geof syg w2 - strona główna aghhome.agh.edu.pl/~lesniak/wyklady/geof_syg_w2.pdf · układy...
TRANSCRIPT
Teoria Sygnałów
II rok Geofizyki
III rok Informatyki Stosowanej
Wykład 2
Układy liniowe i niezmienne w czasie (układy LTI)
Układ
liniowy
x[n] y[n]
gdzie x(y) oznacza sygnał wejściowy do układu zaś y(t) sygnał wyjściowy.
Kilka uwag:• LTI – najpopularniejszy model filtracji• LTI – model procesów fizycznych
Układy liniowe mogą być układami ciągłymi lub dyskretnymi
(spróbkowanymi)
ρ1,v1
ρ2,v2
ρ3,v3
ρ4,v4
ρ5,v5
Rozkład współczynników odbicia r(t)
Rozkład współczynników odbicia r(t) w uproszczonym ośrodku geologicznym może być traktowany jako sygnał zarejestrowany na powierzchni wzbudzony sygnałem impulsowym (deltą Diraca).
δ(t) r(t)
Przykład praktyczny - sejsmika
Splot dwóch sygnałów f(x) i g(x) jest definiowany jako:
Splot jest operacją przemienną, łączną:
oraz rozdzielną względem dodawania:
( )∫∞
∞−
−== '')'()()(*)( dxxxgxfxhxgxf
( ) ( ) )(*)(*)()(*)(*)(
)(*)()(*)(
xfxgxpxfxgxp
xgxfxfxg
=
=
( ) )(*)()(*)()()(*)( xfxpxgxpxfxgxp +=+
Przykład:
Splot dwóch funkcji Π(x) jest równy funkcji trójkątnej:
( ) )()()(*)( xdxxx Λ=−ΠΠ=ΠΠ ∫∞
∞−
τττ
Animacja „Splot.exe” – wykonana w oparciu o aplet z oryginalnej strony
http://www.jhu.edu/~signals/
splot.exe
Splot – dla nieskończonych sygnałów ciągłych
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−⋅=∗=m
mngmfngnfnh
Definicja splotu dla sygnałów dyskretnych:
- nieskończonych
- skończonych (czasami zwany splotem cyklicznym)
∑−+
=
−⋅=∗=1
0
21 NN
m
mnmnnn gfgfh
Delta Diraca to element neutralny operacji splotu, czyli:
( ) ( ) ( )trtrt =∗δ
W tym momencie przykład praktyczny omawiany na pierwszych slajdach staje się jasny.
Ważna uwaga: Jeśli długości nośników sygnałów splatanych f i g wynoszą odpowiednio D1 i D2 , zaś długość sygnałów N (ze względów praktycznych dobrze jest, gdy sygnały splatane są równej długości) to możliwe jest występowanie zakłóceń na brzegach sygnału wynikowego. Zjawisko zakłóceń nie występuje gdy D1+D2-1<N. Eliminacja zakłóceń wystarczy dokleić ciąg zer na końcu sygnału.
N1, N2 – długość sygnałów
Korelacja dwóch sygnałów f(x) i g(x) (czasem – kroskorelacja) jest definiowana jako:
Operacja korelacji nie jest przemienna:
Z kolei autokorelacja jest definiowana jako:
( )∫∞
∞−
∗ −= '')'()( dxxxgxfxfgϕ
Korelacja
Wzajemny związek korelacji i splotu
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=∞
∞−
=−=+=−−=− xdvxvgvfdvvgxvfdxgfxgxf fg
xv
ϕττττ
*)()()()(*)(
)()(*
xx hggh −= ϕϕ
( )∫∞
∞−
∗ −= '')'()( dxxxfxfxffϕ
autokorelacja
( )fff Edxxfdxxfxf === ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∗ ')'('')'()0(2
ϕ
( )∫∞
∞−
∗ −= '')'()( dxxxxx δδϕδδ
Autokorelacja dwóch impulsów Diraca
Pamiętając o własności próbkującej delty Diraca ( ) ( ) ( )∫ =−2
1
00
t
t
tfdttttf δ
oraz korzystając z faktu, że sprzężenie delty Diraca nie zmienia jej postaci otrzymujemy:
( ) ( ) )('')'('')'()( xdxxxxdxxxxx δδδδδϕδδ =−=−= ∫∫∞
∞−
∞
∞−
∗
co oznacza brak korelacji.
∑−
=
−=1
0
)()(N
m
mm axbxr δ
Rozważmy ciąg impulsów Diraca (utożsamiany z sekwencją współczynników odbicia) :
{ } ( ))()()(
)()()(
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
nm
N
m
N
n
nmnm
N
m
N
n
nm
N
m
N
n
nnmmrr
aaxbbxdxaxaxbb
xdxaxbaxbx
−−=′−−′−′
=′
−−′⋅−′=
∑∑∫∑∑
∫ ∑ ∑−
=
−
=
∞
∞−
−
=
−
=
∞
∞−
−
=
−
=
δδδ
δδϕ
Autokorelacja wynosi:
( ) ( ) ( )( ) )('')'()( axdxaxxxxaxx −=−−= ∫∞
∞−
∗− δδδϕ δδ
Autokorelacja sygnału harmonicznego:
( )ϕπ += Txaxf 2cos)(
( )
( )[ ] )2cos(2
')2cos()2'22cos(2
')'2cos()'2cos()(
22
2
2
2
2
2
Txa
dxTxTxxT
a
dxTxxTxT
ax
T
T
T
T
ff
ππϕπ
ϕπϕπϕ
=++−
=+−+=
∫
∫
−
−
jest liczona w jednym okresie T. Wynik jak widać nie zależy od fazy sygnału.
