funciones y relacione

8/18/2019 Funciones y Relacione

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RELACIONES Y FUNCIONES


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RELACIONES Y FUNCIONES

1. RELACIONES

a) Par ordenado:

( x, y ) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y , en donde x es elprimer elemento llamado primera componente y es el se!undo elementollamado se!unda componente.

I"#OR$AN$E: ( x, y ) % (y, x). Es decir el orden de las componentes nopuede ser cam&iado.

Estas componentes num'ricas, se pueden !raicar en los ees cartesianos oplano cartesiano* la primera componente representa la a&scisa se u&icaen el ee x * la se!unda componente representa la ordenada se u&ica en el

ee y . ( x, y ).

b) Pares ordenados iguales: +ue es una i!ualdad- Equialencia de doscantidades o e/presiones. +u' es una i!ualdad de pares ordenados- En matem0tica,un par ordenado es un par (a,&) de o&etos a &, talque si (c,d) es el otropar ordenado,(a,&) (c,d) ser0n i!uales si solo si ac &d. Lo anterior sire para !aranti2ar el orden de los componentes. I!ualdad de paresordenados. 3os pares ordenados son i!uales, si solo si son i!uales susrespectias componentes. Es decir que (a,&) (cd) si solo si ac &d.

c) Producto Cartesiano: #ara entender la idea de productocartesiano de&emos sa&er que se trata de una operaci4n entredos conjuntos, de tal modo que se orma otro conunto con todos los paresordenados posi&les.

#or eemplo, dados los conuntos A 51, 6, 7, 89 B 5a, b9, su productocartesiano es:

A B 5(1, a), (1, b), (6, a), (6, b), (7, a), (7, b), (8, a), (8, b)9

Los elementos de A / ; son pares ordenados. Cada par que se orma conun elemento del conunto A uno del conunto ;, en ese orden, reci&e elnom&re de par ordenado. Sus elementos se colocan entre par'ntesis,separados por coma.

http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosDefinicion.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosDefinicion.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosDefinicion.htm


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Entonces:

El producto cartesiano de dos conuntos cualesquiera A ;, ser0 un nueoconunto, identiicado como A / ;, consistir0 de un conunto de pareasordenadas, (/, ), donde / pertenece al conunto A e pertenece al conunto

;.

d) Plano Cartesiano: Llamado tam&i'n Sistema Cartesiano de Coordenadas,est0 ormado por dos rectas num'ricas cortadas perpendicularmente* elpunto de corte de estas rectas es el ori!en o cero a partir de all< se u&icanlos n=meros ordenadamente en las 8 direcciones (arri&a, a&ao, derec>a ei2quierda). A la recta >ori2ontal se le llama eje x o de las abscisas* larecta ertical se llama eje y o de las ordenadas.

a) Representación graica de los pares ordenados: Representaci4n !r0icade las relaciones los pares ordenados se pueden representar !r0icamentepor medio de dia!ramas sa!itales o por medio de puntos en el planocartesiano. ?eamos el si!uiente eemplo. Eemplo 8

Si A 51, 6, 7, 8, @9 ; 51, 7, @, , B9 R la relaci4n deinida por lare!laR 5(/, ) 6/ D 19, !raicar R.

Soluci4nLos pares ordenados que pertenecen a la relaci4n (que cumplen con 6/D 1) son:

R 5(1, 7), (6, @), (7, ), (8, B)9

la !r0ica correspondiente es la si!uiente:


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b) Relaciones: es la correspondencia de un primer conunto,llamado 3ominio, con un se!undo conunto, llamado Recorrido o Ran!o,de manera que a cada elemento del 3ominio le corresponde uno o m0selementos del Recorrido o Ran!o.#or su parte, una Funci4n es una relaci4n a la cual se aGade la condici4n

de que a cada alor del 3ominio le corresponde uno s4lo un alor delRecorrido.

3e las deiniciones anteriores podemos deducir que todaslas unciones son relaciones, pero no todas las relaciones son unciones.

c) Relaciones !inarias: Llamamos relación binaria a la relaci4n Re/istente entre dos elementos a &, de dos conuntos A ;respectiamente. Indicando que el elemento a est0 relacionado con &.

Esta relaci4n se puede denotar de diersas ormas:1H Como pares ordenados (a, &).6H Indicando que a R &.7H Como una me2cla entra los dos anteriores R(a, &).

