fungsi kepadatan peluang
DESCRIPTION
isiTRANSCRIPT
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada makalah ini materi yang akan kami bahas adalah Fungsi Kepadatan Peluang didalam
makalah ini kami sajikan materi tentang Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak
Diskrit, Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu dan Fungsi Kepadatan Peluang
Bersama dari Beberapa Peubah Acak dimana dialamnya terdapat penjelasan serta rumus dan
soal-soal.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini yaitu :
Apa yang dimaksud dengan fungsi kepadatan peluang dan jenisnya?
C. Tujuan
Tujuan dari makalah ini adalah untuk membantu pembaca agar mengetahui, memahami arti
dan cara menyelesaikan Fungsi Kepadatan Peluang.
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Fungsi Kepadatan Peluang (FKP)
Kita telah mengenal dan memahami pengertian distribusi suatu peubah acak. Dimana,
distribusi peubah acak merupakan kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan
probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X = x). Distribusi X dapat dituliskan dalam
bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan terurut. Variabel acak merupakan suatu fungsi acak
X yang bernilai riil di mana nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S dengan
S merupakan ruang sampel dari suatu percobaan statistik. Berdasarkan materi distribusi
peubah acak, peubah acak terbagi dua jenis, yaitu: variabel acak diskrit dan variabel acak
kontinu. Dimana variabel acak diskrit adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai
terhingga atau tak terhingga tetapi terbilang. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel
acak yang mempunyai nilai-nilai tak terhingga dan tak terbilang. Melalui pengertian-
pengertian diatas kita dapat dengan mudah menghitung peluang dari suatu peristiwa. Cukup
dengan mengamati tabel distribusi peluang. Pengertian tersebut dapat diperluas pada peubah-
peubah acak kontinu melalui konsep fungsi kepadatan peluang (f.k.p). Dimana jika X adalah
variabel acak dan P(X = x) adalah distribusi probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P (X = x)
disebut fungsi padat peluang.
B. Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Diskrit
Misalkan e ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi e terbilang. Misalkan f adalah
fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika
fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:
f (x)β₯ 0 untuk setiap x di e
π π₯ π₯ ππ π = 1
Jika peubah acak X diskrit dengan fungsi kepadatan peluang f(x), maka peluang suatu
peristiwa A diberikan oleh:
π π΄ = π π₯
π₯ ππ π
3
Contoh 1:
Misalkan e = { 0, 1, 2, 3, 4} ruang dari X, dan f adalah fungsi dari e ke dalam R yang
didefinisikan oleh:
π π₯ =4!
4βπ₯ !π₯! [
12
]4 ; x di e
Buktikan bahwa f suatu fungsi kepadatan peluang.
Hitunglah P( X β€ 1).
Penyelesaian:
Fungsi π π₯ =4!
4βπ₯ !π₯ ! [
12
]4 merupakan suatu fungsi kepadatan peluang jika memenuhi dua
sifat f.k.p yaitu
f (x)β₯ 0 untuk setiap x di e
jelas bahwa f(x) β₯ 0 untuk setiap x di e karena e = { 0, 1, 2, 3, 4}
π π₯ = 1. π₯ ππ π
Bukti π π₯ = 14π₯=0
π π₯ = 4!
4βπ₯ !π₯ ! [
12
]44π₯=0
4π₯=0
= 4!
4βπ₯ !π₯! [
12
]44π₯=0
= [12
]4 πΆπ₯44
π₯
= [12
]4 (4!
4β0 !0!+
4!
4β1 !1!+
4!
4β2 !2!+
4!
4β3 !3!+
4!
4β4 !4!)
= [1
2]4 (
4!
4 !0!+
4!
3 !1!+
4!
2 !2!+
4!
1 !3!+
4!
0 !4!)
= [1
2]4 ( 1 + 4 + 6 + 4 + 1)
= 1
16 (16) = 1
Jadi Terbukti π π₯ = 14π₯=0 . Ini berarti bahwa f adalah fungsi kepadatan peluang dari
peubah acak diskrit atau f.k.p. dari X.
4
Karena f merupakan f.k.p dari X, maka
P(A) = P( X β€ 1) = π π₯ =1π₯=0
4!
