geometr¶‡aenelhiperespacio h rn · 2016-11-30 · agradecimientos agradezco de manera especial...

Geometrıa en el hiperespacio H(Rn)

Yesid Esteban Clavijo Penagos

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias, Departamento de Matematicas

Bogota, Colombia2013

Geometrıa en el hiperespacio H(Rn)

Yesid Esteban Clavijo Penagos

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:Magister en Ciencias - Matematicas

Director:Gustavo N. Rubiano O.

Lınea de investigacion:Topologıa, espacios metricos, geometrıa en hiperespacios.

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias, Departamento de Matematicas

Bogota, Colombia2013

A mi familia y amigos

Agradecimientos

Agradezco de manera especial al profesor Gustavo Rubiano por su apoyo constante, su pacien-cia y su orientacion en el desarrollo del trabajo, y al profesor Leonardo Rendon porque me fue degran ayuda en varias etapas cruciales de mi estudio, en especial en pregrado e inicios de la maestrıa.Agradezco asimismo al profesor Vincent Martinez (The College of New Jersey) por el material queme ha facilitado ([10]), el cual me ha sido de gran ayuda.

ix

Resumen

Sea (X, d) un espacio metrico completo. La metrica de Hausdorff h en el espacio H(X) cuyos ele-mentos son subconjuntos compactos no vacıos de X define un espacio metrico completo (H(X), h)-a un espacio cuyos elementos son conjuntos se le suele llamar hiperespacio. No es mucho lo que seconoce acerca de la geometrıa en el hiperespacio H(Rn), dotado de la metrica de Hausdorff h. Eneste trabajo se introduce la metrica h y algunas de sus consecuencias, luego se definen conceptosgeometricos tales como lıneas y circunferencias en H(Rn) y se introduce un estudio de los segmentosen H(Rn) y sus propiedades, con el fin de definir el concepto de convexidad en el hiperespacio.

Palabras clave: Geometrıa, Metrica de Hausdorff, compactos, collar, segmentos, convexidad.

x

Abstract

Let (X, d) be a complete metric space. The Hausdorff metric h in the H(X) space having compactnon-empty subsets of X as elements, defines a new metric space (H(X), h) -a space whose elementsare sets is called a hyperspace. Little is known about the geometry that h generates in the H(Rn)hyperspace. This work presents the h metrics and its consequences, some geometric concepts suchas lines and circumferences in H(Rn), and a study about Hausdorff segments and their properties,in order to adequately define the concept of convexity in the hyperspace.

Keywords: Hausdorff Metric, compact non-empty sets, dilation, geometry, segments, convex-

ity.

Contenido

Resumen IX

1. Introduccion 1

2. Conceptos generales 3

2.1. La metrica de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Geometrıa de H(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Lıneas y segmentos en H(Rn) 17

3.1. Lıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Convexidad 25

4.1. Convexidad completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Convexidad fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Conclusiones 31

Bibliografıa 32

1 Introduccion

El estudio de la geometrıa que induce la metrica de Hausdorff h en H(Rn) ha venido realizandosedesde el ano 2003. En [1] se definen las lıneas en H(X) y se muestran algunos hechos inesperados,poco intuitivos, acerca de estas; por ejemplo, con la definicion que se da, algunas lıneas presentan“agujeros”; en [9], del ano 2003, se estudian los rayos y las condiciones bajo las cuales existen lıneascon un continuo de puntos. En [8], del ano 2004, los autores estudian la relacion que tienen algunossegmentos de Hausdorff con los numeros de Lucas y Fibonacci. En el ano 2009, C. Blackburn, K.Lund, S. Schlicker, P. Simon y A. Zupan [7] hacen un estudio mas detallado de los segmentos delhiperespacio que tienen solo un numero finito de elementos en cada ubicacion. Existe un reporte delano 2007, elaborado por el profesor Vincent Martinez1, en el cual se estudia con cierta profundidadel concepto de convexidad; este reporte ha sido una base importante para la realizacion del presentetrabajo y constituye probablemente la mayorıa de lo que se conoce hoy dıa acerca del concepto deconvexidad para los segmentos de Hausdorff. Se trata, pues, de un tema que ha venido trabajandoseespecialmente en laUniversidad Estatal de Grand Valley de Estados Unidos, desde 2003; un resumenbastante acertado de lo conseguido (y no conseguido) hasta ahora se encuentra en [6], del ano 2010.Cabe senalar que es poco lo que se ha escrito del tema, en comparacion con otros temas algorelacionados, como por ejemplo la relacion entre la topologıa que induce la metrica de Hausdorff yotras topologıas en el hiperespacio ([11, 5]).

El objetivo de este trabajo es exponer el caracter no intuitivo de la geometrıa del espacio H(Rn)mediante la definicion de lıneas y segmentos y el estudio de sus propiedades. Tambien se mostraranlas diferencias geometricas entre lıneas (segmentos) euclidianas y lıneas (segmentos) en H(Rn), yse definiran dos tipos de convexidad en H(Rn), mostrando diferencias entre estos con ejemplos. Sedara tambien una condicion necesaria para que un conjunto compacto, en un segmento de H(Rn),tenga una ubicacion dada (ver corolario 2).

Sea X un conjunto no vacıo. Se define una metrica d sobre el conjunto X como una aplicacionque satisface los siguientes axiomas:

d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X, y d(x, y) = 0 si y solo si x = y;

d(x, y) = d(y, x) para cada par x, y ∈ X;

(Desigualdad triangular) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X.

1REU 2007, Grand Valley State University.

2 1 Introduccion

Por ejemplo, para X = Rn la metrica usual es la que se define, para dos puntos x, y ∈ Rn,x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), como

d(x, y) :=

√√√√n∑

i=1

(xi − yi)2.

Se considera ahora el espacio de todos los conjuntos compactos no vacıos de Rn, el cual se deno-tara por H(Rn). Para definir la metrica h de Hausdorff en este espacio, se debe definir primero ladistancia entre un punto y un conjunto, luego la “distancia” entre dos conjuntos2 y, en terminos deesta ultima, la distancia h(A,B) entre dos conjuntos A,B compactos no vacıos de Rn.La metrica de Hausdorff es usada en H(Rn), que es un hiperespacio, lo cual hace que muchas delas construcciones no sean facilmente visualizables; mediante el uso de ilustraciones a lo largo deltrabajo se mostrara que los resultados obtenidos surgen de manera natural.

2La razon de las comillas es que, en general, esta “distancia” no satisface los tres axiomas de metrica.

2 Conceptos generales

2.1. La metrica de Hausdorff

En esta seccion se introduce el concepto de metrica de Hausdorff y se muestran resultados basicosacerca de la misma.

Sea (X, d) un espacio metrico completo. Si B ⊆ X es no vacıo y x ∈ X, la distancia entre elpunto x y el conjunto B se define como

d(x,B) := inf{d(x, b) : b ∈ B},

donde el ınfimo se convierte en un mınimo si el conjunto B es compacto. Notando por H(X)al espacio de todos los subconjuntos compactos no vacıos de X, se puede definir una “distan-cia” d (abusando un poco de la notacion) entre dos compactos A,B en H(X) como d(A,B) =max{d(a,B) : a ∈ A}; sin embargo, es facil ver que esta definicion no determina una metrica enH(X) ya que no siempre se tendra d(A,B) = d(B,A) para compactos A,B arbitrarios, como lomuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Para los compactos A = S1 y B = {(x, 3 − x) : 0 ≤ x ≤ 3} en el plano, se tiene

d(A,B) = 1 + 3√

22 mientras que d(B,A) = 2 (segmentos punteados; ver figura 2.1).

A

B

x

y

Figura 2.1: d(A, B) = 1 + 3√

2

2y d(B, A) = 2.

No obstante, definiendoh(A,B) := max{d(A,B), d(B,A)},

se obtiene una metrica en el espacio H(X).

4 2 Conceptos generales

Definicion 1. Sean A, B subconjuntos compactos no vacıos de un espacio metrico completo (X, d).Se define la distancia de Hausdorff entre A y B como

h(A,B) := max{d(A,B), d(B,A)},

donde d(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}.

Proposicion 1. La aplicacion h de la definicion 1 determina una metrica en el espacio H(X).

Prueba: Sean A,B ∈ H(X).

Por definicion, h(A,B) = max{d(A,B), d(B,A)} ≥ 0.

Si A = B, h(A,B) = h(A,A) = d(A,A) = 0 ya que d(a,A) = 0 para todo a ∈ A. Recıpro-camente, suponer que h(A,B) = 0 y sea b ∈ B. Entonces 0 = d(A,B) = d(B,A) :=maxy∈B{d(y,A)}, luego d(y,A) = 0 para todo y ∈ B y en particular d(b, A) = 0 implicaque b ∈ A. Como A es cerrado, A = A y ası b ∈ A, luego B ⊆ A. Analogamente se ve queA ⊆ B y ası A = B.

