n t t h e

p r o d u c t sT , ( n E a l n f a l + n E a 2 n f a 2 )

t h e z e r o f r e q u e n c y p a r t o n l y b e i n g t a k e n i n t o a c c o u n t .When h a r m o n i c s a r e p r e s e n t b o t h i n t h e i m p r e s s e d wave a n d

i n t h e g e n e r a t e d w a v e , t h e p r o b l e m b e c o m e s t o o c o m p l i c a t e d t o

t r e a t g e n e r a l l y , b u t s p e c i f i c c a s e s c a n b e w o r k e d o u t w i t h o u tmuch d i f f i c u l t y .

P h a s e C o n v e r t e r s a n d B a l a n c e r s

T h e p h a s e c o n v e r t e r i s a m a c h i n e t o t r a n s f o r m e n e r g y f r o ms i n g l e - p h a s e o r p u l s a t i n g f o r m t o p o l y p h a s e o r n o n - p u l s a t i n gf o r m o r v i c e v e r s a t o t r a n s f o r m e n e r g y f r o m p o l y p h a s e t o s i n g l e -p h a s e . T h e t r a n s f o r m a t i o n may n o t b e c o m p l e t e , t h a t i s t o s a y ,t h e p o l y p h a s e s y s t e m may n o t b e p e r f e c t l y b a l a n c e d w h e n s u p -p l i e d f r o m a s i n g l e - p h a s e s o u r c e t h r o u g h t h e m e d i u m o f a p h a s e

c o n v e r t e r . P h a s e c o n v e r t e r s may b e r o u g h l y d i v i d e d i n t o t w oc l a s s e s , n a m e l y - s h u n t t y p e a n d s e r i e s t y p e .

I N D U C T I O N MOTOR OR S Y N C H R O N O U S C O N D E N S E R O P E R A T I N GA S A P H A S E CONVERTER OF THE SHUNT TYPE TO S U P P L Y A

S Y M M E T R I C A L I N D U C T I O N MOTOR OR S Y N C H R O N O U SMOTOR

L e t Z , a n d Z 2 b e t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c ei m p e d a n c e s o f t h e m o t o r , Z 1 ' , Z 2 ' t h o s e o f t h e p h a s e c o n v e r t e r .L e t S I E L a a n d S 2 E a 2 b e t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c ec o m p o n e n t s o f t h e s t a r e . m . f . i m p r e s s e d o n t h e m o t o r a s a r e s u l to f t h e o p e r a t i o n . Th e s i n g l e - p h a s e s u p p l y w i l l b e o n e s i d e o f t h ed e l t a e . m . f . S E i b , w h i c h h a s p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e -q u e n c e c o m p o n e n t s S I E b , l a n d S E b , 2 t h e s i n g l e - p h a s e s u p p l yb e i n g Eb= E b c l + E b c 2 .

T h e v a l u e o f Z 2 ' may b e c o n s i d e r e d f i x e d f o r a l l p r a c t i c a l p u r -p o s e s a n d s i n c e i n t h e i n d u c t i o n m o t o r p h a s e c o n v e r t e r t h e s p e e di s p r a c t i c a l l y n o - l o a d s p e e d , Z ' i s p r a c t i c a l l y t h e n o - l o a d i m p e d -a n c e p l u s a r e a l p a r t o b t a i n e d b y i n c r e a s i n g t h e r e a l p a r t o f t h en o - l o a d i m p e d a n c e b y t h e r a t i o o f t h e n o r m a l n o - l o a d l o s s e s t ot h e s e same l o s s e s p l u s a t h e s e c o n d a r y l o s s e s d u e t o t h e p h a s ec o n v e r t e r c u r r e n t s . T h e l a t t e r may b e c a l c u l a t e d r o u g h l y a se v e n a l a r g e e r r o r i n i t s v a l u e w i l l h a v e a n i n a p p r e c i a b l e e f f e c to n t h e a c t u a l r e s u l t s . We h a v e t h e r e f o r e




S ' E a l = S ' j 1

5 2 L l a 2 = S k 2ic 2 ( ( 1 9 9 )

S i ' I a i ' = - S 1 E b c 1 ( 2 0 0 )

S 2 I a 2 = S 2 L b )

I n t h e common l e a d o f m o t o r a n d c o n v e r t e r w e h a v eI a i ' + 1 a 2 ' + I a i ± I a 2 = 0 ( 2 0 2 )

o r , s u b s t i t u t i n g f r o m ( 2 0 0 ) a n d ( 2 0 1 )

S b 2 zt+ - i - ) = L g b 1 ( z + Z ) ( 2 0 3 )

1 + 1E b C , + 2 ( 2 0 4 )

ESi 2 E 1 c 1l a t S ' V- Z ,

1 1

b 4 c 1 = +Zb2 ( 2 0 1 )

(S2l PU2 2)

1 + 1

i ; b c 2 = +1 1A

E b \ (206)

w h i c h g i v e t h e c o m p l e t e s o l u t i o n f o r a l l t h e q u a n t i t i e s r e q u i r e d

w i t h t h e a i d o f e q u a t i o n s ( 2 0 0 ) a n d ( 2 0 1 ) . F o r t h e s u p p l yc u r r e n t 1




I = r b c l + I b c 2 + I b c l + I b c 2 1

S I b c = S b 1 c 1 + S 2 I b c 2 ( 2 0 7 )

S E b , = S 1 E b , l + S 2 E b c 2 )

P 1 + i Q l = E b c f ( 2 0 8 )

I n o r d e r t o o b t a i n a p e r f e c t b a l a n c e we may c o n s i d e r t h e a d d i -

E , 2 .t i o n o f a n e . m . f . S 2 j - E = i n s e r i e s w i t h t h e p h a s e c o n v e r t e rN / 3

w h o s e v a l u e m u s t b e a f u n c t i o n o f t h e l o a d a n d t h e p h a s e c o n -

v e r t e r i m p e d a n c e s , a n d t h e r e f o r e e q u a t i o n ( 2 0 1 ) w i l l b e r e p l a c e db y

S 2 Ia2=S2(=i + VZ) ( 2 0 9 )

S 2l a 2

= S 2j

E b ,

a n d s i n c e t h e b a l a n c e i s p e r f e c t E b c 2 i s z e r o , a n d t h e r e f o r e

23j - S 2 Z 2 1a 2 l ( 2 1 0 )

An e . m . f . e q u a l a n d o f o p p o s i t e p h a s e t o t h e n e g a t i v e p h a s es e q u e n c e

d r o p t h r o u g h t h e p h a s ec o n v e r t e r

i s r e q u i r e dt o

p r o -d u c e a p e r f e c t b a l a n c e .C a r r y i n g o u t t h e s o l u t i o n i n t h e s a m e manner a s i n t h e i m p e r -

f e c t c o n v e r t e r , we o b t a i n

1 1 177 7__

E b c 2 = 1 1 E b . 1 ( 2 1 1 )1 7 _ 7

Z 2 Z 2 Z 2a n d s i n c e E b . 2 i s z e r o a n d E b c l = E b c t h e s i n g l e - p h a s e i m p r e s s e de . m . f . , we o b t a i n

E x 2 = Z 2 ( z i + 1 z 1 ) E b c ( 2 1 2 )

a n d t h e r e f o r e f r o m ( 2 1 0 )

5 2 I a 2 =S 2 j +

Z 1 ' )L ( 2 1 3 )




S ' I a l = - S ' j ( 2 1 4 )

S 2 l a 2 = 0 ( 2 1 5 )Sla l = - S ' j V / 3 Z ( 2 1 6 )

F i g s . 9 , 1 0 , 1 1 a n d 1 2 a r e v e c t o r d i a g r a m s o f s o m e o f t h e p r i n c i -p a l c o m p e n s a t e d s h u n t - t y p e p h a s e c o n v e r t e r s . T h e r e w i l l b e n od i f f i c u l t y i n f o l l o w i n g o u t t h e s e d i a g r a m s i f t h e p r i n c i p l e s o f t h i sp a p e r h a v e b e e n g r a s p e d .

Vp

E a i

A2

/ c E c a \ai b i

F I G . 9-VECTOR DIAGRAM O F S H U N T - T Y P E P H A S E C O N V E R T E R O P E R A T E D

F R O M T R A N S F O R M E R S o A S To D E L I V E R B A L A N C E D C U R R E N T ST e r m i n a l v o l t a g e s o f p h a s e c o n v e r t e r S E ' aT e r m i n a l v o l t a g e s o f m o t o r S l E a lN e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f s . i n p h a s e c o n v e r t e r S 2 ( O A 2 )

T h e P h a s e B a l a n c e r i s a d e v i c e t o m a i n t a i n symmetry o fe . m. f s . a t a g i v e n p o i n t i n a p o l y p h a s e s y s t e m . I t may c o n s i s to f a n i n d u c t i o n m o t o r o r s y n c h r o n o u s c o n d e n s e r w i t h a n a u x i l i a r y

m a c h i n e c o n n e c t e d i n s e r i e s t o s u p p l y a n e . m . f . a l w a y s p r o -p o r t i o n a l t o t h e p r o d u c t o f t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n tp a s s i n g t h r o u g h t h e m a c h i n e a n d t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c ei m p e d a n c e o f t h e b a l a n c e r . I t t h e r e f o r e h a s t h e e f f e c t o f a n -n u l l i n g t h e i m p e d a n c e o f t h e m a c h i n e t o t h e f l o w o f n e g a t i v ep h a s e s e q u e n c e c u r r e n t . T h u s , i n a s y m m e t r i c a l p o l y p h a s en e t w o r k , w h e r e we h a v e a n u n b a l a n c e d s y s t e m o f c u r r e n t s d u e t o

c e r t a i n c o n d i t i o n s

SIa - S' I a l + S2 I a 2 ( 2 1 7 )




I f a b a l a n c e r b e p l a c e d a t t h e p r o p e r p o i n t t h e c o m p o n e n t S 2 1 a 2w i l l c i r c u l a t e b e t w e e n t h e l o a d s a n d t h e p h a s e b a l a n c e r , t h e o t h e rc o m p o n e n t

S I I a lb e i n g f u r n i s h e d f r o m t h e p o w e r

h o u s e . On t h eo t h e r h a n d , i f t h e r e b e a d i s s y m m e t r y i n t h e i m p e d a n c e o f t h es y s t e m u p t o t h e p h a s e b a l a n c e r , t h e l a t t e r w i l l d r a w a n e g a t i v ep h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s u f f i c i e n t t o c o u n t e r a c t t h e u n b a l a n c ed u e t o a n y s y m m e t r i c a l l o a d b y c a u s i n g t h e p r o p e r a m o u n t o fn e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t t o f l o w t o p r o d u c e a b a l a n c e .

T h e b a l a n c e r may b e made i n h e r e n t l y s e l f - b a l a n c i n g b y i n s e r t -i n g i n s e r i e s w i t h i t a m a c h i n e w h i c h i s s e l f - e x c i t i n g a n d i s a b l e

f t , aE a a

< ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - i t

E'c~~~~~~~~~~~E

F I G . 10-VECTOR DIAGRAM SHOWING R E L A T I O N S BETWEEN MOTORTERMINAL E . M . F ' S . , CONVERTER TERMINAL E . M . F S . , AND S Y M M E T R I C A LGENERATED E . M . F ' S . , SAME CONNECTION AS FOR F I G . 9 .

N e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e d r o p s i n p h a s e c o n v e r t e r S 2 Z 2 ' 1

C o n j u g a t e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f s . S 1 ( A B C )

t o f u r n i s h a n e . m. f . e q u a l t o t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e i m p e d -a n c e d r o p . T h e c o m b i n a t i o n t h u s h a s z e r o i m p e d a n c e t o n e g a -

t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s . I f i n t h e n e i g h b o r h o o d o f a p h a s eb a l a n c e r t h e l o a d s h a v e i m p e d a n c e s

S Z a =S o Z a O + S l Z a l + S 2 Z a 2

T h e e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m a r e

S 1 E . , =S1 Z a O l a l + S 1 Z a 2 1 a 2

i ( 2 1 8 )S2E2= 0 = S 2 Z a O I a 2 + S 2 Z a l i I a




T h e c u r r e n t s i n t h e p h a s e b a l a n c e r a r e

E a i

S 2 I a 2 a n d S I z,T h e s o l u t i o n o f ( 2 1 8 ) g i v e s S 2 1 a 2 a n d S l a , t h e f o r m e r o f

w h i c h a r e t h e p h a s e b a l a n c e r c u r r e n t s . T h e s o l u t i o n i s

Z a O- l a I = 2 a a lZ a o -Z a l Z a 2 (219)

Z a l E

- l a 2 --2 E a l lZ a O 2 - Z a l Z a 2 J

E ' a a i

O A ,o ' S t ~ CA i c

C B 6 C D r D B b2'2F I G . 11-VECTOR DIAGRAM OF SHUNT TYPE PHASE CONVERTER S C O T T

CONNECTED WITH C O M P E N S A T I O N " B Y TRANSFORMER TAPST e r m i n a l v o l t a g e s o f c o n v e r t e r D'A a n d B ' C 'T e r m i n a l v o l t a g e s o f m o t o r S ' E a l

T h e p h a s e b a l a n c e r i s a v o l t a g e b a l a n c e r a n d w i l l m a i n t a i nb a l a n c e d e . m . f . f o r a n y c o n d i t i o n o f i m p e d a n c e , a n d i f t h e i m -p e d a n c e o f t h e m a i n s i s u n s y m m e t r i c a l i t w i l l d r a w a s u f f i c i e n tamount o f w a t t l e s s n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t t h r o u g h

t h e s e m a i n s t o p r o d u c e a n e . m . f . b a l a n c e a t i t s t e r m i n a l s .H e n c e t h e c o m p l e t e s o l u t i o n r e q u i r e s c o n s i d e r a t i o n o f a l l t h ec o n n e c t i o n s i n t h e n e t w o r k b e t w e e n t h e s u p p l y p o i n t a n d t h eb a l a n c e r . Tw o e q u a t i o n s f o r e a c h m e s h a n d c o n n e c t i o n a r er e q u i r e d , o n e o f t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f s . a n d t h eo t h e r o f t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f . , a n d t h e s e e q u a t i o n smay b e s o l v e d i n t h e u s u a l w a y .

S e r i e s P h a s e C o n v e r t e r . I n d i s c u s s i n g t h e v a r i o u s r e a c t i o n s i n

r o t a t i n g m a c h i n e s w e h a v e made u s e o f t h e t e r m s " p o s i t i v e p h a s e




s e q u e n c e i m p e d a n c e " a n d " n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e i m p e d -a n c e . " T h e s e t e r m s a r e d e f i n i t e e n o u g h w h e n d e a l i n g w i t h r e l a -

t i o n s b e t w e e n m a c h i n e s w h o s e g e n e r a t e d e . m . f s . a l l h a v e t h es a m e p h a s e s e q u e n c e , b u t r e q u i r e f u r t h e r d e f i n i t i o n when w ea r e d e a l i n g w i t h r e l a t i o n s b e t w e e n m a c h i n e s w h o s e e . m . f s . h a v ed i f f e r e n t p h a s e s e q u e n c e . We s h a l l r e t a i n t h e s y m b o l s Z 1 a n dZ 2 f o r t h e v a l u e s o f t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c ei m p e d a n c e s , d e p e n d i n g u p o n t h e s e q u e n c e s y m b o ' S t o d e f i n ew h e t h e r t h e s e i m p e d a n c e s a p p l y t o a n e g a t i v e o r p o s i t i v e p h a s es e q u e n c e c u r r e n t . T h u s , t h e p h a s e s e q u e n c e o f t h e c u r r e n t s a n d

E ' a

E a 2

E b 1E ' <

F I G . 12-VECTOR DIAGRAM OF S H U N T - T Y P E PHASE CONVERTER WITH

A U X I L I A R Y ROTATING COMPENSATOR T O E F F E C T A P E R F E C T BALANCET e r m i n a l v o l t a g e s o f p h a s e c o n v e r t e r S E a tT e r m i n a l v o l t a g e s o f m o t o r S ' E a iT e r m i n a l v o l t a g e s o f c o m p e n s a t o r S 2 E a 2

e . m . f . w i l l b e d e f i n e d b y t h e a p p a r a t u s s u p p l y i n g a n d r e c e i v i n gp o w e r a n d t h e i m p e d a n c e s o f t h e t r a n s m i t t i n g a p p a r a t u s w i l l b e

d e f i n e d i n r e l a t i o n t o t h e s e c u r r e n t s . A s a n e x a m p l e a m o t o rs e r i e s c o n n e c t e d i n c o u n t e r p h a s e s e q u e n c e r e l a t i o n i n a c i r c u i ta n d d r i v e n i n a p o s i t i v e d i r e c t i o n w i l l h a v e i m p e d a n c e s

p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e Z 2( 2 2 0 )

n e g a t i v e - p h a s e s e q u e n c e Z 1

Where a na u x i l i a r y

m a c h i n e i s d e f i n e d a s b e i n g o f n e g a t i v ep h a s e s e q u e n c e r e l a t i o n t o o t h e r m a c h i n e s , i t w i l l h a v e i m p e d -




a n c e s a s g i v e n a b o v e t o t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e

c u r r e n t s p a s s i n g t h r o u g h t h e o t h e r m a c h i n e s .A s i n g l e - p h a s e t r a n s f o r m e r w i n d i n g t a p p e d a t t h e m i d d l e p o i n t

may b e r e g a r d e d a s a n u n b a l a n c e d t h r e e - p h a s e s y s t e m w h e r e

E a = 0 , E = ± E , s E c =-E

2 A . b e i n g t h e s i n g l e - p h a s e e . m . f T h e s y s t e m may b e r e p r e -s e n t e d b y t h e e q u a t i o n

S E a = S I E a l S 2 A a 2

E a l

a 2

F I G . 13-VECTOR DIAGRAM OF S E R I E S - T Y P E C O N V E R T E R .

No LOAD E . M . F ' S . A C R O S S MOTOR T E R M I N A L S S l E a lN o LOAD E . M . F ' S . A C R O S S CONVERTER T E R M I N A L S S 2 E a 2S I N G L E - P H A S E E . M . F ' S . 2 E

E . M . F . A C R o S S TERMINAL OF MOTOR UNDER LOAD EaEbEcE . M . F . A C R O S S TERMINAL OF CONVERTER UNDER LOAD E ' a E ' b E ' c

w h e r e E a l = (4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 2 2 3 )

-.

E a 2 =-ji \ 3

I f , t h e r e f o r e b e t w e e n t h e s i n g l e - p h a s e s o u r c e o f p o w e r a n dt h e l o a d we i n t e r p o s e a p o l y p h a s e m a c h i n e w i t h e . m . f . - S 2

A a 2 , we s h a l l h a v e a t t h e l o a d t e r m i n a l s t h e e . m . f . S I E a l .I f we u s e a n i n d u c t i o n - t y p e p h a s e c o n v e r t e r i t w i l l h a v e i m p e d -a n c e s t o m o t o r c u r r e n t s a s f o l l o w s

To p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e Z 2 '

( 2 2 2 )To n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e Z 1 '




w e t h e r e f o r e h a v e t h e r e l a t i o n s

S t E a l = S ' I a l ( Z 1 + Z 2 1 ) ( 2 2 3 )

S 2 E a 2 S 2 1 a 2 ( Z 2 + Z l ' ) ( 2 2 4 )

I f t h e c o n v e r t e r i s d o i n g n o m e c h a n i c a l w o r k , Z l ' i s l a r g e c o m -p a r e d w i t h Z 2 ' o r Z 2 , a n d t h e r e f o r e t h e c o m p o n e n t o f n e g a t i v e

p h a s e s e q u e n c e i s s m a l l i n t h e m o t o r . T h e v a l u e o f Z l ' d e p e n d su p o n t h e s l i p o f t h e p h a s e c o n v e r t e r w h i c h w i l l d e p e n d o n t h e

m e c h a n i c a l l o a d i t c a r r i e s a s w e l l a s o n t h e l o a d c a r r i e d b y t h e

m o t o r s . A p p r o x i m a t e l y t h e l o a d c u r r e n t s d u e t o t h e m o t o r sp r o d u c e t h e e q u i v a l e n t a t t h e p h a s e c o n v e r t e r o f a m e c h a n i c a ll o a d e q u a l t o o n e - h a l f t h e r o t o r l o s s o f t h e p h a s e c o n v e r t e r d u et o t h e s e l o a d c u r r e n t s . S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s g i v e n i n ( 2 2 1 )f o r S I E a i a n d S 2 E a 2 ; we o b t a i n

S ' J i R = S I a i ( Z l + Z 2 1 )

V3

l

( 2 2 5 )-S2 j = S 2 l a 2 ( Z 2 + Z 1 ' )

S ' l a l = S i ' J S V / 3 ( Z 1 + Z 2 1 )

S 21 a 2

= -S 2 j_ \ 3 _ ( 2

E 5

I f i n s t e a d o f a n i n d u c t i o n - t y p e p h a s e c o n v e r t e r a s y i c h r o n o u sp h a s e c o n v e r t e r i s u s e d a n e . m . f . o f n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e S 2 L a 2t h e g e n e r a t e d e . m . f . o f t h e p h a s e c o n v e r t e r must b e i n t r o d u c e di n e q u a t i o n s ( 2 2 4 ) a n d ( 2 2 5 ) a n d t h e v a l u e a n d p h a s e o f t h e s ee . m . f s . w i l l d e p e n d u p o n t h e l o a d o n t h e p h a s e c o n v e r t e r s h a f t a s

w e l l a s t h e l o a d c a r r i e d b y t h e m o t o r s . T h e e q u a t i o n s w i l l b e

S 1 E a l = S ' I a l ( Z 1 + Z 2 ' ) ( 2 2 7 )

S 2 E 2 = S 2 I a 2 ( Z 2 + Z 1 ' ) + S 2 E a 2 r ( 2 2 8 )o r

5 1 ] i v z 5 =- ' i a l ( Z l + Z 2 )3

S 2 j X = S 2 I a 2 ( Z 2 + Z l ) +S(229)-

- \ 2 ]3

S a 2( Z 2 +

Z l ' )+ S 2 A 2 '




T h e l a s t member o f e q u a t i o n s ( 2 2 9 ) i s t h e e q u a t i o n o f a s y n -c h r o n o u s c o n d e n s e r . A s s u m i n g i t s w i n d a g e , i r o n l o s s a n d i n -c r e a s e d l o s s e s d u e t o s e c o n d a r y r e a c t i o n s t o b e P 0 , we h a v e b ye q u a t i o n ( 1 6 0 ) o f t h e S e c t i o n o n S y n c h r o n o u s M o t o r s

E I a 2 c O s a = 1 a 2 2 ( R 2 + R 1 ' ) + - P ( 2 3 0 )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3e t

1 a 2 = a 2 + j b 2 ( 2 3 1 )

t h e n ( 2 3 0 ) b e c o m e s

Ea 2 = ( a 2 2 + b 2 2 ) ( R 2 + R 1 1 ) + PO ( 2 3 2 )

O f t h e t w o q u a n t i t i e s a 2 a n d b 2 , b 2 a l o n e i s a r b i t r a r y a n d d e p e n d su p o n t h e e x c i t a t i o n , a 2 w i l l d e p e n d u p o n t h e v a l u e o f b 2 a n d a l s ou p o n t h e l o s s e s . S o l v i n g t h e r e f o r e f o r a 2 i n t e r m s o f b 2 , we h a v e

a2=2=/3 ( R 2 + R 1 ' )

' V i i - 4 ( R 2 + R 1 1 ) { 3 b 2 2 ( R 2 + R 1 ' ) + P ( 2 3 3 )E 8 2

S i n c e b 2 i s a r b i t r a r y w e may no w d e t e r m i n e c o s a 2 =

a 2 a n d t h e v a l u e o f I a 2 i n t e r m s o f t h e i m p r e s s e d e . m . f .

