fysp1082/3 vaihtovirtakomponentit · joten kaikki tässä työssä mitatut vaihtovirrat ja...

Sami Antero Yrjaumlnheikki samiayrjanheikkistudentjyufi

1451999

FYSP10823 Vaihtovirtakomponentit

Tyouml mitattu 1752019Ohjaava assistentti Artturi PensasmaaTyouml jaumltetty tarkastettavaksi

Abstract

In this laboratory exercise the capacitance of a capacitor was measured tobe C = (1080plusmn 0007) microF The inductance of an inductor was determinedto be L = (285plusmn 2)mH Resonant frequency of a LCR series circuit wasmeasured and calculated to be f0 = (307plusmn 3)Hz In addition the valuesfor capacitive and inductive reactances are presented as well as the voltageacross components and phase shift in an LCR circuit

1 Johdanto

Taumlssauml tyoumlssauml tutkitaan vaihtovirtapiirien peruskomponentteja eli vastuksiakondensaattoreita ja keloja Tyoumln alussa selvitetaumlaumln kokeellisesti kondensaat-torin kapasitanssi C sekauml kelan sisaumlinen resistanssi RL ja sen induktanssiL Lisaumlksi tyoumlssauml tutkitaan miten LCR-piirin komponenttien jaumlnnitehaumlvioumltsummautuvat koko piirin jaumlnnitehaumlvioumlksi sekauml etsitaumlaumln LCR-piirin resonans-sitaajuus oskilloskoopin avulla

Vaihtovirtapiireissauml vastus toimii aivan kuten tasavirtapiirissauml mutta kon-densaattori ja kela saavat uusia ominaisuuksia Tasavirtapiirissauml kondensaat-torin laumlpi ei kulje virtaa (siirtymisvirtoja lukuunottamatta) ja kela kaumlyt-taumlytyy kuten vastus jaumllleen siirtymisvirtoja lukuunottamatta Vaihtovirta-piirissauml kuitenkin kondensaattori varautuu ja purkautuu virran ja jaumlnnitteensuunnan muuttuessa ja kelassa muuttuva virta indusoi magneettikentaumln Kunnaumlmauml komponentit kytketaumlaumln sarjaan LCR-piiriin saadaan aikaan vaumlraumlhte-lypiiri RC-piirejauml voidaan taas kaumlyttaumlauml esimerkiksi taajuussuotimina [1]

Vaihtovirralle ja -jaumlnnitteelle kaumlytetaumlaumln usein niin kutsuttuja RMS (rootmean square) -arvoja Yleismittarit ovat kalibroitu naumlyttaumlmaumlaumln RMS-arvojajoten kaikki taumlssauml tyoumlssauml mitatut vaihtovirrat ja -jaumlnnitteet ovat niiden RMS-arvoja

2 Teoreettiset laumlhtoumlkohdat

21 Reaktanssi ja impedanssi

Vaihtovirtapiireille voidaan johtaa niin kutsuttu yleistetty Ohmin laki

V = ZI (1)

missauml Z on kompleksinen impedanssi Impedanssi voidaan kirjoittaa muotoon

1

Z = R + jX (2)

missauml R on reaalinen resistanssi ja X on imaginaarinen reaktanssi [3]

Erityisesti kondensaattorin impedanssille paumltee

ZC = XC =1

ωC (3)

missauml XC on kapasitiivinen reaktanssi ω vaihtovirtapiirin kulmataajuus ja C

kondensaattorin kapasitanssi Vastaavasti kelalle paumltee

ZL = XL = ωL (4)

missauml XL on induktiivinen reaktanssi ω jaumllleen kulmataajuus ja L kelaninduktanssi [1]

22 LCR-piiri

Oletetaan ettauml kuvan 1 mukaisen piirin jaumlnnitelaumlhde tuottaa sinimuotoistajaumlnnitettauml amplitudilla V0 eli jaumlnnitelaumlhteelle paumltee V (t) = V0 cos(ωt)

RC

L

Kuva 1 LCR-vaihtovirtapiiri

Kirchoffin 2 lain nojalla

VL + VR + VC = V0 cos(ωt) (5)

2

joka voidaan kirjoittaa muotoon

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0 cos(ωt) (6)

[1]

Eulerin lauseen perusteella V0 cos(ωt) = V0ejωt missauml j2 = minus1 Nyt yhtaumllouml