La simetrıa h(A,B) = h(B,A) es evidente a partir de la definicion de h(A,B).

Para probar la desigualdad triangular, sea C ∈ H(X) y suponer que h(A,C) = d(A,C).Como A es compacto se tiene que existe a ∈ A tal que d(A,C) = d(a,C). Para b ∈ B y c ∈ Carbitrarios se tiene d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c), luego

d(a,C) ≤ d(a, b) + d(b, c) ∀b ∈ B ∀c ∈ C.

En particular, tomando un punto b ∈ B que satisfaga d(a, b) = d(a,B), se tiene que d(a,C) ≤d(a,B)+ d(b, c), y como esto es valido para cualquier c ∈ C, se sigue que d(a,C) ≤ d(a,B)+d(b, C). Ası, por definicion de d(A,B),

h(A,C) = d(A,C) = d(a,C) ≤ d(a,B) + d(b, C)

≤ d(A,B) + d(B,C)

≤ h(A,B) + h(B,C).

El caso h(A,C) = d(C,A) es similar. ♠

El espacio (H(R2), h), por ejemplo, es el lugar donde viven los fractales. Existen otras metricas,definidas en H(X), equivalentes a h (ver [5]).

En [3] se prueba que si (X, d) es un espacio metrico completo, entonces tambien lo es su respectivohiperespacio (H(X), h).

Todo espacio metrico (X, d) posee una copia en su respectivo hiperespacio (H(X), h): en efecto, de ladefinicion de h se tiene que la aplicacion i : (X, d) −→ (H(X), h) dada por i(x) = {x} es una isometrıa.

2.2 Ejemplos y aplicaciones 5

2.2. Ejemplos y aplicaciones

La metrica de Hausdorff tiene muchas aplicaciones. En esta seccion se muestran algunas delas propiedades de la metrica para unos subconjuntos especiales en H(R2), ası como se revisa unresultado de [12] en el que se involucra dicha metrica.

Sean A,B ∈ H(R2). Un primer ejemplo de calculo de h(A,B) se tiene cuando A y B son dossegmentos paralelos. En este caso, la distancia h(A,B) se mide facilmente a partir de la distanciaeuclidiana entre los extremos de los segmentos.

Proposicion 2. Sean ab y cp segmentos paralelos en R2; entonces h(ab, cp) = max{d(a, c), d(b, p)}.

Prueba: Se consideran dos casos. En el primero, la proyeccion de uno de los segmentos sobre la rectaque contiene al otro, esta contenida en el segundo segmento. En el segundo caso, tal proyeccion delprimer segmento sobre el segundo no queda contenida en este (figura 2.2).

a b

c p

h

� �

� �a b

c pq

� �

� �

Figura 2.2: Los dos casos para los segmentos paralelos ab y cp.

Caso (i): se tiene

d(ab, cp) = maxx∈ab

{d(x, cp)} = h,

d(cp, ab) = maxx∈cp

{d(x, ab)} = d(a, c) ∨ d(b, p).

Como h siempre es menor o igual a d(a, c) y d(b, p), se tiene h(ab, cp) = d(a, c) ∨ d(b, p).Caso (ii): se tiene

d(ab, cp) = maxx∈ab

{d(x, cp)} = d(a, c),

d(cp, ab) = maxx∈cp

{d(x, ab)} = d(b, p).

Luego, por definicion,

h(ab, cp) = d(ab, cp) ∨ d(cp, ab) = d(a, c) ∨ d(b, p).

♠


p q

r

s tl l

l lh1

h2

� �

�

� �q

q

Figura 2.3: Los conjuntos A = pqrst y B = pt.

Ejemplo 2. Sean A = pqrst la poligonal de longitud 4l y B = pt el segmento de longitud 3l, en

la figura 2.3. Entonces h(A,B) =√

32 l. En efecto: d(A,B) = maxx∈A{d(x,B)} = h1, d(B,A) =

maxy∈B{d(y,A)} = h2; como el triangulo 4qrs es equilatero, h2 = h1

2 y se sigue que h(A,B) =

h1 =√

32 l.

Al igual que el ejemplo anterior, las siguientes propiedades son de uso frecuente en [12] paraprobar teoremas de convergencia en H(R2).

Proposicion 3. Para todo A,B ∈ H(R2) y x ∈ R2, se tiene h(x+A, x+B) = h(A,B). En efecto,suponiendo que h(A,B) = d(A,B), se tiene

d(x+A, x+B) = maxp∈x+A

{d(p, x+B)} = maxa∈A

{d(x+ a, x+B)}

= maxa∈A

{mınb∈B

{d(x+ a, x+ b)}}

= maxa∈A

{mınb∈B

{d(a, b)}}

= d(A,B) = h(A,B).

De igual manera se ve que d(x+B, x+ A) = d(B,A), con lo cual se tiene que h(x+ A, x+B) =h(A,B).

Proposicion 4. Para todo A,B ∈ H(R2) y λ ∈ R, h(λA, λB) = |λ|h(A,B).

Prueba: El resultado se sigue de la propiedad analoga en R2: para cada a, b ∈ R2 y λ ∈ R,d(λa, λb) = |λ|d(a, b). ♠

Proposicion 5. Sean A,C,D ∈ H(R2). Se tiene la desigualdad d(A,C ∪D) ≤ d(A,C) y asimismod(A,C ∪D) ≤ d(A,D).

Prueba: En efecto, para cada a ∈ A se tiene d(a,C∪D) = mınp∈C∪D{d(a, p)} ≤ mınp∈C{d(a, p)} =d(a,C) ≤ d(A,C), luego

d(A,C ∪D) = maxa∈A

{d(a,C ∪D)} ≤ d(A,C).

♠

2.2 Ejemplos y aplicaciones 7

Proposicion 6. Para todo A,B,C,D ∈ H(R2), se tiene h(A ∪B,C ∪D) ≤ h(A,C) ∨ h(B,D).

Prueba. Se supone, como antes, que h(A ∪ B,C ∪ D) = d(A ∪ B,C ∪ D). Existe p ∈ A ∪ Btal que d(A ∪ B,C ∪D) = d(p, C ∪D). Si p ∈ A, se tiene d(p, C ∪D) ≤ maxx∈A{d(x,C ∪D)} =d(A,C∪D) ≤ d(A,C), por la proposicion anterior. Luego, d(p, C∪D) ≤ d(A,C) ≤ h(A,C). Ahora,si p ∈ B, d(p, C ∪D) ≤ d(B,C ∪D) ≤ d(B,D) ≤ h(B,D). Ası, d(A ∪ B,C ∪D) = d(p, C ∪D) ≤h(A,C) ∨ h(B,D). ♠

Como aplicacion, los resultados anteriores son utilizados en [12] en la prueba de un resultado quemuestra una conexion entre la conocida curva de Koch y las sucesiones de Thue-Morse, definidas acontinuacion.

Definicion 2. Sea A un alfabeto. Una aplicacion φ : A∗ −→ A∗ es un morfismo sobre A si φ esun homomorfismo para la concatenacion.

Ejemplo 3. Sea A = {F,L}. Definiendo el morfismo φ como φ(F ) := FL y φ(L) := LF , ydenotando por φk la k-esima iterada de φ, se tiene

φ(F ) = FL, φ2(F ) = FLLF, φ3(F ) = FLLFLFFL, . . .

La sucesion de palabras (φk(F ))k converge a la cadena infinita

FLLFLFFLLFFLFLLF...

la cual se conoce como la sucesion de Thue-Morse sobre el alfabeto {F,L}.

Teorema 1. (Ma, Holdener)[12] Sea TMk el prefijo de longitud 2k de la sucesion de Thue-Morsesobre el alfabeto {F,L}. Sea Wn := K2n(TM4n) definida como sigue: la palabra TM4n se escribecomo la concatenacion de TM2n y TM2n, donde TM2n se obtiene de TM2n intercambiando lossımbolos F y L; si F representa un movimiento de una unidad hacia adelante en el plano y Lsignifica rotar un angulo de π/3 en contra de las manecillas del reloj, Wn representara una poligonalen el plano, denotada por W n. Sea Sn el factor de escala definido por Sn := 2

3n−2−1. Entonces la

sucesion de poligonales S2nWn converge a la curva de Koch (en el sentido usual: la distancia deHausdorff entre ellas tiende a cero).

Demostracion. Este es, esencialmente, el teorema 5.0.14 de [12]. ♠

Figura 2.4: De izquierda a derecha, las poligonales TM4, TM8 y TM14.