Al conunto de todos los elementos relacionados mediante la relaci4n Ren un conunto lo denotamos como R (")

d) Propiedad rele"i#a de las relaciones binarias$ Esta propiedad se dacuando todo elemento del conunto est0 relacionado consi!o mismo: paratodo elemento de " /, entonces "R".

e) Propiedad si%&trica de las relaciones binarias: 3ados dos elementoscualesquiera del conunto " se cumple que si el primer elemento est0relacionado con el se!undo, entonces se cumple tam&i'n la relaci4n alcontrario, es decir, el se!undo est0 relacionado con el primero: si "R' ('R"

) Propiedad transiti#a de las relaciones binarias$ 3ados tres elementosdel conunto, si el primer elemento est0 relacionado con el se!undo, else!undo relacionado con el tercero, entonces el primero tam&i'n est0relacionado con el tercero: si "R' e 'R* ( "R*.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html


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g) Relación de e+ui#alencia: una relaci4n &inaria es de equialenciacuando cumple las propiedades rele/ia, sim'trica transitia.

,) Relación identidad$ una identidad es la constataci4n de que dos o&etosque matem0ticamente se escri&en dierente, son de >ec>o el mismoo&eto. En particular, una identidad es a una i!ualdad entre dose/presiones lo que es cierto sean cuales sean los alores de lasdistintas aria&les empleadas.6 Las identidades, al conirmarseinaria&lemente su i!ualdad, suelen utili2arse para transormar unae/presi4n matem0tica en otra equialente, particularmente para resoleruna ecuaci4n.

i) Relación de orden$ Sea R una relaci4n &inaria en un conunto A. Si Rsatisace las propiedades rele/ias, anti sim'trica transitia se dice queR es una relaci4n de orden. En este caso si a & son elementos de Atales que aR&, lo denotaremos por a J &.

6. FKNCIONES SKS RAFICAS

a) Función: Kna unci4n es una relaci4n que e/iste entre los elementos dedos conuntos, es decir, cuando dos aria&les est0n relacionadas, seesta&lece que el alor de una de ellas queda determinado si se le asi!naun alor a la otra.

b) do%inio ' contrado%inio de una unción:

-o%inio de la unción: Es el conunto de todos los alores admiti&lesque puede tomar la aria&le independiente M/Contrado%inio de una unción: Son el conunto de alores que puedetomar la aria&le dependiente M. $am&i'n es conocido como codominio,recorrido o ran!o.

https://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1tica)#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1tica)#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones


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c) I%agen de una Función: Se llama ima!en o recorrido de una unci4n, se desi!na Im , a todos los alores de la aria&le dependiente que tienenal!=n alor de la aria&le independiente que se transorma en 'l por la

unci4n.

d) Rango de una unción: El conunto de todos los alores de salida de unaunci4n.3ominio H unci4n H Ran!oEemplo: si a la unci4n (/) /6 se le dan los alores / 51, 6,7,...9entonces el ran!o ser0 51, 8,B,...9

e) Le' de correspondencia: consiste en asignar un ele%ento .nico deun cierto con/unto a cada ele%ento .nico de otro con/unto. Esteconcepto es de uso recuente cuando se tra&aa con unciones%ate%0ticas.

) Funciones Reales: Kna unci4n es una correspondencia entre dosconuntos num'ricos, de tal orma que a cada elemento del conuntoinicial le corresponde un ele%ento ' sólo uno del conunto inal, la

ima!en.Se relacionan as< dos aria&les num'ricas que suelen llamarse " e '

g) Función biun1#oca: La inersa (&iuna >ec>o la unci4n. No todas launciones tienen inersas* las que s< tienen se llaman unciones uno auno.

,) Función Identidad: una unci4n identidad es una unci4n matem0tica, deun conunto M a s< mismo, que deuele su propio ar!umento.La unci4n identidad es del tipo:F(/) /Su !r0ica es la &isectri2 del primer tercer cuadrante.

http://definicion.de/conjuntohttp://definicion.de/conjunto


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i) Función constante$ Es una unci4n de la orma (/) P, donde P es unaconstante. La !raica que se ori!ina es una l


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a/6 es el t'rmino cuadr0tico

&/ es el t'rmino lineal

C es el t'rmino independiente

Cuando estudiamos la ecuaci4n de se!undo !rado o cuadr0tica imos que si laecuaci4n tiene todos los t'rminos se dice que es una ecuaci4n completa, si a laecuaci4n le alta el t'rmino lineal o el independiente se dice que la ecuaci4nes incompleta.

p) Función In#ersa : Se l lama unci4n inersa o reciproca de f aotra unci4n f −1 que cumple que: Si (a) &, entonces f −1 (&) a.

