FUNDAMENTACIN CONCEPTUAL Y PROCEDIMENTAL RELATIVA A SEALES BSICAS, MUESTREO Y ESPECTROS DE LNEA.

Recursos computacionales y documentales: Computador con Matlab instalado, calculadora, libros de Sistemas y Seales de diferentes autores.Recursos temporales: 4 horas

Grupo de Ejercicios ACon la serie de ejercicios que se presentan a continuacin se pretende que el estudiante o la estudiante desarrollen competencias en: Elaboracin de grficas de seales en tiempo continuo y en tiempo discreto mediante el uso de calculadora. Empleo de herramientas computacionales y software para la representacin grfica de seales en tiempo continuo y tiempo discreto. Interpretacin y anlisis de diversas fuentes de informacin para la construccin autnoma de conocimiento.

A.1 Confrontar definiciones y conceptos de diferentes autores y elaborar su versin de los siguientes conceptos:

a. Seal en tiempo continuoSeales en tiempo continuo. Una seal en tiempo continuo es aquella que puede tomar cualquier valor en cualquier instante de tiempo, donde la variable independiente tiempo puede ser cualquier instante desde - infinito a + infinito. Como ejemplo de este tipo de seales est cualquier funcin matemtica que dependa del tiempo, como v (t) Vp*cos (2**f*t), dnde t es la variable independiente y v(t), la variable dependiente.

b. Seal en tiempo discreto Seales en tiempo discreto. Una seal en tiempo discreto, solo est definida para ciertos valores del tiempo.Supngase que empezando de cero tomamos muestras de una seal analgica y que estas muestras las tomamos cada 0.001 segundos (perodo de muestreo). Segn esto, de la seal anterior en el perodo se tomaron 10 muestras, definimos la frecuencia de muestreo como el numero de muestras por segundo que es el inverso del periodo de muestreo o sea Fm = 1/T = 1/0.001 = 10muestras/segundo.

c. Muestreo uniforme

Muestreo Uniforme. el teorema del muestreo uniforme establece que una seal de banda limitada sin componentes frecuenciales para |f| W, puede reconstruirse completamente a partir de las muestras uniformemente espaciadas en tiempo con periodo Tm 1/2W, utilizando la frmula de interpolacin:

Siendo W el ancho de banda del nitro ideal supuesto en la reconstruccin, el cual debe satisfacer:

d. AliasingEl aliasing. Es el efecto que causa que seales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se les muestrea digitalmente. Cuando esto sucede, la seal original no puede ser reconstruida de forma unvoca a partir de la seal digital. Una imagen limitada en banda y muestreada por debajo de su frecuencia de Nyquist en las direcciones "x" e "y", resulta en una superposicin de las replicaciones peridicas del espectro G (fx, fy). Este fenmeno de superposicin peridica sucesiva es lo que se conoce como aliasing.El aliasing es un motivo de preocupacin mayor en lo que concierne a la conversin analgica-digital de seales de audio y vdeo: el muestreo incorrecto de seales analgicas puede provocar que seales de alta frecuencia presenten dicho aliasing con respecto a seales de baja frecuencia. El aliasing es tambin una preocupacin en el rea de la computacin grfica e infografa, donde puede dar origen a patrones de moir (en las imgenes con muchos detalles finos) y tambin a bordes dentados. El aliasing nos puede traer problemas sobre todo en el campo de visin por computadores, ya que al procesar imgenes, si no es correcta la imagen obtenida con la realidad, podemos tener problemas con el hardware.

e. Acondicionamiento analgico de sealAcondicionamiento de la seal. Si existe la seal, realiza la funcin de modificar la seal entregada por el sensor para obtener una seal adecuada (amplificacin, linealizacin, Amplificacin, Filtrado, Adaptacin de impedancias, Modulacin, Demodulacin, etc.).

A.2 Considere la seal en tiempo continuo representada por:

Se solicita:a. Graficar la seal en el rango .tx(t)

-2No Existe

-1No Existe

03

0,252,4

0,52,06

0,751,7

11,4

20,6

30,3

40,1

50,07

60,03

t= tiempo continuo

b. Graficar la seal que se obtiene al muestrear la seal a una Hz.

nTx(nT)

-1no existe

-0,5no existe

03

0,52,06

11,4

1,50,97

20,66

2,50,46

30,31

c. Considerar el rango e indique los instantes especficos de tiempo en los existe la seal.La seal existe solo para tiempos positivosntu(n+2)-(n-2)

-9-0,5no existe

-8-1no existe

-7-1,5no existe

-6-2no existe

-5-2,5no existe

-4-3no existe

-3-3,5no existe

-2-4no existe

-1-4,5no existe

00no existe

10,5existe

21existe

31,5existe

42existe

52,5existe

63existe

73,5existe

84existe

94,5existe

d. En un de Matlab agrupar una secuencia de instrucciones que permita obtener las grficas de y . Las grficas obtenidas debern incorporar: etiquetas () para el eje de abscisas y ordenadas, ttulo () de la grfica y leyendas ().

