Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

351

1199 Función lineal, una propuesta diferente

Silvia Viviana Altman

Claudia Rita Comparatore

Liliana Edith Kurzrok

����

Resumen

Presentamos una secuencia, dirigida a alumnos de entre 13 y 15

años en la cual, a partir de una situación concreta y por medio de la ex-

perimentación, los alumnos logran descubrir los alcances de la modeli-

zación y las condiciones necesarias para poder utilizar el modelo lineal.

Este objetivo se logra a partir de seleccionar cuáles son las variables que

deberán estudiar, cuáles son las relaciones que verifican esas variables,

operar con ellas y reinsertar los resultados en el problema que dio origen

a la situación.

Se hace posible así que el alumno descubra la Matemática como

una herramienta útil para interpretar y analizar fenómenos y situaciones

de diversa naturaleza.

Introducción

La fundamentación de los Contenidos Básicos Comunes del

área de Matemática, subraya la necesidad de garantizar que los concep-

tos matemáticos cobren sentido para el alumno. Entendemos por sentido

de un concepto el conjunto de problemas, propiedades, procedimientos

y formas de representación asociados al mismo. Brousseau (1983) in-

cluye también en el sentido “el conjunto de concepciones que el con-

cepto rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de for-

mulaciones que retoma, etc.”

Capítulo 19 352

Coincidimos con la posición que señala que uno de los objetivos

centrales de la enseñanza de la Matemática en la escuela es hacer posi-

ble que el alumno descubra la Matemática como una herramienta útil

para interpretar y analizar fenómenos y situaciones de diversa naturale-

za. En tanto esta postura instala en el ámbito escolar la elaboración de

conceptos como instrumentos apropiados para la resolución de proble-

mas, se pone en primer plano el aspecto modelizador de la actividad

matemática. Este objetivo plantea un desafío: proponer problemas a

través de las cuales el alumno tenga la oportunidad de seleccionar cuáles

son las variables que deberá estudiar, de utilizar el lenguaje de la Mate-

mática para establecer relaciones entre esas variables, de operar con las

relaciones establecidas, y de reinsertar los resultados en el problema que

dio origen a la situación. A través de este tipo de actividad el alumno

podrá ir elaborando el concepto de modelo matemático lo cual implica:

(…) que comprenda que el modelo está basado en una simplificación

de la situación real, que la descripción que se logra es sólo aproxima-

da, que gracias a la sustitución del fenómeno real por el modelo es po-

sible utilizar el aparato matemático -que no depende de la naturaleza

concreta del fenómeno- para describir y predecir un conjunto de

hechos que se produce bajo ciertas condiciones, que una mala elección

del modelo da resultados que no corresponden a la realidad. En fin es

esencial que los estudiantes descubran el carácter anticipador de la

Matemática en el sentido de que permite predecir el resultado de expe-

riencias no realizadas. (Panizza, M. y Sadovsky, P.; 1992).

Una problemática central vinculada con el concepto de función

se refiere a los distintos registros de representación de las mismas (fór-

mula, gráfico cartesiano, tabla de valores, descripción verbal). Duval

(1995) plantea que una causa importante de los fracasos escolares está

ligada a la conversión entre estas representaciones: los alumnos saben,

en general, trabajar aisladamente con cada una de ellas, sin embargo no

tienen la capacidad de decidir si conviene o no cambiar de registro se-

gún la tarea que se les presente.

Una cuestión que nos parece importante trabajar con los alum-

nos es la de remarcar qué aspectos se resaltan y cuáles se ocultan en

cada tipo de representación.

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

353

La secuencia que presentamos aquí, y que apunta a que los

alumnos elaboren un primer contacto con la función lineal, ha sido pues-

ta en práctica durante los últimos años en el Instituto Martín Buber, el

Instituto Despertar y el Colegio de la Ciudad, todos ellos en la Ciudad

Autónoma de Buenos Aires. La misma está compuesta de tres etapas:

♦ Un problema inicial cuyo objetivo es que los alumnos se con-

fronten con los límites del concepto de proporcionalidad directa y co-

miencen a elaborar la idea de modelización. Este problema servirá, co-

mo “el problema” al que los alumnos recurrirán al tratar otros problemas

similares aunque se trabajen en otros contextos. En otras palabras, se

apunta a que el mismo funcione como referencia para la resolución de

otros problemas vinculados a la linealidad.

♦ Dos problemas a partir de los cuales deberían comenzar a po-

ner en funcionamiento la notación algebraica para representar el modelo

lineal, determinar cuáles son las variables y cuáles los parámetros que se

ponen en juego.

♦ Dos últimos problemas que apuntan a analizar las distintas re-

presentaciones en las que se puede presentar un problema y las interac-

ciones entre ellas.

Conocimientos previos

Esta secuencia está diseñada para alumnos que han trabajado con

anterioridad proporcionalidad y lectura de gráficos de distintos tipos.

