funcions modulars associades a classes de cobordisme de ... galvez... · els espais projectius...
TRANSCRIPT
Funcions modulars associades a classes
de cobordisme de varietats
Maria Immaculada Galvez i Carrillo
ii
Funcions modulars associades a classes
de cobordisme de varietats
Maria Immaculada Galvez i Carrillo
Treball de Recerca de Tercer Cicle
presentat al Departament de Matematiques
de la Universitat Autonoma de Barcelona
Novembre de 1996
Director: Dr. Carles Casacuberta i Verges
iii
Index
0 Introduccio 1
1 Preliminars 5
1.1 Varietats spin i string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Anells de cobordisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Generes de Hirzebruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Successions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Classes de Chern i de Pontrjagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Serie caracterıstica d’un genere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Logaritme d’un genere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Generes el·lıptics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Formes modulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 L’anell de formes quasimodulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Genere el·lıptic universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.12 Cohomologies el·lıptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Genere de Witten 22
2.1 Serie caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Particions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Polinomis simetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Formules per al calcul del genere de Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Genere de Witten de varietats basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Els plans projectius complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Els plans projectius quaternionics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Interseccions completes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.4 Varietats de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Demostracions dels teoremes 2.2 i 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Relacions entre ϕW (HPk) i ϕW (H3,2k−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Nucli del genere de Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 Una aplicacio als anells de cobordisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Algunes implicacions 48
3.1 Operadors de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Operadors de Dirac als espais de llacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
iv
3.3 Moonshine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Generes el·lıptics de nivell n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Generes amb parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Varietats amb curvatura de Ricci positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Varietats amb accions de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Formula de Witten 56
4.1 Orientacio en una teoria de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Teorema de Riemann–Roch generalitzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Casos particulars: t =ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Formula dels punts fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Espais de llacos lliures i formula de Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Taules de resultats 65
0 Introduccio
El primer capıtol del treball es un recordatori de definicions i resultats coneguts que
farem servir mes endavant, presentats de la manera mes breu possible. Hi son definides les
varietats spin i string, aixı com els anells de cobordisme amb que treballarem. Segueix una
exposicio un xic prolixa sobre generes de Hirzebruch, classes caracterıstiques i successions
multiplicatives, que te com a missio fer mes planera la lectura del que segueix, tot fixant
una notacio i un punt de vista d’entre els molts que conviuen amb relatiu exit a la literatura
sobre el tema. En aquest context, fem la nostra presentacio de la serie caracterıstica d’un
genere i del seu logaritme. El mateix es pot dir, fins i tot amb mes rao, del que segueix
sobre formes modulars: nomes hi hem volgut posar allo que ens ha de servir. Ja en aquest
capıtol presentem els generes el·lıptics i breument recordem el seu paper a les teories de
cohomologia generalitzades.
El segon capıtol esta completament dedicat a l’estudi del genere de Witten, definit
a l’anell de cobordisme de les varietats diferenciables orientades. Aquesta es la part del
treball que conte algunes aportacions originals. Hi comencem desenvolupant amb detall
alguns resultats elementals i ben coneguts sobre les particions i els polinomis simetrics,
per tal de fer mes comprensible el camı del raonament posterior, ja que aquestes son eines
tecniques omnipresents despres. El genere de Witten pren valors al que Zagier anomena
l’anell de formes quasimodulars. El genere de Witten d’una varietat es una serie de
potencies en una variable complexa q, el significat geometric de la qual es esbrinat mes
endavant. Segueix a la definicio del genere de Witten tota una exposicio de formules per al
seu calcul, que apliquem a les varietats orientades en general i spin en particular, escollint
diferents bases, cadascuna de les quals fa pales algun aspecte interessant. Considerem
els espais projectius complexos i quaternionics, les varietats de Milnor i les interseccions
completes. Els teoremes d’aquest capıtol estableixen nomes dos aspectes parcials del que
obviament caldria inscriure en un context molt general. Hi ha una sistema de varietats
generadores per a ΩSO∗ , les varietats de Milnor, en les quals el genere de Witten te un
nombre de coeficients nuls al comencament del seu desenvolupament de Fourier, que depen
de la dimensio de la varietat. Gracies a la facilitat per al desenvolupament dels calculs,
varem conjecturar l’existencia d’una proporcionalitat a Q entre els generes d’unes certes
bases. La demostracio d’aquest fet es encara massa tecnica, tot i que empra fortament,
com no podia esser d’altra manera, la relacio amb la funcio ℘ de Weierstrass de la serie
virtual del genere de Witten per a la lınia projectiva quaternionica. Tot aixo fa palesa la
necessitat de considerar l’objecte estable HP∞. D’aquests resultats, moltes ampliacions i
1
observacions son possibles, que no son aquı presents per manca de temps.
Segueix un esbos del que hauria d’esser un treball mes extens sobre les caracterıstiques
de la imatge graduada del genere de Witten i del seu nucli i sobre les aplicacions entre
anells de cobordisme que se’n deriven.
La tercera part glossa els resultats i posa la feina feta en context, tot deixant obertes
questions i desenvolupaments que ens portarien massa enlla. En aquesta tercera part
donem tambe una succinta situacio del significat fısic del genere de Witten i algunes
aplicacions. La quarta part comenca un intent de presentacio mes rigorosa del que Witten
va fer heurısticament, basat en unes classes que va impartir Haynes Miller l’any 1995.
Els primers exemples que varem calcular eren els corresponents als espais projectius.
Dels diferents metodes que varem assajar per al calcul de generes de Witten i de la
seva comparacio es pot dir que va neixer el treball. Tanmateix, hauria estat impossible
d’arribar a cap conclusio sense l’evidencia computacional que els programes per a Maple
de l’Andy Tonks varen proveir. Vull destacar aquest aspecte del treball perque ens ha
permes fer matematica experimental pero des d’un punt de vista que es tambe una tradicio
en el mon de la topologia, de la qual es possible gaudir en els vells articles de Borel i
Hirzebruch, en el llibre classic de Stong per a la teoria de cobordisme, en articles com
aquell on Landweber contribuiex a reviscolar el tema (Circle actions on Spin manifolds
and characteristic numbers), en molta de l’obra de Milnor, en tota la de Zagier i mes
recentment en els treballs de Gerald Hohn, Rainer Jung i Anand Dessai.
Una curta reflexio intel·ligent convencera al lector que poca cosa de nou profund hi
ha en aquest treball, i un xic de temps li fara possiblement palesa l’existencia de maneres
menys embolicades d’arribar als mateixos resultats. Tanmateix, aquest ha d’esser un
treball d’iniciacio a la recerca i per tant mes que potser en cap altre cas un treball que
cal continuar. No se si tots els treballs de recerca han estat tan utils per als que els han
realitzat com aquest ho ha estat per a mi, ni tan gratificants pel que fa a l’experiencia
de viure la matematica en accio. Per la meva formacio filosofica i per la meva condicio
d’investigadora a temps parcial, no deixa de bocabadar-me l’experiencia constant de la
realitat matematica.
2
Agraıments
Aquest treball ha comptat amb l’ajuda i la col·laboracio injustificada de molts individus
i institucions, sense els quals no hagues estat possible.
Entre les persones, en Carles Casacuberta ha de rebre tot el meu agraıment, ja que es
el responsable de tots els aspectes positius que aquest treball pugui presentar. No cal dir
que de la resta jo soc l’unica responsable. D’altra banda, sense la col·laboracio de l’Andy
Tonks en tots els aspectes, el treball hauria estat molt mes feixuc i lleig. Atribuım-li tot
el merit que, en una recerca experimental com ha estat aquesta, pertoca als programes i
calculs en que amb tanta paciencia ha treballat amb mi. Vull dir a tots dos que tota la
feina que hi han posat no quedara aquı, ja que dona per a molt mes.
Es al Centre de Recerca Matematica, a traves del seu director, Manuel Castellet, a qui
he d’agrair l’oportunitat d’iniciar-me en la recerca matematica en el context d’una lınia
de treball que m’havia il·lusionat des que tinc us de rao matematica: alla on es troben la
topologia i la geometria amb la teoria de grups i girant un ull cap a la fısica. En aquell
moment, jo ignorava que moltes accions de grups s’expressen o mes ben dit s’amaguen
a les funcions classiques de la teoria de nombres. Li dec a en Jose Miguel Echarri la
paciencia de fer-me un fantastic curs de teoria de nombres ad hoc per a mi sola durant
l’any 1994 (i tambe a l’Enric Nart i en Paulo Ribenboim).
El CRM va tenir a be incloure’m a la xarxa ERBCHRXCT 940441 de la Comunitat
Europea, al suport de la qual dec haver pogut assistir l’any 1995, a l’Institut Max Planck
de Bonn, al congres sobre Cohomologia El·lıptica on no nomes vaig tenir l’oportunitat de
coneixer en persona Friedrich Hirzebruch i Don Zagier, sino que vaig poder posar-me en
contacte amb l’ultim crit en el tema. Igualment, vull agrair les innumerables atencions
que amb mi ha tingut el CRM i molt especialment la Consol i la Maria en tot moment
durant el curs de Cohomologia El·lıptica de l’any 1995 i altres cursos, i posteriorment
posant a la meva disposicio un despatx durant el caloros estiu de 1995.
Tampoc hagues estat possible aquest treball sense els consells de Charles Thomas i
Haynes Miller i tot el material que ens varen proporcionar.
Mereixen el meu reconeixement el Departament de Matematiques de la UAB i en
particular el grup de topologia algebraica per la paciencia amb mi demostrada. Als
topolegs els vull agrair en particular la possibilitat que em varen donar de participar
activament en els seminaris dels cursos 1994–1995 i 1995–1996. El Departament ha fet
tambe possible que rebessim la visita de Jorge Devoto, les orientacions i l’entusiasme de
qui son fonamentals per a la direccio ulterior de les nostres recerques.
3
L’I.E.S. Jaume Mimo m’ha brindat no nomes la tranquil·litat material per escometre
aquesta batalleta, sino tambe un suport informatic que hem d’agrair als desvetllaments
del seu equip directiu. Aixo sense menystenir el recolcament, paciencia i comprensio de
companys i alumnes.
Vull igualment agrair a tots aquells que m’han fet arribar els seus treballs en aquest
ambit i que m’han donat els seus comentaris amables, com ara l’Anand Dessai i en Rainer
Jung, aix com Gerald Hohn, Stephan Stolz, Serge Ochanine, Andy Baker, i molts d’altres.
En Bjorn Schuster i l’Ian Leary han malgastat el seu temps amb mi, posant-me al dia
del significat de la nostra lınia de recerca en els contextos de l’homotopia estable i de la
cohomologia de grups respectivament, i fent-me arribar les darreres novetats.
Acabare donant alguna cosa mes que les gracies a la meva gent en general i a l’Albert
i a l’Andy en particular. A ells vull dedicar-los aquest esbos del que un treball d’iniciacio
a la recerca hauria d’haver estat. Se que no s’ho prendran malament.
4
1 Preliminars
1.1 Varietats spin i string
Si no s’especifica cap altra cosa, totes les varietats que considerarem en aquest treball
seran varietats diferenciables sense vora, compactes, connexes i orientables. Sigui M una
varietat de dimensio n ≥ 2. El seu fibrat tangent TM ↓M te com a grup d’estructura el
grup lineal GL(n,R). Si escollim una metrica de Riemann a M , llavors podem considerar
el fibrat principal FM ↓M de les referencies ortonormals amb grup d’estructura el grup
ortogonal O(n). Sota la hipotesi que M es orientable, es pot considerar el subfibrat de les
referencies ortonormals positives F+M ↓M , amb grup d’estructura SO(n).
Des del punt de vista de la teoria d’homotopia, aquesta restriccio del grup d’estructura
es pot interpretar de la manera seguent. El fibrat FM ↓M es induıt del fibrat universal
sobre l’espai classificador BO(n) per una certa aplicacio f :M → BO(n). L’anell de
cohomologia de BO(n) amb coeficients a Z/2 es
H∗(BO(n); Z/2) ∼= Z/2[w1, . . . , wn].
La varietat M es orientable si i nomes si la primera classe de Stiefel–Whitney de M , que es
defineix com w1(M) = f ∗(w1), s’anul·la. En aquest cas, si pensem w1 com una aplicacio
BO(n)→ K(Z/2, 1), la composicio w1 f es nulhomotopa i per tant f es pot elevar llevat
d’homotopia al recobridor universal de BO(n), que es justament BSO(n). Designarem
aquesta elevacio per
f〈2〉:M → BSO(n).
Ara suposem que n ≥ 3. Tenim π2(BSO(n)) ∼= π1(SO(n)) ∼= Z/2 i
H∗(BSO(n); Z/2) ∼= Z/2[w2, . . . , wn].
La varietat M s’anomena spin si la classe w2(M) = f〈2〉∗(w2) s’anul·la. Aquesta condicio
equival al fet que l’aplicacio f〈2〉 es pugui elevar llevat d’homotopia al recobridor 2-connex
de BO(n), que de fet es 3-connex i es l’espai classificador del recobridor universal Spin(n)
de SO(n). Cadascuna de les possibles elevacions
f〈4〉:M → BSpin(n).
indueix un fibrat principal PM ↓M amb grup d’estructura Spin(n), que es un recobridor
de dos fulls del fibrat de les referencies ortonormals positives.
5
Es compleix π4(BSpin(n)) ∼= Z i el grup H4(BSpin(n); Z) esta generat per una classe
anomenada q1; vegeu [31]. Si considerem la classe q1(M) = f〈4〉∗(q1), llavors la classe
p1(M) = 2q1(M) coincideix amb la primera classe de Pontrjagin de M , i l’anul·lacio de
q1(M) es equivalent a l’existencia d’alguna elevacio llevat d’homotopia
f〈8〉:M → BString(n),
on BString(n) designa el recobridor 4-connex de BO(n), que de fet es 7-connex; el lımit
directe dels espais BString(n) s’acostuma a designar per BO〈8〉, com a [96]. Si aquesta
elevacio de f es possible, llavors la varietat M s’anomena string, i cada classe d’homotopia
d’elevacions es diu una estructura string a M . Podem construir un grup topologic (no
compacte) String(n) tal que BString(n) sigui el seu espai classificador i que, com a grup,
sigui una extensio de Spin(n),
1→ G→ String(n)→ Spin(n)→ 1,
amb G ' CP∞; vegeu [169].
Els conceptes de varietat spin i varietat string es poden interpretar en termes de l’espai
LM de llacos lliures diferenciables a M , es a dir, l’espai de les aplicacions diferenciables
S1 →M sense punt base. Si pensem LM com una varietat de dimensio infinita modelada
per l’espai vectorial topologic LRn (vegeu [158]), llavors la condicio que M sigui spin
equival al fet que LM sigui orientable i la condicio que M sigui string correspon al fet
que LM sigui spin [137]. Aixo motiva el nom “string”, per la relacio existent amb la
geometria spin de la varietat de dimensio infinita LM i les seves implicacions a la teoria
de cordes.
1.2 Anells de cobordisme
Sigui M una varietat. Sigui f :M → BO l’aplicacio que classifica el fibrat tangent estable,
on O denota el lımit directe dels espais O(n). Si G es un grup topologic amb una aplicacio
j:G→ O (com per exemple SO, Spin, String, U, SU, etc), una G-estructura a M es una
classe d’homotopia d’aplicacions g:M → BG tals que Bjg = f . El conjunt ΩG de classes
de cobordisme de varietats amb G-estructura es un anell amb les operacions induıdes per
la unio disjunta i el producte cartesia de varietats. Es un anell graduat per la dimensio de
les varietats. Per a cada G hi ha un espectre-anell MG tal que ΩG es l’anell de coeficients
de la teoria d’homologia associada a l’espectre,
ΩGn∼= πn(MG).
6
L’anell ΩSO nomes conte 2-torsio, i es compleix:
ΩSO ⊗Q ∼= ΩSpin ⊗Q ∼= Q[CP2,CP4,CP6, . . .],
on CP2k denota (la classe de cobordisme orientat de) l’espai projectiu complex de dimensio
real 4k; vegeu [142, 18.9].
Una successio de varietats M4,M8,M12,M16, . . ., on M4k te dimensio 4k, es una
base de l’anell de cobordisme orientat si ΩSO ⊗ Q ∼= Q[M4,M8,M12,M16, . . .] com a
anells graduats. Una base que farem servir molt es la successio H3,0, H3,2, H3,4, H3,6, . . .
de varietats de Milnor, on Hi,j es la subvarietat de CPi × CPj de codimensio 1 donada
per l’equacio x0y0 + x1y1 + · · ·+ xryr = 0 en coordenades homogenies, on r = min(i, j).
1.3 Generes de Hirzebruch
Sigui Λ una Q-algebra commutativa. Un genere (real) amb valors a Λ es un homomorfisme
de Q-algebres
ϕ: ΩSO ⊗Q→ Λ.
Aixı doncs, podem pensar un genere ϕ com una correspondencia que assigna un element
de l’anell Λ a cada varietat diferenciable M compacta i orientada, de manera que
• ϕ(M1) = ϕ(M2) si M1 i M2 son SO-cobordants;
• ϕ(M1 qM2) = ϕ(M1) + ϕ(M2);
• ϕ(M1 ×M2) = ϕ(M1)ϕ(M2).
Exemple 1.1 Si M es una varietat de dimensio 4n, la signatura sign(M) es la signatura
del cup-producte en dimensio 2n pensat com una forma bilineal simetrica H2n(M ; Z) ⊗H2n(M ; Z) → H4n(M ; Z). Si la dimensio de M no es multiple de 4, llavors es defineix
sign(M) = 0. La signatura es un exemple d’un genere amb valors a Q (de fet, sign(M)
es un enter); vegeu [142, 19.3].
Hirzebruch va demostrar que la signatura d’una varietat es pot calcular a partir de les
seves classes de Pontrjagin [142, 19.4]. Seguint el mateix model, es poden construir molts
altres exemples de generes a partir de les classes de Pontrjagin de les varietats. De fet, tal
com s’explicara a continuacio, tots els generes reals es poden calcular a partir d’elles. Hi
ha una teoria analoga de generes complexos, definits sobre l’anell de cobordisme unitari
ΩU ⊗Q, que es poden calcular a partir de classes de Chern. Aquests generes complexos
els tractarem amb menys detall, ja que no els farem servir de manera essencial en aquest
treball.
7
1.4 Successions multiplicatives
Sigui Λ un anell commutatiu amb unitat (habitualment, Q) i sigui B∗ =⊕
i≥0Bi una
Λ-algebra graduada, estrictament commutativa i amb unitat. L’exemple que farem servir
mes sovint es Bi = H2i(M ; Q), on M es una varietat. Considerem el grup multiplicatiu
de les series formals amb terme independent igual a 1,
B× =
1 + b1 + b2 + · · · , bi ∈ Bi.
Sigui K una successio Kr de polinomis amb coeficients a Λ i amb indeterminades
xi de grau i,
K1 (x1) , K2 (x1, x2) , . . . , Kr (x1, x2, . . . , xr) , . . .
on cada Kr (x1, x2, . . . , xr) es homogeni de grau r. Aleshores la successio K actua sobre
les series b ∈ B× de la manera seguent: donat un element b = 1+b1 +b2 +b3 + · · ·, definim
un altre element K(b) per
K(b) = 1 +K1 (b1) +K2 (b1, b2) + · · ·+Kr (b1, b2, . . . , br) + · · · .
Una successio multiplicativa es una successio de polinomis K = Kr del tipus que
acabem de descriure, tal que per a qualsevol Λ-algebra B∗ i elements b, b′ ∈ B× arbitraris,
es compleix
K (bb′) = K (b)K (b′) .
En particular, podem considerar la Λ-algebra B∗ = Λ[[t]], on t es de grau 1. Llavors
els elements de B× son les series de potencies de la forma
P (t) = 1 + λ1t+ λ2t2 + λ3t
3 + · · · , λi ∈ Λ.
Tal com es demostra a [142, 19.1], la correspondencia que assigna a cada successio multi-
plicativa K = Kr la serie
P (t) = K(1 + t) = 1 +K1(t) +K2(t, 0) +K3(t, 0, 0) + · · ·
es bijectiva entre les successions multiplicatives sobre Λ i les series de potencies de Λ[[t]]×.
La correspondencia inversa es defineix de la manera seguent. Considerem els polinomis
simetrics elementals en les indeterminades t1, . . . , tn de grau 1,
σr(t1, . . . , tn) =∑
i1<i2<···<ir
ti1ti2 · · · tir .
8
Aleshores, donada una serie de potencies P (t) = 1 +λ1t+λ2t2 + · · · ∈ Λ[[t]]×, la successio
multiplicativa Kr associada ve determinada per l’expressio
P (t1)P (t2) · · ·P (tn) = 1 +K1 (σ1) +K2 (σ1, σ2) + · · ·+Kn (σ1, σ2, . . . , σn)
+ termes de grau superior,
on cada Kr es homogeni de grau r, i l’expressio anterior esta justificada pel fet que tot
polinomi simetric es pot expressar en termes dels polinomis simetrics elementals.
1.5 Classes de Chern i de Pontrjagin
Sigui E ↓M un fibrat vectorial complex de dimensio n sobre una varietat M , i sigui
c(E) = 1 + c1(E) + · · ·+ cn(E) ∈ H2∗(M ; Q)×
la seva classe de Chern total. Pel principi d’escissio [103], podem suposar que tenim una
descomposicio del fibrat E en suma directa de fibrats de lınia complexos,
E = `1 ⊕ `2 ⊕ · · · ⊕ `n.
