fyzika_ukazka

Magnetické pole 171

4.4 Magnetické pole

4.4.1 Základní magnetické jevy Už starověcí Řekové znali nerosty, které přitahují drobné železné předměty. Protože se nerosty těžily u města Magnesia, pojmenovali je magnety. Vlastnosti magnetů podrobně popsal anglický lékař William Gilbert v roce 1600 v knize O magnetu, magnetických tělesech a velkém magnetu Zemi. Kousky rudy, které jsou schopny přitahovat železné předměty, se nazývají permanentní magnety. Silové účinky permanentního magnetu se nejvíc projevují na dvou místech, které se nazývají póly magnetu. Mezi nimi je neutrální pásmo. Tyčový magnet otočný kolem osy se nazývá magnetka. V blízkosti Země magnetka zaujímá severojižní směr. Gilbert zjistil, že v blízkosti magnetu tvaru koule se magnetka chová jako v blízkosti Země. Z toho usoudil, že Země je magnet. Pól magnetky, který uka-zuje na sever, se nazývá severní pól (N), pól ukazující na jih je jižní pól (S). Souhlasné magnetické póly se přitahují, nesouhlasné se odpuzují. To znamená, že v blízkosti severního geografického pólu je jižní magnetický pól.

Až do konce 18. století se poznatky o magnetizmu omezovaly jen na permanentní magnety. Nebyla známa žádná souvislost mezi elektrickými a magnetickými jevy. V roce 1820 dánský fyzik Hans Christian Oersted zjistil, že se magnetka v blíz-kosti vodiče s proudem chová jako v blízkosti permanentního magnetu. Oerste-dovy pokusy ukázaly, že existuje souvislost mezi elektrickými a magnetickými jevy. Ukázaly také, že magnetické jevy souvisí s elektricky nabitými částicemi v pohybu. Podle současných představ kolem každé částice s nábojem, která je vzhledem k inerciální vztažné soustavě v klidu, je elektrické pole. Okolo částice s nábojem, která je vzhledem k inerciální vztažné soustavě v pohybu, pozoruje-me kromě elektrického pole i pole magnetické.

Magnetické pole je část elektromagnetického pole, které se projevuje silo-vým působením na pohybující se elektricky nabité částice. Tedy magnetické pole pozorujeme kolem pohybujících se nabitých částic a působí jen na pohybu-jící se nabité částice. Působení magnetického pole na elektricky nabité částice v pohybu je jeden z projevů elektromagnetické interakce. Síly, kterými magne-tické pole působí na nabité částice, se nazývají magnetické síly.

Poznámka. I magnetické pole permanentního magnetu je vyvolané pohybujícími se nabitými částicemi. Jeho zdrojem jsou elementární proudy související s pohy-bem elektronů v atomech magnetu.

172 Elektřina a magnetizmus

4.4.2 Magnetická indukce Elektrické pole kvantitativně charakterizujeme elektrickou intenzitou odvozenou ze síly, kterou pole působí na částici s nábojem v klidu. Magnetické pole působí jen na pohybující se částice s nábojem, proto v magnetickém poli jako zkušební těleso použijeme částici s nábojem Q pohybující se rychlostí v.

V každém místě magnetického pole existují dva navzájem opačné směry rych-losti v, pro které magnetická síla Fm, kterou pole působí na částici s nábojem Q, nabývá maximální hodnoty Fmax. Potom definujeme: Magnetická indukce magnetického pole v daném místě pole má velikost rovnou podílu maximální síly Fmax, kterou pole v tomto místě působí na částici s nábo-jem Q pohybující se rychlostí v a součinu Q v, tedy

BFQ v

= max .

Jednotkou magnetické indukce je tesla (T):

[ ] [ ][ ] [ ] . T1

mAN1

sm1C1N1

1max =

⋅=

⋅⋅=

⋅=

−vQF

B

Jeden tesla je magnetická indukce v tom místě magnetického pole, ve kterém pole působí na částici s nábojem 1 C pohybující se rychlostí 1 m ⋅ s−1 maximální silou 1 N.

