Bab 2 Fungsi dan Limit

2.1. Definisi daerah asal dan daerah hasil2.2. Jenis-jenis fungsi2.3. Grafik fungsi2.4. Limit fungsi2.5. Kekontinuan fungsi Bab 2 Fungsi dan Limit (2 pert)5. Mahasiswa dapat menjelaskan produk kartesius, relasi dan fungsi.6. Mahasiswa dapat melakukan operasi-operasi pada fungsi.7. Mahasiswa dapat mencirikan jenis-jenis fungsi.8. Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi yang sederhana.9. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal limit.10. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal kekontinuan fungsi.TujuanPendahuluan fungsiHimpunan perkalian dari A dan B terdiri dari semua pasangan terurut (a,b) dimana a A dan b B dan ditulis A BAB={(a,b)|a A , b B }A={1,2,3}B={a,b}AB={(1,a), (1,b),(2,a),(2,b), (3,a), (3,b)}W={s,t) WW={(s,s),(s,t),(t,s),(t,t)}A B juga disebut Perkalian Cartesian (Cartesian Product) dari A dan BMatematikawan Perancis Descartes (abad 17)P(a,b)a bBidang CartesianBila A mempunyai m elemen dan B mempunyai n elemen, maka A B akan mempunyai mn elemenMatematikawan Perancis Descartes (abad 17) P(c,y)y xz a b c d BAm=3n=4mn = 12DefinisiFungsi: sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi (range).2.1. Definisi daerah asal dan daerah hasil

Contoh Cari daerah asal dan daerah hasil untuk f dan g1.

2.

Menentukan daerah asal dan daerah hasil

f+gf-gf.gf/g

Cat: komposisi fungsi

Operasi pada fungsi

Komposisi dua fungsi f dan g: (f o g) (a) = f(g(a))

Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal, selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya.

f o gag(a)f(g(a)) g fFungsi genapf(-x)=f(x) untuk semua xGrafik simetri terhadap sumb y

Fungsi ganjilF(-x)=-f(x)Grafik simetri terhadap titik asalFungsi genap dan fungsi ganjilFungsi nilai mutlak I IFungsi bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x [IxI]Dua fungsi khsususFungsi konstantaFungsi identitasFungsi aljabar eksplisitFungsi trigonometriFungsi invers trigonometriFungsi eksponenFungsi logaritma Jenis-jenis fungsi dan grafiknyaBersambung k ppt lainLIMIT FUNGSIPengertian Secara Intuisi

Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? .Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.

Periksalah tentang keberadaan (ada tidaknya) nilai limit fungsi berikut.

.

Limit Satu Sisi (Sepihak) Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut, kemudian selidikilah limit fungsi di x = 0.

Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai nilai limit ketiga fungsi di atas? Untuk mengatakan bahwa , berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

Contoh carilah ! Definisi makna limit secara intuisi

Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) dekat ke-L. Demikian pula, untuk mengatakan bahwaberarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke-L.Teorema A:Jika dan hanya jika dan Definisi limit kiri dan limit kanan

1.

2 contoh

Berarti bahwa untuk tiap yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat yang berpadanan sedemikian rupa sehingga asalkan bahwa

Yakni,

Pengertian presisi limit

Contoh Bukti formal

Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka1.2. 3. 4.5.6. Teorema limit utama

7.

8.

9. lanjutan

Teorema B Teorema SubstitusiJika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka , asalkan f(c) terdefinisi.

Teorema C Jika f(x)=g(x) untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mengandung bilangan c, terkecuali mungkin pada bilangan c sendiri, dan jika ada, maka ada dan

Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi untuk semua x dekat c, terkecuali mungkin pada c. Jikamaka Teorema D Teorema Apit

Teknik Menghitung LimitSekarang bagaimana kita menghitung nilai limit suatu fungsi satu persamaan di suatu titik . Coba kamu hitung limit fungsi berikut di titik x = 1 , kemudian di titik x = 2.Fungsi Konstan Fungsi Linear Fungsi Kuadrat Fungsi Suku Banyak (Polinom) Fungsi Rasional

Fungsi Irrasional

Dari hasil perhitungan kamu, apa yang dapat kamu simpulkan tentang cara/teknik menghitung limit fungsi satu persamaan?

Teorema A Limit Fungsi TrigonometriUntuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi, 1.2. 3.Teorema B Limit Fungsi Trigonometri khusus1. 2. Limit Fungsi Trigonometri

-Definisi limit ketika Misalkan f terdefinisi pada untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa jika untuk masing-masing terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian rupa sehingga

-Definisi limit ketika Misalkan f terdefinisi pada untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa jika untuk masing-masing terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian rupa sehingga

Definisi Limit

Misalkan an terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar daripada atau sama dengan suatu bilangan c. kita katakan bahwa jika untuk masing-masing terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian rupa sehingga Definisi limit barisan

Kita katakan bahwa jika untuk masing-masing bilangan positif M berpadanan sedemikian rupa sehingga Limit tak hingga

asimtot

33Definisi kontinuitas di satu titikMisalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. kita katakan bahwa f kontinu di c jika Kontinuitas fungsi

Contoh

Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real C. fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali dimana pemyebutnya nol.Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real c. jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c; jika genap, fungsi akar ke-n kontin di setiap bilangan real positif c.Catatan : Beberapa Teorema36- Jika f dan g kontinu di c, maka demikian juga kf, f+g, f-g, f.g, f/g (asalkan g(c)0),( asalkan f(c) >0 jika n genap).- Fungsi sinus dan kosinus kontinu di setiap bilangan real c. fungsi tan x, cot x, sec x, csc x kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya.

lanjutan

Jika dan jika f kontinu di L, maka

Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposit fog kontinu di c. Teorema limit komposit

Fungsi f adalah kontinu kanan pada a jikaDan kontinu kiri pada b jika f(x)=f(b). Kita katakan f kontinu pada sebuah interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik dari interval tersebut. Dia kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b. Definisi kontinuitas pada Interval

39Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan misalkan W bilangan antara f(a) dan f(b). Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian rupa sehingga f(c)=W.Teorema nilai antaraSoal yang harus dikerjakan2.1 : 462.2: 4,412.3: 8, 542.4: 31, 422.5: 292.6: 362.7: 92.8: 382.9: 372.10: 2741