El teorema de Ma y Holdener apunta a lo que sugiere la figura 2.4: existe una conexion generalentre sucesiones del tipo Thue-Morse y estructuras fractales. Por ejemplo, definiendo el morfismoφ : {0, 1}∗ −→ {0, 1}∗ por φ(0) = 000, φ(1) = 101, el punto fijo del morfismo, comenzando aaplicarlo en 1, es el lımite de la sucesion 1, 101, 101000101, . . . como se puede ver, si 1 representaun segmento horizontal negro de longitud 1, si 0 representa un segmento horizontal blanco de lamisma longitud, y si a cada paso se multiplica por un factor de escala igual a 1/3, observamos queel lımite corresponde al mas clasico de los fractales -el conjunto ternario de Cantor.

Otras aplicaciones de la metrica de Hausdorff tienen lugar en el reconocimiento de imagenes [13]y en algoritmos de “recuperacion de musica polifonica”[14].

2.3. Geometrıa de H(Rn)

En lo que resta del trabajo, se retorna al estudio de la geometrıa de H(Rn) con la metricade Hausdorff. De aquı en adelante se considera el espacio X = Rn con su metrica euclidiana; elhiperespacio (H(Rn), h) se denotara simplemente por H; se usara la expresion elementos al hacerreferencia a conjuntos A,B que pertenecen a H; para r > 0 se denota la vecindad abierta de radior alrededor de un punto b ∈ X como Nr(b) := {x ∈ X : d(x, b) < r}, la frontera de dicha vecindadse denotara por ∂Nr(b) := {x ∈ X : d(x, b) = r}.Para dos elementos A y B de H, el siguiente lema relaciona h(A,B) con la distancia d(a, b) usualentre dos puntos a ∈ A y b ∈ B.

Lema 1. Sean A,B elementos de H. Si d(B,A) > 0, entonces existen a0 ∈ ∂A y b0 ∈ B tales qued(b0, a0) = d(B,A), d(b0, A) ≥ d(b, A) para todo b ∈ B, y d(b0, a0) ≤ d(b0, a) para todo a ∈ A.

Prueba: Sea r = d(B,A) > 0. Como d(B,A) = maxb∈B{d(b, A)} y B es compacto, existe unb0 ∈ B tal que d(b0, A) = d(B,A), y por definicion d(b0, A) ≥ d(b, A) para cualquier b ∈ B. Deigual manera, d(b0, A) = mına∈A{d(b0, a)} implica que existe un a0 ∈ A tal que r = d(B,A) =d(b0, A) = d(b0, a0) ≤ d(b0, a) para cualquier a ∈ A. Ahora se vera que a0 ∈ ∂A. Si a0 /∈ ∂A, existeun ε > 0 tal que Nε(a0) ⊂ A. Considerese x = a0 +

ε2

b0−a0

|b0−a0| ; x es el punto del segmento euclidiano

a0b0 a una distancia ε2 de a0 (figura 2.5).

xa0

b0

�

A

B

x

y

Figura 2.5: x ∈ Nε(a0) ⊂ A y d(b0, x) < r.

2.3 Geometrıa de H(Rn) 9

Notese que x ∈ Nε(a0) ⊂ A y

d(b0, x) =

∣∣∣∣b0 −(a0 +

ε

2

b0 − a0

|b0 − a0|

)∣∣∣∣ = |b0 − a0|(1− ε

2|b0 − a0|

)< r.

Esto implica que d(b0, A) < r, lo cual no es posible. Luego a0 ∈ ∂A. ♠

Corolario 1. La distancia de Hausdorff h(A,B) entre dos elementos A,B de H coincide con ladistancia usual entre dos de sus puntos a ∈ A y b ∈ B, uno de los cuales esta en la frontera delconjunto al que pertenece.

Prueba: Basta observar que, por definicion, h(A,B) es igual a d(A,B) o a d(B,A). ♠

En general no es cierto que b0 ∈ ∂B en el lema 1, como se muestra en el disco B y la circunferenciaA de la figura 2.6.

a

b

B

A

�

�

Figura 2.6: d(B, A) = d(b, a) y b 6∈ ∂B.

La siguiente definicion es crucial en el estudio de la geometrıa de H.

Definicion 3. Para B ∈ H y r > 0, se define el conjunto (B)r como

(B)r := {x ∈ Rn : d(x, b) ≤ r para algun b ∈ B}.

A este conjunto se le conoce como la dilatacion de B por r, o el collar de B de radio r.

Ejemplo 4. En la figura 2.7 (pagina siguiente) se tienen dos collares, de radios 1 y 23 .

Notese que B ⊂ (B)r para todo r > 0. Las siguientes propiedades de (B)r se deducen facilmentea partir de la definicion.

Proposicion 7. Si B ∈ H, B = lımr→0+

(B)r.

Proposicion 8. Si B ∈ H y r, s > 0 con r ≤ s, entonces (B)r ⊆ (B)s.

De acuerdo con el teorema 2 mas adelante, el conjunto (B)r es compacto si B es compacto yr > 0, por lo tanto (B)r es un elemento de H.


1

1

B

A

2

3

2

3

Figura 2.7: Izquierda: Todo punto del collar (B)1 esta a lo mas a una unidad de B (que es el conjunto en forma de`); Derecha: cada punto del collar (A) 2

3

esta a lo mas a 0.6 unidades de la elipse A.

Proposicion 9. Si B ∈ H y r, s > 0, entonces ((B)r)s = (B)r+s.

El collar (B)r no es otra cosa que la union de todas las bolas cerradas de radio r centradas enpuntos de B, como se muestra a continuacion.

Proposicion 10. Sean B ∈ H y r > 0. Entonces⋃

b∈B

Nr(b) = (B)r.

Prueba: Si x ∈ ⋃b∈B Nr(b), existe b0 ∈ B tal que x ∈ Nr(b0) y ası d(x, b0) ≤ r, por lo cualx ∈ (B)r. Recıprocamente, si x ∈ (B)r, existe b0 ∈ B tal que d(x, b0) ≤ r, lo cual significa quex ∈ Nr(b0) ⊆

⋃b∈B

Nr(b). ♠

Los siguientes dos lemas muestran que, dado un elemento A, el collar (A)r se “comporta bien”respecto a las distancias entre conjuntos.

Lema 2. Sean A,B ∈ H con d(B,A) = r > 0. Si 0 < s < r, entonces d(B, (A)s) = r − s.

Prueba: Por el lema 1 existen b0 ∈ B y a0 ∈ ∂A tales que d(b0, a0) = d(B,A) = r, d(b0, A) ≥ d(b, A)para todo b ∈ B, y d(b0, a0) ≤ d(b0, a) para todo a ∈ A. Sea c0 el punto de interseccion de ∂Ns(a0)y el segmento a0b0. Se tiene que d(b0, a0) = d(b0, c0) + d(c0, a0), por tanto d(b0, c0) = r − s. En lafigura 2.8 de la pagina siguiente se ilustra esta situacion para los conjuntos de la figura 2.7. Ahorase mostrara que d(B, (A)s) = d(b0, c0).

Primero se vera que d(b0, (A)s) = r − s: Suponer que existe un c ∈ (A)s tal que d(b0, c) <d(b0, c0) = r − s. Como c ∈ (A)s, existe un punto a ∈ A tal que d(c, a) ≤ s. Luego

d(b0, a) ≤ d(b0, c) + d(c, a) < (r − s) + s = r.

2.3 Geometrıa de H(Rn) 11

�

�

�

b0

c0

B

A

a0

∂N 2

3

(a0)

Figura 2.8: r = d(B, A) = d(b0, a0), s = 2/3 < r, d(a0, c0) = s y d(c0, b0) = r − s.

Esto es una contradiccion porque se tiene r = d(b0, a0) ≤ d(b0, a) para cualquier a ∈ A. Por tanto,d(b0, (A)s) = d(b0, c0).Finalmente se vera que si b ∈ B, entonces d(b, (A)s) ≤ d(b0, (A)s). Sea b ∈ B. Recuerdese quer = d(b0, A) ≥ d(b, A). Nuevamente por el lema 1 existe un a ∈ A tal que d({b}, A) = d(b, A) =

d(b, a) ≤ r. Sea c el punto de corte del rayo−→ab con ∂Ns(a). Ahora d(c, a) = s, por lo cual c ∈ (A)s.

Como a, c y b estan sobre la misma lınea euclidiana, se tiene que

d(b, c) = d(b, a)− d(a, c) ≤ r − s.

Como c ∈ (A)s, se sigue que d(b, (A)s) ≤ r − s = d(b0, (A)s). Por consiguiente d(b0, (A)s) es igualal maximo sobre todos los b en B de las distancias d(b, (A)s), es decir, d(B, (A)s) = r − s. ♠

No se tiene un lema correspondiente para d((A)s, B), como se ve en la figura 2.9.�

�

��

A

(A)s

B1 B2

d((A)s , B)d(A,B)

Figura 2.9: B = B1 ∪B2 y no hay relacion directa entre s, d(A, B) y d((A)s, B).