(6) saadaan muotoon

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0e

jωt (7)

Yhtaumlloumln (7) ratkaisuksi saadaan

Q(t) = Q0ejωt (8)

missauml

Q0 =V0

minusLω2 + jRω + 1C

(9)

Virran maumlaumlritelmaumlstauml saadaan yhtaumlloumln (8) avulla

I(t) =dQ

dt= I0e

jωt (10)

missauml

I0 = jωQ0 (11)

Yleistetyn Ohmin lain mukaan V0 = ZI0 joten yhtaumlloumliden (9) ja (11) avullasaadaan ettauml

3

Z =V0

I0= R + jωL+

1

jωC= R + j

983061ωLminus 1

ωC

983062 (12)

Yhtaumllouml (12) voidaan kirjoittaa yhtaumlloumliden (3) ja (4) avulla muotoon

Z = R + j (XL minusXC) (13)

Impedanssi Z on kompleksinen suure joten sen fysikaalisen vaikutuksen las-kemiseksi taumlytyy laskea sen amplitudi eli

|Z| = |R + jX| =radicR2 +X2 =

983156R2 + (XL minusXC)

2 (14)

[3]

LCR-piiri on sarjaan kytketty joten virta jokaisen komponentin laumlpi on samaI Taumllloumlin yleisen Ohmin lain ja yhtaumlloumln (14) nojalla saadaan

V

I=

983158983061VR

I

9830622

+

983061VL

Iminus VC

I

9830622

(15)

josta virta I supistamalla saadaan

V =983156

V 2R + (VL minus VC)2 (16)

LCR-piirin vaihe-ero saadaan suoraviivaisesti kompleksisen impedanssin Z

vaihe-erosta

φ = argZ = arctan

983061X

R

983062= arctan

983061XL minusXC

R

983062 (17)

Yhtaumlloumlstauml (17) naumlhdaumlaumln myoumls ettauml vastuksen jolle XL = XC = 0 virran jajaumlnnitteen vaihe-ero on

4

φR = arctan(0R) = 0 (18)

kondensaattorille jolle XL = R = 0 puolestaan

φC = limRrarr0+

arctan

983061minusXC

R

983062= minusπ

2(19)

ja kelalle jolle XC = R = 0 vastaavasti

φL = limRrarr0+

arctan

983061XL

R

983062=

π

2 (20)

LCR-piirissauml kulkevan virran amplitudi saadaan yleisestauml Ohmin laista sitenettauml

|I0| =V0

|Z| =V0983156

R2 + (XL minusXC)2

(21)

[1]

23 Resonanssitaajuus

Resonanssitaajuudella piirissauml kulkeva virta saavuttaa maksimiarvonsa Tauml-mauml maksimi saavutetaan silloin kun impedanssi Z saavuttaa minimiarvonsaVastus R ei riipu kulmataajuudesta ω joten impedanssi on minimissaumlaumln kunXL = XC jolloin

|Z| =radicR2 = R (22)

Taumlmauml tapahtuu silloin kun

5

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)

Taajuutta ω0 kutsutaan resonanssitaajuudeksi [1]

24 Virhearviointi

Lasketaan kondensaattorin kapasitanssille C virhe yhtaumlloumln (3) ja yleisen vir-heen etenemislain avulla Oletetaan ettauml kulmataajuudella ω ei ole virhettaumlTaumllloumlin osittaisderivaattojen avulla

δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)

Vastaavasti yhtaumlloumlstauml (4) saadaan kelan induktanssille virhe osittaisderivaa-toilla

δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6

Resonanssitaajuudelle saadaan vastaavasti yhtaumlloumln (24) avulla

δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]

3 Mittauslaitteisto ja kokeelliset menetelmaumlt

Tasa- ja vaihtojaumlnnitteen ja -virran mittaamiseen kaumlytettiin Finest 703 -yleismittaria Kuvan 6 piirin resonanssitaajuus etsittiin Hameg HM303-6 -oskilloskoopin avulla Vaihtovirtalaumlhteenauml kaumlytettiin GwInstek GFG-8217A-signaaligeneraattoria sinimuotoisella taajuusasetuksella LCR-piirin kompo-nenttien arvot mitattiin kaumlyttaumlen Megger B131 -LCR-mittaria Lisaumlksi kaumly-toumlssauml oli 15V paristo saumlaumltoumlvastuksia (50 kΩ 01 kΩ) kela (200mH) kon-densaattori (12 microF) sekauml vastuksia (220Ω 82 kΩ) Suluissa ilmoitetut arvotovat komponentteihin merkittyjauml arvoja eivaumltkauml ne siis ole mitattuja arvoja