V / a 2 2 + b 2 2

w i l l b e b y ( 1 8 1 ) o f S e c t i o n o n S y n c h r o n o u s M o t o r s

8 2 l a 2 S 2 [ . Es c o s C 2 {27a2-52 L \ / 3 2 ( R 2 + R l ' )

- 4 ( R 2 + R l ' ) P o } E j a ] ( 2 3 4 )E F 8 2 c o s 2 a 1 2 J

T h e e f f e c t i v e v a l u e o f 1 a 2 i n t e r m s o f t h e e f f e c t i v e v a l u e o f A . w i l lt h e n b e

I a 2 E= cs a 4R1V12+ 1 ' )Po1a32(R2+R l ' ) { E . 2 cos2 a23}

( 2 3 5 )




a n d s i n c e t h e c o m p o n e n t o f t h e e . m . f . g e n e r a t e d i n p h a s e w i t h t h ec u r r e n t i s d e t e r m i n e d o n l y b y t h e m a g n i t u d e o f 1 a 2 a n d t h e

m o t o r l o s s e s , i f we d e f i n e i t s v a l u e b y A 2 ' t h e q u a d r a t u r ec o m p o n e n t b e i n g B 2 ' we s h a l l h a v e

AE. C O S a 2 (1 V1-4( R 2 ~ + I ? l ' ) P " 2 6

Ea 2 E. 2 C O S 2 0 X 2 ' P oa n d

B 2 ' 1 -

E . s i n a2 w (L2+ L 2 1 ) ( 2 3 7 ). ~ ~ ~ ~ A 2 1E .

s i n a2 +

3 w (L2+ L i ' ) c o s a 2 (P O 2 . ( R 2 + R l ' ) 1

\ 4 ( R 2 + R l ' ) P o ) ( 2 3 8 )

a n d t h e r e f o r e we h a v e

-

I E J r C O S O Z 2 44 ( R 2 + R l ) P o XE 2 -- A3 [c o s 2 (i+V E 2 C O S 2 a,)

j L s i 2 E 3 a ( 2 + + R , ) 2 ( ] _3 w ( L 2 , + L i ' ) co s a ,2s i n a , + 2 P o ( R 2 + Ri')\

- 4 ( R 2 + R l ' ) PO'lw)(29F . 2 c o s 2 a ( e j w ) ( 2 3 9 )

T h e i m p e d a n c e o f t h e p h a s e c o n v e r t e r t o t h e f l o w o f n e g a t i v ep h a s e s e q u e n c e c u r r e n t i s

2 ( R 2 + R l ' ) s e c a

1-_ 1 _4 ( R 2 + R l ' ) P o ( 2 4 0 )

The b a l a n c e w i l l b e a t i t s b e s t when I a 2 i s a minimum w i t hc o s a 2 a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s w i l l b e t h e c a s e whenc o s a 2 i s u n i t y ; t h a t i s t o s a y when b 2 i s z e r o .




R e c a p i t u l a t i n g t h e r e s u l t s g i v e n a b o v e , w e h a v e f o r t h e g e n e r a lc a s e t a k i n g t h e s i n g l e - p h a s e e . m . f . E . a s r e f e r e n c e

I l a l S'j ( 2 4 A ,S g 3 ( Z 1 + Z 2 ' ) ( 2 4 1 )

S I a 2 - j ( a 2 +; b 2 ) ( 2 4 2 )

w h e r e b 2 i s a r b i t r a r y a n d

E sa 2 2 V 3 2 ( R 2 + R 1 ' ) {

/ i 4 (R2+ R 1 ' ) b 2 2 ( R 2 + R) + P o )V ~ E ' s ( 2 4 3 )

S i n c e b 2 i s a r b i t r a r y c o s a 2 i s d e t e r m i n e d b y

a 2c o s a 2 a 2 2 + b 2 2 ( 2 4 4 )

w e may e x p r e s s l a 2 i n t e r m s o f A . b y

I a 2 - -S2iE 2 (R2+ R 1 ) { 1-

_ 4 ( R 2 +R i ) Po } e a 2 ( 2 4 5 )E. 2 C O S 2 a 2

T h e e f f e c t i v e v a l u e o f 1 a 2 w i l l b e

G 2 = V N a ? + b 2 2 - Es cos a2V / 3 2 (R2+ R 1 ' )

1_ 4 ( R 2 + R ' ) Po } ( 2 4 6 )E. 2 c o s 2 a 2

I f A 2 ' a n d B 2 ' a r e c o m p o n e n t s o f E a 2 ' t h e s e b e i n g t h e g e n e r a t e de . m . f . i n p h a s e a n d i n q u a d r a t u r e w i t h t h e c u r r e n t 1 a 2 w e s h a l lh a v e

Ea2= -j ( A 2 ' + j B 2 ' ) ( 2 4 7 )

a n d A 2 ' a n d B 2 ' w i l l h a v e t h e f o l l o w i n g v a l u e s




E . c o s a 2 /A4( R 2 + R i ' ) P\A 2 ' = 2E)9 ( 2 4 8 )

B 2 - E- { s i n C a 2 +

3 w (L2+ L i ' ) c o s a 2 /

P o 2 ( R 2 + R I ' )

V2 os2 P o ) } ( 2 4 9 )

a n d E a 2 ' e x p r e s s e d i n t e r m s o f E J b e c o m e s

F 2 ~~E co (1a'i 4 (R2+ R i ' ) P o _2 / ~ E [ o 1r + o\1 E 2 C O S 2 a

N / - ' / 2 E . csa2

. s . 3 w ( L 2 + L ' ) c o s a 2/2

7 1 5 1 n a 2 - [+ 2 P 0 ( R 2 + R 1 ' )

V \ / l E , 2 + R i f ) P }] ( 2 5 0 )

T h e e f f e c t i v e i m p e d a n c e o f t h e p h a s e c o n v e r t e r t o t h e f l o w o fn e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s i s

2

( R 2+

R 1 ' ) s e ca 2 . .

/ ~ 4 ( R 2 + R 1 ' ) P o ( c o s a 2 - J sln2) ( 2 5 1 )E 8 2 C O S 2 a

o r

E . 2 c o s a 2 ( 1 + V 4 ( R 2 + R 1 ' ) Po - a 2 ( 2 5 2 )P o 2 \ E 8 2 c o s 2 a2J

I n t h e a b o v e e q u a t i o n s c o s a 2 i s a r b i t r a r y o r b 2 may b e c o n -s i d e r e d a r b i t r a r y a n d c o s a 2 w i l l t h e n b e d e t e r m i n e d .Minimum U n b a l a n c e i s o b t a i n e d w h e n c o s a 2 i s made u n i t y o r

w h e n b 2 i s made z e r o i n e q u a t i o n s ( 2 4 1 ) a n d ( 2 5 2 ) .P e r f e c t B a l a n c e i s o b t a i n e d b y d r i v i n g t h e p h a s e c o n v e r t e r

m e c h a n i c a l l y s o a s t o s u p p l y t h e m e c h a n i c a l p o w e r P o f r o m a

s e p a r a t e o r s y m m e t r i c a l s o u r c e . Under t h i s c o n d i t i o n a 2 and b 2b o t h b e c o m e z e r o when c o s a 2 i S u n i t y . Th e o n l y e q u a t i o n o f

t h e s y s t e m i s t h e n ( 2 4 1 ) .




C u r r e n t s a n d P o w e r F a c t o r i n t h e S i n g l e - P h a s e S u p p l y C i r c u i to f S e r i e s P h a s e C o n v e r t e r .

T h e e . m . f . i s 2 F 8 a n d t h e c u r r e n t s u p p l i e d i sl b I

2b IbI

l b_____ l b 2 -1 ' c 2 (253)

2 2

I f we t a k eS I l a , = S l j ( a l - j

b 1 )( 2 5 4 )

I b , - I C , - ( a , - j b 1 ) ( 2 5 5 )2 2

S i m i l a r l y , s i n c e u n d e r t h e same c o n d i t i o n s

S 2 1 a 2 = -S 2 j ( a 2 + j b 2 ) ( 2 5 6 )

1 b 2 - t ¢ = 2 / 3 ( a 2 + j b 2 ) ( 2 5 7 )22

a n d t h e r e f o r e

N / 3 _IJ2 { ( a l + a 2 ) - j ( b i - b 2 ) } ( 2 5 8 )

w h e r e a l , b 1 , a 2 , b 2 a r e t o b e o b t a i n e d b y means o f e q u a t i o n s( 2 4 3 ) t o ( 2 5 4 ) . T h e s i n g l e - p h a s e p o w e r f a c t o r i s g i v e n b y

t a n 0 = ( 2 5 9 )a , + a 2

o f t h e s e q u a n t i t i e s a 2 i s u s u a l l y t h e s m a l l e s t a n d i t s v a l u e may b eo b t a i n e d a p p r o x i m a t e l y b y a s s i g n i n g t o b 2 a v a l u e w h i c h w i l l

m a k e t h e r a t i o b - b 2 e q u a l t o t a n 0 , a n d o b t a i n i n g t h ea ,

c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f a 2 b y ( 2 4 2 ) , t h e v a l u e o f b 2 may t h e n b er e c a l c u l a t e d f r o m ( 2 5 9 ) b y s u b s t i t u t i n g t h e t e n t a t i v e v a l u e o b -t a i n e d f o r a 2 . T h i s p r o c e d u r e may b e r e p e a t e d u n t i l s u f f i c i e n ta c c u r a c y h a s b e e n o b t a i n e d .

S i n g l e - P h a s e P o w e r F a c t o r i n S h u n t - T y p e P h a s e C o n v e r t e r .The s i m p l e s t p r o c e d u r e i s t o o b t a i n a c u r v e o f a d m i t t a n c e s

f o r v a r y i n g e x c i t a t i o n o f t h e c o n v e r t e r a n d p l o t t h e p o w e r f a c t o ro b t a i n e d b y v a r y i n g t h e a d m i t t a n c e w i t h a f i x e d l o a d . T h e t r u e




a n d w a t t l e s s p o w e r i s o b t a i n e d e a s i l y b y m e a n s o f ( 2 0 8 ) w h e t h e rt h e s y s t e m i s b a l a n c e d o r u n b a l a n c e d .

F i g s . 1 4 , 1 5 , 1 6 a n d 1 7 a r e v e c t o r d i a g r a m s o f s e v e r a lm e t h o d s o f u s i n g p h a s e c o n v e r t e r s t o s u p p l y a b a l a n c e d 3 - p h a s ee . m . f . t o a s y m m e t r i c a l l o a d s u c h a s a n i n d u c t i o n m o t o r . T h ed i a g r a m s a r e a l l b a s e d o n a m a i n m a c h i n e h a v i n g t h e s a m e n e g a -

t i v e p h a s e s e q u e n c e i m p e d a n c e a n d t h e s y s t e m i n e a c h c a s e i s

A

E a

% I

a 2 c

B'B

C o n v e r t e r M o t o r A

C ' C _Bt B~~~~~~

F I G . 1 4

S I N G L E - P H A S E I M P R E S S E D E . M . F . = B'C'MOTOR E . M . F . = BCN E G A T I V E PHASE S E Q U E N C E E . M . F S . E a 2 E b 2 E C 2CONJUGATE P O S I T I V E PHASE SEQUENCE E . M . F S . A a A E A oPHASE CONVERTER TERMINAL E . M . F . AB'C'

d e l i v e r i n g t h e same amount o f p o w e r a t t h e same v o l t a g e a n d 3 -p h a s e p o w e r f a c t o r w i t h o u t s u p p l y i n g a n y w a t t l e s s p o w e r . I tw i l l b e n o t e d t h a t t h e s c h e m e F i g . 1 4 h a s t h e l o w e s t s i n g l e -p h a s e p o w e r f a c t o r , F i g . 1 6 t h e h i g h e s t a n d t h e r e s t a r c i n g a l i k e .I t may b e r e m a r k e d , h o w e v e r , t h a t w i t h t h e s h u n t - t y p e s c h e m e sa d j u s t m e n t s c a n b e made f o r p o w e r f a c t o r c o r r e c t i o n w h i c h w i l lr e s u l t a l s o i n b e t t e r r e g u l a t i o n .



1 9 1 8 ] FOR TESC U E : S YMMETRICAL CO-ORDINA TES 1 0 9 9

APPENDIX I

C y l i n d r i c a l F i e l d s i n F o u r i e r H a r m o n i c s

When we h a v e a d i a m e t r i c a l c o i l a r o u n d a c y l i n d e r c o n c e n t r i cw i t h a n o t h e r c y l i n d e r w h i c h f o r m s t h e r e t u r n m a g n e t i c p a t h , a n dt h e l e n g t h o f t h e g a p i s u n i f o r m a n d t h e c o i l d i m e n s i o n s a r e v e r ys m a l l , t h e f i e l d a c r o s s t h e g a p t a k e s t h e f o r m o f a s q u a r e t o p p e d

A

. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~t P h a s e M o t o r A !

S i n g l eP h a s e

F I G . 1 5S I N G L E - P H A S E I M P R E S S E D E . M . F . = B ' C 'MOTOR E . M . F . = BCP H A S E C O N V E R T E R E . M . F . = C

N E G A T I V E P H A S E S E Q U E N C E E . M . F E a 2 E b 2 E c 2CON I U G A T E P O S I T I V E P H A S E S E ( U E N C E E . M . F . E a 1 E b l : c lP H A S E C O N V E R T E R T E R M I N A L E . M . F . AB C

w a v e , w h i c h may b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f a F o u r i e r s e r i e sw i t h t h e p l a n e o f s y m m e t r y o f t h e c o i l a s r e f e r e n c e p l a n e , a n d i t sF o u r i e r e x p a n s i o n i s

( S4B

( C O8

3 C O S 3 O @ +S c o s SG

- .. + '

. ) ( 1 )

w h e r e . ] i s t h e a v v e r a g e i n d u c t i o n i n t h e a v i r g a p .



1 1 0 0 FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES ( J u n e 2 8

-Aa l

E 2

B '

8 S P h a s e A u x i l i a r y M o t o r B% n M e t t r B a r n c eA A

5C''jcF I G . 16-PHASE CONVERTER WITH A U X I L I A R Y BALANCER.

/"

0 % > c O P h a s e M o t o r 0

y B ' B

F I G . 1 7

S I N G L E - P H A S E I M P R E S S E D E . M . F . = XYMOTOR E . M . F . = ABCTHERE I S A 2 TO 1 TRANSFORMATION OF E . M . F . FROM S I N G L E - P H A S I

TO THREE-PHASE I N T H I S C O N N E C T I O N




W i t h p i t c h l e s s t h a n i r t h e c u r v e w i l l h a v e a d i f f e r e n t f o r m , t h ea m p l i t u d e b e i n g g r e a t e r o n o n e s i d e o f t h e p l a n e o f t h e c o i l s t h a no n t h e o t h e r , t h e a r e a s o f e a c h w a v e w i l l r e m a i n t h e s a m e a n ds e c o n d h a r m o n i c t e r m s w i l l a p p e a r . L e t 2 m o r b e t h e new p i t c ht h e n t h e a v e r a g e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c t i o n w i l l b e t h e s a m e a sb e f o r e , n a m e l y B , a n d t h e v a l u e o n o n e s i d e o f t h e c o i l w i l l b e2 ( 1 - m o ) B a n d o n t h e o t h e r s i d e 2 m o B s o t h a t t h e t o t a l f l u xw i l l b e t h e s a m e o n e i t h e r s i d e . To o b t a i n t h e v a l u e s o f t h ec o e f f i c i e n t s we h a v e

m o r 2 w

2 (1- m o B f c o s n Ed 0 + 2 moB c o s n Od 0 = 2 A n

0 m o w r

m o T 2 w

2 ( 1 - mo ) B [ Lsi n nO - 2m oB[ n s i n n o ] = - 2 A ,

0 m o l w

4 B { ( 1 - m o ) + mO s i n n M O 7 r }

4B /1.A n = 4 n - s i n n m o 0 r 1 J ( 2 )

L e t 2 m o 0 = 22 r , t h e n ( 1 - m o ) 7 r i 2 r a n d

CBo s 0 + c o s 2 - c o s 4 0 -1cos 50

+1

c o s 7 0 + 8 c o s 8 - C o s 1 0 O . . . ) ( 3 )

A g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r 6 3 w h e r e B i s t h e a v e r a g e o f t h e p o s i -t i v e a n d n e g a t i v e , maximum v a l u e f o r a n y p i t c h c o i l w o u l d b e

4B i i .3=-sin nmO r c o s n ( 4 )

r n

a n d i n c l u d e s a l l p o s s i b l e c o i l p i t c h e s . I f t h e n u m b e r o f t e e t h i na p o l e p i t c h b e n , ; i n a d d i t i o n t o t h e a v e r a g e i n d u c t i o n a s i n -d i c a t e d b y ( 4 ) , t h e r e w i l l a l s o b e a t o o t h r i p p l e o f f l u x , t h e m a x i -

mum v a l u e o f w h i c h w i l l d e p e n d u p o n t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e

i n d u c t i o n a t e a c h p o i n t . Th e v a l u e o f mo must b e a f r a c t i o nh a v i n g n , a s d e n o m i n a t o r a n d a n i n t e g r a l n u m e r a t o r . T h e



1 1 0 2 FORTESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES [ T u n e 2 8

v a l u e o f t h e i n t e g r a l n u m e r a t o r i s t h e r e f o r e a l w a y s m o n . T h ec o r r e c t v a l u e f o r t h e m a x . i n d u c t i o n w i l l t h e r e f o r e b e

f 4B I ). ( 1 -P B M = J (-sin n MO 7 r COS n O 1

( _ 1 ) m o n T KT c o s n T O ) ( 5 )

w h e r e K T i s t h e r a t i o o f t h e a v e r a g e t o t h e m i n . a i r g a p . " m o "m u s t a l w a y s b e c h o s e n s o t h a t mo n , i s a n i n t e g e r .

I f t h e l e n g t h o f t h e a v e r a g e e f f e c t i v e a i r g a p i n c e n t i m e t e r sb e d t h e v a l u e o f B i s g i v e n b y

4 7 r I N0 _ 2 d

g a u s s

w h e r e I i s t h e maximum v a l u e o f t h e c u r r e n t i n t h e c o i l a n d Ni s t h e n u m b e r o f t u r n s . I f d i s g i v e n i n i n c h e s we may w r i t e

B = 2 d X 2 . 5 4 m a x w e l l s p e r s q u a r e i n c h .

I f we i n t e g r a t e ( 5 ) b e t w e e n t h e l i m i t s ( 0 - mo r ) a n d( 0 + m o r ) we s h a l l h a v e t h e t o t a l f l u x S p t h r o u g h t h e c o i l

0+mo r

uSi-B s i n n m o 7 r c o s n 0 d 9

7 r ni0-mo w r

0+mo w r

--(-l) 1 ~ n r ( _ : s i n n m O c o s n )Krcsn d O0-mu

= 4 Bre K- s i n n mo 7 r s i n n0

L Ij0-mow0 +m o w

-4Br I ( ' I T K T 21

s i n mo n rs i n ( n - n 7 ) 0

0-mo w r

s i n ( n + n T (6)

2 ( n + n , )Th e s e c o n d e x p r e s s i o n i s z e r o f o r a l l v a l u e s o f 0 w h i c h a r e

i n t e g r a l m u l t i p l e s o f t h e t o o t h p i t c h a n g l e , s o l o n g a s mO n i sa l s o a n i n t e g e r a n d t h e r e f o r e i t i s z e r o f o r a l l m u t u a l i n d u c t i v er e l a t i o n s o f s i m i l a r c o i l s o n a s y m m e t r i c a l t o o t h e d c o r e we t h e r e -f o r e h a v e :




T h e i n d u c t i o n t h r o u g h a c o i l d i s p l a c e d a n a n g l e 0 f r o m t h e a x i so f a s i m i l a r c o i l c a r r y i n g a c u r r e n t g i v i n g a m e a n i n d u c t i o n B b o t hc o i l s b e i n g w o u n d o n t h e s a m e s y m m e t r i c a l t o o t h e d c o r e i s

_ 8Brl 1( 2 ½ s i n 2 n m o 7 r c o s n 0 ) ( 7 )

T h e s e c o n d t e r m i n e q u a t i o n ( 6 ) a l s o b e c o m e s z e r o w h e n n ,b e c o m e s i n f i n i t e i n d e p e n d e n t o f t h e v a l u e o f 0 . We may t h e r e -f o r e s a f e l y make u s e o f a n i m a g i n a r y u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d w i n d -i n g w h e n c o n s i d e r i n g s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e s . I t w i l l a l s o

b e s h o w n l a t e r o n , t h a t w i t h c e r t a i n g r o u p i n g s o f w i n d i n g s t h es e c o n d t e r m may b e r e d u c e d t o z e r o f o r e v e r y v a l u e o f 0 .I f N 1 b e t h e t o t a l n u m b e r o f c o m p l e t e l o o p s i n o n e c o m p l e t e

N ,p o l e p i t c h , we may t a k e 2 r a s t h e d e n s i t y o f w i n d i n g p e r u n i t

a n g l e o f t h e c o m p l e t e p o l e p i t c h . T h e m u t u a l i n d u c t i o n p e rt u r n i n a c o i l a n g u l a r l y d i s p l a c e d a n a n g l e 0 f r o m a n o t h e r c o i l

N 1o f w i n d i n g d e n s i t y 2N w i t h a n e f f e c t i v e t o t a l a i r g a p 2 d a n d

w i t h w i n d i n g s s u b t e n d i n g a n a n g l e 2 m l r i s g i v e n b y+mi 7 r

m l8 N r d ( 1 N 2 s i n 2 n m 7 r c o s n ( 6 0 - + j 0 ' ) d O ' h e n r y s

-m r ( 8 )

lO 9 d rd 3 s i n 2 n mO r [ s i n n ( + 6 0 ) ' ]__ h e n r y s1 6 N 1 r I ~ 1 6 h

M1= 1 0 9 i r d (3 s i n 2 n m o r s i n n m 1 7 r c o s n 0 h e n r y s ( 9 )

N e x t , i f t h e l o o p o f w h i c h M1 i s t h e m u t u a l i n d u c t a n c e i s p a r t o f a

w i n d i n g h a v i n g d i s t r i b u t i o n d e n s i t y o f w i n d i n g 2 2 a n d s u b -

t e n d i n g a n a n g l e 2 m 2 r i t s m u t u a l i n d u c t a n c e w i t h t h e o t h e rw i n d i n g w i l l b e

m2

M 1 2 8 N 1 N 2 r 1 1 s i n n m O r s i n n m i 7 r2 1 0 1 w 2 d J n 3- m 2 7 c o s n ( 6 + 6 ' ) d O ' h e n r y ( 1 0 )

8NlN2r1 1= O 1 9 i r 2 d - s i n 2 n m O 7 r s i n n m i w r

O ' =m2 7

[ s i n n ( 6 + 6 ' ) J h e n r y sO ' =-mt r




M 1 2 = 1 6 N N21 1 s i n 2 n m O 7 r s i n n m l w1 0 1 2snsnnm

s i n n m 2 7 r c o s n ) h e n r y s ( 1 1 )

T h i s i s t h e g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r t h e m u t u a l i n d u c t a n c e b e -

t w e e n t w o g r o u p s o f c o n n e c t e d c o i l s o f l i k e f o r m o n t h e s a m ec y l i n d r i c a l c o r e . I t s h o u l d b e n o t e d ho w much t h e h a r m o n i c sh a v e b e e n r e d u c e d d u e t o g r o u p i n g .When t h e c o i l s a r e n o t o f l i k e d e s i g n a s i n t h e c a s e o f a r o t o r

a n d s t a t o r a n d t h e p i t c h o f t h e c o i l s i s d i f f e r e n t i n o n e f r o m t h eo t h e r , s i n n m o i r w i l l n o t a p p e a r t w i c e i n t h e e q u a t i o n b u t o n eo f i t s v a l u e s m u s t b e r e p l a c e d b y s i n n m . 7 r w h e r e 2 m . i r i s t h ep i t c h o f t h e new c o i l . E q u a t i o n ( 1 1 ) t h e n b e c o m e s

M - 6NiNare 1Mla 1 O - N . d 4 s i n n m O i r s i n n m x r

s i n n : m 1 7 r s i n n m 2 r c o s n 0 ) h e n r y s ( 1 2 )

T h i s f o r m u l a i s s t r i c t l y c o r r e c t w h e n m , i s a n i n t e g e r a n d w h e n6 i s a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f t h e t o o t h p i t c h . I t i s t r u e f o r a l lv a l u e s o f 0 i f e i t h e r m o o r m , o r b o t h a r e u n i t y .By c o n s i d e r i n g t h e a x e s o f t w o s i m i l a r g r o u p s o f c o i l s a s c o i n -

c i d e n t we o b t a i n t h e v a l u e o f A 1 L 1 w h i c h i s p a r t o f t h e s e l f i n -d u c t a n c e o f t h e g r o u p , t h u s

1 0 6N r 2 d s i n 2 n m o 7 r s i n 2 n m 7 r ( 1 3 )

T h e o t h e r f a c t o r t h a t e n t e r s i n t o t h e s e l f i n d u c t a n c e i s t h e s l o tl e a k a g e i n d u c t a n c e w h i c h d e p e n d s u p o n t h e n u m b e r o f t u r n s i n ac o i l , t h e n u m b e r o f c o i l s i n a g r o u p a n d t h e w i d t h a n d d e p t h o ft h e s l o t a n d t h e l e n g t h o f t h e a i r g a p . S i n c e w i t h t h e v a l u e o f

Ai L 1 a l l t h e f i e l d w h i c h l i n k s t h e s e c o n d a r y w i n d i n g h a s b e e ni n c l u d e d , o n l y t h e p o r t i o n o f t h e s l o t l e a k a g e w h i c h d o e s n o t l i n ka l l t h e t u r n s i n t h e o p p o s e d s e c o n d a r y c o i l s h o u l d b e c o n s i d e r e d .No h a r d a n d f a s t r u l e c a n b e made f o r d e t e r m i n i n g t h i s q u a n t i t ys i n c e i t d e p e n d s u p o n t h e s h a p e o f t h e s l o t s , t h e r e s h o u l d b e l i t t l et r o u b l e i n m a k i n g t h e c a l c u l a t i o n when t h e d a t a a r e g i v e n . D e -n o t i n g t h i s q u a n t i t y b y A 2 L 1 we h a v e

L1 = A 1 L 1 +A2L, ( 1 4 )




S y m m e t r i c a l l y G r o u p e d W i n d i n g s . T h e a b o v e f o r m u l a s g i v et h e m u t u a l i m p e d a n c e b e t w e e n g r o u p s o f c o i l s , e a c h g r o u p o f

w h i c h may b e u n s y m m e t r i c a l . G e n e r a l l y m a c h i n e s a r e d e s i g n e ds o t h a t , a l t h o u g h t h e i n d i v i d u a l g r o u p s o f c o i l s d u e t o f r a c t i o n a lp i t c h may b e u n s y m m e t r i c a l , t h e c o m p l e t e w i n d i n g i s s y m m e t r i -c a l . When t w o c o i l s a r e t o g e t h e r i n a s l o t t h i s may b e d o n e b yc o n n e c t i n g o n e g r o u p o f c o i l s o p p o s i t e t h e n o r t h p o l e i n s e r i e sw i t h t h e c o r r e s p o n d i n g g r o u p o p p o s i t e t h e s o u t h p o l e ; t h a t i s t os a y , t h e g r o u p d i s p l a c e d e l e c t r i c a l l y b y t h e a n g l e 7 r . I f t h e r e f o r e

we t a k e e q u a t i o n ( 1 1 ) a n d c o n s i d e r t h e m u t u a l i n d u c t i o n a s d u e

t o a g r o u p h a v i n g a x i s a t 0 = z e r o a n d a n o t h e r h a v i n g i t s a x i sa t 0 = 7 r w i t h a s i m i l a r l y a r r a n g e d g r o u p o f c o i l s h a v i n g i t sa x i s a t 0 , we f i n d t h a t ( 1 1 ) b e c o m e s

1 6 N,N2 r l 1 2M = 1 2 d s i n 2 n m o 7 r s i n nm 7 r

s i n n M 2 7 r ( 1 - c o s n ) 2 cos n 0 } h e n r y s ( 1 5 )

S i m i l a r l y

M - l N i Na r I 1A l a = 10 d I { s i n n n m l 7 r s i n n m . 7 r

s i n n ml 7 r s i n n ma 7 r ( 1 - c o s n 1 ) 2 C O S n } h e n r y s ( 1 6 )

S i n c e 1- c o s n i r i s z e r o f o r a l l e v e n v a l u e s o f n i t i s e v i d e n t t h a t

( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) c o n t a i n n o e v e n h a r m o n i c s , m o r e o v e r t h e a b o v ef o r m u l a s g i v e t h e m u t u a l i n d u c t i o n b e t w e e n t w o s i m i l a r l yc o n n e c t e d g r o u p s o f w i n d i n g s , b u t i f ( 1 - c o s n r ) i s u s e d o n l y w i t ht h e f i r s t p o w e r t h e s e f o r m u l a s g i v e t h e m u t u a l i m p e d a n c e b e -t w e e n o n e p a i r o f s u c h s y m m e t r i c a l l y g r o u p e d w i n d i n g s a n da n o t h e r s i n g l e g r o u p w i t h a x i s i n c l i n e d a t a n a n g l e 0 .

