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Oswaldo K. Watanabe 2000 1

FRAÇÕES

Fração = partes do todo dividido em porções iguais = pedaço

Se a fração é a parte de um todo, que quantidade do todo ela representa?

A fração é escrita na forma , onde a e b são normalmente

números inteiros com b0.

Nesta representação , b que é chamado de denominador indica em quantas

partes o inteiro foi dividido e a que é chamado numerador, indica quantas partes do inteiro estamos considerando.

Inteiro

quero 2/3 deste inteiro

inteiro dividido em três partes iguais

2 partes do inteiro dividido em três

O inteiro é uma caixa contendo 36 balas. Quero 2/3 das balas.Vamos dividir as balas em três partes iguais: 36 : 3 = 12 12 + 12 +12Portanto duas partes são: 12 + 12 ou 2 . 12 ou 24

Exercícios:

1) Quanto é 2/7 de 343? 2) Quanto é 5/8 de 144? 3) Quanto é 5/9 de 820?

4) Quanto é 7/9 de 240? 5) Quanto é 5/6 de 340? 6) Quanto é 5/12 de 720?

Respostas:1) 98 2) 90 3)4100/9 4)560/3 5) 675/2 6) 300

1


Definição: Frações equivalentes são aquelas que representam valores iguais

Exemplo:2/3

4/6

Sejam a e b dois números inteiros, com b 0, para encontrarmos as frações equivalentes a a / b, multiplicamos, a e b (numerador e o denominador da fração) por um mesmo número

Exemplos:

2

é equivalente

ou

ou


Obs. Normalmente, representamos uma fração através da sua equivalente que possui os menores numerais possíveis no numerador e no denominador. Este processo de encontrá-la chamamos de simplificação.

Nos casos em que já temos as duas frações e queremos verificar se as mesmas são equivalentes e não desejamos fazer o caminho inverso (caminho de volta ou operações inversas), podemos também usar a propriedade fundamental das proporções, que diz:

Numa proporção, se duas razões são equivalentes, então o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Na proporção a:b = c: d ou , a e d são os extremos e b e c são os meios.

Portanto, a. d = b.c

RAZÃO: é a relação ou quociente entre duas grandezas

QUOCIENTE: resultado de uma divisão

Obs: As frações também indicam uma divisão entre o numerador e o denominador. Ao efetuarmos a divisão entre o numerador e o denominador, obtemos como resultado, o número decimal equivalente à fração.

Símbolo da Razão: (lê-se: razão de a para b)

Neste símbolo, que também pode ser a:b, a é o antecedente e b o conseqüente.

Exemplo:

3

ou


Dividir 144 na razão de .

Quando queremos dividir um valor numa determinada razão, devemos dividir este valor pelo total das partes.

144:(5+7) = 144:12 = 12

12 é o valor de cada parte do todo. Logo, 5 partes é igual à 5.12 = 60 e 7.12 = 84. Portanto as partes são: 60 e 84.

Mas se queremos saber quanto é a fração .de 144, devemos dividir 144 por 7 e

o resultado multiplicar por 5.

144:7 = 20,571 aproximadamente

20,571.5 = 102,855

Toda fração é uma razão entre uma parte e o todo

Proporção: proporção é a equivalência entre duas razões

Símbolo = ou a:b = c:d, com b0 e d0.

Nesta proporção a e d são os extremos e b e c são os meios

Exemplos:

1) Se (Verdade, portanto temos uma proporção)

2) Se (Falso, logo a equivalência não existe, não é uma

proporção)

3) Se (Verdade, portanto temos uma proporção)

EXERCÍCIOS:

4


I) Verifique se as frações são equivalentes, caso sejam equivalentes, coloque V e caso contrário F:

1) 2/7 e 8/28 Resposta: V 2) 12/15 e 21/35 Resposta: F 3) 30/45 e 8/15 Resposta: F 4) 15/18 e 30/36 Resposta: V 5) 14/21 e 15/25 Resposta: F 6) 15/100 e 3/20 Resposta: V 7) 3/7 e 24/56 Resposta: V

8)14/35 e 40/100 Resposta: V9)12/18 e 25/80 Resposta: F10) 7/12 e 21/48 Resposta: F11) 20/42 e 30/63 Resposta: V12) 42/49 e 48/58 Resposta: F13) 13/5 e 39/15 Resposta: V14) 18/12 e 45/20 Resposta: F

II) Calcule o valor de x em cada proporção:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

PROBLEMAS

5


1) Se em uma receita de bolo para cada 3 xícaras de farinha de trigo usa-se 5 colheres de sopa de açúcar, quantas colheres de açúcar são necessárias para 7 xícaras de farinha?2) Um alpinista leva um dia para escalar 2/7 de uma montanha. Quantos dias este alpinista levará para escalar outra montanha com o triplo da altura da primeira?3) Um cachorro come ¾ de sua ração em 5 minutos. Quanto tempo 2 cachorros comerão a ração inteira, supondo que os cães se alimentam na mesma rapidez?

