fpii04 estructuras no lineales de datos

7/23/2019 FPII04 Estructuras No Lineales de Datos

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Lus Rodrguez Baena ([email protected])

Universidad Pontificia de Salamanca (campus Madrid)Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura

Fundamentos de Programacin II

Tema 4. Estructuras no linealesde datos: rboles


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Universidad Pontificia de Salamanca (Campus Madrid)Luis Rodrguez Baena, Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, 2012

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Estructuras de datos no lineales

En una estructura lineal, cada elemento slo puede ir

enlazado al siguiente o al anterior.A las estructuras de datos no lineales se les llama

tambin estructuras de datos multienlazadas. Cada elemento puede estar enlazado a cualquier otro

componentes. Se trata de estructuras de datos en las que cada

elemento puede tener varios sucesores y/o varios

predecesores. rboles. Grafos.


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Estructuras de datos no lineales (II)

rboles.

Cada elemento slo puede estar enlazado con su predecesor ysus sucesores. Puede tener varios sucesores.

Grafos.

Cada elemento puede estar enlazado a cualquier otro.A

B C D

E F

JI K

G H

A

B

C

D

E


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rboles

Estructura no lineal jerrquica en la que cadaelemento tiene un nico antecesor y puede tenervarios sucesores.

Existe un nico camino entre el primer nodo de laestructura y cualquier otro nodo.

Se utilizan para representar todo tipo dejerarquas: rbol genealgico, taxonomas,diagramas de organizacin, etc.

En informtica se utilizan para aplicaciones

algortmicas (ordenacin, bsqueda), compilacin(rboles sintcticos, rboles de expresiones), etc. Formalmente, un rbol A es un conjunto finito de

elementos con 0 o ms nodos de forma que: Se trata de una estructura vaca. Si tiene componentes, los nodos restantes se

dividen en uno o ms conjuntos disjuntos cada unode los cuales es a su vez un rbol. A estos nodos seles llama subrboles del raz.

Se trata de una estructura recursiva.


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Terminologa

Nodo: los vrtices o elementos de un rbol. Enlace/arco/arista: Conexin entre dos nodos

consecutivos. Los nodos pueden ser:

Nodo raz: nodo superior de la jerarqua. Nodo terminal u hoja: nodo que no contienen ningn subrbol. Nodos interiores: nodos con uno o ms subrboles; nodos que no

son hojas. Descendientes o hijos: cada uno de los subrboles de un nodo. Ascendiente, antecesor o padre: nodo de jerarqua superior a

uno dado. Nodos hermanos: nodos del mismo padre.

Bosque: coleccin de rboles.


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Terminologa (II)

Camino: enlace entre dos nodos. No existe un camino entre todos los

nodos. Rama: camino que termina en unahoja.

Grado de un nodo: nmero desubrboles que tiene.

Nivel de un nodo o longitud delcamino: nmero de arcos o enlacesque hay desde el nodo raz hasta unnodo dado.

Altura o profundidad de un rbol:nmero mximo de nodos de una

rama; el nivel ms alto de un rbolms uno. Peso de un rbol: nmero de nodos

terminales.

A

B C D

E F

JI K

G H

Nivel 0

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Altura del rbol = 4Peso del rbol = 7


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rboles binarios

Un rbol general sera un rbol en el que cada nodo puede tener unnmero ilimitado de subrboles.

Un rbol binario sera un conjunto de 0 o ms nodos en el cual existeun nodo raz y cada uno de los nodos, incluido el raz podrn tener 0, 1o dos subrboles: Subrbol izquierdo y subrbol derecho. Cada nodo es como mximo de grado 2.

Terminologa: rboles similares: rboles con la misma estructura. rboles equivalentes: rboles con la misma estructura y contienen la

misma informacin. rboles completos o rboles perfectos: todos los nodos, excepto las

hojas, tienen grado 2. Un rbol binario de nivel n tiene 2n-1 nodos.

rbol equilibrado: un rbol en el que las alturas de los dos subrboles decada uno de los nodos tiene como mximo una diferencia de una unidad.

rbol degenerado: todos sus nodos slo tienen un subrbol.