T h e v a l u e o f s e l f i n d u c t i o n i s

A l L i = 1 6N2l 1( s i n 2 n mO s i n 2 n mi 7 rl o l l i 2 d

( 1 - c o s n 1 r ) 2 ( 1 7 )

A 2 L 1 i s f o u n d i n t h e s a m e manner a s b e f o r e

L1 = A 1 L i +A2 L i ( 1 8 )

I t i s o b v i o u s f r o m ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) t h a t t h e e f f e c t o f d i s s y m m e t r y

i s t o i n t r o d u c e more o r l e s s d o u b l e f r e q u e n c y i n t o t h e w a v e f o r mo f g e n e r a t e d e . m . f .




I t w i l l b e s e e n f r o m a n e x a m i n a t i o n o f ( 1 5 ) a n d ( 1 7 ) t h a t , f o r

e x a m p l e , a w i n d i n g o f p i t c h 3 a n d s u b t e n d i n g a n a n g l e7

when c o n n e c t e d i n a s y m m e t r i c a l g r o u p o f t w o h a s t h e same f i e l df o r m a n d c h a r a c t e r i s t i c s a s a f u l l p i t c h w i n d i n g o f t h e same

n u m b e r o f t u r n s s u b t e n d i n g a n a n g l e 2 7 r .

T h e r e a r e many s y m m e t r i c a l f o r m s o f w i n d i n g b u t a l l w i l l b ef o u n d t o b e c o v e r e d b y t h e f o r m u l a s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) .

U n s y m m e t r i c a l W i n d i n g s . T h e s e may t a k e many f o r m s w h i c hmay b e c l a s s i f i e d :( 1 ) D i s s y m m e t r y o f f l u x f o r m d u e t o e v e n h a r m o n i c s .( 2 ) D i s s y m m e t r y i n a x i a l p o s i t i o n o f p o l y p h a s e g r o u p s .( 3 ) D i s s y m m e t r y i n w i n d i n g s d u e t o i n c o r r e c t g r o u p i n g o f

c o i l s .( 4 ) D i s s y m m e t r y d u e t o u n s y m m e t r i c a l m a g n e t i c c h a r a c t e r -

i s t i c s o f t h e i r o n .

O f t h e s e v a r i o u s f o r m s o f d i s s y m m e t r y t h e m o s t c o mm o n i s ac o m b i n a t i o n o f ( 1 ) , ( 2 ) a n d ( 3 ) . T h e s e f o r m s o f u n s y m m e t r i c a lw i n d i n g s may a l l b e c a l c u l a t e d b y t h e f o r m u l a s ( 1 1 ) t o ( 1 6 ) .

I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n a s y m -m e t r i c a l a n d a n u n s y m m e t r i c a l w i n d i n g i s h a r m o n i c a l l y s y m -m e t r i c a l . H e n c e , i f t h e f i e l d o f a m a c h i n e i s h a r m o n i c a l l ys y m m e t r i c a l , t h e e . m . f . g e n e r a t e d w i l l b e a l s o h a r m o n i c a l l ys y m m e t r i c a l w h a t e v e r may b e t h e f o r m o f t h e

w i n d i n g s .T h e r e c i p r o c a l n a t u r e o f M i s f u l l y e s t a b l i s h e d b y i t s f o r m , f o ri t i s i m m a t e r i a l i n o b t a i n i n g ( 1 6 ) w h e t h e r we s t a r t o u t w i t h t h ew i n d i n g w h o s e p i t c h i s m : o r w i t h t h a t w h o s e p i t c h i s m o , t h er e s u l t w i l l b e t h e s a m e . T h e e f f e c t o f s a t u r a t i o n w i l l b e t o t e n dt o a l t e r t h e v a l u e s o f t h e c o e f f i c i e n t s o f M b u t t h e g e n e r a l f o r mw i l l n o t v a r y a p p r e c i a b l y . We s h a l l n o w c o n s i d e r s o m e s t a n d a r dw i n d i n g s o f g e n e r a t o r s a n d m o t o r s .

T h r e e - P h a s e S y m m e t r i c a l F u l l P i t c h . H e r e m o , m i a n d M 2 a r e0 . 5 , 0 . 1 6 6 6 a n d 0 . 1 6 6 6 r e s p e c t i v e l y . U s i n g f o r m u l a ( 1 5 ) a l lt h e e v e n h a r m o n i c s d i s a p p e a r a n d ( 1 - c o s n r ) 2 i s e q u a l t o 4 o rz e r o .

16 N,N2 r 1 / 4 1M12 o s 0 + c o s 3 + C o s 6+ d 8 d 8 1 6 2 5

+ 4 0 1 C o s7 0 + Cos 951 )

( 1 9 )



1 9 1 8 ] FOR TESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES 1 1 0 7

T h e o r e t i c a l S y m m e t r i c a l T h r e e - P h a s e W i n d i n g . H e r e m o- 0 . 5 , ml -m2 = 0 . 3 3 3 . U s i n g f o r m u l a ( 1 1 )

3 , 1 6 N , N 2 r l / 1M 1 2 = _ 1 6 0 9 2 r Icos 0 + 6 2 5 c o s 504 1 0 9 w - 7 2 d 6 2

+ 2 4 0 1 c o s 7 0 + 1 4 6 4 1 c o s 1 1 0 + . ( 2 0 )

H e r e t h e t h i r d g r o u p o f h a r m o n i c s i s e n t i r e l y e l i m i n a t e d .

T h r e e - P h a s e S y m m e t r i c a l2 P i t c h W i n d i n g . H e r e m o =

30 . 3 3 3 , m l = m 2 = 0 . 1 6 6 . U s i n g f o r m u l a ( 1 5 )

3 1 6 N,N2 r / 1M=3 109 2= ( c o s + 6 2 5 c o s 5

21 c o s 7 + c o s 1 1 0 + ( 2 1 )2 os71+14641col+ ...

w h i c h g i v e s t h e s a m e r e s u l t a s ( 2 0 ) .FORMULAS FOR S A L I E N T POLE MACHINES

T h e f o r m u l a s g i v e n i n t h e . p r e c e d i n g d i s c u s s i o n a r e a p p r o p r i a t ef o r d i s t r i b u t e d w i n d i n g a n d n o n - s a l i e n t p o l e s . W h e r e s a l i e n tp o l e s a r e u s e d t h e f i e l d f o r m d u e t o t h e p o l e s w i t h a g i v e n w i n d -

i n g w i l l b e a r b i t r a r y s o t h a t w i t h t h e p o l a r a x i s a s r e f e r e n c e we

s h a l l h a v e

2 w T N a I a 2 ( A n c o s n ° ) ( 2 2 )=d

W h e r e 6 3 i s t h e i n d u c t i o n t h r o u g h t h e a r m a t u r e o r s t a t o r . Whent h e p o l e s a r e s y m m e t r i c a l A n c o s n a m i g h t b e c h o s e n a t o n c e f o rt h i s c o n d i t i o n a n d i n t h i s c a s e we d o n o t r e q u i r e c o e f f i c i e n t s o fm u t u a l i n d u c t i o n b e t w e e n p o l e w i n d i n g s , s i n c e t h e v a l u e o f ( Bi s o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e m u t u a l r e a c t i o n b e t w e e n p o l ew i n d i n g s t o b e s u c h a s w i l l p r o d u c e s y m m e t r y . We may h o w -e v e r a s s u m e 6 3 t o b e p e r f e c t l y g e n e r a l i n f o r m i n w h i c h c a s e t h e

f l u x t h r o u g h a c o i l o f p i t c h 2 m o 7 r i s

Od 4N a l a r l 2 A n s i n n mo 1 r co s n) ( 2 3 )

We h a v e t h e r e f o r e f o r t h e m u t u a l i n d u c t i o n b e t w e e n o n e p o l e

a n da

g r o u p o f c o i l s a ta n

a n g l ea a n d s u b t e n d i n g a n

a n g l e2 m i w r




4 Na,N r l / A,snnmwin1csM a i 1 0 1 9 d 2 s i n n m o 7 r s i n n m l 7 r c o s n / ( 2 4 )

a n d w h e r e t h e r e i s s y m m e t r y d u e t o g r o u p i n g o f w i n d i n g s , weh a v e

M l ONaNdN,2mArsinnm

(1- c o s n 7 r ) 2 c o s nO} ( 2 5 )

w h e r e N a i s t h e n u m b e r o f t u r n s f o r o n e p o l e a n d ( 2 5 ) a p p l i e s t oo n e p a i r o f p o l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g g r o u p o f c o i l s . When t h e r ea r e m o r e t h a n o n e p a i r o f p o l e s i n s e r i e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n gg r o u p s o f w i n d i n g a r e a l s o i n s e r i e s , i f i t i s d e s i r e d t o c o n s i d e rt h e m u t u a l i n d u c t a n c e o f t h e c o m p l e t e w i n d i n g , t h e r e s u l t g i v e na b o v e m u s t b e m u l t i p l i e d b y t h e n u m b e r o f p a i r s o f p o l e s .

I f i n e q u a t i o n ( 1 6 ) w e t a k e

Nal.2-s i n n ma -= N a

1 ( 2 6 )a n d ~ ~ = B ,

7 r n

i t b e c o m e s

M l a = 3 2 N , N d 2{ B n s i n n

m t7 r s i n n m o 7 r

s i n n m l r (1-cos n ) 2 cosn } ( 2 7 )

w h i c h i s t h e e x p r e s s i o n c o r r e s p o n d i n g t o ( 2 5 ) s t a r t i n g w i t h t h ew i n d i n g f l u x f o r m . ( 2 5 ) a n d ( 2 7 ) m u s t t h e r e f o r e b e i d e n t i c a la n d we h a v e

3 2 N i N a r e . 4 N a N i r e1 0 9 d B 1 0 s 9 n n m 7- l O 9 d A ,

o r

3 n - 8sin n m ( 2 8 )

a n d

7iO d2

( B .s i n n

mor c o s

n) ( 2 9 )




a n d i s t h e i n d u c t i o n w a v e f o r m f o r a s i n g l e t u r n o f t h e w i n d i n g .

T h e e x p r e s s i o n f o r t h e m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n w i n d i n g s

o ft h e s a m e c o r e f o r s a l i e n t

p o l e si s o b t a i n e d i n t e r m s o f t h e p o l e

f l u x w a v e f o r m b y s u b s t i t u t i n g i n t h e f o r m u l a s 8 n8 s 1 n n m . 7 r

f o r . We h a v e t h e r e f o r e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s f o r s a l i e n tn 7 r

p o l e s .G e n e r a l e x p r e s s i o n c o n s i d e r i n g o n l y o n e p o l e a n d o n e g r o u p o f

c o i l s .2WrNaIa

C B 3 a =(10 d ( n c o s n ) ( a )

20d A sinnm c o s nO) ( b )

M a t= 4 N a N i r lI A s i n n

m O7 r s i n n m l i r c o s n ( c )

1 0 9 d n 2 I

2N1N2r l A n sinnmmm1 0 9 7 r d n 3 s i n nm wlnrnm7rsinnmlr

s i n n m 2 7 r c o s n 0) ( d )

A , L a = 4 i r N g a r l /An

s i nn m z r ( e )

1 0 9 d n nzr

A L l = - 1 2 N i 2 r lr ( An s i n mo r s i n nm1 ) ( f )1 0 1 i r d n s i n n M..r )

G e n e r a l e x p r e s s i o n s c o n s i d e r i n g o n l y p o l e s t o b e s y m m e t r i c a l .C o n s i d e r e d o n t h e b a s i s o f t w o p o l e s , N a b e i n g t u r n s o n o n e p o l e .

2 Br

N a I a A(a = 2 l O d { A n ( 1 - c o s n r ) co s n ( a ' )= I , { A s i n n mo 7 r=2 0 A n i m ° ( - c o s n 7 r ) c o s n } ( b ' )0 d s i n nmxwr csl)on

4 N a N , r l A n 07snn1

M a l = _ N 1 0 9 d s i n 1 mo r s i n n mi r

( 1 - c o s n r ) c o s n O } ( c ' )




2 N i N 2 r l f A n s i n n m O7 rs

1 0 9 i r d n a s i n n m. s n n m0rsinn m1r

s i n n m 2 i r c o s n 0 } h e n r y s ( d ' )

I i L a 4 i r N a 2 r l fz{ 0 n s i n n m z 7 r ( 1 - c o s n 7 r ) } ( e ' )

Al Li2 N 1 2 r i

2 ; A n s i n 2 n m i O r s i n 2 n m i 7 r }lO9 r d n s i n n m, r (

G e n e r a l e x p r e s s i o n w i t h b o t h p o l a r a n d w i n d i n g s y m m e t r y .

s = a 2 7 i N a I a A n (1-cosnr r ) c o s n 0 ) ( a " )1 0 d

i n I , s i n n MO r2 0 d

2 A n s i n n m ° ( 1 - c o s n r ) c o s n 0 ( b " )

M a l 4NaN, r l z A n s i n n mo(ri n n ml 7 r c o s n 7 r ) 21 0 9 d

c o s n 0 } ( c " )

2N1N2 r l { A n s i n n m o w r .1 0 ' ¼ r d n 3 s i n n m ' m s n m 0 r s i n n m 1 i r

S i n n I m 2 7 r (1- COS n r ) 2 C O S n 0 } ( d " )

A l L a = 4 7 N a 2 r l A s i n n M r (1cos n r ) 2 ( e ! ' )1 0 9 d n )

2 N 1 2 r 1 f A n s i n 2 n m o 0 i s i n 2 n Ml7A 1 L 1 = - 1 0 r d z n s i n n m . 7 n

(1cos n r ) 2 } ( f " )

I n u s i n g a n y o f t h e f o r m u l a s g i v e n a b o v e f o r m a c h i n e s h a v i n gm o r e t h a n t w o p o l e s , i t m u s t b e d i v i d e d b y t h e n u m b e r o f p a i r so f p o l e s a n d l i k e w i s e t h e e x p r e s s i o n f o r Mo r A 1 L m u s t b e m u l t i -p l i e d b y t h e n u m b e r o f p a i r s o f p o l e s , w h i c h l e a v e s t h e f o r m u l a

f o r t h e s e q u a n t i t i e s u n c h a n g e d .




L e t u s n e x t c o n s i d e r t h e a c t u a l i n d u c t i o n i n t h e a i r g a p w i t h

a d i s t r i b u t e d w i n d i n g o p e r a t i n g w i t h t h r e e - p h a s e c u r r e n t s . L e t

i m 1 b e t h e m a g n e t i z i n g c u r r e n t o f t h e f i r s t p h a s e i 4 2 a n d i m 3t h o s e o f t h e o t h e r p h a s e s . The i n d u c t i o n d u e t o o n e g r o u p o fc o i l s o f p h a s e 1 i s

( 5 = 8 N 1 d , - I s i n n m o i r s i n n i m i 7 r c o s n O } ( 3 0 )1 0 i r d

a n d i f t h e p h a s e d i s p l a c e m e n t o f 2 a n d 3 f r o m 1 b e ' P 1 2 a n d ' P 1 3

( B 2 = 8 N r d 2{ sinn mO i r s i n n M2 7 r c o s ( n O - ' P 1 2 )

( 3 1 )

8 N 3 d {d

2 s i n n m o 0 r s i n n m 2 r c o s ( n 0 - P s 3 ) }

( 3 2 )F o r s y m m e t r i c a l l y g r o u p e d c o i l s t h e f o r m u l a s b e c o m e

( B = 8 _ N l i j m i 2 ( 1 s i n n mo 7 r s i n n m l r ( 1 - c o s n 7 r )l O i r d~n

c o s n } ( 3 3 )

8N = n 2d { ' 2 S i n n m o i r s i n n m 2 i r ( l - c o s n i r )

c o s m(O-4 1 2 ) ( 3 4 )

3 1 0d 2 s i n nmo r s i n n m 3 7 r ( 1 - cosn r ) cosm

(0- ( P 1 3 ) } ( 3 5 )

F o r a s y m m e t r i c a l t h r e e - p h a s e m o t o r w i t h f u l l p i t c h c o i l sMO = 0 . 5 , ml =M2 = M 3 = 0 . 1 6 6 ( 3 3 ) , ( 3 9 ) a n d ( 3 5 ) b e c o m eo f t h e f o u r

8Nim f 2 1 1( B l = 8 ^ c o s O- - c o s 3O + T 5 c o s 5O +-9o s 7O

1 0 i r d 9

8 1 1 2 1 169os3+()




w h i c h i s t h e f i e l d d u e t o o n e g r o u p o f c o i l s a l o n e . T h e w a v e i sf l a t t e n e d b y t h e t h i r d g r o u p o f h a r m o n i c s b u t a l l t h e o t h e rh a r m o n i c s a r e

p e a k i n g v a l u e s .T h e r e

i s t h e r e f o r ea

d e c i d e dg a i n i n s u c h a w a v e f o r m o f f l u x s i n c e i t p e r m i t s o f h i g h f u n d a -m e n t a l f l u x d e n s i t y .

T h e maximum v a l u e o f f l u x i s a p p r o x i m a t e l y

B m a z = 0 . 8 2 3 8 0 f d g a u s ( 3 7 )

w h e r e d i s g i v e n i n c e n t i m e t e r s .

1 . 6 7 N , i mB m a x = 7 d m a x w e l l s p e r s q u a r e i n c h ,7 d

w i t h d g i v e n i n i n c h e s .F o r t h e t o t a l w i n d i n g t h e r e s u l t a n t i n d u c t i o n w i l l b e t h e sum

o f B 1 , B 2 , a n d B . I f we t a k e t h e s y m m e t r i c a l w i n d i n g w i t ha n g l e s b e t w e e n p l a n e s o f s y m m e t r y

( P 1 2 2 - a n d (p13- , we h a v e3 3'

e i n @ I E - j n 0c o s n = + 2

c o s n 0 - a - + a n ( 3 8 )3 - 2 2

c o s ( 4 r a ne_) + a - n 20

I f w e m u l t i p l y t h e s e t h r e e q u a n t i t i e s s u c c e s s i v e l y b y I m i ,a 2 i , a I m l a n d a d d , we h a v e

