fourier laminas usb

Controladores de Potencia

Análisis de los Circuitos Mediantes Series

de Fourier

Prof. Alexander Bueno M.

17 de septiembre de 2011

USB

Análisis de Circuitos Mediante Series de Fourier Controladores de Potencia

Serie de Fourier

4 Es una representación a través de expresiones trigonométricas de una funciónperiódica.

4 Para esta representación se utiliza una suma in�nita de funciones sinusoidalesy cosenoidales de distintas frecuencias, mutuamente ortogonales entre si.

4 Una función se denomina periódica si cumple:

g(t) = g(t +T ) (1)

g(ωt) = g(ωt +2π) (2)

USB 1


4 Teorema de Fourier

g(t) =a0

2+

∞

∑n=1,2,3,···

(an cos(ωt)+bn sin(ωt)) (3)

a0 =2T

∫ T

0g(t)dt (4)

an =2T

∫ T

0g(t)cos(nωt)dt (5)

bn =2T

∫ T

0g(t)sin(nωt)dt (6)

USB 2


4 Las condiciones su�cientes que debe cumplir una función g(t) para ser repre-sentada mediante Series de Fourier son:

1. La función g(t) debe ser continua en el período T , o debe tener a lo sumoun número �nito de discontinuidades en el intervalo de un período.

2. La función g(t) debe tener un número �nito de máximos y mínimos en elperiodo T .

3. La integral del valor absoluto de la función g(t) en un período debe ser�nita.

USB 3


Expresiones de la Serie de Fourier

g(t) =a0

2+

∞

∑n=1,2,3,···

|cn|cos(nωt +θn) =a0

2+

∞

∑n=1,2,3,···

|cn|sin(nωt + ςn) (7)

|cn|=√

a2n +b2

n

θn = arctan(

bn

an

)

ςn = θn−π

2

USB 4


Serie de Fourier forma compleja

4 Utilizando la identidad de Euler (e jϑ = cos(ϑ)+ j sin(ϑ)), se puede expresarla Serie de Fourier de forma compleja como:

g(t) =D0

2+

∞

∑n=1

(Dne jnωt +D

∗ne− jnωt

)=

∞

∑n=−∞

Dne jnωt (8)

Dn =1T

∫ T

0g(t)e− jnωtdt (9)

USB 5


an = 2ℜe (Dn) ∀ n = 0,1,2,3, · · ·bn = 2ℑm (Dn) ∀ n = 1,2,3, · · · (10)

cn = an + jbn = 2Dn (11)

cn =2T

∫ T

0g(t)e jnωtdt (12)

USB 6


Transformada Rápida de Fourrier (FFT)

4 Se de�ne como la transformada rápida de Fourier de una señal g(t) periodicay discretizada en �N� muestras en un periodo T a intervalos regulares �ts�,como:

F {g(t)}n = FFT {g(t)}n =N−1

∑k=0

g(k · ts) · e− j2πknN (13)

T = N · ts (14)

Dn ≈1N

F {g(t)}n

USB 7


cn = an + jbn ≈2N

F {g(t)}n ∀ n = 0,1,2, · · · ,N−1 (15)

USB 8


Simetría de la Función g(t)

4 Función Par

g(−t) = g(t) (16)

an = 2T

∫ T2

−T2

g(t)cos(nωt)dt = 4T

∫ T2

0g(t)cos(nωt)dt

bn = 0(17)

USB 9


4 Función Impar

g(−t) =−g(t) (18)

an = 0

bn = 2T

∫ T2

−T2

g(t)sin(nωt)dt = 4T

∫ T2

0g(t)sin(nωt)dt

(19)

USB 10


Caracterización de la Función g(t)

4 Valor Efectivo o E�caz

Grms =

√a2

0 +∞

∑n=1,2,3,···

G2rmsn

=

√√√√a20 +

∞

∑n=1,2,3,···

(cn√

2

)2

(20)

4 Valor Medio

G0 =a0

2(21)

USB 11


4 Factor de Distorsión Armónica Total

T HD =

√G2

rms−G2rms1

Grms1

(22)

4 Factor de Rizado

FR =

√G2

rms−G20

G0=

√∑

∞

n=1,2,3,···G2rmsn

G0(23)

4 Factor de Forma

FF =Grms

G0(24)