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rboles binarios (II)


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Implementaciones de rboles generales

Cada nodo debera tener un nmero indeterminado de

enlaces que apunten a cada uno de sus hijos. Problema cuntos enlaces reservamos? Se pueden implementar como un array con indicaciones

al padre de cada nodo.


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Implementaciones de rboles generales (II)

Implementacin mediante una lista de hijos.

En un ndice aparecen todos los nodos. Por cada nodo existe una lista de hijos.


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Implementaciones de rboles generales (III)

Implementacin mediante una lista listas.

Cada nodo apunta a una lista enlazada. En esa lista, cada nodo apunta a un nodo hijo.


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Conversin de rboles generales en

binarios Los rboles generales son ms difciles de implementar

que los rboles binarios. En este curso se implementarn rboles binarios. De cualquier forma, un rbol general se puede convertir

a binario. La raz del rbol binario ser la raz del rbol general. Se enlaza el hijo situado ms a la izquierda del nodo raz del

rbol general como hijo izquierdo del nodo raz en el rbolbinario.

Se enlazan todos los hermanos como hijos derechos en el rbolbinario.

El proceso se repite con cada nodo.


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Conversin de rboles generales en

binarios (II)

A

B

D

E

FI

J

K

G

H

C


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Implementacin de rboles binarios

Se pueden implementar como un array de elementos del tipo basedel rbol.

El primer elemento se corresponde al nivel 0 del rbol. Los dos siguientes elemento se corresponden al nivel 1 del rbol. Los cuatro siguientes elementos se corresponden al nivel 2 del rbol. Los ocho siguientes elementos se corresponden al nivel 3 del rbol. Los diecisis siguientes elementos se corresponden al nivel 4 del rbol.

A

B

FD

HG I J

E

C

FEDCBA JIHG

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3


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Implementacin de rboles binarios (III)

El almacenamiento ser un array de nodos. El tipo rbol ser un ndice de array.

Cada nodo tendr los campos raz de tipo TipoElemento, hizq de tiporbol y hder de tipo rbol.

Los punteros hizq e hder seran ndices del array. Un valor -1 en el hijo derecho podra corresponder a un elemento que no contiene un nodo

vlido.

constMaxArbol =

tipos

= TipoElemento

entero = rbol

registro = nodo

TipoElemento = raz

rbol = hizq, hderfin_registro

array[1..MaxArbol] de nodo = almacenamiento

var

almacenamiento : alm

rbol : a


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Implementacin de rboles binarios (IV)

Mediante estructuras dinmicas.

El rbol estara compuesto por una serie de nodos. Cada nodo contendra: El campo raz con la informacin del tipo base del rbol. Los punteros hizq e hder que seran punteros a nodo, es decir,

seran tambin rboles. Si alguno se esos hijos es un rbol vaco contendran un valor nulo.

El tipo de dato rbol sera un puntero a nodo. Un puntero a nodo indicara el nodo de inicio de la estructura, es

decir, la raz del rbol.


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Implementacin de rboles binarios (V)

tipos

= TipoElemento

puntero_a nodo = rbolregistro = nodo

TipoElemento = raz

rbol = hizq, hder

fin_registro

var

rbol : a

C

/ /

B

A

D E

/ /

F

/ /

G

/ /

rbolA

raz

hizq hder

nodo


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Recorridos en rboles binarios

En una estructura de datos lineal slo es posible un tipo derecorrido en dos sentidos distintos:

Del primero al ltimo o del ltimo al primero. Una estructura de datos no lineal se puede recorrer de

distintas maneras: Se realiza un recorrido por niveles, accediendo a los nodos

hermanos de cada nivel?

Una vez situados en un nodo, a qu hijo se accede primero? En que momento se accede a la informacin del nodo, antes o

despus de los hijos? En general existen dos grandes grupos de recorridos:

Recorridos en profundidad. Se recorren las ramas de un nodo dado. Recorridos en anchura.

Se accede a los nodos hermanos en cada uno de los niveles del rbol.


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Recorridos en rboles binariosRecorridos en profundidad

Tres tipos de recorridos dependiendo del orden en que

se acceda al subrbol izquierdo, al subrbol derecho o alnodo raz. En los tres recorridos se accede antes al hijo izquierdo que al

hijo derecho.