I m i { - ( 1 + a- + a ( ( + ' ) ) + 2

X ( 1 + a n 2 + a - ( n - 1 ) ) ) } ( 3 9 )

a n d g i v i n g n s u c c e s s i v e o dd v a l u e s f r o m 1 u p , we f i n d f o r ( 3 9 )t h e f o l l o w i n g v a l u e s

n = 1 ( 3 9 ) b e c o m e s 2 I e - i i

n- 3 " a 0



1 9 1 8 1 FORTFESCUE: SYMMETRICAL CO-ORDINATES 1 1 1 3

3 - -

n= 7 20' E

3 ' -n = 11 f T C 6 j 7 o

~~m1

~~~2n

flfl 21m15jfl2 2nw \/~~~~3

We may t h e r e f o r e e x p r e s s 6 3 b y( 1 3 r e a l p a r t o f

1 6 N i I m l 1 - s i n nMO 7 s i n nM l 7 r - 1 c o s n i r )

X ~l 2w-i n 2 ( 4 0 )

I t w i l l b e o b v i o u s t h a t i f w e p r o c e e d a r o u n d t h e c y l i n d e r i n t h e

n e g a t i v e d i r e c t i o n o f r o t a t i o n a t an a n g u l a r s p e e d w a n d I . ,i s e q u a l t o I m l E j w I , f o r n = 1 t h e v a l u e o f B 1 w i l l r e m a i nc o n s t a n t a n d r e a l , h e n c e B 1 must b e a c o n s t a n t f i e l d r o t a t i n g a t

a n g u l a r v e l o c i t y w i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n . Th e v a l u e o f B may

b e e x p r e s s e d i n h a r m o n i c f o r m , b u t i n t h i s f o r m i t d o e s n o t i l l u s -t r a t e t h e r o t a t i n g f i e l d t h e o r y s o a p t l y . T h e h a r m o n i c f o r m i sg i v e n b e l o w a n d i s s i m p l e r i n a p p e a r a n c e t h a n ( 4 0 ) .

_ 1 6 N1 imlIllOwd~~n2 sin nM O w 7 s i n nml r ( 1 - c o s n w r )

s i n 2 2nrCos n) ( 4 1 )

F o r a s y m m e t r i c a l t h r e e - p h a s e motor w i t h f u l l p i t c h c o i l( i n o 0 . 5 m i 1 = 0 . 1 6 6 ) 6 3 b e c o m e s

1 N l O i r d ~ C o s 0 + 1 c o s 50 + 1 C o s 7 0

+

1

1oC s 1( 4 2 )

oslO+ cos3O




T h i s g i v e s f o r t h e maximum i n d u c t i o n a p p r o x i m a t e l y

1 . 0 7 5 X 1 2 N 1 i m l 1 . 2 9 N 1 i m

( 1 m a x 1 0 = d r d g a u s s ( 4 3 )w h e r e d i s m e a s u r e d i n c e n t i m e t e r s .

ma _ = 3 . 2 8 X N 1 m 1 m a x w e l l p e r s q u a r e i n c h ( 4 4 )

w h e r e d i s m e a s u r e d i n i n c h e s a n d N i s t h e t o t a l number o ft u r n s p e r p a i r o f p o l e s .

APPENDIX I IG r a p h i c a l C o n s t r u c t i o n f o r O b t a i n i n g S y m m e t r i c a l C o m p o n e n t s

T h e g r a p h i c a m e t h o d f o r f i n d i n g t h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t so f S ( E a ) g i v e n i n t h e t e x t 7 s e r v e s a s a g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n

EC~~~ bs

F I G . 1 8 - - G R A P H I C A L METHOD FOR O B T A I N I N G THE S Y M M E T R I C A L COM-

PONENTS O F THE THREE-PHASE V E C T O R S E a , E b , E C

o f e q u a t i o n ( 5 ) , b u t t h e g r a p h i c a l m e t h o d s h o w n i n F i g . 1 8 i smuch s i m p l e r a n d more c o n v e n i e n t , t h e c o n s t r u c t i o n i s a s

f o l l o w s . F i n d E a n d F t h e c e n t r o i d s o f t h e t w o e q u i l a t e r a l

t r i a n g l e s w i t h B C a s b a s e : With 0 t h e c e n t r o i d o f t r i a n g l eA B C a s c e n t r e d e s c r i b e t h e two c i r c l e s p a s s i n g t h r o u g h E and Ft h e n ; E 0 e x t e n d e d t i l l i t t o u c h e s t h e c i r c l e t h r o u g h E a t t h e

o p p o s i t e e n d o f t h e d i a m e t e r g i v e s E a l ; E b l a n d E L i a r e o b t a i n e d

b y l a y i n g o f p o i n t s o n t h e c i r c l e 6 0 d e g r e e s f r o m E . S i m i l a r l yi f F 0 i s e x t e n d e d t o meet t h e c i r c l e t h r o u g h F a t t h e o p p o s i t ee n d o f t h e d i a m e t e r w e o b t a i n E a 2 ; a n d E b 2 a n d E C 2 a r e o b t a i n e d

b y t h e same c o n s t r u c t i o n a s b e f o r e .The p r o o f o f t h i s c o n s t r u c t i o n i s a s f o l l o w s : I f G a n d H a r e



1 9 1 8 ] FORTESC UE: SYMMETRICAL CO-ORDINA TES 1 1 1 5

t h e a p e x e s ( n o t s h o w n i n f i g u r e ) o f t h e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e sh a v i n g B C a s b a s e

OB+OC+OG OA +OG -_a+OG3 3 3

OB+OC+OH -OA+OH _-Ea+OH3 3 3

- a 2 . 0 C = - a 2 (OD + D C )

-a .OB = -a ( O D + D B ) --a (OD-D C )

- a 2 . 0 C- a . OB = - ( a + a 2 ) 0D + ( a - a 2 ) .D C=OD + j \ ' - D C

= OGT h a t i s

OG =-(aEb+ a 2 E )S i m i l a r l y

OH = - ( a 2 1 b ±aEb )

a n d t h e r e f o rQE-_ Ea + aE b + a 2 ] c -

a,

3

a n d OF- +a2

T h e c o n s t r u c t i o n w h e n E a + E b + I , i s n o t z e r o i s s o o b v i o u s

t h a t i t i s n o t n e c e s s a r y t o s h o w i t h e r e .I f l i n e s b e d r a w n f r o m E a t o E a 2 , E b t o E b 2 , E c t o P . 2 t h e s el i n e s w i l l b e p a r a l l e l t o E a ' E b ' a n d E , ' r e s p e c t i v e l y a n d w i l l m e e ta t a p o i n t O ' . T h e v e c t o r s O ' E a O 0 E b a n d O ' E c g i v e t h ev a l u e s o f t h e e . m . f . a c r o s s e a c h member o f a s t a r d e l t a b a n k o ft r a n s f o r m e r s w h e n o p e r a t e d o n t h e t h r e e - p h a s e c i r c u i t S ( 9 a )w i t h r a t i o s c h a n g e d s o a s t o g i v e a b a l a n c e d s e c o n d a r y t r i a n g l eo f e . m . f ' s .



1 1 1 6 SYMMETRICAL CO-ORDINATES [ J u n e 2 8

D I S C U S S I O N ON "METHOD OF S Y M M E T R I C A L C O - O R D I N A T E SA P P L I E D TO THE S O L U T I O N OF P O L Y P H A S E NETWORKS"( F O R T E S C U E ) , A T L A N T I C C I T Y , N . J . , J U N E 2 8 , 1 9 1 8 .

J . S l e p i a n ( b y l e t t e r ) : D u r i n g t h e p a s t e i g h t e e n m o n t h si t h a s b e e n my v e r y g o o d f o r t u n e t o h a v e b e e n i n c l o s e c o n t a c tw i t h M r . F o r t e s c u e a n d t o h a v e h a d many i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n so n t h e i d e a s e m b o d i e d i n t h i s p a p e r . S i n c e I h a v e h a d s o l o n gt o t h i n k o v e T a n d d i g e s t t h e s e i d e a s , I t h i n k I may b e p a r d o n e df o r g o i n g a t g r e a t l e n g t h h e r e i n t o t h e v i e w p o i n t I h a v e r e a c h e d .I f e e l a l l t h e g r e a t e r n e e d f o r a l o n g d i s c u s s i o n , b e c a u s e o n r e a d i n gt h e p a p e r I s e e t h a t t h e g r e a t w e a l t h o f m a t e r i a l t o b e p r e s e n t e di n a l i m i t e d s p a c e h a s c r o w d e d o u t much d e t a i l e d e x p l a n a t i o n

a n d a p p e a l t o a n a l o g y , w h i c h i n d i s c u s s i o n s w i t h M r . F o r t e s c u eh a v e c o n t r i b t u t e d s o much t o my c l e a r e r c o n c e p t i o n o f t h e i d e a sp r e s e n t e d h e r e .

T h e m e t h o d g i v e n h e r e h a d i t s o r i g i n i n c o n s i d e r i n g t h e o p e r -a t i o n o f b a l a n c e d i n d u c t i o n m a c h i n e s u n d e r u n b a l a n c e d c o n d i -t i o n s . U s i n g t h e " c o o r d i n a t e s " p r o p o s e d h e r e , t h e t h e o r y o ft h e s e m a c h i n e s may b e g i v e n w i t h b e a u t i f u l s i m p l i c i t y . I t h i n kI am r i g h t i n s a y i n g t h a t t h e u t i l i t y o f t h e m e t h o d i s p r a c t i c a l l ye n t i r e l y l i m i t e d t o t h e c a s e o f r o t a t i n g i n d u c t i o n m a c h i n e s .

P u r e l y s t a t i c a p p a r a t u s t i e a t e d i n t h i s way d o e s n o t s h o w a n ys i m p l i f i c a t i o n . When o n e c o n s i d e r s , h o w e v e r , t h a t a l m o s te v e r y p r a c t i c a l a l t e r n a t i n g - c u r r e n t c i r c u i t c o n t a i n s a t l e a s to n e r o t a t i n g m a c h i n e , n a m e l y t h e g e n e r a t o r , t h e b r o a d f i e l do f a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d b e c o m e s a p p a r e n t .

T h e r o o t o f t h e i d e a s g i v e n h e r e i s o l d a n d w a s g i v e n e a r l yi n t r e a t m e n t s o f s i n g l e - p h a s e m o t o r s . Th e s i m p l e c o n s t a n tr o t a t i n g n a t u r e o f t h e f l u x i n a b a l a n c e d p o l y p h a s e m o t o r w a sw e l l k n o w n . I t w a s d i s c o v e r e d t h a t t h e m o r e c o m p l i c a t e d f l u x

i n a s i n g l e - p h a s e m o t o r c o u l d b e r e s o l v e d i n t o t h e sum o f t w os u c h c o n s t a n t r o t a t i n g f l u x e s o f o p p o s i t e r o t a t i o n s , w i t h t h em a g n i t u d e o f t h e s e f l u x e s n o t n e c e s s a r i l y e q u a l . I t w a s o b -s e r v e d a l s o , t h a t i f t h e b a l a n c e d p o l y p h a s e s t a t e s , w h i c h w o u l dg i v e i n d e p e n d e n t l y e a c h o f t h e s e r o t a t i n g f i e l d s , w e r e s u p e r -i m p o s e d , t h e r e s u l t a n t s t a t e w o u l d g i v e c o r r e c t l y t h e c u r r e n t s .v o l t a g e s , t o r q u e s , e t c . , o f t h e s i n g l e - p h a s e m o t o r . F o r a r e c e n td i s c u s s i o n o f t h i s , s e e M r . L a m m e ' s p a p e r , p a g e 6 2 7 , V o l u m eI , T R A N S A C T I O N S 1 9 1 8 .

M r . F o r t e s c u e h a s g e n e r a l i z e d t h i s m e t h o d o f r e s o l u t i o n o ft h e f l u x i n a p o l y p h a s e m a c h i n e u n d e r u n b a l a n c e d c o n d i t i o n si n t o t h e sum o f f l u x e s , e a c h c c r r e s p o n d i n g t o a b a l a n c e d c o n d i -t i o n , t o a s i m i l a r r e s o l u t i o n o f a n u n b a l a n c e d s y s t e m o f a n yp o l y p h a s e q u a n t i t e s w h a t e v e r .

I n my d i s c u s s i o n h e r e I s h a l l , f o r s i m p l i c i t y , c o n f i n e m y s e l ft o t h e t h r e e - p h a s e c a s e . To i l l u s t r a t e t h e r e s o l u t i o n o f a s e to f u n b a l a n c e d t h r e e - p h a s e c u r r e n t s i n t o s y m m e t r i c a l o r b a l a n c e dc o m p o n e n t s , c o n s i d e r t h r e e a r b i t r a r y c u r r e n t s I a l b I , f l o w i n gi n t o t h e t e r mi n a l s o f a t h r e e - p h a s e , s t a r - c o n n e c t e d a p p a r a t u s .

( F i g . 1 ) . M r . F o r t e s c u e s h o w s t h a t t h i s s e t o f c u r r e n t s may b eh a d b y a d d i n g t o g e t h e r t h e f o l l o w i n g t h r e e s e t s o f c u r r e n t s .



1 9 1 8 ] DISC USSION A T A TLA NTIC CITY 1 1 1 7

M e t h o d o f S y m m e t r i c a l C o o r d i n a t e s . F i r s t a c u r r e n t l a o i n e a c hp h a s e . T h e s e t h r e e c u r r e n t s t h e n a r e a l l e q u a l a n d a l l i np h a s e . T h e y c o m b i n e t o g i v e a c u r r e n t i n t h e n e u t r a l . S e c o n d :

a c u r r e n t f a G i n p h a s e a , a c u r r e n t a 2 I a i , i n p h a s e b , a n d a c u r -r e n t a L l i n p h a s e c , w h e r e

a =- 2 +j2 / 3I a

F I G . 1 F I G . 2

i s a c u b e r o o t o f u n i t y . T h i s s e t o f c u r r e n t s i s c l e a r l y a b a l a n c e dp o l y p h a s e s e t o f w h a t i s c a l l e d p o s i t i v e s e q u e n c e . ( F i g . 2 ) . T h i r da c u r r e n t I a 2 i n p h a s e a , a c u r r e n t a I a 2 i n p h a s e B a n d a c u r -

r e n t a 2 1 a 2 i n p h a s e c . ( F i g . 3 . ) . T h i s s e t o f c u r r e n t s i s c l e a r l ya b a l a n c e d p o l y p h a s e s e t o f w h a t i s c a l l e d n e g a t i v e p h a s e s e -q u e n c e . I f t h e s e t h r e e s e t s o f c u i r e n t s b e made t o f l o w s i m u l -t a n e o u s l y i n t h e t h r e e - p h a s e a p p a r a t u s t h e r e s u l t a n t c u r r e n t i n

a I a 2 I a 2

F I G . 3

e a c h p h a s e w i l l b e r e s p e c t i v e l y I a , l b , I , . The v a l u e s o f ' a O , I a l ,I a 2 a r e o b t a i n e d f r o m e q u a t i o n s ( 5 ) . T h e y a r e :

l a o = 1 / 3 ( I a + l b + I a ) .I a l = 1 / 3 ( I a + a l b + a 2 I , ) .1 a 2 = 1 / 3 ( I a + a 2 I b + a I ) .

I n a s i m i l a r w a y , a n y s e t o f t h r e e v o l t a g e s t o n e u t r a l a c t i n go n t h e t h r e e - p h a s e a p p a r a t u s c a n b e r e s o l v e d i n t o t h e su m o f




t h r e e s e t s o f b a l a n c e d v o l t a g e s o f z e r o p h a s e s e q u e n c e , p o s i t i v ep h a s e s e q u e n c e , a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e , r e s p e c t i v e l y .

T h e s e q u e n c e o p e r a t o r s , S O , S I a n d S 2 , w h i c h M r . F o r t e s c u e

i n t r o d u c e s , h a v e a c l o s e a n a l o g y , i t s e e m s t o m e , w i t h t h e j u s e di n t h e u s u a l t r e a t m e n t o f a l t e r n a t i n g c u r r e n t s . I n t h e e l e m e n -t a r y t h e o r y , i t i s f o u n d u s e f u l t o r e s o l v e a n a l t e r n a t i n g q u a n t i t yi n t o t w o c o m p o n e n t s , o n e i n p h a s e w i t h s o m e r e f e r e n c e a l t e r -n a t i n g q u a n t i t y , a n d t h e o t h e r c o m p o n e n t i n p h a s e q u a d r a t u r e .I f i i a n d i 2 a r e t h e m a g n i t u d e s r e s p e c t i v e l y , o f t h e i n - p h a s e a n dt h e q u a d r a t u r e c o m p o n e n t s , t h e i r r e s u l t a n t I , i s d e n o t e d b yi = i l + j i 2 . H e r e j may b e l o o k e d u p o n a s a u n i t a l t e r n a t i n gq u a n t i t y i n p h a s e q u a d r a t u r e w i t h a r e f e r e n c e a l t e r n a t i n g

q u a n t i t y . T h u s , t h e e q u a t i o n i = l i l + j i 2 s t a t e s t h a t t h eq u a n t i t y i may b e o b t a i n e d b y a d d i n g t o g e t h e r i l t i m e s a u n i ti n p h a s e q u a n t i t y , a n d i 2 t i m e s a u n i t q u a d r a t u r e c o m p o n e n t .

I n t h e s a m e w a y , t h e s y m b o l s S O , S 1 , S 2 may b e r e g a r d e d a su n i t p o l 1 p h a s e v e c t o r s * o f z e r o , p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s es e q u e n c e . T h u s S°= ( 1 , 1 , 1 ) , i f r e f e r r i n g t o c u r r e n t s , r e p -r e s e n t s a u n i t c u r r e n t i n e a c h p h a s e o f a t h r e e - p h a s e a p p a r a t u st h e t h r e e c u r r e n t s b e i n g i n p h a s e w i t h some r e f e r e n c e a l t e r n a t -i n g q u a n t i t y . S i m i l a r l y , S I = ( 1 , a 2 , a ) r e p r e s e n t s a u n i t

b a l a n c e d , t h r e e - p h a s e c u r r e n t , o f p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e , i nt h e t h r e e - p h a s e a p p a r a t u s , t h e c u r r e n t i n t h e f i r s t p h a s e b e i n gi n p h a s e w i t h t h e r e f e r e n c e a l t e r n a t i n g q u a n t i t y . L i k e w i s eS 2 = ( 1 , a , a 2 ) r e p r e s e n t s a u n i t b a l a n c e d , t h r e e - p h a s e c u r r e n t o fn e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e . T h u s t h e e q u a t i o n ( 1 5 ) S ( I a ) =S 0 1 + S I I a + S 2 l a 2 s t a t e s t h a t a s y s t e m o f t h r e e c u r r e n t sS ( I . ) i s e q u a l t o t h e sum o f t h r e e s e t s o f c u r r e n t s , t h e f i r s t s e tb e i n g o f t h e t y p e S o , t h a t i s o f z e r o p h a s e s e q u e n c e , t h e s e c o n ds e t o f t h e t y p e S 1 , t h a t i s o f p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e , a n d t h e t h i r d

s e t o f t y p e S 2 , t h a t i s o f n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e . T h e t h r e ec u r r e n t s o f a n y s e t a r e o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e t h r e e c u r -r e n t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g u n i t p o l y p h a s e v e c t o r b y t h e c o m p l e xq u a n t i t y i n d i c a t e d . T h u s t h e c u r r e n t s i n t h e s e c o n d s e t a r eo b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e t h r e e c u r r e n t s , 1 , a 2 , a , r e s p e c t i v e l y ,b y I a 1 .The u t i l i t y o f r e s o l v i n g t h r e e - p h a s e c u r r e n t s a n d v o l t a g e s i n

t h i s w a y , when a p p l i e d t o r o t a t i n g b a l a n c e d m a c h i n e s , l i e s i nt h i s f a c t , t h a t a s y m m e t r i c a l s e t o f v o l t a g e s o f a n y p h a s e s e q u e n c e

a p p l i e , d t o t h e m a c h i n e w i l l p r o d u c e a s y m m e t r i c a l s e t o f c u r i e n t so f t h e s a m e p h a s e s e q u e n c e , a n d t h a t a s y m m e t r i c a l s e t o f c u r r e n t so f a n y p h a s e s e q u e n c e f l o w i n g i n t o t h e m a c h i n e w i l l p r o d u c e as y m m e t r i c a l s e t o f t e r m i n a l v o l t a g e s o f t h e s a m e p h a s e s e q u e n c e .T h i s f a c t i s w e l l known i n t h e t h e o r y u s u a l l y g i v e n o f b a l a n c e dp o l y p h a s e a p p a r a t u s , a l t h o u g h i t i s s e l d o m e x p l i c i t l y s t a t e d .O t h e r m e t h o d s o f d i v i d i n g a s e t o f u n b a l a n c e d t h r e e - p h a s eq u a n t i t i e s a c t i n g on a b a l a n c e d m a c h i n e i n t o c o m p o n e n t s w o u l d

* T h i s v e r y f o r t u n a t e term i s d u e t o Mr . C . T . A l l c u t t and e x p r e s s e s t h e

i d e a o f t h e p a r a g r a p h most s u c c i n c t l y .



1 9 1 8 1 DISCUSSION AT ATLANTIC CITY 1 1 1 9

n o t h a v e t h i s s i m p l i c i t y . F o r e x a m p l e : s u p p o s e t h e t h r e e a c t u a lc u r r e n t s i n t h e t h r e e p h a s e s , a n d t h e t h r e e a c t u a l v o l t a g e s o f t h et e r m i n a l s r e l a t i v e t o n e u t r a l w e r e t a k e n a s t h e c o m p o n e n t s o r

c o o r d i n a t e o f t h e c u r r e n t s a n d v o l t a g e s . Then o n e c o m p o n e n to f c u r r e n t a l o n e , t h a t i s a c u r r e n t i n o n e n h a s e o n l y , w o u l dn o t p r o d u c e o n l y t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p o n e n t o f v o l t a g e , b u tw o u l d p r o d u c e v o l t a g e s i n a l l t h r e e p h a s e s .

N e g l e c t i n g s a t u r a t i o n , f o r a g i v e n r o t o r s p e e d , t h e s y m m e t r i -c a l c u r r e n t s p r o d u c e d i n a b a l a n c e d m a c h i n e b y s y m m e t r i c a la p p l i e d v o l t a g e , a r e p r o p o r t i o n a l a n d i n a d e f i n i t e p h a s e r e l a t i o nt o t h e s y m m e t r i c a l a p p l i e d v o l t a g e . T h u s t h e c u r r e n t s mayb e o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e i n d i v i d u a l m e m b e r s o f t h e sym -

m e t r i c a l s e t o f a p p l i e d v o l t a g e s b y s o m e c o m p l e x n u m b e r . S i m -i l a r l y , a s y m m e t r i c a l s e t o f c u r r e n t s f l o w i n g i n t o a b a l a n c e dm a c h i n e p r o d u c e s a s y m m e t r i c a l s e t o f t e r m i n a l v o l t a g e s w h i c hmay b e o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e i n d i v i d u a l m e m b e r s o f t h es y m m e t r i c a l s e t o f c u r r e n t s b y s o m e c o m p l e x n u m b e r . T h ef i r s t c o m p l e x n u m b e r c o u l d b e c a l l e d t h e s y m m e t r i c a l a d m i t -t a n c e o f t h e m a c h i n e , a n d t h e s e c o n d t h e s y m m e t r i c a l i m p e d a n c e .

T h i s s y m m e t r i c a l i m p e d a n c e a n d a d m i t t a n c e w i l l b e d i f f e r e n t ,o f c o u r s e , f o r s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s o f d i f f e r e n t p h a s e s e q u e n c e .

T h u s f o r a s t a r - c o n n e c t e d , u n g r o u n d e d n e u t r a l m a c h i n e , t h ea d m i t t a n c e f o r s y m m e t r i c a l v o l t a g e o f z e r o p h a s e s e q u e n c e w i l lb e z e r o ; i f t h e n e u t r a l i s g r o u n d e d , t h e i m p e d a n c e t o z e r o p h a s es e q u e n c e c u r r e n t w i l l b e p r i n c i p a l l y t h e l e a k a g e r e a c t a n c e b e -t w e e n p h a s e s ; i f t h e r o t o r i s r u n n i n g n e a r s y n c h r o n i s m i n t h es e n s e o f p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e , t h e i m p e d a n c e Z 1 t o p o s i t i v ep h a s e s e q u e n c e c u r r e n t w i l l b e l a r g e , w h i l e t h e i m p e d a n c e Z 2 t on e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e w i l l b e s m a l l . The c o m p l e t e e x p r e s -s i o n s f o r t h e s e i m p e d a n c e s Z 1 , Z 2 , a r e g i v e n i n e q u a t i o n s ( 1 2 2 ) ,( 1 2 3 ) . The r e l a t i o n s b e t w e e n c u r r e n t a n d v o l t a g e c o m p o n e n t sa r e g i v e n i n e q u a t i o n s ( 1 2 0 ) a n d ( 1 2 1 ) . I n t h e s e f o u r e q u a t i o n si s c o n c e n t r a t e d t h e w h o l e t h e o r y o f s y m m e t r i c a l m a c h i n e so p e r a t i n g u n d e r u n b a l a n c e d c o n d i t i o n s . B u t s o s i m p l e a r e t h e s ee q u a t i o n s a n d t h e i r p h y s i c a l m e a n i n g s o c l e a r , t h a t o n c e u n d e r -s t o o d , t h e y e n a b l e u s t o p r e d i c t q u a l i t a t i v e l y , w i t h o u t c o m -p u t a t i o n , t h e b e h a v i o r o f r o t a t i n g b a l a n c e d m a c h i n e s u n d e r a n yu n b a l a n c e d c o n d i t i o n w h a t e v e r .