Les classes xj = c1(`j) (que en general no son classes de cohomologia a M) s’anomenen
les arrels formals de c(E). Com que la classe de Chern total d’una suma directa es el
producte de les classes de Chern totals dels seus sumands, tenim
c(E) =n∏i=1
c(`i) =n∏i=1
(1 + xi)
i per tant les classes cr(E) ∈ H2r(M ; Q) coincideixen amb el resultat d’avaluar els poli-
nomis simetrics elementals en les classes xj,
cr(E) = σr(x1, x2, . . . , xn).
Sigui ara E ↓M un fibrat vectorial real de dimensio 4n. La seva classe de Pontrjagin
total ve donada per
p(E) = 1 + p1(E) + · · ·+ pn(E) ∈ H4∗(M ; Q)×
on pi(E) = (−1)ic2i(E ⊗ C). La descomposicio de E ⊗ C en fibrats de lınia complexos
pren la forma
E ⊗C = `1 ⊕ `1 ⊕ `2 ⊕ `2 ⊕ · · · ⊕ `2n ⊕ `2n,
9
on `j es el fibrat conjugat de `j. Si diem xj = c1(`j) igual que abans, tenint en compte
que c1(`j) = −c1(`j), obtenim
c(E ⊗C) =2n∏i=1
(1− x2i ), p(E) =
2n∏i=1
(1 + x2i ),
i per tant les classes de Pontrjagin de E son iguals a
pr(E) = σr(x21, x
22, . . . , x
22n).
1.6 Serie caracterıstica d’un genere
Considerem un fibrat vectorial complex E ↓ M sobre una varietat M , i sigui K = Kruna successio multiplicativa amb serie caracterıstica associada P (x) = K(1+x). Aleshores
la K-classe total K(E) del fibrat E ve donada per K(E) = K(c(E)); es a dir,
K(E) = K1(c1) +K2(c1, c2) +K3(c1, c2, c3) + · · · ,
on c(E) = 1 + c1 + c2 + c3 + · · · es la classe de Chern total del fibrat E.
Com que c(E ⊕ E ′) = c(E)c(E ′) i K es una successio multiplicativa, tenim que
K(E ⊕ E ′) = K(E)K(E ′).
Si suposem que E te dimensio complexa n i designem per x1, . . . , xn les arrels formals de
c(E), obtindrem
K(E) =n∏i=1
K(1 + xi) = P (x1)P (x2) · · ·P (xn).
En particular, escollint E = TM , podem assignar a M el nombre K(TM)[M ], on
[M ] ∈ H2n(M ; Q) es la classe fonamental. Aquesta correspondencia defineix un genere
complex, per a qualsevol successio multiplicativa K.
Exemple 1.2 Considerem la serie de potencies td(x) ∈ Q[[x]] definida per
td(x) =x
1− e−x= 1 +
1
2x+
1
12x2 + · · ·
amb successio multiplicativa associada Td = Tdr. Aleshores la classe de Todd total
d’un fibrat complex E ↓M de dimensio n es
Td(E) =n∏i=1
xi1− e−xi
10
on x1, . . . , xn son les arrels formals de c(E). Si posem ci = ci(E), tindrem
Td1 (c1) =1
2c1
Td2 (c1, c2) =1
12
(c2 + c2
1
)Td3 (c1, c2, c3) =
1
24c1c2
. . .
Si M es una varietat complexa de dimensio complexa n, llavors el genere de Todd
de M es defineix avaluant la classe de Todd total del fibrat tangent TM ↓ M sobre la
classe fonamental [M ] ∈ H2n (M ; Q),
Td (M) = Tdn (TM) [M ] .
Analogament, si E ↓ M es un fibrat vectorial real sobre una varietat M , podem
considerar una successio multiplicativa qualsevol K = Kr amb serie caracterıstica as-
sociada P (x). Aleshores la K-classe total K(E) del fibrat E es K(E) = K(p(E)), on
p(E) = 1+p1 +p2 +p3 + · · · es la classe de Pontrjagin total del fibrat E. Si E te dimensio
real 4n, obtindrem
K(E) =2n∏i=1
K(1 + x2i ) = P (x2
1)P (x22) · · ·P (x2
2n),
on ±x1, . . . ,±x2n son les arrels formals de c(E ⊗C). Quan es treballa amb generes reals,
es habitual d’anomenar serie caracterıstica del genere a la serie de potencies parelles
Q(x) = P (x2),
El genere (real) associat a una successio multiplicativa K es defineix avaluant la
K-classe del fibrat tangent sobre la classe fonamental de cada varietat,
ϕ(M) = K(TM)[M ].
Exemple 1.3 Considerem la serie de potencies a(x) ∈ Q[[x]] definida per
a(x) =
√x/2
sinh (√x/2)
= 1− 1
24x+
7
5760x2 + · · ·
amb successio multiplicativa associada A = Ar. Aleshores la A-classe total d’un fibrat
real E ↓M de dimensio 4n es
A(E) = a(x2
1
)· · · a
(x2
2n
)=
2n∏j=1
xj/2
sinh (xj/2),
11
on ±x1, . . . ,±x2n son les arrels formals de c(E ⊗C). Si escrivim pi = pi(E), tindrem
A1(p1) = − 1
24p1
A2(p1, p2) =1
5760
(−4p2+7p2
1
)A3(p1, p2, p3) =
1
967680
(16p3 − 44p2p1 + 31p3
1
). . .
A vegades tambe es considera la successio Ar = 16rAr, associada a a(x) = a(16x).
Si M es una varietat de dimensio 4n, aleshores el A-genere de M ve definit per la
A-classe del fibrat tangent TM ↓M avaluada sobre la classe [M ] ∈ H4n (M ; Q),
A(M) = An(TM) [M ] .
Fixem-nos quex
(1− e−x)· −x
(1− ex)= −
(x/2
sinh(x/2)
)2
,
i per tant les classes de Todd i A compleixen la relacio
Td(E ⊗C) = A(E)2
per a qualsevol fibrat vectorial real E.
1.7 Logaritme d’un genere
Sigui Λ un anell commutatiu amb unitat. A tota serie de potencies parella Q(x) = P (x2)
amb coeficients a Λ i terme independent igual a 1 li podem associar la serie senar
f(x) =x
Q(x).
Si g designa la inversa formal de f (es a dir, satisfa g(f(x)) = x) i ϕ designa el genere
real associat a Q, llavors es compleix
g(y) =∞∑k=0
ϕ(CP2k)y2k+1
2k + 1,
tal com es detalla a [90, 1.6]. Com que les classes de cobordisme dels espais CP2k amb
k ≥ 1 generen l’anell ΩSO ⊗ Q, la serie Q i el genere ϕ es determinen mutuament.
12
En particular, hi ha una correspondencia bijectiva entre els generes reals i les series de
potencies parelles Q(x). La serie g(y) s’anomena el logaritme del genere ϕ.
Si posem
F (u, v) = f(g(u) + g(v)),
llavors F satisfa els axiomes d’una llei de grup formal. Aixo justifica el nom de “logaritme”
que hem donat a g. La serie g es pot recuperar a partir de la llei de grup formal F a
partir de l’expressio∂F (u, 0)
∂v=
1
g′(u).
Tambe es considera la funcio de duplicacio h, donada per l’expressio
f(2x) = 2f(x) f ′(x)h(f(x))
i que satisfa [90, 1.7]
h(y) =∞∑k=0
ϕ(HPk)y2k,
on HPk designa l’espai projectiu quaternionic de dimensio real 4k.
1.8 Generes el·lıptics
Un genere (real) ϕ es el·lıptic si el seu logaritme te la forma
g(y) =
∫ y
0
dt√1− 2δt2 + εt4
,
per a uns certs parametres δ, ε, o equivalentment si la seva funcio de duplicacio te la
forma
h(y) =1
1− εy4.
Per a tot genere el·lıptic ϕ es compleix δ = ϕ(CP2) i ε = ϕ(HP2).
Exemple 1.4 La signatura es un genere el·lıptic on δ = ε = 1. El A-genere tambe es
el·lıptic amb δ = −1/8, ε = 0.
Si es volen estudiar les propietats dels generes el·lıptics, es natural pensar δ i ε com
dos parametres linealment independents, i considerar un genere el·lıptic “universal” que
prengui valors a l’anell Q[δ, ε]. Per tal de descriure explıcitament la serie caracterıstica
Q(x) associada a aquest genere universal i donar-li una interpretacio geometrica, conve
representar Q[δ, ε] en un anell de formes modulars, tal com s’explica a continuacio.
13
1.9 Formes modulars
Sigui H el semipla superior obert. El grup SL2(R) actua sobre H com(a b
c d
)τ =
aτ + b
cτ + d.
Una funcio f(τ) holomorfa a H es pot convertir en una funcio holomorfa al disc unitat
sense l’origen amb el canvi de variable q = e2πiτ . Observem que q → 0 quan la part
imaginaria de τ tendeix cap a infinit. Aquesta funcio al disc unitat sense l’origen admet
una extensio holomorfa al disc si i nomes si es fitada a l’entorn de 0. En aquest cas tindra
un desenvolupament de Fourier∑∞
n=0 cnqn, i es diu que la funcio f es holomorfa a l’infinit.
Sigui Γ un subgrup d’ındex finit a SL2(Z). Una funcio f :H→ C es una forma modular
respecte a Γ de pes n si f es holomorfa a H, holomorfa a cadascuna de les puntes del
domini fonamental de Γ i satisfa
f(Aτ) = (cτ + d)nf(τ)
per a tota A ∈ Γ. Aquesta darrera condicio ens diu que f dona lloc a una funcio homogenia
de grau −n sobre l’espai dels reticles L = Zω1 + Zω2. Concretament, F (Zω1 + Zω2) =
ω−n2 f(ω1/ω2) es una funcio ben definida, de manera que podem pensar F com una funcio
del reticle L. Com a tal, satisfa la condicio d’homogeneıtat F (λL) = λ−nF (L) per a
tot λ ∈ C i tot reticle L. Sempre que considerem un reticle Zω1 + Zω2 a C suposarem
implıcitament que ω1 i ω2 han estat ordenats de manera que la part imaginaria de ω1/ω2
sigui positiva.
Sigui M(Γ) l’anell generat per les formes modulars respecte a Γ, amb la suma i el
producte ordinaris. Aquest es un anell graduat pel pes: si f te pes n i g te pes m,
llavors fg te pes n+m. L’anell M(Γ) sera designat nomes per M quan Γ = SL2(Z). Les
formes modulars que s’anul·len a totes les puntes del domini fonamental de Γ s’anomenen
cuspidals. Quan Γ es tot SL2(Z), una forma modular f es cuspidal si i nomes si el seu
desenvolupament de Fourier te el terme independent c0 = 0.
A continuacio descriurem algunes formes modulars per a SL2(Z) que utilitzarem en
aquest treball.
• Tot reticle L te associada una serie d’Eisenstein
En(L) =∑w∈L′
1
wn,
14
on fem servir la notacio L′ = L\0. Si escrivim L = Zτ +Z, llavors podem pensar
En com una funcio de τ ∈ H. Com a tal, si k ≥ 2, llavors E2k es una forma modular
de pes 2k. Les series E2k+1 son identicament zero. (Atencio: hem adoptat la notacio
de [148] per a les series En, que es diferent de la de [90].)
• Les series d’Eisenstein normalitzades es defineixen com
G2k =(2k − 1)!
2(2πi)2kE2k
= −B2k
4k+∞∑n=1
σ2k−1(n)qn,
on σr(n) =∑d|n
dr i els Bi son els nombres de Bernoulli, que venen donats per
x
ex − 1=∞∑i=0
Bi
i!xi.
Aquestes series tenen els coeficients de Fourier racionals i per a k ≥ 2 la serie G2k
es una forma modular de pes 2k (es important insistir que G2 no es pas modular).
Per exemple,
G2 = − 1
24+ q + 3 q2 + 4 q3 + 7 q4 + · · ·
G4 =1
240+ q + 9 q2 + 28 q3 + 73 q4 + · · ·
G6 = − 1
504+ q + 33 q2 + 244 q3 + 1057 q4 + · · ·
• La funcio delta de Ramanujan
∆ =1
1728((240G4)3 − (504G6)2)) = q
∞∏n=1
(1− qn)24
= q − 24 q2 + 252 q3 − 1472 q4 + · · · ,
que te pes 12 i es cuspidal. A mes, no s’anul·la a cap punt de H. Els seus coeficients
s’anomenen nombres de Ramanujan. Un problema obert important es decidir si son
tots diferents de zero.
La funcio j de Klein es defineix per
j =(240G4)3
∆=
1
q+ 744 + 196884 q + 21493760 q2 + · · · .
15
Es holomorfa a H i te un pol d’ordre 1 a l’infinit (es a dir, a q = 0). Esta relacionada amb
la teoria de representacions pel fet que el mınim de les dimensions de les representacions no
trivials del monstre de Fischer–Griess es igual a 196883. La teoria que estudia els motius
i les consequencies d’aquesta coincidencia s’anomena moonshine. La primera explicacio
la va donar Borcherds [36].
Les formes G4 i G6 son algebraicament independents, i de fet es compleix
M ∼= C[G4, G6]
com a algebres graduades. La consequencia mes important d’aixo es que l’espai vectorial
complex M2k de formes modulars de pes 2k te dimensio finita per a tot k i esta generat
per les formes (G4)i(G6)j amb 4i+ 6j = 2k. Aixı obtenim relacions com per exemple
G8 = −4B8
B24
(G4)2 = 120 (G4)2
G10 = − 24B10
5B4B6
G4G6 =5040
11G4G6.
Tal com es demostra a [148, 5.4], la dimensio de l’espai vectorial M2k ve donada per
dimC(M2k) =
[k/6] si k ≡ 1 mod 6
[k/6] + 1 si k 6≡ 1 mod 6.
Proposicio 1.5 Una forma modular f ∈ M2k, f =∑∞
n=1 cn qn, queda completament
determinada pels coeficients cn amb n < dimCM2k.
Demostracio: Si posem d = dimCM2k, llavors es compleix
M2k =d−1⊕i=0
C[G2k−12i ∆i].
Pero ∆ es cuspidal, i per tant la serie de Fourier de G2k−12i ∆i comenca amb qi. Aixı
doncs, tot element de M2k esta determinat pels d primers coeficients. qed
16
1.10 L’anell de formes quasimodulars
Considerem l’anell graduat
N = C[G2, G4, G6],
on G2 te grau 2 i per tant, com a espai vectorial complex,
N2k = C⟨(G2)c(G4)a(G6)b | 2c+ 4a+ 6b = 2k
⟩.
Aquest anell te la particularitat seguent. Podem considerar l’operador diferencial
D =1
2πi
d
dτ
a l’algebra de les funcions diferenciables H −→ C. Amb el canvi de variable q = e2πiτ ,
dq = 2πi q dτ , ens queda
D = qd
dq.
Aquest operador D es de fet un morfisme d’anells N → N que augmenta el grau en 2
unitats.
• Si f ∈ N2k, aleshores Df ∈ N2k+2. En particular,
DG2 =5
6G4 − 2 (G2)2.
• Si f ∈M2k, aleshores Df + 4kfG2 ∈M2k+2. En particular,
DG4 =7
10G6 − 8G2G4,
DG6 =400
7(G4)2 − 12G2G6.
Com a anell graduat, N = C[G2, DG2, D2G2]. Aixo es dedueix de les expressions
DG2 =5
6G4 − 2 (G2)2, D2G2 =
7
12G6 − 10G2G4 + 8(G2)3
G4 =6
5
(DG2 + 2 (G2)2
), G6 =
12
7
(D2G2 + 12G2DG2 + 16 (G2)3
).
L’accio de D en aquesta nova base queda determinada per
D3G2 = 36 (DG2)2 − 24G2D2G2.
17
1.11 Genere el·lıptic universal
Tot reticle L = Zω1 + Zω2 a C te associada una funcio ℘ de Weierstrass,
℘(z) =1
z2+∑w∈L′
(1
(z − w)2− 1
w2
),
on L′ = L \ 0. Aquesta funcio ℘ i la seva derivada ℘′ son funcions el·lıptiques respecte
al reticle L; es a dir, satisfan f(z + w) = f(z) per a tot w ∈ L. Per tant, podem pensar-
les com funcions meromorfes sobre la corba el·lıptica C/L, que com a espai topologic es
homeomorfa a un tor.
La funcio ℘ te pols d’ordre 2 a tots els punts del reticle, i es una funcio parella. Satisfa
℘ (τ, z) =1
z2+ 2
∞∑k=2
G2k (τ)z2k−2
(2k − 2)!, (1.1)
on τ ∈ H i ℘(τ, z) designa la funcio ℘(z) respecte al reticle L = 2πiτZ + 2πiZ. La funcio
℘ satisfa una equacio diferencial
℘′(z)2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3,
on els coeficients g2 i g3 depenen del reticle. Es compleix g2 = 60E4, g3 = 140E6 i a mes
∆ =1
(2π)12
[(g2)3 − 27(g3)2
],
on (g2)3 − 27(g3)2 es precisament el discriminant del polinomi 4x3 − g2x − g3. Com que
la funcio ∆ no s’anul·la a cap punt de H, aquest polinomi no te mai zeros multiples.
Els zeros de la derivada ℘′(z) son els punts migs 12ω1, 1
2ω2, 1
2(ω1 + ω2) per a tot reticle
L = Zω1 + Zω2. Si escollim (ω1, ω2) = (2πiτ, 2πi) i avaluem la funcio ℘ en els punts migs,
e1 = ℘
(πi
2
), e2 = ℘
(πiτ
2
), e3 = ℘
(πi(τ + 1)
2
),
llavors l’equacio diferencial es converteix en
℘′(z)2 = 4 (℘(z)− e1) (℘(z)− e2) (℘(z)− e3) .
Les funcions e1, e2, e3 son formes modulars de pes 2 respecte a uns certs subgrups de
SL2(Z). En concret, e1 es modular respecte a
Γ0(2) =
(a b
c d
)∈ SL2(Z) | c ≡ 0 mod 2
.
18
Les funcions ℘ i ℘′ donen una parametritzacio de la cubica y2 = 4x3− g2x− g3 a CP2.
Aquesta cubica te associada una llei de grup formal que correspon a l’estructura natural
de grup a C/L via la funcio ℘.
D’altra banda, la funcio f(z) = 1/√℘(z)− e1 satisfa
f(2z) =2 f(z) f ′(z)
1− ε f(z)4
i per tant defineix un genere el·lıptic sobre Q, amb δ = 34e1, ε = 1
16(e2 − e3)2. D’aquı
obtenim
δ = −1
8− 3 (q + q2 + 4 q3 + q4 + · · ·)
ε = q + 8 q2 + 28 q3 + 64 q4 + · · · ,
que son totes dues formes modulars respecte a Γ0(2), algebraicament independents i de
pesos 2 i 4 respectivament.
Amb aquesta representacio, la serie caracterıstica del genere el·lıptic universal
ϕell: ΩSO ⊗Q→ Q[δ, ε],
tal com demostra Zagier a [192], es igual a
Q(x) =x/2
sinhx/2
∞∏n=1
[(1− qn)2
(1− qnex)(1− qne−x)
](−1)n
,
on δ i ε venen donades per les expressions anteriors. Observem que si fem q = 0 obtenim
la serie caracterıstica del A-genere. Aixo vol dir que el terme independent del genere
el·lıptic ϕell(M) de qualsevol varietat M es igual a A(M).
Tambe es pot fer la transformacio
Q(x) = exp
(∞∑k=1
2
(2k)!G2k x
2k
)
on G2k(q) = −G2k(q) + 2G2k(q2); vegeu [192]. Per exemple,
G2 = − 1
24− q − q2 − 4 q3 − q4 − · · ·
G4 =1
240− q − 7 q2 − 28 q3 − 55 q4 − · · ·
G6 = − 1
504− q − 31 q2 − 244 q3 − 991 q4 − · · · .
19
Aixı doncs, aquest genere el·lıptic ϕell pren valors a l’anell
M(Γ0(2)) = C[δ, ε],
on les formes δ = ϕell(CP2), ε = ϕell(HP2) tambe es poden expressar com
δ = 3 G2
ε = 2 (G2)2 − 5
6G4.
Com a consequencia de la formula de duplicacio, tenim
ϕell(HPk) =
0 k senar
εk/2 k parell
i per tant ϕell(HP2k) ∈ qkZ[[q]]. Oferim alguns calculs mes:
ϕell(CP4) =3
2δ2 − 1
2ε
ϕell(CP6) =5
2δ3 − 3
2ε δ
ϕell(CP8) =35
8δ4 − 15
4ε δ2 +
3
8ε2
ϕell(CP10) =63
8δ5 − 35
4ε δ3 +
15
8ε2 δ
ϕell(CP12) =231
16δ6 − 315
16ε δ4 +
105
16ε2 δ2 − 5
16ε3
ϕell(CP14) =429
16δ7 − 693
16ε δ5 +
315
16ε2 δ3 − 35
16ε3 δ.
