funÇÕes transcendentes
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UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do
Rio Grande do Sul
DeFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática
FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Ângela Patricia Spilimbergo
Cleusa Jucela Meller Auth
Lecir Dalabrida Dorneles
Ijuí (RS), Agosto de 2001
6
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO......................................................................... 04
1. FUNÇÃO EXPONENCIAL.................................................
1.1. Potenciação..........................................................................
1.2. Definição de Função Exponencial.......................................
1.3. Equação Exponencial..........................................................
1.4. Inequação Exponencial.......................................................
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09
2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA.................................................
2.1. Logaritmos..........................................................................
2.2. Aplicações de Exponenciais e Logaritmos..........................
2.3. Definição de Função Logarítmica.......................................
2.4. Equações Exponenciais e Logarítmicas..............................
2.5. Inequação Logarítmica........................................................
11
11
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18
22
24
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS.................
3.1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo...............
3.2. Medida de Arco...................................................................
3.3. Circunferência Trigonométrica...........................................
3.4. Redução ao 1o Quadrante....................................................
3.5. Relações Fundamentais e Derivadas...................................
3.6. Funções Circulares..............................................................
3.6.1. Função Seno..................................................................
3.6.2. Função Cosseno.............................................................
3.6.3. Função Tangente...........................................................
3.6.4. Função Cotangente........................................................
3.6.5. Função Secante..............................................................
3.6.6. Função Cossecante........................................................
3.7. Gráficos Diversos das Funções Trigonométricas................
27
27
37
43
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48
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51
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4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS...............
4.1. Função Arco Seno...............................................................
4.2. Função Arco Cosseno..........................................................
4.3. Função Arco Tangente........................................................
4.4. Função Arco Cotangente.....................................................
4.5. Função Arco Secante...........................................................
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68
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4.6. Função Arco Cossecante..................................................... 75
5. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS..............................................
5.1. Função Seno Hiperbólico....................................................
5.2. Função Cosseno Hiperbólico..............................................
5.3. Função Tangente Hiperbólica.............................................
5.4. Função Cotangente Hiperbólica..........................................
5.5. Função Secante Hiperbólica................................................
5.6. Função Cossecante Hiperbólica..........................................
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77
77
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78
79
79
6. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS.........................
6.1. Função Arco Seno Hiperbólico...........................................
6.2. Função Arco Cosseno Hiperbólico.....................................
6.3. Função Arco Tangente Hiperbólica....................................
6.4. Função Arco Cotangente Hiperbólica.................................
6.5. Função Arco Secante Hiperbólica.......................................
6.6. Função Arco Cossecante Hiperbólica.................................
80
80
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82
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83
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS.......................................... 87
BIBLIOGRAFIA....................................................................... 94
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INTRODUÇÃO
Este caderno destina-se a alunos que irão cursar a disciplina de
Funções II dos cursos de Licenciatura em Física e em Matemática,
bem como, a alunos de outros cursos de graduação, em disciplinas que
em seus programas conste o assunto Funções Transcendentes.
Um dos principais objetivos da elaboração deste caderno está
diretamente ligado ao fato de que a bibliografia geralmente
recomendada, é falha em alguns aspectos. Com base nisso buscamos
uma coletânea de conceitos e definições a fim de obtermos então, um
material mais completo sobre este assunto.
Nossa experiência profissional mostra, que mesmo que as
noções teóricas sobre o assunto sejam absorvidas rapidamente pelos
alunos, nem sempre essas são bem compreendidas por eles. Então,
entendemos que a resolução de problemas práticos torna este conteúdo
mais atraente para o aluno e mais facilmente compreendido por ele.
Apresentamos neste caderno definições, principais conceitos e
propriedades das funções:
Exponenciais
Logarítmicas
Trigonométricas Diretas e Inversas
Hiperbólicas Diretas e Inversas.
Além disso propomos atividades no computador, como
atividades de apoio à aprendizagem dessas funções.
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1. FUNÇÃO EXPONENCIAL
1.1. Potenciação
Definição de potência. Seja “a” um número real e “n” um
número natural, potência de base “a” e expoente “n” é o número tal
que:
1. n
fatoresn
aaaa , se n > 1
2. aa1
3. a0 = 1, se a 0
Propriedades da potência. Se “a” e “b” R e “m” e “n” N,
então valem as seguintes propriedades:
1. am
. an = a
m+n
2. nm
n
m
aa
a , a 0 e m n
3. (a.b)n = a
n.b
n
4. 0b,b
a
b
a
n
nn
5. (am
)n = a
m.n
Potência de expoente inteiro e negativo. Sendo “a” R* e “n”
inteiro e positivo, definimos:
n
nn
a
1
a
1a
Potência de expoente racional. Seja “a” R+, “m/n” Q
sendo n > 1, então definimos:
n mn
m
aa
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Teoremas
1. Sendo a R, a > 1 e n R, temos:
an > 1 se, e somente se, n > 0.
2. Sendo a R, a > 1, r e s R, temos:
as > a
r se, e somente se, s > r.
3. Sendo a R, 0 < a < 1 e b R, temos:
ab > 1 se, e somente se, b < 0.
4. Sendo a R, 0 < a < 1, r e s R, temos:
as > a
r se, e somente se, s < r.
1.2. Definição de Função Exponencial. Dado um número real “a”, tal
que 0 < a 1, chamamos função exponencial de base “a” a função f de
R em R que associa a cada “x” real o número ax.
f : R R
x ax
a > 1
0 < a < 1
11
ANÁLISE DA FUNÇÃO
1. O gráfico fica totalmente acima do eixo “x” e corta o eixo “y” em
(0, 1).
2. É crescente quando a > 1.
3. É decrescente quando 0 < a < 1.
4. O domínio é todos os reais (D = R) e a imagem os reais positivos
diferentes de zero (Im = R+*).
A função y = ex é também uma função exponencial cuja base é
o número irracional e = 2,718281828459..... O número e é irracional,
isto é, não pode ser obtido como quociente (p/q) de dois inteiros. Mais
ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que não existe um
polinômio P(x) com coeficientes inteiros, que se anule para x = e. Ele é
determinado por:
e =
n
n n
11lim
ou
0n!n
1 = e
12
Exercícios
Faça a análise das seguintes funções e construa o esboço do gráfico.
a) f(x) = 2x b) f(x) =
x
2
1
c) f(x) = ex d) f(x) = e
-x
1.3. Equação Exponencial
Definição. Equações exponenciais são equações com incógnitas no
expoente.
Método da redução a uma base comum: )1a0(cbaa cb .
Exemplos
a) 2x = 64 b) 3x 81)3(
c) 4x –2
x = 56 d) 505555 1xx2x
Solução Solução
2x = 2
6 (3
1/2)x = 3
4/3
logo x = 6 logo x = 8/3
S = {6} S = {8/3}
Solução Solução
Fazendo 2x = y, temos 5
x.5
-2 – 5
x + 5
x.5 = 505
y2 –y – 56 = 0 5
x(5
-2 –1 + 5) = 505
Resolvendo esta equação, encontramos: 5x = 5. 5
2
y’ = 8 e y’’ = -7 . Substituindo em y = 2x 5
x = 5
3 logo
temos 8 = 2x, portanto x = 3. x = 3
S = {3} S = {3}
13
Exercícios
Resolva as seguintes equações exponenciais.
a)2x = 128 b)3
x = 243 c) x2 =
16
1
d) x)5
1( = 125 e)(125)
x = 0,04 f) 22252523 5x3x1xx
g)(100)x = 0,001 h) x5 )4( =
8
1 i) 05)25(.5x2 2x3x 5x22x
j)74x+3
= 49 k) 12x4x 44
2
l) 1x231x3 )16()2(
m)(2x)x-1
= 4 n)23x-1
= 32 o) 3063333 2x1xx1x
p)8x =0,25
q) 9039 xx r) 4805555 2x41x4x41x4
1.4. Inequação Exponencial
Definição. Inequações exponenciais são as inequações com incógnita
no expoente.
Método da redução a uma base comum. Este método será aplicado
quando ambos os membros da inequação puderem ser representados
como potências de mesma base a (0 < a 1).
Lembremos que a função exponencial f(x) = ax é crescente, se a > 1,
ou decrescente, se o < a < 1, portanto:
Se b e c são números reais, então:
para a > 1 tem-se ab > a
c b > c
para 0 < a < 1 tem-se ab > a
c b < c.