C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e s i m p l e p i c t u r e o f t h e a c t i o n o f a

p h a s e b a l a n c e r w h i c h t h e a b o v e t r e a t m e n t g i v e s . T h e b a l a n c e ri s m e r e l y a b a l a n c e d m a c h i n e a c r o s s t h e p o l y p h a s e l i n e r u n n i n gn e a r s y n c h r o n i s m . I t o f f e r s h i g h i m p e d a n c e f o r t h e s y m m e t -r i c a l v o l t a g e o f n o r m a l o r p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e , b u t o f f e r s av e r y l o w i m p e d a n c e f o r a n y n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n to f v o l t a g e . Thus t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e v o l t a g e i s" s h o r t - c i r c u i t e d o u t , " a n d b a l a n c e o n t h e l i n e i s p r e s e r v e d .Th e h a r m f u l e f f e c t s o f s l i g h t u n b a l a n c e i n t h e t e r m i n a l v o l t a g e

o f a p o l y p h a s e m a c h i n e u p o n t h e m a c h i n e ' s r a t i n g i s a l s o c l e a r l y

s h o w n . S i n c e t h e n e g a t i v e s e q u e n c e i m p e d a n c e i s v e r y l o w , as m a l l n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e v o l t a g e w i l l p r o d u c e l a r g e n e g a t i v e




p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s w i t h t h e i r a t t e n d a n t h e a t i n g . T h i ss u g g e s t s a b e t t e r q u a n t i t y t o d e n o t e t h e d e g r e e o f u n b a l a n c e o fa l i n e t h a n t h e o n e commonly u s e d . I t i s t h e r a t i o o f t h e n e g a -

t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t o f t h e l i n e v o l t a g e t o t h e p o s i t i v ep h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t .

B a l a n c e d s t a t i o n a r y a p p a r a t u s a l s o e n j o y s t h e s i m p l i c i t yp o i n t e d o u t i n b a l a n c e d r o t a t i n g m a c h i n e s , n a m e l y t h a t s y m -m e t r i c a l v o l t a g e s o f a n y p h a s e s e q u e n c e p r o d u c e s y m m e t r i c a lc u r r e n t s o f t h e s a m e p h a s e s e q u e n c e , b u t h e r e t h e i m p e d a n c e sf o r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e a r e a l w a y s t h e s a m e .T h e z e r o p h a s e s e q u e n c e i m p e d a n c e i s g e n e r a l l y d i f f e r e n t .When we p a s s t o u n b a l a n c e d a p p a r a t u s ; t h i n g s b e c o m e m o r e

c o m p l i c a t e d . S y m m e t r i c a l c u r r e n t s o f o n e p h a s e s e q u e n c e n ol o n g e r p r o d u c e e . m . f s . o f t h a t p h a s e s e q u e n c e a l o n e , b u t t h et o t a l e . m . f s . a r e u n s y m m e t r i c a l a n d c o n t a i n c o m p o n e n t s o fo t h e r p h a s e s e q u e n c e s . L e t u s c o n s i d e r i n d e t a i l a n u n b a l a n c e ds t a r i m p e d a n c e , w i t h g r o u n d e d n e u t r a l . L e t t h e p h a s e i m p e -d a n c e s b e Z . , Z b , Z c .

L e t u s f i r s t s t u d y t h e e . m . f s . t o n e u t r a l p r o d u c e d b y az e r o p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t . I f l a O , I a o , I a O , a r e t h e t h r e e c u r -r e n t s , t h e t h r e e e . m . f s . a r e Z a l a o , Z b I a o , Z a l a o . R e s o l v i n g

t h e s e t h r e e e . m . f s . i n t o s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s , we f i n d b ye q u a t i o n s ( 5 ) t h a t t h e z e r o t h o r d e r c o m p o n e n t i s :

3 ( Z a I a o + Z b I a O + Z c I a o ) = ' ( Z a + Z b + Z c ) I a o

T h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t s w i l l b e :

I ( Z A a o + a Z b I a o + a c 2 Z c I a o ) = " ( Z a + a Z b + a 2 Z c ) l a o

T h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t w i l l b e :

3 ( Z a I a o + a 2 Z b l a o + a Z c I 0 a o ) = " ( Z a + a 2 Z b + a Z , ) I . .T h u s t h e t o t a l e . m . f . u s i n g t h e s y m b o l s S ' S ' S 2 w o u l d b e

w r i t t e n :

S o [ 3 ( Z a + Z b + Z c ) l a o ] + S ' [ 1 3 ( Z a + a Z b + a 2 Z c ) I a o I +S 2 [ I ( Z a + a 2 Z b + a Z c ] l a o = S o ( Z a o I a o ) + S ' ( Z a l I a o )

+ S 2 ( Z a a o )W h e r e Z a o = 3 1 ( Z a + Z b + Z c )

Z a . =3 ( Z a + a Z b + a 2 Z c )Z a 2 =3 ( Z a + a 2 Z b + a Z , )No w c o n s i d e r t h e e . m . f ' s . g i v e n b y t h e p o s i t i v e p h a s e s e -

q u e n c e c u r r e n t s , l a , a 2 I a a , a I a l . T h e y w i l l b e Z a l a l , Z b a 2 I aZ c a l a i .

R e s o l v e t h e s y s t e m o f e m . f ' s . i n t o s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s .We f i n d f o r t h e z e r o p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t :

3

( Z a I a 1 + Z b a 2 I a l+

Z c , a l . )=

( Z a+ a 2 Z b +

a Z r )I . , 1

Z a 2 1 a



1 9 1 8 ] DISCUSSION AT ATLANTIC CITY 1 1 2 1

F o r t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t we f i n d

4 ( Z 0 1 0 1 + a Z b a 2 I 0 l + a 2 Z c a I 0 1 ) - 4 ( Z a + Z b + Z c ) 1 0 1 =

Z a o I a lF o r t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c o m p o n e n t we f i n d

3 ( Z a I a 1 + a 2 Z b a 2 I a i + a Z c a l a j ) = 1 ( Z a + a Z b + a 2 Z c ) I l a =Z a l I a 1

L a s t l y , c o n s i d e r t h e e . m . f . ' s p r o d u c e d b y n e g a t i v e p h a s es e q u e n c e c u r r e n t s , a 2 , a 1 a 2 , a 2 1 a 2 . T h e z e r o p h a s e s e q u e n c ec o m p o n e n t w i l l b e

4( Z a I a

2+ Z b a l . + Z c a 2 I a 2 ) =

4( Z a +

a Z b+ a 2 Z " ) 1 a 2 -Z a l I a 2 .

T h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f . c o m p o n e n t w i l l b e

3 ( Z a l a 2 + a Z b a T a 2 + a 2 Z c a 2 I a 2 ) = 4 ( Z a + a 2 Z b + a Z c ) I a 2 =Z a 2 I a 2 .

T h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e e . m . f . c o m p o n e n t w i l l b e

4 ( Z a I a 2 + a 2 Z - a I l 2 + a Z c a 2 I a 2 ) = 4 ( Z a + Z I + Z c ) 1 . 2 =Z a O I a 2

T h e c o m p o n e n t s o f v o l t a g e a r e t h e n e x p r e s s e d e a s i l y i n t e r m so f t h e q u a n t i t i e s Z a o , Z a l , Z a 2 , d e f i n e d i n e q u a t i o n s ( 8 ) .

L e t u s b r i n g t h e s e r e s u l t s t o g e t h e r i n t a b u l a r f o r m w h e r e t h er e l a t i o n s b e t w e e n t h e m c a n b e o b s e r v e d .

V o l t a g e C o m p o n e n t sC u r r e n t s S o o r z e r o S I o r p o s i t i v e S 2 o r r e g a t i v e

p h a s e s e q u e n c e p h a s e s e q u e n c e p h a s e s e q u e n c e

Z e r o p h a s e s e q u e n c e ,S o ( I a o ) = ( I a o I a o l a o ) Z a o I a o Z a l I a o Z a 2 1 a o

P o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e ,S I ( 1 . 0 ) =( l a l , a 2 I a a l a l ) Z a 2 l a l Z a o I a l Z a l l a l

N e g a t i v e p h a s e s e q u e n c eS 2 ( I a 2 ) =( I a 2 , a I a 2 , a 2 I a 2 ) Z a l 1 a 2 Z a 2 I a 2 Z a o l a o

S t u d y i n g t h e t a b l e a b o v e , we s e e t h a t e a c h s y m m e t r i c a l

c o m p o n e n t o f c u r r e n t g i v e s r i s e t o s y m m e t r i c a l v o l t a g e s o f a l lt h r e e p h a s e s e q u e n c e s . We n o t i c e f i r s t t h e e . m . f . c o m p o n e n tw h i c h i s o f t h e s a m e p h a s e s e q u e n c e a s t h e c u r r e n t b y w h i c h i ti s p r o d u c e d , i s o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e p r o d u c i n g c u r r e n t sb y Z a o . T h a t i s t h e u n b a l a n c e d a p p a r a t u s may b e s a i d t o h a v eo n e c o m p o n e n t o f i m p e d a n c e , Z a o , w h i c h g i v e s e . m . f . ' s o f t h es a m e p h a s e s e q u e n c e a s t h e c u r r e n t s . T h i s c o m p o n e n t o f i m -p e d a n c e d o e s n o t c h a n g e t h e e x p o n e n t o f t h e S s y m b o l d e f i n i n gt h e p h a s e s e q u e n c e o f t h e c u r r e n t s . T h u s Z a o a l o n e c o r r e s p o n d -

i n g t o t h e c u r r e n t s S 0 ( I l a ) g i v e s t h e e . m . f s . S 0 ( Z . 1 1 0 0 ) ; c o r r e s -p o n d i n g t o t h e



1 1 2 2 SYMMETRICAL CO-ORDINA TES [ J u n e 2 8

C u r r e n t s S I ( I a i ) g i v e s t h e e . m . f s . S I ( Z a o 7 a l ) ; a n d c o r r e s -p o n d i n g t o t h e

C u r r e n t s S 2 ( 1 a 2 ) g i v e s t h e e . m . f s . S 2 ( Z 2 ' . s 2 ) .No w l e t u s e x a m i n e how Z a l e n t e r s i n t h e a b o v e t a b l e . C o r -

r e s p o n d i n g t o t h e z e r o p h a s e s e q u e n c e .C u r r e n t s S I ( l a o ) we f i n d t h e e . m . f s . S I ( Z a i I a o ) o f p o s i t i v e

p h a s e s e q u e n c e . C o r r e s p o n d i n g t o t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e .C u r r e n t s S ( I a i ) we f i n d t h e e . m . f s . S 2 ( Z a i I a i ) o f n e g a t i v e

p h a s e s e q u e n c e . C o r r e s p o n d i n g t o t h e n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e .C u r r e n t s S 2 ( 1 a 2 ) we f i n d t h e e . m . f s . S o ( Z a l I a 2 ) o f z e r o p h a s e

s e q u e n c e .I f we a g r e e n o w t o t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s o f t h e s y m b o l s S

w h e n a f f e c t e d w i t h h i g h e r e x p o n e n t s :5 3 =50. S 4 =S ' ; S I = S 2 ; S 6I S° S 7 = 5 ' ; e t c

We s e e t h a t t h e way i n w h i c h Z a l t e r m s e n t e r c a n b e s u m m a r i z e di n t h i s w a y :

The u n b a l a n c e d a p p a r a t u s h a s a c o m p o n e n t o f i m p e d a n c e ,Z a . , w h i c h i n c r e a s e s t h e e x p o n e n t o f t h e p h a s e s e q u e n c e s y m b o lb y u n i t y .

L a s t l y , l e t u s s e e ho w Z a 2 e n t e r s t h e a b o v e t a b l e . We f i n d

t h a t : C u r r e n t s S 0 ( l a o ) g i v e e . m . f s . S 2 ( Z a 2 1 a o ) .C u r r e n t s S ' ( I a i ) g i v e e . m. f s . S o ( Z a 2 I a i ) .C u r r e n t s S 2 ( I a 2 ) g i v e e . m. f s . S ' ( Z a 2 I a 2 ) -

T h i s may b e s u m m a r i z e d b y s a y i n g t h a t t h e u n b a l a n c e d a p p a r a -t u s h a s a c o m p o n e n t o f i m p e d a n c e Z a 2 w h i c h i n c r e a s e s t h ee x p o n e n t o f t h e s e q u e n c e s y m b o l b y t w o .

A l l i h e s e r e s u l t s w i l l b e o b t a i n e d a u t o m a t i c a l l y i f we s u p p o s e

t h a t s y m b o l s S, S I , S 2 , a x ea t t a c h e d

r e s p e c t i v e l yt o

Z a o , Z a l , Z a 2 ,a n d when m u l t i p l y i n g t h e c u r r e n t c o m p o n e n t s , S ° ( l a o ) , S ( I a l ) ,S 2 ( I a 2 ) , t h e e x p o n e n t i a l l a w s h o l d . T h u s :

S ( Z a o ) S 5 ( l a o ) = S ° ( Z a o l a o ) ; S l ( Z a l ) S ° - ( I a o ) = S ( Z a l l a o )S 0 ( Z a o ) S ' ( I a l ) = S ' ( Z a o I a l ) ; S ' ( Z a l ) S ( I a ) = 5 2 ( Z a a l ) .S o ( Z a o ) S 2 ( I a 2 ) = S 2 ( Z a o a 2 ) ; S ' ( Z a i ) S 2 ( l a o ) = S 3 ( Z a l I a 2 ) .

=So ( Z a 1 a 2 )S 2 ( Z a 2 ) S ° ( I a o ) = S 2 ( Z a 2 I a o )S 2 ( Z a 2 ) * S ' ( I a i ) = S 3 ( Z a 2 I a i ) = S 0 ( Z a 2 I a l )

S 2 ( Z Q 2 ) S 2 ( 1 , 2 ) = S 4 ( Z a 2 I a 2 ) = S ( Z a 2 I a 2 )The w h o l e r e s u l t c a n b e e x p r e s s e d b y w r i t i n g t h e t o t a l i m p e d -a n c e , S ( Z a ) = S o Z a o + S 8 Z a l + S 2 Z a 2 -To g e t t h e e . m. f s . c o r r e s p o n d i n g t o a n y c u r r e n t s , w e m u l t i p l y

t o g e t h e r t h e t o t a l i m p e d a n c e b y t h e t o t a l c u r r e n t , f o l l o w i n gm e r e l y t h e r u l e s o f a l g e b r a , a n d i n t e r p r e t i n g h i g h e r p o w e r s o f Sa s d e s c r i b e d a b o v e . Thus w e g e t :

S ( E a ) = S ( Z a ) S ( I a )= ( S 0 Z a o + S ' Z a i + S 2 Z a 2 ) ( S O I a o + S l I a l + S 2 I a 2 )= S ° ( Z a o l a o + Z a l I a 2 + Z a 2 I a l ) + S l ( Z a o I a l+ Z a l l a o + Z a 2 I a 2 ) + S ( Z a o I a 2 + Z a l I a l + Z a 2 I a o )




We g e t h e r e t h e f o u n d a t i o n o f a c o m p l e x t h r e e - p h a s e a l g e b r a ,w h i c h p e r f o r m s t h e s a m e f u n c t i o n s f o r t h r e e - p h a s e s y s t e m s a st h e u s u a l c o m p l e x q u a n t i t y d o e s f o r s i m p l e a l t e r n a t i n g c u r r e n t .

T h i s l e a d s t o a n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n o r mode o f v i e w i n g t h es e q u e n c e s y m b o l s , S ° , S I , S 2 , a n d h e r e a g a i n we may p r o f i t b ya n a l o g y w i t h t h e j i n t h e c o m p l e x a l g e b r a o f s i m p l e a l t e r n a t i n gq u a n t i t i e s . S u p p o s e i i s a c u r r e n t i n p h a s e w i t h some r e f e r e n c e a l -t e r n a t i n g q u a n t i t y . I f t h i s c u r i e n t f l o w s t h r o u g h a r e s i s t a n c e r .t h e r e s u l t i n g e . m . f . , r i i s a l s o i n p h a s e w i t h r e f e r e n c e a l t e r n a t i n gq u a n t i t y . I f t h e r e s i s t a n c e i s o f u n i t v a l u e t h e r e s u l t i n g e . m . f .i s i . S u p p o s e , h o w e v e r , t h a t t h e c u r r e n t f l o w s t h r o u g h ar e a c t a n c e w h o s e i m p e d a n c e i s x o h m s . T h e r e s u l t i n g e . m . f .

w i l l b e x I i n m a g n i t u d e , b u t i t w i l l b e i n p h a s e q u a d r a t u r e w i t ht h e r e f e r e n c e a l t e r n a t i n g q u a n t i t y . T h i s i s t a k e n c a r e o f i n t h eu s u a l t h e o r y b y a f f e c t i n g t h e e x p r e s s i o n f o r t h e r e a c t a n c e w i t h a

j , t h u s x j , a n d m a k i n g j h a v e t h e p r o p e r t y t h a t when m u l t i p l y i n ga v e c t o r o r a l t e r n a t i n g q u a n t i t y i t d o e s n o t c h a n g e t h e v a l u e o ft h e v e c t o r b u t m e r e l y a d v a n c e s i t s p h a s e b y n i n e t y d e g r e e sT h i s i s a d i f f e r e n t m e a n i n g f i o m w h a t w a s g i v e n b e f o r e . j h e r en o l o n g e r r e p r e s e n t s a u n i t v e c t o r o r a l t e r n a t i n g q u a n t i t y . I tno w r e p r e s e n t s a n o p e r a t o r , o r a s y m b o l f o r a d v a n c i n g t h e p h a s e

o f a n y v e c t o r w h i c h i t m u l t i p l i e s . W h e r e j b y i t s e l f i s r e f e r r e dt c a s a v e c t o r , i t s h o u l d b e u n d e r s t o o d t h a t j i i s m e a n t ; w h e r ei i s a u n i t v e c t o r i n p h a s e w i t h t h e r e f e r e n c e v e c t o r .

I t i s c l e a r t h a t o p e r a t i n g t w i c e s u c c e s s i v e l y b y j u p o n a v e c t o rm e r e l y r e v e r s e s t h e p h a s e o f t h a t v e c t o r . T h u s j ( j . i ) = - 1 ,w h i c h l e a d s t o t h e r u l e o f m u l t i p l i c a t i o n J 2 = - 1 . L a s t l y , wes e e t h a t t h e e . m . f . i n d u c e d b y a c u r r e n t f l o w i n g t h r o u g h a ni m p e d a n c e may b e o b t a i n e d c o i r e c t l y b o t h i n p h a s e a n d m a g n i -t u d e b y m u l t i p l y i n g t h e c u r r e n t b y a n u m b e r o f t h e f o r m r + j x ,w h i c h r e p r e s e n t s t h e c o m p l e t e i m p e d a n c e . T h u s t h e c o m p l e xa l g e b r a o f s i m p l e a l t e r n a t i n g q u a n t i t i e s i s b o r n .We may a t t a c h s i g n i f i c a n c e a s o p e r a t o r s i n a s i m i l a r way t o

t h e s y m b o l s S ° , S I , S 2 . No w t h e y s h a l l n o l o n g e r r e p r e s e n t p o l y -p h a s e v e c t o r s , b u t s h a l l m e r e l y b e o p e r a t o r s w h i c h when w r i t t e nn e x t t o a p o l y p h a s e v e c t o r , c h a n g e i t i n t o a p o l y p h a s e v e c t o ro f a n o t h e r p h a s e s e q u e n c e . T h e q u a n t i t i e s w h i c h t h e S ' s a f f e c ts h a l l b e c o n s i d e r e d a s p o l y p h a s e v e c t o r s . T h u s t h e s y m b o l Is h a l l s t a n d f o r t h r e e c u r r e n t s , e a c h e q u a l t o I . O p e r a t i n g o n I

w i t h S ° m e a n s m u l t i p l y i n g e a c h o f t h e s e c u r i e n t s b y u n i t y .T h u s S ° i s a u n i t y o p e r a t o r a n d d o e s n o t c h a n g e t h e p o l y p h a s ev e c t o r u p o n w h i c h i t o p e r a t e s . A s e p a r a t e s y m b o l f o r i t m i g h th a v e b e e n o m i t t e d .

S ' I o r S o p e r a t i n g o n I , m e a n s t h a t t h e t h r e e c u r r e n t sI , I , I , a r e t o b e m u l t i p l i e d b y 1 , a 2 , a , r e s p e c t i v e l y ; o r t h a t t h ef i r s t c u r r e n t i s t o b e u n c h a n g e d , t h e s e c o n d t o b e a d v a n c e d i np h a s e b y 1 2 0 d e g . a n d t h e t h i r d b y 2 4 0 d e g . S ' b y i t s e l f s h a l ln o t mean a n y t h i n g u n l e s s i t i s u n d e r s t o o d t o b e f o l l o w e d b y 1i n w h i c h c a s e i t s t a n d s f o r t h e u n i t p o l y p h a s e v e c t o r o f

p o s i t i v e ,r o t a t i o n o b t a i n e d b y o p e r a t i n g w i t h S o n t h e t h r e e c u r r e n t s( 1 , 1 , 1 ) .




S i m i l a r l y , S 2 1 o I S 2 o p e r a t i n g o n I , m e a n s t h a t t h e t h r e e c u r -r e n t s I , I , I , a r e t o b e m u l t i p l i e d b y I , a , a 2 , r e s p e c t i v e l y ; o rt h a t t h e f i r s t c u r r e n t i s t o b e u n c h a n g e d , t h e s e c o n d a d v a n c e d

i n p h a s e b y 2 4 0 d e g . a n d t h e t h i r d b y 1 2 0 d e g . S 2 b y i t s e l fs h a l l n o t mean a n y t h i n g u n l e s s i t i s u n d e r s t o o d t o b e I , i nw h i c h c a s e i t s t a n d s f o r t h e u n i t p o l y p h a s e v e c t o r o f n e g a t i v ep h a s e r o t a t i o n o b t a i n e d b y o p e r a t i n g u p o n t h e p o l y p h a s e q u a n -t i t y ( I , I , 1 ) .

W i t h t h e m e a n i n g n o w g i v e n t o S ° , S I , S 2 , i t a t o n c e f o l l o w st h a t t h e y s a t i s f y t h e l a w o f e x p o n e n t s . F o r e x a m p l e , S ( S ' I )m e a n s l e a v e t h e f i r s t c u i r e n t I u n c h a n g e d ; a d v a n c e t h e s e c o n dc u i r e n t I , i n p h a s e b y 1 2 0 d e g . , a n d t h e n a g a i n b y 1 2 0 d e g ;

a d v a n c e t h e t h i r d c u r r e n t , I , b y 2 4 0 d e g . a n d t h a n a g a i n b y2 4 0 d e g . I t i s c l e a r t h a t t h e f i n a l r e s u l t s a r e e x a c t l y t h e s a m ea s t h e r e s u l t s o f o p e r a t i n g w i t h S 2 o n I . A l s o i t i s c l e a r t h a tm u l t i p l i c a t i o n b y a n o p e r a t o r s a n d a c o n s t a n t Z i s c o m m u t a -t i v e . T h u s Z S ' I = S ' Z 1 I . T h i s s e r v e s a s t h e f o u n d a t i o n o ft h e c o m p l e x t h i e e - p h a s e a l g e b r a .

a a

5 0 l OhmI O h m1h~~~~~~~~yOh - ' 1 / 2 O h M

S° h lOhnt1Oh

Ohn

1 / 2 3 j O h , V 2 V O h m sC b c I N~ b b

F I G . 4 F I G . 5

I n t h e c o m p l e x a l g e b r a o f s i m p l e a l t e r n a t i n g q u a n t i t i e s , i t i se a s y t o g i v e a n i l l u s t r a t i o n o f t h e o p e r a t o r J a s i n i m p e d a n c e .I n f a c t , a r e a c t i v e i m p e d a n c e o f o n e o h m g i v e s f o r a n y c u r r e n ta n e . m . f . w h i c h may b e o b t a i n e d f r o m t h e c u r r e n t b y m u l t i -p l y i n g b y J . C a n we s i m i l a r l y i l l u s t r a t e t h e t h r e e o p e r a t o r sS I , S i , S 2 .

S O , o f c o u r s e , i s e a s y . T a k e a g r o u n d e d s t a r o f r e s i s t a n c e s ,e a c h o f o n e o h m . T h e n we f i n d f o r t h e c u r r e n t s S o ( I ) = ( I , I , I )

t h e v o l t a g e s , ( I , I , I ) = S I ; f o r t h e c u r r e n t s S 2 ( I )( I , a l , a 2 1 ) t h e v o l t a g e s ( I , a l , a 2 1 ) = S 2 I .No w f o r S I . T a k e a g r o u n d e d s t a r i n w h i c h t h e i m p e d a n c e

o f p h a s e a i s 1 o h m , o f p h a s e b , (- \aW j ) o h m s = a 2 o h m s ,a n d o f p h a s e c , ( + 2 \ / 3 j ) ohms = a o h m s . No w w ef i n d f o r t h e c u r r e n t s S ( I ) = ( I , I , I ) , t h e e . m . f s . ( I , a 2 1 , a l )S ' I = S ( S o I ) f o r t h e c u r r e n t s S I ( I ) = ( I , a 2 I , a l ) , t h e e . m . f s .( I , a l , a 2 1 ) = S 2 1 = S ' ( S ' I ) ; f o r t h e c u r r e n t s S 2 ( I ) =( I , a I , a 2 1 ) , t h e e . m . f s . ( I , I , I ) = S ° I = S I ( S 2 1 ) . F i g . 5 .