Lema 3. Sean A ∈ H y s > 0. Si x ∈ ∂(A)s, entonces d(x,A) = s.

Prueba: Sea x ∈ ∂(A)s. El collar (A)s es cerrado (ver teorema 2, adelante), por lo cual x ∈ (A)s.Entonces existe un a ∈ A tal que d(x, a) ≤ s. Luego d(x,A) ≤ s. Si existiera a ∈ A tal que


d(x, a) = s′ < s, para cualquier x′ ∈ Ns−s′(x) se tendrıa d(x′, a) ≤ d(x′, x)+d(x, a) < (s−s′)+s′ = s,

luego x′ ∈ (A)s y asi Ns−s′(x) ⊂ (A)s, lo cual no es posible pues x esta en la frontera de (A)s. Portanto d(x,A) ≥ s y ası d(x,A) = s. ♠

2.4. Circunferencias

Se puede definir una circunferencia en H de manera analoga a como se define en Rn.

Definicion 4. Sean B ∈ H y r > 0. Se define la circunferencia centrada en B de radio r, denotadaCr(B), como

Cr(B) := {A ∈ H | h(A,B) = r}.

Esta definicion tiene sentido: si B es un elemento de H, tomese un x ∈ Rn tal que d(x,B) = r ydefınase A = B∪{x}; A es compacto y se verifica facilmente que h(A,B) = r. De hecho, el teorema2 -adelante- muestra que otro elemento de Cr(B) es precisamente (B)r.

Ejemplo 5. La figura 2.10 muestra algunos elementos de la circunferencia de radio 1 centradaen el conjunto unitario B = {0} de R y R2. En la figura, los elementos A = {−1/2n : n ∈ N}∪{0}y D = [1/5, 1/2] ∪ [4/5, 1] de la recta satisfacen h(A,B) = h(D,B) = 1; en el caso de R2, todoslos compactos indicados (la circunferencia unitaria, las dos cunas, el segmento, el rectangulo unidocon el punto aislado) distan una unidad de B = {(0, 0)}.

� ��

�

0−1 1 R

R2

1

Figura 2.10: Algunos conjuntos que distan una unidad de B = {0}, tanto en R como en R2.

¿Tienen algo en comun los conjuntos de cada grafica, que distan una unidad de B = {0} encada caso? El teorema siguiente, que responde parcialmente la pregunta, muestra cual es el mayorelemento (en el sentido de la contenencia) que esta a una distancia fija de un elemento dado.

Teorema 2. Sean B ∈ H y s > 0. El collar

(B)s = {x ∈ Rn : d(x, b) ≤ s para algun b ∈ B}

satisface h(B, (B)s) = s y si C ∈ H satisface h(B,C) = s entonces C ⊆ (B)s.

2.4 Circunferencias 13

Prueba: En primer lugar, (B)s ∈ H: sea M una cota para el conjunto B, esto es, |b| = d(b, 0) ≤ Mpara todo b ∈ B. Sea x ∈ (B)s. Entonces existe bx ∈ B tal que d(x, bx) ≤ s. Ası

d(x, 0) ≤ d(x, bx) + d(bx, 0) ≤ s+M.

Luego (B)s es acotado por M + s.Ahora, sea x un punto lımite de (B)s; existe una sucesion {xm} en (B)s que converge a x. Para cadaxm existe un punto bm ∈ B tal que d(xm, bm) ≤ s. Como B es acotado, la sucesion {bm} es acotada,luego hay una subsucesion convergente {al} de {bm}. Como B es cerrado, b = lım aj pertenece aB. Sea ε > 0; escogiendo K > 0 tal que m, j > K implique d(x, xm) < ε/2 y d(b, aj) < ε/2, parap > K se tiene que

d(x, b) ≤ d(x, xp) + d(xp, ap) + d(ap, b) < ε+ s.

Esto muestra que d(x, b) ≤ s y que x ∈ (B)s, por lo tanto (B)s es cerrado y es compacto.Ahora se vera que h(B, (B)s) = s. Notese que como B ⊂ (B)s, se tiene d(B, (B)s) = 0. Para cadax ∈ (B)s hay un bx ∈ B tal que d(x, bx) ≤ s. Por tanto d(x,B) ≤ s para todo x ∈ B. Esto muestraque d((B)s, B) ≤ s y, por tanto, h(B, (B)s) ≤ s. Para obtener la igualdad basta con encontrarun elemento en (B)s − B que diste s unidades de B. Sea b ∈ B tal que |b| sea maxima1, y seax = (1 + s

|b|)b. Entonces d(x, b) = |x− b| = s y ası x es el punto en la lınea a traves del origen y de

b que esta s unidades mas lejos del origen que b. Como |x| > |b|, se sigue que x 6∈ B. Para mostrarque d(x,B) = s se debe ver que no hay un punto en B mas cercano a x que b. Esto se tiene pues,para c ∈ B,

|x− b| = |x| − |b| ≤ |x| − |c| ≤ |x− c|,Es decir d(x, c) ≥ d(x, b) = s para todo c ∈ B y ası h(B, (B)s) = s.Finalmente, para ver que (B)s es el mas grande elemento deH que esta a una distancia de Hausdorffs de B, sea C ∈ H con h(B,C) = s y sea c ∈ C. Entonces s = h(C,B) ≥ d(C,B) ≥ d(c,B) implicaque existe un b ∈ B tal que d(c, b) ≤ s. Por tanto, c ∈ Ns(b) ⊆ (B)s debido a la proposicion 10. ♠

Ası, si un elemento C esta a una distancia r de un elemento B dado, C debe estar contenido enel collar (B)r.El siguiente teorema es una caracterizacion de las circunferencias de H.

Teorema 3. Sea B ∈ H. Entonces A ∈ Cr(B) si y solo si A es un compacto no vacıo de Rn y

1. A ⊆ (B)r

2. A ∩Nr(b) 6= ∅ para cada b ∈ B.

3. A ∩ ∂( ⋃

b∈B

Nr(b)

)6= ∅ o existe b ∈ B tal que A ∩ ∂Nr(b) 6= ∅ y A ∩Nr(b) = ∅.

1Siempre que B 6= {0}, ya que si B = {0}, el collar (B)s coincide con Ns(0) y ası claramente se tiene h(B, (B)s) =d((B)s, B) = s.


Para la prueba del teorema 3 se hace uso del siguiente lema.

Lema 4. Sea B ∈ H. Se tiene

∂

(⋃

b∈B

Nr(b)

)=

(⋃

b∈B

∂Nr(b)−⋃

b∈B

Nr(b)

).

Prueba: Suponer que x ∈(⋃

b∈B ∂Nr(b)−⋃

b∈B Nr(b)). Existe un b ∈ B tal que x ∈ ∂Nr(b). Ası,

para cada ε > 0, la vecindad Nε(x) contiene un punto en Nr(b) ⊆⋃

b∈B Nr(b) y un punto que noesta en Nr(b). Realmente, cada Nε(x) debe contener un punto que no esta en

⋃b∈B Nr(b), pues si

no, entonces Nε(x) ⊆⋃

b∈B Nr(b), lo cual implica x ∈ ⋃b∈B Nr(b), que es una contradiccion. Ası,para cada ε > 0 se tiene que Nε(x) contiene un punto en

⋃b∈B Nr(b) y un punto que no esta en⋃

b∈B Nr(b), es decir x ∈ ∂(⋃

b∈B Nr(b)).

Recıprocamente, sea x ∈ ∂(⋃

b∈B Nr(b)). Cada vecindad de x contiene puntos que estan en⋃

b∈B Nr(b) y otros que no estan en⋃

b∈B Nr(b); esto ultimo muestra que x /∈ ⋃b∈B Nr(b). Por

ser B compacto, existe b ∈ B tal que d(x,B) = d(x, b). Entonces tambien se tiene que d(x, b) ≥ r.Como es de esperarse, dicha distancia es igual a r, es decir, x ∈ ∂Nr(b): si fuese mayor a r,d(x, b) = r + γ, con γ > 0, entonces N γ

2

(x) ∩(⋃

b∈B Nr(b))= ∅, ya que un punto w en esta

interseccion pertenece a Nr(bw) para algun bw ∈ B y se seguirıa que

d(x, b) ≤ d(x, bw) ≤ d(w, bw) + d(w, x) < r +γ

2< r + γ,

lo cual no es posible. Entonces N γ2

(x) ∩(⋃

b∈B Nr(b))= ∅ implica que x /∈ ∂

(⋃b∈B Nr(b)

), lo que

contradice la hipotesis. Luego,

d(x, b) = r y x ∈ ∂Nr(b) ⊆⋃

b∈B

∂Nr(b).