14
Exemplos
a) 2x > 128 b)
27
125)
5
3( x c)2
x - 1 > 2
1-x
Exercícios
1) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes sentenças.
a) 32,7
> 1 b) (0,3)0,2
> 1 c) 1)5
4( 5,1
d)21,3
> 21,2
e) 7,13,2 )3
2()
3
2( f)(0,11)
-3,4 < (0,11)
4,2
g) 3)2( < 2)2( h) 44/93 8)2(
2) Resolva as seguintes inequações exponenciais.
a) 2x < 32 b)
81
1)
3
1( x c) 4
x 8
Solução
a) 2x > 2
7 x > 7
S = {x R / x > 7}
b) (3/5)x (5/3)
3 (3/5)
x (3/5)
-3 x -3
S = {x R / x -3}
c) 2x – 1> 2/2
x 2
x(2
x – 1) > 2 (2
x)2 – 2
x – 2 > 0
fazendo 2x = y, temos: y
2 – y – 2 > 0 y < -1 ou y > 2
Mas 2x = y, logo: 2
x < -1 ou 2
x > 2
Como 2x > 0 x R, temos:
2x > 2 x > 1
S = {x R/ x > 1}
15
d) 3x < 1/27 e) x)2( >
3 16
1 f) (0,16)
x > 5 625,15
g) (0,008)x > 3 25 h) 3
2x + 2 – 3
x + 3 > 3
x – 3
2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
2.1. Logaritmos
No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos
de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para
simplificar esses cálculos, surgiram nessa época as primeiras tábuas de
logaritmos inventadas por Jost Bürgi (1552-1632) e Jonh Napier
(1550-1617) que foram aperfeiçoadas por Henry Briggs (1561-1631)
apresentando os logaritmos decimais. A principal contribuição dos
logaritmos para facilitar os cálculos foi a de transformar produtos em
somas, quocientes em diferenças, etc. Sua utilidade, desde aquela
época até bem recentemente, foi incontestável e os serviços que
prestaram foram reconhecidos e elogiados por muitos. Mas, com o
advento das calculadoras manuais e dos computadores, as tábuas de
logaritmos perderam sua utilidade. Hoje, o que importa especialmente
são certas propriedades funcionais da função logaritmo e de sua
inversa.
Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis
operações aritméticas complicadas, as funções logarítmicas,
juntamente com suas inversas, as exponenciais, revelam-se possuidoras
de notáveis propriedades, que as qualificam como modelos ideais para
certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza estudada aumenta
(ou diminui) com taxa de variação proporcional à quantidade daquela
grandeza existente no momento dado. Exemplo deste tipo de variação,
(chama-se variação exponencial) é um capital empregado a juros
contínuos (crescimento). Inúmeras outras situações desta natureza
16
existem, em quantidade e importância suficientes para justificar a
presença das funções exponenciais e logarítmicas na matemática, nas
Ciências e na Tecnologia.
A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da
energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se
propagam pela crosta terrestre. Nela, é utilizado o logaritmo decimal.
O logaritmo decimal é também utilizado, na Física, na definição da
intensidade auditiva ou nível sonoro. Na Astronomia, o brilho das
estrelas é também medido por uma escala logarítmica. Assim como em
outras áreas do conhecimento.
Definição de Logaritmo. Considerando-se dois números “N” e “a”
reais e positivos com a 1, a >0 e N > 0, existe sempre um número “c”
tal que: ac = N. A esse expoente “c” damos o nome de logaritmo de
“N” na base “a” e definimos como:
OBS: N = logaritmando ou antilogaritmo, a = base e c = logaritmo.
Conseqüências da definição
1) loga a = 1 2) loga1 = 0
3) babloga 4) cbc
alogb
alog
Propriedades do Logaritmo
1)loga (M/N) = loga M - logaN vem que loga1/a = -1
2) loga (MN) = logaM + logaN
logaN = c aC = N
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3) cologa N = - log a N
4) loga N
= loga N vem que loga am
= m
5) Nlog1
Nlog aa
Mudança de base. logb N = blog
Nlog
a
a
Antilogaritmo. Sejam “a” e “b” números reais positivos com a 1; se o
logaritmo de “b” na base “a” é “x”, então “b” é o antilogaritmo de “x”
na base “a”.
xbloga xlogantib a .
Exemplo
antilog32 = 9 pois log39 = 2.
Exercícios
1) Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos.
a) log25 0,2 b) log3 81 c) log16 32 d) log5 0,000064
e) 4log 8 f)
9
1log)h27log)g16log 9
38
3
1
2. Calcule o valor de cada expressão.
a) 2log55 b)
2log2 c) 144log
32
18
3. Calcule o valor de y em cada expressão abaixo.
a) y = 5log3 22 b) y = )125(loglog 53
4. Admitindo satisfeitas as condições de existência, desenvolva as
expressões.
a) 32
2
5zy
xlog b) 3
4
4 2
2)2x(x
1xlog
5. Para todo x > 0, indicamos log x = log10 x . Dados: log2 = 0,3010 e
log3 = 0,4771, calcule cada logaritmo aplicando as propriedades.
a) log 6 b) log 5 c) log 1800 d) log 0,0072
6. Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule 30log6 .
7. Dados log 2 = 0,30103; log 1,2 = 0,07918; log 3 = 0,47712.
Determine o que se pede.
a) log (510-5
) b) log (1,2105) c) log (510
8)
d) log (210-2
) e) log 5 3 10
10
5
0
f) log 2 105
2.2. Aplicações de Exponenciais e Logaritmos
A) JURO COMPOSTO
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Se a taxa de juros é de 100 por cento ao ano, pagável (isto é,
composta) k vezes ao ano, uma quantia C de dinheiro torna-se após n
anos: M = C (1 + k
i)nk
.
Exemplo. Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em
quanto tempo ele terá um montante de R$ 8954,24.
a) se o juro é pagável anualmente;
b) se o juro é pagável trimestralmente?
B) CRESCIMENTO BIOLÓGICO
Muitas leis de crescimento biológico são representadas pela
equação to RNN , onde N é o número de indivíduos de uma
população no instante t, No é o número inicial de indivíduos da
população no instante zero e R > 0 é a taxa de crescimento.
Exemplo. O número de indivíduos de uma população de bactérias no
instante t é definido pela função f(t) = 30.31095.t
, sendo t o tempo dado
em minutos. Em quanto tempo esta população chegará a 11100
bactérias?
Solução
a) M = 5000(1 + 0,06)t 8954,24 = 5000(1,06)
t
logo t 10 anos
b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t
8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t
logo t 9 anos e 9 meses
Solução
11.100 = 30 (31095 t
)
370 = 31095t
log(370) = 1095t.log(3)
1095 t = log(370)/log(3)
t 0,29 segundos
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C) NIVEL DE RUÍDO Nível sonoro (N) de um som é o quociente entre suas
intensidades i e i0 , onde i0 é a menor intensidade do som detectável
pelo ouvido humano.
Para a construção de uma escala sonora ajustada às
propriedades físicas do ouvido humano, convencionou-se obter o nível
sonoro estabelecendo-se o logaritmo decimal do quociente entre i e i0
multiplicado por 10. Assim
A unidade do nível sonoro é o decibel (dB), sendo i (W/m2).
Submetido a níveis sonoros superiores a 80 dB, o ouvido
humano pode perder irrecuperavelmente a sensibilidade auditiva.
Exemplo. No interior de um consultório dentário, os motores
funcionam de forma inadequada e o nível sonoro é de 100dB.
Considerando que a mínima intensidade sonora audível é i0 = 10-12
W/m2, determinar, a intensidade sonora (i).
N = 10 . log
0i
i
Solução
N = 10.log (i/10-12
) 100 = 10. log (i/10-12
) 10 = log(i/10-12
)
1010
= i/10-12
logo i = 10-2
W/m2
21
Exercícios
1) A população de uma determinada cidade cresce exponencialmente
segundo a lei: P(t) = Po.ek.t
, onde P(t) é a população final, Po é a
população inicial, t número de anos (tempo), “e” é uma constante e k é
o percentual (%) de crescimento da população. Sendo a população
inicial de 30000 habitantes com o crescimento de 2,5% ao ano,
pergunta-se:
a) Qual a população daqui a 20 anos?
b) Em quanto tempo a população atingirá 150000 habitantes?
2) Uma pessoa empregou uma quantia equivalente a 10 S.M.(salários
mínimos) a uma taxa de 3% ao mês, capitalizados mensalmente.
Determine o montante (total obtido em salários mínimos), resultante
após 1 ano.
3) Num determinado país, a população cresce a uma taxa de 4% ao ano
aproximadamente. Considerando-se como base o ano de 1998, em
quantos anos a população desse país triplicará?
4) Determine o tempo mínimo necessário para que um capital,
empregado à taxa de 5% ao mês, com juros capitalizados
mensalmente, dobre de valor.
5) Determine a taxa mensal mínima para que um capital, empregado
com juros capitalizados mensalmente, triplique de valor em 18 meses.
6) A população de um certo país cresce a uma taxa de 2% ao ano. Em
quanto tempo esse país dobrará sua população?
7) Determine o nível sonoro (em dB) sabendo-se que uma pessoa
encontra-se às margens de uma rua movimentada, com intensidade
sonora de 10-4
W/m2 sabendo-se que a limiar de audibilidade é 10
-
12W/m
2.
22
8) Na escala Richter, a magnitude de um terremoto de intensidade I é
dada por 10ln
ln IR ;
a) Encontre a intensidade do terremoto de 1906 em San Francisco, que
mediu 8,3 na escala Richter.
b) Quão mais intenso foi o terremoto de San Francisco em 1906 do que
o de 1995 em Kobe, no Japão, que mediu 7,1?
2.3. Definição de Função Logarítmica. Dado um número real “a”
sendo 0 < a 1, chamamos de função logarítmica de base “a” a função
f de *R em R que associa a cada “x” o número xloga .
f : *R R
x xloga
ANÁLISE DA FUNÇÃO
a > 1
0 < a < 1
23
1. Se 0 < a 1, então a função f de
R em R definida por f(x) = logax
admite a função inversa de g de R em R definida por g(x) = a
x. Logo,
f é bijetora e, portanto, a imagem de f é R.
