Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc1 von 141 by Urs Zger Akustische Grundlagen Zusammenfassung Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc2 von 141 by Urs Zger Inhaltsverzeichnis 1Akustische Grundlagen .................................................................................................... 8 1.1Grundgrssen.......................................................................................................... 8 1.1.1Schalldruck, Schallausschlag und Schallschnelle.................................................... 8 1.1.2Schallintensitt und Schallleistung....................................................................... 8 1.1.3Impedanz......................................................................................................... 9 1.1.4Schallfluss ........................................................................................................ 9 1.2Grundgleichungen .................................................................................................... 9 1.2.1Die Wellengleichung........................................................................................... 9 1.2.2Sinusfrmige Wellen ........................................................................................ 13 1.2.3Helmholtzgleichung ......................................................................................... 14 1.3Lsungen der Wellengleichung................................................................................. 14 1.3.1Ebene Wellen.................................................................................................. 14 1.3.2Kugelwellen .................................................................................................... 15 1.3.3Zylinderwellen................................................................................................. 16 1.4Schalldruck und Schallleistung einer Punktquelle........................................................ 16 1.5berlagerung von Punktquellen................................................................................ 16 1.5.1berlagerung von inkohrent strahlenden Punktquellen ....................................... 17 1.5.2berlagerung von kohrent strahlenden Punktquellen.......................................... 18 1.6Reflexion von Schallwellen an harten Begrenzungsflchen........................................... 19 1.6.1Spiegelnde Reflexion........................................................................................ 19 1.6.2Richtwirkung................................................................................................... 19 1.6.3Diffuse Reflexion ............................................................................................. 19 1.6.4Vergleich der Reflexionsstrke bei spiegelnder bzw. diffuser Reflexion.................... 19 1.7Dopplereffekt......................................................................................................... 21 1.8berschallknall ...................................................................................................... 22 1.9dB-Massstab.......................................................................................................... 22 1.9.1Pegelgrssen .................................................................................................. 22 1.9.2Konsequenzen des dB-Massstabes..................................................................... 23 1.9.3Feinheit der dB-Skala....................................................................................... 23 1.9.4Rechnen mit dB............................................................................................... 23 1.9.5Typische Schalldruckpegelwerte ........................................................................ 23 1.10Stehende Wellen.................................................................................................... 24 1.10.1Viertelwellenlngen-Resonatoren....................................................................... 24 1.11Schallfeldberechnungen .......................................................................................... 24 1.11.1Allgemeines Streuproblem................................................................................ 24 1.11.2Kirchhoff-Helmholtz Integral und Boundary Element Methode ............................... 25 1.11.3Anwendungen des Kirchhoff-Helmholtz-Integrals................................................. 26 1.11.4Methode der Finiten Differenzen........................................................................ 29 1.11.5Finite Elemente Verfahren ................................................................................ 29 1.11.6Akustische Holographie .................................................................................... 30 1.11.7Ersatzquellenmethode (equivalent source technique) ........................................... 30 1.11.8Reziprozittsprinzip ......................................................................................... 30 1.12Schallentstehung ................................................................................................... 30 1.12.1Entspannen komprimierter Luft ......................................................................... 30 1.12.2Pltzliche Gasproduktion (Explosion).................................................................. 31 1.12.3Modulierter Luftstrom ...................................................................................... 31 1.12.4Schwingende Luftsulen................................................................................... 31 1.12.5Schwingende Krper ........................................................................................ 31 1.12.6Thermoakustische Maschinen............................................................................ 32 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc3 von 141 by Urs Zger 2Absorption, Reflexion und Transmission........................................................................... 33 2.1Absorption und Reflexion ........................................................................................ 33 2.1.1Charakterisierung............................................................................................ 33 2.1.2Absorbertypen ................................................................................................ 33 2.1.3Messung der Absorption bzw. der Reflexion ........................................................ 37 2.1.4Berechnung der Absorption bzw. Reflexion aus der Impedanz ............................... 38 2.1.5Abdeckung porser Absorber ............................................................................ 39 2.2Transmission ......................................................................................................... 40 2.2.1Definition der Schalldmmung........................................................................... 40 2.2.2Schalldmmung einschaliger Bauteile................................................................. 41 2.2.3Schalldmmung zweischaliger Bauteile............................................................... 41 3Raumakustik ................................................................................................................ 42 3.1Raumakustik grosser Rume ................................................................................... 42 3.1.1Statistische Raumakustik.................................................................................. 42 3.1.2Geometrische Raumakustik............................................................................... 46 3.1.3Raumakustische Designkriterien........................................................................ 50 3.1.4Hilfsmittel im raumakustischen Entwurf.............................................................. 50 3.1.5Beispiele von unbercksichtigten Effekten .......................................................... 51 3.1.6Reflexion an gewlbten Strukturen, Strahlenakustik im Kreis ................................ 53 3.2Raumakustik kleiner Rume, Wellentheoretische Raumakustik..................................... 54 3.2.1Wellengleichung und Randbedingungen.............................................................. 54 3.2.2Lsung fr den Quaderraum mit harten Begrenzungsflchen................................. 55 3.2.3Quellen-Empfnger-bertragungsfunktion .......................................................... 57 3.2.4Akustischer Entwurf kleiner Rume.................................................................... 58 3.3Raumakustische Messungen .................................................................................... 61 4Schallausbreitung im Freien ........................................................................................... 62 4.1Grundgleichung...................................................................................................... 62 4.2Richtwirkung der Quelle.......................................................................................... 62 4.3Abschwchungsterme ............................................................................................. 63 4.3.1Geometrische Verdnnung................................................................................ 63 4.3.2Luftabsorption................................................................................................. 63 4.3.3Bodeneffekt .................................................................................................... 64 4.3.4Hindernisse..................................................................................................... 66 4.4Reflexionen ........................................................................................................... 67 4.5Meteorologische Einflsse........................................................................................ 68 4.5.1Temperaturschichtung der Atmosphre .............................................................. 68 4.5.2Wind.............................................................................................................. 69 4.5.3Turbulenz ....................................................................................................... 70 4.5.4SODAR........................................................................................................... 71 4.5.5Schallstrahlenverfolgung (ray tracing)................................................................ 71 5Messtechnik ................................................................................................................. 72 5.1Einleitung.............................................................................................................. 72 5.2Signalmerkmale..................................................................................................... 72 5.2.1bersicht........................................................................................................ 72 5.2.2Anwendungen der Messgrssen......................................................................... 73 5.3Filter .................................................................................................................... 73 5.3.1Bewertungsfilter .............................................................................................. 73 5.3.2Filter zur Frequenzanalyse................................................................................ 74 5.4Messgenauigkeit .................................................................................................... 75 5.4.1Freiheitsgrade eines bandbegrenzten, stochastischen Signals................................ 76 5.4.2Unsicherheit der Effektivwertbestimmung........................................................... 76 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc4 von 141 by Urs Zger 5.5Messgerterealisierungen........................................................................................ 77 5.5.1Akustisch-Elektrische Wandler, Mikrofone........................................................... 77 5.5.2Kalibratoren.................................................................................................... 78 5.5.3Schallpegelmesser ........................................................................................... 78 5.5.4Pegelschreiber ................................................................................................ 79 5.5.5Statistikanalysatoren ....................................................................................... 79 5.5.6Frequenzanalysatoren...................................................................................... 79 5.5.7Aufzeichnungsgerte........................................................................................ 79 5.6Spezielle Messaufgaben .......................................................................................... 79 5.6.1Intensittsmessgerte...................................................................................... 79 5.6.2Messung von bertragungssystemen (Systemidentifikation) ................................. 79 5.6.3Nachhallzeitmessungen.................................................................................... 81 5.7Grenzflchenmikrofonanordnung.............................................................................. 81 5.8Aussagekraft von akustischen Messungen ................................................................. 82 6Elektro-mechanische-akustische Analogien ...................................................................... 82 6.1Allgemeines........................................................................................................... 82 6.2Mechanische Systeme............................................................................................. 82 6.2.1Mechanische Beschreibungsgrssen................................................................... 82 6.2.2Mechanische Elemente ..................................................................................... 82 6.2.3Mechanische Resonanz Federpendel ................................................................ 83 6.3Akustische Systeme ............................................................................................... 84 6.3.1Akustische Beschreibungsgrssen...................................................................... 84 6.3.2Akustische Elemente........................................................................................ 84 6.4Analogien.............................................................................................................. 85 6.4.1Potenzial und Flussgrssen ............................................................................... 85 6.4.2Impedanzen ................................................................................................... 85 6.4.3Mechanische Elemente ..................................................................................... 85 6.4.4Akustische Elemente........................................................................................ 86 6.4.5Zusammenstellung .......................................................................................... 87 6.4.6Akustische Impedanzmessung........................................................................... 87 6.4.7Beispiele ........................................................................................................ 87 6.5Kopplung mechanischer, akustischer und elektrischer Systeme.................................... 88 6.5.1Schnittstellen.................................................................................................. 88 6.5.2Duale Umwandlung.......................................................................................... 89 7Mikrofone .................................................................................................................... 90 7.1Elektrostatisches Mikrofon....................................................................................... 90 7.1.1Funktionsweise ............................................................................................... 90 7.1.2Vollstndiges Ersatzschaltbild............................................................................ 91 7.1.3Vereinfachtes Ersatzschaltbild ........................................................................... 94 7.1.4Freifeld Druckkammermikrofone..................................................................... 95 7.1.5Speisung........................................................................................................ 95 7.2Elektrodynamisches Mikrofon................................................................................... 95 7.2.1Funktionsweise ............................................................................................... 95 7.2.2Vollstndiges Ersatzschaltbild............................................................................ 96 7.2.3Vereinfachte Ersatzschaltbilder fr verschiedene Frequenzbereiche........................ 97 7.3Mikrofonrichtcharakteristik ...................................................................................... 97 7.3.1Kugelmikrofon................................................................................................. 97 7.3.2Achtermikrofon ............................................................................................... 97 7.3.3Nierenmikrofon ............................................................................................... 98 7.3.4Mikrofone mit umschaltbarer Richtcharakteristik.................................................. 99 7.3.5Richtmikrofon ................................................................................................. 99 7.3.6Nahbesprechungseffekt, Proximity Effekt............................................................ 99 7.4Exotische Wandler.................................................................................................100 7.4.1Microflown.....................................................................................................100 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc5 von 141 by Urs Zger 7.5Mikrofonmesstechnik .............................................................................................100 7.5.1Frequenzgangmessungen ................................................................................100 7.5.2Richtcharakteristik..........................................................................................100 7.5.3Klirrfaktormessung .........................................................................................100 8Lautsprecher ...............................................................................................................101 8.1Wandlerprinzip......................................................................................................101 8.1.1Elektrodynamischer Wandler............................................................................101 8.1.2Elektrostatischer Wandler ................................................................................101 8.1.3Schallabstrahlung einer Membran.....................................................................101 8.2Elektrodynamischer Lautsprecher............................................................................102 8.2.1Funktionsweise ..............................................................................................102 8.2.2Ersatzschaltbild..............................................................................................103 8.2.3Einbau in ein Gehuse.....................................................................................104 8.2.4Thiele-Small-Parameter...................................................................................106 8.2.5Membranschnelle und Membranauslenkung .......................................................107 8.2.6Bassreflexgehuse..........................................................................................107 8.2.7Bandpassgehuse...........................................................................................107 8.2.8Rckkopplungen.............................................................................................108 8.2.9Digitales Equalizing.........................................................................................108 8.3Hornlautsprecher ..................................................................................................108 8.4Elektrostatischer Lautsprecher ................................................................................108 8.5Mehrwegsysteme ..................................................................................................109 8.6Richtcharakteristik ................................................................................................109 8.7Messungen an Lautsprecher ...................................................................................109 8.7.1Kumulatives Zerfallsspektrum..........................................................................109 8.8Spezielle Lautsprechertypen ...................................................................................109 8.8.1NXT Distributed Mode Lautsprecher.............................................................109 9Das Hren...................................................................................................................110 9.1Aufbau und Wirkungsweise des Gehrs ....................................................................110 9.2Eigenschaften des Gehrs bei stationren Signalen ...................................................111 9.2.1Lautstrke und Lautheit ..................................................................................111 9.2.2Zusammenhang zwischen dem Schalldruckpegel und der Lautstrke.....................111 9.2.3Frequenzauflsungsvermgen..........................................................................112 9.2.4Frequenzgruppen ...........................................................................................112 9.2.5Pegelauflsungsvermgen ...............................................................................112 9.2.6Verdeckung ...................................................................................................112 9.2.7Summenlautheit.............................................................................................113 9.2.8Residualhren ................................................................................................113 9.2.9Hren der Phase.............................................................................................113 9.2.10Rechen- und Messverfahren zur Bestimmung der Laustrke/Lautheit ....................113 9.2.11Nichtlineare Verzerrungen des Gehrs...............................................................113 9.3Eigenschaften des Gehrs bei nichtstationren Signalen.............................................114 9.3.1Lautstrke in Abhngigkeit der Signallnge........................................................114 9.3.2Zeitliche Verdeckung.......................................................................................114 9.3.3Rumliches Hren...........................................................................................114 9.3.4Richtungshren in der Horizontalebene .............................................................114 9.3.5Richtungshren in der Vertikalebene (Medianebene) ...........................................114 9.3.6Entfernungshren...........................................................................................114 9.3.7Echos (Przedenzeffekt, Haaseffekt) .................................................................115 9.4Gehrschdigung ..................................................................................................115 9.4.1Mechanismen.................................................................................................115 9.4.2Beurteilung der Gefahr einer Gehrgefhrdung ..................................................115 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc6 von 141 by Urs Zger 10Aufnahmetechnik .....................................................................................................116 10.1Stereoverfahren....................................................................................................116 10.1.1Intensittsstereophonie...................................................................................116 10.1.2Laufzeitstereophonie.......................................................................................117 10.1.3quivalenzstereophonie...................................................................................117 10.2Mikrofonaufstellung...............................................................................................117 10.3Charakteristika von Schallquellen............................................................................118 10.3.1Akustische Gitarre ..........................................................................................118 10.3.2Elektrische Gitarre..........................................................................................118 10.3.3Streicher .......................................................................................................118 10.3.4Flgel............................................................................................................118 10.3.5Blechblser....................................................................................................118 10.3.6Holzblser .....................................................................................................118 10.3.7Schlagzeug....................................................................................................118 10.4Surround Sound - Mehrkanalaufnahmen ..................................................................118 11Wiedergabetechnik ...................................................................................................119 11.1Stereolautsprecher ................................................................................................119 11.2Kopfhrer.............................................................................................................119 11.3Lautsprecherwiedergabe mit bersprechkompensation ..............................................120 11.4Raumsimulatoren..................................................................................................120 11.5Surround Sound....................................................................................................120 11.5.1Dolby Surround..............................................................................................120 11.5.2Dolby Surround Digital, SR.D, 5.1 ....................................................................121 11.6Hrbarkeit von bertragungsfehlern........................................................................122 11.6.1Verzerrungen des Amplitudenfrequenzganges ....................................................122 11.6.2Verzerrungen des Phasenganges ......................................................................122 11.6.3Nichtlineare Verzerrungen ...............................................................................122 11.6.4Strgerusche................................................................................................122 11.7Audiosignalverarbeitung.........................................................................................123 11.7.1Equalization...................................................................................................123 11.7.2Kompressoren, Limiter ....................................................................................123 11.7.3Noise Gates ...................................................................................................123 11.7.4Flanging........................................................................................................123 11.7.5Chorus ..........................................................................................................123 11.7.6Phasing.........................................................................................................123 11.7.7Leslie............................................................................................................123 11.7.8Pitch-Shift und Zeitskalierung ..........................................................................123 11.8Symmetrische Verbindungen ..................................................................................124 11.9Digitale Verbindungen, AES/EBU, SPDIF...................................................................124 12Beschallungstechnik..................................................................................................124 12.1Einfhrung ...........................................................................................................124 12.1.1Pegelbetrachtungen........................................................................................124 12.1.2Maximale Verstrkung.....................................................................................124 12.1.3Beispiele von Quellen mit ausgeprgter Richtwirkung..........................................125 12.1.4Rckkopplungsunterdrckung ..........................................................................125 12.2Sprachverstndlichkeit...........................................................................................126 12.2.1Speech Transmission Index .............................................................................126 12.2.2Zusammenhang zwischen Articulation Loss und RASTI ........................................126 12.2.3Deutlichkeitsgrad D50.....................................................................................126 12.3Ortung.................................................................................................................127 12.4Beschallungstypen ................................................................................................127 12.4.1Zentralbeschallung .........................................................................................127 12.4.2Portalbeschallung ...........................................................................................127 12.4.3Verteilte Systeme...........................................................................................127 12.4.4100V Technik oder Konstantspannungssysteme..................................................127 12.4.5Induktionsschleifen.........................................................................................128 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc7 von 141 by Urs Zger 13Tontrger ................................................................................................................128 13.1Schallplatten ........................................................................................................128 13.2Lichttonverfahren..................................................................................................128 13.3Tonband (analog)..................................................................................................128 13.3.1Dolby Rausch-Unterdrckungssystem ...............................................................129 13.4Compact Disc .......................................................................................................129 13.5R-DAT-Recorder....................................................................................................130 13.6Perceptual Coding .................................................................................................130 13.7DVD Audio und Super Audio CD..............................................................................130 13.7.1DVD Audio.....................................................................................................130 13.7.2Super Audio CD..............................................................................................130 13.8Wasserzeichen in Audiosignalen..............................................................................130 14Lrmbekmpfung .....................................................................................................131 14.1Einleitung - was ist Lrm? ......................................................................................131 14.2Lrmschutzverordnung ..........................................................................................132 14.2.1Grundlagen....................................................................................................132 14.2.2Beurteilungspegel ...........................................................................................132 14.2.3Empfindlichkeitsstufen ....................................................................................132 14.2.4Auflagen........................................................................................................133 14.2.5Wirtschaftliche Tragbarkeit und Verhltnismssigkeit ..........................................133 14.3Strassenverkehrslrm............................................................................................133 14.3.1Schallquellen .................................................................................................133 14.3.2Quellenmodell ................................................................................................134 14.3.3Steigungszuschlag..........................................................................................135 14.3.4Belagskorrektur..............................................................................................135 14.3.5Beurteilung....................................................................................................135 14.3.6Lrmbekmpfung ...........................................................................................136 14.4Eisenbahnlrm......................................................................................................136 14.4.1Schallquellen .................................................................................................136 14.4.2Quellenmodell ................................................................................................136 14.4.3Beurteilung....................................................................................................136 14.4.4Lrmbekmpfung ...........................................................................................137 14.5Lrm der Landesflughfen......................................................................................137 14.5.1Schallquellen .................................................................................................137 14.5.2Quellenmodell ................................................................................................138 14.5.3Beurteilung....................................................................................................138 14.5.4Lrmbekmpfung ...........................................................................................138 14.6Industrie- und Gewerbelrm...................................................................................139 14.7Schiesslrm..........................................................................................................140 14.7.1Schallquellen .................................................................................................140 14.7.2Quellenmodell ................................................................................................140 14.7.3Beurteilung....................................................................................................141 14.7.4Lrmbekmpfung ...........................................................................................141 15Modification Log .......................................................................................................141 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc8 von 141 by Urs Zger 1Akustische Grundlagen 1.1Grundgrssen 1.1.1Schalldruck, Schallausschlag und Schallschnelle Im Mittel betrgt der Luftdruck auf Meereshhe rund 1'000 hPa. Pro Meter Hhenunterschied verndert sich der Luftdruck um ca. 12 hPa. Schnelle Druckschwankungen, d.h. kurzzeitige nderungen des momentanen Absolutdrucks werden als Schalldruck bezeichnet. ( ) ( )ruheP t P t p = 1 Pa 1N/m2 Gl. 1.1 Lokal erzeugte Druckschwankungen breiten sich als Schallwellen fort. Im Gegensatz zu Wellen in festen Krpern sind Schallwellen immer Longitudinalwellen (Die Luftteilchen bewegen sich immer in Ausbreitungsrichtung). Schall ist kein Materietransport, sondern ein Energietransport. Die Luftteilchen bewegen sich bezglich einer festen Position hin- und her. Durch lokale Verdichtungen und Verdnnungen werden auf die Nachbarteilchen Krfte ausgebt, die diese wiederum zu Bewegungen veranlassen. Die Auslenkung der Luftteilchen gegenber der Ruheposition wird als Schallausschlag bezeichnet.Wenn die akustischen Verhltnisse in einem ausgedehnten, rumlichen Bereich betrachtet werden, spricht man von einem Schallfeld. Zur vollstndigen Beschreibung eines Schallfeldes ist nebst dem Schalldruck die Angabe der Schallschnelle erforderlich. Die Schallschnellevr ist eine vektorielle Grsse und gibt an, in welche Richtung (Ausbreitungsrichtung der Welle) und mit welcher Geschwindigkeit die Luftteilchen hin- und herschwingen.Der Betrag der Schallschnelle und der Schallausschlag sind ber folgende Gleichung verknpft: ( )dtdt v= [m/s]Gl. 1.2 1.1.2Schallintensitt und Schallleistung Der Energietransport einer Schallwelle kann durch die IntensittIr beschrieben werden. Sie gibt an, wieviel Energie pro Zeiteinheit, oder welche Leistung durch eine senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Schallschnellevektor)stehende Einheitsflche tritt. Die Intensitt ist ein Vektor, der in Richtung der Schnelle zeigt und einen Betrag gleich dem Produkt von Schalldruck und Schallschnelle (unter Bercksichtigung der Phase) aufweist. pv I = [W/m2]Gl. 1.3 ( pvbedeutet eine zeitliche Mittelung) Wenn die Intensitt bekannt ist, lsst sich die Leistung W, die durch eine Flche S hindurchtritt, durch folgendes Integral angeben: =SS d I Wr r[W]Gl. 1.4 In obiger Gleichung entspricht der Integrand dem Skalarprodukt zwischen dem IntensittsvektorIr und der Normalen des FlchenelementesS dr. Wenn die Flche S eine Schallquelle vollstndig umschliesst, wird W zur total von der Quelle abgestrahlten Leistung. p(t) : Schalldruck [Pa] P(t) : Momentaner Absolutdruck [Pa] Pruhe : Ruhedruck [Pa] Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc9 von 141 by Urs Zger Quelle:Schallleistung in Watt: Menschliche Stimme normal7 x 10-6 Menschliche Stimme maximal2 x 10-3 Geige, fortissimo1 x 10-3 Hifi-Lautsprecher (10 W el.)0.1 Presslufthammer1 Orgel, fortissimo10 Orchester (75 Personen)70 Flugzeug Boeing 7476000 1.1.3Impedanz Der Quotient aus Schalldruck und Schallschnelle wird als akustische Impedanz Z definiert. vpZ((= [Ns/m3] p(undv( sind komplexe Grssen. Gl. 1.5 1.1.4Schallfluss Bei der Behandlung von Schallabstrahlungsproblemen spielt der Schallfluss Q eine wichtige Rolle. Er gibt an, wieviel Schall durch eine Flche hindurchfliesst. Der Integrand entspricht dem Skalarprodukt zwischen der Schallschnellevr und der Normalen des FlchenelementesS dr. =SS d v QrrGl. 1.6 1.2Grundgleichungen 1.2.1Die Wellengleichung Die theoretische Beschreibung eines Schallfeldes erfolgt mittels den thermodynamischen Zustandsgleichungen und den hydrodynamischen Grundgleichungen. 1.2.1.1Herleitung der Wellengleichung Die Zustandsgleichung fr ideale Gase:nRT PV= Gl. 1.7 P : Absolutdruck [Pa]T : Temperatur [K]V : Volumen [m3]n : Anzahl Mol R : Molare universelle Gaskonstante = 8.314 [J/molK] Ideale Gase knnen ihren Zustand unter verschiedenen Randbedingungen ndern. Isotherme Zustandsnderung: Die Temperatur bleibt konstant. (Bsp. Mit Glaswolle geflltes Lautsprechergehuse) Adiabatische Zustandsnderung: Es erfolgt kein Wrmeaustausch mit der Umgebung. Eine Ausdehnung fhrt zu einer Druckabnahme und gleichzeitiger Abkhlung. Es gilt das Poissonsche Gesetz:. const PV = Gl. 1.8 P : Absolutdruck [Pa]V : Volumen [m3] : Adiabatenexponent (Luft = 1.4) Eine DrucknderungP hat immer eine VolumennderungV zur Folge: ( ) ( ) PV V V P P = + +Gl. 1.9 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc10 von 141 by Urs Zger Fr kleine nderungen von V kann eine Reihenentwicklung angesetzt werden und nach dem ersten Glied abgebrochen werden: ( )||