Magnetická indukce je vektorová veličina. Kromě velikosti je určená i směrem. Směr vektoru B určíme takto: V každém místě magnetického pole existují dva navzájem opačné směry rychlosti, pro které je Fm = 0. Směr vektoru B je jeden z těchto směrů. Vektor B má takový směr, aby pro magnetickou sílu Fm, která v daném bodě působí na částici s nábojem Q o rychlosti v platilo (obr. 4.31)

Fm = Q (v × B). Z definice vektorového součinu potom pro velikost magnetické síly platí

Fm = Q B v sin α, kde α je úhel mezi vektorem B a vektorem v (obr. 4.31). Elektrické pole znázorňujeme siločárami. Podobně magnetické pole znázorňu-jeme magnetickými indukčními čarami. Magnetická indukční čára je oriento-vaná čára, jejíž tečna v každém bodě má směr vektoru B. Vektor B je obecně

B

Obr. 4.31

Fm

v


funkcí polohy a času. Je-li jen funkcí polohy a nezávisí na čase, magnetické pole se nazývá stacionární. Je-li vektor B ve všech bodech pole stejný, magnetické pole se nazývá homogenní. Reálná magnetická pole nebývají homogenní. Jen v ohraničené oblasti můžeme vytvořit pole blízké homogennímu.

4.4.3 Lorentzova síla Je-li částice o hmotnosti m a s nábojem Q v homogenním elektrickém poli o in-tenzitě E, působí na ni elektrická síla Fe = QE, která částici udělí zrychlení

.== e EF

amQ

m

Nabitá částice koná v homogenním elektrickém poli zrychlený pohyb. Tedy elek-trické pole může pohyb částice urychlit.

Uvažujme částici o hmotnosti m s nábojem Q v homogenním magnetickém poli o indukci B. Má-li částice rychlost v, magnetické pole působí na částici magne-tickou silou Fm = Q (v × B), resp. v skalárním tvaru Fm = Q v B sin α , kde α je úhel vektorů v a B. Z definice vektorového součinu vyplývá, že síla Fm

je kolmá na vektory v i B. Síla Fm udělí částici zrychlení mm= Fa kolmé na vektor

v. Proto se v magnetickém poli nemění velikost rychlosti, jen její směr. 1. Je-li částice v klidu, tak v = 0, proto i Fm = 0. 2. Pohybuje-li se částice podél indukční čáry, tak sin α = 0, proto Fm = 0. 3. Je-li rychlost v částice kolmá na vektor B, tak Fm = Q v B. Síla Fm je dostře-

divá, proto částice bude konat rovnoměrný pohyb po kružnici o poloměru R,

pro který platí . = 2

Rm vBvQ Potom

Q Bm vR = .

Pohybuje-li se částice v elektrickém i magnetickém poli, působí na ni výsledná síla F = Fe + Fm = Q (E + v × B),

která se nazývá Lorentzova síla.

Příklad. Mezi rovnoběžnými deskami je elektrické pole o intenzitě 100 N ⋅ C−1 a homogenní magnetické pole o indukci 0,050 T podle obr. 4.32. Mezi desky vletí kladný jednomocný iont kolmo na vektory E a B. Jaká je rychlost iontu, když se iont při pohybu nevychýlí?


Řešení. E = 100 N ⋅ C−1, B = 0,050 T, v = ? Na iont působí elektrická síla Fe = Q E a magne-tická síla Fm = Q v B podle obr. 4.32. Nevychýlí se tehdy, když Fe = Fm, tedy

.sm0002T050,0

CN10 11

−−

⋅=⋅

==BEv

Iont má rychlost 2 000 m ⋅ s−1.

Příklad. Do homogenního magnetického pole o indukci 1,0 ⋅ 10−3 T vletí kolmo na indukční čáry elektron rychlostí 1,0 ⋅ 106 m ⋅ s−1. Vypočítejte poloměr trajek-torie a periodu pohybu. Řešení. B =1,0 ⋅ 10−3 T, v =1,0 ⋅ 106 m . s−1, m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg, e = 1,6 ⋅ 10−19 C, R = ?, T = ?

Elektron se bude pohybovat po kružnici poloměru ,e

= e

Bvm

R odkud

mm. 5,7 = m105,7 = T101,0 C101,6sm 101,0kg109,1= 3

319

1631−

−−

−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅R

Perioda pohybu bude .π2= v

RT Potom s.10 3,6 = sm101,0

m105,7π2= 1016

3−

−

−

⋅⋅⋅

⋅⋅&T

Poloměr kružnice bude 5,7 mm, perioda pohybu 3,6 ⋅ 10−10 s.