2. A função é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
3. O gráfico não intercepta o eixo “y” e corta o eixo “x” em (1, 0).
4. O domínio é os reais positivos diferentes de zero (D = R+*) e a
imagem todos os reais (Im = R).
Função Logarítmica Natural ou Neperiana. f(x) = ln x ou loge x = lnx.
Exercícios
1. Trace, num mesmo sistema de eixos, o esboço dos gráficos das
funções abaixo.
a) f(x) = 2x
b) g(x) = xlog2
c) h(x) = x
A que conclusão podemos chegar?
24
2. Um cidadão tem acompanhado a evolução do preço de determinado
produto anualmente, elaborou a seguinte tabela:
31/12/1998 31/12/1999 31/12/2000 31/12/2001
R$ 100,00 R$1.000,00 R$ 10.000,00
a) Supondo que sua evolução mantenha o mesmo padrão de
regularidade apresentado na tabela, qual será o preço do objeto em
31/12/2001?
b) Expresse o preço do objeto em função do tempo a partir de 1998
(em anos).
c) Em que mês e ano o preço atinge R$ 50.000,00?
3. Você deseja encher uma caixa com grãos de feijão, colocando
apenas um, e a cada minuto dobrando a quantidade colocada
anteriormente na caixa. Quanto tempo levará para encher uma caixa de
20x30x15cm e considerando um grão de feijão com 0,5cm3.
4. A área total de uma lavoura de soja é de 120000m2. Uma parte dela,
corresponde a 20000m2 que está infestada de lagartas, que aumenta
50% ao mês. Depois de aproximadamente quanto tempo a lavoura de
soja estará infestada totalmente?
5. Esboce o gráfico das funções.
a) y = log3 x b) y = log 1
3
x
6. Calcule os logaritmos abaixo.
a) ln 1 b) ln e
7. Calcule o antilogaritmo.
a) ln x = 0 b) log x = 3,30103 c) log x = 1
d) ln x = 3 e) log x = 2,69897 f) ln x = 0,269
g) ln x = 0,633 h) log3 x = 4 i) log3 x = -2
25
8. Determine o valor de x.
a) ex = 10
4 g) log x - log2 = 50/23
b) 10x = e
2,4 h) log x - log3 = 0,6/2,4
c) 2x = 3 i) log (x/2) + log5 = 8
d) e4 = 10
x j) log (1/x) = 5,4
e) e8 = 10
x l) log (1/3) = x
f) 102x
= e m) log 0,01 0,001 = x
9. Determine m R para que a função
a) f(x) = (2m – 1)x seja crescente em R
b) f(x) = (-3m +1)x seja decrescente em R
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - I
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades
computacionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo
de função envolvida, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da
“função mãe”.
1. Faça o gráfico da função xa)x(f (função mãe), para diferentes
valores de “a” sendo a > 0 e a 1.
2. Faça o gráfico da função ba)x(f x , para diferentes valores de
“b” (b R) mantendo “a” constante.
3. Faça o gráfico da função bxa)x(f , para diferentes valores de “b”
(b R) mantendo “a” constante.
4. Faça o gráfico da função xlog)x(f a (função mãe), para
diferentes valores de “a”, sendo a > 0 e a 1.
26
5. Faça o gráfico da função )bx(log)x(f a para diferentes valores
de “b” (b R) mantendo “a” constante.
6. Faça o gráfico da função bxlog)x(f a , para diferentes valores
de “b” (b R) mantendo “a” constante.
7. Faça o gráfico das funções x10)x(f e xlog)x(f . Compare
estes gráficos com o gráfico da função f(x) = x.
8. Faça o gráfico das funções xe)x(f e xln)x(f . Compare estes
gráficos com o gráfico da função f(x) = x.
2.4. Equações Exponenciais e Logarítmicas
1) Equações exponenciais não redutíveis a base comum. São equações
que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma
base pela simples aplicação das propriedades das potências. A
resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de
logaritmo, isto é, se 0 < a 1 e b > 0, tem-se:
ax = b logab = x
Exemplo. Resolva as equações
a) 2x = 3 b) 5
2x-3 = 3
Solução
a) log2x = log3 x log2 = log3 x = log3/log2
b) log52x – 3
= log3 (2x-3)log5 = log3 2x-3 = log3/log5
x = (log3/log5 +3)/2
27
2) Equações logarítmicas. Podemos classificar as equações
logarítmicas em três tipos:
a) loga f(x) = loga g(x), f(x) = g(x) > 0. É a equação que
apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre dois logaritmos de
mesma base “a” (0 < a 1).
Exemplo. Resolva a equação log2 (3x-5) = log2 7.
b) loga f(x) = . É a equação logarítmica que apresenta, ou é
redutível a, uma igualdade entre um logaritmo e um número real. A
resolução de uma equação deste tipo é simples, basta aplicarmos a
definição de logaritmo. Se 0 < a 1 e R, então loga f(x) =
f(x) = a.
Exemplo. Resolva a equação log2(3x+1) = 4
c) incógnita auxiliar. São as equações que resolvemos fazendo
inicialmente uma mudança de incógnita.
Exemplo. Resolva a equação (log2 x)2 – log2 x = 2
Solução
3x – 5 = 7 x = 4
Solução
24 = 3x + 1 x = 5
28
Exercício. Resolva as equações
a) log4 (3x+2) = log4 (2x+5)
b) log5 (4x-3) = 1
c) log4 (4x2 + 13x + 2) = log4(2x+5)
d) log4 ( x2 – 4x + 3) =
21
e) log2[1 + log3(1-2x)]=2
f) log5 (x2-3x-10) = log5(2-2x)
g) 2xlog1
xlog
xlog
xlog2
3
3
3
3
h) log(x+2) (x+3) = log(x+2)5
i) logx (2x+3) = 2
Solução
Fazendo log2x = y, temos y2 – y – 2 = 0
Resolvendo esta equação, encontramos:
y’ = 2 e y’’ = -1 . Substituindo em y = log2x
temos
log2x = 2 x = 4 e log2x = -1 x = 1/2
S = {1/2, 4}
29
2.5. Inequação Logarítmica
Na resolução de inequações do tipo b)x(flog a ,
procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros da
desigualdade.
Se a > 1, conservamos o sinal da desigualdade (função
crescente).
Se 0 < a < 1, o sinal da desigualdade será invertido (função
decrescente).
Exemplos
a) 1)x52(log3 b) )3x(log1)21x10x(log 22
2
c) 1)x52(log
3
1 d) 02xlog3)x(log 32
3
e) 12log x
Solução
a) log3(2-5x) log33 2 - 5x 3 e 2 – 5x > 0
logo: -5x 1 x -1/5 e -5x > -2 x < 2/5
S = { x R / –1/5 x < 2/5}
b) log2(x2-10x+21) log22+log2(x-3)
log2(x2-10x+21) log2[2(x-3)]
(x2-10x+21) [2(x-3)] sendo x
2-10x+21 > 0 e 2x-6 > 0
x2 –12x+27 0 como:
S1= {x R / x 3 ou x 9} S2 = {x R / x < 3 ou x > 7}
S3 = {x R / x > 3, então
S = {x R / x 9}
c) log1/3(2-5x) log1/3(1/3) 2 - 5x 1/3 e 2 – 5x > 0
logo: -5x -5/3 x 1/3 e -5x > -2 x < 2/5
S = { x R / x 1/3}
d) Fazendo log3x = y, temos y2 – 3y + 2 > 0
Resolvendo esta inequação, encontramos:
y < 1 ou y > 2. Substituindo em y = log3x
temos
log3x > 2 ou log3x < 1 e x > 0
log3x > log39 ou log3x < log33
x > 9 ou x < 3 e x > 0
S = {x R / 0 < x < 3 ou x > 9}
30
Exercícios
Resolva as Inequações
1) 4log)2x5(log 33
2) )5x2(log)1x(log
10
12
10
1
e) logx2 < logxx Base: 0 < x < 1 ou x > 1
Situação 1. Para base 0 < x < 1, temos 2 > x e x > 0
S1 = { x R / 0 < x < 1}
Situação 2. Para base x > 1, temos 2 < x e x > 0
S2 = {x R / x > 2}, portanto
S = {x R / 0 < x < 1 ou x > 2}
31
3) 5log2)4
3xx(log 2
2
2
1
4) 02xlog5)x(log3 32
3
5) 1xlog 2)3x2(
6) 1)2x(log 2x
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS
3.1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Hipotenusa CB = a
Catetos AB = c e AC = b
Cateto oposto a B = b
Cateto adjacente a B = c
Cateto oposto a C = c
Cateto adjacente a C = b
Constantes trigonométricas
A B
C
a
b
c
.
32
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da
trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações
entre os lados de um triângulo retângulo.
Exemplo. As medidas dos lados dos triângulos ABC, ADE e
AFG estão indicados na figura. O ângulo  mede e portanto
podemos estabelecer as seguintes razões:
1º) Razões entre os catetos opostos a  e as hipotenusas:
BC
AC
3
5;
DE
AE
6
10
3
5;
FG
AG
9
15
3
5
Essas razões são chamadas
de seno de Â.