♠

Prueba del teorema 3: (⇒)Suponer que A ∈ Cr(B); por definicion, A es un subconjunto compacto no vacıo de Rn. Como sesupone que h(A,B) = r, entonces d(A,B) ≤ r y d(B,A) ≤ r, con igualdad en al menos uno de losdos casos. La ultima afirmacion del teorema 2 es exactamente la condicion 1 del teorema 3.Condicion 2 : Suponer que existe un b ∈ B tal que A ∩Nr(b) = ∅. Entonces, para cualquier a ∈ A,d(a, b) = d(b, a) > r. Como A es compacto, existe un a′ ∈ A tal que d(b, a′) = mın

a∈A{d(b, a)}. Ası,

d(b, A) > r. Por tantoh(A,B) ≥ d(B,A) ≥ d(b, A) > r,

lo cual no es posible. Esto prueba la condicion 2.

Prueba de la condicion 3 : en primer lugar, se vera que siempre existe un x ∈ A ∩ ⋃b∈B ∂Nr(b).En efecto, suponiendo que d(A,B) = r, existe un a ∈ A tal que d(a,B) = r. Se sigue que existe unba ∈ B tal que d(a, ba) = r y ası a ∈ ∂Nr(ba). El argumento para el caso d(B,A) = r es el mismo.Ahora supongase que

A ∩(⋃

b∈B

∂Nr(b)−⋃

b∈B

Nr(b)

)= ∅.

2.4 Circunferencias 15

En otras palabras, para cada x ∈ A ∩ ⋃b∈B ∂Nr(b) existe un yx ∈ B tal que x ∈ Nr(yx). Semuestra que en estas condiciones se tiene d(A,B) < r: Suponer a ∈ A tal que existe un ba ∈ B cond(a, ba) = r. Entonces a ∈ ∂Nr(ba). Pero entonces a ∈ Nr(ya) y d(a, ya) < r. Ası, para cada a ∈ Aexiste un b ∈ B tal que d(a, b) < r. Esto implica d(a,B) < r para cada a ∈ A y por consiguiented(A,B) < r. Como h(A,B) = r, necesariamente se tiene d(B,A) = r. Ahora se muestra que existenb ∈ B y a ∈ A ∩ ∂Nr(b) tales que A ∩ Nr(b) = ∅: Asumiendo lo contrario, es decir, siempre quea ∈ A ∩ ∂Nr(b) tambien se tiene que A ∩ Nr(b) 6= ∅, fıjese un b ∈ B tal que exista un ab ∈ Acon d(b, ab) = r. Entonces ab ∈ ∂Nr(b). Si A ∩ Nr(b) 6= ∅, existe un elemento a′ ∈ A ∩ Nr(b) cond(b, a′) < r. De nuevo, esto muestra que para todo b ∈ B existe un a ∈ A tal que d(b, a) < r, locual implica que d(B,A) < r. Esta contradiccion prueba la condicion 3.

(⇐)Recıprocamente, suponer que un elemento A ∈ H satisface las condiciones 1, 2 y 3. Sea a ∈ A. Lacondicion 1 implica que existe un b ∈ B tal que d(a, b) ≤ r. Por tanto, d(a,B) ≤ r para cada a ∈ Ay ası d(b, a) ≤ r. Sea ahora b ∈ B. La condicion 2 implica que existe un a ∈ A tal que d(b, a) ≤ r ypor consiguiente d(B,A) < r. Se sigue entonces que h(A,B) ≤ r.

Para obtener la igualdad, se usan los casos de la condicion 3: Notese que en cualquiera de los casos

se tiene que A ∩( ⋃

b∈B

∂Nr(b)

)6= ∅. Suponer que

a ∈ A ∩(⋃

b∈B

∂Nr(b)−⋃

b∈B

Nr(b)

).

Entonces existe un punto ba ∈ B tal que a ∈ ∂Nr(ba) (y por tanto d(a, ba) = r). Como a /∈⋃b∈B Nr(b), se sigue que d(a, b) ≥ r para todo b en B con igualdad si b = ba. Esto muestra que

d(A,B) = r y h(A,B) = r. En el otro caso de la condicion 3, existe un punto b ∈ B tal quea ∈ ∂Nr(b) y A∩Nr(b) = ∅. Entonces se tiene que d(b, x) ≥ r para todo x ∈ A, con igualdad validapara x = a. Esto muestra que d(B,A) = r y ası h(B,A) = r. ♠

Unos sencillos ejemplos ilustran las condiciones del teorema 3. La primera condicion ciertamentees razonable, ya que la distancia de Hausdorff entre elementos A y B viene dada por la distanciausual d(a, b) entre dos puntos a ∈ A y b ∈ B, de modo que si se quiere que h(A,B) sea igual a r,todo punto de A debe estar por mucho a una distancia r de B. Para ilustrar la necesidad de lascondiciones 2 y 3, considerar B = {b1, b2} en R2 y los elementos A sombreados en la figura 2.11.En la situacion de la izquierda, no se cumple la condicion 2 del teorema: en este caso, d(b2, A) > r,ası que h(A,B) ≥ d(B,A) > r. En la situacion de la derecha, no se cumple la segunda partede la condicion 3 : en este caso, tanto d(A,B) como d(B,A) son menores que r, lo que implicah(A,B) < r.

r r rr

AA

� � � �

b1 b2 b1 b2

d(B, A) > r. d(A, B) < r y d(B, A) < r.

Figura 2.11: Las condiciones 2 y 3 son necesarias.


Ahora considerar la figura 2.12. En ambas situaciones se cumplen las condiciones 1 y 2. A laizquierda, se satisface la primera parte de la condicion 3 ; a la derecha se satisface la segunda partede esta. De modo que en ambos casos se tiene h(A,B) = r; aquı, B = {b1, b2}.

r r rr

A A

� � � �

b1 b2 b1b2

Figura 2.12: Los elementos sombreados estan a una distancia r de B.

El teorema 3 permitira explorar cuestiones como las siguientes:

Con la distancia de Hausdorff se definira en breve el concepto de segmentos en H. ¿Son estossegmentos en algun sentido similares a los segmentos euclidianos de Rn?

¿Como se podrıa definir la convexidad en el espacio H?

Sobre estas y otras preguntas trataran los siguientes capıtulos.

3 Lıneas y segmentos en H(Rn)

3.1. Lıneas

Las lıneas rectas en Rn pueden caracterizarse mediante el hecho de que cualesquiera tres de suspuntos satisfacen la igualdad en la desigualdad triangular. Dados dos puntos a, b ∈ Rn se puedenencontrar infinidad de puntos c de manera que se cumplan las igualdades d(c, b) = d(c, a) + d(a, b),d(a, b) = d(a, c)+d(c, b) o d(a, c) = d(a, b)+d(b, c); estos puntos pertenecen a una unica lınea recta.Como esta idea se basa unicamente en la distancia entre los puntos, se puede extender al espacioH.

Definicion 5. Sean A, B elementos distintos en H. La lınea determinada por A y B se definecomo la coleccion de elementos C ∈ H que satisfacen al menos una de las siguientes igualdades:

1. h(A,B) = h(A,C) + h(C,B),

2. h(A,C) = h(A,B) + h(B,C),

3. h(C,B) = h(C,A) + h(A,B).

De aquı en adelante, el termino “lıneas” se refiere a las colecciones descritas por la definicion 5;se dira “lıneas euclidianas” para hacer referencia a las lıneas rectas usuales en Rn.

Ejemplo 6. Considerar el subespacio P de H cuyos elementos son todos los conjuntos unipuntualesde Rn. En P, la lınea determinada por dos elementos A = {a} y B = {b} consta de todos los C = {c}tales que c esta en la lınea euclidiana determinada por a y b (esto se tiene inmediatamente a partirde la definicion 5), y por lo tanto las lıneas euclidianas poseen una copia en P.

Sin embargo, las lıneas en H que se sabe que pasan por dos elementos unipuntuales, tienen otroselementos aparte de los unipuntuales.

Proposicion 11. La lınea en H que contiene dos elementos unipuntuales A = {a} y B = {b} poseemas elementos que los conjuntos unitarios cuyos puntos pertenecen a la lınea euclidiana

←→ab .

Prueba: Sean A = {a}, B = {b}, h(A,B) = r > 0 y considerese el rayo euclidiano−→ab; sean c, e

dos puntos en este rayo tales que d(a, c) = 2r y d(a, e) = 3r. Sea C = ce (figura 3.1). Entoncesd(C,A) = d(e, a) = 3r y d(A,C) = d(a, c) = 2r. Por tanto, h(A,C) = 3r. Asimismo, d(C,B) =d(e, b) = 2r y d(B,C) = d(b, c) = r, de modo que h(B,C) = 2r. Se sigue entonces que h(A,C) =h(A,B) + h(B,C) y ası C esta en la lınea que pasa por A y B. ♠

18 3 Lıneas y segmentos en H(Rn)

1

A

B

c

eC

�

�

�

�

Figura 3.1: h(A, B) = 1, h(A, C) = 3 y h(B, C) = 2.