La variacin reside en el momento en que se recorrer lainformacin del nodo. Recorrido preorden u orden previo (RID, raz-hijo izquierdo-hijo

derecho). Recorrido inorden u orden simtrico (IRD, hijo izquierdo-raz-hijo

derecho). Recorrido postorden u orden posterior (IDR, hijo izquierdo- hijo

derecho-raz).


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Recorridos en rboles binariosRecorridos en profundidad (II)

Recorrido preorden. Por cada elemento no vaco:

Se accede primero al nodo raz. Se accede al hijo izquierdo en preorden. Se accede al hijo derecho en preorden. Para el siguiente rbol:

o M,F,C,A,E,H,P,R,Q,Z

Recorrido inorden. Por cada elemento no vaco:

Se accede al hijo izquierdo en inorden. Se accede primero al nodo raz. Se accede al hijo derecho en inorden. Para el siguiente rbol:

o A,C,E,F,H,M,P,Q,R,Z

Recorrido postorden.

Por cada elemento no vaco: Se accede al hijo izquierdo en postorden. Se accede al hijo derecho en postorden. Se accede primero al nodo raz. Para el siguiente rbol:

o A,E,C,H,F,Q,Z,R,P,M


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Recorridos en rboles binariosRecorrido preorden

Los tres recorridos tienen una definicin recursiva. En la definicin del recorrido, interviene el objeto definido.

Se procesa el nodo raz y se recorre el subrbol izquierdo en preorden, y despus el

subrbol derecho tambin en preorden.

procedimiento PreOrden(valor arbol: a)

inicio

si a nulo entonces

//Procesar elemento raz

escribir(a.raz)PreOrden(a.hizq)

PreOrden(a.hder)

fin_si

fin_procedimiento

Recorrido preorden: M F C A E H P R Q Z

P/

F

M

C H

/ /

A

/ /

E

/ /

rbol

R

Q

/ /

Z

/ /


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Recorridos en rboles binariosRecorrido inorden

Se recorre el subrbol izquierdo en inorden, se procesa el raz ydespus el subrbol derecho tambin en inorden.

procedimiento InOrden(valor arbol: a)

inicio

si a nulo entonces

InOrden(a.hizq)//Procesar elemento raz

escribir(a.raz)

InOrden(a.hder)

fin_si

fin_procedimiento

Recorrido inorden: A C E F H M P Q R Z

P

/

F

M

C H

/ /

A

/ /

E

/ /

rbol

R

Q

/ /

Z

/ /


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Recorridos en rboles binariosRecorrido postorden

Se procesa se recorre el subrbol izquierdo en postorden, despus elsubrbol derecho tambin en postorden y por ltimo se procesa el nodo

riz.procedimiento PostOrden(valor arbol: a)

inicio

si a nulo entonces

PostOrden(a.hizq)

PostOrden(a.hder)

//Procesar elemento raz

escribir(a.raz)

fin_si

fin_procedimiento

Recorrido postorden: A E C H F Q Z R P M

P

/

F

M

C H

/ /

A

/ /

E

/ /

rbol

R

Q

/ /

Z

/ /


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Recorrido en anchura

El recorrido se hace por niveles a partir del nivel 0. Por cada nivel se recorren los nodos hermanos de izquierda a derecha.

Recorrido en anchura: M F P C H R A E Q Z

P

/

F

M

C H

/ /

A

/ /

E

/ /

rbol

R

Q

/ /

Z

/ /


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Recorrido en anchura (II)

Para su implementacin hay que procesar el nodo raz yrecordar las direcciones de sus hijos izquierdo y derecho para

acceder a ellos en el mismo orden en que se encuentran. Hay que repetir el proceso por cada nodo, recordando las

direcciones de sus hijos izquierdo y derecho y recuperarlas enel mismo orden en que han entrado.

Existe una estructura de datos que extrae los elementos en elmismo orden en que entran: la cola. Se utiliza una cola que almacene rboles (punteros a nodos). Se introduce la direccin del nodo raz en la cola.