Materiales

Autos de juguete a

pila, pista recta (construida

con una tabla de madera de

10cm de ancho por unos

250cm de largo a la que se

le pegan dos varillas finitas

que sirven de guía para que

el auto no se salga de la

pista), cronómetro, cinta

métrica.

Capítulo 19 354

Objetivos

� Favorecer la construcción de los límites de la relación de pro-

porcionalidad, como herramienta modelizadora.

� Poner en funcionamiento herramientas para la modelización: se-

lección de variables y análisis de condiciones.

� Discutir la relación entre "modelo" y "realidad".

� Discutir ventajas del modelo sobre la experimentación.

� Poner en funcionamiento la notación algebraica para representar

modelos.

� Interpretar las distintas representaciones gráficas y algebraicas

en términos de velocidad y punto de partida.

� Discutir la relación entre cada uno de los modelos obtenidos y

la forma general del modelo lineal.

La secuencia

Primera etapa

A los alumnos se les presenta la pista y el auto y se les propone

el siguiente problema:

Los alumnos, separados en grupos, deben decidir qué acciones

realizar para resolver posteriormente el problema. En general, comien-

zan a medir espacios y tiempos con reglas y sus relojes, en ese momento

se les proporciona la cinta métrica y el cronómetro (no se entrega este

material desde el comienzo para no condicionar la tarea).

Los datos no se les proporcionan con el problema para que los

alumnos puedan pensar una estrategia independiente de los mismos.

Además si se los proporcionáramos resolverían sólo ese problema. Esta

Si colocamos el auto a .............. metros del punto de la salida, ¿a qué

distancia del inicio de la pista estará a los ..............segundos?

Fíjense que le faltan datos. Se los vamos a dar después. Ahora tienen

que discutir cómo van a hacer para resolver el problema y para eso

pueden hacer pruebas con los autitos. En el momento de resolver el

problema ya no van a poder ensayar con ellos.

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

355

manera de implementar la situación, permite que los alumnos obtengan

un procedimiento general que no cambiará con otros datos y que admite

un primer nivel de validación experimental (aunque, por supuesto, el

objetivo es que los alumnos lleguen a “confiar” en el modelo más allá

de la experimentación).

Se ponen en juego las limitaciones de la modelización debido a

los errores de medición y las ventajas del modelo para predecir resulta-

dos que exceden la longitud de la pista.

Los alumnos suponen que la velocidad de los autitos es constan-

te, nosotras no explicitamos esta cuestión porque nos desviaríamos del

objetivo de esta secuencia. En una secuencia posterior se trabaja en qué

situaciones es válido utilizar velocidad constante.

Procedimientos posibles

Según nuestra experiencia, lo primero que se hacen los alumnos

es medir la pista y tomar el tiempo que tarda el autito en recorrerla.

Se observan dos tipos de procedimientos. Algunos grupos traba-

jan desde el concepto de proporcionalidad de las distancias recorridas

por el autito y el tiempo que tarda, para esto miden las distancias reco-

rridas por el autito en distintos tiempos que ellos proponen. A estos

grupos los llamaremos “grupo 1” (Figura Nº 01)

Figura Nº 01: Nota correspondiente al “grupo 1”

Capítulo 19 356

Otros grupos trabajan desde la concepción de proporcionalidad

entre las distancias totales y el tiempo, para esto largan el autito desde

un punto fijo y miden la distancia desde el comienzo de la pista hasta

donde llegó el autito en los distintos tiempos que ellos proponen. A

estos grupos los llamaremos “grupo 2” (Figura Nº 02). Ambos grupos

toman varios datos, un mínimo de 5. Algún grupo que procede como

“grupo 2” completa con datos inventados los espacios en blanco del

problema (Figura Nº 03).

Figura Nº 02: Nota correspondiente al “grupo 2”

Figura Nº 03: Nota correspondiente al “grupo 2”

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

357

En este momento, el docente retira los materiales y a cada grupo

se les da los datos de acuerdo a las mediciones que hicieron. Estos datos

deben ser posibles de ser validados dentro de la longitud de la pista. En

ningún caso es algún dato de los que hayan recogido.

Para “grupo 1” se les da una distancia inicial y un tiempo. Para

"grupo 2" se puede proceder de dos maneras:

a) Se les da la misma distancia inicial que ellos pusieron y un

tiempo que no hayan tomado.

b) Se les da otra distancia inicial.

En todos los casos presuponemos que harán proporcionalidad.

En “grupo 1” sumarán luego la distancia inicial. En “grupo 2” si se les

da otra distancia inicial, observan que su estrategia estaba ligada a los

datos y no pueden abstraer, motivo por el cual pedirán nuevamente la

pista para obtener la respuesta utilizando este nuevo dato. Se les pide

que analicen qué pueden hacer con los datos que tienen.