L a s t l y , S 2 . T a k e a g r o u n d e d s t a r i n w h i c h t h e i m p e d a n c e o fp h a s e a i s 1 o h m , o f p h a s e b , (- + 2 \ I T J ) o h m s , a n d o f




p h a s e c , ( - 4 - \I v 3 j ) o h m s . Then we f i n d f o r t h e c u r r e n t s

S o ( I ) = ( I , I , I ) , t h e e . m . f s . ( I , a l , a 2 1 ) - S 2 1 = S 2 S 0 1 ;

f o r t h ec u r r e n t s S '

( I )= ( I , a 2 l ,

a l )t h e e . m . f s . ( I , I , I ) =

S ° = S 2 S ' I ; f o r t h e c u r r e n t s S 2 ( I ) = ( I , a l , a 2 1 ) t h e e . m . f s .( I , a 2 I , a I ) = S 1 1 = S 2 S 2 1 . F i g . 6 .

I n t h e s e e x a m p l e s , n e g a t i v e r e s i s t a n c e s a p p e a r . T h i s i s n o ts u r p l i s i n g , a s i t i s c l e a r t h a t u n b a l a n c e d a p p a r a t u s , when c u r -r e n t o f o n e p h a s e s e q u e n c e f l o w s , may f e e d e n e r g y i n t o i m p r e s s e d

I Ohm

- l kOhn& - 1 / 2 Ohm

_ V - 3 - j O h m . + Y 2 0 3 i Ohms

F I G . 6

e . m . f s . o f a n o t h e r p h a s e s e q u e n c e . Th e n e g a t i v e r e s i s t a n c emay b e r e p r e s e n t e d p h y s i c a l l y b y a s e r i e s c o m m u t a t o r a - c .m o t o r , d r i v e n a t c o n s t a n t s p e e d i n t h e o p p o s i t e o f i t s m o t o r i n gd i r e c t i o n o f r o t a t i o n .

T h e r e s o l u t i o n o f a n a r b i t r a r y t h r e e - p h a s e s t a r i m p e d a n c ei n t o i t s t h r e e - p h a s e c o m p o n e n t s i s m e r e l y t h e p r o b l e m o f f i n d i n gt h r e e t h r e e - p h a s e i m p e d a n c e s o f t h e S ° , S ' a n d S I t y p e , r e s p e c -t i v e l y , w h i c h p u t i n s e r i e s a s i n F i g . 7 w i l l r e p r o d u c e t h e g i v e n

t h r e e - p h a s e s t a r .

Z a o a Z a 2 Z a

S I Z a o S ' Z a l s2 7

F I G . 7

I t i s c l e a r t h a t a d m i t t a n c e s may b e t r e a t e d i n t h e s a m e waya s i m p e d a n c e s a b o v e . T h u s t h e g e n e r a l t h r e e - p h a s e a d m i t t a n c emay b e w r i t t e n i n t e r m s o f i t s c o m p o n e n t s , t h u s :

S ( Y a ) = S O Y a o + S l Y a , + S 2 Y a 2

Th e c u r i e n t s p r o d u c e d b y a g e n e r a l t h r e e - p h a s e v o l t a g e S ( E a )= S E a o + S ' E a I + S 2 E a 2 w i l l b e :




S ( I a ) = ( S Y a o + S ' Y a l + S 2 Y a 2 ) ( S ° E a o + S ' E a l + S 2 E a 2 ) .= S o ( Y E a O + Y a l E a 2 + Y a 2 E a l )

+ S ' ( Y a o E a , + Y a i E a o + Y a 2 E a 2 )+ S 2 ( Y a o E a 2 + Y a l E a l + Y a 2 E a o ) .

I n t h e c o m p l e x a l g e b r a o f s i m p l e a l t e r n a t i n g c u r r e n t s we p a s sf o r m a l l y f r o m a n i m p e d a n c e R + j x t o t h e c o r r e s p o n d i n g

a d m i t t a n c e b y t a k i n g t h e r e c i p r o c a l ,I

- a n d m u l t i p l y i n gn u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r b y r -j x t o r e d u c e i t t ot h e s t a n d a r d f o r m .

Thur - j x r x

r + J x r - j x r 2 + x 2 r 2 + x 2

S i m i l a r l y i n t h i s t h r e e - p h a s e c o m p l e x a l g e b r a we o b t a i n t h ea d m i t t a n c e c o r r e s p o n d i n g t o a n i m p e d a n c e S 0 Z a O + S ' Z a l

+ S Z a 2 b y t a k i n g t h e r e c i p r o c a l 0 + S ! Z a , + S Z a 2 B u t

n o w t o r e d u c e t o s t a n d a r d f o r m we m u s t m u l t i p l y n u m e r a t o ra n d d e n o m i n a t o r b y

S o ( Z a o + a S l Z a l + a 2 S 2 Z a 2 ) ( S 0 Z a o + a 2 S ' Z a l + a S 2 Z . 2 ) .T h u s :

1 S 0 Z a o + a S ' Z a l + a 2 S 2 Z a 2S 0 Z a o + S ' Z a l + S 2 Z a 2 S 0 Z a o 4 a S l Z a l + a 2 S 2 Z a 2

5 0 Z a o + a 2 S l Z a l + a S 2 Z a 2

S 0 Z a o + a 2 S l Z a l + a S 2 Z a 2S 0 ( Z a o 2 + G 2 Z a i Z a 2 + a Z a l Z a 2 ) + S 1 ( a 2 Z a o Z a 1 + a Z a o Z a l +Z 2 a 2 )+ S 2 ( a 2 Z a o Z a 2 + Z 2 a , + a Z a o Z a 2 )D

S O ( Z 2 a o -Z a l Z a 2 ) + S I ( Z 2 a 2 - Z a o Z a l ) + S 2 ( Z 2a - Z a o Z a 2 )S 0 ( Z 3 a o + Z ' a l + Z ' a 2 - 3 Z a o Z a l Z a 2 )

R e m e m b e r i n g t h a t S o i s a n o p e r a t o r w h i c h d o e s n o t c h a n g e

t h e q u a n t i t y u p o n w h i c h i t a c t s , a n d t h e r e f o r e t h a t a s y m b o l f o ri t m i g h t h a v e b e e n o m i t t e d , w e may l e a v e o f f t h e S ° i n t h ed e n o m i n a t o r a n d g e t f o r t h e f i n a l a d m i t t a n c e :

S(Y) Z 2 a o -Z al Za2S Z 3 a o +Z 3 a + Z 3 a 2 3 Z a o Z a l Z a 2

+ S Z 2 a 2 -Z ao Z al

Z ao +Z 3 a + Z 3 a2 - 3 Z a o Z a l Z a 2

+S2 Z 2 a l -Z a o Z a 2Z+ ao+Z 3 + Z 3 a 2 3 Z a o Z 4 l Z a 2




T h e p r i n c i p l e s j u s t e n u n c i a t e d e n a b l e u s t o p u t t o g e t h e r t h r e e -p h a s e a p p a r a t u s a n d c a l c u l a t e t h e r e s u l t i n g t h r e e - p h a s e c o m -p o n e n t s j u s t a s i s d o n e i n s i n g l e - p h a s e a p p a r a t u s . F o r a p p a r a t u s

i n p a r a l l e l , we a d d a d m i t t a n c e s ; f o r a p p a r a t u s i n s e r i e s we a d di m p e d a n c e s .

S o f a r , i n t h e s t a t i c a p p a r a t u s c o n s i d e r e d , t h e m u t u a l i n d u c -t a n c e b e t w e e n " l e g s " o f t h e t h r e e - p h a s e a p p a r a t u s h a s b e e na s s u m e d z e r o . When t h e s e m u t u a l i n d u c t a n c e s a r e n o t z e r o ,t h i n g s b e c o m e m o r e c o m p l i c a t e d . A t h r e e - p h a s e a p p a r a t u sw i t h g r o u n d e d n e u t r a l i s , o f c o u r s e , a f o u r t e r m i n a l n e t w o r k , a n da s i s w e l l k n o w n , i n t h e m o s t g e n e r a l c a s e w o u l d r e q u i r e

2=

6 c o m p l e x c o n s t a n t s t o c h a r a c t e r i z e i t u n d e r s t e a d y2

s t a t e c o n d i t i o n s . I t i s c l e a r t h a t a c o m p l e x t h r e e - p h a s e e x p r e s -s i o n S o Z a o + S I Z a i + £ 2 Z a 2 d e p e n d s o n o n l y t h r e e c o m p l e xc o n s t a n t s , a n d h e n c e c a n n o t r e p r e s e n t t h e m e s t g e n e r a l t h r e e -p h a s e a p p a r a t u s .

T h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s o f v o l t a g ea n d c u r r e n t o n t h e g e n e r a l s t a t i c t h r e e - p h a s e n e t w o r k a r e g i v e ni n e q u a t i o n s ( 2 5 ) . O n e way o f s u m m a r i z i n g t h e s e e q u a t i o n s

w o u l d b e t o s a y t h a t t h e t h r e e - p h a s e a p p a r a t u s h a s t h r e e d i f -f e r e n t i m p e d a n c e s f o r t h e t h r e e p h a s e - s e q u e n c e c u r r e n t s . T h u st h e i m p e d a n c e t o z e r o p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t a s g i v e n b ye q u a t i o n s ( 2 5 ) i s :

S o ( Z a a o + 2 Z b c o ) + S ' ( Z a a l - Z b c l ) + S 2 ( Z a a 2 - Z b c 2 ) ;t h e i m p e d a n c e t o p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s i s

S o ( Z a a o - Z b c o ) + S l ( Z a a l + 2 Z b , l ) + S 2 ( Z a a 2 - Z b c 2 ) ;

a n d t h e i m p e d a n c e t o n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s i sS o ( Z a a O - Z b , o ) + S ' ( Z a a l - Z b c l ) + S 2 ( Z a a 2 + Z b c 2 ) ,

A n o t h e r way o f s u m m a r i z i n g t h e e q u a t i o n s ( 2 5 ) w o u l d b e t os a y t h a t t h e a c t u a l t h r e e - p h a s e a p p a r a t u s i s e q u i v a l e n t t o at h r e e - p h a s e n e t w o r k h a v i n g t h e t h r e e - p h a s e i m p e d a n c e

S 0 ( Z a a o - Z b c o ) + S l ( Z a l-Z b c l ) + S 2 ( Z a a 2 -Z b c 2 ) ,

i n s e r i e s w i t h a n e t w o r k w h o s e i m p e d a n c e t o z e r o , p o s i t i v e a n dn e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t a r e r e s p e c t i v e l y , S ° 3 Z b c o ;S I 3 Z b , l ; S 2 3 Z b c 2 .

W i t h t h e i d e a s d e v e l o p e d i n t h i s p a p e r , s o l u t i o n s o f p r o b l e m so n s y m m e t r i c a l r o t a t i n g m a c h i n e s w i t h u n b a l a n c e d s t a t i c a p p a -r a t u s may b e w o r k e d w i t h c o m p a r a t i v e e a s e . A s a n e x a m p l eI s h a l l c o n s i d e r t h e c a s e o f a g e n e r a t o r , w i t h u n g r o u n d e d n e u t r a l ,a c t i n g o n a g i v e n s t a r l o a d , o f l e g i m p e d a n c e s , Z a , Z b , Z , . S U p -p o s e t h e m a c h i n e i s s y m m e t r i c a l , i . e . , n o n - s a l i e n t p o l e s , a n d a

d a m p i n g s q u i r r e l c a g e o nt h e

f i e l d .I n

t h i sc a s e t h e

g e n e r a t o rh a s a n i m p e d a n c e Z , t o p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t , a n d a




s m a l l i m p e d a n c e Z 2 t o n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e c u r r e n t s . T h ep o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e i m p e d a n c e Z , i s w h a t h a s b e e n c a l l e dt h e s y n c h r o n o u s i m p e d a n c e o f t h e m a c h i n e s u c h t h a t i f E i s t h e

n o l o a d v o l t a g e , E - Z 1 1 i s t h e v o l t a g e on a p o s i t i v e s e q u e n c eb a l a n c e d l o a d I . The p r o b l e m i s t o f i n d t h e c u r r e n t s a n d v o l t -a g e s o n t h e l o a d , a n d t h e v o l t a g e b e t w e e n l o a d n e u t r a l a n dg e n e r a t o r n e u t r a l .We h a v e g i v e n t h a t l a o = 0 .We c a l c u l a t e t h e i m p e d a n c e d r o p s o f p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e

a n d p u t t h e i r su m e q u a l t o t h e g e n e r a t e d p o s i t i v e s e q u e n c ev o l t a g e . T h u s :

Z l I a l + Z a o I a l + Z a 2 1 a 2 = E .S i m i l a r l y , s i n c e t h e g e n e r a t e d n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e v o l t a g ei s z e r o ,

Z 2 I a 2 + Z a l I a l + Z a o 1 a 2 - 0 .

S o l v i n g f o r I a l a n d 1 a 2

l a , i = E Z2 + Z a O

Z lZ 2 +

( Z 1+

Z 2 )Z a o +

Z 2 a o-

Z a l Z a 2' T a 2 = E - Z a l

IZ Z 2 + ( Z 1 + Z 2 ) Z a o + Z 2 a o - Z a l Z a 2

T h e t e r m i n a l v o l t a g e s w i l l b e :

Z 2 a o - Z a l Z a 2 + Z 2 Z a oE a i -E Z i ' a l Z a o l a i 1 + Z a 2 ' a 2 E F 0

E a 2 = - Z 2 1 a 2 = Z a 1 ' a l + Z a o I a 2 = E Z 2 Z a l0

T h e v J o l t a g e b e t w e e n l o a d n e u t r a l a n d g e n e r a t o r n e u t r a l w i l lb e :

E a o = Z a l I a 2 + Z a 2 l a l = E * Z 2 a l ± Z a o Z a 2 + Z 2 Z a 2

A s p e c i a l c a s e o f i n t e r e s t i s w h e r e Z b - Z , a r e z e r o , t h a t i s , as i n g l e - p h a s e s h o r t c i r c u i t . We t h e n h a v e :

Z a o =3 Z a Z a 3 Z a l Z a 2 =3 Z a

l a , i = E( Z a + 3 Z 2 )

3 Z l Z 2 + ( Z 1 + Z 2 ) Z a

I - Z a

E 3 Z l Z 2 + ( Z 1 + Z 2 ) Z ,



1 9 1 8 1 DISCUSSION AT ATLANTIC CITY 1 1 2 9

Z 2 Z a

E a , =E. Z2Z

3 Z l Z 2 + ( Z l + Z 2 ) Z a

Z2 Z aE a 2 = E . 3 Z 1 Z 2 + ( Z l + Z 2 ) Z a

Z2 ZaE a o =E ZZ3 Z Z 2 + ( Z l + Z 2 ) Z a

I f j u s t p r e v i o u s t o t h e s i n g l e - p h a s e s h o r t c i r c u i t t h e g e n e r a t o r

w as u n l o a d e d , Z a b e c o m e s i n f i n i t e a n d o u r f i n a l r e s u l t s a r e :

I 1 a =- I a 2 E

E a l -Ea2 = E a o = E z2Z I + Z 2

I f t h e g e n e r a t o r a b o v e d i d n o t h a v e a d a m p e r w i n d i n g o n t h e

f i e l d , i t w o u l d b e an u n s y m m e t r i c a l m a c h i n e h a v i n g a s i n g l e -p h a s e r o t o r . A s w e k n o w , t h e t h e o r y o f u n s y m m e t r i c a l r o t a t i n gm a c h i n e s i s o f c o n s i d e r a b l e c o m p l i c a t i o n . M r . F o r t e s c u e h a sp r o m i s e d a t r e a t m e n t b y t h e s e m e t h o d s o f t h e g e n e r a l u n s y m -m e t r i c a l r o t a t i n g m a c h i n e i n a f u t u r e p a p e r , w h i c h I l o o kf o r w a r d t o w i t h g r e a t i n t e r e s t .

C . P . S t e i n m e t z : I n d e a l i n g w i t h c a l c u l a t i o n s o r i n v e s t i -g a t i o n s o f p o l y p h a s e s y s t e m s , o r , a s u s u a l l y t h e c a s e , t h r e e - p h a s es y s t e m s , t h e d i f f i c u l t i e s w h i c h w e meet a r e n o t s o much m a t h e -m a t i c a l d i f f i c u l t i e s , b u t a r e w h a t I may c a l l m e c h a n i c a l d i f f i c u l -t i e s . The e q u a t i o n s , w h i l e m a t h e m a t i c a l l y n o t c o m p l i c a t e d ,l e a d t o e x p r e s s i o n s w h i c h a r e s o c o m p l i c a t e d a n d e x t e n s i v e i nf o r m a s t o make a n y s u c h c a l c u l a t i o n s e x t r e m e l y d i f f i c u l t .

I n d e a l i n g w i t h t h e b a l a n c e d p o l y p h a s e s y s t e m , t h i s d i f f i c u l t yh a s b e e n o v e r c o m e b y t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e e q u i v a l e n t s i n g l e -p h a s e s y s t e m , b y c o n s i d e r i n g t h e p o l y p h a s e s y s t e m a s r e s o l v e di n t o a n u m b e r o f s i n g l e - p h a s e s y s t e m s , e a c h c o m p r i s i n g t h ec i r c u i t f r o m o n e o f t h e p h a s e w i r e s t o t h e n e u t r a l p o i n t o f t h e

s y s t e m . T h i s m e t h o d h o w e v e r , f a i l s i n t h e u n b a l a n c e d p o l y -p h a s e s y s t e m - a n d n a t u r a l l y p r a c t i c a l l y a l l e x i s t i n g c o m m e r c i a lp o l y p h a s e s y s t e m s a r e more o r l e s s u n b a l a n c e d - a n d t h e t h e o r yo f t h e v e c t o r m e t h o d g i v e n t o u s t o d a y i n a m o r e e x t e n s i v ed e s c r i p t i o n b y M r . F o r t e s c u e , g i v e s t h e s o l u t i o n b y s h o w i n g usi n t h e c a s e o f t h e g e n e r a l t h r e e - p h a s e s y s t e m t h a t i t can b er e s o l v e d i n t o t w o b a l a n c e d t h r e e - p h a s e s y s t e m s o f o p p o s i t e p h a s er o t a t i o n . We c a n a p p l y t h e same p l a n t o o t h e r p o l y p h a s es y s t e m s .

V . K a r a p e t o f f : M r . F o r t e s c u e d e s e r v e s t h e g r a t i t u d e o f t h ep r o f e s s i o n f o r b r i n g i n g o u t a n e w m e t h o d f o r n u m e r i c a l c o m p u -




t a t i o n s i n u n s y m m e t r i c a l p o l y p h a s e s y s t e m s , a n d a l s o f o ra p p l y i n g t h e method t o a number o f p r a c t i c a l c a s e s .

E x p r e s s i o n s ( 4 ) r e p r e s e n t t h e r e s u l t o f s o l u t i o n o f c e r t a i n

e q u a t i o n s , w h i c h e q u a t i o n s u n f o r t u n a t e l y a r e n o t g i v e n i n t h ep a p e r . Th e e x p r e s s i o n s q u o t e d a r e u n n e c e s s a r i l y i n v o l v e d , a n di t i s d i f f i c u l t t o s e e t h e i r m e t h o d o f d e r i v a t i o n . M o r e o v e r ,i t may b e s h o w n t h a t t h e y d o n o t r e p r e s e n t t h e most g e n e r a lc a s e o f r e s o l u t i o n o f a n u n s y m m e t r i c a l s y s t e m o f v e c t o r s . T h ef o l l o w i n g p r o c e d u r e w o u l d s e e m t o b e p r e f e r a b l e .

D e f i n i t i o n . A m u l t i p l e - a n g l e s y m m e t r i c a l p o l y p h a s e s y s t e m o fv e c t o r s i s d e f i n e d a s o n e i n w h i c h t h e v e c t o r s a r e n u m b e r e d n o tc o n s e c u t i v e l y , b u t s k i p p i n g a c e r t a i n

n u m b e r o f v e c t o r s . T h u s , F i g . 8 1r e p r e s e n t s a t r i p l e - a n g l e s e v e n - p h a s ec l o c k w i s e s y s t e m , b e c a u s e t h r e e a n g l e s 3a r e c o m p r i s e d b e t w e e n p h a s e 1 a n d 6p h a s e 2 , a n d a l s o b e t w e e n p h a s e 2a n d 3 , e t c . S u c h a g e n e r a l i z a t i o n o ft h e c o n c e p t o f p o l y p h a s e s y s t e m s i su s e f u l when t h e n u m b e r o f p h a s e s 4a n d t h e n u m b e r o f a n g l e s s k i p p e d a r e

p r i m e n u m b e r s , s o t h a t a l l t h e p h a s e smay b e n u m b e r e d c o n s e c u t i v e l y , 2w i t h o u t o m i t t i n g o r r e p e a t i n g a n y . FI f t h e t o t a l n u m b e r o f p h a s e s n i s a F I C , . 8 - A T R I P L E - A N G L E

p r i m e n u m b e r , t h e n t h e t o t a l num- S Y S T E Mb e r o f p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o rm u l t i p l e s y s t e m s i s ( n - 1 ) , t h e a n g l e s b e t w e e n t h e c o n s e c u -

t i v e p h a s e s b e i n g2

2 X . . (n-1) 2. I t i sn n n

a s s u m e d t h a t t h e n u m b e r i n g i n a l l t h e s y s t e m s i s e i t h e r c l o c k -w i s e o r c o u n t e r - c l o c k w i s e , s o t h a t t h e r e i s n o c o n f u s i o n b e t w e e na p o s i t i v e a n d a n e g a t i v e p h a s e s e q u e n c e .

T h e o r e m 1 . An a r b i t r a r y s y s t e m o f n u n e q u a l a n d u n s y m -m e t r i c a l v e c t o r s , w i t h o u t r e s i d u e , may b e r e p r e s e n t e d b y ( n - i ) s y m -m e t r i c a l m u l t i p l e n - p h a s e s y s t e m s . A s y s t e m w i t h o u t r e s i d u ei s d e f i n e d a s o n e i n w h i c h t h e sum o f t h e v e c t o r s i s e q u a l t o z e r o .L e t t h e g i v e n v e c t o r s b e E 1 , E 2 . . . . . E n , a n d l e t t h e ( n - 1 )

unknown s y s t e m s b e d e n o t e d b y A , B , . M, w h e r e A i s as i n g l e - a n g l e s y s t e m , B i s a d o u b l e - a n g l e s y s t e m , e t c . I t i sr e q u i r e d t o p r o v e t h a t t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a r e c o n s i s t e n ta n d may b e s o l v e d f o r A , B . . . . . M:

E1= A1+B+. + M1E2= A 2 + - B 2 + . + M2 ( 1 )............. . .. . .. . . ... .

En = A . + B. + . . . + M.T h e s e e q u a t i o n s c o r r e s p o n d t o e q s . ( 4 ) i n M r . F o r t e s c u e ' s p a p e r

when 2 E = 0 . I n o r d e r t o p r e s e r v e t h e s a m e c o n v e n t i o n s a s i n




t h e o r i g i n a l p a p e r , t h e c o m p o n e n t s y s t e m s a r e a s s u m e d t o b enumbered c l o c k w i s e ( t h o u g h t h e v e c t o r s a r e r o t a t i n g c o u n t e r -c l o c k w i s e ) . Then i f a i s a n o p e r a t o r w h i c h r o t a t e s a v e c t o r b ya n a n g l e 2 7 r / n c o u n t e r - c l o c k w i s e , t h e p r e c e d i n g e q u a t i o n sbecomeEl= A I + B , + . . . 1 [ iE 2 a - ' A l + a - 2 B 1 + . . . + a - ( n - 1 ) M1 ( 2 )

. . . . . . . . . . . . . . . . ..................................

En = a - ( n - l ) A1 +a-2 ( n - 1 ) B 1 + . a - ( n - 1 ) ( n - l ) M l J

T h e s e n e q u a t i o n s c o n t a i n ( n - 1 ) unknow n v e c t o r s A 1 , B 1 ,M 1 , b u t o n l y ( n - 1 ) e q u a t i o n s a r e i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r ,

b e c a u s e o f t h e c o n d i t i o n z E = 0 . To s o l v e f o r Al m u l t i p l yt h e s e c o n d e q u a t i o n by a , t h e t h i r d by a 2 , e t c . a n d a d d t h e mt o g e t h e r . The r e s u l t i s

nA,= El+aE2±. .+an- E, ( 3 )

T h i s c h e c k s w i t h t h e s e c o n d l i n e o f M r . F o r t e s c u e ' s e q u a t i o n s ( 4 )By a n a l o g y we o b t a i n

n B v = Ei+a 2E 2 + . . . + a 2 ( n - 1 ) E ( 4 )a n d

n M1 = E 1 + a n - l E 2 ±.... a ( n - l ) ( n 1 - ) E ( 5 )T h e t h e o r e m i s t h u s p r o v e d b e c a u s e e q u a t i o n ( 2 ) c a n b e s o l v e df o r t h e ( n - 1 ) unknow n v e c t o r s i n t e r m s o f t h e g i v e n E ' s .

T h e o r e m 2 . R e f e r r i n g t o t h e o r e m 1 , i f t h e g i v e n s y s t e m o fv e c t o r s h a s a r e s i d u e , s a y , e q u a l t o a v e c t o r R , t h i s r e s i d u e mayb e s p l i t i n t o n a r b i t r a r y v e c t o r s , p i , P 2 , p n , i n p h a s e o r o u to f p h a s e w i t h o n e a n o t h e r , a n d e q u a t i o n s ( 1 ) b e c o m e

E i = p i + A l +B . . . . . . . . . + Ml

E22 A 2 B 2 .....

+ M2 ( 6 )En= P n + A n + B n + . . . . . + M2 f

T h i s p r o p o s i t i o n f o l l o w s a t o n c e f r o m t h e f a c t t h a t t h e v e c t o r s -( E 1 - p i ) , ( E 2 - p 2 ) , e t c . f o r m ' a s y s t e m w i t h o u t r e s i d u e , s o t h a tt h e o r e m 1 a p p l i e s t o t h e m . M r . F o r t e s c u e c o n s i d e r s o n l y ap a r t i c u l a r c a s e when

P i 1 P2 = ....= Pn = R/n= ( E 1 +

E2+..

E n )/ n