Se extraen elementos de la cola y por cada elemento que se extraeque no sea un rbol vaco (un puntero nulo), se introducen lasdirecciones de sus hijos izquierdo y derecho.

El proceso termina cuando la cola est vaca.


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Recorrido en anchura (II)

procedimiento Anchura(valor rbol : a)

tipos

TipoElementoCola : rbol //La cola contiene punteros a nodo

var

cola : niveles

rbol : aux

inicio

ColaNueva(niveles)

CInsertar(niveles,a)repetir

Primero(niveles, aux)

CBorrar(niveles)

si aux nulo entonces

//Procesar riz

escribir(a.raz)

CInsertar(niveles, a.hizq)

CInsertar(niveles, a.hder)

fin_si

hasta_que EsColaVaca(niveles)

fin_procedimiento


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Aplicaciones de rboles

En una lista enlazada slo hay una forma de insertar o deeliminar un elemento:

Para insertar un elemento hay que colocarlo entre al anterior y elsiguiente.

Para eliminar un elemento, hay que hacer que el anterior apunte alsiguiente.

En un rbol, dependiendo de la aplicacin que se haga delrbol esas operaciones pueden cambiar: Si se inserta un elemento se inserta como hijo izquierdo o como

hijo derecho? qu se hace con los hijos del nodo anterior? Si se elimina un elemento, qu se hace con los hijos de ese nodo?

Algunas aplicaciones de rboles binarios: rbol de expresiones. rbol binario de bsqueda.


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rboles de expresiones

Representacin de una expresin. Los nodos internos son los operadores y las hojas los operandos.

Si hay varias operaciones, las de menos prioridad ocupan los niveles msaltos. Sea la expresin: (a+b) * (c/(d+f))

Expresin infija (recorrido inorden): a+b*c/d+fExpresin prefija (recorrido preorden):

*+ab/c+dfExpresin postfija (recorrido postorden): ab+cdf+/*

/+

*

a/ /

b/ /

rbol

+

d

/ /

f

/ /

c/ /


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rbol binario de bsqueda

Una de las aplicaciones ms importantes de rboles sebasa en su capacidad para ordenar y buscar elementos.

Los rboles binarios de bsqueda se utilizan para esasaplicaciones.

Se trata de un rbol en el que se colocan los elementos

de una lista segn un determinado criterio: El primer elemento de la lista es el raz. Los siguientes elementos se colocan de forma que los elementos

menores queden en el subrbol izquierdo y los mayores en elderecho.


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rbol binario de bsqueda (II)

Dada la siguiente lista: M D P V C A F R Y N S, el rbol de bsquedaresultante sera:

M

D P

C F V

R YA

N

S

Obsrvese que: El recorrido inorden del rbol

devolvera los elementos en ordenascendente. Para buscar un elemento, habra

que comparar el elemento con elraz y, dependiendo de que el

elemento sea mayor o menor, ir alsubrbol derecho o izquierdorespectivamente.

B d b l bi i d


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Bsqueda en rboles binarios debsqueda

Para buscar un elemento hay que compararlo con el que ocupa la razdel rbol. Si es igual, ya se ha encontrado. Si es menor, se busca en el subrbol izquierdo. Si es mayor, se busca en el subrbol derecho.

Admite una definicin recursiva: Casos base:

Si el rbol es nulo, el elemento no est.

Si se trata del elemento raz, el elemento ya se ha encontrado. Casos generales. Si el elemento es menor que el raz hay que hacer la bsqueda en el subrbol izquierdo

(llamada recursiva). Si el elemento es mayor, hay que hacer la bsqueda en el subrbol derecho (llamada

recursiva).

La funcin de bsqueda devolver un rbol, es decir un puntero anodo. Si el elemento est en el rbol, ser la direccin del nodo dnde se encuentra el

elemento buscado. Si el elemento no est en el rbol, devolver un puntero nulo.