A.3 En la teora de sistemas y seales, funciones como el impulso, el escaln y la exponencial compleja juegan un papel preponderante. Se emplean para modelar fenmenos fsicos y representar otras seales. Las seales , por ejemplo, se describen en trminos de la funcin . Por definicin una seal causal es aquella que inicia en . La funcin se puede definir como:

Dadas las seales:

Se solicita:a. Graficar la seal .

tu(t+2)u(t-2)u(t+2)-u(t-2)

-3000

-2101

-1101

0101

1101

2110

3110

b. Graficar la seal .

tt2u(t+2)-u(t-2)X3

-3909

-2414

-1,52,2512,25

-1111

-0,750,562510,5625

-0,50,2510,25

-0,250,062510,0625

0010

0,250,062510,0625

0,50,2510,25

0,750,562510,5625

1111

1,52,2512,25

2400

3900

c. Graficar la secuencia que se obtiene de muestrear la seal a una .

nTt^2=(2/4)^2u(t+2)-u(t-2)x3 (nT)

-95,062500

-9,755,9414062500

-9,55,64062500

-9,255,3476562500

-8414

-7,753,7539062513,75390625

-7,53,51562513,515625

-7,253,2851562513,28515625

-73,062513,0625

-6,752,8476562512,84765625

-6,52,64062512,640625

-6,252,4414062512,44140625

-62,2512,25

-5,752,0664062512,06640625

-5,51,89062511,890625

-5,251,7226562511,72265625

-51,562511,5625

-4,751,4101562511,41015625

-4,51,26562511,265625

-4,251,1289062511,12890625

-4111

-3,750,8789062510,87890625

-3,50,76562510,765625

-3,250,6601562510,66015625

-30,562510,5625

-2,750,4726562510,47265625

-2,50,39062510,390625

-2,250,3164062510,31640625

-20,2510,25

-1,750,1914062510,19140625

-1,50,14062510,140625

-1,250,0976562510,09765625

-10,062510,0625

-0,750,0351562510,03515625

-0,50,01562510,015625

-0,250,0039062510,00390625

0010

0,250,0039062510,00390625

0,50,01562510,015625

0,750,0351562510,03515625

10,062510,0625

1,250,0976562510,09765625

1,50,14062510,140625

1,750,1914062510,19140625

20,2510,25

2,250,3164062510,31640625

2,50,39062510,390625

2,750,4726562510,47265625

30,562510,5625

3,250,6601562510,66015625

3,50,76562510,765625

3,750,8789062510,87890625

4111

4,251,1289062511,12890625

4,51,26562511,265625

4,751,4101562511,41015625

51,562511,5625

5,251,7226562511,72265625

5,51,89062511,890625

5,752,0664062512,06640625

62,2512,25

6,252,4414062512,44140625

6,52,64062512,640625

6,752,8476562512,84765625

73,062513,0625

7,253,2851562513,28515625

7,53,51562513,515625

7,753,7539062513,75390625

8414

8,254,2539062514,25390625

8,54,51562514,515625

8,754,7851562514,78515625

95,062500

9,255,3476562500

9,55,64062500

9,755,9414062500

d. En un de Matlab agrupar una secuencia de instrucciones que permita construir las grficas de , y .

A.4 La conexin y desconexin de una fuente de voltaje DC en un circuito elctrico se puede modelar mediante la funcin pulso rectangular. El pulso rectangular de la figura A.3 se puede definir como la diferencia de dos escalones desplazados:

Figura A.4 Pulso rectangular con a=2 y A=1.Dada la seal , se solicita:a. Graficar la seal

tw(t)

-30,124

-20,33

-10,91

-0,751,1

-0,51,5

-0,251,9

02,5

0,251,9

0,51,5

0,751,1

10,91

20,33

30,124

b. Graficar la seal

tw(t)2w()

-70,0020,04

-6,50,003750,0074

-60,0120,012

-50,0320,032

-40,090,09

-3,50,150,15

-30,240,24

c. Graficar la seal que se obtiene al muestrear la seal a una

=

=

Despejando n de nT

Nos queda

*5 *5

Entonces

Y

*5 *5

Entonces

A.5 La funcin , correspondiente a la funcin o, se presenta reiteradamente en el anlisis espectral de seales, se define como:

A esta funcin tambin se le conoce como o de . Algunos autores definen la como , de modo que la funcin sinc se puede definir en trminos de la como: . Dada la funcin se solicita: a. Determinar sus puntos de cruce por cero.