( 7 )a n d w r i t e s t h i s e x p r e s s i o n a s t h e f i r s t t e r m o n t h e r i g h t - h a n ds i d e i n a l l t h e f o r m u l a s o f h i s e q u a t i o n s ( 4 ) . T h i s i s p e r f e c t l yj u s t i f i a b l e i n s o f a r a s h e i s a f t e r a s y m m e t r i c a l s o l u t i o n , b u tt h e r e may b e p r a c t i c a l c a s e s i n w h i c h a more g e n e r a l r e p r e s e n t a -t i o n a c c o r d i n g t o e q u a t i o n s ( 6 ) i s p r e f e r a b l e . I n t h i s c a s e t h ee x p r e s s i o n s ( E 1 - p i ) , ( E 2 - P 2 ) , e t c . must b e u s e d i n e q u a t i o n s( 3 ) t o ( 5 ) , i n s t e a d o f E 1 , E 2 , e t c .The n e t r e s u l t i s t h a t o n l y a s y s t e m w i t h o u t r e s i d u e may b e

r e s o l v e d i n a p e r f e c t l y d e f i n i t e m a n n e r , w h i l ea

s y s t e m w i t h ar e s i d u e f i r s t must b e c o n v e r t e d i n t o o n e w i t h o u t r e s i d u e b y




s u b t r a c t i n g a r b i t r a r y p a r t s o f t h e w h o l e r e s i d u e f r o m e a c hv e c t o r .

W i t h a t h r e e - p h a s e s y s t e m t h e d o u b l e - a n g l e c o m p o n e n t s i m p l y

b e c o m e s a t h r e e - p h a s e s y s t e m o f a n o p p o s i t e p h a s e r o t a t i o n , . s ot h a t i t i s n o t n e c e s s a r y t o i n t r o d u c e t h e q u e s t i o n o f m u l t i p l e -a n g l e s y s t e m s . From a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w t h e p a p e r w o u l dg a i n much i f t h e a u t h o r w o u l d b e g i n d i r e c t l y w i t h t h e t h r e e -p h a s e s y s t e m o n t h e b a s i s o f h i s e q u a t i o n s ( 6 ) , a n d l e a v e t h eg e n e r a l c o n s i d e r a t i o n o f n - p h a s e s y s t e m s f o r t h e e n d o f t h e p a p e r .F o r r e f e r e n c e p u r p o s e s o n e w o u l d n o t h a v e t o s t u d y t h e g e n e r a lt h e o r y a n d p e r h a p s g e t d i s c o u r a g e d b e f o r e o b t a i n i n g t h e r e q u i r e db i t o f s p e c i f i c i n f o r m a t i o n .The i n t r o d u c t i o n o f t h e s e q u e n c e o p e r a t o r S d o e s n o t s e e m t ob e n e c e s s a r y , a t l e a s t f o r t h e t h r e e - p h a s e s y s t e m . A p r o p e r

c y c l i c n o t a t i o n s h o u l d a c c o m p l i s h t h e s a m e p u r p o s e w i t h muchl e s s t h e o r y a n d much l e s s w r i t i n g . A s a m a t t e r o f f a c t , t h ei n d e x o f S may b e o b t a i n e d c o r r e c t l y f r o m t h e s u b s c r i p t s i n t h ee x p r e s s i o n t o w h i c h i t r e f e r s . F o r e x a m p l e , i n M r . F o r t e s c u e ' sf o r m u l a ( 2 2 ) o n t h e f i r s t l i n e t h e sum o f t h e s u b s c r i p t s o f Z I i s1 + 2 = 3 , a n d t h e o r d e r o f S i s 3 o r , w h i c h i s t h e s a m e , 0 . Ont h e s e c o n d l i n e t h e sum o f t h e s u b s c r i p t s o f Z I i s 1 + 0 = 1 ,

a n d t h e o r d e r o f S i s 1 . T h e same i s t r u e f o r a l l t h e f u n d a m e n t a lf o r m u l a s o n p p . 1 0 3 8 t o 1 0 4 2 a s w e l l a s i n a p p l i c a t i o n s . T h e r e f o r e ,i t w o u l d s e e m t h a t t h e o p e r a t o r S o u g h t t o b e d r o p p e d , a n d t h ef o r m u l a s s o r e w r i t t e n t h a t t h e y w o u l d a p p l y t o a n y p h a s e o f t h es y s t e m i n c y c l i c r o t a t i o n .

T h e f u n d a m e n t a l f o r m u l a ( 2 1 ) w i l l t h e n s i m p l y b e c o m e

E= ZI+ W+I++ W_I_ ( 8 )

H e r e E , Z , a n d I a p p l y t o a n y o f t h e t h r e e p h a s e s , I + i s t h e c u r -

r e n t i n t h e n e x t c o n s e c u t i v e p h a s e , a n d I _ i s t h e c u r r e n t i n t h ep r e c e d i n g p h a s e . F o r e x a m p l e , i f E , Z , a n d I r e f e r t o p h a s eb , 1 + r e f e r s t o p h a s e c a n d I _ r e f e r s t o p h a s e a . A t t h e s a m et i m e t h e e q u a t i o n i s s o w r i t t e n t h a t a n y o f t h e t h r e e p h a s e s mayb e t a k e n a s t h e p h a s e u n d e r c o n s i d e r a t i o n . W+ a n d W . a r e t h ec o r r e s p o n d i n g m u t u a l r e a c t a n c e s .When t h e m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n a p r i m a r y a n d a s e c o n d -

a r y p o l y p h a s e c i r c u i t m u s t b e c o n s i d e r e d , F o r t e s c u e ' s e q u a t i o n( 2 8 ) a p p l i e s , a n d i n t h e s i m p l i f i e d c y c l i c n o t a t i o n i t b e c o m e s

E= XJ+X+J++X_J_ ( 9 )w h e r e J , J + a n d J _ a r e t h e s e c o n d a r y c u r r e n t s i n t h e t h r e e p h a s e s .T h e l e t t e r X i s u s e d i n s t e a d o f W t o i n d i c a t e t h a t t h e m u t u a li n d u c t a n c e i s b e t w e e n t h e p h a s e s o f t h e p r i m a r y a n d t h e s e c o n d -a r y c i r c u i t . X w i t h o u t s u b s c r i p t c o v e r s t h e c o m b i n a t i o n s o ft h e " c o r r e s p o n d i n g " p h a s e s a - u , b - v , a n d c - w , w h i l e X+r e f e r s t o t h e c o m b i n a t i o n s a - v , b - w , c - u o f t h e p h a s e s " t i e do n e f o r w a r d " , a n d X_ r e f e r s t o t h e r e m a i n i n g c o m b i n a t i o n o f

t h e p h a s e s " t i e dtwo

f o r w a r d " ,o r

" t i e do n e b a c k w a r d " .

E a c h o f t h e q u a n t i t i e s i n e q u a t i o n s ( 8 ) a n d ( 9 ) may b e r e p -




r e s e n t e d b y m e a n s o f s y m m e t r i c a l c o o r d i n a t e s i n a g e n e r a lm a n n e r , w i t h o u t s p e c i f y i n g p h a s e s a , b a n d c . T h u s ,

I = Io+Ip+ I nI + = I o + a I p + a - l I n ( 1 0 )I-= 1 o +a-l Ip+ aIn)

S i m i l a r l y ,W+ W O + a W p + a-'W ()

T h e f i r s t e q u a t i o n ( 1 0 ) r e f e r s t o a n y p h a s e , a n d s t a t e s t h a t t h ec u r r e n t i n t h a t p h a s e i s a su m o f t h e r e s i d u e c u r r e n t I o , p l u s t h ev e c t o r s I p a n d I n o f t h e s y m m e t r i c a l c o o r d i n a t e s o f t h e s a m ep h a s e . T h e s u b s c r i p t s p a n d n r e f e r t o t h e s y s t e m s o f p o s i t i v ea n d n e g a t i v e p h a s e r o t a t i o n r e s p e c t i v e l y . I n a n n - p h a s e s y s t e ms u b s c r i p t s 1 , 2 , 3 , e t c . s h o u l d b e u s e d i n p l a c e o f p a n d n , t o i n d i -c a t e s i n g l e - a n g l e , d o u b l e - a n g l e , t r i p l e - a n g l e , e t c . c o o r d i n a t e s .

S u b s t i t u t i n g e x p r e s s i o n s s u c h a s ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) i n t o e q u a t i o n s( 8 ) a n d ( 9 ) o n e o b t a i n s c o m p a r a t i v e l y s i m p l e p o l y n o m i a l s w i t ht h r e e g r o u p s o f t e r m s : t h o s e w i t h o u t a , t h o s e m u l t i p l i e d b y a ,a n d t h o s e m u l t i p l i e d b y a - ' . T h e s e f i n a l e x p r e s s i o n s g i v e t h ec o o r d i n a t e s o f E , a n d a r e t h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s u p o nw h i c h a l l a p p l i c a t i o n s s h o u l d b e b a s e d , w i t h o u t a n y n e e d f o r t h es e q u e n c e o p e r a t o r S .

I n c i d e n t a l l y , I b e l i e v e t h a t t h e e x p r e s s i o n " s y m m e t r i c a lc o m p o n e n t s " i s a m o r e c o r r e c t a n d d e s c r i p t i v e t e r m o f t h em e t h o d t h a n t h e t e r m " s y m m e t r i c a l c o o r d i n a t e s " , a n d I s h o u l dl i k e t o s e e i t s o c h a n g e d w h i l e i t i s n o t t o o l a t e .

I a l s o s u g g e s t t h a t t h e t e r m " m u t u a l r e a c t a n c e " b e u s e dt h r o u g h o u t t h e p a p e r i n p l a c e o f t h e " m u t u a l i m p e d a n c e " . T h el a t t e r t e r m i m p l i e s a c o m b i n e d r e s i s t a n c e a n d i n d u c t a n c e a c t i o n ,w h i l e t h e f o r m u l a s i n t h e p a p e r s e e m t o r e f e r t o t h e m a g n e t i c

i n d u c t i v e a c t i o n e x c l u s i v e l y . I f t h e r e s i s t a n c e c o m p o n e n t i si n t e n d e d t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t , a m a t h e m a t i c a l d e f i n i t i o n o ft h e m u t u a l i m p e d a n c e b e c o m e s n e c e s s a r y , b e c a u s e t w o c o i l s a r ep r e s u p p o s e d t o h a v e d i f f e r e n t r e s i s t a n c e s , a n d i t i s n o t c l e a r howt h e s e r e s i s t a n c e s e n t e r i n t o t h e e x p r e s s i o n f o r m u t u a l i m p e d a n c e .

I t may a l s o b e m e n t i o n e d h e r e t h a t t h e r e a r e c a s e s o f u n s y m -m e t r i c a l p o l y p h a s e c o n n e c t i o n s w h i c h c a n b e s o l v e d m o r er e a d i l y w i t h o u t r e s o l v i n g t h e g i v e n e l e c t r i c a l q u a n t i t i e s i n t ot h e i r s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s . S e v e r a l s u c h c a s e s a r e c o n -

s i d e r e d i n t h e p r e s e n t w r i t e r ' s w o r k e n t i t l e d " U e b e r M e h r -p h a s i g e S t r o m s y s t e m e b e i U n g l e i c h m a e s s i g e r B e l a s t u n g ( E n k e ,S t u t t g a r t , 1 9 0 0 ) . F o r e x a m p l e , i n t h e s o l u t i o n o f a n y a r b i t r a r yn - p h a s e s t a r - c o n n e c t e d s y s t e m w i t h g i v e n v o l t a g e s E a n d p h a s ea d m i t t a n c e s Y , i t i s c o n v e n i e n t t o t a k e t h e v o l t a g e e b e t w e e nt h e t w o n e u t r a l p o i n t s a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e n , f o re a c h p h a s e t h e c u r r e n t I = Y ( E - e ) , a n d a c c o r d i n g t o t h ef i r s t K i r c h h o f f l a w

1I= ZY(E - e )=0 ,s o t h a t

e ( YE)/ Y .




K n o w i n g e , t h e c u r r e n t s i n t h e i n d i v i d u a l p h a s e s a r e c o m p u t e df r o m t h e f i r s t e q u a t i o n . I n t h e m o s t g e n e r a l c a s e o f a c o m p l i -c a t e d n e t w o r k w i t h a - c . v o l t a g e s i n s e r t e d a t d i f f e r e n t p l a c e s , t h e

K i r c h h o f f e q u a t i o n s o f t w o k i n d s , w r i t t e n f o r t h e v e c t o r s o fc u r r e n t s a n d v o l t a g e s , f u r n i s h a c o m p l e t e s o l u t i o n , a n d o n e h a st o c o n s i d e r i n i n d i v i d u a l a p p l i c a t i o n s w h e t h e r o r n o t t h e r e s o l u -t i o n i n t o s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s i s d e s i r a b l e o r n o t .

A . M. D u d l e y : A t t e n t i o n h a s b e e n c a l l e d t o t h e p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s o f t h i s s o l u t i o n , a n d o n e o r t w o may b e m e n t i o n e dh e r e . I t h a s b e e n l o n g known t h a t i n t h e o r d i n a r y i n d u c t i o nm o t o r i n a d d i t i o n t o t h e m a i n r o t a t i n g w o r k i n g f i e l d t h e r e maye x i s t s e v e r a l o t h e r f i e l d s o f d i f f e r e n t a m p l i t u d e a n d f r e q u e n c y

a n d p h a s e r o t a t i o n a n d t h a t t h e e x i s t e n c e o f s u c h f i e l d s i s p r o b -a b l y r e s p o n s i b l e f o r t h e o p e r a t i n g f r e a k s s o m e t i m e s n o t i c e d i nm o t o r s . F o r e x a m p l e , a m o t o r i s s o m e t i m e s f o u n d w h i c h w i l ln o t r e v e r s e i t s m e c h a n i c a l d i r e c t i o n o f r o t a t i o n when r u n n i n gl i g h t e v e n t h o u g h t h e l e a d s b e r e v e r s e d s o a s t o g i v e t h e o p p o s i t ed i r e c t i o n o f p h a s e r o t a t i o n ; o r , a t w o - p h a s e m o t o r w i l l b ef o u n d w h i c h when r u n n i n g l i g h t t a k e s p o w e r f r o m t h e l i n e o no n e p h a s e a n d r e t u r n s p o w e r t o t h e l i n e o n t h e o t h e r , o r a ,s q u i r r e l - c a g e m o t o r w i l l s t a r t f r o m r e s t w i t h c o n s i d e r a b l y m o r e

t o r q u e t h a n i t i s c a p a b l e o f a c c e l e r a t i n g u p t o f u l l s p e e d s o t h a ti t a p p a r e n t l y h a s a s o - c a l l e d s u b - s y n c h r o n o u s s p e e d . T h e s e a r ea c t u a l p r a c t i c a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n s o f t e n m e n t i o n e d b u t n e v e rd e t e r m i n e d q u a n t i t a t i v e l y . M r . F o r t e s c u e ' s a n a l y s i s o f f e r s t h emeans o f s u c h q u a n t i t a t i v e s t u d y .

A s a f u r t h e r p r a c t i c a l i n s t a n c e may b e m e n t i o n e d t h e t w oc a s e s o f s i n g l e - p h a s e c o n n e c t i o n s r e f e r r e d t o i n t h e a n a l y s i s o fe q u a t i o n s ( 1 4 1 ) , ( 1 4 2 ) a n d ( 1 5 0 ) , o n e o f w h i c h i s e q u i v a l e n t t ot w o c o u p l e d p o l y p h a s e m o t o r s c o n n e c t e d i n p a r a l l e l a n d t h e

o t h e r t o t w o c o u p l e d p o l y p h a s e m o t o r s c o n n e c t e d i n s e r i e s .T h i s w a s f u l l y d i s c u s s e d f r o m a n o t h e r v i e w p o i n t i n M r . L a m m e ' sA p r i l p a p e r b e f o r e t h e I n s t i t u t e a n d t h e i d e n t i t y o f t h e t w oc o n c l u s i o n s i s a c h e c k o n M r . F o r t e s c u e ' s m e t h o d .To t h o s e who h a v e e x p r e s s e d t h e i d e a t h a t t h e p a p e r i s h a r d

t o r e a d I w o u l d commend D r . S l e p i a n ' s d i s c u s s i o n a l s o p r i n t e dh e r e w i t h a s i l l u m i n a t i n g b o t h t o t h e m e t h o d a n d t h e r e s u l t s .He m a k e s t h e s u g g e s t i o n t h a t t h e m e t h o d a s o u t l i n e d may c o n -s t i t u t e t h e b a s i s o f a n e w c o m p l e x p o l y p h a s e a l g e b r a w h i c h w i l l

g r e a t l y s i m p l i f y t h e s t u d y o f p o l y p h a s e n e t w o r k p r o b l e m s o f a l lk i n d s .D r . S t e i n m e t z a n d P r o f . K a r a p e t o f f h a v e t o l d u s t h a t a s a

m a t h e m a t i c a l a c h i e v e m e n t a n d a s a d e m o n s t r a t i o n o f t h e o r yt h i s p a p e r i s a m a s t e r p i e c e . I s h o u l d l i k e t o v e n t u r e t h e p r e d i c -t i o n t h a t a s a p r a c t i c a l w o r k i n g t o o l i t w i l l e v e n t u a l l y c o m e i n t ot h e g r e a t e s t u s e f u l n e s s .

L e t u s t h e n p a y o u r r e s p e c t s t o M r . F o r t e s c u e b o t h a s a g r e a tm a t h e m a t i c i a n a n d a s a s c i e n t i s t a n d a l s o a s t h e d e v e l o p e r o f ap r a c t i c a l t o o l w h i c h s h a l l make e a s i e r t h e d a i l y t a s k o f t h e e n g i -n e e r i n t h e r a n k s .




C h a r l e s F . S c o t t : M a t h e m a t i c s a n d e n g i n e e r i n g h a v e t h e i rv a r y i n g c o n d i t i o n s , a n d t h e y h a v e t h e i r s u p p o r t e r s a n d t h e i rc r i t i c s . To a c e r t a i n c l a s s o f e n g i n e e r s t h e m a t h e m a t i c i a n i s a n

a b s t r a c t man who s t a r t s s o m e w h e r e a n d f i n d s s o m e t h i n g t h a tc a n l e a d t o c o n s e c u t i v e c o n c l u s i o n s . On t h e o t h e r h a n d , ap r a c t i c a l m a n , u s i n g t h a t t e r m i n t h e e x t r e m e , i s a p t t o r e l yw h o l l y o n e x p e r i e n c e a n d t o h a v e n o u s e f o r t h e m a t h e m a t i c sh e d o e s n o t u n d e r s t a n d . We a l l know t h a t t h e r e a l l y v a l u a b l ep o s i t i o n i s t h e mean b e t w e e n t h e s e t w o , i n w h i c h t h e t h e o r e t i c a la n d t h e p r a c t i c a l d o g o t o g e t h e r .

T h e r e f e r e n c e t o p a p e r s o f a m a t h e m a t i c a l a n d e x p l a n a t o r yc h a r a c t e r , a n d t h e i r r e l a t i o n s t o e n g i n e e r i n g r e m i n d e d me s o m e -

how o f t h e f i r s t I n s t i t u t e p a p e r I c a m e i n c o n t a c t w i t h . I t w a st h r o u g h t h e p a g e s o f t h e E l e c t r i c a l W o r l d . I h a d b e e n e x p e r i -m e n t i n g w i t h a l t e r n a t i n g c u r r e n t s a n d w a s a s s o c i a t e d w i t h me nwho k n e w o n l y s l i g h t l y m o r e a b o u t i t t h a n I d i d . Many t h i n g ss e e m e d m y s t e r i o u s . T h e n t h e p a p e r b y M r . W i l l i a m S t a n l e yo n " A l t e r n a t i n g - C u r r e n t P h e n o m e n a , " a p p e a r e d , a n d t h a tm y s t e r i o u s t h i n g w h i c h w a s t h e s t u m b l i n g b l o c k o f a b o u te v e r y b o d y who came u p a g a i n s t a l t e r n a t i n g - c u r r e n t , t h e s i m p l es i n g l e - p h a s e p h e n o m e n o n o f c u r r e n t a n d v o l t a g e o u t o f p h a s e ,w a s c l e a r e d u p . M r . S t a n l e y d r e w s o m e t r i a n g l e s a n d e x p l a i n e da f e w t h i n g s . T h a t p u t me o n a new b a s i s . I c o u l d s e e ho w t h em a t h e m a t i c a l e x p l a n a t i o n , t h e p h y s i c a l p h e n o m e n a , w e r er e l a t e d , a n d i t g a v e me a r e a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e a l t e r n a t i n gc u r r e n t . A l i t t l e l a t e r came t h e p o l y p h a s e , a n d i t w a s a s t e pf r o m t h a t t o t h e w o r k o n t h e u n b a l a n c e d p o l y p h a s e s y s t e m .

A s we a d v a n c e t h e n , g e t t i n g i n t o m o r e a n d m o r e c o m p l i c a t e dp r o b l e m s , t h e s e p a p e r s o f s o l u t i o n a n d e x p l a n a t i o n c o m e t og u i d e t h e e n g i n e e r i n h i s w o r k .

What i s t h i s p a p e r ? When y o u l o o k a t a p a p e r o f t h i s s o r t i tl o o k s a s i f a m a t h e m a t i c i a n h a d p r o d u c e d i t , l e a d i n g o n a n d o nt o i n t e r e s t i n g f o r m u l a s , o n e a f t e r a n o t h e r . N o w , t o b r i n g o u tmy p o i n t , I w a n t t o e m p h a s i z e a n d s a y I d o n o t t h i n k t h i s i s ap r o d u c t o f t h e m a t h e m a t i c i a n , b u t o f t h e e n g i n e e r . M r .F o r t e s c u e d i d n o t w o r k t h e s e t h i n g s o u t f r o m t h e t h e o r e t i c a l ,m a t h e m a t i c a l s t a n d p o i n t , b u t a s a n e n g i n e e r who w a s c o n f r o n t e dw i t h p r o b l e m s i n w h i c h u n b a l a n c e d p o l y p h a s e s y s t e m s w e r ec o n c e r n e d . I t may h a v e b e e n t r a n s m i s s i o n o r some k i n d o f

p a r t i c u l a r m a c h i n e r y w h i c h i n v o l v e d p r o b l e m s w h i c h h e d i dn o t h a v e t h e p r o p e r t o o l s t o s o l v e .T h e r e f o r e , i n s t u d y i n g t h e p r o b l e m s a n d s e e i n g t h e i n a d e -

q u a c y o f t h e m a t h e m a t i c a l t o o l s a t h a n d , h e w e n t t o w o r k a n dc o n s t r u c t e d t o o l s t o p e r f o r m t h a t w o r k . M r . F o r t e s c u e h a sd o n e j u s t a s s o m e o t h e r e n g i n e e r s d o , who w o r k f i r s t w i t h e x p e r i -m e n t s , t h e n g o t o m a t h e m a t i c s , a n d t h e n b a c k t o t h e e x p e r i m e n t s .T h a t c o m b i n a t i o n o f f i r s t t h e o r y a n d t h e n p r a c t i s e , b a c k a n df o r t h , c o n s t i t u t e s t h e w o r k o f t h e e n g i n e e r who c a n b e c o n -

s t r u c t i v e a n d d o p i o n e e r w o r k . I t h i n k I am r i g h t i n s a y i n gt h a t t h i s i s n o t a p a p e r o f a t h e o r e t i c a l m a t h e m a t i c i a n , b u t a




p a p e r o f a p r a c t i c a l e n g i n e e r , who i s d e v e l o p i n g a new t o o l f o rh i m s e l f a n d o f f e r i n g i t t o o t h e r s .

C . 0 . M a i l l o u x : T h i s i s t h e s e c o n d g r e a t p a p e r w h i c h M r .

F o r t e s c u e h a s p r e s e n t e d b e f o r e t h i s I n s t i t u t e . Much t h a t I h a dt o s a y i n t h e way o f f r i e n d l y c r i t i c i s m h a s a l r e a d y b e e n a n t i c i -p a t e d b y P r o f . K a r a p e t o f f . I s y m p a t h i z e w i t h P r o f . K a r a p e t o f f ' sv i e w s , a n d I s h a r e t h e m , i n r e g a r d t o t h e p o s s i b i l i t i e s o f s i m p l i -f i c a t i o n o f t h i s p a p e r . I t h a n k M r . F o r t e s c u e a n d many o t h e rm e m b e r s o f t h e I n s t i t u t e w i l l a l s o t h a n k h i m , f o r h a v i n g g i v e na n i n t r o d u c t i o n t o t h e p a p e r , b e c a u s e t h a t i n t r o d u c t i o n i s r e a l l yt h e m a t h e m a t i c a l s p e c i f i c a t i o n s i n a c c o r d a n c e w i t h w h i c h t h ep a p e r h a s b e e n p r e p a r e d ; a n d t o me i t w a s m o r e v a l u a b l e , a s a