Per a les varietats de Milnor es compleix ϕell(Hi,j) = ϕell(Hj,i). A mes, resulta que
ϕell(Hi,j) = 0 si i+ j es parell. De l’expressio per al logaritme g(y) s’obte (vegeu [90, 3.2])
ϕell(Hi,j) =
εj/2 ϕell(CPi−j−1) j < i, j parell
0 j ≥ i, j parell.
En particular, ϕell(H3,0) = δ, ϕell(H3,2) = ε, ϕell(H3,j) = 0 per a j 6= 0, 2.
20
1.12 Cohomologies el·lıptiques
Els coeficients de Fourier del genere el·lıptic universal ϕell(M) de qualsevol varietat M
pertanyen a Z[12] (vegeu [124]), i son tots enters quan M es una varietat spin. Aixı doncs,
podem penser el genere el·lıptic universal com un homomorfisme
ϕell: ΩSO → Z[12][δ, ε].
Per a cada element ω ∈ Z[12][δ, ε] de grau positiu, podem definir un functor sobre els
CW-complexos X com
(Ellω)∗(X) = MSO∗(X)⊗ΩSO Z[12][δ, ε, ω−1].
Tal com demostren Landweber, Ravenel i Stong a [124] i Franke a [73], aquest functor sa-
tisfa els axiomes d’una teoria d’homologia. Aixo es dedueix del teorema del functor exacte
de Landweber [120], i seria fals si no haguessim localitzat l’anell de coeficients respecte
d’algun element ω de grau positiu. Kreck i Stolz han donat a [115] una interpretacio
geometrica d’aquestes teories de (co)homologia en termes de fibrats amb fibra HP2.
Cal destacar l’analogia amb l’equivalencia de Conner–Floyd [54]. Hi ha una aplicacio
d’espectres
MSO→ KO[12]
que indueix el A-genere als coeficients. Llavors es compleix
MSO∗(X)⊗ΩSO KO[12]∗ ∼= KO[1
2]∗(X),
per a tot CW-complex X, on l’estructura de modul a KO[12]∗ es defineix via el A-genere.
21
2 Genere de Witten
El genere de Witten ϕW es una variant del genere el·lıptic universal, que pren valors a
l’anell Q[G2, G4, G6] de formes quasimodulars amb coeficients racionals. Si M es spin,
llavors els coeficients de Fourier de ϕW (M) son enters. Si M es string (es a dir, tal que
q1(M) = 0), llavors ϕW (M) es una forma modular respecte al grup SL2(Z).
2.1 Serie caracterıstica
Considerem la serie de potencies parella
Q(x) = exp
(∞∑k=1
2
(2k)!G2kx
2k
),
on G2k son les funcions a H definides a la seccio anterior (son formes modulars si k ≥ 2). El
genere associat a aquesta serie s’anomena el genere de Witten ϕW . La serie caracterıstica
tambe es pot expressar com
Q(x) =x/2
sinhx/2
∞∏n=1
[(1− qn)2
(1− qnex)(1− qne−x)
].
Igual com passa amb el genere el·lıptic universal, quan q = 0 aquesta es la serie carac-
terıstica del A-genere. Per tant, per a tota varietat M ,
ϕW (M) = A(M) + c1q + c2q2 + c3q
3 + · · · , ci ∈ Q.
La funcio f(x) = x/Q(x), que a vegades designarem per Φ(τ, x) per destacar que
tambe depen de la variable τ ∈ H, es igual a
Φ(τ, x) = σL(x) exp(−G2x2),
on σL es la funcio σ de Weierstrass associada al reticle L = 2πiτZ + 2πiZ, on q = e2πiτ ;
es a dir,
σL(x) = x∏w∈L′
((1− x
w
)exp
(x
w+
x2
2w2
)),
on L′ = L \ 0.Es compleix
d2
dx2log Φ(τ, x) =
Φ′′Φ− (Φ′)2
Φ2= −℘(τ, x)− 2G2(τ).
22
La funcio σ de Weierstrass te la propietat que qualsevol funcio el·lıptica es pot escriure
en termes de σ; en el nostre cas, tenim
℘(τ, x2)− ℘(τ, x1) =σ(τ, x1 + x2)σ(τ, x1 − x2)
σ(τ, x1)2 σ(τ, x2)2
i per tant
Φ(τ, x1 + x2) Φ(τ, x1 − x2) = Φ(τ, x1)2 Φ(τ, x2)2 [℘(τ, x2)− ℘(τ, x1)] .
Aixı obtenim l’equacio diferencial seguent per a la llei de grup formal del genere de Witten:
F (u, v)F (u,−v) = u2v2
(u′′u− (u′)2
u2− v′′v − (v′)2
v2
).
Fixem-nos que
limx2→x1
Φ(τ, x1 − x2)
x1 − x2
= 1, limx2→x1
℘(τ, x2)− ℘(τ, x1)
x1 − x2
= −℘′(τ, x1).
Aixı doncs, per a la formula de duplicacio tenim
Φ(τ, 2x) = −Φ(τ, x)4 ℘′(τ, x).
Per a una varietat M de dimensio 4n, amb arrels formals ±x1, . . . ,±x2n i classes de
Pontrjagin p1, . . . , pn, el genere de Witten de M es calcula com
ϕW (M) =
(2n∏i=1
Q(xi)
)[M ] = Kn(p1, p2, . . . , pn)[M ],
on [M ] ∈ H4n(M ; Q) denota la classe fonamental de M , i K = Kn es la successio
multiplicativa associada a ϕW :
K1(x1) = G2 x1
K2(x1, x2) =1
12G4 (x2
1 − 2x2) +1
2(G2)2 x2
1
K3(x1, x2, x3) =1
360G6 (x3
1 − 3x1x2 + 3x3) +1
12G2G4 x1(x2
1 − 2x2) +1
6(G2)3 x3
1
. . .
Aixo ho demostrarem a l’apartat 2.4. Abans de poder donar mes detalls i aplicar-ho
a casos concrets, farem una analisi detallada de la notacio necessaria.
23
2.2 Particions
Sigui k ≥ 1. Una particio I de k es una col·leccio [i1, i2, . . . , ir] d’enters in ≥ 1 amb∑rj=1 in = k. Habitualment suposarem tambe que i1 ≤ i2 ≤ · · · ≤ ir. Definim
r1, r2, . . . , rk com ra = ]j | ij = a, es a dir
I = [i1, i2, . . . , ir] = [
r1︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1,
r2︷ ︸︸ ︷2, . . . , 2, . . . ,
rk−1︷ ︸︸ ︷k − 1, . . . , k − 1,
rk︷ ︸︸ ︷k, . . . , k ].
Anomenarem P(r)k al conjunt de particions [i1, i2, . . . , ir] de k, i Pk =
⋃r≥1P
(r)k al conjunt
de totes les particions de k. El conjunt Pk es pot ordenar co-lexicograficament. Siguin
I = [i1 ≤ · · · ≤ ir], J = [j1 ≤ · · · ≤ js] amb∑I =
∑J = k. Aleshores I < J si i nomes
si existeix t ≥ 0 tal que ir−a = js−a (0 ≤ a < t)
ir−t < js−t.
Per exemple, si k = 4,
[1, 1, 1, 1] < [1, 1, 2] < [2, 2] < [1, 3] < [4].
Aquest ordre es l’ordre natural alfabetic de les paraules irir−1 · · · i1.
Recordem que tambe hi ha un ordre parcial a Pk, amb I J si i nomes si I es un
refinament de J ; es a dir, cada ja, 1 ≤ a ≤ s, es pot escriure com una suma ja =∑
b∈Xaib
tal que 1, 2, . . . , r es la unio disjunta dels Xa. L’ordre total ≤ es compatible amb l’ordre
parcial : si I es un refinament de J , aleshores I ≤ J . Per a k = 4, per exemple, la
diferencia entre ≤ i es que no es compleix ni [2, 2] [1, 3] ni [1, 3] [2, 2].
Es pot generar el conjunt de particions Pk inductivament a partir de Pk−1 de la manera
seguent. Per a cada I = [i1 ≤ · · · ≤ ir] ∈ Pk−1, posem I+ = [1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ ir]. En els
casos on r = 1 o be i1 < i2, definim tambe I++ = [i1 + 1 ≤ · · · ≤ ir]. Aquests elements
I+, I++ generen Pk sense repeticio, i l’ordre a Pk ve induıt per l’ordre a Pk−1 i la relacio
I+ < I++:
[1] → [1, 1] → [1, 1, 1] → [1, 1, 1, 1] → [1, 1, 1, 1, 1]
[2] → [1, 2] → [1, 1, 2] → [1, 1, 1, 2]
[2, 2] → [1, 2, 2]
[3] → [1, 3] → [1, 1, 3]
[2, 3]
[4] → [1, 4]
[5]
24
2.3 Polinomis simetrics
Ens interessara disposar de formules generals per als termes de l’expressio
Q(x1)Q(x2) · · ·Q(xm)
on Q(x) = 1 + b1x2 + b2x
4 + b3x6 + · · · es una serie de potencies parella qualsevol. En
general, sigui
S(xk11 x
k22 · · · xkmm
)el polinomi simetric i homogeni donat per la suma de tots els termes diferents que
s’obtenen de xk11 xk22 · · ·xkmm permutant les indeterminades de totes les maneres possibles.
Per a I = [i1, i2, . . . , ir] una particio de k, on r ≤ m, designarem per sI el polinomi
simetric de grau k
sI = S(x2i1
1 x2i22 · · ·x2ir
r x0r+1x
0r+2 · · ·x0
m
).
Aleshores
m∏i=1
Q(xi) = 1 + b1s1 + b21s1,1 + b2s2 + b3
1s1,1,1 + b1b2s1,2 + · · ·
= 1 +m∑k=1
∑I∈Pk
bIsI + termes d’ordre superior,
on bI = bi1bi2 · · · bir = br11 br22 · · · b
rkk . Considerem en particular les sumes de potencies sk i
els polinomis simetrics elementals pk,
sk = S(x2k1 ) = x2k
1 + x2k2 + · · ·+ x2k
m
pk = S(x21x
22 · · ·x2
k) =∑
1≤i1<i2<···<ik≤m
x2i1x2i2· · · x2
ik
per a k ≤ m. Es compleix
sk−1p1 = sk + S(x
2(k−1)1 x2
2
)sk−ipi = S
(x
2(k−i+1)1 x2
2 · · ·x2i
)+ S
(x
2(k−i)1 x2
2 · · ·x2i+1
), 2 ≤ i ≤ k − 2
s1pk−1 = S(x4
1x22 · · ·x2
k−1
)+ kpk,
d’on resulta la formula de Newton [142, § 16]:
sk − sk−1p1 + sk−2p2 + · · ·+ (−1)k−1 s1pk−1 + (−1)k kpk = 0;
25
es a dir,k∑i=0
(−1)isk−ipi = 0, on cal entendre que s0 = m, p0 = 1.
Considerem per exemple els casos k = 1, 2, 3, 4:
s1 − p1 = 0
s2 − s1p1 + 2p2 = 0
s3 − s2p1 + s1p2 − 3p3 = 0
s4 − s3p1 + s2p2 − s1p3 + 4p4 = 0
d’on s1 = p1 i inductivament
s2 = p21 − 2p2
s3 = p31 − 3p1p2 + 3p3
s4 = p41 − 4p2
1p2 + 4p1p3 + 2p22 − 4p4.
Mes generalment, sigui Sm l’anell de polinomis simetrics en les variables x21, . . . , x
2m,
que esta generat com a anell pels pi o els si. Considerem tambe l’espai S2km de polinomis
de grau 2k a Sm, que esta generat com a espai vectorial pels sI amb I ∈ Pk. Tenim unes
altres bases per a S2km , donades per
sI = si1si2 · · · sir =r∏
a=1
(x2ia
1 + x2ia2 + · · ·+ x2ia
m
)pI = pi1pi2 · · · pir =
r∏a=1
∑b1<···<bia
x2b1x2b2· · ·x2
bia
pI = pI′
=r∏
a=1
( ∑b1<···<ba
x2b1x2b2· · ·x2
ba
)ir−a+1−ir−a
amb i0 = 0,
on la particio I ′ ve definida per I = [i1 < i2 < · · · < ir] de la manera seguent:
I ′ = [
ir−ir−1︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1,
ir−1−ir−2︷ ︸︸ ︷2, . . . , 2, . . . ,
i2−i1︷ ︸︸ ︷r − 1, . . . , r − 1,
i1︷ ︸︸ ︷r, . . . , r ].
La correspondencia I 7→ I ′ es una permutacio de Pk, es a dir, els polinomis pI son els
mateixos quepI = pi1pi2 · · · pir
, en un ordre diferent.
Designarem per A = αI,J , B = βI,J les matrius de canvi de base:∑J
αI,JsJ = sI ,∑J
βI,JsJ = pI
26
per a I, J ∈ Pk. Per exemple, per a k = 4 tenim24 12 6 4 1
0 2 2 2 1
0 0 2 0 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
s1, 1, 1, 1
s1, 1, 2
s2, 2
s1, 3
s4
=[s4
1 s21s2 s2
2 s1s3 s4
]
1 0 0 0 0
4 1 0 0 0
6 2 1 0 0
12 5 2 1 0
24 12 6 4 1
s1, 1, 1, 1
s1, 1, 2
s2, 2
s1, 3
s4
=[p4 p1p3 p2
2 p21p2 p4
1
]
Proposicio 2.1 Siguin I, J ∈ Pk. Aleshores
1. Els αI,J i βI,J son enters no negatius.
2. αI,J 6= 0 si i nomes si I J , i per tant si I > J llavors αI,J = 0.
3. βI,J = 0 si i nomes si I < J , βI,I = 1.
Demostracio:
1. Els αI,J i βI,J son els coeficients de x2j11 x2j2
2 · · ·x2jss en sI i en pI respectivament.
2. Es clar que si1si2 · · · sir conte el terme x2j11 x2j2
2 · · ·x2jss si i nomes si I es un refinament
de J .
3. Considerem les particions J = [j1, . . . , js] tals que x2j11 x2j2
2 · · · x2jss surt en el desen-
volupament de pI . El maxim js que podem aconseguir es∑
(ir−a+1 − ir−a) = ir, i
donat aquest js, el maxim js−1 es∑
a≥2 (ir−a+1 − ir−a) = ir−1, etc. Aixı la maxima
J possible es I, i aquest terme surt amb coeficient 1. Veiem tambe que tots els
termes amb J ≤ I sı que surten. qed
En particular, detB = 1 i la matriu B−1 tambe te coeficients enters amb uns a la
diagonal i zeros al damunt. Siguin A−1 = (αIJ), B−1 = (βIJ), i definim
bJ =∑I∈Pk
αIJ bi1bi2 · · · bir
κJ =∑I∈Pk
βIJ bi1bi2 · · · bir .
27
Aleshores tenim
m∏i=1
Q(xi) = 1 +m∑k=1
∑I∈Pk
bI sI + termes d’ordre superior
= 1 +m∑k=1
∑I∈Pk
κI pI + termes d’ordre superior
i per tant
Kr(p1, p2, . . . , pr) =∑I∈Pr
κIpI .
Considerem ara la serie parella L(x) = a1x2 +a2x
4 +a3x6 + · · · definida per l’expressio
Q(x) = exp(L(x)).
Obtenim el desenvolupament
L(x)r =∑k≥r
∑I∈P(r)
k
(r
r1 r2 · · · rk
)aI x2k
on aI = ai1ai2 · · · air = ar11 ar22 · · · a
rkk , i
(r
r1 r2 · · · rk
)=
r!
r1!r2! · · · rk!. Aleshores
Q(x) = exp (L(x)) =∑r≥0
1
r!L(x)r = 1 +
∑k≥1
∑I∈Pk
aI
r1!r2! · · · rk!x2k.
Per tant,
m∏i=1
Q(xi) =m∏i=1
exp(L(xi)) = exp
(m∑i=1
L(xi)
)= exp(a1s1 + a2s2 + a3s3 + · · ·)
i d’aquı obtenimm∏i=1
Q(xi) = 1 +∑k≥1
∑I∈Pk
aI
r1!r2! · · · rk!sI .
28
2.4 Formules per al calcul del genere de Witten
Considerem una varietat M4n de dimensio 4n. Observem que
2n∏i=1
Q(xi) =2n∏i=1
exp
(∞∑r=1
2
(2r)!G2r x
2ri
)= exp
(∞∑r=1
L2r sr
),
on L2r =2
(2r)!G2r i fem servir, com abans, la notacio
sr = x2r1 + · · ·+ x2r
2n.
Per tant,2n∏i=1
Q(xi) = 1 +∑k≥1
∑I∈Pk
t∏j=1
1
rj!Lrj2kjsrjkj
on escrivim una particio arbitraria I ∈ Pk com k = r1k1 + r2k2 + · · · + rtkt amb rj ≥ 1
i 0 < k1 < k2 < · · · < kt. El genere de Witten de M es el resultat d’avaluar el terme de
grau 4n sobre la classe fonamental de M :
ϕW (M4n) =
exp
(∞∑r=1
L2r sr
)[M ]
=∑I∈Pn
Lr12k1Lr22k2· · ·Lrt2kt
r1!r2! · · · rt!(sr1k1s
r2k2· · · srtkt
)[M ].
Per exemple, tenim
ϕW (M4) = s1G2
ϕW (M8) =1
2s2
1 (G2)2 +1
12s2G4
ϕW (M12) =1
6s3
1 (G2)3 +1
12s1 s2G2G4 +
1
360s3G6
. . .
on, per simplificar la notacio, entenem que les classes sr1k1sr2k2· · · srtkt ∈ H
4n(M ; Q) han estat
avaluades a la classe fonamental [M ] ∈ H4n(M ; Q). Els desenvolupaments de Fourier
corresponents son
ϕW (M4) = − 1
24s1 + s1 q + 3 s1 q
2 + 4 s1 q3 + 7 s1 q
4 + · · ·
29
ϕW (M8) =1
1152s1
2 +1
2880s2 +
(− 1
24s2
1 +1
12s2
)q +
(3
4s2 +
3
8s2
1
)q2
+
(7
3s2 +
17
6s2
1
)q3 +
(197
24s2
1 +73
12s2
)q4 + · · ·
φW (M12) = − 1
181440s3 −
1
69120s2 s1 −
1
82944s3
1 +
(− 1
320s2 s1 +
1
1152s3
1 +1
360s3
)q
+
(11
120s3 +
17
320s2 s1 −
7
384s3
1
)q2 +
(61
90s3 +
13
288s3
1 +217
240s2 s1
)q3 + · · ·
Cal tenir present que, quan k ≥ 4, la forma modular G2k es pot escriure en termes
de G4 i G6. Alternativament, podem expressar-ho tot en termes de G2, DG2 i D2G2, on
D = qd
dq. Per exemple,
ϕW (M8) =
(1
2s2
1 +1
5s2
)(G2)2 +
1
10s2DG2
ϕW (M12) =1
6s3
1 (G2)3 +1
10s1 s2G2DG2 +
1
5s1 s2 (G2)3 +
1
210s3D
2G2
+2
35s3G2DG2 +
8
105s3 (G2)3.
Quan la varietat M t la propietat que p1(M) = 0, llavors s1 = 0 i per tant els termes
en G2 desapareixen de les expressions anteriors. En aquest cas, ϕW (M) s una forma
modular respecte a SL2(Z).
2.5 Genere de Witten de varietats basiques
Considerem ara les seguents famılies de varietats: els plans projectius complexos CP2k,
els plans projectius quaternionics HPk, les interseccions completes V(dj)
2k i les varietats de
Milnor Hi,j ⊂ CPi ×CPj.
2.5.1 Els plans projectius complexos
Les classes de Pontrjagin de CP2k venen donades per
p(CP2k) = (1 + g2)2k+1, |g| = 2, g2k+1 = 0.
D’aquı deduım que
sk[CP2k] = 2k + 1
(sk1 · · · skt)[CP2k] = (2k + 1)t
30
per a tota particio I = [k1, . . . , kt] de k.
Llavors tenim
ϕW (CP2k) =∑I∈Pk
1
r1! · · · rt!(G2k1)
r1 · · · (G2kt)rt
kr11 · · · krtt (2k1 − 1)!r1 · · · (2kt − 1)!rt(2k + 1)t
per a particions I donades per k =∑t
j=1 rjkj, rj ≥ 1, 0 < k1 < · · · < kt. En particular,
ϕW (CP2) = 3G2
ϕW (CP4) =25
2(G2)2 +
5
12G4
ϕW (CP6) =343
6(G2)3 +
49
12G2G4 +
7
360G6.
Com que G2, G4 i G6 generen l’anell graduat N , resulta que ϕW (CP2), ϕW (CP4),
ϕW (CP6) tambe son generadors (sobre Q):
G2 =1
3ϕW (CP2)
G4 =12
5ϕW (CP4)− 10
3ϕW (CP2)2
G6 =360
7
(ϕW (CP6)− 168ϕW (CP2)ϕW (CP4)
)+
1120
9ϕW (CP2)3.
2.5.2 Els plans projectius quaternionics
Les classes de Pontrjagin de HPk venen donades per
p(HPk) =(1 + u)2k+2
1 + 4u, |u| = 4, uk+1 = 0.
Per tant,
sk[HPk] = 2k + 2− 4k
(sk1 · · · skt)[HPk] =t∏
r=1
(2k + 2− 4kr
)per a tota particio I = [k1, . . . , kt] de k.
