free-algebra functors as coalgebraic signatures
TRANSCRIPT
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Fuctor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Functor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
Automata๐ set of states,
ฮฃ input alphabet
โข Acceptor:
โข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ ๐
โข ๐ โ ๐
+,-
1
0
0,1
1
+,-,0,10
+,-
๐ 3
๐ 4๐ 0 ๐ 2
๐ 1
+,-
ฮฃ = {0,1, +, โ}
+,-,0,1
e.g.-1011 accepted
+0110 not accepted
Automata๐ set of states,
ฮฃ input alphabet
โข Acceptor:
โข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ ๐
โข ๐ โ ๐
+,-
1
0
0,1
1
+,-,0,10
+,-
๐ 3
๐ 4๐ 0 ๐ 2
๐ 1
๐
๐ฮฃ
+,-
ฮฃ = {0,1, +, โ}
+,-,0,1
e.g.-1011 accepted
+0110 not accepted
Automata๐ set of states,
ฮฃ input alphabet
โข Acceptor:
โข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ ๐
โข ๐ โ ๐
+,-
1
0
0,1
1
+,-,0,10
+,-
๐ 3
๐ 4๐ 0 ๐ 2
๐ 1
๐ ๐
๐ฮฃ 2
+,-
ฮฃ = {0,1, +, โ}
+,-,0,1
e.g.-1011 accepted
+0110 not accepted
Automata๐ set of states,
ฮฃ input alphabet
โข Acceptor:
โข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ ๐
โข ๐ โ ๐
+,-
1
0
0,1
1
+,-,0,10
+,-
๐ 3
๐ 4๐ 0 ๐ 2
๐ 1
๐
๐ฮฃ ร 2
+,-
ฮฃ = {0,1, +, โ}
+,-,0,1
e.g.-1011 accepted
+0110 not accepted
Nondeterminism
โข NFAโข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ โ(๐)
โข ๐ โ ๐
a a
a, b
b b
ba
b
a
๐ 0
๐ 2
๐ 1 ๐ 5๐ 3 ๐ 4
Nondeterminism
โข NFAโข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ โ(๐)
โข ๐ โ ๐
a a
a, b
b b
ba
b
a
๐
โ(๐)ฮฃ
๐ 0
๐ 2
๐ 1 ๐ 5๐ 3 ๐ 4
Nondeterminism
โข NFAโข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ โ(๐)
โข ๐ โ ๐
a a
a, b
b b
ba
b
a
๐
โ(๐)ฮฃ ร 2
๐ 0
๐ 2
๐ 1 ๐ 5๐ 3 ๐ 4
Nondeterminism
โข NFAโข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ โ(๐)
โข ๐ โ ๐
โข Kripke structureโข ๐ โ ๐ ร ๐
โข ๐ฃ โถ ๐ โ โ(๐ถ)
a a
a, b
b b
ba
b
a
๐
โ(๐)ฮฃ ร 2
๐ 0
๐ 2
๐ 1 ๐ 5๐ 3 ๐ 4
๐๐๐๐๐๐ข๐
๐ ๐ก๐๐๐๐๐
๐
โ(๐) ร โ(๐ถ)
Nondeterminism
โข NFAโข ๐ฟ: ๐ ร ฮฃ โ โ(๐)
โข ๐ โ ๐
โข Kripke structureโข ๐ โ ๐ ร ๐
โข ๐ฃ โถ ๐ โ โ(๐ถ)
a a
a, b
b b
ba
b
a
๐
โ(๐)ฮฃ ร 2
๐ 0
๐ 2
๐ 1 ๐ 5๐ 3 ๐ 4
๐๐๐๐๐๐ข๐
๐ ๐ก๐๐๐๐๐
Probabilistic
โข Probabilistic systems
โข ๐ฟ: ๐ ร ๐ โ 0,1 โ
โข ฯ๐ฅโ๐ ๐ฟ ๐ , ๐ฅ = 1
1/2
1/3
1/6
1/2 1/2
3/4
1/4
1/2
1/2
1๐ 0
๐ 1
๐ 2
๐ 3
๐ 4
๐ 5
Probabilistic
โข Probabilistic systems
โข ๐ฟ: ๐ ร ๐ โ 0,1 โ
โข ฯ๐ฅโ๐ ๐ฟ ๐ , ๐ฅ = 1
1/2
1/3
1/6
1/2 1/2
3/4
1/4
1/2
1/2
1
๐
๐ป(๐)๐ 0
๐ 1
๐ 2
๐ 3
๐ 4
๐ 5
Higher order
โข Neighbourhood structure
โข ๐ โ ๐ ร 2๐
โข ๐: ๐ โ โ(๐ถ)
๐
22๐ร โ(๐ถ)
Higher order
