función exponencial. · función exponencial. llamaremos función exponencial a toda función que...
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Función exponencial.
Llamaremos función exponencial a toda función que cumple:
Donde
La variable x se encuentra en el exponente de la potencia. Consideramos la base a >0 para que
la potencia siempre exista con exponente real y descartamos el valor a=1 para evitar la función
constante.
Dominio:
El dominio es el conjunto de los números reales, dado que no existe ninguna restricción
operatoria que impida elevar un número positivo a cualquier exponente.
Recorrido:
El recorrido es el conjunto de los reales positivos dado que la base es siempre un número
positivo.
Ejemplo:
Observa los dos bosquejos gráficos de las funciones
-3 0.125 8
-2 0.25 4
-1 0.5 2
0 1 1
1 2 0.5
2 4 0.25
3 8 0.125
Teniendo como guía el ejemplo:
Realiza una tabla de datos y
representa gráficamente las
funciones:
Crecimiento:
Como se puede apreciar en los bosquejos gráficos anteriores:
La función
Signo:
Como ya se mencionó anteriormente y además quedó evidenciado en las distintas
representaciones gráficas, el recorrido o conjunto imagen de la función exponencial es el de
los reales positivos, por lo tanto el signo de es siempre positivo. En consecuencia se
desprende que no tiene ceros o raíces.
Simetría:
Otro aspecto que podemos observar en los gráficos de las funciones exponenciales es su
simetría respecto al eje de ordenadas, cuando las funciones tienen bases inversas.
Aplicaciones
La función exponencial tiene un gran número de aplicaciones en la vida cotidiana en todo
aquello que tenga una variación proporcional, ya sea en aumento o descenso.
Por ejemplo en el estudio de aumento de poblaciones, cálculos financieros, depreciaciones,
desintegración de elementos radioactivos, etc
Veamos algunos ejemplos…
Una ciudad tiene actualmente 5000 habitantes y se sabe que su población aumenta
anualmente a una tasa del 8% anual. ¿Cuál será el número de habitantes dentro de 5 años?
Consideremos los datos que tenemos y tengamos en cuenta que pasaría luego de un año:
Datos:
En un año la población P sería un 8% superior a la actual, es decir:
Si se desea saber la población luego de dos años, debemos volver a aumentar la misma
proporción es decir un 8%, de esta forma:
Siguiendo este razonamiento podemos deducir que la población luego de 5 años es:
Si realizamos una tabla y representamos gráficamente los valores obtenidos podremos ver el
comportamiento de la función que modeliza este fenómeno.
[población (P), en función del tiempo (t)]
0 5000
1 5400
2 5832
3 6299
4 6802
5 7347
Ejemplo 2
Un determinado artículo cuyo valor inicial es $100, sufre un descuento del 10% mensual
durante 12 meses consecutivos. ¿Cuál es su valor final, luego de sufrir los distintos
descuentos? Realiza una tabla de valores y representa gráficamente.
Veamos los datos que tenemos:
t
0 100
1 90
2 81
3 72.9
4 65.6
5 59.0
6 53.0
7 47.8
8 43.0
9 38.7
10 34.8
11 31.4
12 28.2
Ejemplo 3
La población de bacterias (en miles) crece en sus primeras fases según la función
donde, t en días, es el tiempo transcurrido desde que se aisló la población.
a) ¿Cuál es la población inicial?
b) Realiza un gráfico para los primeros 5 días y representa gráficamente
a)
b)
t P(t)
1 60
2 72
3 86.4
4 103.68
5 124.4
Número
El número e es un irracional llamado también número de Euler en honor a Leonhard Euler, son
la base de los logaritmos neperianos, que veremos más adelante en el curso.
Su aproximación es:
El número se puede obtener mediante una aproximación de la sucesión
Es decir que
, veamos cómo nos acercamos al número
n
1 2,00000
2 2,25000
5 2,48832
10 2,59374
100 2,70481
1000 2,71692
10000 2,71815
100000 2,71827
El Número ees
La función exponencial
Observa los bosquejos gráficos de las funciones
Sus gráficos son simétricos respecto al eje de ordenadas, como ya habíamos observado que
ocurría cuando las funciones tenían bases inversas.
Si consideramos los segmentos verticales determinados por estas dos curvas, los puntos
medios de estos segmentos determinan una curva llamada catenaria.
La curva que observas en verde, recibe el nombre de catenaria y se puede definir como:
No confundir!!! La curva obtenida no es una parábola aunque se le parece bastante.
Si tomamos los extremos de una cadena y la dejamos colgar libremente, la curva que esta
forma es justamente una catenaria.
Esto ha permitido importantes aplicaciones en la arquitectura. Por ejemplo en el uso de arcos,
dado que por su forma se minimiza las tensiones distribuyendo mejor el peso en cada punto.
Observa la imagen.
Si tomamos los extremos de una cadena y
la dejamos colgar libremente, la curva que
esta forma es justamente una catenaria.