+) Siste%as de ecuaciones: Es todo conunto de ecuaciones distintas quetiene una o m0s soluciones comunes

r) 3&todos para resol#er siste%as de ecuaciones$

3&todo de reducción: Consiste en multiplicar ecuaciones por n=meros sumarlas para reducir el n=mero de inc4!nitas >asta lle!ar a ecuaciones consolo una inc4!nita.

"ultiplicar una ecuaci4n por un n=mero consiste en multiplicar am&os miem&rosde la ecuaci4n por dic>o n=mero que no e/iste esto lo >i2o moloto.

Sumar dos ecuaciones consiste en o&tener una nuea ecuaci4n cuo miem&roderec>o (i2quierdo) es la suma de los miem&ros derec>os (i2quierdos) de lasecuaciones que se suman por al!o que sa&emos.

3&todo de igualación consiste en lo si!uiente:

Supon!amos que tenemos dos ecuaciones:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.htmlhttp://www.aulafacil.com/cursos/l10967/ciencia/matematicas/algebra/sistemas-de-ecuacioneshttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.htmlhttp://www.aulafacil.com/cursos/l10967/ciencia/matematicas/algebra/sistemas-de-ecuaciones


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3onde , , representan simplemente los miem&ros de estas ecuaciones (sone/presiones al!e&raicas).

3e las dos i!ualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una inc4!nita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,entonces la ecuaci4n

No contendra inc4!nita.

Este proceso de eliminaci4n de inc4!nitas se puede repetir arias eces >astalle!ar a una ecuaci4n con solo una inc4!nita, di!amos .

Kna e2 que se o&tiene la soluci4n de esta ecuaci4n se sustitue por su soluci4nen otras ecuaciones donde apare2ca para reducir el n=mero de inc4!nitas endic>as ecuaciones.

3&todo de sustitución: "'todo para resoler ecuaciones al!e&raicassustituendo una aria&le con una cantidad equialente en t'rminos de otra(s)aria&le(s) de manera que el n=mero total de inc4!nitas se redu2ca a 1. #oreemplo, para resoler las si!uientes ecuaciones simult0neas:

/ D 7 (1)/ H 1 (6)

3&todo de 4auss$ El m'todo de auss consiste en transormar el sistema dadoen otro equialente. #ara ello tomamos la matri2 ampliada del sistema mediantelas operaciones elementales con sus ilas la transormamos en una matri2trian!ular superior ( o inerior ). 3e esta orma o&tenemos un sistema equialenteal inicial que es mu 0cil de resoler.

http://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html#Definici.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Matriz_inversa.html#Operaciones_elementales_con_las_filas_de_una_matrizhttp://www.wikillerato.org/Matriz_inversa.html#Operaciones_elementales_con_las_filas_de_una_matrizhttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_superioreshttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_superioreshttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_inferioreshttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_inferioreshttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html#Definici.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Matriz_inversa.html#Operaciones_elementales_con_las_filas_de_una_matrizhttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_superioreshttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_superioreshttp://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_inferiores


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Es esencialmente el m'todo de reducci4n. En el m'todo de auss se opera conecuaciones, como se >ace en el m'todo de reducci4n, pero uno se a>orra elescri&ir las inc4!nitas porque al ir los coeicientes de una misma inc4!nita siempreen una misma columna, uno sa&e en todo momento cual es la inc4!nita a la quemultiplican.

3&todo de la %atri* in#ersa

Kn sistema de ecuaciones lineales se puede escri&ir en orma matricial:

Si e/iste, es decir, si es una matri2 cuadrada de determinante no nulo,entonces podemos multiplicar toda la i!ualdad anterior por la i2quierda por ,para o&tener:

ue es la soluci4n del sistema de ecuaciones lineales de matri2 de coeicientes matri2 de t'rminos independientes .