Si por ejemplo se cambia el punto c por un punto c′ tal que d(a, c′) = 52r y se considera el

elemento C = c′e, se obtiene la misma conclusion. Entonces se puede decir que, a diferencia de loque ocurre en Rn, en una ubicacion dada de una lınea en H puede haber infinitos elementos. Opuede suceder algo mas extrano...Sea B el cuadrado con vertices en los puntos (2, 2), (2,−2), (−2,−2) y (−2, 2). La siguiente proposi-cion es de facil verificacion.

Proposicion 12. Sea q0 el origen en R2. El cuadrado B satisface Ns+4(q0) ⊂ Ns+2(B) para cadas > 0.

Sean ahora A el disco unitario en el plano, y B el cuadrado de la proposicion 12. Se vera que noexiste C ∈ H(R2) tal que h(C,A) + h(A,B) = h(C,B).Si existe C tal que h(C,B) = h(C,A) + h(A,B), sea h(C,A) = s. En la figura 3.2 se muestran loselementos A y B; el segmento indica la distancia entre ellos.

AB

Figura 3.2: El segmento punteado indica que h(A, B) = 2.

Como h(A,B) = 2, se tiene que h(C,B) = s + 2. Por definicion, C ∈ Cs(A) y C ∈ Cs+2(B).Usando el teorema 3 se puede mostrar ahora que h(C,A) > s, lo cual contradice el hecho que

3.2 Segmentos 19

C ∈ Cs(A).La ultima condicion del teorema 3 indica que C ∩ ∂Ns+2(B) 6= ∅ o que existen b ∈ B y c ∈C ∩ ∂Ns+2(b) tales que C ∩ Ns+2(b) = ∅. Suponer que c ∈ C ∩ ∂Ns+2(B). Como Ns+2(B) =⋃

b∈B Ns+2(b), entonces Ns+2(B) es abierto, luego es igual a su interior y es disjunto de su frontera.Ası c /∈ Ns+2(B) lo cual, por la proposicion anterior, implica que c /∈ Ns+4(q0). Entonces,

d(q0, c) ≥ s+ 4.

Si a ∈ A, entonces d(q0, c) ≤ d(q0, a) + d(a, c). Por lo tanto

s+ 4 ≤ d(q0, a) + d(a, c) ≤ 1 + d(a, c),

debido a que A es el disco unitario centrado en el origen q0 y a ∈ A. De modo que d(a, c) ≥ s+3 > spara cualquier a ∈ A, lo cual muestra que c /∈ ⋃a∈A Ns(a) y esto contradice la segunda afirmaciondel teorema 3. Por lo tanto deben existir b0 ∈ B y c0 ∈ C ∩ ∂Ns+2(b0) tales que C ∩Ns+2(b0) = ∅.Esto implica que existe algun a0 ∈ A tal que d(a0, c) > s para todo c ∈ C, lo cual indica queh(A,C) > s:En efecto, escogiendo a0 tal que d(b0, a0) = d(b0, A), para cualquier c ∈ C la desigualdad triangulard(b0, c) ≤ d(b0, a0) + d(a0, c) muestra que

d(a0, c) ≥ d(b0, c)− d(b0, a0).

Ahora, como c0 ∈ ∂Ns+2(b0), se tiene que d(b0, c0) = s + 2. Como tambien C ∩ Ns+2(b0) = ∅,d(b0, c) ≥ s + 2 para cualquier otro c en C. Luego d(a0, c) ≥ s + 2 − d(b0, a0). Observese que ladistancia d(B,A) es igual a 2

√2− 1, luego d(b0, A) = d(b0, a0) ≤ 2

√2− 1 y por tanto

d(a0, c) ≥ s+ 2− (2√2− 1) = s+ (3− 2

√2) > s,

es decir d(a0, c) > s. Como el punto c ∈ C es arbitrario, se concluye que d(a0, C) > s y queh(A,C) ≥ d(A,C) ≥ d(a0, C) > s, es decir C /∈ Cs(A), lo cual contradice la hipotesis. Luego noexiste C ∈ H(R2) tal que h(C,B) = h(C,A) + h(A,B).

♠

3.2. Segmentos

Definicion 6. Dados A,B ∈ H se define el segmento con extremos A y B, denotado por AB,como la coleccion de todos los C ∈ H que satisfacen

h(A,B) = h(A,C) + h(C,B).

Para indicar que un elemento C pertenece al segmento AB se escribira ACB.

Lema 5. Sean A,B ∈ H, h(A,B) = r > 0 y sea

Cs = (A)s ∩ (B)r−s

para cada s ∈ [0, r]. Entonces h(A,Cs) = s y h(Cs, B) = r − s.


A B

r−

s

s

Cs

r

Figura 3.3: El conjunto Cs.

Prueba: Primero se ve que Cs es no vacıo: por el corolario 1 existen a ∈ A y b ∈ B tales que

d(a, b) = h(A,B) = r; considerar el rayo−→ab y sea x el punto de este rayo tal que d(a, x) = s.

Claramente x ∈ (A)s y como d(x, b) = d(b, x) = d(b, a)− d(x, a) = r − s, se tiene que x ∈ (B)r−s.Ası, ∅ 6= {x} ⊆ Cs. Ahora, por el teorema 2 los collares (A)s y (B)r−s son compactos, luegocerrados, por lo tanto Cs = (A)s ∩ (B)r−s es cerrado y como esta contenido en un compacto setiene que Cs es compacto.

Se muestra que h(A,Cs) = s, verificando las tres condiciones del teorema 3:

1. Claramente, Cs ⊆ (A)s.

2. Cs ∩Ns(a) 6= ∅ para cada a ∈ A: sea a ∈ A y considerar b ∈ B tal que d(a, b) = d(a,B). Seax ∈ ab tal que d(a, x) = s. Entonces x ∈ (A)s y h(A,B) = r ≥ d(A,B) ≥ d(a,B) = d(a, b)implica

d(b, x) = d(x, b) = d(a, b)− d(a, x) ≤ r − s,

luego x ∈ (B)r−s.

3. A∩∂(⋃c∈CsNs(c)) 6= ∅ o existe c ∈ Cs tal que A∩∂Ns(c) 6= ∅ y A∩Ns(c) = ∅: se tiene, por el

teorema 3, que h(A,B) = r implica que A y B satisfacen al menos una de las dos condicionesdel ıtem 3 del teorema. Para fijar las ideas, suponer que se tiene la segunda condicion: existeb ∈ B tal que A ∩ ∂Nr(b) 6= ∅ y A ∩Nr(b) = ∅. En esta situacion, tomese x ∈ A ∩ ∂Nr(b) ysea c el punto del segmento xb tal que d(x, c) = s (figura 3.4). Entonces c ∈ Cs pues x ∈ A,b ∈ B, d(x, c) = s y d(b, c) = r − s. Asimismo x ∈ A ∩ ∂Ns(c), luego esta interseccion es novacıa. De igual manera, la interseccion A ∩ Ns(c) es vacıa, ya que si existe w ∈ A ∩ Ns(c),entonces d(w, c) < s implica d(w, b) ≤ d(w, c)+d(c, b) < s+r−s = r, luego w ∈ A∩Nr(b), locual no es posible pues A ∩Nr(b) = ∅. De modo que A y Cs satisfacen la segunda condiciondel ıtem 3 del teorema 3.

Un razonamiento analogo muestra que si A y B satisfacen la primera condicion del ıtem 3del teorema 3, entonces la misma condicion la cumpliran A y Cs (ver figura 3.5).

Entonces los elementos A y Cs satisfacen todas las condiciones del teorema 3 y por lo tantoh(A,Cs) = s.

La prueba de que h(Cs, B) = r − s es similar. ♠

3.2 Segmentos 21

B

r−

ss

s

r

� � �bcx

Cs

A

Figura 3.4: x ∈ A ∩ ∂Ns(c) y A ∩Ns(c) = ∅.

A B

r−

s

r

s

s

x

bc

Cs

∂

(⋃

c∈Cs

Ns(c)

)

∂Ns(c)

�

�

�

Figura 3.5: x ∈ A ∩ ∂

(⋃

c∈Cs

Ns(c)

)= A ∩

(⋃

c∈Cs

∂Ns(c) −⋃

c∈Cs

Ns(c)

).

Con base en el lema anterior se puede dar la siguiente definicion.

Definicion 7. Sean A 6= B ∈ H. Se dice que C,C ′ estan en la misma ubicacion -entre

A y B- si C,C ′ ∈ H satisfacen ACB y AC ′B, y ademas h(A,C) = s = h(A,C ′) para algun0 < s < h(A,B).