Ningún grupo analiza si la velocidad es constante. Algún grupo

calcula la velocidad promedio con todos los datos y otros utilizan la que

les es más práctica para realizar las cuentas, sin verificar si las demás

velocidades son parecidas.

Se les devuelven los materiales para que validen los resultados

obtenidos. Puede ocurrir que sean validados o no.

Se hace la puesta en común de los procedimientos. Cada grupo

expone su estrategia y comenta si fue exitosa o no de acuerdo a la expe-

rimentación.

En esta instancia, para los que no lograron verificar experimen-

talmente se analizan los datos, se muestra que usaron proporcionalidad

de las distancias totales con el tiempo y se los invita a verificarla con los

datos recogidos. Aquí se llega a la conclusión de que la distancia total

no es proporcional al tiempo y no se puede completar los datos requeri-

dos con “regla de tres”.

Capítulo 19 358

Los alumnos que utilizaron la distancia recorrida verifican que

ésta sí es proporcional pero que no sirve para resolver totalmente el

problema ya que deben agregarle la distancia inicial.

Se analiza que la constante de proporcionalidad de la distancia

recorrida y el tiempo, es la velocidad y que es necesario conocer la dis-

tancia a la que parte el auto para resolver el problema.

Se cierra esta parte de la experimentación y se rescata el proce-

dimiento correcto sin hablar de fórmula. Además se analiza que este

procedimiento nos permite anticipar resultados que no podríamos vali-

dar por ser tiempos que exceden a la pista.

Segunda etapa

En primer lugar se presenta el siguiente problema:

Con este problema apuntamos a que puedan valorar la utilidad

de la modelización para predecir resultados y que con la estrategia que

utilizaron en la etapa anterior podrán calcular tanto distancias como

tiempos. Observamos que en esta instancia aún alumnos que trabajan

como “grupo 1”utilizan un dato recogido por (tiempo – distancia total) y

responden utilizando la “regla de tres”(Nota Nº 3).

Figura Nº 04: Anotación correspondiente al “grupo 1” en la que

usan un dato recogido y “regla de tres”

Si lanzan este autito a 20 cm del inicio de la pista. ¿Cuánto tiempo

va a tardar en llegar a los 97 cm del inicio de la misma?

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

359

Algunos alumnos restan las distancias final e inicial y luego utili-

zando la velocidad de su autito calculan el tiempo pedido (Figura Nº 05).

Figura Nº 05: Anotación correspondiente a alumnos que calcu-

lan el tiempo utilizando la velocidad

Cuando terminan se les devuelve la pista para que validen los

resultados obtenidos. Aquellos grupos que no restan la distancia inicial

no verificarán sus resultados. A continuación se hace una puesta en co-

mún en la que se comparan los procedimientos y se vuelve a analizar la

proporcionalidad de la distancia recorrida y el tiempo y la no proporcio-

nalidad de la distancia total con el tiempo

En una segunda instancia se les presenta el siguiente problema:

Al grupo A le dijeron que el autito salió a 75 cm de la salida y andu-

vo durante 18 segundos, para calcular a dónde llegó, los chicos

hicieron la siguiente cuenta: 5×18+75. ¿Qué cuenta hubieran hecho

si le hubieran pedido (para el mismo auto) a qué distancia de la sali-

da se encontraba a los 15 segundos sabiendo que se largó el auto a

los 25 cm de la salida?

Al grupo B le dijeron que el auto salía a 105 cm de la salida y andu-

vo 5 segundos, para calcular a dónde llegó resolvió la siguiente

cuenta: 8 × 5 + 105

¿Cuál de los dos autos, el del grupo a o el del grupo B, iba más rápi-

do? ¿Por qué?

Capítulo 19 360

Con este problema se apunta a ubicar cuáles son las variables y

cuáles los parámetros correspondientes a las relaciones que describen el

movimiento de cada autito. En una puesta en común se analiza que para

cada autito tanto la velocidad como la distancia inicial son parámetros

que se utilizan en todas las “cuentas” para calcular tiempos y distancias.

A partir de esto, se llega a la deducción de una fórmula:

Distancia = distancia inicial + velocidad ⋅ tiempo

Tercera etapa

Con esta última etapa de la secuencia nos proponemos que los

alumnos reconozcan las distintas representaciones de la función lineal y

poder interactuar entre ellas, pasando de una a otra o comparando los

distintos parámetros.

Les presentamos los siguientes problemas:

1. Dos grupos trabajan con los autitos.

El grupo A representa las posiciones de su auto respecto del punto

de largada, a través del tiempo mediante el siguiente gráfico:

El grupo B propone para representar la posición de su auto respecto

de la largada en función del tiempo la siguiente fórmula:

e = 9 t + 30

a) ¿Cuál de los dos autos va a mayor velocidad?

b) ¿A qué distancia de la partida se largó cada auto?