โข Neighbourhood structure
โข ๐ โ ๐ ร 2๐
โข ๐: ๐ โ โ(๐ถ)
โข Topological space
โข ๐ โ โ โ ๐โข closed under
โข unionsโข finite intersections
๐
22๐ร โ(๐ถ)
Higher order
โข Neighbourhood structure
โข ๐ โ ๐ ร 2๐
โข ๐: ๐ โ โ(๐ถ)
โข Topological space
โข ๐ โ โ โ ๐โข closed under
โข unionsโข finite intersections
๐
22๐ร โ(๐ถ)
๐
๐ฝ๐๐(๐)
Coalgebras and Algebras
โข Set functors fix the โsignatureโ of coalgebras
๐
๐ฮฃ ร 2
๐
โ(๐)ฮฃ ร 2
๐
๐ป(๐)
๐
22๐ร โ(๐ถ)
๐
๐ฝ๐๐(๐)
๐
๐น(๐)
๐ผ
Coalgebras and Algebras
โข Set functors fix the โsignatureโ of coalgebras
โข Algebras are upside-down coalgebras
๐
๐น(๐)
๐ผ
๐น(๐ด)
๐ด
๐ผ๐ด ร ๐ด
๐ด
๐ด2 + ๐ด2
๐ด
๐ด2 + ๐ด + 1
๐ด
โ(๐ด)
๐ด
โฏ
๐
๐ฮฃ ร 2
๐
โ(๐)ฮฃ ร 2
๐
๐ป(๐)
๐
22๐ร โ(๐ถ)
๐
๐ฝ๐๐(๐)
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Fuctor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
Functors
โข ๐น ๐ a โnatural set theoretical constructionโ
โข ๐น should be a functor:โข for each ๐ construct new set ๐น(๐)
โข for each ๐: ๐ โ ๐ provide map ๐น๐: ๐น ๐ โ ๐น(๐)
such that
โข ๐น ๐ โ ๐ = ๐น๐ โ ๐น๐
โข ๐น ๐๐๐ด = ๐๐๐น ๐ด
๐
๐น(๐)
๐ผ
Functors and Coalgebras
โข ๐น ๐ a โnatural set theoretical constructionโ
โข ๐น should be a functor:โข for each ๐ construct new set ๐น(๐)
โข for each ๐: ๐ โ ๐ provide map ๐น๐: ๐น ๐ โ ๐น(๐)
such that
โข ๐น ๐ โ ๐ = ๐น๐ โ ๐น๐
โข ๐น ๐๐๐ด = ๐๐๐น ๐ด
๐
๐น(๐)
๐ผ
๐น-coalgebra
๐น-coalgebras and homomorphisms
๐ต๐ด
๐น(๐ด) ๐น(๐ต)
๐ผ ๐ฝ
๐
๐น๐
Homomorphism
๐น-coalgebras and homomorphisms
๐ต ๐ถ๐ด
๐น(๐ด) ๐น(๐ต) ๐น(๐ถ)
๐ผ ๐ฝ ๐พ
๐
๐น๐
Homomorphisms compose
๐น-coalgebras and homomorphisms
๐ต ๐ถ๐ด
๐น(๐ด) ๐น(๐ต) ๐น(๐ถ)
๐ผ ๐ฝ ๐พ
๐ ๐
๐น๐ ๐น๐
Homomorphisms compose
๐น-coalgebras and homomorphisms
๐ต ๐ถ๐ด
๐น(๐ด) ๐น(๐ต) ๐น(๐ถ)
๐ผ ๐ฝ ๐พ
๐ ๐
๐ โ ๐
๐น๐ ๐น๐
Homomorphisms compose
๐น-coalgebras and homomorphisms
๐ต ๐ถ๐ด
๐น(๐ด) ๐น(๐ต) ๐น(๐ถ)
๐ผ ๐ฝ ๐พ
๐ ๐
๐ โ ๐
๐น(๐ โ ๐)
๐น๐ ๐น๐
Homomorphisms compose ๐น ๐ โ ๐ = ๐น๐ โ ๐น๐
๐๐๐ก๐น
โข ๐น-coalgebras form a category ๐๐๐ก๐น
โข Homomorphism theorems
โข Substructures, quotients, congruences, โฆ
โข Co-equations, Co-Birkhoff
โข Modal logic
โข โฆ
โข Properties of ๐น determine structure of ๐๐๐ก๐น- weak pullback preservation
๐
๐น(๐)
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Fuctor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
A C
P B
f
g
๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
A C
P B
f
g๐1
๐2๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
A C
P B
f
g
Q
๐1
๐2๐ ๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