Kondensaattorin kapasitanssin C selvittaumlmiseksi kondensaattori kytkettiinsarjaan virtalaumlhteen saumlaumltoumlvastuksen (50 kΩ) ja virtamittarin kanssa kuvan 2mukaisesti Lisaumlksi kondensaattorin paumliden vaumllinen jaumlnnite mitattiin yleismit-tarilla Virtalaumlhteenauml kaumlytettiin signaaligeneraattoria laitteen ilmoittamallataajuudella f = 1085Hz Signaaligeneraattorin tuottaman jaumlnnitteen ampli-tudi pidettiin vakiona mittauksen ajan ja piirissauml kulkevaa virtaa saumlaumldeltiinsaumlaumltoumlvastuksen avulla

Kelan sisaumlisen resistanssin RL selvittaumlmiseksi kela kytkettiin sarjaan paris-ton saumlaumltoumlvastuksen (01 kΩ) ja virtamittarin kanssa kuvan 3 mukaisesti Ke-lan paumliden vaumllinen jaumlnnite mitattiin yleismittarilla Piirissauml kulkevan virran

7

AV

Kuva 2 Tehtaumlvaumlssauml 1 kaumlytetty virtapiiri kondensaattorin kapasitanssin Cmaumlaumlrittaumlmiseen

AV

Kuva 3 Tehtaumlvaumlssauml 2 kaumlytetty virtapiiri kelan sisaumlisen resistanssin RL maumlauml-rittaumlmiseen

maumlaumlraumlauml saumlaumldeltiin saumlaumltoumlvastuksen avulla

Kelan induktanssin L selvittaumlmiseksi kela kytkettiin kytkentaumlauml 3 vastaavaankytkentaumlaumln 4 jossa pariston sijaan kaumlytettiin virtalaumlhteenauml signaaligeneraat-toria jonka taajuus oli f = 1083Hz

LCR-piirin jaumlnnitehaumlvioumln selvittaumlmiseksi vastus kondensaattori ja kela kyt-kettiin sarjaan signaaligeneraattorin kanssa kuvan 5 mukaisesti siten ettaumljaumlnnitehaumlviouml jokaisen komponentin yli sekauml koko piirin yli voidaan mita-ta yleismittareilla Mittaus toteutettiin kaumlytaumlnnoumlssauml siten ettauml jaumlnnitehauml-vioumlt komponenteittain mitattiin samanaikaisesti kolmella yleismittarilla jon-ka jaumllkeen koko piirin jaumlnnitehaumlviouml mitattiin yhdellauml yleismittarilla Taumlssauml

8

AV

Kuva 4 Tehtaumlvaumlssauml 3 kaumlytetty virtapiiri kelan induktanssin L maumlaumlrittaumlmi-seen

vaiheessa mittausta LCR-piirin komponenttien arvot mitattiin myoumls LCR-mittarilla jotta taumlssauml tyoumlssauml laskettavia arvoja voidaan vertailla

RC

L

V V V

V


Saman LCR-piirin resonanssitaajuden selvittaumlmiseksi piiri kytkettiin oskil-loskooppiin kuvan 6 mukaisesti Oskilloskooppi asetettiin XY-moodiin Kunsignaaligeneraattorin tuottaman jaumlnnitteen taajuus ei vastaa piirin resonans-sitaajuutta oskilloskoopin kuvaruudulla naumlkyy hieman vaumlaumlristynyt ellipsiResonanssitaajuus loumlydetaumlaumln kun signaaligeneraattorin taajuutta saumlaumldetaumlaumlnkunnes oskilloskoopilla naumlkyy (edelleen hieman vaumlaumlristynyt) viiva ellipsin si-

9

jaan

RC

L

CH1

CH2

Kuva 6 Tehtaumlvaumlssauml 5 kaumlytetty virtapiiri LCR-piirin resonanssitaajuuden sel-vittaumlmiseen