Fixem-nos que s1[HP1] = 0 i que, per tant, ϕW (HP1) = 0. En general, tenim
ϕW (HPk) =∑I∈Pk
1
r1! · · · rt!(2k + 2− 4k1)r1 · · · (2k + 2− 4kt)rt(G2k1)
r1 · · · (G2kt)rt
kr11 · · · krtt (2k1 − 1)!r1 · · · (2kt − 1)!rt
31
per a particions I donades per k =∑t
j=1 rjkj, rj ≥ 1, 0 < k1 < · · · < kt. Aixı doncs,
ϕW (HP2) = 2 (G2)2 − 5
6G4
ϕW (HP3) =32
3(G2)3 − 8
3G2G4 −
7
45G6.
Es clar que podem prendre ϕW (CP2), ϕW (HP2) i ϕW (HP3) en comptes de G2, G4 i
G6 com a generadors de l’anell de formes quasimodulars. Tenim G2 = 13ϕW (CP2) i
G4 =4
15ϕW (CP2)2 − 6
5ϕW (HP2)
G6 =64
36ϕW (CP2)3 +
48
7ϕW (CP2)ϕW (HP2)− 45
7ϕW (HP3).
Aquesta base te una propietat molt interessant. Es conegut que el A-genere s’anul·laals espais HPk, i per tant el terme constant del desenvolupament de Fourier de ϕW (HPk)
es zero. De fet, tenim
ϕW (HP2) = −q − 6 q2 − 12 q3 − 28 q4 − 30 q5 − · · ·
ϕW (HP3) = −8 q2 − 64 q3 − 240 q4 − 640 q5 − · · ·
ϕW (HP4) = −54 q3 − 567 q4 − 2916 q5 − · · · .
Teorema 2.2 El desenvolupament de ϕW (HPk) com a serie de potencies en q es un
element de qk−1Z[[q]].
Donarem una demostracio d’aquest fet a l’apartat 2.7.
2.5.3 Interseccions completes
Donats nombres enters d1, d2, . . . , dr ≥ 1, considerem varietats
V d1,...,dr2k = V d1
2k ∩ · · · ∩ Vdr
2k ⊂ CP2k+r
de dimensio real 4k, donada per les equacions
Pdj(z0, z1, . . . , z2k+r) = 0 (1 ≤ j ≤ r),
on cada Pdj es un polinomi homogeni de grau dj en les coordenades zp a CP2k+r. Les
classes caracterıstiques d’aquestes varietats no depenen dels polinomis Pdj escollits, sempre
32
que les hipersuperfıcies Vdj
2k es tallin transversalment. Fixem-nos que V 1,d1,...,dr2k
∼= V d1,...,dr2k
i nomes hem de considerar els casos on dj ≥ 2. Per a r = 0 posem V2k = CP2k.
Les classes de Pontrjagin d’aquestes varietats venen donades per
p(V d1,...,dr2k ) =
(1 + g2)2k+r+1∏rj=1(1 + d2
i g2), |g| = 2, g2k+r+1 = 0.
D’aquı resulta
sk[Vd1,...,dr
2k ] =r∏j=1
dj
(2k + r + 1−
r∑j=1
d2kj
)
(sk1 · · · skt)[Vd1,...,dr
2k ] =r∏j=1
dj
t∏n=1
(2k + r + 1−
r∑j=1
d2knj
)
per a tota particio I = [k1, . . . , kt] de k.
Per exemple, la superfıcie de Kummer V 42 satisfa s1[V 4
2 ] = −48; per tant,
ϕW (V 42 ) = −48G2 = 2− 48 q − 144 q2 − 192 q3 − 336 q4 − 288 q5 − · · ·
2.5.4 Varietats de Milnor
Per a cada parell i, j amb i+ j − 1 = 2k, considerem la varietat de Milnor
Hi,j ⊂ CPi ×CPj
de codimensio 1, donada per l’equacio
x0y0 + x1y1 + · · ·+ xryr = 0,
on r = min(i, j), i xp, yq son les coordenades homogenies a CPi, CPj.
Per a la classe sk ∈ H4k(Hi,j; Q) es compleix
sk[Hi,j] = coeficient de uivj a
((1 + u2k)i+1 (1 + v2k)j+1
1 + (u+ v)2k
)(u+ v)
= coeficient de uivj a((i+ 1)u2k + (j + 1)v2k − (u+ v)2k
)(u+ v) .
Per a I = [k1, . . . , kt] ∈ Pk, (sk1 · · · skt)[Hi,j] es el coeficient de uivj at∏
r=1
((i+ 1)u2kr + (j + 1)v2kr − (u+ v)2kr
)(u+ v) .
33
D’altra banda, per a i = 0, j = 2k + 1, tenim H0,2k+1∼= CP2k i
sk[H0,2k+1] = 2k + 1; (sk1 · · · skt)[H0,2k+1] = (2k + 1)t.
Per a i = 1, j = 2k, tenim
Proposicio 2.3 Per a k ≥ 1 i qualsevol I = [k1, . . . , kt] ∈ Pk, es compleix
(sk1 · · · skt)[H1,2k] = 0
i per tant ϕW (H1,2k) = 0.
Demostracio: Tenim
2u2kr + (2k + 1)v2kr − (u+ v)2kr = 2k v2kr − 2kr uv2kr−1 − · · · ,
i per tant
t∏r=1
(2k v2kr − 2kr uv
2kr−1 − · · ·)
= 2t kt v2Σkr − 2t kt−1(Σkr)uv2Σkr−1 − · · · .
Tenint en compte que∑t
r=1 kr = k i multiplicant per (u + v) veurem que sI [H1,2k] no te
cap terme en uv2k. qed
Considerem en particular el cas i = 3. Tenim H3,0∼= CP2, ϕW (H3,0) = 3G2, i
ϕW (H3,2) = 2 (G2)2 − 5
6G4
ϕW (H3,4) =20
3(G2)3 − 5
3G2G4 −
7
72G6.
Per tant, podem prendre les imatges de H3,2k−2, amb k = 1, 2, 3, com a generadors de
l’anell N . Els seus desenvolupaments de Fourier son
ϕW (H3,2) = −q − 6 q2 − 12 q3 − 28 q4 − 30 q5 − · · ·
ϕW (H3,4) = −5 q2 − 40 q3 − 150 q4 − 400 q5 − · · ·
ϕW (H3,6) = −28 q3 − 294 q4 − 1512 q5 − · · ·
Aixo suggereix que ϕW (H3,2k−2) sempre comenca amb qk−1. De fet, demostrarem un
resultat encara mes general:
Teorema 2.4 El desenvolupament de ϕW (H2r+1,2k−2r) com a serie de potencies en q es
un element de qk−rQ[[q]].
A continuacio demostrem els dos teoremes d’aquesta seccio.
34
2.6 Demostracions dels teoremes 2.2 i 2.4
Per a una serie de potencies a ∈ Q[[q]],
a(q) = c0 + c1 q + c2 q2 + c3 q
3 + · · · ,
l’ordre de a, que designarem per ||a||, es el grau del primer terme no nul:
||a|| = min i | ci 6= 0 .
Hi ha una altra expressio per al genere de Witten, que necessitarem per investigar
ordres de series. Escriurem Φ(x) = x/Q(x), on Q es la serie caracterıstica del genere de
Witten.
Proposicio 2.5 Es compleix
Φ(x) = 2 sinh(x/2)∞∏n=1
(1 + 4 an sinh2(x/2)
)on els termes an son series de potencies en q amb ||an|| = n que venen donades per
an(q) = −qn(1− qn)−2 = −qn − 2 q2n − 3 q3n − 4 q4n − · · · .
Demostracio: Tenim el desenvolupament
(1− qnex)(1− qne−x
)= 1− 2 qn cosh(x) + q2n
= 1− 2 qn(1 + 2 sinh2(x/2)) + q2n = (1− qn)2 − 4 qn sinh2(x/2).
Llavors
Φ = 2 sinh(x/2)∞∏n=1
(1− qnex)(1− qne−x)(1− qn)2
= 2 sinh(x/2)∞∏n=1
(1− 4qn(1− qn)−2 sinh2(x/2)
)i posem an(q) = −qn(1− qn)−2. qed
Si escrivim a(0) = 2 i a(n) = 22n+1∑
i1<···<in ai1 · · · ain , aleshores
Φ =∞∑n=0
a(n) sinh2n+1(x/2)
∂Φ
∂x=
∞∑n=0
(2n+ 1) a(n) sinh2n(x/2) cosh(x/2)
Φ(2x) =∞∑n=0
22n+1 a(n) sinh2n+1(x/2) cosh2n+1(x/2).
35
Recordem la formula de duplicacio per als generes; es compleix
2 f(x) f ′(x)h(f(x)) = f(2x)
on h(y) =∑∞
k=0 ϕ(HPk) y2k. Aixı, prenent z = sinh2(x/2), 1 + z = cosh2(x/2), obtenim
Proposicio 2.6 Sigui ϕk = ϕW (HPk) el genere de Witten avaluat al pla projectiu quater-
nionic de dimensio real 4k, on k ≥ 0. Aleshores es compleix∑k≥0
ϕk zk F (z)2k+1G(z) = D(z)
on
F (z) =∑n≥0
a(n)zn, G(z) =
∑n≥0
2n+ 1
2a(n)z
n, D(z) =∑n≥0
4na(n)zn(1 + z)n.
Teorema 2.7 La serie ϕW (HPk) te ordre k − 1.
Demostracio: Els ϕk venen donats inductivament per
ϕk =1
22k+1· coeficient de zk a
(D(z)−
k−1∑j=0
ϕj zj F (z)2j+1 G(z)
).
Per a P ∈ Q[[z, q]], escriurem ||P ||n per designar l’ordre de la serie pn ∈ Q[[q]] donada
pel coeficient de zn a P . Aleshores tenim
||ϕk|| ≥ min||D(z)||k, ||ϕj||+ ||F (z)2j+1G(z)||k−j (0 ≤ j < k)
.
Fixem-nos que com que ||a(n)|| = n(n + 1)/2, es clar que ||F (z)2j+1G(z)||r ≥ r. Aixı,
inductivament,
||ϕk|| ≥ min ||D(z)||k, k − 1
i nomes hem de demostrar que ||D(z)||k ≥ k− 1. El coeficient de zk a D(z) ve donat per
4ka(k) + 4k−1(k − 1)a(k−1) + 4k−2
(k − 2
2
)a(k−2) + · · ·+ 4rk
(rk
k − rk
)a(rk)
on rk es el nombre enter tal que k ≤ 2rk ≤ k + 1. Aixı tenim
||D(z)||k = ||a(rk)|| = rk(rk + 1)/2
36
i es compleix rk(rk + 1)/2 ≥ k − 1 per a tot k ≥ 0, amb igualtat nomes per als valors
k = 2, 4. qed
Recordem ara que els valors dels generes a les varietats de MilnorHi,j venen especificats
per la llei de grup formal F (y1, y2) =∑∑
ai,jyi1yj2 associada al genere. Es compleix
ϕW (Hi,j) =i∑
r=0
j∑s=0
ar,s ϕW (CPi)ϕW (CPj).
Per al logaritme del genere es compleix g′(y) =∑∞
i=0 ϕW (CPi) yi, i escrivint H(y1, y2) =∑∑ϕW (Hi,j) y
i1yj2 obtenim l’expressio ben coneguda
H(y1, y2) = F (y1, y2) g′(y1) g′(y2).
Prenent y1 = f(x1), y2 = f(x2), on g es la funcio inversa de f , aquesta relacio pot escriure’s
alternativament com
H(f(x1), f(x2)) f ′(x1) f ′(x2) = f(x1 + x2).
Per al genere de Witten, tenim∑i,j≥0
ϕW (Hi,j) Φ(x1)i Φ(x2)j Φ′(x1) Φ′(x2) = Φ(x1 + x2).
Fixem-nos que es pot escriure Φ(x1 + x2) = Φ1(x1, x2) + Φ2(x1, x2) on Φ1 es senar i Φ2
es parella com a funcions de x1; pero Φ1 es parella i Φ2 senar com a funcions de x2. En
particular, ϕW (Hi,j) = 0 si i+ j es parell, i com que Hi,j∼= Hj,i, nomes hem de considerar
la igualtat ∑i senar
∑j parell
ϕW (Hi,j)Φ(x1)iΦ(x2)jΦ′(x1)Φ′(x2) = Φ1(x1, x2).
Ja tenim expressions per a Φ i Φ′; per a Φ1(x1, x2) hi ha l’expressio
∞∑n=0
a(n)
n∑t=0
(2n+ 1
2t+ 1
)(sinh
x1
2cosh
x2
2
)2t+1 (cosh
x1
2sinh
x2
2
)2n−2t
i podem escriure Φ1 = sinh (x1/2) cosh (x2/2)E(sinh2 (x1/2) , sinh2 (x2/2)
), on
E(w, z) =∞∑n=0
a(n)
n∑t=0
(2n+ 1
2t+ 1
)wt(1 + w)n−t(1 + z)tzn−t.
Aixı doncs, tenim
37
Proposicio 2.8 Sigui ψi,j = ϕW (Hi,j) amb i+ j − 1 = 2k. Aleshores es compleix
∞∑k=0
k∑r=0
ψ2r+1,2k−2r C(w)wrF (w)2r+1G(w) zk−rF (z)2k−2rG(z) = E(w, z)
on C(w) = (1 + w)1/2 = 1 + 12w − 1
8w2 − · · ·.
Considerant l’ordre de la serie a Q[[q]] donada pel coeficient de wr zk−r a l’esquerra i a
la dreta d’aquesta igualtat, i com que ||a(n)|| = 12n(n+1) i ||F (z)2j−2G(z)||r ≥ r, obtenim
inductivament:
Teorema 2.9 La serie ϕW (H2r+1,2k−2r) te ordre k − r.
2.7 Relacions entre ϕW (HPk) i ϕW (H3,2k−2)
Els calculs que hem fet ens indiquen una relacio entre ϕW (H3,2k−2) i ϕW (HPk). Comparem
les sumes de potencies per a aquestes varietats. Anomenem
s′t = 4u2t + (2k − 1)v2t − (u+ v)2t
s′′t = 2k + 2− 4t
i fixem-nos que (s′1)k−j = (2(k − 1)v2 − 2uv + 3u2)k−j es pot desenvolupar com
2k−j (k − 1)k−j v2k−2j
− 2k−j (k − 1)k−j−1 (k − j)uv2k−2j−1
+1
22k−j (k − 1)k−j−2 (k − j)(4k − j − 4)u2v2k−2j−2
− 1
62k−j (k − 1)k−j−3 (k − j)(k − j − 1)(10k − j − 11)u3v2k−2j−3
amb u4 = 0 a tot arreu. Escriurem (s′1)k−j = 2k−j (k − 1)k−j−3 Zjv2k−2j−3 on
Zj = (k − 1)3 v3 − (k − 1)2 (k − j)uv2
+1
2(k − 1) (k − j)(4k − j − 4)u2v − 1
6(k − j)(k − j − 1)(10k − j − 11)u3.
Calcularem tambe s′j (u+ v) per a j = 2, 3; tenim
s′2 (u+ v) = (4u4 + (2k − 1)v4 − (u+ v)4) (u+ v)
= 2(k − 1)v5 + 2(k − 3)uv4 − 10u2v3 − 10u3v2
s′3 (u+ v) = (4u6 + (2k − 1)v6 − (u+ v)6) (u+ v)
= (k − 1) v7 + 2(k − 4)uv6 − 21u2v5 − 35u3v4.
38
De fet, nomes ens interessen els coeficients de u3 a s′1k−js′j (u+ v).
Z0 (u+ v) =1
2(k − 1) k (4k − 4)u2vu− 1
6k (k − 1) (10k − 11)u3v
=1
6(k − 1) k(2k − 1)u3v
Z2 s′2 (u+ v) = (−10 (k − 1)3 + 10 (k − 1)2 (k − 2)
+ (k − 3)(k − 1)(k − 2)(4k − 6)− 1
3(k − 1)(k − 2)(k − 3)(10k − 13)) u3v5
=1
3k (k − 1) (2k − 1) (k − 7) u3v5
Z3 s′3 (u+ v) = (−35 (k − 1)3 + 21 (k − 1)2 (k − 3)
+ (k − 4) (k − 1) (k − 3)(4k − 7)− 1
3(k − 1)(k − 3)(k − 4)(10k − 14)) u3v7
=1
3k (k − 1) (2k − 1) (k − 31) u3v7.
D’altra banda, tenim
(s′′1)k−j = 2k−j(k − 1)k−j; s′′2 = 2(k − 7); s′′3 = 2(k − 31).
Aixı hem demostrat
Teorema 2.10 Per a tot k ≥ 1 es compleixen les relacions seguents:
(sk1)[HPk]
(sk1)[H3,2k−2]=
(sk−21 s2)[HPk]
(sk−21 s2)[H3,2k−2]
=(sk−3
1 s3)[HPk]
(sk−31 s3)[H3,2k−2]
=6(k − 1)2
k(2k − 1).
Comparem les expressions seguents:
ϕW (HP4) = 54 (G2)4 − 9G4 (G2)2 +1
8(G4)2 − 9
10G2G6 −
41
3360G8
ϕW (H3,6) = 28 (G2)4 − 14
3G4 (G2)2 − 7
36(G4)2 − 7
15G2G6 −
1
240G8.
Aquı la rao dels coeficients de (G2)4, de G4(G2)2 o de G2G6 es 27/14; per a (G4)2 es
−9/14 i per a G8 es 41/14. Pero (G4)2 i G8 son linealment dependents a N8 i expressant
els generes en una base obtenim
ϕW (HP4) = 54 (G2)4 − 9G4 (G2)2 − 75
56(G4)2 − 9
10G2G6
ϕW (H3,6) = 28 (G2)4 − 14
3G4 (G2)2 − 25
36(G4)2 − 7
15G2G6
on la rao es sempre 27/14. Anem a demostrar que aquest fet es ben general.
39
Teorema 2.11 Per a n ≥ 1 es compleix la relacio seguent:(2n
3
)ϕW (HPn) = 4(n− 1)3 ϕW (H3,2n−2).
Demostracio: No podem pas intentar demostrar-ho a partir de la nostra formula
ϕW (M4k) =∑I∈Pk
Lr12k1Lr22k2· · ·Lrt2kt
r1!r2! · · · rt!(sr1k1s
r2k2· · · srtkt
)[M ],
ja que les formes L2n = (2/(2n)!)G2n no son pas algebraicament independents; tal com
ja hem vist, la relacio que volem demostrar no es compleix pas coeficient a coeficient en
aquesta expressio.
L’unica relacio que necessitarem en aquesta demostracio es la formula de duplicacio
del genere de Witten (apartat 2.1):
Φ(τ, 2x) = −Φ(τ, x)4 ℘′(τ, x).
Com que Φ(τ, x) = x/Q(x), tenim
Q(x)4
Q(2x)= −x
3
2℘′(τ, x). (2.1)
Com que Q(x) = exp(∑
L2kx2k)
i, per (1.1),
−1
2x3 ℘′(τ, x) = 1− 3
∞∑k=2
(2k
3
)L2k(τ)x2k, (2.2)
la igualtat (2.1) conte molta informacio sobre les formes L2n.
Calcularem el genere de Witten de HPk de la manera seguent. Triem un generador
a ∈ H4(HPk), amb ak+1 = 0. La classe de Pontrjagin total es
p(HPk) =(1 + a)2k+2
1 + 4a.
Si K is la successio multiplicativa del genere de Witten i posem Q(x) = P (x2), llavors
K(p(HPk)
)= K
((1 + a)2k+2
1 + 4a
)=
K(1 + a)2k+2
K(1 + 4a)=
P (a)2k+2
P (4a).
Aixı doncs, si x designa l’arrel formal de a, deduım de (2.1) que
K(p(HPk)
)=
Q(x)4
Q(2x)Q(x)2k−2 = −x
3
2℘′(x)Q(x)2k−2.
40
Per calcular el genere de Witten ϕW (HPk) = K(p)[HPk], necessitem coneixer el coeficient
de x2k en aquesta expressio. Per a cada particio I ∈ Pk donada com k = r1+2r2+· · ·+krk,utilitzem la notacio CI(E) per al coeficient de LIx
2k = Lr12 Lr24 · · ·L
rk2k x
2k en una expressio
E donada. Tenim
CI
(Q(x)2k−2
)= CI
[exp
(2k − 2)
∞∑j=1
L2j x2j
]=
(2k − 2)r
r1!r2! · · · rk!(2.3)
on r =∑k
i=1 ri. Per tant, per (2.2),
CI
(−1
2x3 ℘′Q(x)2k−2
)=
(1−
k∑i=2
(2i
3
)3 ri
2k − 2
)(2k − 2)r
r1!r2! · · · rk!
i obtenim
Proposicio 2.12 El genere de Witten dels espais projectius quaternionics ve donat per
la formula
ϕW (HPk) =∑I∈Pk
(1−
k∑i=2
(2i
3
)3 ri
2k − 2
)(2k − 2)r
r1!r2! · · · rk!Lr12 L
r24 · · ·L
rk2k.
Aquesta formula no dona pas les mateixes expressions que havıem vist a l’apartat 2.5.2.