A C
P B
f
g
Q
๐1
๐2
๐1
๐1
๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
A C
P B
f
g
Q
๐1
๐2
๐1
๐1
๐ ๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
โข apply ๐น
A C
P B
F(A) F(C)
F(P) F(B)
f
g
Ff
Fg
๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
F weakly preserves pullbacks
โข (Weak) pullback
โข apply ๐น
Is this a weak pullback diagram?
A C
P B
F(A) F(C)
F(P) F(B)
f
g
Ff
Fg
๐ = { ๐, ๐ โ ๐ด ร ๐ต โฃ ๐ ๐ = ๐ ๐ }
Observational equivalence
๐๐ต ๐ถ
๐น(๐ด)
๐น(๐ต)
๐ ๐ด
๐น(๐ถ)
๐Observationalequivalence โฆ
๐น(๐)
Observational equivalence
๐๐ต ๐ถ
๐น(๐ด)
๐น(๐ต)
๐ ๐ด
๐น(๐ถ)
๐Observationalequivalence โฆ
๐น(๐)
F weakly preserves pullbacks
๐๐ต ๐ถ
๐น(๐ด)
๐น(๐ต)
๐ ๐ด
๐น(๐ถ)
๐Observationalequivalence โฆ
๐น(๐)
Bisimilarity
๐๐ต ๐ถ
๐น(๐ด)
๐น(๐ต)
๐ ๐ด
๐น(๐ถ)
๐Observationalequivalence โฆ
โฆ is bisimilarity
Weak pullback preservation
โข ๐น weakly preserves pullbacks, iff ๐น preservesโข kernel pairsโข and preimages
โข ๐น weakly preserves kernel pairs, โข iff congruences are bisimulationsโข iff observational equivalence = bisimilarity
๐ ๐
ker(๐) ๐
๐
๐
Weak pullback preservation
โข ๐น weakly preserves pullbacks, iff ๐น preservesโข kernel pairsโข and preimages
โข ๐น weakly preserves kernel pairs, โข iff congruences are bisimulationsโข iff observational equivalence = bisimilarity
โข ๐น weakly preserves preimagesโข iff homomorphisms ๐: ๐ด โ ๐ต + ๐ถ split domainโข iff ๐ป๐(๐) = ๐๐ป(๐), for any class ๐
(provided |๐น 1 | > 1 )
๐ ๐
ker(๐) ๐
๐
๐
๐ ๐
๐โ1 ๐ ๐
๐
๐
Weak pullback preservation
โข ๐น weakly preserves pullbacks, iff ๐น preservesโข kernel pairsโข and preimages
โข ๐น weakly preserves kernel pairs, โข iff ๐น preserves pullbacks of episโข iff observational equivalence = bisimilarity
๐ ๐
ker(๐) ๐
๐
๐
Weak pullback preservation
โข ๐น weakly preserves pullbacks, iff ๐น preservesโข kernel pairsโข and preimages
โข ๐น weakly preserves kernel pairs, โข iff ๐น preserves pullbacks of episโข iff observational equivalence = bisimilarity
โข ๐น weakly preserves preimagesโข iff ๐ป๐(๐) = ๐๐ป(๐), for any class ๐
(provided |๐น 1 | > 1 )
๐ ๐
ker(๐) ๐
๐
๐
๐ ๐
๐โ1 ๐ ๐
๐
๐
Functors weakly preserving special pullbacks
โข all pullbacksโข ๐น ๐ = โฆ ๐, ๐๐, ฮฃ๐โ๐ผ๐
๐๐ , โ ๐ , โ๐ ๐ , ๐ฝ(๐), ๐ท๐ , โฆ
Functors weakly preserving special pullbacks
โข all pullbacksโข ๐น ๐ = โฆ ๐, ๐๐, ฮฃ๐โ๐ผ๐
๐๐ , โ ๐ , โ๐ ๐ , ๐ฝ(๐), ๐ท๐ , โฆ
โข preimagesโข ๐น ๐ = โฆ โ<๐ ๐ , ๐2
3 , ๐ฟ๐ , โฆ
โข kernel pairs
โข ๐น ๐ = โฆ 22๐, ๐2 โ ๐ + 1, ๐๐๐(๐),โฆ