2º) Razões entre os catetos adjacentes a  e as hipotenusas:
5
4
15
12
AG
AF;
5
4
10
8
AE
AD;
5
4
AC
AB Essas razões são chamadas
cosseno de Â.
3º) Razões entre os catetos opostos a  e os catetos adjacentes a Â:
CB
AB
3
4;
ED
AD
6
8
3
4;GF
AF
9
12
3
4
Essas razões são chamadas
tangentes de Â.
33
Portanto:
sen = cateto oposto a
hipotenusa
cos = cateto adjacente a
hipotenusa
tg = cateto oposto a
cateto adjacente a
Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos
Se tivermos um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1u.c.,
teremos:
bsen1
bsen
ccos1
ccos
logo
C
.
A B
1 b
c
34
então
1)
cos
sentg
2) Por Pitágoras: sen2 + cos
2 = 1
Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Para calcularmos as razões trigonométricas de 45º partimos de
um quadrado de lado “x”, no qual traçamos uma das suas diagonais
dividindo-o em 2 triângulos retângulos isósceles.
d² = x² + x²
d² = 2x²
d = 2x2
d = 2x
então
sen 45º = 2x
x sen 45º = 2
2.
2.x
x sen 45º = 2
2
sen
cos
1
d
45º
x
x
x x
x
x
x 2
35
cos 45º = 2x
x cos 45º = 2
2.
2x
x cos 45º = 2
2
tg 45º = x
x tg 45º = 1
Para calcularmos as razões trigonométricas de 30º e 60º
partimos de um triângulo equilátero, no qual traçamos uma altura, e
obtemos um triângulo retângulo cujos ângulos medem 30º e 60º.
Sen30º = x
2
x
sen 30º = x
1.
2
x sen 30º = 2
1
Cos 30º = x
2
3x
cos 30º = x
1.
2
3x cos 30º = 2
3
Tg 30º =
2
3x
2
x
tg 30º = 3x
2.
2
x tg 30º = 3
3.
3
1 tg 30º = 3
3
36
sen 60º = x
2
3x
sen 60º = x
1.
2
3x sen 60º = 2
3
cos 60º = x
2
x
cos 60º = x
1.
2
x cos 60º = 2
1
360ºtg60ºtg60ºtgx2
2
3x
2x
2
3x
SITUAÇÕES PROBLEMA
1. Um observador vê um prédio construído em terreno plano, sob um
ângulo de 60º. Afastando-se do edifício mais 30m, passa a ver o
edifício sob o ângulo de 45º. Calcule a altura do prédio.
2. No triângulo ABC retângulo em A, B̂ = 35º e c = 4cm. Sendo
aBC e bAC , determine os valores de a e b.
3. Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha
segundo um ângulo . Caminhando 400m em direção à montanha, ele
passa a enxergá-lo segundo um ângulo . Desprezando a altura do
observador, calcule a altura da montanha, sabendo que: tg = 1/2 e
tg = 5/6.
4. Calcule a área do triângulo ABC, de altura 2 cm, sendo = 30º e
= 45º.
37
5. Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento
máximo de 25m, formando um ângulo de 70º com a base, que está
apoiada sobre um caminhão, a 2m do solo. Qual á a altura máxima que
a escada atinge?
6. Dois ciclistas A e B, movem-se em direção perpendicular um do
outro, à velocidade de 16m/s e 12m/s, respectivamente. Qual a
distância que os separa após 10 segundos?
7. Desejamos estender um único cabo telefônico que, partindo da casa
A passe pela casa B e também pela casa C. Do telhado da casa B, vê-se
a casa A exatamente na direção leste e C exatamente na direção sul. A
distância entre as casas A e B é 360m e de A a C é 450m. Calcule
quantos metros de cabo telefônico são necessários para realizar a
ligação da forma mais econômica?
Construção de seno e cosseno de 0º a 90º
Para isso devemos marcar e traçar ângulos de 0º a 90º. Este
trabalho deve ser feito com o auxílio de um transferidor em uma única
figura.
Trabalharemos com um triângulo retângulo de hipotenusa 1u.c
(1dm) e para marcar 1dm sobre os lados destes ângulos, centramos o
compasso em zero, com raio 1dm e descreveremos um arco de
circunferência.
38
A seguir fazemos aparecer os triângulos retângulos abaixo.
39
Do que vimos anteriormente, decorre que:
cos 10º = OB1 0,98 sen 10º = BB1 0,17
cos 20º = OC1 0,94 sen 20º = CC1 0,34
cos 30º = OD1 0,86 sen 30º = DD1 0,50
cos 40º = OE1 0,76 sen 40º = EE1 0,64
cos 50º = OF1 0,64 sen 50º = FF1 0,76
cos 60º = OG1 0,50 sen 60º = GG1 0,86
cos 70º = OH1 0,34 sen 70º = HH1 0,94
cos 80º = OC1 0,17 sen 80º = I I1 0,98
Esta última figura dá uma nova dinâmica às nossas idéias.
Podemos imaginar um ponto P percorrendo um arco de circunferência
de raio unitário.
Quando varia, P muda de posição, e na figura podemos ver
claramente o que acontecerá com os valores de cos e sen .
40
Para determinação da tangente consideramos um triângulo
retângulo com cateto adjacente a igual a 1.c. e teremos:
1
AB
OA
ABtg
tg = __AB
Procederemos de forma semelhante ao que fizemos com o seno
e o cosseno. Novamente traçaremos ângulos de 0º a 90º e faremos
OA= 1u.c. (tomando para unidade o segmento que mede 2cm).
O A
B
1
tg 10º = AB 0,17
tg 20º = AC 0,35
tg 30º = AD 0,60
tg 40º = AE 0,85
tg 50º = AF 1,20
tg 60º = AG 1,75
tg 70º = AH 2,75
tg 80º = AI 5,60
41
A figura anterior dá uma dinâmica nova a noção de tangente de
um ângulo agudo. Podemos imaginar o ponto T percorrendo a reta t.
Com isso podemos reunir em uma só figura as noções de
cosseno, seno e tangente de um ângulo agudo .
42
Esta 4ª parte da circunferência de raio unitário chamaremos
quadrante trigonométrico.
3.2. Medida de Arco
Analisaremos as duas unidades mais importantes de medir
arcos de circunferências (ou ângulos): o grau e o radiano.
Grau. Consideremos uma circunferência qualquer dividida em
360 partes iguais, cada uma dessas partes é uma unidade de medida da
amplitude de qualquer arco dessa mesma circunferência. Essa unidade
de medida é chamada de um grau e indicamos por 1º. Portanto 1 grau
corresponde a 360
1 da circunferência onde está o arco a ser medido.
Os submúltiplos do grau são estabelecidos no sistema de base
60 (sexagesimal). São eles:
360
11
43
a) Minuto (de arco): 1º = 60’
b) Segundo (de arco): 1’ = 60”
Radiano. Um arco de 1 rad (um radiano) é um arco cujo
comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Isto
significa que se pudéssemos “desentortar” o arco e medir o
comprimento obteríamos como resultado o raio da circunferência.
Sabemos que o comprimento da circunferência de raio “r” é
2r, onde = 3,141592... Isto significa que “desentortando” a
circunferência, obtemos um segmento de medida 2 vezes o raio.
Como a cada raio corresponde 1 rad, concluímos que a circunferência
possui um arco de 2 rad.
Usando o fato de que um arco de rad mede 180º, podemos
fazer a conversão de unidades empregando uma regra de três simples.
180º corresponde a rad ou 180º corresponde a 3,141592...rad
Se r for unitário
44
Exemplo. Qual é a medida em radianos de um arco de 6cm
contido numa circunferência de raio 2cm?
Exercícios
1. Determine em radianos a medida do arco de 60º.
2. Determine em graus a medida do arco 4
3 rad.
3. Determine em radianos, a medida do arco 20º 30’ (1º = 60’).
Comprimento de um arco
Vamos determinar o comprimento do arco , conhecendo o
ângulo central correspondente. Sabemos que uma circunferência
tem comprimento igual a 2r, ao mesmo tempo em que apresenta um
Solução. Se o raio é 2cm,
então, um arco de comprimento
2cm tem medida 1rad.
Concluímos que um arco de 6cm
mede 3rad. Como o ângulo
central tem a mesma medida do
arco correspondente, concluímos
que o ângulo da figura, mede
3rad.
r = comprimento do arco
r = raio
= ângulo central
45
ângulo de 2 rad. Portanto um arco de ângulo , terá um comprimento
, ou seja:
rad
rad2.m.ur2
rad2
rad.m.ur2
.m.ur
Por outro lado, conhecendo o comprimento do arco, podemos
determinar a medida do ângulo central correspondente:
.m.u
rad2.m.ur2
.m.ur2
.m.urad2
rad
r
Exemplo. Consideremos a seguinte aplicação. Um relógio tem ponteiro
das horas e ponteiro dos minutos. Pergunta-se:
a) Qual é o deslocamento do ponteiro das horas em uma
hora?
Solução.
Notando que o mostrador está dividido em 12 partes iguais (uma para cada hora)
então, para cada hora corresponderá um deslocamento de 360º 12, ou seja, em 1
hora o ponteiro das horas se desloca 30º.