\| + = + +VVV V V V V V 11Gl. 1.10 Eingesetzt in Gl. 1.9: VVPPVVPP Gl. 1.11 Unter der Annahme von kleinen Grssen kann das ProduktV P vernachlssigt werden: VVPP Gl. 1.12 Eine nderung des Volumens V fhrt zu einer nderung der Dichte mV = Gl. 1.13 V : Volumen [m3]m : Masse [kg] : Dichte [kg/m3]( 1.2 kg/m3 fr Luft) Daraus folgt: p pmV V += + Gl. 1.14 Unter der Annahme, dass Beschleunigung in x-Richtung negativ) Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc11 von 141 by Urs Zger z p(x)p(x+dx) y x x x+dx Es gilt:( ) ( ) ( )tvSdxtvm x P dx x P Sx x = = + Gl. 1.18 Fr kleine dx gilt:( ) ( ) dxxPx P dx x P+ = + Gl. 1.19 Gl. 1.19 in Gl. 1.18 eingesetzt: tvxPx =Gl. 1.20 Da die Ableitung des Absolutdruckes P gleich der Ableitung des Schalldrucks ist gilt: tvxpx = Gl. 1.21 Gl. 1.21 gilt fr alle drei Raumrichtungen:( )tvp grad =r Gl. 1.22 Die dritte Grundgleichung ergibt sich aus der Massenerhaltung. z v(x)v(x+dx) y x x x+dx Die nderung der Masse des Volumenelementest m /entspricht dem Zu- bzw. Abfluss an den Querschnitten bei x und x+dx. Der Zu- bzw. Abfluss pro Zeiteinheit ist gegeben durch das Produkt Dichte mal Querschnittsflche mal Verschiebung pro Zeiteinheit. ( ) ( ) ( ) ( ) dx x v S dx x x v S xtm+ + = Gl. 1.23 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc12 von 141 by Urs Zger Durch( ) ( )xdx x dx x+ + und( ) ( )xvdx x v dx x v+ + unddx S m = wird Gl. 1.23 zu( ) ( )x xvdxxpx vxvxtp = Gl. 1.24 Durch ersetzen von( ) x durch 0und Vernachlssigung des zweiten und dritten Terms (Produkt kleiner Grssen) wird Gl. 1.24 zu: xvt =0 Gl. 1.25 Gl. 1.25 gilt fr alle drei Raumrichtungen:( ) v divzvyvxvtzyxr0 0 =|||