๐ ๐
๐โ1 ๐ ๐
๐
๐
Functors weakly preserving special pullbacks
โข all pullbacksโข ๐น ๐ = โฆ ๐, ๐๐, ฮฃ๐โ๐ผ๐
๐๐ , โ ๐ , โ๐ ๐ , ๐ฝ(๐), ๐ท๐ , โฆ
โข preimagesโข ๐น ๐ = โฆ โ<๐ ๐ , ๐2
3 , ๐ฟ๐ , โฆ
โข kernel pairs
โข ๐น ๐ = โฆ 22๐, ๐2 โ ๐ + 1, ๐๐๐ ๐ ,โฆ ๐ ๐
ker(๐) ๐
๐
๐
๐ ๐
๐โ1 ๐ ๐
๐
๐
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Functor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
Parameterizing functors by algebras
โข Let ๐น๐ depend on some algebra ๐
โข Choose ๐ so that ๐น๐ has desirable properties, e.g. (weakly) preserves
โข kernel pairs
โข preimages
โข pullbacks
๐ฟ-fuzzy functor
1. Generalize โ ๐ = 2๐
โข Replace 2 = {0,1} by a complete lattice ๐ฟ
โข on objects: ๐ฟ๐
โข on maps ๐: ๐ โ ๐:
๐ฟ๐ ๐ (๐ฆ):= แง
๐ ๐ฅ =๐ฆ
๐(๐ฅ)
For ๐ โ ๐ put ๐๐ ๐ฅ = แ1, ๐ฅ โ ๐0, ๐ฅ โ ๐
๐ฟ-fuzzy functor
1. Generalize โ ๐ = ๐๐
โข Replace 2 = {0,1} by a complete lattice ๐ฟ
โข on objects: ๐ฟ๐
โข on maps ๐: ๐ โ ๐:
๐ฟ๐ ๐ (๐ฆ):= แง
๐ ๐ฅ =๐ฆ
๐(๐ฅ)
โข ๐ฟ(โ) always preserves preimages
For ๐ โ ๐ put ๐๐ ๐ฅ = แ1, ๐ฅ โ ๐0, ๐ฅ โ ๐
๐ฟ-fuzzy functor
1. Generalize โ ๐ = ๐๐
โข Replace 2 = {0,1} by a complete lattice ๐ฟ
โข on objects: ๐ฟ๐
โข on maps ๐: ๐ โ ๐:
๐ฟ๐ ๐ (๐ฆ):= แง
๐ ๐ฅ =๐ฆ
๐(๐ฅ)
โข ๐ฟ(โ) always preserves preimages
โข ๐ฟ(โ) weakly preserves kernel pairs iff ๐ฟ is JID
๐ฅ โง โ ๐ฅ๐ ๐ โ ๐ผ = โ{๐ฅ โง ๐ฅ๐ โฃ ๐ โ ๐ผ}
โฏ๐ฅ๐ ๐ฅ๐
๐ฅ
For ๐ โ ๐ put ๐๐ ๐ฅ = แ1, ๐ฅ โ ๐0, ๐ฅ โ ๐
๐ฟ-fuzzy functor
1. Generalize โ ๐ = ๐๐
โข Replace 2 = {0,1} by a complete lattice ๐ฟ
โข on objects: ๐ฟ๐
โข on maps ๐: ๐ โ ๐:
๐ฟ๐ ๐ (๐ฆ):= แง
๐ ๐ฅ =๐ฆ
๐(๐ฅ)
โข ๐ฟ(โ) always preserves preimages
โข ๐ฟ(โ) weakly preserves kernel pairs iff ๐ฟ is JID
๐ฅ โง โ ๐ฅ๐ ๐ โ ๐ผ = โ{๐ฅ โง ๐ฅ๐ โฃ ๐ โ ๐ผ}
โฏ๐ฅ๐ ๐ฅ๐
๐ฅ
For ๐ โ ๐ put ๐๐ ๐ฅ = แ1, ๐ฅ โ ๐0, ๐ฅ โ ๐
๐ฟ-fuzzy functor
1. Generalize โ ๐ = ๐๐
โข Replace 2 = {0,1} by a complete lattice ๐ฟ
โข on objects: ๐ฟ๐
โข on maps ๐: ๐ โ ๐:
๐ฟ๐ ๐ (๐ฆ):= แง
๐ ๐ฅ =๐ฆ
๐(๐ฅ)
โข ๐ฟ(โ) always preserves preimages
โข ๐ฟ(โ) weakly preserves kernel pairs iff ๐ฟ is JID
๐ฅ โง โ ๐ฅ๐ ๐ โ ๐ผ = โ{๐ฅ โง ๐ฅ๐ โฃ ๐ โ ๐ผ}
โฏ๐ฅ๐ ๐ฅ๐
๐ฅ
โฏ
For ๐ โ ๐ put ๐๐ ๐ฅ = แ1, ๐ฅ โ ๐0, ๐ฅ โ ๐
๐ฟ-fuzzy functor
1. Generalize โ ๐ = ๐๐
โข Replace 2 = {0,1} by a complete lattice ๐ฟ
โข on objects: ๐ฟ๐
โข on maps ๐: ๐ โ ๐:
๐ฟ๐ ๐ (๐ฆ):= แง
๐ ๐ฅ =๐ฆ
๐(๐ฅ)
โข ๐ฟ(โ) always preserves preimages
โข ๐ฟ(โ) weakly preserves kernel pairs iff ๐ฟ is JID
๐ฅ โง โ ๐ฅ๐ ๐ โ ๐ผ = โ{๐ฅ โง ๐ฅ๐ โฃ ๐ โ ๐ผ}
โฏ๐ฅ๐ ๐ฅ๐
๐ฅ
โฏ
For ๐ โ ๐ put ๐๐ ๐ฅ = แ1, ๐ฅ โ ๐0, ๐ฅ โ ๐