De modo que, dado un segmento de Hausdorff AB con h(A,B) = r > 0, siempre hay al menosun elemento -Cs- en una ubicacion dada, entre A y B. De hecho, el lema 5 junto con el teorema2 muestran que Cs es el mayor elemento -en el sentido de la contenencia- que se encuentra enuna ubicacion dada, en el segmento AB. El elemento Cs no necesariamente es unico: el siguienteresultado (lema 4 de [16]) muestra que, a diferencia de lo que sucede en Rn, hay segmentos coninfinidad de elementos en una ubicacion dada.


Teorema 4. Sean A,B ∈ H, con h(A,B) = r. Si existe a ∈ A tal que d(a,B) 6= r o b ∈ B tal qued(b, A) 6= r, entonces hay infinidad de elementos C ∈ H que satisfacen ACB y h(A,C) = s paraun s ∈ (0, r) dado.

En la figura 3.6 se muestra dos elementos A, B y dos elementos C, diferentes de Cs, que estan enla misma ubicacion de Cs. En la figura 3.7 se muestra un elemento C que, pese a estar contenidoen Cs -de hecho en su frontera-, no esta en la misma ubicacion de Cs.

A

B

Br−s Br−s

As As

A

B

Figura 3.6: Izquierda: los elementos C1 = Cs − Int(paralelogramo) y C2 = ∂Cs satisfacen ACiB, i = 1, 2.

�

A

Bp

As

Br−s

Figura 3.7: El conjunto C = {p} esta contenido en Cs pero no esta en el segmento AB.

Hasta aquı se han visto condiciones suficientes para que un elemento de un segmento dado este enuna ubicacion fija. Finalizando esta seccion, se aborda la cuestion recıproca: se busca una condicionnecesaria para que el elemento dado este en la ubicacion fijada. Ya hay una tal condicion: dados Ay B, se sabe que si un elemento C esta en la misma ubicacion de Cs, entonces C ⊆ Cs. Pero ¿hayalguna otra relacion entre C y Cs? el siguiente es un corolario del teorema 3, corolario que muestraque tal elemento C no es del todo arbitrario. Primero se tiene la siguiente

Observacion. Los conjuntos Cs y (B)r−s satisfacen

Cs ∩ ∂(B)r−s ⊆ ∂Cs.

En efecto, sean w ∈ Cs ∩ ∂(B)r−s y Nε(w) una vecindad de w, con ε > 0. Esta vecindad contieneun punto z que no esta en (B)r−s, luego z /∈ Cs pues Cs ⊆ (B)r−s. Asimismo Nε(w) contiene un

3.2 Segmentos 23

punto de Cs: el punto w. Luego, w pertenece a la frontera de Cs.Cuando se tiene que A,B ∈ H con h(A,B) > 0, existen dos puntos a ∈ A, b ∈ B tales qued(a, b) = h(A,B); sin perdida de generalidad se puede suponer que h(A,B) = d(A,B). Por el lema1 se tiene que d(a,B) ≥ d(x,B) para todo x ∈ A y d(a, b) ≤ d(a, y) para todo y ∈ B. A un segmentoab formado por un par de tales puntos a, b se le llamara segmento distancia entre A y B.

Corolario 2. Sean A,B ∈ H con h(A,B) = r > 0, s ∈ (0, r), Cs = (A)s ∩ (B)r−s y sea ab unsegmento distancia entre A y B. Si C ∈ H esta en la misma ubicacion de Cs, entonces existenb′ ∈ B y c ∈ C tales que:

El segmento ab′ es un segmento distancia entre A y B;

c ∈ ab′ ∩ ∂Cs (en particular, C ∩ ∂Cs 6= ∅).

Prueba: Sin perdida de generalidad suponer que r = h(A,B) = d(A,B). Por la parte 2 del teorema3, h(C,A) = s implica que existe c ∈ C∩Ns(a). Se tiene que existe b

′ ∈ B tal que d(c,B) = d(c, b′),y como c ∈ C ⊆ Cs ⊆ (B)r−s, se tiene que d(c, b′) ≤ r − s. La definicion de h implica quer = d(a, b) ≤ d(a, b′). Entonces no es posible que d(a, c) < s ya que esto implicarıa r ≤ d(a, b′) ≤d(a, c)+d(c, b′) < s+(r−s) = r. Luego, como d(a, c) ≤ s (pues c ∈ Ns(a)), se sigue que d(a, c) = sy por lo tanto

r − s = r − d(a, c) ≤ d(c, b′) ≤ r − s⇒ d(c, b′) = r − s.

Por consiguiente se tiene que r ≤ d(a, b′) ≤ d(a, c)+d(c, b′) = s+(r−s) = r, por lo cual d(a, b′) = ry c ∈ ab′.Como d(a, b) = r = d(a, b′), se sigue inmediatamente que ab′ es un segmento distancia entre A yB. Finalmente, d(c,B) = d(c, b′) = r − s implica que c ∈ ∂(B)r−s y por consiguiente

c ∈ Cs ∩ ∂(B)r−s ⊆ ∂Cs.

♠

Como una ilustracion del corolario, se muestra la figura 3.8 de la pagina siguiente, en donde loselementos A y B son el disco cerrado y el cuadrado respectivamente, y C es la curva en gris; notesela necesidad de que un punto de la frontera de Cs, a saber el punto p4 = c, pertenezca a C. Sepuede decir, informalmente, que “si un C quiere estar en el mismo lugar de Cs, no puede evitartocarlo en algun punto de su frontera”.


� ��

a b

b′

p1

p2

p3

c

A

BCs

C

r − s

s

��

��

��

Figura 3.8: Para A y B existen cuatro segmentos distancia; uno de ellos es ab. C esta en la misma ubicacion de Cs;El corolario 2 implica que, si p1, p2 y p3 no estan en C, entonces p4 = c debe estar en C.

Se ve entonces la importancia del conjunto Cs en el estudio de las propiedades de un segmentode Hausdorff, a la luz de estos resultados.

4 Convexidad

En Rn, un conjunto convexo es un conjunto C tal que, dados dos puntos cualesquiera a, b ∈ C,el segmento euclidiano ab esta totalmente contenido en C. Si se define algo similar en H, se llegaa que habra mas de una manera de definir la convexidad en este espacio, segun como se mirenlos puntos de un segmento euclidiano. En efecto: sea L = ab un segmento arbitrario en Rn y seac ∈ L. Suponiendo que la distancia de a hasta c es s y que la longitud de L es igual a r > 0, cabepreguntarse acerca de:

Todos los puntos de L que estan a una distancia s de a y a una distancia r − s de b.

Claramente, aquı la expresion “todos” se refiere al punto c ∈ L, el unico punto de L que esta atales distancias de a y b. Esta unicidad implica, naturalmente, que c tambien es:

El mas grande objeto geometrico contenido en L que esta a una distancia s de a y a unadistancia r − s de b;

El mas pequeno objeto geometrico no vacıo y contenido en L, que esta a una distancia s dea y a una distancia r − s de b;

Todas estas afirmaciones sobre c son obvias... en el espacio euclidiano, y en todos los casos se refierenal mismo objeto geometrico: El punto c. Pero tales afirmaciones no necesariamente se refieren aun mismo objeto si dicho objeto es un elemento del hiperespacio H, debido a la naturaleza de lossegmentos de Hausdorff en H: en una ubicacion dada de un segmento AB ⊂ H puede haber unacantidad infinita de elementos, segun lo muestra el teorema 4.La siguiente es quizas la definicion mas natural de convexidad en H.

4.1. Convexidad completa

Definicion 8. Una coleccion F ⊆ H es Completamente Hausdorff Convexa (abreviado CHC)si, dados A,B ∈ F , el segmento de Hausdorff AB esta contenido en F .

Esto quiere decir que la coleccion de todos los C que satisfacen ACB debe ser un subconjuntode F .

Ejemplo 7. Todo segmento de Hausdorff es CHC.

26 4 Convexidad

Ejemplo 8. Sea K ⊆ Rn convexo y compacto no vacıo, y sea F = {{x} : x ∈ K}; F es la imagende K por la isometrıa i de la seccion 2.1. Entonces F es CHC pues, dados A = {a} y B = {b}, porla primera observacion despues del lema 5 se tiene que el segmento de Hausdorff AB se componeexactamente de todos los C = {c} tales que c ∈ ab; como c ∈ ab ⊆ K, se sigue que {c} = C ∈ F .En resumen,

Proposicion 13. Sean i la isometrıa del final de la seccion 2.1 y K ⊆ Rn compacto no vacıo. SiK es convexo entonces i(K) ⊆ H(Rn) es CHC.