46
b) Qual é o deslocamento do ponteiro das horas em um
minuto?
Solução. Já sabemos que em uma hora (60 min) o ponteiro das
horas se desloca 30º. Temos a seguinte regra de três simples e direta:
Tempo (em min) deslocamento (em graus)
60 30
1 x
Portanto x = 0,5º, então, em cada minuto (tempo) o ponteiro
das horas se desloca 0,5º, ou seja, 30’(ângulo).
c) Qual é o deslocamento do ponteiro dos minutos em 1
hora?
Solução. Numa hora o ponteiro dos minutos dá uma volta
completa, ou seja, o deslocamento é 360º.
d) Qual é o deslocamento do ponteiro dos minutos em 1
minuto?
Solução. Numa hora (60 minutos) o ponteiro dos minutos se
desloca 360º. Portanto:
Tempo (em min) deslocamento (em graus)
60 360
1 x
Então x = 6º, ou seja , em cada minuto o ponteiro dos minutos
se desloca 6º.
47
e) Qual o menor arco determinado pelos dois ponteiros
quando for 3h 10min?
Solução. Vamos analisar o que ocorre desde as 3h até 3h
10min.
Às 3h o arco era de 3 x 30º, ou seja, 90º. Nos 10 min o ponteiro
das horas se deslocou 2
110 grau, ou seja, 5º. Nos mesmos 10 min o
ponteiro dos minutos se deslocou 10 x 6º, ou seja, 60º. Então o arco
procurado mede: 90º + 5º - 60º = 35º. O menor arco às 3h 10 min mede
35º.
Exercícios
1. Calcule o comprimento de um arco determinado em uma
circunferência de raio 3cm, sabendo que esse arco mede 3
rad.
2. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio
quando este marca 13h 25min.
3. Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um
relógio que marca:
48
a) 2h 40 min b) 5h 55 min
c) 6h 30 min d) 10h 15 min
3.3. Circunferência Trigonométrica
É uma circunferência orientada em
que:
- o raio é unitário
- o sentido positivo é o anti-horário
- o sentido negativo é o horário
A circunferência possui 360 ou 2
rad 6,28 rad se tomarmos 3,14.
Considerando no plano cartesiano, uma circunferência de
centro em (0,0) teremos:
–
+
49
Amplição das noções de seno, cosseno e tangente para ângulos de 0
a 360
No plano cartesiano, considerando uma circunferência
trigonométrica de centro (0,0). Seja “t” a reta tangente a ela no ponto
(1,0).
Seja P um ponto da circunferência localizado no 1 quadrante.
1. Cosseno de = abcissa do
ponto P
cos = OQ
2. Seno de = ordenada do ponto
P
sen = QP
3. Tangente de = ordenada do
ponto T
tg = AT
As ampliações das noções de seno, cosseno e tangente de um
ângulo serão feitas mantendo-se estas idéias.
50
P localizado no 2º Q
51
Valores Notáveis de Seno, Cosseno e Tangente
0 90 180º 270 360
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0 0 0
Sinais
P localizado no 3º Q
P localizado no 4º Q
52
Podemos observar também que:
coscos sensen
3.4. Redução ao 1 Quadrante
Redução do 2º Quadrante ao 1º
É uma forma de determinar seno, cosseno e tangente de ângulos
que não estão no 1quadrante, relacionando-os com ângulos do
1quadrante. A meta é ficar conhecendo seno, cosseno e tangente a
partir de uma tabela que forneça os valores de seno, cosseno e tangente
de ângulos entre 0 e 90.
AP = e AP’= x
Temos: AP+ PA’= 180
Mas PA’ = AP’
então: AP+ AP’= 180
mas + x = 180
= 180 - x
ou
x = 180º -
53
Redução do 3 Quadrante ao 1
Dado um ângulo tal que 180 270 e seja P a imagem de
no ciclo trigonométrico. Seja P’
o simétrico de P em relação ao
centro do ciclo.
AP= e AP’= x
AP- AP’= 180
- x = 180
= 180 + x
ou
x = - 180º
Exemplo. cos 115 = ?
= 115 ao 2 Q = 180 - x 115 = 180 - x
logo x = 65.
Como 115 2 Q e cosseno no 2 quadrante é negativo, teremos
portanto que:
cos 115= - cos 65
Exemplo. sen 210= ?
= 210 3 Q = 180 + x 210 - 180 = x
logo x = 30.
Como 210 3 Q e seno no 3 quadrante é negativo, teremos
portanto que:
sen 210= - sen 30
54
Redução do 4 Quadrante para o 1
Dado um ângulo tal que 270 360 e seja P a imagem de
no ciclo trigonométrico.
Seja P’ o ponto no ciclo, simétrico a P em relação ao eixo dos
cossenos.
AP = e AP’= x
AP+ PA = 360
mas PA = AP’
então AP + AP’= 360
portanto + x = 360
= 360 - x
ou
x = 360o -
3.5. Relações Fundamentais e Derivadas
1xcosxsen)1 22
Exemplo. sen 330
= 330 4 Q e seno no 4 quadrante é negativo, teremos
portanto sen 330 = - sen 30
55
0xcos;xcos
xsenxtg)2
0xsen;xsen
xcosxgcot)3
0xcos;xcos
1xsec)4
0xsen;xsen
1xseccos)5
6) Considerando a relação 1xcosxsen 22 e dividindo os dois
membros por )0x(cosxcos 22 , temos:
)xcos(1xcosxsen 222
xsec1xtg 22
7) Considerando a relação 1xcosxsen 22 e dividindo os dois
membros por )0x(senxsen 22 , temos:
)xsen(1xcosxsen 222
xseccosxgcot1 22
56
Atividade. Analise os sinais e a paridade das funções tangente,
cotangente, secante e cossecante.
Exercícios
1) Se cos x = 10
3 ,
x
2 calcule o valor de:
xseccosxgcot2 2 .
2) Se 5xtg , calcule o valor de sen2x.
3) Se x é um arco do 3º quadrante e tg x = 1, calcule o valor de cos x.
4) Se x é um arco do 2º quadrante e sec x = -3, calcule o valor de
cossec x.
5) Simplifique a expressão xsenxgcot
xsen1 2
.
6) Determine o valor das expressões.
a) sen (450º) d) cos (1500º) g) tg (405º) j) sec (11/6)
b) sen (-390º) e) cos (-900º) h) tg (-10/3) l) cossec (120º)
c) sen (61/6) f) cos (25/3) i) cotg (150º) m) cossec (5/4)
7) Calcule o valor da expressão dada por:
57
º90seccos3º0cos5
º135tg4º270seccosº180sec2º90sen3
.
8) Determine “m” para que x = /6 seja raiz da equação:
0xseccosmxgcot2xsec)6m3( 222
9) Determine o valor de xsecxcos
xseccosxsen3
, sabendo que x = 390º.
10) Sabendo que x é um arco com extremidade no 3º quadrante,
determine o sinal da expressão y, dada por:
a) tgxxsen4
xgcotxseccosxcos3y
2
b) xtgxseccosxsec
xcosxseny
3
23
3.6. Funções Circulares
Propriedade Geral das Funções Periódicas
“Se f(x) tem período p, então f(ax+b) tem período P = a
p”.
Exemplos.
1) y = sen (5x + 6
) y = sen x P , então y = sen (5x +
6
)
P = 5
2
58
2) y = sen (23
x ) y = sen x P = 2, então y = sen (
23
x )
P =
3
1
2 P = 6
3.6.1. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de
função seno a função que associa a cada x pertencente a R e
indicamos: f(x) = sen x.
ANÁLISE DA FUNÇÃO
1) D = R.
2) Im = [-1,1].
3) Valor máximo y = 1.
4) Valor mínimo y = -1.
5) É periódica e o período é 2 P = 2.
Elementos da Senóide
Senóide
59
a) Período
O período da função y = sen (px), onde p > 0, é p
2P
.
Se p > 1 o período é menor que 2 , logo a curva senóide sofre
uma contração horizontal.
Se p < 1 o período é maior que 2 , logo a curva senóide sofre uma
expansão horizontal.
b) Nível Médio
O nível médio da curva senóide é zero e pode ser obtido através
da média aritmética entre os valores máximo (+1) e mínimo (-1) da
função y = sen x (o que em geral não é verdade nas outras funções).
A função y = n +sen x tem nível médio igual a “n” .
Se n > 0, ocorre uma translação vertical para cima.
Se n < 0, ocorre uma translação vertical para baixo.
c) Amplitude
Vamos considerar a amplitude da função como sendo o valor
positivo e igual à diferença entre os valores máximo e médio.
A função y = sen x tem amplitude 1.
A função y = msen x tem amplitude igual ao módulo de m,
pois seu valor máximo é o módulo de m e seu valor médio é zero.
Se m > 0, ocorre uma expansão vertical.
Se 0 < m < 1, ocorre uma contração vertical.
Se m < 0 a senóide sofre uma reflexão, com contração ou
expansão, em torno do eixo x.
Se m = -1, ocorre apenas uma reflexão.
