FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial f con base a se define como: f(x)= ax

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le

hace corresponder la potencia ax 

En donde x es cualquier numero real.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

1- a° = 12- a-n = 1/an

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y = A X

Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) 1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1 2. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a 3. La función es positiva para cualquier valor de

x: f(x) >0. Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.

4 . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente

EJEMPLO:

f(x) = 2x

La función es creciente a>1

x y= 2x

-3 1/8

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

3 8

EJEMPLO:

x y= (1/2)x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

La función es decreciente a<1

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON BIUNÍVOCAS. Deben cumplir con las siguientes condiciones

1.- Si x1 = x2 entonces ax1 = ax2

2.- Si ax1 = ax2 entonces x1 = x2

Ejemplo: Resuelva la ecuación: 3 5x-8 = 9 x+2

3 5x-8 = 9 x+2

3 5x-8 = (32) x+2

3 5x-8 = 32x+4

5x-8 = 2x+4

5x -2x =4+8

3x = 12

x= 4

FUNCIONES LOGARÍTMICAS La inversa de una función exponencial de

base a, se llama logarítmica de base a y se representa por log ax

Se expresa de la siguiente manera:y =loga(x) Si y solo si x= ay

Formas Equivalentes

Forma Logarítmica Forma Exponencial

 log5 u = 2 52 = u

logb 8 = 3 b3 = 8

r = logp q pr =q

w = log4 (2t + 3) 4w = 2t + 3

log3 x = 5 + 2z 35+2z = x

EJEMPLOS

Hallar los logaritmos de:

log10 100= 2 porque 102 = 100

log1/32 = -5 porque 2-5 = 1/32

log9 3 = ½ porque 91/2 = 3

log7 1= 0 porque 70 = 1 log3 (-2) no es posible porque 3y = -

2

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

EJEMPLO: f(x) = log2x

y =log 2x

2y = x (forma expo.)

y x

-3 1/8

-2 1/4

-1 01/2

0 1

1 2

2 4

3 8

Primer Caso

a >1

f(x)= log2x

El dominio es R+

El logaritmo de 1 es 0

El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a,1) Si a = 2 , pasa por el punto (2,1)

Los logaritmos de números mayores

Los logaritmos de número mayores que 1 son positivos y crecen indefinidamente en la medida que crece x

x > 1 f(x)> 0 (creciente)

Lo logaritmos de los numero menores que 1 son negativos y decrece indefinidamente al decrecer x

x < 1 f(x)< 0

Como al crecer x también crece f(x), decimos que la FUNCION ES CRECIENTE

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

EJEMPLO: f(x) = log1/2x

y =log1/2x

1/2 y = x (forma expo.)

y x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

Segundo Caso

0 < a < 1

f(x)= log

1/2x

Dominio R+

El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a, 1)

Si la base es 1/2 , la curva pasa por (1/2, 1)

El logaritmo de 1 es 0. la curva pasa por el punto (1,0) Los logaritmos de números mayores que 1 son negativos y

decrecen indefinidamente al crecer x x > 1 f(x)< 0

los logaritmos de los numero menores que 1 son positivos y crecen indefinidamente al decrecer x

x< 1 f(x) > 0

Como al crecer x, decrece f(x), decimos que la FUNCION ES DECRECIENTE

FUNCIONES INVERSAS

La función logarítmica tiene la forma general: f(x) = log ₐ XY su función inversa es : f ˉ¹(x) = aˣ

Ejemplo:La inversa de la función f (x )= log2 x es la función  f ˉ¹(x) = 2 ˣRespecto a esto se arma una tabla de valores.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSAEJEMPLO:

fˉ¹(x) = 2ˣ

fˉ¹(x) = 2ˣ

x

2 1

4 2

8 3

f(x) = log2 x :f(x) = log2 x

x

1 2

2 4

3 8