\|++= Gl. 1.26 Aus den oben abgeleiteten Beziehungen lsst sich die Wellengleichung entwickeln: tvxpx =0(Gl. 1.21)Gl. 1.27 t xvx = 0 (Gl. 1.25)Gl. 1.28 0 0 =Pp(Gl. 1.16) = 1.4 fr LuftGl. 1.29 Durch Einsetzen von Gl. 1.29 in Gl. 1.28 ergibt sich: tpxvPx=0 Gl. 1.30 Durch Differenzieren von Gl. 1.27 nach dem Ort und Gl. 1.30 nach der Zeit ergibt sich: tvxpx =0x tvxpx =2022 Gl. 1.31 tpxvPx=0 22 20tpt xvPx= Gl. 1.32 Und schliesslich zusammengefgt: 220022tpP xp=Gl. 1.33 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc13 von 141 by Urs Zger Die obige Wellengleichung stellt eine Beziehung her, zwischen den Ableitungen des Schalldrucks nach dem Ort und der Zeit.Bestimmung der Schallgeschwindigkeit c durch die Wellengleichung: 00Pc = [m/s]Gl. 1.34 Man beachte, dass c nahezu unabhngig von Druck und Dichte ist, da sich 00P weitgehend kompensieren. Auf dem Himalaja ist c gleich gross wie bei uns im Flachland, allerdings ist dort die Impedanz kleiner (Barometerformel), d.h. eine schwingende Flche vermag nicht den gleich grossen Schalldruck zu erzeugen. In drei Dimensionen ergibt sich die Wellengleichung fr den Schalldruck p zu: 22201tpcp= Gl. 1.35 p : dreidimensionaler Laplaceoperator=> 222222zpypxpp++= (kartesisch) Die Wellengleichung ist die Grundlage zur Beschreibung eines Schallfeldes. Sie muss fr jeden Punkt im Schallfeld erfllt sein. Die Behandlung eines konkreten Problems erfordert die Formulierung von Randbedingungen und die anschliessende Suche nach einem Schallfeld, das sowohl die Randbedingungen als auch die Wellengleichung erfllt. Bei der Anwendung der Wellengleichung muss immer bercksichtigt werden, dass diese unter Verwendung linearisierender Annahmen gefunden wurde. Fr grosse Schalldrucke bzw. Schallschnellen, gilt sie nicht mehr in dieser Form.Die Temperaturabhngigkeit der Schallgeschwindigkeit c und der Luftdichte 0lassen sich angenhert angeben zu: 2932 . 343Tc Gl. 1.36 T PT Paref000 Gl. 1.37 T : Temperatur [K]Pa : Atmosphrischer Luftdruck [Pa] T0 : 293 KP0 : 101325 Pa ref : 1.186 kg/m3 1.2.2Sinusfrmige Wellen Eine besondere Stellung nehmen Wellen ein, deren Zeitverlauf sinusfrmig ist. Solche Wellen sind durch ihre Frequenz f, ihre Kreisfrequenz oder ihre Periodendauer T charakterisiert. Tf1=[Hz]Gl. 1.38 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc14 von 141 by Urs Zger f 2 = [rad/s]Gl. 1.39 Ein fester Punkt auf einem sinusfrmigen Wellenzug wandert whrend T, um eine Wellenlnge in der Ausbreitungsrichtung. fccT = = [m]Gl. 1.40 Oft ist die Verwendung der Wellenzahl k ntzlich: 2= k Gl. 1.41 Die Wellenzahl k gibt an, wie viele Wellenlngenauf die Strecke 2entfallen. 1.2.3Helmholtzgleichung Wenn von harmonischen, d.h. im zeitlichen Verlauf sinusfrmigen Schwingungen ausgegangen wird, vereinfacht sich die Wellengleichung zur zeitfreien Helmholtzgleichung. Da in einem linearen System eine sinusfrmige Anregung, einen sinusfrmigen Verlauf der Schallfeldgrssen zur Folge hat, reduziert sich die Beschreibung des Schallfeldes auf die Angabe der Amplituden und der Phasen in allen Punkten. Dazu wird der Schalldruck p in der komplexen Schreibweise p als Produkt einer komplexen, ortsabhngigen Amplitudenfunktion( ) Ort p( und dem Schwingungsterm t je geschrieben.( ) ( )t je Ort p t Ort p(= , Gl. 1.42 Die Helmholtzgleichung lautet somit:022= + pcp( ( (dreidimensional)Gl. 1.43 Die komplexe Amplitudenfunktionp(ist nur noch eine Funktion des Ortes. 1.3Lsungen der Wellengleichung 1.3.1Ebene Wellen Beim einfachsten Wellentyp, der ebenen Welle, sind die Schallfeldgrssenp undvrnur von einer Koordinate abhngig. Bei angenommener Ausbreitung in x-Richtung weisen alle Punkte der y,z Ebene gleiche Werte vonp undvr auf. Entscheidend bei der ebenen Welle ist der Umstand, dass keine rumliche Divergenz auftritt. Eine ebene Welle wird durch eine unendlich grosse, schwingende Flche erzeugt. Ebene Wellen knnen auch in begrenzten Volumen entstehen. Die Lsungen der Wellengleichung mit nur einer rumlichen Koordinate 222 221tpc xp=Gl. 1.44 bilden das Set der mglichen Schalldruckverlufe. Alle Funktionen p(x,t) die die Gl. 1.44 erfllen haben die Form: ( ) ( ) x ct f t x p = , Gl. 1.45 (f steht fr eine beliebige Funktion) Das Minus-Zeichen im Argument steht fr eine Welle, die sich in positiver x-Richtung (nach rechts) ausbreitet, ein Plus-Zeichen im Argument bezeichnet eine sich in negativer x-Richtung (nach links) ausbreitende Welle. Die Schallschnelle lsst sich aus dem Schalldruck bestimmen. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc15 von 141 by Urs Zger ( )t jx xe v t x v(= , Gl. 1.46 xv(: komplexe, ortsabhngige Amplitudenfunktion der Schnellekomponenten in x-Richtung Bei der ebenen Welle sind Schalldruck und Schallschnelle in Phase (0), die Amplituden stehen im Verhltnis (Impedanz)c Z =0Gl. 1.47 zueinander. 1.3.2Kugelwellen Wellen, die sich von einem punktfrmigen Zentrum ausgehend kugelfrmig in alle Richtungen ausbreiten, werden als Kugelwellen bezeichnet. Das zweidimensionale Pendant dazu sind Wasserwellen, die von einer Strung ausgehen. Als Folge der Punktsymmetrie muss der Schalldruck und der Betrag der Schallschnelle auf einer Kugelschale konstant sein. Die Richtung der Schnelle zeigt radial nach aussen.Lsungsansatz der Wellengleichung fr Kugelwellen: ( )( ) t j kr je e prt r p + = 1, Gl. 1.48 Schallschnelle in radialer Richtung:( ) ( )|||