4.4.4 Silové působení magnetického pole na vodič s proudem Silové působení magnetického pole na vodič s proudem kvantitativně zkoumal v roce 1820 francouzský fyzik André Marie Ampére. Uvažujme element vodiče, kterým prochází proud I. Za dobu Δt projdou průřezem vodiče částice s nábojem Q = I Δt, na které působí magnetické pole silou

Fm = Q (v × B) = I Δt (v × B) = I (Δl × B), kde Δl je vektor o velikosti Δl = v Δt, který má směr proudu I ve vodiči. Tedy magnetické pole o magnetické indukci B působí na element vodiče délky Δl s proudem I magnetickou silou

ΔFm = I (Δl × B) a to je Ampérův zákon. Ve skalárním tvaru

ΔFm = B I Δl sin α, kde α je velikost úhlu vektorů Δl a B.

+Ev

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Fm

Fe

Obr. 4.32


Ampérův zákon ΔFm = B I Δl sin α určuje sílu, kterou působí magnetické pole o indukci B na velmi krátký úsek vodiče délky Δl s proudem I. Výslednou sílu, kterou magnetické pole působí na vodič daného tvaru, vypočítáme jako vektoro-vý součet sil působících na jednotlivé velmi krátké úseky vodiče. Pro velikost magnetické síly, kterou působí homogenní magnetické pole indukce B na přímý vodič o délce l s ustáleným proudem I, potom dostaneme

Fm = B I l sin α, kde α je úhel určený směrem proudu a vektoru B (obr. 4.33a). Je-li vodič rovno-běžný s indukčními čarami, tak Fm = 0. Je-li vodič kolmý na indukční čáry, tak Fm = B I l.

Směr magnetické síly se určuje Flemingovým pravidlem levé ruky (obr. 4.33 b, c): Položíme-li levou ruku na přímý vodič tak, aby indukční čáry vstupovaly do dlaně a prsty ukazovaly směr proudu ve vodiči, palec ukáže směr magnetické síly.

Poznámka. Symboly × a • na obr. 4.33 a dále znamenají magnetickou indukční čáru směřující kolmo za nárysnu resp. před nárysnu.

Příklad. Jakou silou působí na vodič o délce 50 cm s proudem 100 A homogen-ní magnetické pole o indukci 0,50 T, pokud: a) vodič je kolmý na indukční čáry, b) vodič svírá s indukčními čarami úhel 30°? Řešení. l = 50 cm = 0,50 m, I = 100 A, B = 0,50 T, α = 30°, Fm = ? a) Fm = B I l sin α = 0,50 T ⋅ 100 A ⋅ 0,50 m = 25 N, b) Fm = B I l sin α = 0,50 T ⋅ 100 A ⋅ 0,50 m ⋅ sin 30° = 12,5 N. Magnetické pole působí na vodič silou 25 N, resp. 12,5 N.

4.4.5 Magnetické pole vodičů s proudem Magnetická pole vodičů s proudem zkoumali hned po Oerstedově objevu fran-couzští fyzici Biot a Savart. Na základě jejich výsledků odvodil Pier Simon La-place zákon, který určuje, jak přispívá k indukci magnetického pole v bode s po-lohovým vektorem r velmi krátký úsek vodiče Δl s proudem I.

B

I+

α

I I

a b c

Fm

Fm

Obr. 4.33


Podle Biotova − Savartova zákona ( )

3 =

rIk rlB ×Δ

Δ , resp. ve skalárním tvaru ΔΔ

B kI l

r

sin,=

ϕ2

kde ϕ je úhel vektoru r se směrem proudu (obr. 4.34), k je konstanta, která závisí

na prostředí. V SI má pro vakuum tvar k =μo4π , kde μ o = 4π ⋅ 10−7 N . A−2 se

nazývá permeabilita vakua. Potom

2o sin π4

rlIB ϕμ Δ

=Δ .

Vektor ΔB je kolmý na rovinu určenou vektory Δl a r. Jeho směr určuje pravidlo pravé ruky. Výslednou in-dukci magnetického pole v daném bodě získáme tak, že vodič rozdělíme na velmi krátké úseky, jejichž pří-spěvky k indukci v daném bodě vektorově sčítáme.

Magnetické pole přímého vodiče Z Biotova − Savartova zákona pro indukci magnetického pole přímého, velmi dlou-hého vodiče s ustáleným proudem I ve vakuu ve vzdálenosti d od vodiče platí

. π2

o

dIB

μ=

Vektor B leží v rovině kolmé na vodič a má směr tečny ke kružnici podle obr. 4.35. Proto jsou indukční čáry soustředné kružnice v rovinách kolmých na vodič. Jejich orientaci určíme podle pravidla pravé ruky: Uchopíme-li vodič pravou rukou tak, aby palec ukazoval směr proudu, prsty ukážou směr indukčních čar.