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
โข The functor ๐๐(โ)
(weakly) preserves
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
โข The functor ๐๐(โ)
(weakly) preserves
โข preimages iff ๐ is positive
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
โข The functor ๐๐(โ)
(weakly) preserves
โข preimages iff ๐ is positive
positive: ๐ฅ + ๐ฆ = 0 โ ๐ฅ = 0
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
โข The functor ๐๐(โ)
(weakly) preserves
โข preimages iff ๐ is positive
โข kernel pairs iff ๐ is refinable
positive: ๐ฅ + ๐ฆ = 0 โ ๐ฅ = 0
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
โข The functor ๐๐(โ)
(weakly) preserves
โข preimages iff ๐ is positive
โข kernel pairs iff ๐ is refinable
refinable:๐ฅ1 + ๐ฅ2 = ๐ฆ1 + ๐ฆ2 โ
๐ฅ1๐ฅ2
๐ฆ1 ๐ฆ2 =
positive: ๐ฅ + ๐ฆ = 0 โ ๐ฅ = 0
Finite ๐-bags
2. Generalize โ๐(๐)
โข Replace boolean algebra ๐ by a commutative monoid๐ = (๐,+, 0)
โข on objects: ๐๐๐ = {๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โฃ ๐ โ โ,๐๐ โ ๐. ๐ฅ๐ โ ๐}
โข on maps ๐: ๐ โ ๐: ๐๐๐๐1๐ฅ1 +โฏ๐๐๐ฅ๐ โถ= ๐1๐๐ฅ1 +โฏ๐๐๐๐ฅ๐
โข The functor ๐๐(โ)
(weakly) preserves
โข preimages iff ๐ is positive
โข kernel pairs iff ๐ is refinable
positive: ๐ฅ + ๐ฆ = 0 โ ๐ฅ = 0
refinable:๐ฅ1 + ๐ฅ2 = ๐ฆ1 + ๐ฆ2 โ
๐ ๐ ๐ฅ1๐ ๐ ๐ฅ2๐ฆ1 ๐ฆ2 =
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Functor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
Properties of ๐นฮฃ(๐)
๐นฮฃ ๐ ๐
๐
๐
โ ! เดค๐
โข Suppose ๐ satisfies the equations ฮฃ
โข Each map ๐:๐ โ ๐ด has unique homomorphic extension
เดค๐: ๐นฮฃ ๐ โ ๐
Properties of ๐นฮฃ(๐)
๐นฮฃ ๐ ๐
๐
๐
โ ! เดค๐
โข Suppose ๐ satisfies the equations ฮฃ
โข Each map ๐:๐ โ ๐ด has unique homomorphic extension
เดค๐: ๐นฮฃ ๐ โ ๐
โข เดค๐ ๐ก ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ก๐ด(๐๐ฅ1, โฆ , ๐๐ฅ๐)
Properties of ๐นฮฃ(๐)
๐นฮฃ ๐ ๐นฮฃ ๐
๐ ๐๐
?
โข Suppose ๐ satisfies the equations ฮฃ
โข Each map ๐:๐ โ ๐ด has unique homomorphic extension
เดค๐: ๐นฮฃ ๐ โ ๐
โข เดค๐ ๐ก ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ก๐ด(๐๐ฅ1, โฆ , ๐๐ฅ๐)
โข ๐นฮฃ(โ) is a ๐๐๐ก-functor
Properties of ๐นฮฃ(๐)
๐นฮฃ ๐ ๐นฮฃ ๐
๐ ๐
๐๐
๐
?
โข Suppose ๐ satisfies the equations ฮฃ
โข Each map ๐:๐ โ ๐ด has unique homomorphic extension
เดค๐: ๐นฮฃ ๐ โ ๐
โข เดค๐ ๐ก ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ก๐ด(๐๐ฅ1, โฆ , ๐๐ฅ๐)
โข ๐นฮฃ(โ) is a ๐๐๐ก-functor
Properties of ๐นฮฃ(๐)
๐นฮฃ ๐ ๐นฮฃ ๐
๐ ๐
๐๐
๐
๐โฒ
โข Suppose ๐ satisfies the equations ฮฃ
โข Each map ๐:๐ โ ๐ด has unique homomorphic extension