\|+ =r j ct r p t r vr 1 1, , Gl. 1.49 Impedanz der Kugelwelle ZK : jkrjkrc ZK+=1 Gl. 1.50 Man beachte, dass die Impedanz nicht mehr konstant ist. Fr grosse Abstnde (gemessen an der Wellenzahl k) geht die Impedanz der Kugelwelle in jene der ebenen Welle ber, fr kleiner werdende Abstnde fllt sowohl der Real- als auch der Imaginrteil ab. Die Idealvorstellung einer Quelle, die Kugelwellen abstrahlt, ist eine im Vergleich zur Wellenlnge sehr kleine pulsierende Kugel. Eine Kugel mit Radius r0 und Oberflchenschnelle in radialer Richtung vr erzeugt einen Schallfluss (Volumenfluss) Q von: rv rr Q204 = Gl. 1.51 Der Schalldruck auf der Kugeloberflche wird mit Gl. 1.50 unter der Voraussetzung kr0 B) lsst sich in drei Bereiche unterteilen: Ba |||

\|LeistungXLeistungY10log 10[dB] Es hat sich eingebrgert, die akustischen Grssen Schalldruck, Intensitt und Leistung im dB-Massstab darzustellen. Der Grund liegt einerseits in der sehr grossen Spanne von auftretenden Werten und andererseits in der Tatsache, dass die Empfindung des Gehrs in etwa logarithmisch verluft. Es ist zu beachten, dass die Bel-Skala leistungsproportionale Grssen erfordert. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc23 von 141 by Urs Zger 1.9.1.1Schalldruckpegel Lp Fr den Schalldruck wird mit p0= 2 x 10-5 Pa jene Bezugsgrsse gewhlt, die bei 1 kHz ungefhr der Hrschwelle entspricht. 2010log 10|||

\|=ppLeffp [dB]Gl. 1.75 1.9.1.2Schallintensittspegel LI |||

\|=010log 10IILI[dB]Gl. 1.76 I0 = 10-12 W/m2 1.9.1.3Schallleistungspegel LW |||

\|=010log 10WWLW[dB]Gl. 1.77 W0 = 10-12 W 1.9.2Konsequenzen des dB-Massstabes Die Verwendung des dB-Massstabes hat zur Folge, dass der Hrbereich auf 0 120dB Schalldruckpegel abgebildet wird, wobei ein fester dB-Schritt in etwa einem gleichbleibenden Empfindungsschritt entspricht. berdies wird eine Multiplikation von physikalischen Grssen im dB-Massstab zu einer Addition. 1.9.3Feinheit der dB-Skala Schallpegelnderung:Wahrnehmung: < 2 dBNicht wahrnehmbar 2 4 dBGerade wahrnehmbar 5 10dBDeutlich wahrnehmbar > 10dBberzeugende nderung 1.9.4Rechnen mit dB Bei kohrenten Signalen berlagert sich der Schalldruck (+6dB), bei inkohrenten Signalen addiert sich die Leistung (+3dB). 1.9.5Typische Schalldruckpegelwerte Schallquelle:Schalldruckpegel: Weckerticken in 0.5m30 dB Sprache in 2m60 dB Strassenverkehr in 10m (1000 Fz/h, 80km/h)70 dB Dsenflugzeug in 100m120 dB Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc24 von 141 by Urs Zger 1.10Stehende Wellen Die berlagerung von zwei sich gegenlufig, ausbreitenden, ebenen Wellen mit sinusfrmigem Zeitverlauf, fhrt unter der Voraussetzung gleicher Frequenz und gleicher Amplitude zur Ausbildung einer sogenannten stehenden Welle. Welle 1:( )( ) kx t je p t x p = ,1Gl. 1.78 Welle 2: ( )( ) kx t je p t x p+ = ,2 Gl. 1.79 Summe:( ) ( ) kx e p t x pt jtotcos 2 , = Gl. 1.80 Das Ergebnis zeigt, dass es sich hier nicht mehr um eine fortschreitende Welle handelt. Es ist vielmehr eine harmonische Schwingung die rtlich mit cos(kx) moduliert ist. Das bedeutet, es ergeben sich rtlich feststehende Maxima (Buche) und Minima (Knoten). 1.10.1Viertelwellenlngen-Resonatoren Ein Beispiel zur Anwendung von stehenden Wellen sind die /4-Resonatoren. Wenn die Schallwellenlnge gerade viermal so gross ist wie das Rohr lang ist, bildet sich am offenen Rohrende ein Schalldruckknoten aus. Da das von einer Quelle erzeugte ussere Schallfeld in der Rohrffnung einen endlichen Druck vorgibt, und der Schalldruck kontinuierlich ist, muss sich das Schalldruckmaximum am geschlossenen Rohrende um den angesprochenen Faktor erhhen. Wenn am geschlossenen Rohrende ein auf den Schalldruck reagierendes Mikrofon plaziert wird, kann fr die Resonanzfrequenz fres,i eine massive Empfindlichkeitssteigerung erreicht werden. Lc ifi res=41 2,Gl. 1.81 i : 1, 2, 3, 4, 5, .......c : Schallgeschwindigkeit [m/s]L : Rohrlnge [m] 1.11Schallfeldberechnungen Schallfeldberechnungen bestehen im Allgemeinen in der Suche nach der Orts-Zeit-Abhngigkeit der interessierenden Schallfeldgrsse, die sowohl die Wellengleichung als auch die Randbedingungen erfllt. Oft wird nicht direkt im Zeitbereich gearbeitet, sondern man beschrnkt sich auf die Lsung fr eine Frequenz. In diesem Fall lsst sich die Helmholtzgleichung anstelle der Wellengleichung verwenden. Zwei der wichtigsten Fragestellungen fr Schallfeldberechnungen sind die Abstrahlung von schwingenden Krpern und die Streuung bzw. Reflexion an Objekten.1.11.1Allgemeines Streuproblem Beim allgemeinen Streuproblem wird das resultierende Schallfeld gesucht, wenn die von einer Quelle ausgehende Welle an einem Objekt gestreut bzw. reflektiert wird. Wenn die Schallwellenlnge grsser als die Abmessung des Objekts ist, spricht man meist von Streuung, im anderen Fall von Reflexion. Das Objekt manifestiert sich durch die Definition einer Randbedingung auf der Oberflche. Im einfachsten Fall, der schallharten Oberflche, ergibt sich die Randbedingung zu 0 =nvoder0 =np vn : Schallschnellekomponente senkrecht zur Oberflche np: Ableitung der Schalldruck-Ortsfunktion in Richtung senkrecht zur Oberflche. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc25 von 141 by Urs Zger Das resultierende Schallfeld muss ausserhalb des Objektes die Helmholtzgleichung erfllen. Das resultierende Schallfeld lsst sich in eine einfallende ep( und eine gestreute sp( Komponente auftrennen. s ep p p( ( (+ = Gl. 1.82 Die einfallende Komponente ist in der Regel bekannt (Abstandsgesetz). Die Helmholtzgleichung muss fr das resultierende Schallfeld erfllt sein: ( ) ( ) 02= + + + s e s ep p k p p( ( ( (Gl. 1.83 Da die Helmholtzgleichung auch alleine fr die einfallende Welle erfllt sein muss, verbleibt: 02= + s sp k p( (Gl. 1.84 Der gestreute Anteil alleine muss also ebenfalls die Helmholtzgleichung erfllen und berdies dafr sorgen, dass auf der Oberflche eines harten Streuobjektes die Normalkomponente der Schallschnelle verschwindet. Wenn e nv,( die Normalkomponente der einfallenden Welle am Ort der Streuobjektoberflche bezeichnet, muss e n s nv v, ,( ( =gelten. Diese Bedingung lsst sich in den Schalldruck bersetzen zu: ( )e nsv jnp,(( =Gl. 1.85 1.11.2Kirchhoff-Helmholtz Integral und Boundary Element Methode Die Helmholtzgleichung kann mit Hilfe des Greenschen Satzes in eine Integralgleichung, das sog. Kirchhoff-Helmholtz-Integral umgeformt werden: ( ) ( ) ( )||||