Magnetické pole válcové cívky Jednovrstvá, hustě vinutá válcová cívka, jejíž délka je mnohem větší než průměr, je solenoid. Pro velikost magnetické indukce na ose nekonečně dlouhého sole-noidu ve vakuu z Biotova – Savartova zákona plyne

,o IlNB μ=

B

Obr. 4.35 Obr. 4.36

I

r

Obr. 4.34

ΔB

Δlϕ


kde N je počet závitů na délce l, I je proud solenoidem. Vztah lze použít na vý-počet magnetické indukce uprostřed solenoidu konečné délky, kde je magnetické pole blízké homogennímu. Směr vektoru B určuje pravidlo pravé ruky: Uchopíme-li pravou rukou solenoid tak, aby prsty ukazovaly směr proudu, palec ukáže směr vektoru B.

Příklad. Dvěma dlouhými přímými rovnoběžnými vodiči ve vzájemné vzdále-nosti 5 cm ve vakuu procházejí proudy 5 A a 10 A stejným směrem. Jaká je indukce magnetického pole:

a) ve středu S kolmé spojnice vodičů, b) v bodě P vzdáleném 3 cm od vodiče s proudem 5 A a 4 cm od druhého vodiče?

Řešení. I1 = 5 A, I2 = 10 A, c = 5 cm = 0,05 m, a = 3 cm = 0,03 cm, b = 4 cm = = 0,04 m, B = ? a) Pro indukce magnetických polí v bodě S platí (obr. 4.37a)

,π2

= 1o1 d

IB

μ ,T 104 = m 0,0252π

A 5AN104π= 527

1−

−−

⋅⋅

⋅⋅⋅B

,π2

= 2o2 d

IB

μ .T 108 = m 0,0252π

A 10AN104π= 527

2−

−−

⋅⋅

⋅⋅⋅B

Magnetická indukce výsledného pole potom bude B = B1 + B2. Jelikož mají vektory B1, B2 opačný směr, je B = B2 − B1 = 4 ⋅ 10−5 T.

b) Pro indukce magnetických polí v bodě P platí (obr. 4.37b)

,π2

= 1o1 a

IB

μ ,T 103,3 = m 0,032π

A 5AN104π 527

1−

−−

⋅⋅

⋅⋅⋅= &B

,π2

= 2o2 b

IB

μ.T 105 =

m 0,042πA 10AN104π 5

27

2−

−−

⋅⋅

⋅⋅⋅=B

Jelikož jsou vektory B1, B2 kolmé, platí T. 106 = + = 522

21

−⋅&BBB

V bodě S má magnetická indukce velikost 4 ⋅ 10−5 T, v bodě P asi 6 ⋅ 10−5 T.

c

b

a

B

a b

S

P

Obr. 4.37

I1

I1

I2

I2

B1

B1

B2

B2


4.4.6 Silové působení mezi vodiči s proudem Uvažujme dva přímé rovnoběžné velmi dlouhé vodiče s proudy I1, I2 ve vzdále-nosti d. Vodič s proudem I1 vytváří ve svém okolí magnetické pole. Jeho indukce

v místě druhého vodiče má velikost .π2

1o1 d

IB μ= Potom na délku l druhého vodi-

če bude působit síla F = B1 I2 l = . π2

21o

dlIIμ

Směr síly určuje Flemingovo pra-

vidlo levé ruky (obr. 4.38). Stejně velkou silou opačného směru bude působit druhý vodič na délku l prvního vodiče. Tedy pro dva přímé rovnoběžné vodiče s proudy I1, I2 ve vzdálenosti d ve vakuu platí: jeden z nich působí na délku l druhého silou velikosti

F = d

lII π2

21oμ .

Z obr. 4.38 je vidět, že mají-li proudy ve vodičích stejný směr, síly jsou přitažli-vé, mají-li proudy opačný směr, síly jsou odpudivé. Z uvedeného vztahu je defi-nována jednotka elektrického proudu ampér. Ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma rovnoběžnými přímými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu, umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti 1 metr, vyvolá mezi vodiči sílu 2 . 10−7

newtonu na 1 metr délky.

Příklad. Jakou silou na sebe působí dva dlouhé rovnoběžné dráty s proudy 50 A ve vzájemné vzdálenosti 5 cm na 1 m délky? Řešení. I1 = I2 = 50 A, d = 5 cm = 5 ⋅ 10−2 m, l = 1 m

Pro velikost síly platí F = .