c r i t e r i o n o f t h e v a l u e o f t h e p a p e r , t h a n t h e p a p e r i t s e l f , b e c a u s et h e p a p e r i t s e l f c a n n o t b e r e a d o f f h a n d . Th e b e w i l d e r i n g e x h i b i to f s u b s c r i p t s t o b e f o u n d i n i t i s s o m e t h i n g t h a t w i l l , w e l l , makeo n e p a u s e ; b u t t h e i n t r o d u c t i o n , t o a n y o n e who i s a t a l l f a m i l i a rw i t h m a t h e m a t i c s , t e l l s e x a c t l y t h e b a s i s o n w h i c h t h e p a p e r i sw r i t t e n , w h a t i t a i m s t o d o , a n d s u b s t a n t i a l l y t h e m e t h o d b yw h i c h i t a c c o m p l i s h e d i t s a i m . I am v e r y t h a n k f u l , i n d e e d ,p e r s o n a l l y , t h a t t h a t w a s d o n e .

P a r t I i s a l s o v e r y u s e f u l , b u t i f i t h a d f o l l o w e d t h e m e t h o d o f

p r e s e n t a t i o n s u g g e s t e d b y P r o f . K a r a p e t o f f , i t w o u l d h a v e b e e nmuch s i m p l i f i e d . T h e p a p e r i s s o v a l u a b l e , t h a t i t w o u l d b ew e l l w o r t h w h i l e t o r e w r i t e i t f o r t h e p u r p o s e o f m a k i n g i t moree a s i l y d i g e s t i b l e a n d m o r e e a s i l y a c c e s s i b l e t o t h e g r e a t b o d y o fp r a c t i c a l m e n . I t a p p e a r s t o h a v e b e e n w r i t t e n t o o much f r o mt h e p o i n t o f v i e w o f t h e p r o f e s s e d m a t h e m a t i c i a n , who s e e k sf i r s t t o m a k e a g e n e r a l i z a t i o n , a n d t h e n p r o c e e d s t o e x p e r i m e n t a -t i o n t o f i n d p r a c t i c a l a n d s p e c i a l c a s e s . I t w o u l d h a v e b e e n ab e t t e r a r r a n g e m e n t i f t h a t g e n e r a l i z a t i o n h a d b e e n p u t i n a n

a p p e n d i x , a n d i f t h e s t a t e m e n t h a d b e e n made t h a t f r o m t h eg e n e r a l c a s e i s d e r i v e d t h e p a r t i c u l a r c a s e w h i c h i n t e r e s t s u s ,n a m e l y , t h e c a s e o f t h e t h r e e - p h a s e c u r r e n t . I t h i n k t h a t t od i s c u s s n - p h a s e s i s o f a c a d e m i c i n t e r e s t o n l y a t p r e s e n t , e v e nt h o u g h i t i s p o s s i b l e t h a t t h e r e may b e some d a y when i t w i l l b eo f p r a c t i c a l i m p o r t a n c e . U n t i l t h a t s e e m i n g l y r e m o t e d a y c o m e s ,a g e n e r a l i z a t i o n w h i c h i n c l u d e s n - p h a s e s m i g h t a s w e l l l i e i n a na p p e n d i x , o u t o f h a r m ' s w a y , a n d e s p e c i a l l y w h e r e i t w o u l d n o te n c u m b e r t h e r e s t o f t h e d i s c u s s i o n . I f M r . F o r t e s c u e h a d

w r i t t e n t h e p a p e r b y p u t t i n g i n t o t h e a p p e n d i x , t h e g e n e r a l i z a -t i o n , t h e t h i n g w h i c h m a k e s i t c o m p l e t e a n d c o m p r e h e n s i v e , h ew o u l d h a v e s i m p l i f i e d i t a n d made i t more u s e f u l .

I t i s b e c a u s e I t h i n k s o h i g h l y o f t h e p a p e r , I w o u l d l i k e t os e e i t made c l e a r e r . I t i s n o t a d i f f i c u l t p a p e r , t h e m a t h e m a t i c sa r e s i m p l e , b u t t h e y l o o k c o m p l e x , b e c a u s e o n e i s b e w i l d e r e d b ya maze o f s u b s c r i p t s a n d b y many " o p e r a t o r s . " The f u n d a m e n -t a l i d e a o f t h e o p e r a t o r i s a s p l e n d i d o n e , b u t i t i s j u s t a s w e l l t op u t t h a t e x p l a n a t i o n i n a n a p p e n d i x , i n a l l i t s g e n e r a l i t y , a n d

t h e n u s e i t i n t h e s i m p l e f o r m t h a t P r o f . K a r a p e t o f f s u g g e s t s .T h o s e who d e a l w i t h t h e m a t t e r p r a c t i c a l l y , w o u l d n o t t h e n




h a v e s o many e q u a t i o n s t o a n a l y z e a n d n o t s o many s y m b o l s t od e a l w i t h .The a n a l y s i s o f t h e a c t i o n s a n d r e a c t i o n s o f t h e v a r i o u s f o r c e s

p r e s e n t i n e l e c t r i c a l c i r c u i t s , a n d t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h ee q u a t i o n s d e v i s e d f o r e x p r e s s i n g t h e s e a c t i o n s a n d r e a c t i o n s ,u n d e r d i f f e r e n t c o n d i t i o n s , w h e t h e r t h e y o c c u r i n b a l a n c e d o r i nu n b a l a n c e d s y s t e m s , may b e f a c i l i t a t e d b y r e m e m b e r i n g t h a ta l l p h y s i c a l f o r c e s a n d a l l f o r m s o f e n e r g y a r e s u b j e c t t o t h e s a m eg e n e r a l p r i n c i p l e s o f c o n s e r v a t i o n a n d e q u i l i b r i u m , a n d , e s p e -c i a l l y , t h a t N e w t o n ' s p r i n c i p l e o f d y n a m i c e q u i l i b r i u m , - n a m e l y ,t h a t u n d e r a l l c o n d i t i o n s a n d a t a l l t i m e s , a c t i o n a n d r e a c t i o na r e o p p o s e d a n d e q u a l t o e a c h o t h e r , e x a c t l y - , a p p l i e s t o

e l e c t r i c a l , a s w e l l a s t o m e c h a n i c a l , f o r c e s , p o w e r s , a n d e n e r g i e s .A n a l o g y r e q u i r e s t h a t , i n a n y e l e c t r i c a l c i r c u i t , a t a n y i n s t a n to f t i m e w h a t e v e r , t h e f o r c e s o f a c t i o n a n d t h o s e o f r e a c t i o n s h o u l da l w a y s b e o p p o s i n g a n d b a l a n c i n g e a c h o t h e r e x a c t l y , j u s t a st h e y d o i n m e c h a n i c a l s y s t e m s ; a n d i t i s known t h a t t h e y a l w a y sd o b a l a n c e e x a c t l y . A n a l o g y a l s o r e q u i r e s t h a t , f o r e l e c t r i c a lc i r c u i t s , when d e a l i n g w i t h i n s t a n t a n e o u s v a l u e s , t h e e q u a t i o n so f e l e c t r o d y n a m i c e q u i l i b r i u m s h o u l d h a v e t h e s a m e g e n e r a lc h a r a c t e r i s t i c s a s t h e g e n e r a l e q u a t i o n o f d y n a m i c e q u i l i b r i u mo r b a l a n c e

f o rm e c h a n i c a l f o r c e s . T h e l a t t e r , i t i s w e l l k n o w n ,

r e d u c e s t o a n a l g e b r a i c a l sum o f f o u r t e r m s , r e p r e s e n t i n g f o u rd i s t i n c t k i n d s o r a m o u n t s o f f o r c e , o r p o w e r , o r e n e r g y , a c c o r d i n gt o t h e c a s e , w h o s e r e s u l t a n t , when a s t a t e o f e q u i l i b r i u m o c c u r s ,i s e q u a l t o z e r o .

Th e f o u r k i n d s o r a m o u n t s o f f o r c e , p o w e r , o r e n e r g y , i n t e r m so f w h i c h e v e r y d y n a m i c r e a c t i o n w h a t e v e r , i n m e c h a n i c s , c a nb e c o m p l e t e l y e x p r e s s e d , f i n d e x a c t p a r a l l e l s i n e l e c t r o d y n a m i c s .H e r e , a l s o , we f i n d f o u r k i n d s o f f o r c e , p o w e r , o r e n e r g y ; we h a v er e v e r s i b l e f o r c e s o f t w o k i n d s , c o r r e s p o n d i n g t o t h o s e w h i c h , i nm e c h a n i c s , p r o d u c e o r r e s u l t f r o m c h a n g e s i n k i n e t i c e n e r g y , o rc h a n g e s i n p o t e n t i a l e n e r g y ; we h a v e t h e d i s s i p a t e d f o r c e , w h i c hi s e x p e n d e d i n o v e r c o m i n g o h m i c r e s i s t a n c e , c o r r e s p o n d i n g t ot h e f o r c e l o s t i n o v e r c o m i n g f r i c t i o n i n m e c h a n i c s , a n d we h a v e ,f o r t h e f o u r t h k i n d , t h e f o r c e , p o w e r , o r e n e r g y r e p r e s e n t i n g t h eb a l a n c i n g a c t i o n s o r r e a c t i o n s w h i c h a r e n e c e s s a r y t o m a i n t a i nt h e e q u i l i b r i u m t h a t must e x i s t a t e v e r y i n s t a n t o f t i m e b e t w e e na c t i o n a n d r e a c t i o n . The f i r s t t w o k i n d s r e p r e s e n t e n e r g y w h i c hi s n o t i m m e d i a t e l y d i s s i p a t e d b u t i s d i s p l a c e d a n d s t o r e d i n t h e

s y s t e m ; t h e t h i r d k i n d r e p r e s e n t s e n e r g y w h i c h i s i m m e d i a t e l yc o n s u m e d i n t h e s y s t e m ; a n d t h e f o u r t h k i n d r e p r e s e n t s e n e r g yw h i c h i s p u t i n t o t h e s y s t e m f r o m a n o u t s i d e s o u r c e , o r e l s ew h i c h i s t a k e n o u t o f t h e s y s t e m b y o v e r f l o w i n t o a n o t h e r s y s t e mo r c i r c u i t , a s may b e r e q u i r e d t o m a i n t a i n e q u i l i b r i u m .

T h e s e c o n s i d e r a t i o n s s h o w t h a t e v e n i n a n u n b a l a n c e d e l e c -t r i c a l s y s t e m , s o - c a l l e d , t h e r e must s t i l l b e d y n a m i c b a l a n c e o re q u i l i b r i u m . The b a l a n c i n g f o r c e , p o w e r , o r e n e r g y , a c c o r d i n g t ot h e c a s e , a p p e a r s i n t h e f o u r t h t e r m , w h e r e i t r e p r e s e n t s t h e

c o m p e n s a t i n g f o r c e , p o w e r , o r e n e r g y b y w h i c h e q u i l i b r i u m i sm a i n t a i n e d .




C h a r l e s L . F o r t e s c u e : I m a i n t a i n t h a t t h e p a p e r i s q u i t es i m p l e . Th e m a t h e m a t i c a l p o r t i o n i s n o t d i f f i c u l t t o u n d e r -s t a n d , a n y b o d y c a n f o l l o w i t i f h e t a k e s t h e p a i n s . I a d m i t t h a t

t h e a p p e a r a n c e o f t h e e q u a t i o n s i s c u m b e r s o m e , b u t t h a t i s a l m o s ti m p o s s i b l e t o o v e r c o m e . The n a t u r e o f t h e s u b j e c t m a k e s t h ee q u a t i o n s c u m b e r s o m e .

P r o f . K a r a p e t o f f i n h i s d i s c u s s i o n u s e d t h e w o r d " s t i m u l a t i o n " .I w i s h t o s a y t h a t n e c e s s a r i l y i n a p a p e r o f t h i s k i n d t h e r e a r emany s o u r c e s o f s t i m u l a t i o n , a s I p o i n t e d o u t i n my i n t r o d u c -t i o n , many o f t h e i d e a s a r e n o t n e w . Th e i d e a o f s y m m e t r i c a lc o m p o n e n t t h r e e - p h a s e s y s t e m s i s b e i n g u s e d m o r e o r l e s s b yo t h e r s , b u t t h e t h e o r y h a s n e v e r b e e n p r e s e n t e d s y s t e m a t i c a l l y ,a n d I t h i n k t h e i d e a o f s y m m e t r i c a l o p e r a t o r s i s n e w .

D r . S t e i n m e t z ' s a n d P r o f . K a r a p e t o f f ' s d i s c u s s i o n s a r e w h a tI may t e r m c o n j u g a t e d i s c u s s i o n s . D r . S t e i n m e t z d i s c u s s e s t h ep a p e r p u r e l y f r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w . He t h i n k s t h a tt h e s y s t e m i s c a p a b l e o f p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n , a n d w i l l b e o fg r e a t u s e f o r t h a t p u r p o s e . D r . K a r a p e t o f f p o i n t s o u t t h e p o s -s i b i l i t y , f r o m a t h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w , o f t h e n - p h a s e s y s t e m .I w i s h t o s a y n o t h i n g w o u l d h a v e g i v e n me g r e a t e r p l e a s u r e t h a nt o g o i n t o t h a t p u r e l y t h e o r e t i c a l m a t t e r much m o r e e x t e n s i v e l y .

I t i s v e r y f a s c i n a t i n g a n d h a s g r e a t p r o m i s e , b u t I f e l t t h a t t h e r ew a s n e e d e d , i n t h i s p a p e r , s o m e p r a c t i c a l j u s t i f i c a t i o n f o r p r e s e n t -i n g i t . The t h e o r e t i c a l p a r t w a s s o l o n g d r a w n o u t , t h a t I f e l ti t w a s n e c e s s a r y t o s h o w b y p r a c t i c a l i l l u s t r a t i o n s why I p r e s e n t e di t .

I f e l t t h a t t h e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t i c a l s o l u t i o n s d i d n o ta l o n e a f f o r d a j u s t i f i c a t i o n f o r t h e p a p e r , b u t t h a t t h e r e musta l s o b e a g o o d p r a c t i c a l r e a s o n f o r i t , a n d I f e l t i f I w e n t i n t oa l l t h e t h e o r e t i c a l r a m i f i c a t i o n s o f t h i s v e r y i n t e r e s t i n g s u b j e c t

p e o p l e w o u l d a s k : "What i s h e a b o u t ? What d o e s h e mean b yd r i v i n g u s t h r o u g h a l l t h i s p a i n f u l s t u f f w i t h o u t g i v i n g u s ag o o d r e a s o n ? " S o I t h o u g h t t h a t t h e p r e s e n t a t i o n o f t h e t h e o r ys h o u l d b e a s c o n c i s e a n d s h o r t a s p o s s i b l e , a n d f o r t h a t r e a s o nI l e f t o u t a g o o d d e a l o f e x p l a n a t i o n t h a t s o m e p e o p l e t h i n ko u g h t t o b e t h e r e .

P r o f . K a r a p e t o f f h a s a p p a r e n t l y l o s t s i g h t o f t h e f a c t t h a t

u n l e s s h i s a r b i t r a r y v e c t o r s a r e a l l e q u a l t o E 1 ± + 1 2 + .*.

n

t h e y i n t u r n may b e r e s o l v e d i n t o ( n - 1 ) s y m m e t r i c a l s y s t e m sa n d t h e " r e s i d u e " w i l l e v e n t u a l l y r e d u c e t o t h e s a m e v a l u e a st h a t g i v e n b y m e , n a m e l y n e q u a l v e c t o r s o f v a l u e

E i + E 2 + .E.En

Th e f o r m i n w h i c h t h e t h e o r e m i s p r e s e n t e d d o e s n o t p r e c l u d et h e a d o p t i o n o f a n y a r t i f i c e s u c h a s t h e s u b t r a c t i o n o f n a r b i t r a r yv e c t o r s t o make t h e v e c t o r su m e q u a l t o z e r o , when a n y m a t e r i a l

a d v a n t a g e i s g a i n e d t h e r e b y . S u c h a n a r t i f i c e , i n f a c t , i s g e n e r -



1 9 1 8 - ] DISCUSSION AT ATLANTIC CITY 1 1 3 9

a l l y a d o p t e d i n t h e c a s e o f Y - c o n n e c t e d c i r c u i t s w h e r e t h e v e c t o rsum i s r a r e l y z e r o o n a c c o u n t o f t h e p r e s e n c e o f t h e t h i r d h a r -m o n i c . F u r t h e r m o r e , i n a n y s y m m e t r i c a l s y s t e m t h e r e i s a

d e f i n i t e i m p e d a n c e t o e a c h c o m p o n e n t s y m m e t r i c a l c u r r e n ti n cl u d i n g t h e " r e s i d u e " a s P r o f . K a r a p e t o f f h a s t e r m e d t h ec o n s t a n t v e c t o r , t h i s i s n o t t r u e i f a n a r b i t r a r y " r e s i d u e " i sa d o p t e d .

P r o f . K a r a p e t o f f b r i n g s u p a n o t h e r p o i n t , t h e u s e o f s e q u e n c es y m b o l s . I n t h r e e - p h a s e s y s t e m s , o n c e a p e r s o n h a s b e c o m ef a m i l i a r w i t h t h e u s e o f t h i s m e t h o d , i t b e c o m e s q u i t e a n a t u r a ls y s t e m . He t h i n k s q u i t e n a t u r a l l y i n t e r m s o f s y m m e t r i c a lc o m p o n e n t s , a n d h e u s u a l l y o m i t s t h e u s e o f t h e s y m b o l s . I n

o t h e r w o r d s , t h e s y m b o l s a r e n o t a b s o l u t e l y n e c e s s a r y , b u t t h e ys i m p l y a f f o r d a s u r e m e t h o d o f k e e p i n g t r a c k o f t h e m e c h a n i c a lp a r t o f t h e m a t h e m a t i c a l w o r k . I f o n e m a k e s a m i s t a k e i nc a r r y i n g o u t t h e m a t h e m a t i c a l w o r k , o n e c a n a l w a y s g o b a c k t ot h e s e q u e n c e s y m b o l s a n d c h e c k i t u p . I f a q u a n t i t y l o o k su n s y m m e t r i c a l , a n d a m e c h a n i c a l e r r o r i s s u s p e c t e d , o n e c a na l w a y s f o l l o w i t o u t w i t h t h e s e q u e n c e s y m b o l s a n d b e s u r e o fg e t t i n g t h e c o r r e c t r e s u l t . F u r t h e r m o r e , i n d e a l i n g w i t h as y s t e m o f m o r e t h a n t h r e e p h a s e s , t h e s e q u e n c e o p e r a t o r b e -

c o m e s i m p o r t a n t , b e c a u s e t h e r e a r e s o many c r o s s m u t u a li n d u c t a n c e s t h a t t h e f o r m u l a s b e c o m e v e r y much i n v o l v e d , a n di t i s n e c e s s a r y t o h a v e s o m e r e l i a b l e m e c h a n i c a l d e v i c e t h a tw i l l k e e p o n e i n t h e r i g h t p a t h ; t h e s e q u e n c e o p e r a t o r s a r e s u c hg u i d e s . T h e y a r e a l m o s t i n d i s p e n s a b l e w h e n d e a l i n g w i t hp o w e r b o t h i n t h r e e - p h a s e a n d n - p h a s e s y s t e m s . T h o s e a r e t h ep r i n c i p a l r e a s o n s f o r t h e i r u s e .

P r o f . K a r a p e t o f f b r i n g s u p t h e q u e s t i o n - W h a t i s t h e " m u t u a li m p e d a n c e ? " I h a v e n o t u s e d t h e t e r m p e r h a p s q u i t e c o r r e c t l y

a s I h a v e a p p l i e d i t t o c a s e s i n w h i c h t h e d i s s i p a t i v e f o r c e s a r en o t s t r i c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e v e l o c i t i e s o r c u r r e n t s . M u t u a li m p e d a n c e may b e d e f i n e d i n t h i s m a n n e r : I f we h a v e t w o t e r -m i n a l s o f a c i r c u i t c a r r y i n g a g i v e n c u r r e n t , a n d t w o o t h e rt e r m i n a l s o f a n o t h e r c i r c u i t , t h e e l e c t r o m o t i v e f o r c e p r o d u c e da c r o s s t h e s e c o n d p a i r o f t e r m i n a l s , g i v e n a s i n e - w a v e c u r r e n t o f ag i v e n f r e q u e n c y i s , t h e p r o d u c t o f t h e m u t u a l i m p e d a n c e b e t w e e nt h e t w o c i r c u i t s a n d t h e c u r r e n t i n t h e f i r s t p a i r o f t e r m i n a l s .I n s o m e c a s e s t h e c u r r e n t f o l l o w s p a t h s common t o b o t h c i r c u i t s ,

s o t h a t t h e m u t u a l i m p e d a n c e may h a v e a r e a l c o m p o n e n t ; i no t h e r c a s e s t h e e n e r g y c o m p o n e n t may b e d u e t o e d d y c u r r e n t so r l o s s e s i n s u b s i d i a r y c i r c u i t s common t o b o t h .

M r . D u d l e y h a s p o i n t e d o u t t h a t t h e p r a c t i c a l e n g i n e e r musta l w a y s k e e p t r a c k o f t h e t h e o r e t i c a l s i d e o f h i s w o r k . Theo b j e c t o f a l l m a t h e m a t i c a l i n v e s t i g a t i o n a n d t h e o r y s h o u l d b et o c a r r y o u r k n o w l e d g e o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s f u r t h e r , a n d t oi n v e s t i g a t e s u c h o b s c u r e p h e n o m e n a a s a r i s e f r o m t i m e t o t i m e .V e r y o f t e n w e f i n d t h a t a n e w t o o l h a s t o b e d e v i s e d i n o r d e r t oe n a b l e u s t o c a r r y o u t o u r t h e o r e t i c a l

i n v e s t i g a t i o n sw i t h o u t

b e c o m i n g i n v o l v e d i n t o o g r e a t c o m p l i c a t i o n .




I f e e l t h a t a p a p e r p r e s e n t e d b e f o r e a s c i e n t i f i c b o d y t h a tc a n n o t b e r e a d b y e v e r y member i s h a r d l y j u s t i f i e d . I b e l i e v et h a t a l l c a n f o l l o w t h i s p a p e r i f t h e y s i n c e r e l y t r y t o d o s o , i tmay t a k e a l i t t l e t i m e , b u t t h e m a t h e m a t i c s i s n o t d i f f i c u l t t .V . K a r a p e t o f f ( b y l e t t e r ) : I n my T h e o r e m 2 , P 2 , P 2 e t c . a r ea r b i t r a r y v e c t o r s s u c h t h a t ; p = R , w h e r e R i s t h e t o t a l r e s i d u eo f t h e g i v e n s y s t e m o f v e c t o r s . E a c h p m a y b e r e s o l v e d g e o m e t r i -c a l l y i n t o a v e c t o r R / n , i n p h a s e ' w i t h t o t a l R , a n d a n o t h e r v e c t o r ,s a y p , s o t h a t p = p + ( R / n ) . H e n c e ; p + ( R / n ) = R , o rz p ' = 0 . T h u s , t h e s y s t e m o f v e c t o r s i s w i t h o u t r e s i d u e a n dc o n s e q u e n t l y may b e r e s o l v e d i n t o ( n - 1 ) s y m m e t r i c a l s y s t e m s .T h e s y s t e m o f n v e c t o r s e a c h e q u a l t o R / n , i n p h a s e w i t h t o t a l R ,

i s a n i r r e d u c i b l e r e s i d u e .When i t i s d e s i r e d t o s i f t o u t a l l t h e s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t sf r o m t h e g i v e n v e c t o r s , t h e f o r m R/n f o r t h e r e s i d u e s h o u l d b eu s e d . H o w e v e r , t h e r e may b e c o n c e i v a b l e c a s e s i n w h i c h t h e r em i g h t b e s o m e a d v a n t a g e i n s p l i t t i n g t h e r e s i d u e i n t o c e r t a i nu n e q u a l o r u n s y m m e t r i c a l p a r t s , w i t h o u t a t t e m p t i n g t o e x t r a c ta l l o f i t s s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s . F o r t h i s r e a s o n , T h e o r e m 2i s s t a t e d i n t h e m o s t g e n e r a l f o r m . I am g l a d t o h a v e mya t t e n t i o n c a l l e d t o t h e f a c t t h a t o n l y i n t h e c a s e w h e r e e a c h p i s

e q u a l t o R / n , we h a v e t h e t r u e o r t h e i r r e d u c i b l e r e s i d u e .

fortescue symmetrical component

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