\| + = Scr jScr jSdSrenprev j z y x p ( ( (041, , , Gl. 1.86 Die komplexe Amplitudenfunktion kann damit an jedem beliebigen Aufpunkt berechnet werden, wenn die Normalkomponente der Schnelle und des Schalldrucks auf einer den Aufpunkt umhllenden Randflche S bekannt ist. R ist der Abstand vom Aufpunkt zum jeweiligen Flchenelement dS,n /bedeutet die Ableitung in Richtung senkrecht zur Randflche. Es lsst sich zeigen, dass das Integral fr einen Punkt auf der Randflche S auf einen Wert von2 / p( fhrt. Mit dem Kirchhoff-Helmholtz-Integral knnen typische Abstrahlprobleme von schwingenden Krpern gelst werden. Dabei wird die Normalenrichtung vom Krper gesehen nach aussen angenommen. Dann fhrt obige Gleichung aufp(ausserhalb des Krpers, auf2 / p(fr Punkte auf der Krperoberflche und zu 0, fr Punkte im Krperinnern. Die Behandlung des Abstrahlproblems gliedert sich in zwei Schritte: - Zuerst muss mit obiger Gleichung auf Grund der gegebenen Schnelleverteilung der Schalldruck Sp( auf der Krperoberflche bestimmt werden. - Im zweiten Schritt kann mit obiger Gleichung dann der Schalldruck im gewnschten Aufpunkt berechnet werden. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc26 von 141 by Urs Zger Die numerische Implementierung dieses Verfahrens wird Randelementmethode oder Boundary Element Method genannt. Dazu wird die Oberflche des strahlenden Krpers durch die Wahl eines geeigneten Gitters in n Teilflchen diskretisiert und angenommen, dass die Schallfeldgrssen innerhalb einer Masche konstant sind. Fr jeden Gitterpunkt lsst sich dann das Integral aufstellen, womit sich ein Gleichungssystem mit n Unbekannten ergibt. 1.11.3Anwendungen des Kirchhoff-Helmholtz-Integrals 1.11.3.1Abstrahlung eines von einer-ausgedehnten Wand umgebenen, ebenen Kolbens, Rayleigh Integral Die Wand ist als Reflektor zu betrachten. Das Problem kann in eine quivalente Anordnung verwandelt werden, indem die Wand eliminiert wird, dafr aber eine Spiegelquelle eingefhrt wird. Die verbleibende Beziehung wird Rayleigh-Integral genannt: ( ) ( ) =SjkrndSrey x vjz y x p , ,2, , ,0( (Gl. 1.87 1.11.3.2Kirchhoffsche Nherung zur Behandlung von Beugungsproblemen Eine Welle treffe auf eine ffnung (Blende) S in einem unendlich-ausgedehnten Schirm. Wenn die Normalkomponente( ) y x vn,( in der ffnung bekannt ist, lst sich das Problem mit dem Rayleigh-Integral von oben. Die kirchhoffsche Nherung besteht nun darin, fr die Schallschnelle in der ffnung die Werte der ungestrten einfallenden Welle anzunehmen. Diese Annahme ist umso kritischer, je kleiner die ffnung im Vergleich zur Wellenlnge ist. 1.11.3.3Kirchhoffsche Nherung zur Behandlung von Streuproblemen an Schirmen Das von einem Schirm gestreute bzw. reflektierte Schallfeld lsst sich ebenfalls mit dem Kirchhoff-Helmholtz-Integral bestimmen. Ein harter Krper fhrt die Randbedingung ein, dass die Normalkomponente der Schnelle verschwindet. Die Kirchhoffsche Nherung fr den Schalldruck besteht in der Annahme, dass er sich auf der Quellenseite verdoppelt und in der Schattenzone verschwindet. Der Schalldruck des Streuanteils auf dem Schirm muss auf der Quellenseite dem Schalldruck der einfallenden Welle, auf der Schattenseite dem Schalldruck der einfallenden Welle mit umgekehrten Vorzeichen entsprechen. Damit kann der gestreute bzw. reflektierte Schalldruck an einem beliebigen Empfangspunkt mittels des Kirchhoff-Helmholtz-Integrals gefunden werden, wobei ber die gesamte Oberflche des Schirms, unter Verwendung der Streukomponenten der Schnelle bzw. des Schalldrucks, integriert werden muss. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc27 von 141 by Urs Zger einfallende Welle p,v pSSvpSSr vSSvvSSr Empfangspunkt Der gestreute Schalldruck am Empfangspunkt ergibt sich nach dem Kirchhoff-Helmholtz-Integral zu: ( ) ( ) ( )||||

\| + = Scr jSScr jSS streudSrenprev j z y x p ( ( (041, , , Gl. 1.88 Da vSSv und vSSr den gleichen Betrag mit umgekehrtem Vorzeichen aufweisen, heben sich jeweils die Schnellebeitrge der Vorder- und der Rckseite bei der Integration auf. Da pSSv und pSSr gleichen Betrag aber umgekehrtes Vorzeichen aufweisen, ergibt sich eine konstruktive Aufsummation. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc28 von 141 by Urs Zger 1.11.3.4Huygensche Elementarquellen und fresnelsche Zonenkonstruktion Das Rayleigh-Integral kann physikalisch als phasenrichtige Aufsummation der Beitrge von Elementarquellen, die ber die Integrationsflche S verteilt sind, interpretiert werden.Die Betrachtungsweise beschrnkt sich auf harmonische Vorgnge. Die Auswertung des Rayleigh-Integrals lsst sich stark vereinfachen, wenn die Flche S in Zonen gleicher Phasenklassen 180 zusammengefasst werden (Fresnelzonen). Eine Fresnelzone umfasst alle Elementarquellen auf S fr die gilt, dass ihr Beitrag mit einer Phasenverschiebung innerhalb von 180 am Empfangspunkt ankommt. Die Beitrge der einzelnen Zonen zum totalen Schalldruck im Aufpunkt sind proportional zu ihrer Flche und haben alternierendes Vorzeichen. Wenn durch eine Blende dafr gesorgt wird, dass gerade eine Fresnelzone die ffnung ausfllt, wird eine Erhhung des Schalldrucks um 6 dB gegenber der ungestrten Ausbreitung erreicht. 1.11.3.5Interpretation der Fernfeld-Abstrahlcharakteristik eines ebenen Strahlers in der unendlichen- Wand durch die Fouriertransformierte der rtlichen Schnelleverteilung Der Schalldruck in einem Raumpunkt, der von einer Flche in einer unendlichen Wand mit beliebiger Schnelle-verteilung erzeugt wird, lsst sich wie oben gesehenmit dem Rayleigh-Integral finden. Die im Allgemeinen unbersichtliche Integration ber die Strahlerflche lsst sich fr das Fernfeld anschaulicher interpretieren. Dazu wird angenommen, dass der Empfangspunkt P durch die kartesischen Koordinaten xP, yP, und zP gegeben sei, der jeweilige Quellenpunkt auf der Strahleroberflche ist durch xQ und yQ bezeichnet. Das Koordinatensystem ist so gelegt, dass die Strahlerflche in der xy-Ebene liegt und der Ursprung in der Mitte des Strahlers liegt. Dann wird p gemss Kirchhoff-Helmholtz-Integral zu: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )Q QSP Q P Q Pz y y x x jkQ Q n P P Pdy dxz y y x xey x vjz y x pP Q P Q P+ + =+ + 2 2 202 2 2,2, ,( (Gl. 1.89 Der Nenner im obigen Integral wirkt als Amplitudenskalierung. Fr grosse Abstnde des Empfangspunktes P im Vergleich zur Strahlerausdehnung, kann dieser als konstant angenhert und aus dem Integral herausgezogen werden. ( )122 2 jkrcr je e= ( ) ( ) ( ) |||