Para t=K donde K pertenece a los enteros ()

b. Su amplitud en .

c. Determinar si corresponde a una funcin par o impar.

Par Impar

Esta es una funcin par

d. Graficar la seal .

t(sen(t))/t

-50

-40

-30

-20

-0

01

0

20

30

40

50

e. Graficar la seal que se obtiene al muestrear la seal a una Hz.

nTrect(nT/8)(sen(nT))/((nT))X1 (nT)

-13,00000

-12,6710,00030,0003

-12,3410,00030,0003

-12,0110,000010,00001

-11,681-0,0004-0,0004

-11,351-0,0004-0,0004

-11,0210,000030,00003

-10,6910,00040,0004

-10,3610,00040,0004

-10,031-0,00005-0,00005

-9,7010,00040,0004

-9,371-0,0005-0,0005

-9,041-0,00007-0,00007

-8,7110,00050,0005

-8,3810,00060,0006

-8,051-0,0001-0,0001

-7,7210,00050,0005

-7,391-0,0007-0,0007

-7,061-0,0001-0,0001

-6,731-0,0006-0,0006

-6,4010,00080,0008

-6,0710,00010,0001

-5,741-0,007-0,007

-5,411-0,0009-0,0009

-5,081-0,0002-0,0002

-4,7510,00080,0008

-4,4210,0010,001

-4,0910,00030,0003

-3,761-0,001-0,001

-3,431-0,001-0,001

-3,101-0,0005-0,0005

-2,7710,0010,001

-2,4410,0020,002

-2,1110,00080,0008

-1,781-0,001-0,001

-1,451-0,003-0,003

-1,121-0,001-0,001

-0,791-0,004-0,004

-0,4610,0110,011

-0,1310,0160,016

0,2010,0160,016

0,5310,010,01

0,8610,0020,002

1,191-0,002-0,002

1,521-0,002-0,002

1,851-0,001-0,001

2,1810,0010,001

2,5110,0020,002

2,8410,00090,0009

3,171-0,0008-0,0008

3,501-0,001-0,001

3,831-0,0007-0,0007

4,1610,00060,0006

4,4910,0010,001

4,8210,00060,0006

5,151-0,0004-0,0004

5,481-0,001-0,001

5,811-0,0005-0,0005

6,1410,00030,0003

6,4710,00080,0008

6,8010,00040,0004

7,131-0,0003-0,0003

7,461-0,0007-0,0007

7,791-0,0004-0,0004

8,1210,00020,0002

8,4510,00060,0006

8,7810,00040,0004

9,111-0,0002-0,0002

9,441-0,0005-0,0005

9,771-0,0003-0,0003

10,1010,00010,0001

10,4310,00050,0005

10,7610,00030,0003

11,091-0,0001-0,0001

11,421-0,0004-0,0004

11,751-0,0003-0,0003

12,0810,00010,0001

12,4110,00040,0004

12,7410,00030,0003

13,00000

f. Graficar la en el intervalo .

tX2(t)

-7-0,001

-13/20,0008

-60

-11/2-0,001

-50

-9/20,001

-40

-7/2-0,001

-30

-5/20,002

-20

-3/2-0,003

-0

-/20,0111

01

/20,0111

0

3/2-0,003

20

5/20,002

30

7/2-0,001

40

9/20,001

50

11/2-0,001

60

13/20,0008

7-0,001

g. Mediante un script de Matlab graficar las seales , ,.

Grupo de Ejercicios BCon esta serie de ejercicios se busca que el estudiante o la estudiante alcancen los siguientes objetivos de formacin: Apropiacin de conceptos como: Funcin exponencial compleja peridica Fasor rotativo Espectro de lnea Empleo de herramientas computacionales y software para la representacin grfica de combinaciones lineales de funciones seno y coseno en el dominio del tiempo y de la frecuencia.