4 Havainnot ja laskut

Kuvan 2 mukaisella kytkennaumlllauml mitattiin virran ja jaumlnnitteen arvoiksi taulu-kon 1 mukaiset arvot Kun naumlmauml arvot asetetaan (I V )-koordinaatistoon japisteisiin sovitetaan PNS-suora saadaan kuvan 7 mukainen kuvaaja Kun so-vitus tehdaumlaumln yhtaumlloumloumln V = XCR+ c1 saadaan PNS-sovituksesta parametriXC = (13582plusmn 00079)mVmicroA Taumllloumlin yhtaumlloumln (3) perusteella

C =1

ωXC

= (2π middot 1085Hz middot 13582mVmicroA)minus1

asymp 1080 microF

Virheeksi saadaan yhtaumlloumln (25) avulla

10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)

Kuva 7 Piirin 2 mukaisen kytkennaumln mitatut jaumlnnitteen ja virran RMS-arvot

δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA

2π middot 1085Hz middot (13582mVmicroA)2

asymp 00063 microF

Kondensaattorin kapasitanssiksi saadaan siis C = (1080plusmn 0007) microF

Kelan sisaumlinen resistanssi 1 voidaan ajatella olevan piirin 3 saumlaumltoumlvastuksenkanssa sarjaan kytketty vastus RL Taumllloumlin Ohmin lain mukaan kelan ylipaumltee V = IRL Kun taulukon 2 pisteet piirretaumlaumln (I V )-koordinaatistoonja niihin sovitetaan suora V (I) = IRL saadaan kuvan 8 mukainen kuvaajaja suorasovitus jolle RL = (16377plusmn 030)mΩ Sisaumlisen resistanssin virhe

1Alkuperaumlisen mittauksen antama arvo sisaumliselle resistanssille RL asymp 132Ω oli aivansuuri joten mittaus tehtiin uudestaan Todennaumlkoumlinen syy mittausvirheelle oli virheellinenkytkentauml jossa mitattiinkin koko piirin jaumlnnitettauml eikauml pelkaumlstaumlaumln kelan jaumlnnitettauml

11

Taulukko 1 Piirin 2 mukaisen kytkennaumln mitatut virran ja jaumlnnitteen arvot

I (microA) V (mV)

151plusmn 08 258plusmn 05168plusmn 08 279plusmn 06190plusmn 08 305plusmn 06217plusmn 09 340plusmn 06255plusmn 09 388plusmn 06308plusmn 10 457plusmn 07388plusmn 11 564plusmn 08515plusmn 13 736plusmn 09772plusmn 17 1088plusmn 121516plusmn 28 2118plusmn 19

saadaan PNS-suorasovituksen virheestauml

Kuten kapasitanssin laskemisessa kelan induktanssin selvittaumlmistauml vartenpiirretaumlaumln taulukon 3 pisteet (I V )-koordinaatistoon ja sovitetaan mittaus-pisteisiin suora V = ZI PNS-sovituksella Mittauspisteet suorasovituksineenon esitetty kuvassa 9

Suorasovituksesta saadaan impedanssi Z = (01939plusmn 00012)mVmicroA Impe-danssille paumltee taumlssauml sarjaan kytketyssauml tilanteessa Z = RL +XL missauml RL

on kelan sisaumlinen resistanssi Taumllloumlin yhtaumlloumln (4) avulla kelan induktanssiksitulee

L =XL

ωminusRL

=01939mVmicroAminus 16377mΩ

2π middot 1083Hzasymp 2848mH


12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)

Kuva 8 Piirin 3 mukaisen kytkennaumln mitatut jaumlnnitteen ja virran arvot


I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω

=00012mVmicroA2π middot 1083Hz

asymp 18mH

Kelan induktanssiksi saadaan siis L = (285plusmn 2)mH

Yleistetyn Ohmin lain nojalla V prop Z eli impedanssin kasvattaminen kas-vattaa komponentin yli tapahtuvaa jaumlnnitehaumlvioumltauml Kondensaattorin impe-danssille paumltee yhtaumlloumln (3) mukaan ZC = XC = 1

ωC Kyseessauml on (kul-

ma)taajuuden suhteen vaumlhenevauml funktio joten taajuuden kasvattaminen pie-nentaumlauml kondensaattorin jaumlnnitteen amplitudia Vastaavasti yhtaumlloumln (4) mu-kaan kelan impedanssille paumltee ZL = XL = ωL joka on (kulma)taajuudensuhteen kasvava funktio Taumllloumlin taajuuden kasvattaminen kasvattaa kelanjaumlnnitehaumlvioumln amplitudia

