FUNCIONES CUADRATICASEjercicios de Aplicación mediante GeogebraResuelve utilizando GeoGebra.

1. En el contrato de trabajo a un vendedor de libros le ofrecen dos alternativas: A. Sueldo fijo al mes de 1.000 €. B. Sueldo fijo al mes de 650 € más el 20% de las ventas que realice. Realiza una gráfica para representar lo que ganaría en un mes con cada una de las modalidades de trabajo. ¿A cuánto tiene que ascender las ventas de un mes para ganar más con la segunda modalidad de trabajo

CANTIDAD VARIABLESUELDO A 1000 YSUELDO B 650 +0.2X Y

A=1000 Y=1000B=650+0.20X Y=650+0.20XDibujamos las ecuaciones para el caso A y para el caso B.

Obtenemos el valor del punto de interseccion entre las dos rectas A=(1750; 1000), lo que signofica que para igualar las ofertas, el nivel de ventas de la opcion B debe de ser de 1750 dolares cada mes.

CANTIDAD NIVEL DE VENTASSUELDO A 1000 CUALQUIERASUELDO B 1000 1750 DOLARES

Por lo tanto para que la oferta B supere a la oferta A el nivel de ventas debe de ser superior a 1750 dolares mensuales, es decir x>1750.

2. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmulah (t )=−5 t 2+20 t

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace? Sea la funcion h(t): a x2+bx+c → h (t )=−5 t 2+20 t

Para hmax=c− b2

4a

hmax=0−202

4 (−5 )=40020

=20metros hmax=20 Dibujamos la funcion hmax=20 y hallamos la intersseccion con la funcion cuadratica.

De la interseccion se obtiene el punto C=(2;20), de donde se concluye que la maxima altura hmax=20 metros y ocurre a el tiempo t=2 segundos.

b) ¿Después de cuánto tiempo la pelota llega al suelo? h (t )=−5 t 2+20 t Para h=0 h (t )=−5 t 2+20 t

0=−5 t2+20 t

5 t2−20 t=0 → t (5 t−20)=0 → t=0 y t=4 segundos

t=4 segundos

Es decir la pelota tiene altura cero a t=0 antes de lanzarla y a t=4 segundos cuando vuelve a caer al suelo.

c) ¿Cuánto tiempo la pelota está por debajo de los 10 m?

Reemplazamos el valor h=10 en la ecuacion:

Para h=10 h (t )=−5 t 2+20 t

10=−5 t2+20 t

5 t2−20 t+10=0 → (t−2+√2)(t−2−√2)=0 →

→ t=2−√2=0.58 segundos y t=2+√2=3.42 segundos

De la interseccion de la grafica de la parabola con la recta y=10, se obtine los puntos de interseccion A=(0.59:10) y B=(3.41:10 ).

Luego el tiempo que la pelota permanece por de bajo de los 10 metros es de : 0.59+(4-3.41)=1.18 segundos.

d) ¿Hay algún instante en el que la velocidad sea de 5 m/s?

Para t=0 segundos la altura de h(t)= 300 metros

3. La altura de un proyectil en función del tiempo está representada por la función h (t )=−t 2+20 t+300 (altura en metros, t en segundos). Determina:

a) La altura desde la que se ha lanzado el proyectil.Para este calculo debemos decit para t=0 segundos:h (t )=−t 2+20 t+300 h (t )=300metros

b) La altura máxima que alcanza. Sea la funcion h(t): a x2+bx+c → h (t )=−t 2+20 t+300

Para hmax=c− b2

4a

hmax=300−(20 )2

4 (−1 )=300+ 400

4=400metros

hmax=20 Dibujamos la funcion hmax=400 y hallamos la intersseccion con la funcion cuadratica.

De la interseccion se optiene A=(10;400) que significa que el proyectil alcanza una altura maxima en h=400 metros y esto ocurre cuando el tiemo t=10 segundos.

c) El tiempo que el proyectil está por encima de 175 m.

Reemplazamos el valor h=175 en la ecuacion:

Para h=10 h (t )=−t 2+20 t+300

175=−t2+20 t+300

t 2−20 t−125=0 → (t−25)(t+5)=0 →

→ t=25 segundos y t=−5 segundos

Dibujamos la recta Y= 175 metros y hallamos la interseccion con la ecuacion cuadratica C=(25; 175), lo que significa queel tiempo que el proyectil esta por encima de los 175 metros es duranre 25 segundos.

d) El tiempo que tarda el proyectil en impactar con el suelo

Para h=0 h (t )=−t 2+20 t+300

0=−t 2+20 t+300

t 2−20 t−300=0 → (t−30)(t+10)=0 →

→ t=30 segundos y t=−10 segundos

4. Lanzamos una bola desde un punto situado a 1,5 metros del suelo. Después de t segundos, la distancia de la bola al suelo en metros viene dada por la expresión siguiente: 5 1t 6t 2h 2 . . Resolver las siguientes cuestiones: a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola? b. Determinar, con una aproximación de una décima, el instante en el que la bola llega al suelo. c. Determinar, con la misma precisión, cuánto tiempo está la bola por encima de los 3 metro

5. Dos partículas que se mueven sobre el eje de abscisas, se encuentran en la posición que determinan en cada instante t en segundos, las funciones siguientes:

p (t )=12t2−t+10 p ( t )=−1

6t 2+t+8

a. Demuestra que las dos partículas nunca se encuentran.

b. Halla la distancia mínima que existirá entre las dos partículas

c. Para 0≤ t ≤10 , calcula la velocidad máxima de cada una de las partículas