Per exemple,
ϕW (HP4) = 54L24 − 108L2
2 L4 − 54L42 − 324L2 L6 − 162L8
= 54 (G2)4 − 9 (G2)2G4 −3
8(G4)2 − 9
10G2G6 −
9
1120G8.
Resulta sorprenent que, tot i no estar referida a una base, si comparem aquesta expressio
amb la nostra expressio usual per a H3,6,
ϕW (H3,6) = 28 (G2)4 − 14
3G4 (G2)2 − 7
36(G4)2 − 7
15G2G6 −
1
240G8,
els coeficients estan tots en una rao 27/14. Per tant, el teorema que volıem demostrar es
dedueix del seguent lema tecnic, que ens dona una formula per a (sk1sk2 · · · skt)[H3,2k−2].
Lema 2.13 Sigui I una particio de k donada per k = r1 + 2 r2 + 3 r3 + · · ·, ri ≥ 0, amb
ri = 0 per a i > k. Aleshores el coeficient de LI u3 v2k−2 = L2
r1L4r2 · · ·L2k
rku3v2k−2 en
l’expressio
Q(u)4Q(v)2k−1
Q(u+ v)(u+ v) (2.4)
41
es igual a
2
(2k
3
)(1−
∞∑i=1
(2i
3
)3 ri
2k − 2
)(2k − 2)r−3
r1!r2! · · · rk!.
Demostracio: Tenim (u + v)Q(u)4 = (u + v)(1 + 4L2 u2) + O(u4). Si considerem les
series L = L(v) =∑
i≥1 v2iL2i, L′ = dL/dv, L′′ = d2L/dv2, etc, llavors
Q(v)
Q(u+ v)= exp
(∞∑i=1
(v2i − (u+ v)2i
)L2i
)
= exp (−uL′) exp
(−u
2
2L′′)
exp
(−u
3
6L′′′)
+O(u4)
=
(1− uL′ + u2
2(L′)
2 − u3
6(L′)
3
)(1− u2
2L′′)(
1− u3
6L′′′)
+O(u4).
Llavors el coeficient de u3 en (u+ v)Q(u)4Q(v)
Q(u+ v)es igual a
4L2 − 4v L2L′ − 1
2(L′)2 − 1
2L′′ − 1
6v L′′′ +
1
4v L′L′′ − 1
6v (L′)3.
Tots aquests termes son de la forma LJ v2j−2, amb J ∈ P<4
j . Posant v = 1, obtenim
l’expressio
4L2 − 8L2
(∑i≥1
iL2i
)+ 2
(∑i≥1
iL2i
)2
−
(∑i≥1
(2i2 − i)L2i
)
− 2
3
(∑i≥1
(2i3 − 3i2 + i)L2i
)+ 2
(∑i≥1
iL2i
)(∑i≥1
(2i2 − i)L2i
)− 4
3
(∑i≥1
iL2i
)3
. (2.5)
Per (2.3), coneixem el coeficient de LIv2k en Q(v)2k−2. Per coneixer el coeficient de
LIu3v2k−2 en (2.4), hem de realitzar a (2.5) les substitucions seguents:
L2j ;rj
2k−2L2j1L2j2 ;
rj1rj2(2k−2)2
L2j1L2j2L2j3 ;rj1rj2rj3(2k−2)3
L2j2 ;
rj(rj−1)
(2k−2)2L2j1L2j2
2 ;rj1rj2 (rj2−1)
(2k−2)3L2j
3 ;rj(rj−1)(rj−2)
(2k−2)3
i multiplicar el resultat per(2k − 2)r
r1!r2! · · · rk!. Tenim, per exemple,
4L2 − 8L2
∑i≥1
i L2i ;4 r1
2k − 2− 8
(2k − 2)2
(r1(r1 − 1)− r1
∑i≥2
i ri
),
42
que es zero, ja que k =∑
i≥1 i ri. De la mateixa manera s’obte per a tota expressio(2.5)
el resultat
−4k(2k − 1)
3(2k − 2)3
(∑i≥1
(2i3 − 3i2)ri − 1
),
que es igual a
2
(2k
3
)(1−
∑i≥1
(2i
3
)3 ri
2k − 2
)(2k − 2)−3. qed
2.8 Nucli del genere de Witten
El genere de Witten ϕW es un homomorfisme d’anells graduats
ϕW : ΩSO ⊗Q −→ Q[G2, G4, G6].
L’espai vectorial ΩSO4k ⊗Q te dimensio p(k), el nombre de particions de k, amb base les
varietats CP2k1 × · · · ×CP2kt on k1 + k2 + · · ·+ kt = k. Una base de l’espai vectorial N2k
esta constituıda per les formes (G2)p(G4)q(G6)r amb 2p+ 4q + 6r = 2k.
Veurem mes endavant que ϕW es exhaustiu sobre Q[G2, G4, G6]. La taula seguent
dona la dimensio del nucli de ϕW per a k ≤ 12.
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
dim(ΩSO4k ⊗Q) 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77
dimN2k 1 2 3 4 5 7 8 10 12 14 16 19
dim kerϕW 0 0 0 1 2 4 7 12 18 28 40 58
La condicio ϕW (M) = 0 pot traduir-se a condicions sobre els nombres sI [M ]. Per
exemple,
ϕW (M4) = 0 ⇐⇒ s1 = 0
ϕW (M8) = 0 ⇐⇒ s1 = s2 = 0
ϕW (M12) = 0 ⇐⇒ s1 = s3 = 0.
Hi ha moltes maneres d’escollir una base per al nucli de ϕW . Sigui P4,k el conjunt
de particions I = [k1, k2, . . . , kt] de k amb algun kj ≥ 4. Aleshores la dimensio del nucli
es igual al nombre d’elements de P4,k. Construirem una base βII∈P4,k. Fixem-nos que
ϕW restringit al subespai de ΩSO4k ⊗Q generat per les classes (CP2)
p(CP4)
q(CP6)
ramb
2p+ 4q + 6r = 2k es exhaustiu i de fet un isomorfisme; llavors hi ha elements
(CP2k)\ = CP2k −∑
p+2q+3r=k
ap,q,r (CP2)p(CP4)
q(CP6)
r ∈ ΩSO4k ⊗Q
43
amb ap,q,r ∈ Q tals que ϕW ((CP2k)\) = 0. Ara per a cada I = [k1, k2, . . . , kt] ∈ P4,k
escollim j tal que kj ≥ 4 i posem
βI = (CP2kj)\ ×∏i 6=j
CP2ki .
Aleshores βII∈P4,kes una base del nucli. Per a k = 4, 5, 6, per exemple:
β4 = −145
28(CP2)4 +
69
7(CP2)2CP4 − 27
7CP2CP6 − 27
14(CP4)2 + CP8
β1,4 = −145
28(CP2)5 +
69
7(CP2)3CP4 − 27
7(CP2)2CP6 − 27
14CP2(CP4)2 + CP2CP8
β5 = −1819
140(CP2)5 +
647
35(CP2)3CP4 − 37
7(CP2)2CP6 +
151
70CP2(CP4)2 − 19
5CP4CP6 + CP10
β1,1,4 = −145
28(CP2)6 +
69
7(CP2)4CP4 − 27
7(CP2)3CP6 − 27
14(CP2)2(CP4)2 + (CP2)2CP8
β2,4 = −145
28(CP2)4CP4 +
69
7(CP2)2(CP4)2 − 27
7CP2CP4CP6 − 27
14(CP4)3 + CP4CP8
β1,5 = −1819
140(CP2)6 +
647
35(CP2)4CP4 − 37
7(CP2)3CP6
+151
70(CP2)2(CP4)2 − 19
5CP2CP4CP6 + CP2CP10
β6 = CP12 − 11464
1155(CP2)6 − 13131
1540(CP2)4CP4 − 625
231(CP2)3CP6
+82249
2310(CP2)2(CP4)2 − 4044
385CP2CP4CP6 − 1921
462(CP4)3 − 41
22(CP6)2
Thom va demostrar que una successio de varietats M4kk≥1 es una base de l’anell de
cobordisme orientat si i nomes si
sk(M4k) =
(x2k
1 + x2k2 + · · ·+ x2k
2k
)[M4k] 6= 0
per a tot k ≥ 1, on M4k te classe de Pontrjagin total p(M) =∏2k
i=1(1 + x2i ). La successio
H3,0, H3,2, H3,4, H3,6, . . . es una base, ja que
sk(H3,2k−2) = −
(k + 1
3
).
En particular, el coeficient de G2k a ϕW (H3,2k−2) no es zero per a k = 1, 2, 3, i podem
prendre ϕW (H3,0)pϕW (H3,2)qϕW (H3,4)r amb p+ 2q+ 3r = k com a base de N2k. Escrivint
ϕW (H3,2k−2) =∑
p+2q+3r=k
ap,q,r ϕW (H3,0)pϕW (H3,2)qϕW (H3,4)r
(H3,2k−2)\ = H3,2k−2 −∑
p+2q+3r=k
ap,q,r (H3,0)p(H3,2)q(H3,4)r ∈ ΩSO4k ⊗Q
44
obtenim la base βII∈P4,kdel nucli, on
βI = (H3,2kj−2)\ ×∏i 6=j
H3,2ki−2.
Per a k = 4, 5, 6, obtenim:
β4 = −8
5H3,0H3,4 + (H3,2)2 +H3,6
β1,4 = −8
5(H3,0)2H3,4 +H3,0(H3,2)2 +H3,0H3,6,
β5 = −96
35(H3,0)2H3,4 +
12
7H3,0(H3,2)2 +
6
5H3,2H3,4 +H3,8
β1,1,4 = −8
5(H3,0)3H3,4 + (H3,0)2(H3,2)2 + (H3,0)2H3,6
β2,4 = −8
5H3,0H3,2H3,4 + (H3,2)3 +H3,2H3,6,
β1,5 = −96
35(H3,0)3H3,4 +
12
7(H3,0)2(H3,2)2 +
6
5H3,0H3,2H3,4 +H3,0H3,8,
β6 = −512
105(H3,0)3H3,4 +
64
21(H3,0)2(H3,2)2 +
132
35H3,0H3,2H3,4
− 43
42(H3,2)3 +
8
25(H3,4)2 +H3,10
Tambe podem considerar generadors M2i, amb i ≥ 1, de l’anell de cobordisme orientat
tals que ϕW (M2i) = G2i. Es pot escriure
G2k =∑
p+2q+3r=k
ap,q,r (G2)p(G4)q(G6)r
(M2k)\ = M2k −
∑p+2q+3r=k
ap,q,r (M2)p(M4)q(M6)r ∈ ΩSO4k ⊗Q
i tenim ϕW ((M2k)\) = 0. Aleshores βII∈P4,k
es una base del nucli, on
βI = (M2kj)\ ×∏i 6=j
M2ki .
Per a k = 4, 5, 6, per exemple:
β4 = −120(M4)2 +M8
β1,4 = −120M2(M4)2 +M2M8
β5 = −5040
11M4M6 +M10
45
β1,1,4 = −120(M2)2(M4)2 + (M2)2M8,
β2,4 = −120(M4)3 +M4M8
β1,5 = −5040
11M2M4M6 +M2M10,
β6 = −1209600
13(M4)3 − 12600
13(M6)2 +M12
2.9 Una aplicacio als anells de cobordisme
Hi ha un morfisme natural d’anells entre l’anell de cobordisme spin i l’anell de cobordisme
orientat
ρ: ΩSpin∗ −→ ΩSO
∗ .
Considerarem dimensions baixes (n = 4k) i utilitzarem el diagrama seguent per tal d’iden-
tificar ρ4k sobre Z.
ΩSpin4k
ρ4k−→ ΩSO4k
ϕW ↓ ↓ ϕWN2k
=−→ N2k.
(Es ben conegut que ρ⊗Q i ρ⊗ Z[12] son isomorfismes.)
Per a k = 1, sabem que
ΩSpin4∼= Z, ΩSO
4∼= Z
amb generadors la superficie de Kummer V 42 i el pla projectiu CP2 respectivament. El
genere de Witten ens dona
ΩSpin4∼= Z〈48G2〉, ΩSO
4∼= Z〈3G2〉
i aixı ρ4 actua sobre el generador com multiplicacio per 16. Sabem que ρ4 es injectiu, i
tenim una successio exacta curta
0 −→ ΩSpin4
ρ4−→ ΩSO4 −→ Z/16 −→ 0.
Per a 2k = 8, ΩSO4∼= Z⊕Z, amb generadors CP4 i CP2×CP2. Tambe ΩSpin
4∼= Z⊕Z,
on els generadors venen donats per HP2 i una varietat anomenada L8. Per a l’estructura
d’anell ΩSpin2 ⊗ ΩSpin
2 → ΩSpin4 tenim (V 4
2 )2 = 4L8. Amb aquestes dades podem identificar
l’homomorfisme ρ8:
46
Proposicio 2.14 Hi ha una successio exacta curta
0 −→ ΩSpin8
ρ8−→ ΩSO8 −→ Z/27 −→ 0.
De fet, ρ8 actua com la matriu (−2 3
0 64
)respecte de les bases especificades.
Demostracio: Calculem el genere de Witten de les varietats generadores, i obtenim
ϕW (CP4) =25
2(G2)2 +
5
12G4
ϕW (CP2 ×CP2) = 9 (G2)2
ϕW (HP2) = 2 (G2)2 − 5
6G4
ϕW (L8) =1
4ϕW (V 4
2 )2 = 576 (G2)2.
Per tant, ϕW es injectiu i podem identificar els anells de cobordisme amb les seves imatges
ΩSO4∼= Z
⟨25
2(G2)2 +
5
12G4
⟩⊕ Z〈9 (G2)2〉
ΩSO4∼= Z
⟨2 (G2)2 − 5
6G4
⟩⊕ Z〈576 (G2)2〉.
Aleshores identifiquem l’aplicacio ρ8 per les equacions
2 (G2)2 − 5
6G4 = −2 ·
(25
2(G2)2 +
5
12G4
)+ 3 ·
(9 (G2)2
)576 (G2)2 = 64 ·
(9 (G2)2
)i tenim que ρ8 es injectiu amb coker(ρ8) ∼= Z/27. qed
Aquests resultats es poden trobar demostrats a [128, p. 92] per altres metodes.
47
3 Algunes implicacions
3.1 Operadors de Dirac
El material d’aquesta seccio es pot consultar a [128] i [35]. Les fonts originals son els
articles de Atiyah–Singer, Atiyah–Segal, Atiyah–Hirzebruch i Atiyah–Bott [8], [10], [11],
[15], [14], [13], [16], [17], [18].
Si U es un obert de Rn, el Laplacia ∆ d’una funcio f ∈ C∞(U,R) es defineix com
∆f =∂2f
∂x21
+ · · ·+ ∂2f
∂x2n
.
Les funcions tals que ∆f = 0 s’anomenen harmoniques . Un operador de Dirac a U es un
operador diferencial D tal que D D = −∆. Per exemple, un operador de Dirac a R es
D = i(d/dx), i un operador de Dirac a R2 es
D =
(0 1
−1 0
)∂
∂x+
(0 i
i 0
)∂
∂y.
En general, si una famılia de matrius Eini=1 de M2r(C) (on r = 12n si n es parell i
r = 12(n − 1) si n es senar) generen una representacio de l’algebra de Clifford Cn ⊗ C
(es a dir, satisfan EiEj + EjEi = −2δij), llavors
D = E1∂
∂x1
+ · · ·+ En∂
∂xn
es un operador de Dirac a Rn, que actua sobre les funcions f ∈ C∞(Rn,C2r).
Sigui M una varietat compacta de dimensio n amb una metrica de Riemann. Su-
posarem queM es spin i designarem per PM ↓M el fibrat principal amb grup d’estructura
Spin(n) que recobreix el fibrat F+M ↓ M de les referencies ortonormals positives. Sigui
∇ la connexio associada al fibrat F+M ↓M i sigui
Ck → S →M
un fibrat spinorial (es a dir, un fibrat vectorial complex induıt de PM ↓ M via una
representacio ρ:Cn ⊗C→ End(Ck) de l’algebra de Clifford). Llavors
D = e1 · ∇e1 + · · ·+ en · ∇en
es l’expressio en coordenades locals d’un operador de Dirac a l’espai de seccions Γ(S), on
e1, . . . , en es una seccio de F+M ↓M i l’operacio ei · ∇ei usa l’accio via ρ.
48
Considerem el cas particular on ρ es la representacio spin de Cn ⊗ C, de dimensio
k = 2r (on, com abans, r = 12n si n es parell i r = 1
2(n − 1) si n es senar). Si n es
parell, llavors S es la suma directa de dues representacions irreductibles S+ i S− de la
mateixa dimensio, que son els subespais propis de l’element de volum w = ire1 · · · en a
Cn ⊗ C. L’operador de Dirac es restringeix a D: Γ(S+) → Γ(S−), i aquest s’anomena
l’operador d’Atiyah–Singer. Es un operador autoadjunt respecte a la metrica i el seu nucli
te dimensio finita (aquesta propietat s’enuncia dient que D es el·lıptic). Llavors el conucli
de D tambe te dimensio finita, i la diferencia
ind(D) = dim kerD − dim cokerD
s’anomena l’ındex de l’operador D. El teorema d’Atiyah–Singer estableix que, en aquesta
situacio, es compleix
ind(D) = A(M).
Per tant, l’ındex de D nomes depen dels nombres de Pontrjagin de la varietat M . D’altra
banda, aixo demostra que si M es spin, llavors el A-genere de M es un enter.
3.2 Operadors de Dirac als espais de llacos
Sigui M una varietat de dimensio 4k i sigui E ↓ M un fibrat vectorial complex de di-
mensio m. El A-genere torcat de M amb coeficients a E (vegeu [11], [88], [189]) es defineix
com
A(M,E) = (A(TM) · ch(E)) [M ]
on ch designa el caracter de Chern; es a dir,
ch(E) = ex1 + · · ·+ exm ,
on x1, . . . , xm son les arrels formals de la classe de Chern total c(E). Tambe conve recordar
la notacio
StE =∞⊕i=0
(SiE) ti
per a fibrats vectorials E, on SiE designa el producte simetric de E amb ell mateix
i vegades. Amb aquesta notacio, tenim
ch(StE) =m∏i=1
1
1− texi.
49
Suposem ara que M es spin i que te una metrica de Riemann. Sigui D: Γ(S+)→ Γ(S−)
l’operador d’Atiyah–Singer. Per a cada fibrat vectorial complex E ↓ M , l’operador D
indueix un operador de Dirac Γ(S+⊗E)→ Γ(S−⊗E), que es denota per D⊗E. Tambe
es dedueix del teorema d’Atiyah–Singer que
ind(D ⊗ E) = A(M,E).
Ara suposem que un grup de Lie compacteG actua sobreM de manera compatible amb
la metrica i amb l’estructura spin (aixo, en particular, implica que l’operador d’Atiyah–
Singer es G-equivariant). Llavors per a cada fibrat vectorial complex E ↓ M amb una
accio compatible de G podem definir l’ındex equivariant de l’operador D ⊗ E, que es
denota per indG(D ⊗ E), com el caracter de la representacio virtual de G
ker(D ⊗ E)− coker(D ⊗ E).
En el cas particular on G = S1, aquest caracter pren la forma
indS1
(D ⊗ E) =∞∑
n=−∞
cnqn,
on cn = dim[ker(D ⊗ E)]n − dim[coker(D ⊗ E)]n, si designem per [V ]n el subespai de V
on q ∈ S1 actua com multiplicacio per qn.
Sigui LM la varietat (de dimensio infinita) dels llacos lliures diferenciables a M . Lla-
vors el grup G = S1 actua sobre LM per rotacio dels llacos. Observem que l’espai de
punts fixos de LM per aquesta accio es precisament el subespai dels llacos constants,
que es pot identificar amb la varietat M . Suposant que la varietat M es string (es a
dir, q1(M) = 0, que tal com ja hem dit es pot interpretar com LM spin), Witten va
considerar un operador de Dirac D a LM , encara que l’existencia d’aquest operador no
ha estat demostrada rigorosament. Aplicant heurısticament la formula de punts fixos (es
explicada a la seccio 4) a l’accio de S1 sobre LM , va arribar a la formula
indS1
(D) = q−k/6 ind(D ⊗ E),
on D es l’operador d’Atiyah–Singer a M i el fibrat E es
E =⊗n>0
Sqn(TM ⊗C);
vegeu [169], [187].
50
Aixo porta a la seguent interpretacio del genere de Witten. Per a una varietat M
qualsevol, es compleix
ϕW (M) =
(2k∏i=1
Q(xi)
)[M ]
=
(2k∏i=1
(xi/2
sinh(xi/2)
∞∏n=1
(1− qn)2
(1− qnexi)(1− qne−xi)
))[M ]
=
(∞∏n=1
(1− qn)4k A(TM) · ch⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
)[M ]
=∞∏n=1
(1− qn)4k A
(M,
⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
).
Ara cal tenir en compte que, si denotem un fibrat real trivial de dimensio d per la
mateixa lletra d, llavors es compleix
ch⊗n>0
Sqn(d⊗C) =∞∏n=1
(1− qn)−d.
Per tant, tambe podem escriure
ϕW (M) = A
(M,
⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
),
on TM = TM − 4k. Aquesta formula es justifica amb mes detall a la seccio 4.