OPERAÇÕES ENTRE FRAÇÕES

I) ADIÇÃO :

+

1 + 2 = 34 4 4

Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, temos partes de tamanhos iguais e neste caso, para efetuarmos a soma, basta somarmos os denominadores e conservar o denominador, pois o denominador só indica em quantas partes o inteiro foi dividido.

1 + 1 = 52 3 6

Quando os denominadores das frações são diferentes, temos uma situação em que queremos somar pedaços de tamanhos diferentes. Para podermos reduzi-las em frações equivalentes de denominadores iguais, isto é representa-las através de partes iguais.

Mas como fazê-lo?

Uma das técnicas para isto, é transformá-las em frações equivalentes com denominadores iguais ao produto entre os denominadores destas frações.

6

=


1 . 2 + 1 . 3 3 . 2 2 . 3

2 + 3 = 56 6 6

Como é possível verificar na ilustração, com esta nova divisão, as partes achuradas foram representadas através de outras frações equivalentes as anteriores e assim foi possível representar a fração da solução.

Vejam que para podermos somar as frações foi necessário encontrar as frações equivalentes às das parcelas que possuem o mesmo denominador.

Para facilitar a transformação das frações das parcelas em frações equivalentes de denominadores iguais, podemos:

1) Encontrar o denominador comum

Este denominador comum poderá ser o próprio produto ou qualquer múltiplo entre os denominadores das parcelas, e dentre eles, poderá ser também o m.m.c. entre os denominadores das parcelas.

.

Exemplo: .

M.M.C.(a,b) ou m.m.c.(a,b) = menor múltiplo comum entre a e b.

Um múltiplo de um número é o resultado da multiplicação deste número por um número inteiro.

Múltiplo comum entre a e b são aqueles que são múltiplos de ambos ao mesmo tempo.

Exemplos:

a) múltiplos de 2 não negativos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...b) múltiplos de 3 não negativos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 ...

7


c) múltiplos de 5 não negativos: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...d) múltiplos de 6 não negativos: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...e) múltiplos de 2 e de 3: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...f) múltiplos de 2 e de 5: 0, 10, 20, 30, 40, 50, ...g) múltiplos de 3 e de 5: 0, 15, 30, 45, 60, 75, ...h) O menor múltiplo comum de 2 e de 3 não nulo é m.m.c.(2,3) = 6i) O menor múltiplo comum de 2 e 5 não nulo é m.m.c.(2,5) = 10j) O menor múltiplo comum de 3 e 5 não nulo é m.m.c.(3,5) = 15k) O menor múltiplo comum de 2 e 6 não nulo é m.m.c.(2,6) = 6

Existe um método prático de encontrar o m.m.c. que consiste em fatorar os números dos quais se quer obter.

Exemplo: m.m.c.(4,6) = 12, pois 4 - 6 22 - 3 21 - 3 3 1 - 1 2.2.3 = 12

2) Determinar os numeradores de cada fração equivalente.Para se obter o novo numerador da fração equivalente, fazemos:novo numerador = (novo denominador : antigo denominador) . antigo numerador

Exemplo:3 1 9 2 114 6 12 12 12

12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 3 . 3 = 9 2 . 1 = 2

4 - 6 22 - 3 21 - 3 3 1 - 1 2.2.3 = 1

EXERCÍCIOS :

Efetue as operações e simplifique a fração resposta, se possível:

1) 2/5 + 1/6 = Resp. 17/30 2) 3/8 – ¼ = Resp. 1/8 3) 4/5 + 1/8 + 1/10 = Resp. 41/40

4) 3/8 + 2/5 – 2/9 = Resp. 199/360 5) 5/11 + 3/8 – ( 4/9 + 1/3 ) = Resp. 41/792

6) 4/8 + 5/10+3/2 – ( 5/12 + 6/12 – 9/18) = Resp. 7) 5/15 + 2/5 + 7/10 – ¾ = Resp. 41/60

8

+ = + =


8) 2/21 – 7/12 + 13/42 = Resp. –15/84 9) 15/32 – 17/24 = Resp. –23/96

10) 2/5 + ¾ - 7/8 – 1/6 = Resp. 13/120 11) ½ +1/3 + ¼ - 1/5 = Resp. 53/60

II) MULTIPLICAÇÃO

De um número por uma fração

Quando multiplicamos um número por uma fração, temos que interpreta-la como uma repetição da fração numa soma, portanto basta multiplicar o numerador pelo número.