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Bsqueda iterativa

rbol : funcin Buscar(valor rbol : a; valor TipoElemento : e)

var

lgico : encontrado

inicio

encontrado falsomientras no encontrado y (a nulo) hacer

si a.raz = e entonces

encontrado verdad

si_no

si a.raz > e entonces

a a.hizqsi_no

a a.hder

fin_si

fin_si

fin_mientras

siencontrado

entoncesdevolver(a)

si_no

devolver(nulo)

fin_si

fin_funcin


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Bsqueda recursiva

Funciona de forma similar a la bsqueda binaria recursiva. Si el rbol el nulo, no se encuentra y devuelve nulo. Si el elemento raz coincide, devuelve el valor de a. Si el elemento raz es mayor, se busca en el subrbol izquierdo. Si el elemento raz es menor, se busca en el subrbol derecho.

rbol : funcin Buscar(valor rbol : a; valor TipoElemento : e)

inicio

si a = nulo entonces

devolver(nulo)si_no

si a.raz = e entonces

devolver(a)

si_no

si a.raz > e entonces

Buscar(a.hizq,e)

si_noBuscar(a.hder,e)

fin_si

fin_si

fin_si

fin_funcin


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Insercin en un rbol de bsqueda

En un rbol binario de bsqueda, todos los elementos seinsertan como hojas.

Para insertar un elemento, hay que desplazarse por lossbrboles izquierdo o derecho, dependiendo del valordel nodo, hasta encontrar un rbol nulo.

Segn el valor del ltimo elemento raz, insertar comoraz del rbol, como hijo derecho del anterior o comohijo izquierdo del anterior.


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Insercin en un rbol de bsqueda (III)

procedimiento Insertar(ref rbol :a ; valor TipoElemento : e)

var

rbol : act, ant, aux

inicio

//Inicializar punterosact a

ant nulo

//Reservar espacio para un nuevo nodo

//Siempre se inserta el elemento

reservar(aux)

aux.raz eaux.hizq nulo

aux.hder nulo

//Buscar la posicin del nuevo elemento

mientras act nulo hacer

ant act

si act.raz > e thenact act.hizq

si_no

act act.hder

fin_si

fin_mientras

//Si es el primer nodosi ant = nulo entonces

a aux

si_no

//Es hijo izq del anterior

si ant.raz > e entonces

ant.hizq auxsi_no

ant.hder aux

fin_si

fin_si

fin_procedimiento



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Insercin en un rbol de bsquedaVersin recursiva

Es posible hacer una definicin recursiva de la insercinen un rbol binario de bsqueda. Caso base.

Si el rbol es nulo.o Se inserta un nuevo nodo colgando del rbol.

Caso general. Si el rbol no est vaco.

o Si el elemento a insertar es menor que el elemento raz, se inserta en elsubrbol izquierdo.

o Si el elemento a insertar es mayor que el elemento raz, se inserta en el

subrbol derecho.



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Insercin en un rbol de bsquedaVersin recursiva (II)

Versin recursiva.

procedimiento Insertar(ref rbol :a ; valor TipoElemento : e)inicio

si a = nulo

//Hemos llegado a una hoja. Insertamos

reservar(a)

a.raz e

a.hizq nulo

a.hder nulo

si_no

si a.raz > e then

Insertar(a.hizq,e)

si_no

Insertar(a.hder,e)

fin_si

fin_si

fin_mientras



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Insercin en un rbol de bsquedaVersin recursiva (III)


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Borrado de un nodo

Al algoritmo de borrado de un nodo debemos suministrarle ladireccin del nodo a borrar (act) y la direccin del nodo anterior

(ant). Si queremos borrar el elemento raz, ant ser nulo. Dependiendo del valor del nodo anterior habr que tomar distintas

decisiones.

Caso 1: Borrar una hoja. Caso 1a: borrar el ltimo nodo de un rbol de un nico elemento.

El rbol toma un valor nulo.

M

/ /

a

actant

M

/ /

a

actant

a nulo


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Borrado de un nodo (II)

Caso 1: Borrar una hoja. Caso 1b: El nodo a borrar es hijo izquierdo del anterior.

El hijo izquierdo del anterior ser nulo.

D

M

C

/ /

F

/ /

a

act

ant

D

/

M

C

/ /

F

/ /

a

act

ant

ant.hizq nulo

B d d d (III)


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Borrado de un nodo (III)

Caso 1: Borrar una hoja. Caso 1c: El nodo a borrar es hijo derecho del anterior.