Análise das Transformações das Curvas
Consideremos a curva abaixo como padrão:
60
1. A curva pode sofrer reflexão em torno do eixo x
2. A curva pode sofrer uma contração ou uma expansão horizontal
Contração horizontal
Expansão horizontal
61
3. A curva pode sofrer contração ou expansão vertical
4. A curva pode sofrer translações
a) Verticais
Para cima
Para baixo
Contração vertical
Expansão vertical
62
b) Horizontais
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - II
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-
cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de
função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.
1. Faça o gráfico da função y = sen x (função mãe) e a partir deste
analise as situações a seguir.
a) y = asen x, onde “a” é um número real;
b) y = b + asen x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = sen (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = sen (ax), onde “a” é um número real;
e) y = c + dsen (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números
reais.
Para a esquerda
Para a direita
63
3.6.2. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de
função cosseno a função que associa a cada x pertencente a R e
indicamos:
f(x) = cos x.
ANÁLISE DA FUNÇÃO
Cossenóide
64
1) D = R.
2) Im = [-1, 1]. 3) Valor máximo y = 1. 4) Valor mínimo y = -1. 5) É periódica e o período é 2 P = 2.
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - III
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-
cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de
função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.
1. Faça o gráfico da função y = cos x (função mãe) e a partir deste
analise as situações a seguir.
a) y = acos x, onde “a” é um número real;
b) y = b + acos x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = cos (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = cos (ax), onde “a” é um número real;
e) y= c + dcos (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números
reais.
3.6.3. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de
função tangente, a função que associa a cada x 2
+ k, k Z, o
número tg x pertencente aos reais e indicamos por:
f(x) = tg x.
65
tg x = ;xcos
xsen cos x 0
x
k2
; k Z
Análise da tendência da função quando:
1) x 2
2
2
= 1,570796327 ... rad.
x y = tg x
1,5 14,10
1,57 1255,76
1,5707 10381,32
x2
y x
2
y-
x y = tg x
4,72 -131,38
4,716 -276,92
4,713 -1636,60
Tangentóide
66
ANÁLISE DA FUNÇÃO
1) D = { x R /
k2
x , Zk }.
2) Im = R.
3) Valor Máximo .
4) Valor Mínimo .
5) É periódica e o período é P = .
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - IV
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-
cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de
função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.
1. Faça o gráfico da função y = tg x (função mãe) e a partir deste
analise as situações a seguir.
a) y = atg x, onde “a” é um número real;
b) y = b + atg x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = tg (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = tg (ax), onde “a” é um número real;
e) y= c + dtg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números
reais.
3.6.4. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x ( kx , k Z),
chamamos de função cotangente, a função que associa a cada kx ,
k Z, o número cotg x R e indicamos:
f(x) = cotg x
67
cotg x = 0xsen;xsen
xcos kx , k Z
Análise da tendência da função quando:
1) x = 3,14159264...rad
x y = cotg x
3,14 -627,88
3,141 -1687,32
3,1415 -10792,88
x - y- x
+ y
x y = cotg x
3,16 54,31
3,15 118,94
3,142 2454,91
Cotangentóide
68
ANÁLISE DA FUNÇÃO
1) D = {x R / kx , k Z}.
2) Im = R.
3) Valor Máximo .
4) Valor Mínimo .
5) É periódica e o período é P = .
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - V
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-
cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de
função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.
1. Faça o gráfico da função y = cotg x (função mãe) e a partir deste
analise as situações a seguir.
a) y = acotg x, onde “a” é um número real;
b) y = b + acotg x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = cotg (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = cotg (ax), onde “a” é um número real;
e) y= c + dcotg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números
reais.
3.6.5. Dado um ângulo, cuja a medida em radianos é x, chamamos de
função secante, a função que associa a cada x zk,k2
o
número sec x R e indicamos:
f(x) = sec x
69
sec x = xcos
1; cos x 0 x Zk,k
2
Análise da tendência da função quando:
1º) x 2
2
2
= 1,570796327 ... rad.
x y = sec x
1,57 1255,76
1,5707 10381,32
1,57079 158057,91
x2
y x
2
y-
x y = sec x
1,58 -108,65
1,5709 -9645,69
1,5708 -272241,81
Secantóide
70
ANÁLISE DA FUNÇÃO
1) D= { x R / x zk,k2
}.
2) Im = R.
3) Valor Máximo .
4) Valor Mínimo .
5) É periódica e o período é 2 P .
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - VI
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-
cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de
função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.
1. Faça o gráfico da função y = sec x (função mãe) e a partir deste
analise as situações a seguir.
a) y = asec x, onde “a” é um número real;
b) y = b + asec x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = sec (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = sec (ax), onde “a” é um número real;
e) y= c + dsec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números
reais.
3.6.6. Dado um ângulo, cuja a medida em radianos é x, chamamos de
função cossecante, a função que associa a cada kx , Zk , o
número cossec x R e indicamos:
71
f(x) = cossec x
cossec x = xsen
1 ; sen x 0 kx , Zk
Analise a tendência da função quando:
1) x = 3,14159264...rad
x y = cossec x
3,14 627,88
3,141 1687,32
3,1415 10792,88
x - y x
+ y-
x y = cossec x
3,16 -54,32
3,15 -118,94
3,142 -2454,91
Cossecantóide
72
ANÁLISE DA FUNÇÃO
1) D = { /Rx kx , Zk }.
2) Im = R.
3) Valor Máximo e Valor Mínimo .
4) É periódica e o período é 2 P .
ATIVIDADE COMPUTACIONAL - VII
Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-
cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de
função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.
1. Faça o gráfico da função y = cossec x (função mãe) e a partir deste
analise as situações a seguir.
a) y = acossec x, onde “a” é um número real;
b) y = b + acossec x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = cossec (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = cossec (ax), onde “a” é um número real;
e) y= c + dcossec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são
números reais.
73
3.7. Gráficos Diversos das Funções Trigonométricas
1) y = sen ( x - 4
)
Para construirmos este gráfico construiremos uma tabela em 3
etapas.
1º) atribuímos valores a t = x - 4
;
2º) associamos a cada x - 4
o correspondente sen(x -
4
);
3º) calculamos x (x = t + 4
).
4xt
x = t +
4
y = sen t
0 4 0
2
43 1
4
5 0
23
47 -1
2 4
9 0
D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
74
2) y = 1 + 2 cos 3x
t= 3x cos t 2 cos t x=t/3
y = 1 + 2 cos 3x
0 1 2 0 3
2
0 0
6
1
- 1 - 2
3
-1
2
3
0 0
2
1
2 1 2
3
2
3
D = R
Im = [-1, 3]
P = 3
2
75
4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
4.1. Função Arco Seno. A função f: R R definida por f(x) = sen x
não é injetora, porque para valores distintos do domínio obtemos uma
mesma imagem. Também não é sobrejetora, porque a imagem não é
igual ao contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = sen x não é
bijetora e então não admite função inversa. Porém, restringindo
domínio e contradomínio é possível definir sua inversa.
Atividade 1. Tome a folha com o gráfico da função y = sen x de frente
para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso do
gráfico para você.
2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com
ela um giro de 90º para a direita.
3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os
eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como
eixo “y” o eixo vertical.
4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do
gráfico que represente uma função.
5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo
[2
,2
] e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que
se encontra neste intervalo.
6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função
y=sen x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.
7. Determine o domínio e a imagem deste corte.
8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a
imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o
lápis.
9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).
10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,
restringindo o domínio da função y = sen x ao intervalo
76
[2
,2
] e o contradomínio (igual a imagem) de [-1, 1],
teremos a sua inversa y = arc sen x.
11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,
determine a inversa da função y = sen x.
Então em relação a f(x) = arc sen x temos:
4.2. Função Arco Cosseno. A função f:RR definida por f(x) = cos x
não é injetora, porque para valores distintos do domínio obtemos uma
mesma imagem. Também não é sobrejetora, porque a imagem não é
igual ao contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = cos x não é
bijetora e então não admite função inversa. Porém, restringindo
domínio e contradomínio é possível definir sua inversa.
Atividade
1. Tome a folha com o gráfico da função y = cos x de frente
para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso do
gráfico para você.
2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com
ela um giro de 90º para a direita.
D = [-1, 1]
Im = [2
,2
]
77
3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os
eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como
eixo “y” o eixo vertical.
4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do
gráfico que representem função.
5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo [0, ] e
contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que se encontra
neste intervalo.
6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função
y=cos x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.
7. Determine o domínio e a imagem deste corte.
8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a
imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o
lápis.
9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).
10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,
restringindo o domínio da função y = cos x ao intervalo
[0,] e o contradomínio (igual a imagem) de [-1, 1],
teremos a sua inversa y = arc cos x.
11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,
determine a inversa da função y = cos x.
Então em relação a f(x) = arc cos x temos:
D = [-1, 1]
Im = [0 , ]
78
4.3. Função Arco Tangente. A função f: A R sendo A = {x
R/
k2
x , Zk } definida por f(x) = tg x é sobrejetora, porque a
imagem é igual ao contradomínio, todos os reais. Mas não é injetora
porque para valores distintos do domínio obtemos uma mesma
imagem, portanto f(x) = tg x não é bijetora e então não admite função
inversa. Porém, restringindo o domínio é possível definir sua inversa.