เดค๐: ๐นฮฃ ๐ โ ๐
โข เดค๐ ๐ก ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ก๐ด(๐๐ฅ1, โฆ , ๐๐ฅ๐)
โข ๐นฮฃ(โ) is a ๐๐๐ก-functor
Properties of ๐นฮฃ(๐)
โข Suppose ๐ satisfies the equations ฮฃ
โข Each map ๐:๐ โ ๐ด has unique homomorphic extension
เดค๐: ๐นฮฃ ๐ โ ๐
โข เดค๐ ๐ก ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ก๐ด(๐๐ฅ1, โฆ , ๐๐ฅ๐)
โข ๐นฮฃ(โ) is a ๐๐๐ก-functor
๐นฮฃ ๐ ๐นฮฃ ๐
๐ ๐
๐๐
๐นฮฃ๐ โถ= เดฅ๐โฒ
๐
๐โฒ
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Functor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
Independence
โข ๐(๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐) weakly independent of ๐ฅ if
๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐(๐ฆ) where ๐ฅ โ ๐ฆ
Independence
โข ๐(๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐) weakly independent of ๐ฅ if
๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐(๐ฆ) where ๐ฅ โ ๐ฆ
โข ๐(๐ฅ, ๐ง1 , โฆ , ๐ง๐) independent of ๐ฅ, if
๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐) where ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ mutually different
Independence
โข ๐(๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐) weakly independent of ๐ฅ if
๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐(๐ฆ) where ๐ฅ โ ๐ฆ
โข ๐(๐ฅ, ๐ง1 , โฆ , ๐ง๐) independent of ๐ฅ, if
๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐) where ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ mutually different
Derivative of ฮฃ:
ฮฃโฒ โ {๐ ๐ฅ, ิฆ๐ง โ ๐ ๐ฆ, ิฆ๐ง โฃ ๐ ๐ฅ, ิฆ๐ฃ weakly independent of ๐ฅ}
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐ ๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ เดค๐โ1 (๐นฮฃ ๐ฆ )
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ เดค๐โ1 (๐นฮฃ ๐ฆ )= ๐นฮฃ(๐
โ1 ๐ฆ )
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ เดค๐โ1 (๐นฮฃ ๐ฆ )= ๐นฮฃ(๐
โ1 ๐ฆ )โ ๐นฮฃ( ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ )
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ เดค๐โ1 (๐นฮฃ ๐ฆ )= ๐นฮฃ(๐
โ1 ๐ฆ )โ ๐นฮฃ( ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ )
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ เดค๐โ1 (๐นฮฃ ๐ฆ )= ๐นฮฃ(๐
โ1 ๐ฆ )โ ๐นฮฃ( ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ )
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐ฆ โข ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐
๐ฅ โ ๐โ1 ๐ฆ ๐ฆ
เดค๐๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐๐ฅ, ๐๐ง1, โฆ , ๐๐ง๐โ ๐ ๐ฅ, ๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐โ ๐ ๐ฆ โ ๐นฮฃ ๐ฆ