\| + + =SjkrSjkrSdS erjkrprev j z y x p cos141, , ,20( ( (Gl. 1.92 Der Integrand setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der erste Summand entspricht dem von Monopolquellen herrhrenden Schalldruck (winkelunabhngige Abstrahlung). Der zweite Summand entspricht dem Beitrag einer Dipolquelle, wobei die Dipolachse in Richtung der Flchennormalen zeigt. Die Strke der Monopolquellen ist durch die Normalkomponente der Oberflchenschnelle, die Strke der Dipolquellen durch den Schalldruck auf der Oberflche gegeben. Damit ist die mathematische Grundlage gegeben, mittels eines Arrays von Monopol- und Dipolquellen verteilt ber eine geschlossene Oberflche, ein Schallfeld sowohl in der Zeit als auch im Raum beliebig zu generieren. 1.11.4Methode der Finiten Differenzen Die Finite Differenzen Methode ist ein verbreitetes Verfahren zur Lsung partieller Differentialgleichungen. Dabei wird eine rumlich gengend feine Diskretisierung des interessierenden Bereichs vorgenommen. Die das System beschreibenden Differentialgleichungen werden durch lineare Gleichungen fr eine Feldgrsse in den Gitterpunkten ausgedrckt. Dabei bersetzen sich Ableitungen in Differenzen. Das aufzustellende Gleichungssystem verwendet als Unbekannte die Amplituden und Phasen der interessierenden Schallfeldgrsse in jedem Gitterpunkt. Unter Bercksichtigung der Tatsache, dass die Gittermaschenweite feiner als etwa 1/6 der Wellenlnge gewhlt werden muss, wird klar, dass diese Methode nur auf kleine Volumina bzw. tiefe Frequenzen anwendbar ist. 1.11.5Finite Elemente Verfahren Dieses Verfahren lsst sich ohne weiteres auf begrenzte Bereiche anwenden. blicherweise wird via Helmholtzgleichung im Frequenzbereich gearbeitet. Fr die folgende Beschreibung des Finite Elemente Verfahrens wird von einer allgemeinen, abgeschlossenen, 3-dimensionalen Schallfeldsituation ausgegangen. Die interessierende Schallfeldgrsse sei der Schalldruck. Es wird ein harmonischer (sinusfrmiger Zeitverlauf) mit der Kreisfrequenz angenommen. Damit reduziert sich die Fragestellung auf das Auffinden der komplexen Amplitudenfunktionp(in Funktion des Ortes. Die Problemstellung ist durch die Helmholtzgleichung und drei mgliche Randbedingungen gegeben. Mit dem Finite Elemente Verfahren wird eine approximative Lsung ' p( fr den wahren Schalldruck p(gesucht. Die Gte oder Qualitt der Lsung wird anhand der Residuen gemessen.Sie stellen die Differenz zwischen dem Ist- und Sollwert gemss bestimmten Gleichungen dar. Gemss dem Prinzip der gewichteten Residuen wird jene approximative Lsung' p( fr das Schallfeld bestimmt, die im gewichteten Mittel die Summe der Residuen zu Null macht. An dieser Stelle erfolgt der Diskretisierungsschritt. Dazu wird der Ganze zu untersuchende Feldbereich in Elemente unterteilt. Diese Elemente knnen unterschiedliche Grssen und Formen aufweisen. Dadurch ist eine optimale Anpassung an die Problemstellung mglich. Diese Flexibilitt ist ein wesentlicher Vorteil gegenber dem Verfahren mit Finiten Differenzen. Ein Element wird durch Knoten definiert, die typischerweise die Eckpunkte markieren (lineare Elemente). Fr jedes Element werden M sogenannte Interpolations- bzw. Formfunktionen Ni bestimmt, wobei M der Anzahl der Knoten des Elementes entspricht. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc30 von 141 by Urs Zger Die Interpolationsfunktionen Ni sind Funktionen des Ortes und beschreiben die Feldgrsse ' p( innerhalb des Elementes anhand der Werte in den Knoten. Ausserhalb ihres Elementes haben die Ni den Wert 0. In dieser Phase liegen nun Gleichungen vor, die je nur die Information eines isolierten Elementes beinhalten. In einem sogenannten Assemblierungsschritt werden diese Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammengefasst, wobei die Tatsache bercksichtigt wird, dass gewisse Elemente gemeinsame Knoten aufweisen.Durch diesen Schritt wird die Information der ganzen Feldgeometrie miteinbezogen. Das resultierende Gleichungssystem wird schliesslich nach der interessierenden Grsse aufgelst. Im Gegensatz zur Boundary Element Method ist es mit finiten Elementen mglich, lokal ndernde Mediumseigenschaften durch Vorgabe einer ortsabhngigen Schallgeschwindigkeit und Dichte zu bercksichtigen. 1.11.6Akustische Holographie In der praktischen Anwendung der akustischen Holographie, wird der Schalldruck in einem ebenen Raster nach Betrag und Phase bestimmt. Die Abtastflche muss dabei so gross sein, dass der Schalldruck ausserhalb zu Null angenommen werden kann. Die Abtastung kann mit einem einzigen Mikrofon erfolgen, das der Reihe nach ber die Rasterpunkte verschoben wird. In diesem Fall muss eine Referenz verwendet werden, um die Phaseninformation zu erhalten. Diese Referenz kann entfallen, wenn an allen Rasterpunkten synchron mit einem Mikrofonarray gemessen wird. Fr jeden Punkt wird dann das Spektrum ermittelt. 1.11.7Ersatzquellenmethode (equivalent source technique) Es wird von einer allgemeinen Situation ausgegangen mit einer Quelle und beliebigen Raumbegrenzungen. Die Raumbegrenzungen sind durch die Geometrie und die Impedanz auf der Oberflche gegeben und stellen die Randbedingungen der Situation dar. Die Idee der Ersatzquellenmethode besteht darin, die Wirkung der Raumbegrenzungsflchen durch weitere Quellen zu ersetzen. Um die Ersatzquellen optimal zu konfigurieren, werden die Raumbegrenzungen diskretisiert und in jedem Punkt der Fehler bestimmt.1.11.8Reziprozittsprinzip Im homogenen, ruhenden Medium gilt fr die akustischen Grssen wie Schalldruck oder Schallschnelle das sogenannte Reziprozittsprinzip. Es besagt, dass die von einer Punktquelle ausgehende Wirkung an einem Empfangspunkt genau gleich ist, wenn Quelle und Empfnger vertauscht werden. Im freien Schallfeld ist die Gltigkeit dieses Prinzips offensichtlich. Es bleibt aber auch dann noch gltig, wenn beliebige Raumbegrenzungen hinzukommen (Schallstrahlumkehr). 1.12Schallentstehung Schalldruck kann als Wechselsignalkomponente des momentanen Luftdrucks aufgefasst werden. Die Entstehung von Schalldruck setzt damit in irgendeiner Form, eine zeitlich vernderliche Anregung voraus. Mglichkeiten: - pltzliches Entspannen komprimierter Luft (berstender Ballon) - pltzliche Gasproduktion (Explosion) - modulierter Luftstrom (Sirene) - schwingende Luftsule (Orgelpfeife) - schwingender Krper (Stimmgabel) - pltzliche lokale Lufterwrmung (Blitz und Donner) 1.12.1Entspannen komprimierter Luft Ein aufgeblasener Ballon stellt ein Volumen erhhten Drucks dar. Beim pltzlichen Bersten, kann sich dieser berdruck nach allen Seiten hin ausbreiten. Dabei werden hohe Spitzenpegel von ber 125dB in 1m Abstand erreicht. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc31 von 141 by Urs Zger 1.12.2Pltzliche Gasproduktion (Explosion) Der Mndungsknall einer Schusswaffe ist das Ergebnis einer pltzlichen Gasproduktion. Ein weiteres Beispiel ist der Airbag. 1.12.3Modulierter Luftstrom Die bekannteste Anwendung ist die Sirene. In der einfachsten Form besteht die Sirene aus einer drehbaren, gelochten Scheibe, die den Durchlass eines Luftstroms steuert. Durch die Drehzahl und die Anzahl Lcher im Umfang, ergibt sich die Frequenz oder Tonhhe. 1.12.4Schwingende Luftsulen Die Luft in einem Rohr stellt ein Resonanzsystem dar, das zur Erzeugung von Tnen verwendet werden kann. Im Falle der Orgelpfeife wird die eine Seite des Rohrs angeregt, d.h. mit Energie zur Aufrechterhaltung der Schwingung versorgt, whrenddem die andere Seite des Rohrs mit einer bestimmten Impedanz abgeschlossen wird.Es knnen zwei wichtige Flle bezglich des Rohrabschlusses unterschieden werden: - geschlossenes EndeZL =- offenes EndeZL = Strahlungsimpedanz der ffnung Im Falle des geschlossenen Endes wird die Eingangsimpedanz:( ) kL c j ZINcot = L: Rohrlnge [m] Im Falle des offenen Endes wird die Eingangsimpedanz: ( ) kL c j ZINtan = Bei hheren Frequenzen kann ZL nicht mehr vernachlssigt werden. Die Wirkung kann durch eine Endkorrektur modeliert werden. Orgelpfeifen erzeugen durch das Anblasen ber eine Schneide am Anregungsende eine grosse Schallschnelle bei kleinem Schalldruck. Die Pfeife ist dann in Resonanz, wenn die Rhre diese Situation untersttzt, d.h. ZIN = 0 ist. Frequenzen bei denen Resonanz entsteht: Geschlossenes Ende: ( ) ( ) ( ) ,... 2 , 1 ,21 221 2 0 cot = = = = nLcn n kL kLfr den Grundmode n = 1 gilt: 4= L Offenes Ende: ( ) ,... 2 , 1 , 0 tan = = = = nLcn n kL kL fr den Grundmode n = 1 gilt: 2= L1.12.5Schwingende Krper Wenn die Normalkomponente der Oberflchenschallschnelle einer Struktur bekannt ist, kann beispielsweise durch Anwendung der Boundary Element Methode der dadurch erzeugte Schalldruck an einem beliebigen Punkt bestimmt werden. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc32 von 141 by Urs Zger 1.12.5.1Saiten Die Saite allein ist als Folge der sehr geringen Querschnittsabmessungen ein schlechter Strahler (Akustischer Kurzschluss). Zur besseren Abstrahlung werden bei Musikinstrumenten die Saitenschwingungen durch einen Steg auf grssere Flchen bzw. Stege bertragen.Die beidseitig eingespannte Saite kann nur bei diskreten Frequenzen schwingen. Zu jeder Frequenz gehrt eine Schwingungsverteilung (Mode) mit Schwingungsbuchen und knoten. Die Modenzahl n bezeichnet die Anzahl der Buche. Die Saite kann gleichzeitig in mehreren Moden schwingen. Welche Moden auftreten, hngt von der Anregung, d.h. vom Anfangszustand ab.1.12.5.2Stbe In Stben knnen verschiedene Schwingungsarten beobachtet werden:- longitudinal (in Stabrichtung) - transversal (senkrecht zum Stab) - verdrehend (Torsion) 1.12.5.3Membranen Unter Membranen sollen hier alle Arten von Folien verstanden werden, die allseitig fest eingespannt sind. Sie stellen quasi die zweidimensionale Erweiterung der Saiten dar. Die Moden sind jetzt durch ein Paar (m,n) von natrlichen Zahlen gegeben. 1.12.6Thermoakustische Maschinen Unter Glasblsern ist das Phnomen bekannt, dass mitunter bei der Erhitzung von Glasrhren an gewissen Stellen pltzlich ein Reinton entsteht. Einrichtungen mit denen dieser Effekt gezielt erzeugt werden kann, werden thermoakustische Maschinen genannt. Wie bereits erwhnt ist Schall ein adiabatischer Vorgang, d.h. im Normalfall variiert die Temperatur beim Durchgang mit einer Schallwelle entsprechend der Druckschwankung. Interessant ist der Fall der stehenden Welle.Dabei entsteht ein rtliches Pendeln von Luftpaketen, die sich beim Verschieben in die eine Richtung verdichten und damit erwrmen. Beim Verschieben in die andere Richtung verdnnen sie sich und khlen ab. Durch Anbringen eines richtig orientierten Temperaturgradienten kann dieses Pendeln angefacht bzw. verstrkt werden. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc33 von 141 by Urs Zger 2Absorption, Reflexion und Transmission Beim Auftreffen einer Schallwelle auf eine Begrenzungsflche wird nur ein Teil der Energie reflektiert.Der nichtreflektierte Schall gliedert sich in zwei Anteile: - Absorption (Energie wird in Wrme umgewandelt) - Transmission (Schall regt die Begrenzungsflche zu Schwingungen an => Schallabstrahlung auf der Rckseite) 2.1Absorption und Reflexion 2.1.1Charakterisierung Absorptionsgrad :Verhltnis der absorbierten Energie zur auftreffenden Energie Reflexionsfaktor R :Verhltnis der Schalldrucke der reflektierten Welle zur einfallenden Welle Energie de auftreffenEnergie e absorbiert= Welle de auftreffen k SchalldrucWelle te reflektier k SchalldrucR = Der Absorptionsgrad ist eine reelle Zahl im Bereich von 0 bis 1.Der Reflexionsfaktor ist komplex und beschreibt dadurch das Amplitudenverhltnis, sowie auch die Phase. 21 R = Gl. 2.1 (Annahme: Energie teilt sich nur in Reflexion und Absorption auf; keine Transmission!) 2.1.2Absorbertypen 2.1.2.1Porse Absorber Sie sind meistens aus Glas, organischen Fasern oder offenzelligen Schumen. Absorption wird durch zwei Hauptmechanismen erreicht: - Die Schallschnelle der auftreffenden Welle bewirkt ein Oszillieren der Luft in den Poren. Beim Umstrmen der Fasern entstehen infolge der Reibung Verluste. - Als Folge des Schalldrucks wird die Luft im Absorber komprimiert und expandiert. Durch den guten Wrmekontakt (grosse Oberflche) geht vor allem bei tiefen Frequenzen das adiabatische (Temp. steigt) in ein isothermes Verhalten(Temp. bleibt gleich) ber, mit entsprechender Umwandlung von akustischer in thermische Energie. 2.1.2.2Resonanzabsorber (Typ Helmholtz) Resonanzsysteme vom Typ Feder-Masse besitzen bei der Resonanzfrequenz eine relativ schmalbandige, hohe Absorption. Die Feder ist durch ein eingeschlossenes Luftvolumen realisiert, die Masse durch die beschleunigte Luft in einem Kanal. S l V Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc34 von 141 by Urs Zger Resonanzfrequenz f0 : 20msf = [Hz]Gl. 2.2 Mndungskorrektur fr den Anteil der mitschwingenden Mediumsmasse: ( ) S l l mkorr + =0 Gl. 2.3 (lkorr0.8 R;R=Radius der ffnung) s : Federsteife m : Masse (Luftmasse im Kolbenhals inkl. Anteil der mitschwingenden Mediumsmasse) S : Querschnittsflche l : Lnge des Kolbenhalses 0: Luftdichte Berechnung der Federsteife s: Kraft F auf den virtuellen Kolben im Hals (entspricht einem DruckP ): SFP = durch den Druck entsteht eine VolumennderungS l V = Eine kleine, relative Drucknderung fhrt zu einer relativen Volumennderung: VVPP =0=>VS lPSF = 0