B.1 Confrontar definiciones y conceptos de diferentes autores y elaborar su versin de los siguientes conceptos:

a. FasorUn fasor es un vector utilizado para representar una onda, de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas despus de procesos de interferencia. Los fasores se utilizan directamente en ptica, ingeniera de telecomunicaciones y acstica. La longitud del fasor da la amplitud y el ngulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemtica de ondas, en electrnica los fasores se utilizan habitualmente en el anlisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados fsicos.b. Espectro de lneaUn espectro de lneas es un espectro en el que est concentrada la energa en varias frecuencias (lneas o bins), opuesto a un espectro contino, donde la energa est repartida en una banda de frecuencias. Una seal determinista tendr un espectro de lneas, y una seal aleatoria tendr un espectro contino.

c. Ancho de bandaAncho de banda. En conexiones a Internet el ancho de banda es la cantidad de informacin o de datos que se puede enviar a travs de una conexin de red en un perodo de tiempo dado. El ancho de banda se indica generalmente en bits por segundo (bps), kilobits por segundo (kbps), o megabits por segundo (mps). Para seales analgicas, el ancho de banda es la longitud, medida en Hz, del rango de frecuencias en el que se concentra la mayor parte de la potencia de la seal. Puede ser calculado a partir de una seal temporal mediante el anlisis de Fourier. Tambin son llamadas frecuencias efectivas las pertenecientes a este rango.

- El ancho de banda viene determinado por las frecuencias comprendidas entre f1 y f2.

d. Banda baseBanda base se refiere a la banda de frecuencias producida por un transductor, tal como un micrfono, un manipulador telegrfico u otro dispositivo generador de seales que no es necesario adaptarlo al medio por el que se va a trasmitir.Banda base es la seal de una sola transmisin en un canal, banda ancha significa que lleva ms de una seal y cada una de ellas se transmite en diferentes canales, hasta su nmero mximo de canal.En los sistemas de transmisin, la banda base es generalmente utilizada para modular una portadora. Durante el proceso de demodulacin se reconstruye la seal banda base original. Por ello, podemos decir que la banda base describe el estado de la seal antes de la modulacin y de la multiplexacin y despus de la demultiplexacin y desmodulacin.

B.2 En la marcacin telefnica por tonos de multifrecuencia (DTMF), cada botn en el teclado de un telfono analgico genera una combinacin lineal nica de funciones seno. Cada combinacin se encuentra en el rango de frecuencias audibles por el ser humano, por lo que el usuario recibe una confirmacin sonora cada vez que pulsa una tecla. El tono de marcacin generado corresponde a la suma de dos tonos dados por:

y

Donde es un tono de baja frecuencia y uno de alta frecuencia, tal como se indica en la figura B.2.

7

1

2

3

4

5

6

8

9

#

*

0Telfono de tonos697 Hz770 Hz852 Hz941 Hz1209 Hz1336 Hz1477 Hz

Tonos de baja frecuenciaTonos de alta frecuencia

Figura B.2 Marcacin telefnica por tonos (DTMF).Si en el teclado se marca el ltimo nmero de su documento de identificacin, llevar a cabo lo siguiente:

Cuando marco el 9

a. Mediante un script de Matlab graficar la seal generada

b. Dibujar el espectro unilateral de la seal

c. Dibujar el espectro bilateral de la seal

d. Dibujar la representacin fasorial de la seal en el plano complejo

B.3 Considere la seal dada por:

La seal corresponde a la combinacin lineal de dos exponenciales complejas. Para esta seal se solicita:

a. Dibujar su representacin fasorial en el plano complejo.

b. Dibujar su espectro bilateral.

c. Dibujar su espectro unilateral.

d. Graficar en el dominio del tiempo contino.

e. Graficar la seal que se obtiene al muestrear la seal a una Hz.

B.4 El anlisis de Fourier establece que una seal peridica que satisface ciertas condiciones (condiciones de ) se puede aproximar mediante una suma infinita (combinacin lineal) de funciones y/o . Desde un punto de vista prctico, se usa un nmero finito de armnicos para aproximar la seal dada, se dice entonces que la serie infinita ha sido en una serie finita. Considere la aproximacin de la seal ) dada por la :

Para esta seal se solicita:a. Graficarla mediante un script de Matlab.

b. Mediante un script de Matlab dibujar su espectro unilateral de amplitud

B.5 Proceder como en el ejercicio anterior pero considerando ahora la seal dada por:

Para esta seal se solicita:a. Graficarla mediante un script de Matlab.

a. Mediante un script de Matlab dibujar su espectro unilateral de amplitud

Referencias[1] Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., Nawab, S. H. (1998) Seales y Sistemas. Prentice Hall Hispanoamericana S.A., Mxico, 1998.

[2] Soliman, S. S., Srinath, M. D. (1999) Seales y Sistemas Continuos y Discretos. Prentice Hall Iberia S.R.L., Madrid, Espaa, 1999.

[3] Ziemer, R. E., Tranter, W. H., Fannin, D. R. (1998) Signals and Systems: Continuous and Discrete. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, United States of America, 1998.

[4] Gaji, Z. (2003) Linear Dynamic Systems and Signals. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, United States of America, 2003.

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