Exemplos:

a) 2. , isto é:

b) 3. , isto é:

2) De uma fração por outra fração:

Obs. Não tirar de foco, que multiplicar uma fração por outra fração é obter uma fração da outra( um pedaço da outra) logo a tendência é a fração produto ser menor, nos casos em que a primeira fração seja ordinária(menor que 1).

A multiplicação entre duas frações também pode ser escrita como uma fração de uma outra fração e a sua operação é feita através da multiplicação entre os numeradores e entre os denominadores.

Exemplos:

1) 1/2 de 3/5 =1/2 . 3/5 = 1 . 3 / 2 . 5 = 3 / 10

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Vejam na figura, que o resultado é a metade do original.

2)

3)

de 20 é

de 12 é =

Estas operações podem ser reduzidas a

EXERCÍCIOS :

Determine a quantidade relativa a fração dada:

1) Quanto é 23/100 de 4500? Resposta: 1035 2) Quanto é 32/100 de 2500? Resposta: 800

3) Quanto é 3/11 de 121? Resposta: 334) Quanto é 5/9 de 252? Resposta: 140 5) Quanto é 7/10 de 120? Resposta: 846) Quanto é 2/13 de 390? Resposta: 607) Quanto é 5/12 de 60? Resposta: 25

10


8) Quanto é 11/100 de 2000? Resposta: 2209) Quanto é 2/5 de 80? Resposta: 3210) Quanto é 5/8 de 240? Resposta: 15011) Quanto é ¾ de 50? Resposta: 37,5 ou 150/4 ou 75/212) Quanto é 6/12 de 72? Resposta: 3613) Quanto é 3/7 de 63? Resposta: 2714) Quanto é 7/12 de 54? Resposta: 31,5 ou 378/12 ou 189/6 ou 126/4 ou 63/2

15) Quanto é 7/8 de 36? Resposta: 31,5 ou 252/8 ou 126/4 ou 63/2.

Efetue as operações simplificando a fração resultado, o máximo possível:

1) (2/3).(3/4) = Resp. ½ 2) (3/5).(2/7).(4/3) = Resp. 8/35 3) (3/8).(5/7).(7/3) = Resp. 5/8

4) (12/15).(3/8).(5/9) = Resp. 1/6 5) 7.(5/9).(3/10) = Resp. 7/6 6) 5.(3/7) = Resp. 15/7

7) (3/5).10 = Resp. 6 8) (2/9).(3/8) = Resp. 1/12 9) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼

10) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 1 11) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10

12) 4.(3/7).(14/9) – 3.(1/5).(10/21) = Resp. 50/21 13) (3/4).2.(5/6) – 3.(1/6) = Resp. ¾

14) 5.(1/15).(6/7) + (1/2).(1/3) = Resp, 19/42 15) (3/5).(5/6).3 – 6.(2/9).(1/2) = Resp. 5/6

EXERCÍCIOS :Efetue as operações indicadas:

1) 5.(3/7) = Resp. 15/7 2) (3/5).10 = Rersp. 30/5 ou 6 3) (2/9).(3/8) = Resp. 6/72 ou 1/12 4) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼ 5) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 1 6) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10

III) DIVISÃO

Obs. Ao dividirmos um número por uma fração, estamos querendo saber quantas vezes esta fração cabe neste número ou quantas desta fração são necessárias para compormos esse número.

A divisão entre dois números pode ser entendida como a multiplicação entre o primeiro número e o inverso do segundo. Apesar de que devemos também entender que quando escrevemos a : b, onde b não é zero, estamos perguntando ou querendo saber quantas grupos de b são necessários para formar o a, ou quantos b cabem em a. Logicamente, se b for maior que a, a : b terá um resultado menor que 1 ou seja a/b, que poderá ser representado exatamente ou aproximadamente, dependendo de cada caso, pelo número decimal que é o resultado da divisão (quociente) de a por b.

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(o elemento inverso de um número num certo conjunto em relação a uma determinada operação, é o elemento que operado com o seu direto tem como resultado o elemento neutro desta operação no referido conjunto).

( elemento neutro de uma operação num conjunto, é o elemento que ao ser operado com qualquer elemento do conjunto, tem como resultado este qualquer elemento).