VS PlF20 = 00Pc = => VSclF202 = VSc s202 = Gl. 2.4 Resonanzfrequenz f0 :( )korrl l VS cf+= 20Gl. 2.5 Die Kurve der Absorption (ber der Frequenz) weist lediglich eine schmalbandige Spitze auf. Durch Einbringen von Dmpfungsmaterial im Kolbenhals (Ort der grssten Schallschnelle), lsst sich die absorbierende Wirkung verbreitern. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc35 von 141 by Urs Zger Ausfhrungen von Helmholtzabsorbern: - Lochplattenschwinger: Die Lochplatte wird auf eine Schicht Dmpfungsmaterial aufgebracht. (Telefonkabine, Decke in der EA)Das Lochblech wird in definiertem Abstand vor der Begrenzungsflche montiert. - Mikroperforierte Absorber: Die Lcher sind kleiner als 1mm im Durchmesser. Es ist keine Bedmpfung mehr ntig, da bereits eine sehr hohe Reibung besteht (breitbandigere Wirkung). Die Absorption von solchen Absorbern lsst sich zuverlssig berechnen. Draufsicht: db Seitenansicht: Lochplatte t D Wand Berechnung: Die Impedanz an der Aussenseite der perforierten Platte entspricht der Addition der Impedanz der Lcher und der Impedanz des Luftpolsters. Die Impedanz ZLoch beschreibt als Realteil den Widerstand und als Imaginrteil die Masse der Luftsule. ||||||

\|+++ +|||

\|+ + =tdxt f jtxd xdtZLoch85 . 02911 28232132222 Gl. 2.6 x : = fd25 . 0 : Viskositt der Luft = 1.8 x 10-5 Nsm-2 t : Plattendicked : Lochdurchmesser : Dichte der Luftf : Frequenzc : Schallgeschwindigkeit Impedanz aller Lcher = ZLoch skaliert mit dem Flchenverhltnis der Lcher: ( )225 . 0 dbZ ZLoch alleLcher= Gl. 2.7 b : Abstand zwischen zwei Lchern Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc36 von 141 by Urs Zger Impedanz des Luftpolsters: ||

\| =cfDc j ZLPolster2cotGl. 2.8 cot : Cotangens-FunktionD : Wandabstand der Platte Impedanz der perforierten Platte vor der Wand: LPolster alleLcher totZ Z Z + = Gl. 2.9 Aus Ztot lsst sich der Absorptionskoeffizient bestimmen. (Z=p/v => Impedanz steigt => p sinkt, da sich die akustische Last vergrssert => steigt) 2.1.2.3Plattenabsorber Plattenabsorber sind eine weitere Ausfhrungsart von Feder-Masse Resonanzabsorbern. Die Schwingmasse ist durch die Masse einer dnnen Folie oder Platte realisiert. Die Feder ist durch die Federung des Luftpolsters zwischen Platte und Rckwand und die Elastizitt der gespannten Folie gegeben. (Passivmembran bei Lautsprechern) Plattenabsorber sind frequenzselektive Absorber. Resonanzfrequenz f0 : 2' '' '0msf = Gl. 2.10 2' '00wl mcf= Gl. 2.11

wlcs20' '= s : flchenbezogene Steife m : flchenbezogene Masselw : Abstand der Platte von der Wand

Durch Fllen des Luftvolumens mit einem porsen Absorber, kann die Absorption erhht werden und die Wirkung auf einen grsseren Frequenzbereich erweitert werden. Praxis: Fr breitbandige (ber 2 Oktaven) Wirkung => lw mglichst gross machen. Allerdings muss lw gegenber derWellenlnge 0bei Resonanz sehr klein sein. Bedingung 120 2111||

\|+ =nn Gl. 2.15 2.1.3.2Impedanzmessrohr Es ist hnlich aufgebaut wie das Kundtsche Rohr, jedoch tasten zwei Mikrofone den Schalldruck an zwei festen Punkten ab. Die Anregung erfolgt breitbandig mit Rauschen. (=> spektrale Aussage) Bei gegebener Geometrie lsst sich aus den komplexen bertragungsfunktion zwischen den beiden Mikrofonen, eine Auftrennung der einfallenden und der reflektierten Welle berechnen. ber den komplexen Reflexionsfaktor lassen sich dann die Impedanz, sowie auch der Absorptionsgrad bestimmen. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc38 von 141 by Urs Zger 2.1.3.3Hallraummethode Basiert auf den Auswirkungen der Absorption auf das Ausklingverhalten von Rumen. Wenn in einem Raum mit harten Wnden eine Quelle ausgeschaltet wird, so nimmt die Schallenergie nicht sofort ab. Sie pendelt eine gewisse Zeit im Raum hin und her. Die Nachhallzeit quantifiziert diese Zeit. Nachhallzeit T:Zeit welche vergeht, bis die Schallenergiedichte auf 10-6 (-60dB) des ursprnglichen Wertes zurck gegangen ist. Formel von Sabine:AVT16 . 0= [s]Gl. 2.16 V : Raumvolumen [m3]T : Nachhallzeit [s]A : Absorption im Raum [m3/s] Durch Messung der Nachhallzeit im leeren Raum und mit eingebrachter Materialprobe, lsst sich die ZunahmeA bestimmen. Absorptionsgrad der Materialprobe: SAs= Gl. 2.17 S : Flche des Absorbers [m2] Um die Messgenauigkeit zu steigern, werden fr die Messung spezielle Hallrume verwendet. (Reflektoren, harte Wnde) Die Messungen im Kundtschen Rohr und im Hallraum liefern nicht das gleiche Ergebnis, da im Kundtschen Rohr nur senkrechter Schalleinfall betrachtet wird. Weiter besitzt die Hallraummethode Beugungseffekte, welche den Absorber grsser erscheinen lassen, als er effektiv ist. 2.1.3.4in situ Impulsantwortmessung Durch eine geeignete Lautsprecher-Mikrofon-Anordnung, lsst sich in der Impulsantwort der Direktschall und die Reflexion vom Prfling, zeitlich getrennt sichtbar machen. (Geeignet fr grosse Strukturen) Unter Bercksichtigung der unterschiedlichen Abstnde kann aus der Impulsantwort auf den Reflexionsfaktor bzw. die Absorption geschlossen werden (Abfall der Impulsantwort; Je steiler, desto grsser ist ). 2.1.4Berechnung der Absorption bzw. Reflexion aus der Impedanz 2.1.4.1Senkrechter Einfall Ausgangslage: Medium mit Impedanz Z0, welches durch ein Medium mit Impedanz Z1 begrenzt wird. Eine ebene Welle breitet sich in Z0 aus und trifft auf den Impedanzsprung Z0-Z1. einfallende Welle: 0ZvpII= Gl. 2.18 reflektierte Welle: 0ZvpIIII= Gl. 2.19 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc39 von 141 by Urs Zger Auf der Oberflche des Begrenzungsmediums addieren sich Schalldruck und Schallschnelle: (p Skalar)(v Vektor) II Ip p p + =II Iv v v = => 1Zvp= Gl. 2.20 |||