14


I (microA) V (mV)


Kuvan 5 mukaisessa LCR-piirin jaumlnnitemittauksessa saatiin seuraavat tulok-set

VL = (686plusmn 009)V (kelan jaumlnnitehaumlviouml)

VC = (914plusmn 010)V (kondensaattorin jaumlnnitehaumlviouml)

VR = (3377plusmn 0060)V (vastuksen jaumlnnitehaumlviouml)

V = (661plusmn 008)V (koko piirin jaumlnnitehaumlviouml)

Naumlistauml tuloksista voidaan laskea suora jaumlnnitehaumlvioumliden summa siten ettauml

V = VL + VC + VR

= (686plusmn 009)V + (914plusmn 010)V + (3377plusmn 0060)V

asymp (194plusmn 03)V

Laskettu tulos eroaa selvaumlsti mitatusta koko piirin jaumlnnitehaumlvioumlstauml mikauml onodotettua sillauml LCR-piirissauml kaikki jaumlnnitteet ovat eri vaiheessa Todellinenjaumlnnite saadaan laskemalla jaumlnnitteet nelioumlllisesti yhtaumlloumln (16) mukaisesti

15

V =983156

V 2R + (VL minus VC)2

=983155

((3377plusmn 0060)V)2 + ((686plusmn 009)V minus (914plusmn 010)V)2


Kuitenkin myoumls nelioumlllisesti laskettu jaumlnnitehaumlviouml eroaa merkittaumlvaumlsti mita-tusta arvosta Yksi selitys taumllle on se ettauml kelan sisaumlistauml resistanssia ei huo-mioida taumlssauml laskussa Todellisuudessa piirin resistanssi R on suurempi kuinpelkaumln vastuksen resistanssi mikauml kasvattaa jaumlnnitehaumlvioumltauml

Kun piirin taajuus on resonanssitaajuutta pienempi eli ω lt ω0 kapasitiivi-nen reaktanssi on suurempi sen vaumlhenevyyden perusteella Kuva 10 havain-nollistaa tilannetta esimerkkiarvoilla Yhtaumlloumlstauml (17) naumlhdaumlaumln kuvan 10 avul-la ettauml kun ω lt ω0 vaihe-ero φ lt 0 Vaihe-ero kuvaa jaumlnnitteen vaihe-eroavirtaan naumlhden joten negatiivinen vaihe-ero kertoo ettauml jaumlnnite on virtaajaumlljessauml Taumllle LCR-piirille voidaan laskea konkreettinen vaihe-ero kaumlyttauml-maumlllauml laskettuja kapasitanssin ja induktanssin arvoja sekauml mitattuja arvojaf = 2528Hz ja R = 222Ω Taumlssauml laskussa jaumltetaumlaumln virhearviointi huomioi-matta sillauml tarkkaa vaihe-eron arvoa ei kysytauml Yhtaumlloumln (17) avulla saadaansiis φ = minus0532 rad asymp minus305

LCR-piirin resonanssitaajuudeksi selvitettiin kokeellisesti oskilloskoopin avul-la f0 = (306plusmn 2)Hz Resonanssitaajuuden virhe on arvioitu tarkkailemallamillauml taajuusalueella kuva oskilloskoopilla naumlyttaumlauml vielauml (vaumlaumlristyneeltauml) suo-ralta Kun piirin resonanssitaajuus lasketaan yhtaumlloumln (24) avulla saadaan

f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1

2πradic2848mH middot 1080 microF

asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL

Kuva 10 Kapasitiivisen ja induktiivisen reaktanssin kuvaajat yhtaumlloumliden (3)ja (4) mukaisesti arvoilla C = 1080 01 microF ja L = 2848mH

Virheeksi tulee kaavan (27) avulla

δf0 =δω0

2πasymp 14Hz

Resonanssintaajuuden teoreettinen arvo on siis f0 = (287plusmn 2)Hz Jos samalasku suoritetaan LCR-mittarilla mitattujen kapasitanssin ja induktanssinavulla saadaan resonanssitaajuudeksi f0 = (307plusmn 3)Hz