Ejemplo 9. Sea F = {C(0, t) : t > 0} la coleccion de todas las circunferencias de radio positivocentradas en el origen de R2, y sean A = C(0, r1), B = C(0, r2) ∈ F . Suponer h(A,B) = r yr1 < r2. Facilmente se ve que r = r2 − r1. Se tiene que si un elemento C satisface ACB, es decirh(A,C) = s y h(C,B) = r − s para algun s entre 0 y r, entonces C ⊆ Cs. Asimismo, es facil verque Cs = C(0, r3) para r3 = r1 + s. De modo que si C satisface ACB, debe ser un subconjunto dela circunferencia C(0, r3). Ademas, si C ( C(0, r3), sea x ∈ C(0, r3)−C y considerese el segmentodistancia entre A y B que pasa por x (figura 4.1).

r� ��

r − ss x

Cs

A

B

C

Figura 4.1: r < h(A, C) + h(C, B) y no se satisface ACB.

Se observa que h(A,C) > s y h(C,B) > r− s (segmentos punteados), luego h(A,C) + h(B,C) > ry ası C /∈ AB. Por lo tanto C ∈ AB si y solamente si C = Cs para algun s ∈ (0, r) y ası C(0, r3) =Cs = C ⇒ C ∈ F . Esto muestra que la coleccion F es CHC. ♠

Por otra parte, es facil dar un ejemplo de una coleccion que no es CHC.

Ejemplo 10. Considerense dos puntos a, b ∈ Rn distintos y sean A = {a}, B = {b}, y Υ = {A,B}.Si la distancia entre los puntos es d(a, b) = h(A,B) = r, es claro que para ningun s ∈ (0, r) elelemento Cs pertenece a Υ.

Sin embargo, es complicado encontrar ejemplos no triviales de colecciones F que sean CHC; laproposicion 13 es, probablemente, la manera mas simple de hallar tales colecciones; la condicion deque todos los subconjuntos de Cs en su misma ubicacion pertenezcan a F es bastante fuerte. Lasiguiente definicion de convexidad debilita tal condicion, exigiendo solamente que el elemento masgrande en una ubicacion dada -el conjunto Cs- este en la coleccion.

4.2 Convexidad fuerte 27

4.2. Convexidad fuerte

Definicion 9. Sea F ⊆ H no vacıa. Decimos que la coleccion F es Fuertemente Hausdorff

Convexa (abreviatura: FHC) si para todo par A,B ∈ F y s ∈ (0, r), el elemento Cs pertenece aF .

Notese que toda coleccion CHC es FHC; a continuacion viene un ejemplo de una coleccion FHCque no es CHC.

Ejemplo 11. Sea D = D(0, k) un disco cerrado centrado en el origen de radio k, y sea

F = {N(0, t) : 0 < t ≤ k}

la coleccion de todos los discos cerrados de radio positivo, contenidos en D, centrados en el origende R2. Sean A = N(0, r1), B = N(0, r2) ∈ F , h(A,B) = r > 0 y s ∈ (0, r); suponer que r1 < r2.Como en el ejemplo 9, se tiene que r = r2 − r1 y tambien que (A)s = N(0, r1 + s) (figura 4.2).

r1

r2

sr − s

r3

Cs

A

B

D

Figura 4.2: Cs = C(0, r3), con r3 = r1 + s; notese que Cs = (A)s.

Asimismo, (B)r−s = N(0, r2 + r − s), y como s < r y r1 = r2 − r, se tiene

r1 + s < r + (r2 − r)⇒ r1 + s < r2 < r2 + r − s;

Entonces Cs = N(0, r1 + s) ∩ N(0, r2 + r − s) = N(0, r1 + s), luego Cs = N(0, r1 + s) ⇒ Cs ∈ Fya que r1+s < r2 ≤ k; por lo tanto F es FHC. No obstante, notese que F no es CHC: Por ejemplo,la region C de la figura 4.3, que es igual a Cs sin el interior del pequeno disco1, satisface ACB yno es un disco en sı, luego C 6∈ F .

Por otro lado, la coleccion binaria Υ del ejemplo 10 no es FHC ni CHC.Existe un criterio (teorema 4.19 de [10]) para determinar cuando una coleccion dada de elementosno es FHC.

1Debe tenerse, concretamente, que el radio del “pequeno disco” sea menor o igual al mınimo entre r − s y s, paraque ası C este en la ubicacion requerida.

28 4 Convexidad

r1

r2

sr − s

r3

C

A

B

D

Figura 4.3: C satisface ACB y no es un disco.

Teorema 5 (Criterio FHC). Sea F ⊆ H no vacıa. Si existen elementos A ∈ F y B ∈ F talesque

d(a, b2) < d(a, b1) = h(A,B),

para algunos puntos a ∈ A ∩ ∂(⋃

C∈F C

)y b1, b2 ∈ B, entonces la coleccion F no es FHC.

Demostracion. Sea r = h(A,B); se muestra que F no es FHC exhibiendo, para cierto s > 0, un Cs

tal que Cs *⋃

C∈F C, de lo cual se sigue que Cs 6∈ F .Sea s = d(a,b1)−d(a,b2)

2 ; notese que 0 < s < r. Por definicion de ∂

(⋃C∈F C

), existe w ∈ N s

2

(a) tal

que w 6∈ ⋃C∈F C. Entonces

d(a,w) < s/2⇒ w ∈ (A)s/2 ⊂ (A)s ⇒ w ∈ (A)s.

Ahora, de la desigualdad d(a, b2) < d(a, b1) se tiene

1

4d(a, b2) <

1

4d(a, b1)

d(a, b2) < d(a, b1)−3

4d(a, b1) +

3

4d(a, b2)

d(a, b2) < r − 3

2

(d(a, b1)− d(a, b2)

2

)

d(b2, w) ≤ d(a, b2) + d(a,w) < r − 3

2s+

s

2d(b2, w) < r − s.

Esto significa que w ∈ (B)r−s. Luego w ∈ (A)s ∩ (B)r−s = Cs y asi Cs *⋃

C∈FC. ♠

Ejemplo 12. Sean x ∈ Rn y ε > 0, y considerese la coleccion F = Dh({x}, ε) de todos los C talesque h({x}, C) ≤ ε. Tomando a ∈ Rn tal que d(x, a) = ε y b ∈ Rn distinto de x tal que b ∈ xa y

4.2 Convexidad fuerte 29

d(a, b) < ε, sean B = {x} ∪ {b} y A = {a}. Observese que a ∈ ∂A ∈ F y

( ⋃

C∈FC

)⊆ ({x})ε = Nε(x),

lo cual implica que a ∈ ∂(⋃

C∈F C). Luego, para a y para b1 = x y b2 = b se tienen las condicionesdel criterio FHC y ası el disco de radio ε centrado en {x} no es FHC ni CHC. ♣

Una cuestion abierta es si hay mas definiciones de convexidad a considerar; por ejemplo, una enla que el disco del ejemplo anterior sea convexo.

30 4 Convexidad

5 Conclusiones

Segun se ha visto en la mayorıa de los ejemplos presentados hasta aquı, la geometrıa del hiperes-pacio (H(Rn), h) es bastante singular, poco intuitiva. Existen muchas preguntas que aun no sehan respondido. Por ejemplo, en el marco de la convexidad, no se conocen caracterizaciones de lostipos de convexidad CHC y FHC. Una pregunta interesante puede ser la siguiente: se tiene queCs es el mayor conjunto en una ubicacion dada. Si siempre existiese a la vez un menor conjuntoen esa misma ubicacion, quizas sea posible definir un nuevo tipo de convexidad, aquella en la quese pida que tal conjunto, de cardinal mınimo entre todos los de su misma ubicacion, pertenezca ala coleccion dada. Este “cardinal mınimo” serıa finito (segun se sugiere en [1, 7, 8, 10]) y ası sepodrıa hablar de una “convexidad finita”. Siguiendo con la misma idea, es interesante tambien elestudio de los conjuntos C finitos que estan en una ubicacion dada, para ciertas clases de elementosA,B de H(Rn); por ejemplo, en el estudio del cardinal de tales conjuntos C aparecen, de formainesperada, los numeros de Lucas y Fibonacci, entre otros (a tales clases de conjuntos A,B se lesconoce con el nombre de configuraciones; un estudio detallado de las configuraciones se muestraen [6, 7, 8]). Las configuraciones, de hecho, presentan algunas conexiones con la teorıa de numeros(ver [6]). Segun la lınea que a cada uno interese, bien sea numerica, geometrica o conjuntista, eltema se presenta como una rica nueva fuente de ejemplos y situaciones a considerar. El estudio deesta materia esta apenas en su infancia; estudios mas profundos requeriran, seguramente, trabajoingenioso, creativo. Este es, pues, un tema en el que hay mucho por explorar.

32 5 Conclusiones

Bibliografıa

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geometr¶‡aenelhiperespacio h rn · 2016-11-30 · agradecimientos agradezco de manera especial...

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