4βπ₯ !π₯! [
1
2]41
π₯=0
= [1
2]4 πΆπ₯
11π₯=0
= 1
2
4
(4!
4β0 !0!+
4!
4β1 !1!)
= 1
2
4
(4!
4 !0!+
4!
3 !1!)
= 1
2
4
(1 + 4)
= 1
16 (5)
= 5
16
Jadi, P( X β€ 1) = 5
16
Contoh 2:
Misalkan e = { x | x = 1, 2, 3........} adalah ruang dari peubah acak X. Misalkan f adalah
fungsi dari e ke dalam R yang didefinisikan oleh f (x)= 1
2 π₯
untuk setiap x di e.
Buktikan bahwa f suatu fungsi kepadatan peluang.
Hitunglah P(A) dimana A = { x | x = 1, 3, 5........}.
Penyelesaian:
a. Jelas f(x)β₯0 untuk setiap x di e. Akan ditunjukkan bahwa
π π₯ =βπ₯=1 1
π π₯ =βπ₯=1
1
2
4
=βπ₯=1
1
2+
1
2
2
+ 1
2
3
+ β―
= 1
2(1 +
1
2+
1
2
2
+ 1
2
3
+ β―
= 1
2 (1 + π π₯ )β
π₯=1
2 π π₯ βπ₯=1 = 1 + π π₯ β
π₯=1
2 π π₯ βπ₯=1 β π π₯ = 1β
π₯=1
π π₯ = 1β
π₯=1
5
Ini berarti bahwa f adalah f.k.p. dari X.
b. P (A) = π (π₯)βπ₯ ππππππ π₯ =1
= 1
2+
1
2
3
+ 1
2
5
+ β― )
= 1
2(1 +
1
2
2
+ 1
2
4
+ β― )
= 1
2(1 + π π΄π )}
= 1
2{1 + 1 β π π΄ }
= 1
2(2 β π π΄ )}
P (A) = 1 - 1
2(π π΄ )
P(A) + 1
2(π(π΄)= 1
3
2π(π΄) = 1
P (A) = 2
3
Jadi P(A) = π (π₯)βπ₯ ππππππ π₯ =1 dimana A = { x | x = 1, 3, 5........} =
2
3.
C. Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu
Misalkan e ruang dari peubah acak kontinu X. Jadi e tak terbilang. Misalkan f adalah fungsi
dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika
fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:
f (x)β₯ 0 untuk setiap x di e
π π₯ ππ₯ = 1 π΄
Jika peubah acak X kontinu memiliki fungsi kepadatan peluang f(x), maka peluang suatu
peristiwa A diberikan oleh:
π π΄ = π (π₯)
π₯ ππ π
Contoh 1:
Misalkan A = { x | 0 < x < β}ruang peubah acak kontinu X, dan f adalah fungsi dari e ke
dalam R yang didefinisikan oleh f(x) = πβπ₯ untuk setiap x di e.
Buktikanlah bahwa f merupakan f.k.p.
Hitunglah P(X β€ 1).
6
Penyelesaian:
Jelas f(x) β₯ 0 untuk setiap x di e. Akan tetapi ditunjukkan bahwa
π π₯ ππ₯ = 1.β
0
π π₯ ππ₯ = πβπ₯ππ₯β
0
β
0
= βπβπ₯ |0β
= βπβπ₯ β (βπβ0)
= 0 + 1
π π₯ ππ₯ = 1.β
0
Jadi fungsi f adalah f.k.p dari X.
P(X β€ 1) = π π₯ ππ₯ = πβπ₯ππ₯1
0
1
0
= βπβπ₯ |01
= βπβπ₯ β (βπβ0)
= βπβπ₯ + 1
Contoh 2 :
Misalkan e = { x | 0 < x < 1} adalah ruang dari peubah acak X. Jika f(x) = KX2 untuk setiap x
di e, carilah harga X sehingga f merupakan f.k.p dari X. Kemudian, hitung P(1
4 < X β€
1
2 ).