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ เดค๐โ1 (๐นฮฃ ๐ฆ )= ๐นฮฃ(๐
โ1 ๐ฆ )โ ๐นฮฃ( ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ )
โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐ ๐ฅ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐ โ ๐(๐ฆ, ๐ง1, โฆ , ๐ง๐)
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐ ๐
๐ ๐
๐๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐ โช ๐ {๐ฅ, ๐ฆ}
๐ {๐ฆ}
๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ = เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ = เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ = เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ = เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โโโโ
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โโโ
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โโ
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ โฏโ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ง๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm.: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ โฏโ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ง๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐ โ ๐ ๐ฆ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐
เดค๐
Preservation of preimages
โข Thm: ๐นฮฃ โ preserves preimages iff ฮฃ โข ฮฃโฒ
โข Proof(โ) Enough to consider classifying preimages
๐นฮฃ ๐ โช ๐ ๐นฮฃ({๐ฅ, ๐ฆ})
๐นฮฃ(๐) ๐นฮฃ({๐ฆ})
Given ๐ โ ๐นฮฃ(๐ โช ๐) with เดค๐๐ โ ๐นฮฃ ๐ฆ show ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐๐ ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐= ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ โ ๐(๐ฆ)
๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐โ โฏโ ๐ ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ง๐, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐ โ ๐ ๐ฆ, ๐ฆ, โฆ , ๐ฆ, ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐ โ ๐นฮฃ(๐)
เดค๐
IntroState based systemsFunctors and Coalgebras
Functor propertiesWeak Pullback PreservationFunctors parameterized by algebras
Free-algebra functorPreimage preservationWeak kernel preservation
Conclusion- and Breaking News
Malโcev term
โข Variety ๐ฑ(ฮฃ) = all algebras satisfying ฮฃ
โข Malโcev variety โถโ โ๐.
๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
ะ. ะ. ะะฐะปััะตะฒ1909-1967
Malโcev term
โข Variety ๐ฑ(ฮฃ) = all algebras satisfying ฮฃ
โข Malโcev variety โถโ โ๐.
๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
ะ. ะ. ะะฐะปััะตะฒ1909-1967
Groups:๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐ฆโ1 โ ๐ง
Quasigroups: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = (๐ฅ/(๐ฆ\y)) โ (๐ฆ\๐ง)
Rings: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง
โฆ
Malโcev term
โข Variety ๐ฑ(ฮฃ) = all algebras satisfying ฮฃ
โข Malโcev variety โถโ โ๐.
๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
โข ๐ โpermutable variety โถโ โ๐. โ๐1, โฆ ,๐๐ .
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
ะ. ะ. ะะฐะปััะตะฒ1909-1967
Groups:๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐ฆโ1 โ ๐ง
Quasigroups: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = (๐ฅ/(๐ฆ\y)) โ (๐ฆ\๐ง)
Rings: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง
โฆ
Malโcev term
โข Variety ๐ฑ(ฮฃ) = all algebras satisfying ฮฃ
โข Malโcev variety โถโ โ๐.
๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
โข ๐ โpermutable variety โถโ โ๐. โ๐1, โฆ ,๐๐ .
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
ะ. ะ. ะะฐะปััะตะฒ1909-1967
Groups:๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐ฆโ1 โ ๐ง
Quasigroups: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = (๐ฅ/(๐ฆ\y)) โ (๐ฆ\๐ง)
Rings: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง
โฆ
โฆ the above, and also โฆ
โข implication algebrasโข all congruence regular algebras
โฆ
When does ๐นฮฃ(โ) preserve kernel pairs
โข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
When does ๐นฮฃ(โ) preserve kernel pairs
โข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
When does ๐นฮฃ(โ) preserve kernel pairs
โข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
When does ๐นฮฃ(โ) preserve kernel pairs
โข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
When does ๐นฮฃ(โ) preserve kernel pairs
โข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
When does ๐นฮฃ(โ) preserve kernel pairs
โข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
Malโcev โ weak kernel preservationโข Thm: If ๐ฑ is Malโcev, then ๐นฮฃ โ weakly preserves kernel pairs
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐
๐๐ ๐
โน
๐ ๐, ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐ = ๐(๐, ๐, ๐)๐
๐
๐
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐
๐๐ ๐
โน
๐ ๐, ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐ = ๐(๐, ๐, ๐)๐
๐
๐
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐
๐๐ ๐
โน
๐ ๐, ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐ = ๐(๐, ๐, ๐)๐
๐๐
๐
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐
๐๐ ๐
โน
๐ ๐, ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐
๐ ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐ = ๐(๐, ๐, ๐)๐
๐๐
๐
๐
๐
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ+WKPโ
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ฆ= ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ= ๐๐+1(๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ= ๐๐+1(๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
๐-permutable + wkp โ Malโcev
โข Lemma: If ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs then for any terms ๐, ๐
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ โ โ ๐ .
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ (๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
โข Thm: Malโcev โ ๐ โpermutable + ๐นฮฃ weakly preserves kernel pairs
๐ฅ = ๐1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ ,โฏ
๐๐โ1 ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ)
๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐+2 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฏ
๐๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ
Proof โ :๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ง๐๐+1 ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ, ๐ง)
Conclusion
โข ๐นฮฃ preserves
โข preimages โ weak independence implies independence
โข kernel pairs โ ๐ฑ(ฮฃ) is Malโcevโ ( ๐-permutable โ Malโcev )
Open: โ ???
Distributive and modular varieties
โข If ๐น๐ฑ ๐ preserves kernel pairs then
โข ๐ฑ is congruence distributive iffโ๐ โ โ. โ๐.๐ is ๐โary majority term, i.e.
๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ = โฏ = ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฅ, โฆ , ๐ฅ = โฏ = ๐ ๐ฆ, ๐ฅ, โฆ , ๐ฅ = ๐ฅ
โข ๐ฑ is congruence modular iffโ๐ โ โ. โ๐. โ๐.
๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ = โฏ = ๐ ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฅ, โฆ , ๐ฅ = โฏ = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฅ, โฆ , ๐ฅ = ๐ฅ๐ ๐ฆ, ๐ฅ,โฆ , ๐ฅ = ๐ ๐ฅ, ๐ฅ, ๐ฆ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆ = ๐ฅ