El hijo derecho del anterior ser nulo.

ant.hder nulo

D

M

C

/ /

F

/ /

a

act

ant D

/

M

C

/ /

F

/ /

a

act

ant

B d d d (IV)


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Borrado de un nodo (IV)

Caso 2: Borrar un nodo con un solo hijo. Caso 2.1: Slo tiene hijo derecho

Caso 2.1.a: es el nodo raz.o El nodo raz apuntar al hijo derecho del anterior.

a a.hder

P

M

/

Q

/ /

a

R

/ /

act

ant

P

M

/

Q

/ /

a

R

/ /

act

ant

B d d d (V)


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Borrado de un nodo (V)


Caso 2.1.b: es el hijo derecho del anterior.o El hijo derecho del anterior apuntar al hijo derecho del nodo a borrar.

ant.hder act.hder

P

M

V

/ /

a

/

Ract

Q

/ /

ant

P

M

R

/ /

a

/

Ract

Q

/ /

ant

B d d d (VI)


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Borrado de un nodo (VI)


Caso 2.1.c: es el hijo izquierdo del anterior.o El hijo izquierdo del anterior apuntar al hijo derecho del nodo a borrar.

ant.hizq act.hder

D

/

M

E

/ /

F

a

G

/ /

act

ant

D

/

M

E

/ /

F

a

G

/ /

ant



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Caso 2: Borrar un nodo con un solo hijo. Caso 2.2: Slo tiene hijo izquierdo.

Igual que el caso 2.1, pero se apuntar al hijo izquierdo del actual. Caso 2.2.a: Es el nodo raz.

o a a.hizq

Caso 2.2.b: Es hijo derecho del anterioro ant.hder act.hizq

Caso 2.2.c: Es hijo izquierdo del anterioro ant.hizq act.hizq

Borrar un nodo (VII)


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Borrar un nodo (VII)

Caso 3: Borrar un nodo con dos hijos. En este caso no se borra el nodo act, sino que se sustituye su

valor por el mayor valor entre los situados a la izquierda (o elmenor entre los situados a la derecha). De esta forma se mantienen los elementos y la estructura del rbol

binario de bsqueda.

Lo que se borra es el nodo que contena el valor que se hasubido. Si el nodo situado inmediatamente a la izquierda es el mayor de

los menores, se modifica el hijo izquierdo del actual.


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Borrar un nodo (IX)


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Borrar un nodo (IX)

procedimiento Borrar(ref arbol : a; valor arbol : act,ant)

var

arbol : aux

inicio

// si borramos una hoja. Caso 1.si (act.hder = nulo) y (act .hizq = nulo) entonces

si ant = nulo entonces // es el ltimo nodo de un arbol

a nulo

si_no

si ant .hder = actentonces // es el subarbol derecho

ant .hder nulo

si_no

ant .hizq nulo

fin_si

fin_si

si_no

// si el nodo a borrar tiene dos hijos. Caso 3.

si (act .hder nulo) y (act .hizq nulo) entonces

// inicializa los puntero para buscar

// el valor a reemplazar

ant act

aux act .hizq

Borrar un nodo (X)


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Borrar un nodo (X)

// localiza el nodo que contiene el valor

// ms proximo al que se va a suprimir

mientras aux .hder nulo hacer

ant aux

aux aux.hderfin_mientras

// pone el valor reemplazado en el nodo

// cuyo valor se va a suprimir

act .raiz aux .raiz

// se suprime el nodo del que se ha tomado el valor *)

si ant = actentonces

ant.hizq aux.hizq

si_no

ant .hder aux.hizq

fin_si

act aux // para poder disponer del nodo

si_no

// Solo tiene un hijo. Caso 2.