Na adição de números reais, o elemento neutro é o zero, (para qualquer número x dos números reais, x + 0 = 0 + x = x), na multiplicação, o elemento neutro é o 1, ( para qualquer número x dos números reais, x.1 = 1.x = x)

Na adição de números reais, o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de um número a é o -a, pois a + (-a) = 0. E na multiplicação o inverso de a, a diferente de zero, é o número 1/ a.

Exemplos:

1) o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de 2 é o –2 e o do –2 é o 2. 2) o inverso multiplicativo ou simplesmente o inverso de 2 é ½ e o inverso de ½ é 2.

Número decimal é a representação de uma fração decimal(frações cujo denominador são resultados de potência de 10) através de numerais com virgulas.

Exemplos:

1) 1/10 = 0,1 (é lido como um décimo); 2/10 = 0,2 (é lido como dois décimos).

2) 1/100 = 0,01 (é lido como um centésimo); 3/100 = 0,03 (é lido como três centésimos); 37/100 = 0,37 (é lido como trinta e sete centésimos)

3) 1/1000 = 0,001 (é lido como um milésimo); 132/1000 = 0,132 (é lido como cento e trinta e dois milésimos)

4) 1/10000 = 0,0001 ( é lido como um décimo milésimo); 23/10000 = 0,0023 ( é lido como vinte e três décimos milésimos). E assim sucessivamente.

Como transformar uma fração qualquer em número decimal?Para podermos transformar uma fração a/b em número decimal, basta efetuar a divisão

de a por b, divisão esta feita manualmente ou através de uma calculadora.Como nem sempre é possível fazer esta representação exata porque nem sempre as

divisões são exatas, devemos ter uma regra de aproximação em conjunto com o número de casas após a virgula que podemos considerar.(o número de casas após a virgula depende do fenômeno e dos materiais de medidas envolvidos no problema a ser estudado).

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Exemplo: 2/7 de um metro, medido com uma régua comum escolar = 0,2857...~0,286 metros, pois na régua, só conseguimos observar com precisão até milímetros.

As operações entre números decimais, tem na:Adição ( soma e subtração ) como característica principal, deixar virgula em baixo de

virgula nas operações realizadas na vertical. Exemplo: 2,0154 + 0,004376 = 2,019776, pois

2,0154 + 0,004376 _________ 2,019776

Na multiplicação, faz-se a operação normal com os números formados com os dígitos significativos e o produto final deve ter o número de casas após a virgula igual a soma do número de casas de cada um dos fatores que compõem a multiplicação, onde as últimas casas devem ser o número que é o resultado da multiplicação feita inicialmente.

Ex: 2,005x0,04 = 0,08020 2005x4 =8020 3 casas x 2 casas = resultado com 3 + 2 casas = 5 casasObs. Nesta operação, o resultado 0,08020 poderá ser representado por 0,082 pois, após

a virgula e após o último dígito significativo (diferente de zero) a colocação ou não de zeros, não altera o número e na maioria dos casos, os zeros aparecem para indicar a precisão das medidas que estamos usando.

Na divisão, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um acompanhado de tantos zeros quantos forem as casas após a virgula do número que tem maior número de casas após a virgula e efetuar a operação com os resultados.

Exemplo: 0,0125 : 0,00025. Vejam que o dividendo tem 4 casas após a virgula e o divisor tem 5, portanto vamos multiplicar cada um por 100000

0,0125 x 100000 = (125/10000) x 100000 = 125 x 10 = 12500,00025 x 100000 = (25/100000) x 100000 = 25, logo:0,0125 : 0,00025 = 1250 : 25 = 50. Exemplos de divisão:

1) A metade de 6/7 é o mesmo que (6/7) / 2 = (6/7).(1/2) = 6/14 = 3/7(figura)2) A terça parte de 5/8 é o mesmo que (5/8) / 3 = (5/8).(1/3) = 5/24(figura)Obs. : Não se esqueçam que “metade de” é o mesmo que “½ de”. A “terça parte de” é o

mesmo que “1/3 de”. E que a metade é obtida dividindo-se o valor desejado por 2; a terça parte é obtida dividindo-se o valor por 3.

3) Dividir 2/5 por 3/7 = (2/5)/(3/7) = (2/5).(7/3) = (2.7)/(5.3) = 14/15. (figura)

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Neste caso, podemos também entender como: “quantos 3/7 tem em 2/5., pois não devemos esquecer que nos números inteiros, quando estamos dividindo 12 por 3, também estamos verificando, quantos grupos de 3 tem em 12, ou quantos grupos de 3 elementos são necessários para se ter um total de 12 elementos.