π2

21o

dlIIμ Po dosazení

N. 0,01 = m105

m 1A 5002AN102 = 2

227

−−−

⋅⋅

⋅⋅⋅F

Vodiče na sebe působí silou 0,01 N na 1 m délky.

+

B

B

F F-F -F

Obr. 4.38

I1

I1

I2

I2


4.4.7 Magnetické vlastnosti látek Podobně jako na elektrické pole, i na magnetické pole má vliv prostředí. Vloží-me-li do homogenního magnetického pole o indukci Bo ve vakuu látku, bude mít magnetická indukce hodnotu B = μr Bo odlišnou od Bo. Vysvětlujeme to tak, že v látce se ve vnějším magnetickém poli vytvoří vnitřní magnetické pole o indukci Bi, které spolu s vnějším polem vytvoří výsledné pole o magnetické indukci B = Bo + Bi = μr Bo, kde μr je charakteristika látky, která se nazývá relativní permeabilita látky. Součin μ = μo μr se nazývá permeabilita látky. Podle hod-noty relativní permeability rozdělujeme látky na:

• diamagnetické látky – μ r < 1,

• paramagnetické látky – μ r > 1,

• feromagnetické látky – μ r >> 1.

Magnetické vlastnosti látek mají původ v atomech a molekulách látky. Každý elektron v atomu představuje elektrický proud, kterému přísluší magnetické pole. Má-li atom víc elektronů, jejich magnetická pole se bez přítomnosti vnější-ho magnetického pole částečně anebo úplně ruší. Atomy, jejichž výsledné mag-netické pole je bez přítomnosti vnějšího magnetického pole nulové, se nazývají diamagnetické. Atomy, jejichž výsledné magnetické pole je bez přítomnosti vněj-šího magnetického pole nenulové, jsou paramagnetické.

Tabulka 4.5

Látka μ r Látka μ r Látka μ r

Au 0,999 969 Al 1,000 023 Co 175

Cu 0,999 990 Pt 1,000 264 Ni 300

Bi 0,999 987 Cr 1,000 330 Fe 15 000

NaCl 0,999 986 O2 (kvap.) 1,003 620 permalloy 100 000

H2O 0,999 991 O2 (plyn) 1,000 002 supermalloy 1 000 000

Diamagnetické látky jsou složené z diamagnetických atomů. Vložíme-li dia-magnetickou látku do vnějšího magnetického pole, stav elektronů se změní tak, že výsledné magnetické pole atomů bude nenulové a orientované proti vnějšímu magnetickému poli. Proto diamagnetické látky mírně zeslabují magnetické pole. Diamagnetickými látkami jsou např. kovy Au, Ag, Cu, Zn, Pb, Hg, nekovové


pevné látky NaCl, Si, Ge, plyny He, Ar, N, Cl, kapaliny H2O atd. Relativní per-meabilita diamagnetických látek nezávisí na teplotě ani na indukci Bo vnějšího pole. Diamagnetizmus je všeobecná vlastnost látek, ale v paramagnetických a fe-romagnetických látkách je překryt silnějšími jevy. Paramagnetické látky jsou složené z paramagnetických atomů. Nejsou-li ve vnějším magnetickém poli, magnetická pole atomů jsou orientována náhodně, proto v látce nevznikne magnetické pole. Když paramagnetickou látku vložíme do vnějšího magnetického pole, magnetická pole atomů se natáčejí do směru vnějšího pole, proto magnetické pole v látce mírně zesílí. Relativní permeabilita paramagnetických látek nezávisí na indukci Bo vnějšího pole, ale závisí na teplo-tě. Paramagnetickými látkami jsou např. Al, Pt, Na, Cr, Mg, O2. Feromagnetické látky jsou složené z paramagnetických atomů. Teorii feromag-netizmu vypracoval v roce 1907 francouzský fyzik Weiss. Podle této teorie ve feromagnetické látce existují oblasti − domény − které jsou spontánně zmagne-tizované do nasycení. Rozměry domén jsou řádově setiny milimetru až milimet-ry. Existence domén byla dokázaná experimentálně. Když látka není v magne-tickém poli, magnetická pole domén jsou orientována náhodně. Když látku vlo-žíme do vnějšího magnetického pole, magnetická pole domén se orientují sou-hlasně s vnějším polem. Proto feromagnetické látky výrazně zesilují magnetické pole. Jejich relativní permeabilita μr nabývá hodnot řádově 102 − 106, závisí na teplotě i na indukci Bo vnějšího magnetického pole. Relativní permeabilita fero-magnetických látek závisí i na jejich předcházejícím stavu, proto při stejné hod-notě indukce Bo vnějšího magnetického pole může být relativní permeabilita různá. Feromagnetické látky se lehko zmagnetují už ve slabých magnetických polích a magnetizace se zachovává i po odstranění vnějšího pole. Francouzský fyzik Pierre Curie zjistil, že pro každou feromagnetickou látku existuje teplota − Curieho teplota − při níž ztrácí feromagnetické vlastnosti a stává se paramagne-tickou. Feromagnetizmus je vlastností látek pevného skupenství. Neexistuje feromagnetická kapalina ani plyn. Feromagnetické jsou Fe, Co, Ni, Gd, Dy, jejich slitiny, ale i některé slitiny neferomagnetických látek.