Atividade
1. Tome a folha com o gráfico da função y = tg x de frente
para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso do
gráfico para você.
2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com
ela um giro de 90º para a direita.
3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os
eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como
eixo “y” o eixo vertical.
4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do
gráfico que representem função.
5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo
]2
,2
[ e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que
se encontra neste intervalo.
6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função
y=tgx e faça o corte no intervalo que foi padronizado.
7. Determine o domínio e a imagem deste corte.
8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a
imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o
lápis.
79
9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).
10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,
restringindo o domínio (A) da função y = tg x para o
intervalo de ]2
,2
[, teremos a sua inversa y = arc tg x.
11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,
determine a inversa da função y = tg x.
Então em relação a f(x) = arc tg x temos:
4.4. Função Arco Cotangente A função f: A R sendo A = {x
R/ kx , k Z} definida por f(x)=cotg x é sobrejetora, porque a
imagem é igual ao contradomínio, todos os reais. Mas não é injetora
porque para valores distintos do domínio obtemos uma mesma
imagem, portanto f(x) = cotg x não é bijetora e então não admite
função inversa. Porém, restringindo o domínio é possível definir sua
inversa.
Atividade
D = R
Im = ]2
,2
[
80
1. Tome a folha com o gráfico da função y = cotg x de frente
para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso do
gráfico para você.
2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com
ela um giro de 90º para a direita.
3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os
eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como
eixo “y” o eixo vertical.
4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do
gráfico que representem função.
5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo ]0, [ e
contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que se encontra
neste intervalo.
6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função
y=cotg x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.
7. Determine o domínio e a imagem deste corte.
8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a
imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o
lápis.
9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).
10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,
restringindo o domínio da função y = cotg x ao intervalo
]0,[, teremos a sua inversa y = arc cotg x.
11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,
determine a inversa da função y = cotg x.
Então em relação a f(x) = arc cotg x temos:
D = R
Im = ]0, [
81
4.5. Função Arco Secante. A função f: A R sendo A = {x
R/x zk,k2
} definida por f(x) = sec x não é injetora, porque
para valores distintos do domínio obtemos uma mesma imagem.
Também não é sobrejetora, porque a imagem não é igual ao
contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = sec x não é bijetora e
então não admite função inversa. Porém, restringindo domínio e
contradomínio é possível definir sua inversa.
Atividade 1. Tome a folha com o gráfico da função y = sec x de frente
para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso do
gráfico para você.
2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com
ela um giro de 90º para a direita.
3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os
eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como
eixo “y” o eixo vertical.
4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do
gráfico que representem função.
5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo [0, 2
[
ou ]2
, ] e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que
se encontra neste intervalo.
6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função
y=sec x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.
7. Determine o domínio e a imagem deste corte.
82
8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a
imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o
lápis.
9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).
10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,
restringindo o domínio da função y = sec x ao intervalo
[0,2
[ ou ]
2
, ], e o contradomínio (igual a imagem) ao
intervalo R – ]–1, 1[ teremos a sua inversa y = arc sec x.
11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,
determine a inversa da função y = sec x.
Então em relação a f(x) = arc sec x temos:
4.6. Função Arco Cossecante. A função f: A R sendo A =
{ /Rx kx , Zk } definida por f(x) = cossec x não é injetora,
porque para valores distintos do domínio obtemos uma mesma
imagem. Também não é sobrejetora, porque a imagem não é igual ao
contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = cossec x não é bijetora e
então não admite função inversa. Porém, restringindo domínio e
contradomínio é possível definir sua inversa.
D=]-, -1] ou [1, [
Im = [0, 2
[ ou ]
2
, ]
83
Atividade 1. Tome a folha com o gráfico da função y = cossec x de
frente para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso
do gráfico para você.
2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com
ela um giro de 90º para a direita.
3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os
eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como
eixo “y” o eixo vertical.
4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do
gráfico que representem função.
5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo [0,2
[
ou ]2
,0]
e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que
se encontra neste intervalo.
6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função
y=cossec x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.
7. Determine o domínio e a imagem deste corte.
8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a
imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o
lápis.
9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).
10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,
restringindo o domínio da função y = cossec x ao intervalo
[0,2
[
ou ]2
,0]
, e o contradomínio (igual a imagem) ao
intervalo R – ]–1, 1[ teremos a sua inversa y = arc cossec x.
11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,
determine a inversa da função y = cossec x.
Então em relação a f(x) = arc cossec x temos:
84
5. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Certas combinações de ex e e
-x aparecem tão freqüentemente
em aplicações da matemática que recebem nomes especiais. Três
destas funções são: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente
hiperbólica. Os valores destas funções estão relacionadas com as
coordenadas dos pontos de uma hipérbole equilátera. E vale salientar
que estas funções não são periódicas.
5.1. Função Seno Hiperbólico:é definida por senh x = 2
ee xx ,
onde o D = R e a Im = R.
]1,]D ou [1 , [
Im = [0,2
[
ou ]2
,0]
85
5.2. Função Cosseno Hiperbólico: é definida por cosh x = 2
ee xx ,
onde o D = R e a Im = [1, [.
5.3. Função Tangente Hiperbólica: é definida por tgh x = xx
xx
ee
ee
,
onde o D = R e a Im = ]-1, 1[.
5.4. Função Cotangente Hiperbólica: é definida por
cotghx=xx
xx
ee
ee
, onde o D = R-{0} e a Im = ]-, -1[ ou ]1, [.
86
5.5. Função Secante Hiperbólica: é definida por sech x = xx ee
2
,
onde o D = R e a Im = ]0, 1].
5.6. Função Cossecante Hiperbólica: é definida por
cossechx=xx ee
2
, onde o D = R-{0} e a Im = ]-, 0[ ou ]0, [.
87
6. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
6.1. Função Arco Seno Hiperbólico: é definida por
arcsenhx= )1xx(ln 2 , onde o D = R e a Im = R.
Determinação da expressão que define a função arcsenh x, através da técnica de
determinação da função inversa de y = senh x
88
ysenhxxsenhargy
2
eex
2
eeysenhx
yy
yy
2x = ey - e
-y
2x - ey + e
-y = 0 (. e
y)
e2y
– 2xey –1 = 0
2
1.1.4)x2(x2e
2y
1xxe 2y
como 01xx 2 e ey nunca é negativo, devemos ter:
1xxe 2y
)1xx(lneln 2y
)1xx(lny 2
89
6.2. Função Arco Cosseno Hiperbólico: é definida por
arccoshx= )1xx(ln 2 , onde o D = [1, [ e a Im = [0, [.
Atividade. Utilizando a técnica de determinação da função
inversa, determine a inversa da função y = cosh x.
6.3. Função Arco Tangente Hiperbólica: é definida por arctgh x =
x1
x1ln
2
1, onde o D = ]-1, 1[ e a Im = R.
90
Atividade. Utilizando a técnica de determinação da função
inversa, determine a inversa da função y = tagh x.
6.4. Função Arco Cotangente Hiperbólica: é definida por
arccotghx=
1x
1xln
2
1, onde o D = ]-, -1[ ou ]1, [ e a Im = R-{0}
Atividade. Utilizando a técnica de determinação da função
inversa, determine a inversa da função y = cotgh x.
6.5. Função Arco Secante Hiperbólica: é definida por
arcsechx=
x
x11ln
2
, onde o D = ]0, 1] e a Im = [0, [.
91
Atividade. Utilizando a técnica de determinação da função
inversa, determine a inversa da função y = sech x.
6.6. Função Arco Cossecante Hiperbólica: é definida por
arccossechx =
x
x1
x
1ln
2
, onde o D = R-{0} e a Im = R-{0}.
Atividade. Utilizando a técnica de determinação da função
inversa, determine a inversa da função y = cossech x.
Exercícios
1) Construa num mesmo sistema cartesiano, o gráfico das funções
abaixo.
a) f(x) = sen x
b) f(x) = 2 sen x
c) f(x) = -sen x
d) f(x) = (1/2) sen x
e) f(x) = 1 + sen x
92
2) Construa o gráfico das funções indicando período, imagem e
domínio.
a) f(x) = cos (2x)
b) f(x)= cos (x + /2)
3) Calcule o período, o domínio e a imagem da função y=-3+tg(x-/4).
4) Dê o domínio, a imagem, o período e construa o gráfico da função
y= -1 + 2sen (x/3).
5) Determine para quais valores reais de k, existe x, tal que:
cos x = 1k
2k3k 2
.
6) Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
a) y = sen (x - /9)
b) y = tg (4x - /2)
c) y = cossec (x/5 +3 /2)
d) y = sec (5x – 15o)
7) Encontre todos os números reais que satisfazem as desigualdades
abaixo.
a) x26x3x2 b) 31x2
9x4
c) (3x + 5) (2x + 8) 0
93
8) Calcule o período, o domínio, a imagem e construa o gráfico das
funções abaixo.
a) y = -2 + cos (x - /4).
b) y = (1/2) sen (x/2).
9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções.
a) y = cotg (4x - /2)
b) y = sec (x/5 + 3/2)
c) y = cossec (5x – 15o)
10) Construa o gráfico das funções indicando o domínio, a imagem e o
período.