5 Johtopaumlaumltoumlkset

Kondensaattorin kapasitiiviseksi reaktanssiksi mitattiin XC = (1358plusmn 8)ΩKapasitanssiksi laskettiin C = (1080plusmn 0007) microF Tulos ei aivan sisaumllly vir-herajoineen LCR-mittarilla mitatun kapasitanssin arvoon C = (1053plusmn 0011) microFmutta tulos on kuitenkin melko laumlhellauml mitattua arvoa

Kelan sisaumliseksi resistanssiksi maumlaumlritettiin RL = (1638plusmn 03)mΩ ja senimpedanssiksi ZL = (1939plusmn 12)Ω Induktanssiksi laskettiin taumlstauml L =

17

(285plusmn 2)mH Taumlmaumlkaumlaumln arvo ei ole yhtenevauml LCR-mittarilla mitatun ar-von L = (2558plusmn 40)mH kanssa mutta kuitenkin samaa suuruusluokkaa

LCR-piirin jaumlnnitehaumlvioumliksi mitattiin komponenteittain ja koko piirin yli





Naumlistauml voidaan laskea jaumlnnitehaumlvioumliden suora V = (194plusmn 03)V ja nelioumll-linen V = (407plusmn 009)V summa Kumpikaan arvoista ei vastaa mitattuakoko piirin jaumlnnitehaumlvioumltauml Havainnot ja laskut -osiossa selitettyjen syidenvuoksi LCR-piirin vaihe-eroksi laskettiin φ = minus305

LCR-piirin resonanssitaajuudeksi selvitettiin oskilloskoopilla f0 = (306plusmn 2)HzKokeellisesti selvitettyjen kapasitanssin ja induktanssin arvoilla piirin reso-nanssitaajuudeksi laskettiin f0 = (287plusmn 2)Hz Jaumllleen arvot eivaumlt taumlysin yh-dy mikauml on odotettua sillauml kapasitanssin ja induktanssin mitatuissa arvoisssatodettiin jo olevan heittoa Jos resonanssitaajuus lasketaan LCR-mittarillamitatuilla arvoilla saadaan f0 = (307plusmn 3)Hz mikauml sisaumlltyy virherajoineenkokeellisesti selvitettyn arvoon

Mittausten mahdollisia virhelaumlhteitauml ovat mittalaitteiden mittausvirheet lu-kuvirheet sekauml ulkopuoliset haumlirioumltekijaumlt Vaihtovirtapiirit ovat alttiita ulkoi-sille saumlhkouml- ja magneettikentille joiden laumlsnaumlolo saattaa indusoida virtojapiiriin Myoumls laumlmpoumltila vaikuttaa resistanssin arvoon joten komponenttienresistanssien arvot luultavasti kasvoivat hieman mittauksen aikana Lisaumlksijohtimista aiheutuu ylimaumlaumlraumlistauml resistanssia joka vaikuttaa etenkin kelan si-saumlisen resistanssin ja LCR-piirin jaumlnnitehaumlvioumliden mittauksiin Toisaalta sig-naaligeneraattorin tuottaman jaumlnnitteen taajuuden arvo ei ole virheetoumln ku-ten taumlssauml tyoumlssauml on oletettu

18

Viitteet

[1] Randall D Knight Physics for Scientists and Engineers ndash 4 th GlobalEdition Pearson 2017

[2] John R Taylor An Introduction to Error Analysis ndash 2nd Edition Uni-versity Science Books 1997

[3] Kirk T McDonald Supplemental Notes on Complex NumbersComplex Impedance RLC Circuits and Resonance Princeton Universi-ty 2004 (httpwwwphysicsprincetonedu~mcdonaldexamplesph104_2004AC_circuit_notespdf luettu 2252019)

Liitteet

1 Mittauspoumlytaumlkirja

2 Lisaumlmittauspoumlytaumlkirja

19

1 Johdanto

Taumlssauml tyoumlssauml tutkitaan vaihtovirtapiirien peruskomponentteja eli vastuksiakondensaattoreita ja keloja Tyoumln alussa selvitetaumlaumln kokeellisesti kondensaat-torin kapasitanssi C sekauml kelan sisaumlinen resistanssi RL ja sen induktanssiL Lisaumlksi tyoumlssauml tutkitaan miten LCR-piirin komponenttien jaumlnnitehaumlvioumltsummautuvat koko piirin jaumlnnitehaumlvioumlksi sekauml etsitaumlaumln LCR-piirin resonans-sitaajuus oskilloskoopin avulla