3) Dividir 12/5 por 3/5 é o mesmo que verificar quantos 3/5 tem 12/5 que é o mesmo que (12/5)/(3/5) = (12/5).(5/3) = 60/15 = 4.

(figura)

Obs. Vejam que nestes dois últimos exemplos, um tem como resultado uma fração e o outro, um número inteiro. Isto significa que 3/7 é uma fração não inteira de 2/5, enquanto que temos exatamente quatro 3/5 formando 12/5.(mostrar com figuras)

EXERCÍCIO:

Efetue as seguintes operações e simplifique a fração resposta o máximo possível:

1) 5 : (3/4) = Resp. 20/3 2) (5/6) : 5 = Resp. 1/6 3) (3/5) : (4/15) = Resp. 9/4

4) (10/9) : (20/21) = Resp. 7/6 5) (3/5 + 2/3):( 2/5): (4/5) = Resp. 95/24

2/3 + (2/5):(6/10) : (1/3 + 2/5):(11/20) : 2.(1/3) + (4/7).(3/5) = Resp.315/424

Porcentagem, Regra de três Simples e compostas

Porcentagem = Por cento = em cada 100 = uma quantidade relativa a 100.A porcentagem, é uma representação de uma parte com o todo onde sempre consideramos o todo como 100, portanto podemos dizer que seria uma fração representada por uma fração decimal(centesimal) equivalente. Logo, podemos fazer esta mudança de representação usando as proporções, pois as frações (original) e (centesimal) são equivalentes.Exemplo: 2/5 = 2 em cada 5, poderá ser representada pela equivalente 40/100 = 40 em cada 100.

A regra de três simples, nada mais é que um algoritmo usado para calcular a quarta proporcional, isto é: Temos uma razão (composta de 2 numerais) e um valor da outra razão equivalente e queremos calcular o outro valor desta segunda razão. E para tal, usamos a propriedade fundamental das proporções: o produto entre os extremos é igual ao produto entre os meios. (Na formação da proporção através de frações, nos dá a visão de multiplicação em cruz) Exemplo: 2/3 = 4/x . Como 2 e x são os extremos e 3 e 4 são os meios, temos 2.x = 3.4, ou 2x = 12, ou x = 6.

Divisão proporcional

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Nas divisões proporcionais, temos dois tipos:

I) Divisão diretamente proporcional.Nesta divisão estamos estudando a divisão de um valor em cotas e quanto maior for a quantidade de cotas, maior será o rateio da divisão. Vejamos uma situação onde a divisão é diretamente proporcional.Numa sociedade entre três amigos, André, Carlos e Luiz, as cotas de sociedade são 2, 4 e 5 respectivamente, ao dividirem um lucro de R$ 20900,00, diretamente proporcional às cotas, André recebe x, Carlos y e Luiz z. Então temos:

, com x + y + z = 20900. Vejam que o total de cotas é 2 + 4 + 5 = 11.

Se dividirmos 22000 por 11, saberemos de quanto é cada cota, isto é: 1900, logo:André recebe 2x1900 = 3800Carlos recebe 4x1900 = 7600 eLuiz recebe 5x1900 = 9500.

Matematicamente, temos , mas que

significa:

→ x = 3800, → y = 7600 e → z = 9500

II) Divisão inversamente proporcional.

Como o próprio nome diz, a divisão é inversamente proporcional. Na divisão de cotas, quem tem mais cotas, tem o valor menor. No exemplo anterior, nesta divisão o valor a receber multiplicado pela cota é constante, isto é 2x = 4y = 5z, pois na inversamente proporcional a 2, 4 e 5, teremos diretamente proporcional ao inverso de cada quantidade de

cota. que ao efetuarmos cada uma das divisões temos

= ou seja 2x = 4y = 5z = .

Como x + y + z = 20900, ficamos com 2x = 4y = 5z = ou 22000, logo

2x = 22000 → x = 110004y = 22000 → y = 55005z = 22000 → z = 4400

Na prática, podemos achar as frações equivalentes a , e que são , e e

fazermos a divisão diretamente proporcional aos novos numeradores, isto é diretamente proporcionais a 10, 5 e 4.

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Neste caso seria como André tivesse 10 cotas, Carlos 5 e Luiz 4, num total de 19 cotas.Ao dividirmos 20900 por 19, temos 1100, com isso, André = 10x1100 = 11000Carlos = 5x1100 = 5500 e Luiz = 4x1100 = 4400.

Exercícios:

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