Penyelesaian:
a. Jelas f(x) β₯ 0 untuk setiap x di e. Agar f merupakan f.k.p.,
Haruslah π π₯ ππ₯ = 1π΄
. Akan tetapi ,
π π₯ ππ₯ = ππ₯2ππ₯ =π
3
1
0π΄ π₯3|0
1 βπ
3 (1)3 =
π
3
Karena haruslah π π₯ ππ₯ = 1π΄
dimana π π₯ ππ₯ = πΎπ₯2 ππ₯ =π
3
1
0π΄ , maka
π π₯ ππ₯ =π
3π΄ , sehingga
π
3= 1 K = 3.
7
b. Karena K = 3, maka
P( 1
4 < π β€
1
2 ) = 3π₯2 = π₯3|1/4
1/21/2
1/4
=(1
2)3 β (
1
4)3
P( 1
4 < π β€
1
2 ) =
1
8β
1
64=
7
64
P( 1
4 < π β€
1
2 ) =
7
64
Jadi, P( 1
4 < π β€
1
2 ) =
7
64
D. Fungsi Kepadatan Peluang Bersama dari Beberapa Peubah Acak
Misalkan e ruang bersama cari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal
ini π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ semuanya diskrit, yang berarti e terbilang, maka fungsi f dari e ke
dalam R yang bersifat:
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ ) β₯ 0 untuk setiap (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) di e
β¦β¦β¦ π π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ = 1ππ₯3π₯2π₯1
Dimanakan f.k.p. bersama dari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal ini, jika A βe, maka:
P(A) = P [(π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) ππ π ]
= β¦β¦β¦ π π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ ππ₯3π₯2π₯1 .
Misalkan e ruang bersama cari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal ini
π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ semuanya kontinu, yang berarti e tak terbilang, maka fungsi f dari e ke
dalam R yang memenuhi sifat:
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ ) β₯ untuk setiap (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) di e
β¦β¦ . .π₯3π₯2π₯1
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ)ππ₯1 ππ₯2π ππ₯3 β¦β¦ ,ππ₯π = 1
Dimanakan f.k.p. bersama dari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal ini,
P(A) = P [(π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) ππ π΄ ]
= β¦β¦ . .π₯3π₯2π₯1
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ)ππ₯1 ππ₯2π ππ₯3 β¦β¦ ,ππ₯π .
Contoh :
Misalkan e {(x, y) | x = 1, 2, 3, ...... dan y = 1, 2, 3,...... adalah ruang bersama dari X dan Y .
Misalkan f (x, y) didefinisikan oleh:
8
π π₯, π¦ = 9
4π₯+π¦
Buktikan bahwa f merupakan f.k.p bersama dari X dan Y .
Bukti:
Jelas π π₯,π¦ β₯ 0 untuk setiap (x, y) di e. Akan ditunjukkan bahwa
π π₯, π¦ = 1βπ₯=1
βπ¦=1 . Untuk itu kita buat tabel distribusi bersama sebagai berikut:
x
y
1 2 3 4 β¦
1 9
42
9
43
9
44
9
45
β¦
2 9
43
9
44
9
45
9
46
β¦
3 9
44
9
45
9
46
9
47
β¦
β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ β¦
β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ β¦
(i). Jumlah baris pertama adalah:
S1 = 9 1
4π=
9
4 {
1
4+
1
4π} =
9
16+
1
4 π 1
βπ=2
βπ=2
Jadi S1 = 3
4
(ii). Jumlah baris kedua adalah:
S2 = 9 1
4π= 9 (
1
4
1
4π) =
9
4
1
4π
βπ=2 =
1
4 π 1
βπ=2
βπ=2
Jadi S2 = 1
4 π
= 1
4
3
4
= 3
6
(iii). Jumlah baris ketiga adalah:
ππ = 9 1
4π= 9 (
1
4
1
4π) =
9
4
1
4π
βπ=2 =
1
42 π1βπ=2
βπ=2
(iv). Dengan cara yang sama seperti di atas, maka jumlah baris ke- k adalah:
Sk = 1
4πβ1 π1
9
Jadi,
π π₯,π¦ = π1 1 + 1
4+
1
42+
1
43+
1
44+ β¦β¦
β
π₯=1
β
π¦=1
= π1 1 + 1
4+
1
4πΎβπΎ=2
= π1 1 + 1
4+
1
9+ (9
1
4πΎβπΎ=2 )
= π1 1 + 1
4+
1
9+ (π1)
= 3
4 1 +
1
4+
1
9+ (
3
4)
= 3
4 π₯
16
12 =1
Ini berarti bahwa f adalah f.k.p. bersama dari x dan y.