Úlohy 1. Na přímý vodič o délce 20 cm a proudu 50 A působí magnetické pole silou

5,0 N, je-li kolmý na indukční čáry. Jaká je magnetická indukce? [0,25 T]

2. Jakou kinetickou energii má proton, který se pohybuje po kružnici o polomě-ru 10 cm v homogenním magnetickém poli o indukci 0,10 T kolmo na in-dukční čáry? [2,0 ⋅ 10−10 J]


3. Elektron po urychlení z klidu v elektrickém poli mezi body o napětí 100 V vletí do homogenního magnetického pole o indukci 10 mT kolmo na indukční čá-ry. Po jaké trajektorii se bude elektron pohybovat? [po kružnici o poloměru 4,3 ⋅ 10−3 m]

4. Jakou magnetickou indukci má magnetické pole solenoidu o délce 20 cm se 400 závity, je-li proud solenoidem 5 A? [4π ⋅ 10−3 T]

5. Při proudu 0,5 A je indukce magnetického pole na ose solenoidu 0,003 T. Jaký průměr má drát, z kterého je solenoid navinutý, když má jednovrstvé vinutí závity těsně vedle sebe? [2 mm]

6. Jakou magnetickou silou na sebe působí dva přímé rovnoběžné dráty o délce 50 m a proudy 50 A ve vzdálenosti 20 cm? [5,0 N]


4.5 Elektromagnetická indukce

4.5.1 Faradayův zákon elektromagnetické indukce Magnetický indukční tok Φ plochou o obsahu S v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B je veličina

Φ = B. S = B S cos α, kde S je vektor o velikosti S, který má směr normály plochy, α je úhel vektorů B a S (obr. 4.39). Jednotkou magnetického indukčního toku je weber (Wb):

[Φ] = [B] [S] = 1 T. m2 = 1 Wb. Magnetický indukční tok se může měnit tak, že: • změní se B − např. změní se proud ve vodiči,

nebo se pohybuje magnet, • změní se S − např. závit se deformuje, • změní se α − např. závit se otáčí v magnetic-

kém poli. Je-li v magnetickém poli cívka s N závity o průřezu S, tak magnetický indukční tok cívkou je

Φ = N (B ⋅ S) = N B S cos α .

Při zkoumání souvislostí mezi elektrickými a magnetickými jevy Faraday v roce 1831 zjistil, že při časové změně magnetického indukčního toku plochou ohraničenou vodičem vzniká ve vodiči elektromotorické napětí. Uvedený jev se nazývá elektromagnetická indukce. Elektromotorické napětí, které ve vodiči vznikne, se nazývá indukované elektromotorické napětí. Uzavřeným obvodem prochází elektrický proud − indukovaný proud.

Pro velikost indukovaného napětí platí Faradayův zákon elektromagnetické indukce: Elektromotorické napětí indukované ve vodiči se rovná záporně vzaté časo-vé změně magnetického indukčního toku plochou ohraničenou vodičem, tedy

tΦUΔΔ

− = i .

Takto určená hodnota Ui je střední hodnota v době Δt. Okamžitá hodnota indu-kovaného elektromotorického napětí je

( )t´ΦtΦ

tΦu

t−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

−→Δ

=dd =lim=

0i .

Obr. 4.39

B

S

α

Elektromagnetická indukce 183

Znaménko mínus ve Faradayově zákoně je vyjádřením Lenzova zákona: Indukovaný proud má takový směr, že svými účinky působí proti změně, která ho vyvolala.