Vaihtovirtapiireissauml vastus toimii aivan kuten tasavirtapiirissauml mutta kon-densaattori ja kela saavat uusia ominaisuuksia Tasavirtapiirissauml kondensaat-torin laumlpi ei kulje virtaa (siirtymisvirtoja lukuunottamatta) ja kela kaumlyt-taumlytyy kuten vastus jaumllleen siirtymisvirtoja lukuunottamatta Vaihtovirta-piirissauml kuitenkin kondensaattori varautuu ja purkautuu virran ja jaumlnnitteensuunnan muuttuessa ja kelassa muuttuva virta indusoi magneettikentaumln Kunnaumlmauml komponentit kytketaumlaumln sarjaan LCR-piiriin saadaan aikaan vaumlraumlhte-lypiiri RC-piirejauml voidaan taas kaumlyttaumlauml esimerkiksi taajuussuotimina [1]

Vaihtovirralle ja -jaumlnnitteelle kaumlytetaumlaumln usein niin kutsuttuja RMS (rootmean square) -arvoja Yleismittarit ovat kalibroitu naumlyttaumlmaumlaumln RMS-arvojajoten kaikki taumlssauml tyoumlssauml mitatut vaihtovirrat ja -jaumlnnitteet ovat niiden RMS-arvoja

2 Teoreettiset laumlhtoumlkohdat

21 Reaktanssi ja impedanssi

Vaihtovirtapiireille voidaan johtaa niin kutsuttu yleistetty Ohmin laki

V = ZI (1)

missauml Z on kompleksinen impedanssi Impedanssi voidaan kirjoittaa muotoon

1

Z = R + jX (2)



ZC = XC =1

ωC (3)



ZL = XL = ωL (4)


22 LCR-piiri


RC

L




2


Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0 cos(ωt) (6)

[1]


(6) saadaan muotoon

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0e

jωt (7)


Q(t) = Q0ejωt (8)

missauml

Q0 =V0


(9)


I(t) =dQ

dt= I0e

jωt (10)

missauml

I0 = jωQ0 (11)


3

Z =V0

I0= R + jωL+

1

jωC= R + j

983061ωLminus 1

ωC

983062 (12)




|Z| = |R + jX| =radicR2 +X2 =


2 (14)

[3]


V

I=

983158983061VR

I

9830622

+

983061VL

Iminus VC

I

9830622

(15)


V =983156



vaihe-erosta

φ = argZ = arctan

983061X

R

983062= arctan

983061XL minusXC

R

983062 (17)


4

φR = arctan(0R) = 0 (18)


φC = limRrarr0+

arctan

983061minusXC

R

983062= minusπ

2(19)


φL = limRrarr0+

arctan

983061XL

R

983062=

π

2 (20)


|I0| =V0

|Z| =V0983156

R2 + (XL minusXC)2

(21)

[1]



|Z| =radicR2 = R (22)


5

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)


24 Virhearviointi


δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)


δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

Z = R + jX (2)



ZC = XC =1

ωC (3)



ZL = XL = ωL (4)


22 LCR-piiri


RC

L




2


Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0 cos(ωt) (6)

[1]


(6) saadaan muotoon

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0e

jωt (7)


Q(t) = Q0ejωt (8)

missauml

Q0 =V0


(9)


I(t) =dQ

dt= I0e

jωt (10)

missauml

I0 = jωQ0 (11)


3

Z =V0

I0= R + jωL+

1

jωC= R + j

983061ωLminus 1

ωC

983062 (12)




|Z| = |R + jX| =radicR2 +X2 =


2 (14)

[3]


V

I=

983158983061VR

I

9830622

+

983061VL

Iminus VC

I

9830622

(15)


V =983156



vaihe-erosta

φ = argZ = arctan

983061X

R

983062= arctan

983061XL minusXC

R

983062 (17)


4

φR = arctan(0R) = 0 (18)


φC = limRrarr0+

arctan

983061minusXC

R

983062= minusπ

2(19)


φL = limRrarr0+

arctan

983061XL

R

983062=

π

2 (20)


|I0| =V0

|Z| =V0983156

R2 + (XL minusXC)2

(21)

[1]



|Z| =radicR2 = R (22)


5

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)


24 Virhearviointi


δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)


δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19


Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0 cos(ωt) (6)