Regla de Cra%er

Esta re!la es un m'todo de resoluci4n de sistemas de ecuaciones lineales que se

puede utili2ar cuando la matri2 de coeicientes del sistema es cuadrada de determinante no nulo. El que sea cuadrada si!niica que el n=mero deinc4!nitas el n=mero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html#M.C3.A9todo_de_reducci.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html#Definici.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html#Definici.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_determinante.htmlhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_determinante.htmlhttp://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html#M.C3.A9todo_de_reducci.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html#Definici.C3.B3nhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_determinante.htmlhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_determinante.html


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Satisace las condiciones arri&a mencionadas, su soluci4n iene dada por:

En !eneral

3onde es la matri2 que se o&tiene sustituendo la iHesima columna depor la matri2 de los t'rminos independientes, .

http://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.htmlhttp://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html


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s) EL PLANO

Si en este momento est0s leendo lo que est0 escrito en esta p0!ina, esque miras a la pantalla del ordenador. $e >a&r0s iado que la pantalla esuna supericie lisa, llana, plana,lo mismo que la tapa de tu pupitre, elcristal de tu entana, etc.

$odos estos eemplos representan el plano.

El plano tiene dos dimensiones: lar!o anc>o:

SE3IPLANO

Kna recta tra2ada en un plano, le diide a 'ste en dos semiplanos,l4!icamente las partes no es necesario que sean i!uales:

La recta r >a creado dos semiplanos.

A cada 2ona en la que >a sido diidido el plano se le puede llamar re!i4n,porci4n de plano, &anda, adem0s de semiplano.

A la recta que diide a un plano en dos re!iones o semiplanos se la conocetam&i'n con el nom&re de frontera o recta frontera.

t) Co%posición de Funciones$ Si tenemos dos unciones: (/) !(/), de modo que el dominio de la 6T est' incluido en elrecorrido de la 1T, se puede deinir una nuea unci4n queasocie a cada elemento del dominio de (/) el alor de g56")7.

u) Función e"ponencial

Se llama función exponencial de &ase a, siendo a un n=mero real positio distinto de 1, a la unci4n

: ℜ ℜ/ (/) a/

Esta unci4n se escri&e tam&i'n como f(x) = exp a / se lee Ue/ponencialen &ase a de /V.

Antes de dar un eemplo de unci4n e/ponencial, coniene recordar al!unaspropiedades de las potencias:

89 aW 1

:9 aHn 1an


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LO4ARI;3OS

3ado un n=mero real a positio, no nulo distinto de 1, (a * a % * a % 1), un n=mero N positio no nulo (N * N % ), se llama lo!aritmo en &ase a deN al e/ponente / al que >a que elear dic>a &ase para o&tener el n=mero.

#ara indicar que / es el lo!aritmo en &ase a de N se escri&e:

lo!a = x

se lee Ulo!aritmo en &ase a de N es i!ual a /V.

#or lo tanto, lo!a = x (notaci4n lo!ar


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Siempre que de x 1 ] x 6 se dedu2ca f(x 1 ) % f(x 6 ), la unci4n sedice estrictamente decreciente

7. RAFICASy=x^2-3x+2

y=x^2-3x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


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4x-2y=184x-2y=18

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

f(x)=vx!x"=s#rt!x"

-9 -8 - 7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


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Y=3^x

y=3^x

!x"=3^x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Y=6

y=6

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


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X=-4

x=-4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Y=x


18/26

y=x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

4x+y=-2 y y-3x=5

4x+y=-2

y-3x=5

-9 -8 - 7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


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x-y=1 y 5-y=x

x-y=1

5-y=x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

y>1


20/26

y$1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Y


21/26

X+y-7>=0

x+y-7$=&

-4 -2 2 4 6 8 1& 12 14 16 18 2& 22 24 26 28 3& 32 34

-16

-14

-12

-1&

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

1&

12

14

16

18

2&

22

x

y

4y


22/26

4y%2x-6

-8 - 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1&

-12

-11

-1&

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-1


23/26

0


24/26

2x-y%=5

-11 -1& -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1&

11

12

x

y

X+2y>=2

x+2y$=2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1& 1 1 1 2 13

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1&

11

12

x

y


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Y=3x+8

y=3x+8

'er(e 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2&

-15

-1&

-5

5

1&

15

2&

25

3&

x

y

4y-2x+1=0


26/26

4y-2x+1=&

'er(e 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2&

-15

-1&

-5

5

1&

15

2&

25

x

y

funciones y relacione

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