Uvažujme v homogenním magnetickém poli o indukci B závit o plošném obsahu S, který se otáčí kolem osy úhlovou rychlostí ω (obr. 4.40). Potom magnetický indukční tok plochou závitu se bude měnit s časem podle vztahu

Φ (t) = B ⋅ S = B S cos ω t a pro okamžitou hodnotu indukovaného elektromotorického napětí potom platí

ui (t) = − Φ´(t) = − (B S cos ω t)´ = B S ω sin ω t = Um sin ω t, kde Um = B S ω. Okamžitá hodnota indukovaného elektromotorického napětí zá-visí na čase podle funkce sinus. Takové napětí se nazývá harmonické střídavé napětí.

Indukované elektromotorické napětí vzniká i v neuzavřeném vodiči při pohybu v magnetickém poli. Indukované elektromotorické napětí ve vodiči se pak rovná časové změně magnetického indukčního toku plochou opsanou vodičem při po-hybu v magnetickém poli. Uvažujme přímý vodič o délce l pohybující se rych-lostí v v homogenním magnetickém poli o indukci B kolmo na indukční čáry podle obr. 4.41. Magnetický indukční tok plochou opsanou vodičem při pohybu za čas t je Φ (t) = B S = B l v t. Potom okamžitá hodnota indukovaného napětí je

ui (t) = −Φ´(t) = −(B l v t)´ = −B l v.

Příklad. Kruhový závit o poloměru 2,0 cm je v rovině kolmé na indukční čáry homogenního magnetického pole. Jaké průměrné elektromotorické napětí se indukuje v závitu, když magnetická indukce vzroste za 0,10 sekundy z hodnoty 0,05 T na hodnotu 0,75 T? Jaký průměrný proud bude procházet závitem, je-li odpor závitu 0,10 Ω? Řešení. r = 2,0 cm = 2,0 ⋅ 10−2 m, Δt = 0,10 s, B1 = 0,05 T, B2 = 0,75 T, R = 0,10 Ω, Ui = ?, I = ?

B

ω

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

vB

S

l

Obr. 4.40 Obr. 4.41


Obsah závitu je S = π r2 = 12,6 ⋅ 10−4 m2. Pro indukované elektromotorické napětí

platí ( )

.t

SBBtΦU

Δ−

=ΔΔ

= 12i

Potom mV. 8,8V 1088s 0,10

m 1012,6T 70,0 424

i =⋅=⋅⋅

= −−

&&U

Proud v závitu bude .mA880,10

V108,8 3i =

Ω⋅

==−

RUI

V závitu se bude indukovat elektromotorické napětí 8,8 mV a proud 88 mA.

Příklad. Vodič o délce 80 cm se pohybuje v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci 0,40 T kolmo na indukční čáry (obr. 4.41) rychlostí 0,20 m ⋅ s−1. Jaké napětí se indukuje ve vodiči? Řešení. l = 80 cm = 0,80 m, B = 0,40 T, v = 0,20 m ⋅ s−1, Ui = ? Pro velikost indukovaného napětí ve vodiči platí Ui = B v l, po dosazení Ui = 0,40 T ⋅ 0,20 m ⋅ s−1⋅ 0,80 m = 64 ⋅ 10−3 V = 64 mV. Ve vodiči se indukuje napětí 64 mV.

4.5.2 Vlastní indukce Vlastní indukce je vznik indukovaného elektromotorického napětí v uzavřeném obvodu způsobený změnami proudu v tomto obvodu.

Mění-li se proud procházející vodičem, mění se také indukce B magnetického pole, a tím také magnetický indukční tok Φ plochou ohraničenou vodičem. Jestli-že vodič s proudem I je v prostředí s konstantní permeabilitou, magnetický in-dukční tok plochou ohraničenou vodičem je přímo úměrný proudu I, takže

Φ = L I, kde L je veličina charakterizující vodič; nazývá se (vlastní) indukčnost. Je určena tvarem a rozměry vodiče a permeabilitou prostředí. Jednotkou indukčnosti je

henry (H): [ ] [ ][ ]

LI

= = =Φ 1Wb

1A1 H.

Např. pro indukčnost solenoidu platí: == Il

SNI SlNN=N B SΦ

2= μμ L I,

tedy L N Sl

= μ2

,

kde N je počet závitů, S je obsah plochy ohraničené jedním závitem, l je délka solenoidu a μ je permeabilita látky uvnitř solenoidu.

Elektromagnetická indukce 185

Pro napětí indukované ve vodiči s indukčností L potom platí

( ) ( )´.=´ =dd = i LItΦ

tΦu −−−

Je-li indukčnost vodiče L = konst, tak ( ) ( )tILtIL LIu

dd =´= i −′−−= .