// Se actualizan los punteros del nodo a borrar

// segn tenga un hijo izquierdo o un hijo derecho

si act.hder nulo entonces // act tiene un hijo derecho

si ant = nulo entonces // se trata del nodo raiz

Borrar un nodo (XI)


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Borrar un nodo (XI)

a act .hder

si_no // se trata de un nodo no raz

si ant .hder = actentonces // se trata del hijo derecho

ant.hder act .hder

si_no // se trata del hijo izquierdo

ant .hizq act .hderfin_si

fin_si

si_no // act tiene un hijo izquierdo

si ant = nulo entonces // se trata de un nodo raz

a act .hizq

si_no // se trata de un nodo no razsi ant.hder = actentonces // se trata del hijo derecho

ant.hder act .hizq

si_no // se trata del hijo izquierdo

ant.hizq act .hizq

fin_si

fin_sifin_si

fin_si

fin_si

liberar(act)

fin_procedimiento

Borrado recursivo


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Borrado recursivo

Se puede simplificar el borrado iterativo utilizando unasolucin recursiva.

El procedimiento, en este caso buscara el nodo y si loencuentra, lo elimina. Caso base.

Existen dos casos base: Si el rbol es nulo, el elemento no existe.

Si el elemento a borrar no es menor ni mayor que el elemento raz (sise encuentra), se borra el nodo. Caso general.

Dos llamadas recursivas: Si el elemento a borrar es menor que el raz, hay que borrar en el

subrbol izquierdo. Si el elemento a borrar es mayor que el raz, hay que borrar en el

subrbol derecho.

Borrado recursivo


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Borrado recursivo

El borrado del nodo slo presentara tres casos: Si es una hoja: el predecesor sera nulo (figura A de la

dispositiva siguiente). Si tiene un nico subrbol, el predecesor tendr que apuntar al

nico hijo de dicho rbol (figura B de la dispositiva siguiente). Si tiene dos hijos, se redistribuyen los nodos para que los nodos

restantes mantengan la estructura de rbol binario se bsqueda: Se sube a la posicin del nodo a borrar, el contenido del nodo del

elemento mayor del subrbol izquierdo. Se elimina el nodo situado ms a la derecha del subrbol izquierdo

(el que se ha subido). Para este proceso se realizar una llamada a otro procedimiento

recursivo que sustituir el valor del nodo a borrar.

Borrado recursivo (II)


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Borrado recursivo (II)

Borrado recursivo (III)


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56

Borrado recursivo (III)

procedimiento BorrarElemento(ref rbol : a; valor TipoElemento : e)

var

rbol : aux

inicio

si a = nulo entonces //El elemento no existesi_no

si e < a.razentonces

BorrarElemento(a.hizq,e)

si_no

si e > a.razentonces

BorrarElemento(a.hder,e)si_no //Borra el elemento a

aux a //aux guarda la direccin del nodo a borrar

si a.hder = nulo entonces //Si no tiene hijo derecho

a aux.hizq

si_no

si a.hizq = nulo entonces //Si no tiene hijo izquierdo

a aux.hder

si_no //Tiene dos hijos

SubirNodo(aux.hizq, aux)

fin_si

fin_si

Borrado recursivo (IV)


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57

Borrado recursivo (IV)

liberar(aux)

fin_si

fin_si

fin_si

fin_procedimiento

procedimiento SubirNodo(ref rbol : a, aux)

inicio

si a.hder nulo entonces //Moverse al mayor de los menoresSubirNodo(a.hder,aux)

si_no

aux.raz a.raz

aux a

a aux.hizq

fin_si

fin_procedimiento

Ejemplos


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58

Ejemplos

Disee una funcin que devuelva la altura de un rbol.

entero : funcin Altura(valor rbol : a)

iniciosi a nulo entonces

devolver(1 + MayorAltura(Altura(a.hizq),Altura(a.hder))

si_no

devolver(0)

fin_si

fin_funcin

entero funcin MayorAltura(E entero : a,b)

inicio

si a > b entonces

devolver(a)

si_nodevolver(b)

fin_si

fin_funcin

Ejemplos (II)


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59

j p ( )

Disee un procedimiento que copie un rbol

procedimiento Copiar(valor rbol : a; ref rbol : c)

iniciosi a nulo entonces

reservar(c)

c.raz a.raz

Copiar(a.hizq, c.hizq)

Copiar(a.hder, c.hder)

si_noc nulo

fin_si

fin_procedimiento

Ejemplos (III)


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60

j p ( )

Una funcin que compruebe si dos rboles son similares. Si los dos no son nulos, son similares si al subrbol derecho y el izquierdo son

similares.