94
a) y = sen(x)
b) y = 3 sen(x)
c) y = -sen(x)
d) y = 2
1sen(x)
e) y = 1 + sen(x)
f) y = 2 sen(x)
g) y = 2 cos(x)
h) y = sen (2x)
i) y = sen (x/2)
j) y = sen(x+4
)
k) y = sen(x+2
)
l) y = sen(7x)
m) y = cos(x)
n) y = 3 cos(x)
o) y = -cos(x)
p) y = 2
1cos(x)
q) y = 1 +cos(x)
r) y = 2 + cos(x)
s) y = 2 cos (x)
t) y = cos (2x)
u) y = cos(x/2)
v) y = cos (x +4
)
x) y = cos(x+6
)
z) y= cos(6x)
aa)y=-1+4cos(3x+5
)
bb) y = cos(x + 3
2)
cc) y = tg(2x)
dd) y = -tg(x)
ee) y = tg(3x - 3
)
ff) y = tg(8x)
gg) y = sec(3x - )
hh)y = cossec(2
x-60º)
ii) y = cotg(x + 30º)
jj) y=cossec(2
3
5
x )
11) Determine o valor de k para que exista o arco que satisfaz a
igualdade.
a) sen (x) = k -11 b) sen (x) = 2k
2k5
c) cos (x) = 3k + 4
12) Esboce o gráfico das funções.
a) y = xlog3 b) y = 2xlog2
1
13) Verifique se as funções são crescentes ou decrescentes.
a) xlog2
b) xlog
2
3
95
14) Esboce o gráfico e determine a imagem das funções de domínio R.
a) f(x) = 2x - 1 b)f(x) = 2
x-1 c) f(x) =
x
3
1
15) Determine os valores indicados.
a) arc cos 1 b) arc sen 0,5 c) senh 5 d) cosh 7
16) Determine o valor de x.
a)cos x = 0,866025403 b) sen x = 0,5
c) senh x = 0 d) cosh x = 1
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Página 8
a) D = R e Im = R+* b) D = R e Im = R+
*
c) D = R e Im = R+* d) D = R e Im = R+
*
Página 9
a) 7 b) 5 c) –4 d) –3 e) –2/3 f) 1
g) –3/2 h) –15/4 i)3 j) –1/4 k) 2 ou –6 l) 5/7
m) 2 ou –1 n) 2 o) 3 p) –2/3 q) 2 r) 1/2
Página 10
1. a) V b) F c) V d) V
e) V f) F g) F h) F
96
2. a) {x R / x < 5} b) {x R / x < 4}
c) {x R / x 3/2} d) {x R / x<-3}
e) {x R / x > -8/3} f) {x R / x <-3/10}
g) {x R / x<-2/9} h) {x R / x < -2 ou x > 1}
Página 13
1. a) –1/2 b) 4 c) 5/4 d) –6
e) 4/3 f) 4/9 g) –3 h) –1
2. a) 2 b) c) 4
3. a) 40 b) 1
4. a) 2 log 5 x-2log5 y –3log5 z b) 1/12 log2 (x2+1)-1/12 log2 (x
2+2x)
5. a) 0,7781 b) o,699 c) 3,2552 d) –2,142
6. 1,8983
7. a) –4,3010 b) 5,0791 c) 8,699
d) –1,699 e) 6,1761 f) 2,6505
Página 16
1. a) 49462 habitantes b) 64 anos
2. 14,2 SM
3. 28 anos
4. 14,2 meses
5. 6% am
6. 35 anos
7. 80dB
8. a) I 199526231,5 b) 15,85vezes mais intenso
97
Página 19
1. Deixamos a resolução e análise desta questão ao leitor
2. a) 100.000 b) y = 100.10x c) agosto de 2001
3. 14 minutos
4. 4 meses e 12 dias
5. Deixamos a resolução para o leitor
6. a) 0 b) 1
7. a) 1 b) 2000 c) 10 d) 20,08
e) 500 f) 1,3086 g) 1,883 h) 81
i) 0,11
8. a) 9,21 b) 1,042 c) 1,5849 d) 1,7
e) 3,47 f) 0,2171 g) 298,47 h) 5,3348
i) 4 . 107 j) 3,98 . 10
-6 l) –0,477 m) 1,5
9. a) {m R / m > 1} b) {m R / 0 < m <1/3}
Página 24
a) 3 b) 2 c) 1/4 d) 32
e) -13 f) –3 g) 1/9 h) 2
i) 3
Página 31
1. {x R / 2/5<x<6/5}
98
2. {x R / x>5/2}
3. {x R / -1<x<-1/2 ou 3/2<x<2}
4. {x R / 1/9 x 3 3 }
5. {x R / -3/2 < x < -1 ou –1 < x < 3 e x 0}
6. {x R / -2 < x < -1 ou x > 2 ou o < x < 1}
Página 31
1. 71 m
2.a = 4,88 cm b = 2,80 cm
3. 500 m
4. 1,58 cm2
5. 25,5 m
6. 200m
7. 630m
Página 39
1. /3 rad 2. 135º 3. (41/360) rad
Página 42
1. cm
2. 107,5º
3. a) 160º b) 152,5º c) 15º d) 142,5º
Página 50
1. 2
2. 5/6
3. 22
99
4. 423
5. cos x
6. a) 1 b) -1/2 c) 1/2 d) 1/2
e) –1 f) 1/2 g) 1 h) 3
i) 3 j) 332 l) 332 m) 2
7. 0
8. –1
9. 37
10. a) y < 0 b) y < 0
Página 84
1. Deixamos a resolução desta questão ao leitor.
2. Deixamos a construção dos gráficos para o leitor
a) P = b) P = 2
Im=[-1,1] Im=[-1,1]
D = R D=R
3. P =
D= {x R / x 3/4 +k, k Z}
Im=R
4. D=R
Im=[-3,1]
P = 6
o gráfico fica para o leitor construir.
5. }3k1/Rk{
6. a) R
b) {x R / x /4 +k/4, k Z}
100
c) {x R / x -15/2 +5k, k Z}
d) {x R / x 7/60 +k/5, k Z}
7. a) {x R / x 6}
b) {x R / -3 x < 1/2}
c) {x R / x -5/3 ou x -4}
8. a) P = 2 b) P = 4
D = R D = R
Im = [-3,-1] Im = [-1/2,1/2]
9. a) D = {x R / x /8 + k/4, k Z}
b) D = {x R / x -5 + 5k, k Z}
c) D = {x R / x /60 +k/5, k Z}
10. Considerando k Z
a) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
b) D = R
Im = [-3, 3]
P = 2
c) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
d) D = R
Im= [-1/2,1/2]
P = 2
e) D = R
Im = [0, 2]
P = 2
f) D = R
Im = [-2, 2]
P = 2
g) D = R
Im = [-2, 2]
P = 2
h) D = R
Im = [-1, 1]
P =
i) D = R
Im = [-1, 1]
P = 4
j) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
k) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
l) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2/7
m) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
n) D = R
Im = [-3, 3]
P = 2
o) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
p) D = R
Im = [-1/2,1/2]
P = 2
q) D = R
Im = [0, 2]
P = 2
r) D = R
Im = [1, 3]
P = 2
s) D = R
Im = [-2, 2]
P = 2
t) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
u) D = R
Im = [-1, 1]
P = 4
v) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
x) D = R
Im = [-1, 1]
P = 2
z) D = R
Im = [-1, 1]
P = /3
aa) D = R
Im = [-5, 3]
P = 2/3
bb) D = R
Im = [-1, 1] cc) D={x R/
x/4+k/2}
dd) D={x R / x/2
+k}
101
P = 2 Im = R P = /2 Im = R P =
ee) D={x R /
x5/18+k/3}
Im = R P = /3
ff) D={x R / x/16
+k/8}
Im = R P = /8
gg) D={x R/ x/2
+k/3}
Im=R-(-1,1) P=2/3
hh) D={x R/ x2/3
+2k}
Im = R-(-1, 1)
P = 4
ii) D={x R / x -/6
+k}
Im = R
P =
jj) D={x R/ x
-15/2 +5k}
Im = R
P = 10
11. a) }12k10/Rk{
b) }3/2k0/Rk{
c) }1k3/5/Rk{
12. Deixamos a resolução desta questão ao leitor
13. a) crescente b) decrescente
14. a) (-1,) b) *R c) *R
15. a) 0º b) 30º c) 74,20 d) 548,31
16. a) 30º b) 30º c) 0 d) 0
102
BIBLIOGRAFIA
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São Paulo: Harbra, 1988.
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: MAKRON
Books do Brasil, Vol. 1, 1999.
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1993.
HOFFMANN, L. D., BRADLEY, G. L. Cálculo: Um curso Moderno e
suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC,1999. IEZZI, G., DOLCE, O., MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar.
São Paulo: Atual, Vol. 2, 1993.
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, Vol. 3, 1993.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: HARBRA, Vol. 1,
1994.
MUNEM, M. A., FOULIS, D. J. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, Vol. 1, 1978.
PARANÁ, D. N., Física: Termologia, Óptica e Ondulatória. São Paulo: Ática, Vol.
2, 1993.
SILVA, S. M. e SILVA, E. M. Matemática para os cursos de economia,
administração e ciências contábeis. São Paulo: ATLAS, Vol. 1, 1989.