\| = +0 01ZpZpZ p pII III IGl. 2.21

0 10 1Z ZZ ZRppIII+= = Gl. 2.22 R umso nher an 1, je grsser der Impedanzsprung von Z0 zu Z1 ist. Maximale Absorption, wenn Z1 = Z0 ist. Aus diesen Betrachtungen folgt: Minimale Dicke eines Absorbers: 4 der tiefsten zu absorbierenden Wellenlnge. (Schnellemaximum) 2.1.4.2Schrger Einfall Unterscheidung in lokal und lateral wirksame Absorber. lokal:Innerhalb des Absorbers nur Schallausbreitung senkrecht zur Flche. lateral:Innerhalb des Absorbers nur Schallausbreitung parallel zum Absorber ( )( ) coscos0101ZZZZRppIII+= = Gl. 2.23 : Winkel der Einfalls- bzw. Ausfallsrichtung gegenber der Normalen Im Grenzfall fr 90 geht1 Runabhngig von Z1, d.h. es findet totale Reflexion mit Phasenumkehr statt. 2.1.5Abdeckung porser Absorber Porse Absorber mssen geschtzt werden. Der Schutz muss schalldurchlssig sein, damit die Absorbereigenschaften erhalten bleiben. (Dann geeignet, wenn der Strmungswiderstand der Abdeckung kleiner ist, als der des Absorbers. => hoher Transmissionsgrad) Der Transmissionsgrad ist jedoch frequenzabhngig (Abnahme gegen hohe Frequenzen), da die Luftsulen in den ffnungen eine Masse darstellen und dadurch auch eine Trgheit besitzen. Die Trgheitskrfte nehmen mit zunehmender Frequenz (entsprechend der Beschleunigung) zu. (Schallschnelle steigt an bei hohen Frequenzen, da gleicher Weg in krzerer Zeit zurck gelegt werden muss (=p)) Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc40 von 141 by Urs Zger Wesentliche Parameter solcher Platten sind: - Lochflchenverhltnis (Verhltnis Lochflche zu Plattenflche) - Lochdurchmesser r- Plattendicke l Wirksame Plattendicke (inkl. Mndungskorrektur): l l l + = 2 * Gl. 2.24 Frequenz fr welche ein Transmissionsgrad von 0.5 resultiert: *15005 . 0lf Gl. 2.25 : Lochflchenverhltnis [%]* l: wirksame Plattendicke [mm] 2.2Transmission 2.2.1Definition der Schalldmmung Beim Auftreffen einer Welle wird ein Teil reflektiert, ein Teil absorbiert (direkt in Wrme umgewandelt) und ein Teil regt die Flche zum Schwingen an. Diese Schwingungen fhren auf der anderen Seite zu einer Schallabstrahlung (Schalldurchgang, Transmission). Die Fhigkeit der Begrenzungsflche, diesen Schalldurchgang zu unterdrcken, wird als Luftschalldmmung bezeichnet. Trennbauteil SenderaumEmpfangsraum Schalldmmmass R: |||

\|=21log 10PPR [dB]Gl. 2.26 |||

\|+ =22 1log 10ASL L R Gl. 2.27 P1 : Auf das Bauteil einfallende Leistung im Senderaum P2 : von der Bauteilrckseite in den Empfangsraum abgestrahlte Schallleistung L1 : Schalldruckpegel im Senderaum L2 : Schalldruckpegel im Empfangsraum S : Flche des Trennbauteils A2 : Absorption im Empfangsraum R ist unabhngig von der Flche. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc41 von 141 by Urs Zger 2.2.2Schalldmmung einschaliger Bauteile Die Schalldmmung von homogenen, dichten Platten hngt von der Frequenz und den folgenden Plattenparameter ab: - Dicke - Dichte - Elastizittsmodul Die Schalldmmung verluft prinzipiell nach folgendem Muster, mit den drei zu unterscheidenden Bereichen: RC A B

fd(Produkt: Frequenz x Plattendicke) A: MassegesetzB: Koinzidenz C: oberhalb Koinzidenz Bereich A: Fr tiefe Frequenzen folgt die Schalldmmung dem Massegesetz, welches sich fr typischen, diffusen Schalleinfall schreiben lsst als: 5' 'log 20 |||

\|=cfmR[dB]Gl. 2.28 f : Frequenz [Hz] m : Flchengewicht [kg] : Dichte [kg/m3] c: Schallgeschwindigkeit [m/s] Bereich B: Auf der Platte bilden sich Biegewellen aus, die sich entlang der Oberflche mit einer bestimmten, vom Elastizittsmodul der Plattendicke und der Dichte des Plattenmaterials abhngigen, Geschwindigkeit ausbreiten. Wenn die Wellenlnge des Anregungsmusters der einfallenden Luftschallwelle auf der Platte mit der Wellenlnge der Biegewelle bereinstimmt, bricht die Schalldmmung zusammen. Dieses Zusammenfallen wir Koinzidenz genannt. Koinzidenz ist jeweils exakt fr eine Frequenz und Einfallsrichtung gegeben. Im diffusen Schallfeld eines Raumes ist der Koinzidenzeinbruch verschmiert. Bereich C: Schalldmmung nimmt mit der Frequenz zu, wobei die Zunahme mit 25dB/Dekade steiler ist, als im Bereich des Massegesetzes. 2.2.3Schalldmmung zweischaliger Bauteile Der Zwischenraum ist eine weichfedernde Dmmschicht, meistens Luft. (Schwingungsgebilde mit zwei ber eine Feder gekoppelte Massen) Es treten dadurch zwei Koinzidenzeinbrche auf. Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc42 von 141 by Urs Zger 3Raumakustik Die Situation in Rumen charakterisiert sich durch die enorme Vielzahl von Ein- und Mehrfachreflexionen, die dem Direktschall folgen. Es werden drei verschiedene Anstze zur rechnerischen Behandlung von raumakustischen Fragen verwendet: - Wellentheoretische Raumakustik: Hier werden Lsungen der Wellenlgleichung gesucht. Beinhaltet werden Interferenz und Beugung.=> Nur fr einige wenige Geometrien exakt lsbar. Die Raumbegrenzungsflchen mssen durch die Impedanzen beschrieben werden. - Statistische Raumakustik: Geht von der vereinfachenden Annahme eines vllig diffusen Schallfeldes aus. Die Beschreibung der Begrenzungsflchen basiert auf einem statistischen Absorptionskoeffizienten. - Geometrische Raumakustik: Modelliert die Schallausbreitung mittels geradlinig verlaufenden Schallstrahlen. Sie ist eine Nherung fr hohe Frequenzen, wenn die Wellenlngen wesentlich kleiner als die Raumstrukturen sind. 3.1Raumakustik grosser Rume Schallfelder in grossen Rumen sind bereits ab relativ tiefen Frequenzen durch eine hohe Dichte der Eigenfrequenzen (Moden) charakterisiert. Unter dieser Voraussetzung finden die den Wellencharakter ignorierenden Anstze Anwendung. 3.1.1Statistische Raumakustik Annahmen: - Die Schallenergiedichte ist im ganzen Raum konstant. - Der Schalleinfall ist in jedem Punkt gleichmssig ber alle Richtungen verteilt. 3.1.1.1Intensitt auf einer Wand Diese Intensitt entspricht der eintreffenden Leistung (Energie innerhalb einer Sekunde vom Raum herkommend) pro Flcheneinheit. dV r dS Leistung W die innerhalb einer Sekunde auf dS auftrifft: ( ) ( ) = = =2020sec 104sin cos4dSEcdr d dEdSIdS WcxGl. 3.1 Auf die Flche dS auftreffende Energie von dV: ( )dV ErdSEein =24cos dV in Kugelkoordinaten: ( ) d d dr r dV = sin2 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc43 von 141 by Urs Zger Gesuchte Intensitt auf einer Wand, in einem Diffusfeld der Energiedichte E: 4EcI = Gl. 3.2 3.1.1.2Totale Absorption und Leistungshaushalt im Diffusfeld Wenn im Raum eine Quelle eingeschaltet wird, so nimmt der Schalldruck zu, bis ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. (Schalldruck der Quelle = Absorbierter Schalldruck des Raumes) Totale Absorption des Raumes: ==nii iS A1 Gl. 3.3 wobei =niiS1= Oberflche des Raumes Von der ganzen Raumoberflche absorbierte Leistung: AEcA I WWand absor4= = Gl. 3.4 Im Gleichgewichtszustand gilt: Quelle absorW W =AcWEQuelle4= Schalldruck im Diffusfeld: (nur gltig unter der Idealvorstelllung eines diffusen Feldes, das im ganzen Raum konstant ist) Ac WpQuelleDiffus 42= Gl. 3.5 A: Totale Absorption : Luftdichte [kg/m3]c: Schallgeschwindigkeit [m/s] Bessere Annherung an die Realitt durch eine Distanzabhngigkeit: ||

\| =crQuelleDiffus eAc Wp224 Gl. 3.6 r : Abstand Quelle Empfnger [m] : Abklingkonstante = 3ln(10)/T T : Nachhallzeit [s]c : Schallgeschwindigkeit [m/s] 3.1.1.3Direktschall und Diffusfeldanteil, Hallradius Dem Diffusfeld ist immer auch eine Direktschallkomponente berlagert. Gleichfrmig abstrahlende Punktquelle (Freifeldsituation): Direktschall:Totaler Schalldruck: 224rc WpQuelleDirekt= Gl. 3.7||

\|+ = + =A rc W p p pQuelleDiffus Direkt44122 2 2 Gl. 3.8 Theorie zr acoustics Akustische Grundlagen last edit : 30.07.2011V3.10 G_001_Akustik_Grundlagen.doc44 von 141 by Urs Zger Fr kleine r dominiert die Direktschallkomponente mit dem 1/r2 Abstandsverhalten. Fr grsser werdende Abstnde, kann der Direktschalltherm vernachlssigt werden (Das Schalldruckquadrat wird abstandsunabhngig => Diffusfeld). Der Abstand, wo beide Anteile gleich gross sind, wird Hallradius genannt. 16ArH=Gl. 3.9 folgt aus(A r H4412=) Wenn die Quelle eine Richtcharakteristik mit einer bevorzugten Abstrahlrichtung aufweist, vergrssert sich der Hallradius in diese Richtung entspechend. In der Realitt folgt das Abstandsverhalten nicht exakt dem oben beschriebenen. Abstandsabhngigkeit des Schalldruckpegels im Raum (M. Barron): ( )||||

\|+ =VTerr LTr 04 . 0231200 100log 10 Gl. 3.10 L(r) : Pegel im Abstand r bezogen aufdenDirektschallpe