[1]


(6) saadaan muotoon

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

Q

C= V0e

jωt (7)


Q(t) = Q0ejωt (8)

missauml

Q0 =V0


(9)


I(t) =dQ

dt= I0e

jωt (10)

missauml

I0 = jωQ0 (11)


3

Z =V0

I0= R + jωL+

1

jωC= R + j

983061ωLminus 1

ωC

983062 (12)




|Z| = |R + jX| =radicR2 +X2 =


2 (14)

[3]


V

I=

983158983061VR

I

9830622

+

983061VL

Iminus VC

I

9830622

(15)


V =983156



vaihe-erosta

φ = argZ = arctan

983061X

R

983062= arctan

983061XL minusXC

R

983062 (17)


4

φR = arctan(0R) = 0 (18)


φC = limRrarr0+

arctan

983061minusXC

R

983062= minusπ

2(19)


φL = limRrarr0+

arctan

983061XL

R

983062=

π

2 (20)


|I0| =V0

|Z| =V0983156

R2 + (XL minusXC)2

(21)

[1]



|Z| =radicR2 = R (22)


5

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)


24 Virhearviointi


δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)


δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

Z =V0

I0= R + jωL+

1

jωC= R + j

983061ωLminus 1

ωC

983062 (12)




|Z| = |R + jX| =radicR2 +X2 =


2 (14)

[3]


V

I=

983158983061VR

I

9830622

+

983061VL

Iminus VC

I

9830622

(15)


V =983156



vaihe-erosta

φ = argZ = arctan

983061X

R

983062= arctan

983061XL minusXC

R

983062 (17)


4

φR = arctan(0R) = 0 (18)


φC = limRrarr0+

arctan

983061minusXC

R

983062= minusπ

2(19)


φL = limRrarr0+

arctan

983061XL

R

983062=

π

2 (20)


|I0| =V0

|Z| =V0983156

R2 + (XL minusXC)2

(21)

[1]



|Z| =radicR2 = R (22)


5

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)


24 Virhearviointi


δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)


δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

φR = arctan(0R) = 0 (18)


φC = limRrarr0+

arctan

983061minusXC

R

983062= minusπ

2(19)


φL = limRrarr0+

arctan

983061XL

R

983062=

π

2 (20)


|I0| =V0

|Z| =V0983156

R2 + (XL minusXC)2

(21)

[1]



|Z| =radicR2 = R (22)


5

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)


24 Virhearviointi


δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)


δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

ωL =1

ωC(23)

eli

ω =1radicLC

equiv ω0 (24)


24 Virhearviointi


δC =

983161983160983160983159983075partC

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partC

partXC

δXC

9830622

=δXC

ωX2C

(25)


δL =

983161983160983160983159983075partL

partωδω983167983166983165983168=0

9830762

+

983061partL

partXL

δXL

9830622

=δXL

ω (26)

6


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19


δω0 =

983158983061partω0

partCδC

9830622

+

983061partω0

partLδL

9830622

=1

2

983157(δL)2C2 + (δC)2L2

L3C3 (27)

[2]





7

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

AV


AV





8

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

AV



RC

L

V V V

V



9

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

jaan

RC

L

CH1

CH2




C =1

ωXC


asymp 1080 microF


10

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

50 100 150I (μA)

50

100

150

200

V (mV)


δC =δXC

ωX2C

=00079mVmicroA


asymp 00063 microF




11


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19


I (microA) V (mV)






L =XL

ωminusRL




12

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

60 65 70 75 80 85I (mA)

09

10

11

12

13

14

V (mV)



I (mA) V (mV)


13

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

200 400 600 800 1000 1200 1400I (μA)

50

100

150

200

250

V (mV)


δL =δXL

ω


asymp 18mH





14


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19


I (microA) V (mV)








V = VL + VC + VR




15

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

V =983156


=983155






f0 =ω0

2π=

1

2πradicLC

=1


asymp 2870Hz

16

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500ω (rads)

500

1000

1500

2000XC XL (Ω)

ω0

XCXL



δf0 =δω0

2πasymp 14Hz





17










18

Viitteet




Liitteet



19










18

Viitteet




Liitteet



19

Viitteet




Liitteet



19

fysp1082/3 vaihtovirtakomponentit · joten kaikki tässä työssä mitatut vaihtovirrat ja...

Documents