USB 12


Análisis de Circuitos Eléctricos

USB 13


4 La tensión en la carga se puede expresar en Series de Fourier como:

vcarga(t) = V0 +∞

∑n=1,2,···

Vn sin(nωt + ςn) (25)

V0 =a0

2

Vn = |cn|=√

a2n +b2

n

ςn = arctan(

bn

an

)− π

2

USB 14


4 La expresión de la corriente en serie de Fourier se puede obtener en función dela serie de tensión de la expresión (25) como:

i(t) = I0 +∞

∑n=1,2,···

(Vn

Znsin(nωt + ςn−ϕn)

)(26)

I0 =V0

R

Zn =√

R2 +(nωL)2

ϕn = arctan(

nωLR

)

USB 15


Cálculo de Potencia Para Formas de Onda

Periódicas No Sinusoidales

4 Los circuitos de electrónica de potencia tienen, normalmente tensiones y/ocorrientes que son simétricas pero no sinusoidales.

4 En el caso general se pueden extrapolar los conceptos de potencia aparente yreactiva utilizados para formas de ondas sinusoidales.

4 Uno de los errores comunes al calcular la potencia promedio en circuitos depotencia, es tratar de aplicar las relaciones de ondas sinusoidales para ondasque no los son.

USB 16


Potencia en Ondas Distorsionadas

v(t) = V0 +∞

∑n=1

Vn sin(nωt +ψn)

i(t) = I0 +∞

∑n=1

In sin(nωt +φn)

(27)

USB 17


4 Potencia Media

P = 1T

∫ T

0p(t)dt = 1

T

∫ T

0(v(t)i(t))dt

P = 1T

∫ T0

([V0 +

∞

∑n=1

Vn sin(nωt +ψn)

][I0 +

∞

∑n=1

In sin(nωt +φn)

])dt

(28)

P = V0I0 +∞

∑n=1

(VnIn

2

)cos(ψn−φn) (29)

4 Potencia Aparente

S = VrmsIrms =√

P2 +Q2 (30)

USB 18


4 Factor de Potencia

f p =PS

=V0I0 +

∞

∑n=1

(VnIn2

)cos(ψn−φn)

VrmsIrms(31)

USB 19


Potencia de Distorsión

4 En el caso particular una tensión que solo contenga la armónica fundamentaly alimente una carga no lineal se obtiene:

v(t) = V1 sin(ωt +ψ1)

i(t) =∞

∑n=1

In sin(nωt +φn)(32)

4 La potencia media, se obtiene a partir de la expresión (28), como:

P =(

V1I1

2

)cos(ψ1−φ1) = Vrms1Irms1 cos(ψ1−φ1) (33)

USB 20


4 El factor de potencia:

f p =VrmsIrms1 cos(ψ1−φ1)

VrmsIrms=

Irms1

Irmscos(ψ1−φ1) (34)

4 Observe que para el caso sinusoidal permanente con armónica fundamental(n = 1) y carga lineal se obtiene:

v(t) =√

2Vrms1 sin(ωt +ψ1)

i(t) =√

2Irms1 sin(ωt +φ1)(35)

f p1 =Vrms1Irms1 cos(ψ1−φ1)

Vrms1Irms1

= cos(ψ1−φ1) (36)

S1 = Vrms1Irms1 (cos(ψ1−φ1)+ j sin(ψ1−φ1)) = P1 + jQ1 (37)

USB 21


Note: que la potencia activa en ambos casos es igual.

4 Utilizando el resultado de la expresión (36), se puede reescribir la ecuación(34), como:

f p =Irms1

Irmsf p1 (38)

4 De�niendo el Factor de desplazamiento del factor de potencia (DPF) como:

DPF ≡ f p1 (39)

4 Utilizando la de�nición (39) , se puede escribir la ecuación (38) como:

f p =Irms1

IrmsDPF (40)

USB 22


4 De�niendo la potencia de de distorsión (D) como:

D≡Vrms1

(√∞

∑n6=1

I2rmsn

)(41)

4 Utilizando la de�nición (41) y la expresión (37), la potencia aparente en lacarga no lineal, se calcula como:

S =√

P2 +Q2 =√

P21 +Q2

1 +D2 =√

S21 +D2 (42)

USB 23

fourier laminas usb

Documents