Jeśli sygnał składa się z dwóch części – obwiedni (np. funkcji prostokątnej) i składowej nośnej (np. cosinusoidy)
to autokorelacja takiego sygnału wynosi:
( ) ( )ϕπ +⋅Π= Txxxf 2cos)(
( ) )2cos(2
1)( Txxxff πϕ ⋅Λ⋅= gdyż: ( ) ( ) ( )xxxx Λ=ΠΠ )(ϕ
Interpretacja korelacji:
Rozważmy dwa sygnały rzeczywiste f(t) i g(t-τ). Funkcja korelacji φ ma dużą wartość jeśli
sygnały te są do siebie podobne.
Niech na przykład f(t) oznacza sygnał sejsmiczny zarejestrowany w pewnym punkcie zaś
sygnał g(t)= qf(t- a) sygnał pomierzony w innym punkcie opóźniony w czasie o a i
wytłumiony (amplituda zmniejszona q razy).
Korelacja tych sygnałów wynosi:
( ) )()()( aqdtatfqtft fffg +=−−⋅⋅= ∫∞
∞−
τϕτϕ
czyli jest to funkcja autokorelacji przesunięta o –a, tzn. licząc korelację dwóch sygnałów
można mierzyć wzajemne przesunięcie dwóch tras sejsmicznych. Szum jakim są obarczone pomiary nie wpływa na powyższy wynik !
( )[ ] ( ) ( )[ ]
)()(
)()()()()()(
)()(
τϕτϕ
τϕτϕτϕτϕτϕτϕ
ττϕ
gf
gffggf
nnff
nnfggnfnnnfg
gffg
aq
dttntgtntft
++
=+≈+++
=−+−⋅+= ∫∞
∞−
∗∗
gdyż szum i sygnał użyteczny są z reguły wzajemnie niezależne (czyli są nieskorelowane).
Pomiar fazy sygnału:
Przesunięcie fazy dwóch sygnałów również może być mierzone z użyciem funkcji korelacji. Weźmy dwa sygnały:
( ) ( )
+⋅=
⋅= ϕ
ππ
T
tbtg
T
tatf
2cos;
2cos
Korelacja tych sygnałów wynosi:
gdyż szum i sygnał użyteczny są z reguły wzajemnie niezależne (czyli są nieskorelowane).
Jeśli sygnały są skończone i przesunięte o π/2 tj.:
to otrzymamy:
−=
−
=
−⋅
+= ∫
+∞
∞−
TT
ab
T
ab
dtT
t
T
tabfg
π
ϕτ
πϕ
πτ
τπ
ϕπ
ϕ
2
2cos
2
2cos
2
2cos
2cos
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−Π=
⋅−Π=
T
tattg
T
tattf LL
ππ 2cos;
2sin
( )
⋅Λ=
T
atfg
πτϕ
2sin
2
2
Jak można zauważyć obwiednia funkcji korelacji mierzy wzajemne przesunięcie sygnałów (jest ono równe zero w tym wypadku, co widać po zapisie funkcji okna) zaś sama funkcja korelacji (fala nośna) obrazuje różnicę fazową między sygnałami korelowanymi.
Tłumienie szumów z wykorzystaniem korelacji funkcji
Załóżmy, że znamy kształt (sygnaturę) sygnału e(t):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trtetxtntxty ∗=+= ;
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tetntrttetntetrte
tetntetxtetyt
tete
tety
−∗+∗=−∗+−∗∗
=−∗+−∗=−∗=
ϕ
ϕ
Szum n(t) z reguły nie jest skorelowany z sygnałem wejściowym e(t) stąd ostatni wyraz może
zostać pominięty. Wynikiem jest splot funkcji autokorelacji sygnału wejściowego z sekwencją współczynników odbicia. Po wykonaniu tego typu filtracji (adaptacyjnej) trasa wyjściowa jest obarczona jest znacznie mniejszym szumem niż trasa oryginalna – patrz rysunek. Autokorelacja zarejestrowanego sygnału jest równa splotowi dwóch autokorelacji i energii szumu występującej dla czasu zerowego.
Korelacja zarejestrowanej trasy y(t) z sygnałem wejściowym e(t) wynosi:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tEtttntntt
txtntntxtntntrtetrte
tytyt
ntrtrtetetrtrtete
tyty
δϕϕϕϕ
ϕ
+∗=−∗+∗
≈−∗+−∗+−∗+−∗−∗∗
=−∗=