Observem, d’altra banda, que
∞∏n=1
(1− qn)4k =(q−1 ∆
)k/6i recordem que q1/24
∏∞n=1(1 − qn) = ∆1/24 es la funcio η de Dedekind. Tenint aixo en
compte, i sota la hipotesi que la varietat M es string, podem convertir l’expressio anterior
en
ϕW (M) = (q−1 ∆)k/6 ind
(D ⊗
(⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
))
= ∆k/6 indS1
(D) = η4k indS1
(D).
Aixı doncs, llevat del terme η4k, el genere de Witten d’una varietat string M es pot pensar
com l’ındex S1-equivariant d’un operador de Dirac a LM .
51
3.3 Moonshine
Hopkins i Mahowald han demostrat que existeixen varietats M de dimensio 24 tals que
q1(M) = 0, A(M) = 1, A(M, TM ⊗C) = 0. Per a una varietat string M de dimensio 24,
l’espai de formes modulars de pes 12 te dimensio 2, i per tant el genere de Witten de M
es pot escriure com una combinacio lineal de ∆ i un altre generador qualsevol. Si triem
∆ = 240 (G4)3 − 744∆ = ∆ (j − 744),
llavors s’obte precisament
ϕW (M) = A(M, TM ⊗C) ∆ + A(M) ∆.
Per tant, si M es una varietat de Hopkins–Mahowald, llavors
ϕW (M) = ∆ = ∆ (j − 744),
que tambe ho podem escriure com
j − 744 = q−1A
(M,
⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
).
Si fos possible trobar una varietat M que de Hopkins–Mahowald on el monstre de
Fischer–Griess actues per difeomorfismes (i per tant es representes al fibrat tangent),
s’obtindria una explicacio geometrica de la relacio entre la funcio j de Klein i les dimen-
sions de les representacions irreductibles del monstre. Per a mes detalls, vegeu [94], [136],
[175].
3.4 Generes el·lıptics de nivell n
Sigui L = 2πiτZ + 2πiZ un reticle qualsevol amb τ ∈ H. Sigui h una funcio meromorfa al
pla complex i el·lıptica (es a dir, doblement periodica) respecte al reticle L, amb un zero
d’ordre n a l’origen i un pol del mateix ordre en un punt w. Una tal funcio nomes pot
existir si w es un punt de n-divisio de la corba el·lıptica C/L; es a dir,
w = 2πi(k τ + l)/n, k, l ∈ Z.
Amb aquestes hipotesis, la funcio h queda determinada si imposem la condicio que
el coeficient del primer terme cnxn del seu desenvolupament en serie de potencies sigui
cn = 1. Llavors podem considerar la funcio
f(x) = n√h(x),
52
el desenvolupament de la qual comenca amb x. Aquesta funcio f es el·lıptica respecte a
un subreticle L d’ındex n a L. Per tant, per a cada punt w de n-divisio tenim una serie
de potencies ben determinada
P (x) =x
f(x)= 1 + b1x+ b2x
2 + · · · ,
on els coeficients bj, pensats com a funcions de τ , son formes modulars respecte a un cert
subgrup Γ de SL2(Z).
Denotarem per fn la funcio que correspon al cas particular on w = 2πi/n. En aquest
cas, la funcio fn es el·lıptica respecte al reticle L = 2πi (nτZ + Z) i els coeficients bj son
formes modulars respecte a
Γ1(n) =
(a b
c d
)∈ SL2(Z) | a ≡ d ≡ 1, c ≡ 0 mod n
.
El genere complex amb serie caracterıstica Pn(x) = x/fn(x) (que no es pas neces-
sariament parella) s’anomena genere el·lıptic de nivell n; vegeu [87]. Es relaciona amb el
genere de Witten per l’expressio
fn(x) =Φ(τ, x) Φ(τ,−2πi/n)
Φ(τ, x− 2πi/n),
on Φ(τ, x) = σL(x) exp(−G2x2) es la funcio que defineix el genere de Witten. La serie
caracterıstica Pn(x) del genere el·lıptic de nivell n es pot escriure com
Pn(x) =x
1 + y· 1 + ye−x
1− e−x·∞∏m=1
(1 + qmexy−1)(1 + qme−xy)
(1− qmex)(1− qme−x)·∞∏m=1
(1− qm)2
(1 + qmy−1)(1 + qny),
on y = −e−2πi/n, si n 6= 1. Quan n = 2, la funcio el·lıptica h ve donada per
h(x) =1
℘(x, τ)− e1(τ)
i la funcio f2(x) =√h(x) es igual a
f2(x) =1√
℘(x, τ)− e1(τ),
que es una funcio senar. Tal com hem dit a la seccio 1.11, el genere real amb serie
caracterıstica x/f2(x) (que ara sı que es parella) es precisament el genere el·lıptic universal.
Observem que Γ1(2) = Γ0(2).
53
Quan n = 2, hem de fer y = 1 en la expressio per a la serie caracterıstica i obtenim
x/2
tanh(x/2)·∞∏m=1
(1 + qmex) (1 + qme−x)
(1− qmex) (1− qme−x)·∞∏m=1
(1− qm
1 + qm
)2
.
Aquesta es la mateixa serie que hem donat a la seccio 1.11 com a serie caracterıstica
del genere el·lıptic universal, pero desenvolupada en l’altra punta del domini fonamental
de Γ0(2); vegeu [192].
En termes de la funcio η = ∆1/24 de Dedekind, podem escriure
∞∏m=1
(1− qm
1 + qm
)2
=η(τ)4
2 η(2τ)2,
que coincideix amb 2 ε1/4, on ε = ϕell(HP2). Per a una varietat M de dimensio 4k amb
arrels formals ±x1, . . . ,±x2k, la forma
signS1
(LM) =2k∏i=1
(xi
tanh(xi/2)·∞∏m=1
(1 + qmexi ) (1 + qme−xi)
(1− qmexi ) (1− qme−xi)
)[M ] = ϕell(M) ε−k/2
es la signatura S1-equivariant de la varietat de llacos LM en el sentit de Witten; vegeu
la seccio 4 i [90, 6.1].
3.5 Generes amb parametres
Sigui G un grup topologic amb una aplicacio j:G → O. Un genere amb parametres es
una aplicacio d’espectres-anell
Φ:MG→ E,
on MG es l’espectre de Thom associat a G. El nom prove del seguent. Una varietat M
amb G-estructura representa un element de l’anell de cobordisme ΩG i per tant es pot
representar per una aplicacio f :S0 →MG. Llavors Φ f es un element de l’anell de coe-
ficients E∗. Si canviem S0 per un espai X qualsevol, llavors una classe de MG∗(X) es pot
pensar com un element de [X,MG], es a dir, com una famılia de varietats parametritzada
per X. Llavors Φ indueix una aplicacio
MG∗(X)→ E∗(X)
que assigna a cada famılia de varietats parametritzada per X una classe de E∗(X).
Un genere amb parametres Φ indueix un genere ordinari als coeficients
ϕ: ΩG → π(E).
54
Un bon exemple es el que hem esmentat a l’apartat 1.12, d’aplicacions
MSO→ KO[12], MSpin→ KO
que indueixen el A-genere als coeficients.
Recentment, Hopkins i Mahowald han construıt una aplicacio d’espectres-anell
σC :MString→ EC
per a cada corba el·lıptica C, on EC designa un espectre orientable complex amb llei de
grup formal isomorfa a la de la corba C. Quan C es la corba de Tate, el genere induıt
als coeficients es el genere de Witten per a varietats string, que pren valors (modulars)
a Z[[q]]. A mes, hi ha una aplicacio
σ:MString→ eo2
on eo2 es un espectre amb la propietat que qualsevol aplicacio σC de les anteriors factoritza
a traves de σ. Aquesta aplicacio σ s’anomena genere de Witten amb parametres. La teoria
de cohomologia (eo2)∗ ha resultat ser molt fina per a l’estudi dels grups d’homotopia
estables de les esferes [5], [6], [41], [61], [95], [96], [100].
3.6 Varietats amb curvatura de Ricci positiva
Lichnerowicz va demostrar que si una varietat spin M admet una metrica amb curvatura
escalar positiva, llavors A(M) = 0; vegeu [128]. Hohn i Stolz [166] han conjecturat que si
M es una varietat string que admet una metrica amb curvatura de Ricci positiva, llavors
ϕW (M) = 0.
Cal tenir en compte que si una varietat admet una metrica amb curvatura de Ricci
positiva, llavors la curvatura escalar tambe es positiva. D’altra banda, A(M) es el primer
coeficient de ϕW (M). Per tant, aquesta conjectura es consistent amb el teorema de
Lichnerowicz.
3.7 Varietats amb accions de S3
El A-genere d’una varietat spin M s’anul·la si i nomes si algun multiple enter no trivial
de M es Spin-cobordant a una varietat spin que admet una accio no trivial de S1. Aquest
es un resultat classic de Atiyah i Hirzebruch.
Sigui M una varietat string. Dessai [59], [60] ha demostrat recentment que ϕW (M) = 0
si i nomes si hi ha un multiple enter no trivial de M que es String-cobordant a una varietat
string que admet una accio no trivial de S3.
55
4 Formula de Witten
4.1 Orientacio en una teoria de cohomologia
Sigui h un espectre-anell. Sigui π : E ↓ B un fibrat vectorial real de dimensio r amb
B connex. Designarem per E ′ = E \ (0, x), x ∈ B el complementari de la 0-seccio.
Llavors
(F, F ′) ∼= (Rr,Rr − 0)i−→ (E,E ′)
π−→ (B, ∗)
es una h∗-fibracio relativa per a la qual es compleix h∗+r(F, F ′) ∼= h∗+r(Sr, ∗) ∼= h∗(∗).Sigui ur ∈ hr(F, F ′) la classe corresponent a 1 ∈ h.
Definicio 4.1 El fibrat π es h∗-orientable si existeix una classe u ∈ hr(E,E ′) tal que
i∗(u) = ur. Aleshores, u es diu una h∗-orientacio de π.
hr(E,E ′)i∗−→ hr(F, F ′) ∼= hr(Sr)
u 7−→ ur 7−→ 1
Si prenem l’espai de Thom Bπ = D(π)/S(π) associat a π tenim un isomorfisme en coho-
mologia h∗(E,E ′) ∼= h∗(Bπ), i la classe u ∈ hr(Bπ) es diu la classe de Thom. La classe
e = s∗(u) ∈ hr(B) es diu la classe de Euler, on s es la 0-seccio.
A mes, sabem que l’aplicacio φ = φu definida per
h∗(B)φ−→ h∗+r(E,E ′) ∼= h∗+r(Bπ)
z 7−→ π∗z ∪ u, (4.1)
on ∪ denota el cup-producte a h∗, es un isomorfisme, anomenat isomorfisme de Thom.
Sigui f :Mm → Rm+r una immersio (imbedding) d’una varietat diferenciable de di-
mensio m en un espai euclidia; sigui ν = ν(f) el fibrat normal associat a ella i Mν(f)
l’espai de Thom corresponent.
Definicio 4.2 Una varietat diferenciable M es h∗-orientable si existeix una h∗-orientacio
u ∈ hr(Mν(f)) del fibrat ν(f). Llavors (f, u) es una h∗-orientacio de M .
Per raonaments sobre isotopia d’immersions, sabem que l’orientabilitat no depen de
l’eleccio de f . Sigui f :Mm → Nn una aplicacio contınua de varietats diferenciables.
Aleshores hi ha una aplicacio
f = f × i : M −→ N ×D
on f es homotopa a una immersio diferenciable i i : M → D es una immersio diferenciable
a l’interior d’un disc de dimensio d < 2m+ 3.
56
Definicio 4.3 Una aplicacio f :M → N es h∗-orientable si existeix una h∗-orientacio
u ∈ hn+d−r(Mν(f)) del fibrat normal de f .
L’orientabilitat de f no depen de l’eleccio de f . De fet, les h∗-orientacions (i, u) de f
estan en correspondencia bijectiva amb les h∗-orientacions del fibrat ν(M)⊕ f ∗τ(N). En
particular, si M i N son h∗-orientades i f es una aplicacio contınua qualsevol, aleshores
f te una h∗-orientacio ben definida.
De f obtenim una aplicacio col·lapse N × D → D(ν(f)), i per tant una aplicacio
f : ΣdN →Mν(f) definida com
N ×Dd
N × Sd−1
f−→ D(ν(f))
S(ν(f)).
Sigui f ∗:h∗(Mν(f))→ h∗(ΣdN) l’aplicacio induıda en cohomologia.
Definicio 4.4 Sigui f :M → N una aplicacio entre varietats diferenciables amb una
h∗-orientacio (i, u). Aleshores l’homomorfisme de Gysin f! : h∗(M) → h∗+n−m(N) es
defineix per l’aplicacio Σ−d f ∗ φu
h∗(M)f!−→ h∗+n−m(N)
φu ↓∼= ∼=↓ Σd
h∗+n+d−m(Mν(f))f∗−→ h∗+n+d−m(ΣdN).
Per a les classes x ∈ h∗(M) i y ∈ h∗(N) es compleix
f!(f∗(y) ∪ x) = y ∪ f!(x). (4.2)
A mes, si f :L→M i g:M → N son h∗-orientades, la composicio gf te una h∗-orientacio
induıda i amb aquesta orientacio es compleix
g! f! = (g f)! .
4.2 Teorema de Riemann–Roch generalitzat
Sigui h∗ una teoria de cohomologia multiplicativa. Si considerem un parell (X,A),
aleshores h∗∗(X,A) es el conjunt de les series de Laurent formals de la forma
+∞∑r=−∞
λr, λr ∈ hr(X,A), λr = 0 per a tot r < N , per a algun N.
57
Definim l’addicio i la multiplicacio de λ, µ a h∗∗(X,A) via
(λ+ µ)r = λr + µr
(λ ∪ µ)r =∑i+j=r
λi ∪ µj.
Amb aquestes operacions, h∗∗(X,A) te estructura d’anell no commutatiu, i tota apli-
cacio f : (X,A)→ (Y,B) indueix un homomorfisme d’anells
f ∗∗ : h∗∗(Y,B) → h∗∗(X,A)
determinat per f ∗ a cada coordenada. De la mateixa manera definim
δ∗∗ : h∗∗(A) → h∗∗(X,A).
Definicio 4.5 Suposem que h∗ i k∗ son teories multiplicatives. Aleshores t:h∗∗ → k∗∗ es
una transformacio multiplicativa si compleix
1. t es una transformacio natural additiva entre els functors h∗∗ i k∗∗ respecte a les
aplicacions f ∗∗;
2. t(λ ∪ µ) = t(λ) ∪ t(µ).
t es diu unitaria si es compleix a mes
3. Si 1h i 1k son les unitats de h∗∗ i k∗∗ respectivament, i escrivim α = Σ1h ∈ h∗∗(S1),
β = Σ1k ∈ k∗∗(S1), llavors t(α) = β.
Es compleix t Σh = Σk t (es a dir, t es estable), i tambe t δ∗∗ = δ∗∗ t.Suposem que tenim un fibrat α sobre X, amb orientacions u ∈ hr(Xα) i v ∈ kr(Xα).
Aleshores u i v indueixen isomorfismes (no multiplicatius)
φu : h∗∗(X) → h∗∗(Xα)
φv : k∗∗(X) → k∗∗(Xα).
Una transformacio multiplicativa t no es natural respecte als isomorfismes φ. Donem
la definicio seguent:
Definicio 4.6 Per a t una transformacio multiplicativa i un fibrat α sobre X, sigui
tα:h∗∗(X)→ k∗∗(X) la funcio donada per φ−1v t φu
h∗∗(X)tα−→ k∗∗(Y )
φu ↓∼= ∼=↓ φvh∗∗(Xα)
t−→ k∗∗(Yα).
58
De fet, per a x ∈ h∗∗(X) es compleix tα(x) = t(x) ∪ tα(1). A mes, sempre podem
prendre v = (tu)r ∈ kr(Xα). El teorema seguent es una forma de naturalitat respecte als
homomorfismes de Gysin. Es dedueix directament de les definicions de fh! , fk! i tν(f), i de
la naturalitat i l’estabilitat de t.
Teorema 4.7 (Riemann–Roch) Sigui f : X → Y una aplicacio h∗-orientada de
varietats compactes sense vora, i sigui t:h∗∗ → k∗∗ una transformacio multiplicativa.
Aleshores tfh! = fk! tν(f); es a dir, el diagrama seguent commuta:
h∗∗(X)tν(f)−→ k∗∗(X)
fh! ↓ ↓ fk!h∗∗(Y )
t−→ k∗∗(Y ).
Mes explicitament, per a x ∈ h∗∗(X) es compleix
tfh! (x) = fk! (t(x) ∪ tν(f)(1)).
Si el fibrat normal ν a X ve donat amb h∗- i k∗-orientacions uh i uk respectivament,
aleshores existeix una unica ρ(ν) amb ρ0(ν) = 1 i ρ(ν) ∪ t uh = uk, que podem escriure
ρ(ν) =ukt uh
.
Tenim t uh = uk ∪ ρ−1(ν), i es dedueix que tν(1) = ρ−1(ν). Si les classes de Thom son
multiplicatives, es compleix ρ−1(ν) = ρ(τ) per a τ el fibrat tangent, i per a x ∈ h∗∗(X)
tenim
tfh! (x) = fk! (t(x) ∪ ρ(τ(f))). (4.3)
4.3 Casos particulars: t =ch
El caracter de Chern ens dona una transformacio multiplicativa entre la teoria K i la
cohomologia racional H∗(−; Q):
K∗∗ch−→ H∗∗.
Per a λ un fibrat de lınea complex hi ha una K∗C-orientacio canonica i es compleix
chλ(1) =ch eK(λ)
eH(λ)=
ch (1− λ)
−c1(λ)=
1− e−x
x
59
on x = −c1(λ), e−x = ch (λ). L’invers ρ(λ) es la classe de Todd:
Td(λ) =x
1− e−x. (4.4)
Aixı a un fibrat ξ sobre X de rang n (complex, amb grup d’estructura U(n)) tenim
Td(ξ) =n∏i=1
xi1− e−xi
.
Sigui f : X → Y una aplicacio contınua K∗C-orientada de varietats compactes sense
vora. Aleshores per a cada x ∈ K∗∗ (X) es compleix que
ch fK! (x) = fH! (ch(x) ∪ Td(τ(f))).
A mes de G = U, tambe volem considerar els grups d’estructura SO i Spin. Per a
un fibrat complex, una estructura spin al fibrat real sotajacent es una arrel quadrada del
seu fibrat de lınia determinant. Si λ es un fibrat de lınia, tenim det(λ) = λ i orientacions
canoniques amb
chλ(1) =ch eK(λ)
eH(λ)=
ch (1− λ)/√λ
−c1(λ)=
1− e−x
xe−x/2.
L’invers ρ(λ) es la classe A:
A(λ) =xe−x/2
1− e−x=
x/2
sinh(x/2). (4.5)
Per a G = SO tenim classes de Euler canoniques tals que
chλ(1) =ch eK(λ)
eH(λ)=
ch (1− λ)/(1 + λ)
−c1(λ)=
1− e−x
x(1 + e−x).
L’invers ρ(λ) en aquest cas es la classe L, corresponent a la signatura:
L(λ) =x(1 + e−x)
1− e−x=
x
tanh(x/2). (4.6)
Resumint, tenim la taula seguent de les classes definides per K∗-orientacions prefixades
diferents.
G eK(λ) eK(ξ) eH(λ) t : K∗∗ → HQ∗∗ ρ(λ) ρ(ξ)
U 1− λ Λ−1 (ξ) −c1 (λ) chx
1− e−xtd (ξ)
Spin1− λ√λ
Λ−1 (ξ)√det ξ
−c1 (λ) chx/2
sinh(x/2)A (ξ)
SO1− λ1 + λ
Λ−1 (ξ) · S−1 (ξ) −c1 (λ) chx
tanh(x/2)L (ξ)
60
4.4 Formula dels punts fixos
Sigui h∗ un espectre complex orientat i considerem T = R/2πZ el grup S1 amb fibrat
universal
T −→ ETλ−→ BT. (4.7)
Com que volem poder invertir uns certs elements a h∗(BT) = h[[x]], normalment consi-
derarem l’espectre localitzat h⊗Q[x−1].
Sigui X una varietat compacta diferenciable amb una T-accio diferenciable i sigui XT
la varietat de punts fixos per l’accio. Suposarem que XT es connexa. Considerem les
aplicacions
BT×XT i−→ ET×T Xπ−→ BT (4.8)
donades per la immersio XT ⊂ X i la projeccio X → ∗. Ens interessa una formula de
punts fixos per a π!(1) ∈ h∗(BT) en termes de XT.
Sigui ν el fibrat normal sobre XT de la immersio XT ⊂ X. Aleshores hi ha una accio
de T sobre les fibres de ν i una descomposicio de fibrats
ν =⊕n>0
νn amb νn ∼= ν+n ⊕ ν−n
on dim ν−n = dim ν+n , i θ ∈ T actua sobre ν+
n ⊕ ν−n com(x
y
)7→
(cosnθ − sinnθ
sinnθ cosnθ
)(x
y
).
Encara que X no tingui estructura complexa, es possible posar-ne una a νn identificant
ν−n amb iν+n i la multiplicacio per i amb l’accio de π/2n ∈ T.