10
BAB III
PENUTUP
A. Simpulan
Pengertian Fungsi Kepadatan Peluang (FKP)
Kita telah mengenal dan memahami pengertian distribusi suatu peubah acak. Dimana,
distribusi peubah acak merupakan kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan
probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X = x). Distribusi X dapat dituliskan dalam
bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan terurut. Variabel acak merupakan suatu fungsi acak
X yang bernilai riil di mana nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S dengan
S merupakan ruang sampel dari suatu percobaan statistik. Berdasarkan materi distribusi
peubah acak, peubah acak terbagi dua jenis, yaitu: variabel acak diskrit dan variabel acak
kontinu. Dimana variabel acak diskrit adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai
terhingga atau tak terhingga tetapi terbilang. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel
acak yang mempunyai nilai-nilai tak terhingga dan tak terbilang. Melalui pengertian-
pengertian diatas kita dapat dengan mudah menghitung peluang dari suatu peristiwa. Cukup
dengan mengamati tabel distribusi peluang. Pengertian tersebut dapat diperluas pada peubah-
peubah acak kontinu melalui konsep fungsi kepadatan peluang (f.k.p). Dimana jika X adalah
variabel acak dan P(X = x) adalah distribusi probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P (X = x)
disebut fungsi padat peluang.
Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Diskrit
Misalkan e ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi e terbilang. Misalkan f adalah
fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika
fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:
f (x)β₯ 0 untuk setiap x di e
π π₯ π₯ ππ π = 1
Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu
Misalkan e ruang dari peubah acak kontinu X. Jadi e tak terbilang. Misalkan f adalah
fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika
fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:
f (x)β₯ 0 untuk setiap x di e
π π₯ ππ₯ = 1 π΄
11
Fungsi Kepadatan Peluang Bersama dari Beberapa Peubah Acak
Misalkan e ruang bersama cari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal
ini π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ semuanya diskrit, yang berarti e terbilang, maka fungsi f dari e ke
dalam R yang bersifat:
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ ) β₯ 0 untuk setiap (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) di e
β¦β¦β¦ π π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ = 1ππ₯3π₯2π₯1
Dimanakan f.k.p. bersama dari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal ini, jika A βe, maka:
P(A) = P [(π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) ππ π ]
= β¦β¦β¦ π π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ ππ₯3π₯2π₯1 .
Misalkan e ruang bersama cari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal ini
π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ semuanya kontinu, yang berarti e tak terbilang, maka fungsi f dari e ke
dalam R yang memenuhi sifat:
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ ) β₯ untuk setiap (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) di e
β¦β¦ . .π₯3π₯2π₯1
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ)ππ₯1 ππ₯2π ππ₯3 β¦β¦ ,ππ₯π = 1
Dimanakan f.k.p. bersama dari π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ Dalam hal ini,
P(A) = P [(π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ) ππ π΄ ]
= β¦β¦ . .π₯3π₯2π₯1
π (π1,π2,π3, β¦β¦β¦ ππ)ππ₯1 ππ₯2π ππ₯3 β¦β¦ ,ππ₯π .
B. Saran
Semoga makalah yang telah kami buat dapata bermanfaat bagi pembaca dan
khususnya kami sebagai penyusun, dan diharapkan pembaca dapat menganalisis lebih jelas
lagi mengenai pemecahan masalah rutin dan non rutin dengan cara mencari literature-literatur
lain yang dapat menambah wawasan pembaca dalam menganalisis materi tersebut
12
DAFTAR PUSTAKA
UMP (2011) βFungsi Kepadatan Peluangβ http://www.scribd.com/doc/111725664/7-
Fungsi-Kepadatan-Peluang (diakses 21,04,2014)
Asriani Hasan (2011) βSTATISTIK MATEMATIKA IIβ
http://www.scribd.com/doc/119906652/STATMAT-II-EDIT-docx (diakses
21,04,2014)