fungsi eksponen
TRANSCRIPT
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
6.3 Fungsi Eksponen Natural6.3 Fungsi Eksponen Natural‐Menentukan turunan dari fungsi eksponennatural dan variannya.natural dan variannya.‐Menentukan integral tak tentu dari eu danvariannya.variannya.
6.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum‐Menentukan turunan dan integral dari fungsi‐Menentukan turunan dan integral dari fungsieksponen umum.‐Menentukan turunan dari fungsi logaritma‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmaumum.
6.3 FUNGSI EKSPONEN NATURAL‐Menentukan turunan dari fungsi eksponennatural dan variannya.‐Menentukan integral tak tentu dari eu danvariannya.
Fungsi Eksponen Natural (exp)Fungsi Eksponen Natural (exp)
Dari soal latihan terakhir fungsiDari soal latihan terakhir, fungsiy = ln x monoton naik, sehinggamempunyai invers
y
mempunyai invers.
D fi i i j h j l 1Definisi: x = exp y j.h.j. y = ln x. 1 x
Sifat: exp(ln x) = x utk tiap x > 0
ln(exp y) = y utk tiap y є Rln(exp y) y utk tiap y є R.
Bilangan eBilangan e
Definisi: Bilangan e adalah bilangan real positifDefinisi: Bilangan e adalah bilangan real positifyang memenuhi ln e = 1.
y=1/t
y
11 e
dt .11
t dt
Catatan e ≈ 2 718281828459045
1 e t
Catatan. e ≈ 2,718281828459045…
Fungsi exp adalah fungsi eksponen!Fungsi exp adalah fungsi eksponen!
Perhatikan bahwa untuk tiap r є Q berlaku:
reree rr exp)lnexp()exp(ln Ini menunjukkan bahwa fungsi exp merupakanfungsi eksponen, dengan eksponen e.
Catatan. Fungsi eksponen berbeda dengan fungsipangkat Pada fungsi pangkat yang merupakanpangkat. Pada fungsi pangkat, yang merupakanpeubah adalah bilangan yang dipangkatkan. Padafungsi eksponen, yang merupakan peubah adalahu gs e spo e , ya g e upa a peuba ada apangkatnya.
Jadi …Jadi …0,ln xxe x
Juga:.,)ln( yyey
Juga:
.baba eee
Bagaimana membuktikan sifat terakhir di atas?[Gunakan sifat‐sifat logaritma!]
Turunan dari y = exTurunan dari y e
Dari x = ln y, kita perolehy, p
.1ddx
sehinggaydy
1dy .1 ydy
dxdxdy
Jadidy
.)( xx eed .)( ee
dx
Integral Tak Tentu dari y = exIntegral Tak Tentu dari y e
Dari hasil sebelumnya kita perolehDari hasil sebelumnya, kita peroleh
.Cedxe xx
ContohContoh
1. Tentukan dy/dx bila .2xey y/
Jawab: Dengan Aturan Rantai, kita peroleh
y
..2)()(222 2 xxx exx
dxdee
dxd
dxdy
dxdxdx
ContohContoh
2. Tentukan .2
dxxex
Jawab: Misalkan u = x2. Maka, du = 2x.dx,
.dxxe
sehingga
22 111 CeCeduedxxe xuux .2
121
21 CeCeduedxxe
LatihanLatihan
1 Tentukan dy/dx bila 2xxey 1. Tentukan dy/dx bila
2 k
.xey
de x
2. Tentukan .dxx
e
1
3. Hitunglah 0
2 .dxe x
6.4 FUNGSI EKSPONEN DANLOGARITMA UMUM‐Menentukan turunan dan integral dari fungsig geksponen umum.‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmag gumum.
Fungsi Eksponen axFungsi Eksponen aJika a > 0 dan r rasional, maka
.)lnexp()exp(ln lnarrr earaa
Definisi: Untuk a > 0, x є R, kita definisikanlnaxx
Catatan: Jika a e maka ax ex ln e ex [konsisten]
.: lnaxx ea
Catatan: Jika a = e, maka ax = ex.ln e = ex. [konsisten]
Sifat‐Sifat Fungsi EksponenSifat Sifat Fungsi Eksponen
yxyx aaa
yxyx aaaaaa
.
xyyx aa )(
xaxa
xxx baab
)(
.)(
xbb )(
TeoremaTeorema
d .ln)( aaadxd xx
.1,ln
aCa
adxax
x
ln a
ContohContoh
1 Tentukan dy/dx jika 2 xy 1. Tentukan dy/dx jika
b 2ln2dddy x
.2y
Jawab: .2
2ln2.2ln2)2(x
xdxd
dxd
dxdy xx
2. Tentukan .532 dxx x
Jawab:
Fungsi Logaritma Umum log xFungsi Logaritma Umum loga x
Definisi: Misal a > 0 a ≠ 1 Kita definisikanDefinisi: Misal a > 0, a ≠ 1. Kita definisikan
C jik k l l
.log ya axxy
Catat jika a = e, maka loga x = ln x.
l xxy ln xey RSI
xy log x
INVE
xy alog xay
CatatanCatatan
Jika y = loga x, maka x = ay, sehinggaJika y loga x, maka x a , sehinggaln x = ln ay = y ln a.
Karena ituKarena itu,
hi
.lnln
axy
sehingga.
lnlnlog
axxa
Jadi
ln a
.l1log x
dd
a ln
gaxdx a
ContohContoh
Tentukan dy/dx jika )1(log 2 xyTentukan dy/dx jika
b i lk 2 k l
).1(log10 xy
Jawab: Misalkan u = x2 + 1. Maka y = log10 u, sehingga …
LatihanLatihan
1 Tentukan )10(2xd
1. Tentukan
2 i l h
).10(dx
1
35 dx2. Hitunglah 0
3 .5 dxx
1ax
3. Buktikan bahwa monoton.
Tentukan inversnya
,1,11
aaay x
Tentukan inversnya.