Suponiendo que pongo las dos pistas al lado y los lanzo en el mis-

mo momento: ¿hay algún momento en que están a igual distancia

del punto de partida?

seg. 5

20

70

cm.

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

361

En el primer problema deben interactuar con el registro gráfico

y la fórmula. Al analizar el gráfico, los alumnos leen los datos punto a

punto, los transcriben en una tabla y trabajan como en el problema ante-

rior para obtener la fórmula. Se les hace notar que la distancia inicial es

la ordenada al origen.

Con las dos situaciones representadas de la misma forma, com-

paran los parámetros y responden a las dos primeras preguntas.

Para responder a la tercera pregunta plantean y resuelven la

ecuación.

En el segundo problema los alumnos deben analizar la informa-

ción dada en la tabla. Cuando se proponen responder a las preguntas

analizan la conveniencia de armar la fórmula que representa a esta si-

tuación. Trabajan, tomando como referencia el primer problema de la

secuencia, calculan la velocidad y la utilizan para hallar la distancia

inicial a partir del primer par de datos de la tabla.

En un paso posterior trabajamos con todos estos conceptos,

siempre con situaciones problemáticas, con comparación de parámetros

y con problemas de encuentro. En los distintos problemas que presen-

tamos vamos cambiando el contexto a modelizar, siempre con velocidad

de cambio constante. En los mismos, los alumnos siguen tomando como

referente el problema inicial donde vinculan la velocidad de cambio de

las magnitudes con la velocidad del autito.

2. Juan recogió los siguientes datos:

Tiempo de marcha (seg.) 10 15 25

Distancia al punto de salida (cm) 65 90 140

a) ¿A qué distancia de la salida llegó a los 20 segundos de marcha?

b) ¿En cuánto tiempo recorrió 60 cm? ¿Y 80 cm? ¿Y 93 cm?

c) ¿A qué distancia del inicio de la pista llegó a los 34 segundos de

marcha? ¿Y a los 40 segundos? ¿ Y al minuto?

d) ¿En cuánto tiempo llegó a los 0.95 m del inicio de la pista?

Capítulo 19 362

Referencias bibliográficas

Brousseau, G. (1983).Les obstacles epistémologiques et les pro-

blémes d’enseignement , Recherches en didactique des

mathématiques, (La Pensée Sauvage). Nº4.2.

Brousseau, G. (1988). Los diferentes roles del maestro. En: Parra

C. y Saiz, I. (Comp.) Didáctica de las Matemáticas: Apor-

tes y reflexiones. Buenos Aires: Paidos.

Charnay, R. (1988). Aprender (por medio de) la resolución de

problemas. En: Parra C. y Saiz, I. (Comp.) Didáctica de

las Matemáticas: Aportes y reflexiones. Buenos Aires:

Paidos.

Duval R. (1988). Graphiques et equations: L’articulation de deux

registres - Annales de didactique et de Sciences Cogniti-

ves. Irem de Strasbourg. Pp. 232 – 253.

Galves, G. (1985). La didáctica de las Matemáticas. En: Parra C. y

Saiz, I. (Comp.) Didáctica de las Matemáticas: Aportes y

reflexiones. Buenos Aires: Paidos.

Guzman Retamal, I. (1990). Le rôle des représentations dans l'ap-

propriation de la notion de fonction. . These de doctorat,

Universite Louis Pasteur, Irem, Strastbourg.

Parra, C., Saiz, I. & Sadovsky, P. (1994). Enseñanza de la Mate-

mática. Documento Curricular; PTFD. Ministerio de Cul-

tura y Educación.

Pihoué, D. (1996). L’entrée dans la pensée fonctionnelle en classe de

seconde, DEA, Université Paris 7.

Ruiz Higueras, L. (1993). Concepciones de los alumnos de secundaria

sobre la nocion de funcion: analisis epistemologico y didactico.

Tesis de doctorado. Universidad de Granada.

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

363

Sadovsky, P. (1994). Matemática: Aportes para el análisis didácti-

co. Ministerio de Cultura y Educación de la Provincia de la

Pampa.

Schools Council Sixth Form Mathematics Project at the School of

Education, Reading University. Modelos Polinomiales -

Compañia Editorial Continental, S. A De C.V., Mexico.

Sfard, A. (1989). Transition from Operational to Structal Concep-

tion: The Notion of Function Revisited - Hebrew Univer-

sity of Jerusalem.

Vinner, S. (1983). Concept Definition, Concept Image and Notion

of Function. The Hebrew University of Jerusalem - Int. J.

Mat. Educ. S. Technol. Vol.14, Nº 3, pp. 293 – 305.

Contenidos Básicos Comunes para la Educación General Básica.

(1985). Ministerio de Cultura y Educación de la Nación.

Capítulo 19 364