Aixı tenim un fibrat complex T-equivariant ν =⊕
n>0 νn a XT, on l’accio de θ ∈ T
sobre νn es multiplicacio per einθ. Definem fibrats ν i νn a BT×XT per
ν = ET×T ν, νn = ET×T νn (n > 0).
La formula dels punts fixos es dedueix de les dues observacions seguents:
i∗i!(x) = e(ν) ∪ x, x ∈ h∗(BT×XT), (4.9)
νn ∼= λn ⊗ νn, n > 0. (4.10)
61
De (4.9) obtenim i! (e(ν)−1) = 1 ∈ h∗(ET×T X) i per tant
π!(1) = p!
(e(ν)−1
), (4.11)
on p es la projeccio π i:BT×XT → BT.
Prenem en particular h∗ = K∗. Aplicant el caracter de Chern tenim
chπK! (1) = ch pK!(e(ν)−1
)= pH!
(ρ(τ) ∪ ch e(ν)−1
)per Riemann–Roch. Com que ν =
⊕n>0 (λn ⊗ νn), obtenim la formula
chπK! (1) = pH!
(ρ(τ) ∪
∏n>0
ch e(λn ⊗ νn)−1
). (4.12)
4.5 Espais de llacos lliures i formula de Witten
Sigui M una varietat compacta i diferenciable. Considerem l’espai de llacos lliures
LM = map (T,M).
El grup T actua sobre LM a traves de l’addicio T×T→ T:
(γ · θ)(ϑ) = γ(θ + ϑ), γ ∈ LM, θ, ϑ ∈ T = R/2πZ.
Donem estructura de varietat a LM on l’espai tangent ve donat per seccions dels pullbacks
de l’espai tangent de M ,
TγLM = Γ(γ∗TM), γ ∈ LM.
Els punts fixos de LM son els llacos constants c(x), i l’aplicacio x 7→ c(x) ens dona una
identificacio M ∼= (LM)T.
L’espai tangent a un llac constant c(x) es pot pensar com l’espai de les aplicacions
γ: T→ TxM ,
Tc(x)LM = LTxM = map (T, TxM)
i escriurem γ ∈ Tc(x) com a serie de Fourier
γ(θ) =∑k≥0
(ak cos(kθ)− bk sin(kθ)) , ak, bk ∈ TxM.
62
El fibrat normal ve donat per les γ amb serie de Fourier sense terme constant:
νc(x) = γ: T→ TxM | γ(θ) =∑k≥1
(ak cos(kθ)− bk sin(kθ)) .
Hem observat en general que el fibrat normal pot expressar-se com a suma directa de
subfibrats⊕
n>0 νn amb estructura complexa on θ ∈ T actua com multiplicacio per einθ
a γn ∈ νn. En el cas de X = LM , es clar que νn ve donat per les series de Fourier amb
nomes termes de nθ:
(νn)c(x) = γ(θ) = a cos(nθ)− b sin(nθ) | a, b ∈ TxM .
Aixı tenim isomorfismes TxM ⊕ TxM ∼= (νn)c(x) i de fet un isomorfisme de fibrats
complexos T-equivariants,
TM ⊗C ∼= νn ⊂ map (T, TM) (4.13)
c = a+ ib 7→(θ 7→ Re (ceinθ)
).
Witten aplica ara la formula de punts fixos (4.12) a π:ET×T LM → BT, utilitzant
la K∗-orientacio corresponent a G = Spin. Aixı defineix un A-genere torcat. S’obte
eA(λn ⊗ νn)−1 = λm/2√
det νM⊗n>0
Sλn(TM ⊗C)
on m =∑
n>0 n · dim(νn) i escrivim, com abans, St(ξ) =⊕
r≥0 tr ⊗ Sr(ξ). Hi ha uns
problemes de normalitzacio per resoldre. Per raonaments de la fısica, Witten va prendre√det νM = 1,
∑n>0 n = ζ(−1) = −1/12. Aixı s’obte
chπK! (1) = pH!
(A(TM) ∪ q−d/24 ch
⊗n>0
Sλn(TM ⊗C)
)
= q−d/24
(A(TM) ∪ ch
⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
)[M ]
on q = chλ, d = dim(νn) = dim(TM) i p es la projeccio BT ×M → BT. En general,
tenim una classe caracterıstica multiplicativa
q−d/24 A(ξ) ∪ ch⊗n>0
Sqn(ξ ⊗C)
per a ξ un fibrat real de rang d sobre M . No es estable; hem de cancel·lar el seu valor al
fibrat de dimensio d trivial, Rd ×M :
q−d/24∏n>0
(1− qn)−d
63
que es igual a η(q)−d. El quocient es
A(ξ) ∪ ch⊗n>0
Sqn(ξ ⊗C)
on ξ = ξ − (Rd ×M), i prenent ξ = TM obtenim el genere de Witten
ϕW (M) = φA(M) =
(A(TM) ∪ ch
⊗n>0
Sqn(TM ⊗C)
)[M ].
Hi ha generes relacionats amb aquest que s’obtenen per les altres K∗-orientacions que
hem esmentat. Per a G = SO, per exemple, podem escriure de la mateixa manera la
signatura equivariant φL(M). El genere resultant es el genere el·lıptic universal.
64
5 Taules de resultats
Les quatre primeres llistes d’aquesta secci mostren els desenvolupaments de Fourier del
gnere de Witten avaluat en els espais projectius complexos, els quaterninics i algunes vari-
etats de Milnor Hi,j. La taula que ve a continuaci mostra gneres de Witten d’interseccions
completes V d1,...,dr2k en termes dels generadors G2, G4 i G6.
CP2 : −1
8+ 3 q + 9 q2 + 12 q3 + 21 q4 +O(q5)
CP4 :3
128− 5
8q +
105
8q2 +
165
2q3 +
1885
8q4 +O(q5)
CP6 : − 5
1024+
21
128q − 385
128q2 +
2065
32q3 +
82467
128q4 +O(q5)
CP8 :35
32768− 45
1024q +
945
1024q2 − 3759
256q3 +
345717
1024q4 +O(q5)
CP10 : − 63
262144+
385
32768q − 9405
32768q2 +
39897
8192q3 − 2396185
32768q4 +O(q5)
CP12 :231
4194304− 819
262144q +
23023
262144q2 − 109109
65536q3 +
6589947
262144q4 +O(q5)
CP14 : − 429
33554432+
3465
4194304q − 110565
4194304q2 +
587405
1048576q3 − 38313105
4194304q4 +O(q5)
CP16 :6435
2147483648− 7293
33554432q +
260865
33554432q2 − 1544535
8388608q3 +
110447589
33554432q4 +O(q5)
CP18 : − 12155
17179869184+
122265
2147483648q − 4849845
2147483648q2 +
31753161
536870912q3 − 2490731793
2147483648q4 +O(q5)
HP2 : −q − 6 q2 − 12 q3 − 28 q4 − 30 q5 +O(q6)
HP3 : −8 q2 − 64 q3 − 240 q4 − 640 q5 − 1440 q6 +O(q7)
HP4 : −54 q3 − 567 q4 − 2916 q5 − 10368 q6 − 29484 q7 +O(q8)
HP5 : −352 q4 − 4608 q5 − 29952 q6 − 133120 q7 − 463680 q8 +O(q9)
HP6 : −2275 q5 − 35750 q6 − 280500 q7 − 1496000 q8 − 6183500 q9 +O(q10)
HP7 : −14688 q6 − 269568 q7 − 2476656 q8 − 15410304 q9 − 73794240 q10 +O(q11)
HP8 : −94962 q7 − 1994202 q8 − 20991600 q9 − 149273600 q10 − 813074640 q11 +O(q12)
HP9 : −615296 q8 − 14553088 q9 − 172652544 q10 − 1381220352 q11 − 8435168256 q12 +O(q13)
HP10 : −3996135 q9 − 105129090 q10 − 1387703988 q11 − 12335146560 q12 − 83490780780 q13 +O(q14)
65
H2, 1 : 0
H2, 3 : −q − 6 q2 − 12 q3 − 28 q4 − 30 q5 +O(q6)
H2, 5 :1
8q − 21
4q2 − 99
2q3 − 377
2q4 − 2085
4q5 +O(q6)
H2, 7 : − 3
128q +
55
64q2 − 885
32q3 − 11781
32q4 − 128725
64q5 +O(q6)
H2, 9 :5
1024q − 105
512q2 +
1253
256q3 − 38413
256q4 − 1349985
512q5 +O(q6)
H2, 11 : − 35
32768q +
855
16384q2 − 10881
8192q3 +
217835
8192q4 − 13702365
16384q5 +O(q6)
H2, 13 :63
262144q − 1771
131072q2 +
25179
65536q3 − 506919
65536q4 +
18722165
131072q5 +O(q6)
H2, 15 : − 231
4194304q +
7371
2097152q2 − 117481
1048576q3 +
2554207
1048576q4 − 90125217
2097152q5 +O(q6)
H2, 17 :429
33554432q − 15345
16777216q2 +
272565
8388608q3 − 6496917
8388608q4 +
240287175
16777216q5 +O(q6)
H2, 19 : − 6435
2147483648q +
255255
1073741824q2 − 5013657
536870912q3 +
131091147
536870912q4 − 5212019885
1073741824q5 +O(q6)
H3, 0 : −1
8+ 3 q + 9 q2 + 12 q3 + 21 q4 +O(q5)
H3, 2 : −q − 6 q2 − 12 q3 − 28 q4 − 30 q5 +O(q6)
H3, 4 : −5 q2 − 40 q3 − 150 q4 − 400 q5 − 900 q6 +O(q7)
H3, 6 : −28 q3 − 294 q4 − 1512 q5 − 5376 q6 − 15288 q7 +O(q8)
H3, 8 : −165 q4 − 2160 q5 − 14040 q6 − 62400 q7 − 217350 q8 +O(q9)
H3, 10 : −1001 q5 − 15730 q6 − 123420 q7 − 658240 q8 − 2720740 q9 +O(q10)
H3, 12 : −6188 q6 − 113568 q7 − 1043406 q8 − 6492304 q9 − 31089240 q10 +O(q11)
H3, 14 : −38760 q7 − 813960 q8 − 8568000 q9 − 60928000 q10 − 331867200 q11 +O(q12)
H3, 16 : −245157 q8 − 5798496 q9 − 68791248 q10 − 550329984 q11 − 3360887352 q12 +O(q13)
H3, 18 : −1562275 q9 − 41099850 q10 − 542518020 q11 − 4822382400 q12 − 32640428700 q13 +O(q14)
66
2k = 2 2k = 4 2k = 6
V2k2 0 4G2
2 − 53 G4
643 G2
3 − 163 G2G4 − 14
45 G6
V2k3 −15G2
272 G2
2 − 754 G4 − 1
2 G23 + 73
4 G2G4 − 721120 G6
V2k4 −48G2 200G2
2 − 2503 G4 − 1024
3 G23 + 1984
3 G2G4 − 204445 G6
V2k5 −105G2
18052 G2
2 − 309512 G4 − 24565
6 G23 + 52445
12 G2G4 − 1561772 G6
V 2, 22k −12G2 2G2
2 − 253 G4
23 G2
3 − 233 G2G4 − 119
90 G6
V 2, 32k −48G2 108G2
2 − 45G4 −64G23 + 176G2G4 − 196
15 G6
V 2, 42k −120G2 676G2
2 − 5303 G4 − 5324
3 G23 + 5786
3 G2G4 − 415145 G6
V 2, 52k −240G2 2420G2
2 − 15853 G4 − 40000
3 G23 + 31600
3 G2G4 − 39209 G6
V 3, 32k −117G2
10892 G2
2 − 4654 G4 − 2187
2 G23 + 4131
4 G2G4 − 144940 G6
V 3, 42k −240G2 1944G2
2 − 330G4 −8192G23 + 5248G2G4 − 2408
15 G6
V 3, 52k −435G2
109352 G2
2 − 34954 G4 − 78125
2 G23 + 87125
4 G2G4 − 1634524 G6
V 4, 42k −432G2 5000G2
2 − 20203 G4 − 97336
3 G23 + 46276
3 G2G4 − 1636645 G6
V 4, 52k −720G2 11560G2
2 − 43703 G4 − 327680
3 G23 + 139520
3 G2G4 − 98569 G6
V 5, 52k −1125G2
462252 G2
2 − 3107512 G4 − 1723025
6 G23 + 1272025
12 G2G4 − 15620572 G6
V 2, 2, 22k −48G2 64G2
2 − 803 G4 − 32
3 G23 + 152
3 G2G4 − 18245 G6
V 2, 2, 32k −132G2 486G2
2 − 105G4 −686G23 + 721G2G4 − 847
30 G6
V 2, 2, 42k −288G2 2048G2
2 − 11203 G4 − 21952
3 G23 + 15568
3 G2G4 − 842845 G6
V 2, 2, 52k −540G2 6250G2
2 − 32453 G4 − 121670
3 G23 + 74405
3 G2G4 − 1574318 G6
V 2, 3, 32k −288G2 1764G2
2 − 255G4 −5184G23 + 3024G2G4 − 378
5 G6
V 2, 3, 42k −552G2 5292G2
2 − 690G4 −27436G23 + 13034G2G4 − 4879
15 G6
V 2, 3, 52k −960G2 13500G2
2 − 1785G4 −109760G23 + 49840G2G4 − 4102
3 G6
V 2, 4, 42k −960G2 12544G2
2 − 41603 G4 − 281216
3 G23 + 107744
3 G2G4 − 3298445 G6
V 2, 4, 52k −1560G2 27380G2
2 − 88903 G4 − 857500
3 G23 + 310450
3 G2G4 − 197759 G6
V 2, 5, 52k −2400G2 52900G2
2 − 157253 G4 − 2129600
3 G23 + 690800
3 G2G4 − 391309 G6
V 3, 3, 32k −567G2
97472 G2
2 − 21154 G4 − 44217
2 G23 + 35649
4 G2G4 − 653140 G6
V 3, 3, 42k −1008G2 12168G2
2 − 1230G4 −82944G23 + 29376G2G4 − 2772
5 G6
V 3, 3, 52k −1665G2
551252 G2
2 − 116854 G4 − 539055
2 G23 + 384615
4 G2G4 − 170738 G6
V 3, 4, 42k −1680G2 26136G2
2 − 2340G4 −238328G23 + 72292G2G4 − 17822
15 G6
V 3, 4, 52k −2640G2 52920G2
2 − 4770G4 −640000G23 + 190400G2G4 − 10220
3 G6
V 3, 5, 52k −3975G2
1950752 G2
2 − 330754 G4 − 2941225
2 G23 + 1618225
4 G2G4 − 15984524 G6
67
Bibliografia
[1] Adem, A. On the K-theory of the classifying space of a discrete group. Math. Ann. 292,(1992), 319–327.
[2] Adem, A.; Milgram, R.J. The cohomology of the Mathieu group M22. Topology 34,(1995), no. 2, 389–410.
[3] Aloff, S.; Wallach, N.R. Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 93–97.
[4] Alvarez, O; Killingback, T.-P.; Mangano, M.; Windey, P. String theory and loopspace index theorems. Communications in Mathematical Physics 111, (1987), 1–10.
[5] Ando, M. The theorem of the cube and the Witten Genus. Preprint, (1995), 10pp.
[6] Ando, M. Power Operations in Elliptic Cohomology and Representations of Loop Groups.Preprint, (1995), 35pp.
[7] Atiyah, M.F. Circular symmetry and stationary-phase approximation. Asterisque, Proc.Conf. in honour of L. Schwartz, (1985), 43–59.
[8] Atiyah, M.F.; Bott, R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes: I. Ann.Math. 86, (1967), 374–407.
[9] Atiyah, M.F.; Bott, R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes II: Ap-plications. Ann. Math. 86, (1967), 451–491.
[10] Atiyah, M.F.; Hirzebruch, F. Riemann–Roch theorems for differentiable manifolds,Bulletin of the American Mathematical Society 65, (1959), 276–281.
[11] Atiyah, M.F.; Hirzebruch, F. Spin-Manifolds and Group Actions, a [81], 18–28.
[12] Atiyah, M.F.; Hirzebruch, F. Cohomologie-Operationen und charakteristische Klas-sen. Mathematische Zeitschrift 77, (1961), 149–187.
[13] Atiyah, M.F.; Segal, G.B. The index of elliptic operators: II. Ann. Math. 87, (1968),431–545.
[14] Atiyah, M.F.; Segal, G.B. Equivariant K-theory and completion. Journal of DifferentialGeometry 77, (1969), 1–18.
[15] Atiyah, M.F.; Singer, I.M. The index of elliptic operators: I. Ann. Math. 87, (1968),484–530.
[16] Atiyah, M.F.; Singer, I.M. The index of elliptic operators: III. Ann. Math. 87, (1968),546–604.
[17] Atiyah, M.F.; Singer, I.M. The index of elliptic operators: IV. Ann. Math. 92, (1970),119–138.
[18] Atiyah, M.F.; Singer, I.M. The index of elliptic operators: V. Ann. Math. 92, (1970),139–149.
[19] Bahri, A.; Bendersky, M.; Gilkey, P. The relationship between complex bordism andK-theory for groups with periodic cohomology. Contemporary Mathematics 96, (1989),19–31.
68
[20] Baker, A. Elliptic cohomology, p-adic modular forms and Atkin’s operator Up. Contem-porary Mathematics 96, (1989), 33–38.
[21] Baker, A. Hecke operators as operations in elliptic cohomology. Journal of Pure andApplied Algebra 63, (1990), 1–11.
[22] Baker, A. Some Calculations with Milnor Hypersurfaces and an Application to Ginzburg’sSymplectic Bordism Ring. Preprint, 1995.
[23] Baker, A. Differential Equations in Divided Power Algebras, Recurrence Relations andFormal Groups. Preprint, 1995.
[24] Baker, A. On the homotopy type of the spectrum representing elliptic cohomology. Pro-ceedings of the American Mathematical Society 107, (1989), no. 2, 537–548.
[25] Baker, A. Vertex Operators in Algebraic Topology. Preprint, 1995.
[26] Baker, A. Operations and Cooperations in Elliptic Cohomology, Part I: Generalized mod-ular forms and the cooperation algebra. New York Journal of Mathematics 1, (1995), 39–74.
[27] Baker, A.; Hunton, J. Continuous Morava K-theory and the geometry of the In-adictower. Math. Scand. 75, (1994), 67–81.
[28] Bar, C. Elliptic operators and representation theory of compact groups. a [113], 151–160.
[29] Bendersky, M. Cobordism span of a manifold and elliptic genera. MathematischeZeitschrift 202 (1989), no. 4, 483–492.
[30] Bendersky, M. Applications of the Ochanine Genus. Mathematische Zeitschrift 206(1991), 443–455.
[31] Benson, D.J.; Wood, J.A. Integral Invariants and Cohomology of BSpin(n). Topology34, no. 1, (1995), 13–28.
[32] Berend, G:; Katz, G. Separating topology and number theory in the Atiyah-SingerG-signature formula. Duke Math Journal 61, (1990), 939–971.
[33] Berglund, Per; Henningson, Mans Landau-Ginzburg orbifolds, mirror symmetry andthe elliptic genus. Nuclear Physics B 433 (1995), no. 2, 311–332.
[34] Bismut, J.-M. Localization formulas, superconnections, and the index theorem for fam-ilies. Communications in Mathematical Physics 103, (1986), 127–166.
[35] Booss, B.; Bleecker, D.D. Topology and Analysis: the Atiyah-Singer Index Formulaand Gauge-Theoretic Physics. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1985.
[36] Borcherds, R.E. Automorphic forms on On,2(R) and the generalized Kac-Moody alge-bras. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich, Agost 1994.
[37] Bott, R.; Tu, L.W. Differential Forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Math-ematics 82, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.
[38] Bott, R.; Taubes, C. On the Rigidity Theorems of Witten. Journal of the AmericanMathematical Society ,Vol 2, no. 1, (1989), 137–186.
[39] Botvinnik, B.; Gilkey, P.B. The eta-invariant and metrics of positive scalar curvature.Math. Ann. 302, (1995), 507–517.
69
[40] Botvinnik, B.; Gilkey, P.B.; Stolz, S. The Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture forgroups with periodic cohomology. Preprint, (1994), 21pp.
[41] Breen, L. Fonction theta et theoreme du cube. Lecture Notes in Mathematics 980, (1983).
[42] Brylinski, J.-L. Remark on Witten’s modular forms. Proceedings of the American Math-ematical Society 105, (1988), no. 3, 773–775.
[43] Brylinski, J.-L. Representations of Loop Groups, Dirac Operators on Loop Space, andModular Forms, Topology 29, no. 4, (1990), 461–480.
[44] Brylinski, J.-L. Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization.Progress in Mathematics 107, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 1993.
[45] Bukhshtaber, V.M.; Shokurov, A.V. Funktsional. Anal. i Prilozhen. 12 (1978), no.3, 1–11, 96
[46] Carey, A.L.; Murray, M.K. String structures and the path fibration of a group. Com-munications in Mathematical Physics 141, (1991), 441–452.
[47] Cha, J.-S. Margolis homology and Morava K-theory for cohomology of the dihedral group.Kodai Math. J. 16, (1993), 220–226.
[48] Chern, S.S.; Hirzebruch, F.; Serre, J.-P. On the index of a fibred manifold. Proceed-ings of the American MAthematical Society 8, (1957), 587–596.