Střední hodnota indukovaného napětí za čas Δt je U L Iti = −

ΔΔ

.

Příklad. Jaké napětí se indukovalo ve vzduchové cívce o průřezu 10 cm2 a délce 250 mm, má-li 1500 závitů a proud v cívce se změnil o 3,0 A za 0,20 s?

Řešení. S = 10 cm2 = 1,0 ⋅ 10−3 m2, l = 250 mm = 0,25 m, N = 1500, ΔI = 3,0 A, Δt = 0,20 s, Ui = ?

Vlastní indukčnost cívky je .2

lSNL μ= Po dosazení

.H1011m 0,25

m100,1105,1AN10π4 3236

27 −−

− ⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= &L

Potom velikost indukovaného napětí bude U LIti ==

ΔΔ

& 0,17 V.

V cívce se indukovalo napětí 0,17 V.

4.5.3 Energie magnetického pole Když obvodem o odporu R, vlastní indukčností L = konst. a elektromotorickým napětím Ue prochází elektrický proud, kolem vodiče se vytvoří magnetické pole. Magnetické pole je forma hmoty, proto má energii. Energie magnetického pole se rovná práci, kterou vykoná zdroj na jeho vytvoření.

Po spojení obvodu proud okamžitě nebude mít ustálenou hodnotu I = Ue /R, ale jeho hodnota se bude postupně zvětšovat z nulové hodnoty na hodnotu I. V ob-

vodě vznikne indukované elektromotorické napětí tILU

dd

e −= . Podle 2. Kirch-

hoffova zákona platí U L Ite

dd

− = RI, resp. tILRIU

dd

e += .

Potom elektrický zdroj vykoná za dobu dt práci

+ d = d 2e tR ItIU L I dI.


Výraz R I 2 dt je Joulovo teplo spotřebované v obvodě za čas dt, výraz L I dI představuje přírůstek energie magnetického pole při změně proudu dI. Potom

energie magnetického pole bude E L I I L I I L II I

m d d= = =∫ ∫0 0

212

.

Poznámka. Uvedený výraz určuje energii magnetického pole vodiče s konstantní indukčností L. Není-li indukčnost vodiče konstantní, pro energii jeho magnetic-kého pole platí složitější vztahy. Uvedený vztah neplatí např. pro cívku s jádrem z feromagnetické látky, nebo permeabilita feromagnetické látky závisí na proudu procházejícího cívkou.

Příklad. V cívce bez jádra se indukuje napětí 0,50 V, změní-li se proud cívkou rovnoměrně o 2,0 A za 0,50 s. Jaká je energie magnetického pole cívky, při proudu 5,0 A?

Řešení. Ui = 0,50 V, ΔI = 2,0 A, Δt = 0,50 s, I = 5,0 A, Em = ?

Vlastní indukčnost cívky je LU t

I= =i Δ

Δ0,125 H = 125 mH. Potom energie její-

ho magnetického pole bude =⋅⋅== &22m A 25mH 0,125 5,0

21 ILE 1,6 J.

Energie magnetického pole cívky bude 1,6 J.

Úlohy 1. Obdélníkový závit o rozměrech 10 cm a 5,0 cm se v homogenním magnetic-

kém poli o indukci 0,60 T otáčí s frekvencí 20 Hz. Jaká je maximální hodno-ta indukovaného napětí? [0,38 V]

2. Jakou rychlostí se pohybuje vodič o délce 15 mm v homogenním magnetic-kém poli o indukci 1,2 T kolmo na indukční čáry (obr. 4.41), když se v něm indukuje napětí 36 mV? [2,0 m ⋅ s−1]

3. Letadlo má rozpětí křídel 60 m a pohybuje se rychlostí 1 000 km ⋅ h−1. Jaké napětí se indukuje na křídlech, když je svislá složka indukce magnetického pole Země 5 ⋅ 10−5 T? [0,83 V]

4. Jaká je vlastní indukčnost cívky, když při změně proudu o 10 A za 0,050 s se v ní indukuje napětí 5,0 V? [25 mH]

5. Vypočítejte vlastní indukčnost cívky bez jádra, která má 1 000 závitů, délku 20 cm a průměr závitů 2,0 cm. Jaká je energie magnetického pole cívky, když cívkou prochází proud 2,5 A? [2,0 mH, 6,2 mJ]

fyzika_ukazka

Documents