Si los dos son nulos, son similares. Si uno es nulo y el otro no, no son similares.

lgico:funcin SonSimilares(valor arbol: a1,a2)

inicio

si (a1 nulo)y (a2 nulo)entoncesdevolver(SonSimilares(a1.hizq,a2.hizq)y SonSimilare(a1.hder,a2.hder))

si_no

devolver((a1 =nulo)y (a2 =nulo))

fin_si

fin_funcin

Ejemplos (IV)


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61

j p ( )

Una funcin que comprueba si dos rboles son equivalentes. Si los dos no son nulos y la informacin es la misma, son equivalentes si al subrbol derecho

y el izquierdo son equivalentes.

Si la raz es distinta no son equivalentes Si los dos son nulos, son equivalentes. Si uno es nulo y el otro no, no son equivalentes.

lgico:funcin SonEquivalentes(valor arbol: a1,a2)

inicio

si (a1 nulo)y (a2 nulo)entoncessi a1.raz = a2.razentonces

devolver(SonEquivalentes (a1.hizq,a2.hizq)y

SonEquivalentes (a1.hder,a2.hder))

si_no

devolver(falso)

si_nodevolver((a1 =nulo)y (a2 =nulo))

fin_si

fin_funcin

Ejemplos (V)


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62

j p ( )

Disee un algoritmo que calcule el nmero de nodos de un rbol. Si el rbol est vaco, el nmero de nodos es 0, Si no est vaco, al menos tiene un nodo y, adems puede tener ms

nodos a la izquierda o a la derecha.

entero funcin NmeroDeNodos(valor arbol: a)

inicio

si a =nulo entonces

devolver(0)

si_no

devolver(1 + NmeroDeNodos(a.hizq) + NmeroDeNodos(a.der))

fin_si

fin_funcin

Ejemplos (VI)


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63

Disee un algoritmo que devuelva el peso de un rbol. Si el rbol est vaco, el peso es 0.

Si el hijo izquierdo y el hijo derecho del rbol son nulos, el peso es 1. Si no, el peso ser la suma de los pesos de sus dos hijos.

entero funcin Peso(valor arbol: a)

inicio

si a =nulo entoncesdevolver(0)

si_no

si (a.hizq =nulo)y (a.der =nulo)entonces

devolver(1)

si_no

devolver(Peso(a.hizq) + Peso(a.der))

fin_si

fin_si

fin_funcin

Ejercicios (VII)


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64

1. Se tiene almacenado en un rbol binario de bsquedauna serie de nmeros ordenados de menor a mayor.

Disee un procedimiento que devuelva los nmerospero ordenados de mayor a menor.2. Se tiene almacenada una frase en un archivo de texto.

Disee un algoritmo que almacene las palabras de la

frase en un rbol binario de bsqueda. Las palabras delrbol no se podrn repetir y en cada nodo sealmacenar la palabra y el nmero de veces queaparece en la frase. El algoritmo deber mostrar por

pantalla las palabras ordenadas por la frecuencia deaparicin.

Ejercicios (VIII)


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65

3. En un archivo directo se tiene almacenada informacin sobre unaserie de automviles. Por cada registro del archivo aparece lamatrcula (campo clave), la marca y el modelo y el DNI delpropietario. Los registros estn distribuidos de forma aleatoria porel archivo que tiene una capacidad para 1000 vehculos. Disee unalgoritmo que cree un ndice del archivo en un rbol binario debsqueda. Cada nodo del rbol deber almacenar la matrcula y elnmero de registro relativo del archivo donde est almacenado elvehcuclo.

A partir de este ndice disee los procedimientos para: Realizar un listado con todos los datos de los vehculos del archivo. Sacar por pantalla los datos de un vehculo cuya matrcula se introduce por

teclado. Realizar la insercin de un nuevo vehculo en el archivo, insertandotambin la informacin necesaria en el ndice.

Realizar la eliminacin de un vehculo en el archivo.

fpii04 estructuras no lineales de datos

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