[49] Chudnovsky, D.V.; Chudnovsky, G.V. Elliptic Formal Groups over Z and Fp inapplications to Number Theory, Computer Science and Topology, a [121], 11-54.
[50] Chudnovsky, D.V.; Chudnovsky, G.V. Elliptic modular functions and elliptic genera.Topology 27 (1988), no. 2, 163–170.
[51] Clarke, F.; Johnson, K. Cooperations in elliptic homology. London Math. Soc. LectureNote Series, 176, Cambridge University Press, 1992, pp. 131–143.
[52] Cohen, P.B.; Manin, Y.; Zagier, D. Automorphic pseudodifferential operators.preprint, 1996.
[53] Conner, P.E. Differentiable Periodic Maps. Lecture Notes in Mathematics 738, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, second edition, 1979.
[54] Conner, P.E.; Floyd, E.E. The Relation of Cobordism to K-Theories. Lecture Notesin Mathematics 28, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1966.
[55] Conner, P.E.; Smith, L. On the Complex Bordism of Finite Complexes. Inst. Hautes
Etudes Sci. Publ. Math. 37 (1969), 117–221.
[56] Conner, P.E.; Smith, L. On the Complex Bordism of Finite Complexes II. Journal ofDifferential Geometry 6, (1971), 135–174.
[57] Dai, Xianzhe; Zhang, Wei Ping Circle bundles and the Kreck-Stolz invariant. Trans-actions of the American Mathematical Society
[58] Della Pietra, S.; Della Pietra V. Parallel transport in the determinant line bundle:the non-zero index case. Communications in Mathematical Physics 111, (1987), 11–31.
70
[59] Dessai, A.N. The Witten Genus and S3-actions on manifolds. Preprint-Reihe des Fach-bereichs Mathematik 6, Johannes Gutenberg-Universitat in Mainz, 1994, 7pp.
[60] Dessai, A.N. Rigidity Theorems for Spinc-Manifolds and Applications. Docktorarbeit,Johannes Gutenberg-Universitat in Mainz, 1996.
[61] Devinatz, E.S.; Hopkins, M.J. The action of the Morava stabilizer group on the Lubin-Tate moduli space of lifts. American Journal of Mathematics 117, (1995), 669–710.
[62] Devoto, J.A. Equivariant elliptic cohomology and finite groups. Michigan Math. J. 43,(1996), 3–32.
[63] Devoto, J.A. Elliptic Genera for Z/k-Manifolds I. Preprint, (1996), 31pp.
[64] tom Dieck, T. Transformation groups and representation theory. Lecture Notes in Math-emtics 766, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979.
[65] tom Dieck, T. Transformation Groups. de Gruyter Studies in Mathematics 8, de Gruyter,Berlin, New York, 1987.
[66] Di Francesco, P.; Yankielowicz, S. Ramond sector characters and N = 2 Landau-Ginzburg models. Nuclear Physics B 409 (1993), no. 1, 186–210.
[67] Dobrowolski, Edward; Januszkiewicz, Tadeusz Arithmetic of an elliptic curve andcircle actions on four-manifolds. Colloquium Mathematicum 64 (1993), no. 1, 13–18.
[68] Dong, C.; Mason, G. An orbifold theory of genus zero associated to the sporadic groupM24. Communications in Mathematical Physics 164, (1994), 87–104.
[69] Dwyer, W.G.; Stolz, S.; Taylor, L.R. On the dimension of infinite covers. Proceedingsof the American Mathematical Society
[70] Dyer, E. Cohomology Theories. Mathematics Lecture Note Series, W.A. Benjamin, NewYork, Amsterdam, 1969.
[71] Eichler, M.; Zagier, D.B. The Theory of Jacobi Forms. Progress in Mathematics 55,Birkhauser, Boston, Basel, Stuttgart, 1985.
[72] Eliashberg, Y. Internat. J. Math. 1 (1990), no. 1, 29–46
[73] Franke, Jens On the construction of elliptic cohomology. Mathematische-Nachrichten158 (1992), 43–65.
[74] Futaki, Akito Scalar-flat closed manifolds not admitting positive scalar curvature met-rics. Inventiones Mathematicae 112 (1993), no. 1, 23–29.
[75] Geiges, Hansjorg Mathematika 38 (1991), no. 2, 303–311 (1992).
[76] Geiges, Hansjorg Contact structures on (n − 1)-connected (2n + 1)-manifolds. PacificJournal of Mathematics 161 (1993), no. 1, 129–137.
[77] Ginzburg, V.; Guillermin, V.; Karshon, Y. Cobordism Theory and LocalizationFormulas for Hamiltonian Group Actions. dg-ga/9601003, (1995), 14pp.
[78] Ginzburg, V.; Kapranov, M.; Vasserot, E. Elliptic Algebras and Equivariant EllipticCohomology. Preprint, (1995).
71
[79] Goodwillie, T.G. Cyclic homology, derivations and the free loopspace. Topology 24,(1985), no. 2, 187–215.
[80] Guest, M.A.; Micha, E. Detecting exotic structures via the Pontrjagin-Thom construc-tion. Mathematika 41 (1994), no. 1, 145–148.
[81] Haefliger, A.; Narasimhan, R. editors. Essays on Topology and Related Topics. Mem-oires dedies a Georges de Rham. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1970.
[82] Hazewinkel, M. Formal Groups and Applications. Academic Press, New York, San Fran-cisco, London, 1978.
[83] Henningson, Mans N = 2 gauged WZW models and the elliptic genus. Nuclear PhysicsB 413 (1994), no. 1-2, 73–83.
[84] Hirzebruch, F. Automorphe Formen und der Satz von Riemann–Roch a: SymposiumInternacional de Topologıa Algebraica (Mexico 1956), 129–144, Universidad NacionalAutonoma de Mexico, 1958.
[85] Hirzebruch, F. Komplexe Mannigfaltigkeiten Proceedings of the International Congressof Mathematicians (1958), 119–136, Cambridge University Press, 1960.
[86] Hirzebruch, F. A Riemann–Roch theorem for differentiable Manifolds Seminaire Bour-baki 177, (Fevrier 1959), 21pp.
[87] Hirzebruch, F. Elliptic genera of level N for complex manifolds. A: Differential geomet-rical methods in theoretical physics (Como, 1987), 37–63, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht,1988; tambe Appendix III a [90], 169–186.
[88] Hirzebruch, F. Gesammelte Abhandlungen; Band I 1951–1962, Band II 1963–1987.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1987.
[89] Hirzebruch, F. Topological Methods in Algebraic Geometry. Classics in Mathematics.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, third edition, 1995.
[90] Hirzebruch, F.; Berger, Th.; Jung, R. Manifolds and modular forms, Aspects ofMathematics E20, Max-Planck-Institut fur Mathematik, Bonn. Vieweg, Braunschweig,1992
[91] Hirzebruch, F.; Slodowy, P. Elliptic genera, involutions, and homogeneous spin man-ifolds. Geometriae Dedicata 35 (1990), no. 1-3, 309–343.
[92] Hirzebruch, F.; Zagier, D.B. The Atiyah-Singer Theorem and Elementary NumberTheory. Mathematics Lecture Series, 3. Publish or Perish Inc., Boston, Mass., 1974.
[93] Hohn, G. Komplexe elliptische Geschlechter und S1-aquivariante Kobordismustheorie.Diplomarbeit, Universitat Bonn, (1991), 76pp.
[94] Hohn, G. Selbstduale Vertexoperatorsuperalgebren und das Babymonster. Doktorarbeit,Universitat Bonn, (1995), 85pp.
[95] Hopkins, M.J. Characters and elliptic cohomology. London Mathematical Society Lec-ture Notes Series 139, Cambridge University Press, (1989), 87–104.
[96] Hopkins, M.J. Topological modular forms, the Witten genus, and the theorem of thecube. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich, Agost 1994,Birkhauser, (1995), 11pp.
72
[97] Hopkins, M.J.; Hovey, M.A. Spin cobordism determines real K-theory. MathematischeZeitschrift 210, (1992), 181–196.
[98] Hopkins, M.J.; Hunton, J.R. On the structure of spaces representing a Landweberexact cohomology theory. Topology 34, no. 1, (1995), 29–36.
[99] Hopkins, M.J.; Kuhn, N.J.; Ravenel, D.C. Generalized group characters and complexoriented cohomology theories. Preprint 1989.
[100] Hopkins, M.J.; Mahowald, M. The spectrum eo2. To appear.
[101] Hovey, M.A. A proof of the existence of level 1 elliptic cohomology. Proceedings of theAmerican Mathematical Society 118 (1993), no. 4, 1331–1334.
[102] Hovey, M.A. Spin bordism and elliptic cohomology. Mathematische Zeitschrift 219,(1995), 163–170.
[103] Husemoller, D. Fibre Bundles. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer-Verlag,Berlin, Heidelberg, New York, third edition, 1994.
[104] Husseini, S.Y. The Topology of Classical Groups and Related Topics. Notes on mathe-matics and its applicactions. Gordon and Breach, New York, 1969.
[105] Isham, C.J. Modern Differential Geometry for Physicists. World Scientific Lecture Notesin Physics 32, World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1989.
[106] Katsura, Toshiyuki; Shimizu, Yuji; Ueno, Kenji Complex cobordism ring and con-formal field theory over Z. Mathematische Annalen 291 (1991), no. 3, 551–571.
[107] Kawai, T.; Yamada, Y; Yang, S.-K. Elliptic genera and N = 2 superconformal fieldtheory. Nuclear Physics B 414, (1994), 191–212
[108] Katz, G. p-adic properties of modular schemes and modular forms. A: Modular func-tions of one variable III, Lecture Notes in Mathematics 349, 69–190, Springer, Berlin,Heidelberg, New York, 1972.
[109] Katz, G. Local formulae in equivariant bordism. Topology 31, (1992), 713–733.
[110] Katz, G. Analytic deformation of equivariant genera and Witten rigidity a la Bott-Taubes.Manuscript, 1993.
[111] Killingback, T.P. World-sheet anomalies and loop geometry. Nuclear Physics B 288,(1987), 578–588.
[112] Koblitz, N. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, second edition. GraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1993.
[113] Kotake, T; Nishikawa, S.; Schoen, R.; editors. Geometry and Global Analysis. MSJInternational Research Institute, Tohoku University, Sendai, Japan, 1993.
[114] Kreck, M.; Stolz, S. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 465–486
[115] Kreck, M.; Stolz, S. HP2-bundles and elliptic homology. Acta Mathematica 171 (1993),no. 2, 231–261.
[116] Kreck, M.; Stolz, S. Nonconnected moduli spaces of positive sectional curvature metrics.Journal of the American Mathematical Society 6 (1993), no. 4, 825–850.
73
[117] Krichever, I.M. Formal groups and the Atiyah-Hirzebruch formula. Math. USSRIzvestiya 8:6, (1974), 1271–1285.
[118] Krichever, I.M. Obstructions to the existence of S1-actions. Math. USSR Izvestiya 10:4,(1976), 783–797.
[119] Krichever, I.M. Generalized elliptic genera and Baker-Akhiezer functions. Original:Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki 47 (1990), no. 2, 34–45, 158 Trans-lation: Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR 47 (1990), no. 1-2,132–142
[120] Landweber, P.S. Homological properties of comodules over MU∗(MU) and BP∗(BP ).American Journal of Mathematics 98, (1976), no. 3, 591–610.
[121] Landweber, P.S. (Ed.) Elliptic Curves and Modular Forms in Algebraic Topology(Princeton, 1986). Lecture Notes in Mathematics 1326, Springer-Verlag, Berlin, Heidel-berg, New York, 1988.
[122] Landweber, P.S. Elliptic Genera: an Introductory Overview, a [121], 1–10.
[123] Landweber, P.S. Elliptic Cohomology and Modular Forms, a [121], 55–68.
[124] Landweber, P.S.; Ravenel, D.C.; Stong, R.E. Periodic Cohomology Theories Definedby Elliptic Curves. Contemporary Mathematics 181, (1995), 317–339.
[125] Landweber, P.S.; Stong, R.E. Circle actions on Spin manifolds and characteristicnumbers. Topology 27 (1988), no. 2, 145–161.
[126] Lang, S. Introduction to Modular Forms. Grundlehren der mathematischen Wis-senschaften 222, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976.
[127] Lang, S. Elliptic Functions, second edition. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1987.
[128] Lawson, H.B.; Michelson, M.-L. Spin Geometry. Princeton Mathematical Series, 38,Princeton University Press, New Jersey, 1989.
[129] Lerche, W. Elliptic index and superstring effective actions. Nuclear Physics B 308 (1988),no. 1, 102–126.
[130] Lerche, W.; Nilsson, B.E.W.; Schellekens, A.N. Nuclear Physics B 289 (1987), no.3, 609–627.
[131] Lerche, W.; Nilsson, B.E.W.; Schellekens, A.N.; Warner, N.P. Anomaly can-celling terms from the elliptic genus. Nuclear Physics B 299 (1988), no. 1, 91–116.
[132] Lesniewski, A.; Osterwalder, K. Superspace formulation of the Chern character of atheta-summable Fredholm module. Communications in Mathematical Physics 168, (1995),643–650.
[133] Liu, K. Holomorphic equivariant cohomology. Mathematische Annalen 303, (1995), 125–148.
[134] Liu, K. On Elliptic Genera and Theta-Functions. Topology 35, no. 3, (1996), 617–640.
[135] Mackey, G.W. Induced Representations of Groups and Quantum Mechanics. Pubbli-cazione della classe di scienze della scuola normale superiore, Pisa. W.A. Benjamin, NewYork, Amsterdam, i Editore Boringhieri, Torino, 1968.
74
[136] Mason, G. G-Elliptic systems and the genus zero problem for M24. Bulletin of the Amer-ican Mathematical Society 25, (1991), no. 1, 45–55.
[137] McLaughlin, D.A. Orientation and string structures on loop space. Pacific Journal ofMathematics 155, (1992), no. 1, 143–156.
[138] Miller, J.W. The elliptic character and the Witten Genus. Contemporary Math. vol. 96(1989), 281–289.
[139] Milnor, J.W. On the cobordism ring Ω∗ and a complex analog. American Journal ofMathematics 82, (1960), 505–521.
[140] Milnor, J.W. A survey of cobordism theory. L’enseignement mathem., t. VIII, 1-2,(1962), 16–23.
[141] Milnor, J.W. Morse Theory Annals of Mathematics Studies 51, Princeton UniversityPress, 1973.
[142] Milnor, J.W.; Stasheff, J.D. Characteristic Classes. Princeton University Press, NewJersey, 1974.
[143] Morava, J. in Homotopy theory and related topics (Kinosaki, 1988), 184–204, LectureNotes in Mathematics, 1418, Springer, Berlin, 1990
[144] Morava, J.; Shimizu, Y. A topological generalization of the elliptic genus Preprint,1990
[145] Moscovici, H.; Stanton, R.J. Eta invariants of Dirac operators on locally symmetricmanifolds. Inventiones Mathematicae, (1989), 629–666.
[146] Nadiradze, R.G. Elliptic genera of various cobordism theories. Soobshcheniya AkademiiNauk Gruzinskoi SSR 133 (1989), no. 3, 485–487.
[147] Nakahara, M. Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics Publishing, London,1990.
[148] Nart, E. Formes Modulars. Dep. Mathematiques, Universitat Autonoma de Barcelona,1994.
[149] Nash, Ch.; Sen, S. Topology and Geometry for Physicists. Acadamic Press, London,1983.
[150] Nemeschansky, D.; Warner, N.P. Refining the elliptic genus. Physics Letters B 329(1994), no. 1, 53–60.
[151] Nishida, G.H. Modular Forms and the double transfer map for BT 2. Preprint, 1989.
[152] Novikov, S.P. The methods of algebraic topology from the point of view of cobordismtheory. Izvestija Akad. Nauk SSSR 31/1 (1967), no. 4, 827–913.
[153] Ochanine, S. Genres Elliptiques Equivariants, a [121], 107–122.
[154] Ochanine, S. Sur les genres multiplicatifs definis par des integrales elliptiques. Topology26 (1987), no. 2, 143–151.
[155] Ochanine, S. Elliptic genera, modular forms over KO∗ and the Brown-Kervaire invari-ant. Mathematische Zeitschrift 206 (1991), no. 2, 277–291.
75
[156] von Oehsen, J.B. Elliptic genera of level N and Jacobi polynomials. Proceedings of theAmerican Mathematical Society 122 (1994), no. 1, 303–312.
[157] Pilch, K.; Schellekens, A.N.; Warner, N.P. Nuclear Physics B 287 (1987), no. 2,362–380.
[158] Pressley, A.; Segal, G. Loop Groups. Clarendon Press, Oxford, 1986.
[159] Quillen, D.G. The mod 2 cohomology rings of extra-special 2-groups and the spinorgroups. Mathematische Annalen 194, (1971), –.
[160] Rosenberg, J.; Stolz, S. A “stable” version of the Gromov-Lawson conjecture. Preprint(1994), 14pp.
[161] Schellekens, A.N.; Warner, N.P. Anomalies, characters and strings. Nuclear PhysicsB 287 (1987), no. 2, 317–361.
[162] Segal, G. Unitary representations of some infinite dimensional groups. Communicationsin Mathematical Physics 80, (1981), 301–342.
[163] Segal, G. Elliptic cohomology (after Landweber-Stong, Ochanine, Witten, and others).Asterisque (1988), No. 161-162 Exp. No. 695, 4, 187–201 (1989).
[164] Shafarevich, I.R. Basic Algebraic Geometry, volume 1: Varieties in Projective Space,volume 2: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, NewYork, 1977, 1994.
[165] Stolz, S. Hochzusammenhangende Mannigfaltigkeiten und ihre Rander. Lecture Notes inMathematics 1116, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1985.
[166] Stolz, S. Simply connected manifolds of positive scalar curvature. Annals of MathematicsSecond Series 136 (1992), no. 3, 511–540.
[167] Stolz, S. Splitting certain MSpin-module spectra. Topology 33 (1994), no. 1, 159–180.
[168] Stolz, S. Positive scalar curvature metrics — existence and classification questions.Preprint, 1994, 11pp.
[169] Stolz, S. A conjecture concerning positive Ricci curvature and the Witten Genus. Math-ematische Annalen 304, (1996), 785–800.
[170] Stong, R. Notes on Cobordism Theory. Princeton University Press, 1968.
[171] Szczarba, R.H. On tangent bundles of fibre spaces and quotient spaces. American Journalof Mathematics 86, (1964), 685–697.
[172] Tanabe, M. Remarks on the elliptic cohomology of finite groups. J. Math. Kyoto Univ.34-4, (1994), 709–717.
[173] Thomas, Ch. B. Characteristic classes and 2-modular representations of some sporadicsimple groups — II. Contemporary Math. 96 (1989), 303–318.
[174] Thomas, Ch. B. Elliptic cohomology of the classifying space of the Mathieu group M24.Comtemporary Mathematics 158, (1994), 307–318.
[175] Tuite, M.P. On the relationship between monstrous moonshine and the uniqueness of themoonshine module. Communications in Mathematical Physics 166, (1995), 495–532.
76
[176] Vafa, C. Modular invariance and discrete torsion on orbifolds. Nuclear Physics B 273,(1986), 592–606.
[177] Vaisman, I. Cohomology and Differential Forms. Pure and Applied Mathematics Series,21, Marcel Dekker, New York, 1973.
[178] Waldschmidt, W.; Moussa, P.; Luck, J.-M.; Itzykson, C.; editors. From NumberTheory to Physics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1992.
[179] Wall, C.T.C.; Wilkens, D.L.; Stolz, S. Hochzusammenhangende Mannigfaltigkeitenund ihre Rander, Lecture Notes in Mathematics 1116, Springer, Berlin, 1985.
[180] Wang, M.Y.K.; Ziller W. in Curvature and topology of Riemannian manifolds (Katata,1985), 319–336, Lecture Notes in Mathematics 1201, Springer, Berlin, 1986.
[181] Ward, R.S.; Wells, R.O. Twistor Geometry and Field Theory. Monographs on Math-ematical Physics. Cambridge University Press, 1990.
[182] Warner, F.W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Textsin Mathematics 94, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1983.
[183] Wells, R.O. Differential Analysis on Complex Manifolds. Prentice-Hall, Inc., New Jersey,1973.
[184] Wen, W.-G.; Witten, E. Electric and magnetic charges in superstring models. Nuclearphysics B 261, (1985), 651–677.
[185] Whitehead, G.W. Elements of Homotopy Theory. Graduate Texts in Mathematics 61,Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.
[186] Witten, E. Elliptic genera and quantum field theory. Communications in MathematicalPhysics 109, (1987), 525–536.
[187] Witten, E. The Index of the Dirac Operator in Loop Space, a [121], 161–181.
[188] Yang, K. Almost Complex Homogeneous Spaces and their Submanifolds. World Scientific,Singapore, New Jersey, Hong Kong, 1987.
[189] Zagier, D.B. Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. LectureNotes in Mathematics 290, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1972.
[190] Zagier, D.B. Zetafunktionen und quadratische Korper. Hochschultext, Springer-Verlag,Berlin, Heidelberg, New York, 1981.
[191] Zagier, D.B. Introduction to Modular Forms, a [178], 238–292.
[192] Zagier, D.B. Note on the Landweber-Stong Elliptic Genus, a [121], 216–224.
77