PEMBAHASAN

GEOMETRI EUCLID

A. Definisi Geometri

Salah satu cabang dari Matematika adalah Geometri. Geometri berasal dari bahasa

Yunani yaitu geo yang artinya bumi dan metro yang artinya mengukur. Geometri adalah

cabang Matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang

berkenaan dengan relasi ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan

kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri. Aksioma demikian

tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi

matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan

kesimpulan logis. Menurut Novelisa Sondang  bahwa “Geometri menjadi salah satu ilmu

Matematika yang diterapkan dalam dunia arsitektur; juga merupakan salah satu cabang ilmu

yang berkaitan dengan bentuk, komposisi, dan proporsi.” Muhamad Fakhri Aulia

menyebutkan bahwa  geometri dalam pengertian dasar adalah sebuah cabang ilmu yang

mempelajari pengukuran bumi dan proyeksinya dalam sebuah bidang dua dimensi.

Alders (1961) menyatakan bahwa ”Geometri adalah salah satu cabang Matematika yang

mempelajari tentang titik, garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran-

ukurannya, dan hubungannya antara yang satu dengan yang lain.”Dari beberapa definisi

Geometri di atas dapat disimpulkan bahwa Geometri adalah salah satu cabang Matematika

yang mempelajari tentang bentuk, ruang, komposisi beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya

dan hubungan antara yang satu dengan yang lain.

B. Euclid

Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti

Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti

Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi

dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.

Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid

yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Iskandariah, Mesir,

di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan,

kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku

dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak

pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang

dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang

1

sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada

cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh

dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-

dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus

diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah

difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara

pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan

terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain

terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu

mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.

Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan

tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu

hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan

semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya

ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam

berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan

mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam

beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The

Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku

itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah

pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.

Di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain

pihak. Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di

Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran

soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti

Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada

sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis

yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah

rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh

Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya

teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur matematika

teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang

punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus

tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan

2

dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan. Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa

ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal

yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada

umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem

abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan sendirinya teori

euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya.

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton

menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The

Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan

memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi

asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan

filosof Spinoza. Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid . bukan

satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat

direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang

merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima

orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam

penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam"

dan bintang neutron --misalnya-- dimana gayaberat berada dalam derajat tinggi, geometri

Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan

penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini

langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan

yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak

mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya

dalam sejarah.

C. Sejarah Geometri Euclid

Geometri Euclidean adalah sistem matematika yang dikaitkan dengan Alexandria

matematikawan Yunani Euclid , yang dijelaskan dalam buku teks tentang geometri yaitu

Elements . Metode Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuitif menarik aksioma , dan

menyimpulkan lainnya proposisi ( dalil ) dari ini. Meskipun banyak dari hasil Euclid telah

dinyatakan oleh matematikawan sebelumnya, Euclid adalah yang pertama untuk

menunjukkan bagaimana proposisi-proposisi bisa masuk ke dalam deduktif dan komprehensif

sistem logis . Unsur dimulai dengan pesawat geometri, masih diajarkan di sekolah menengah

sebagai yang pertama sistem aksiomatik dan contoh pertama dari bukti formal . Berpindah ke

3

geometri solid dari tiga dimensi . Banyak dari Elemen menyatakan hasil dari apa yang

sekarang disebut aljabar dan nomor teori , ditulis dalam bahasa geometris.

Selama lebih dari dua ribu tahun, kata sifat "Euclid" tidak diperlukan karena tidak ada

geometri lain yang disusun. Aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas bahwa pembuktian

teorema lainnya dianggap benar dalam arti, mutlak sering metafisik,. Namun, sekarang

banyak lainnya konsisten diri non-Euclidean geometri diketahui, yang pertama yang telah

ditemukan pada awal abad 19. Implikasi dari Einstein teori relativitas umum adalah bahwa

ruang Euclidean adalah pendekatan yang baik terhadap sifat ruang fisik hanya di mana medan

gravitasi tidak terlalu kuat. 

D. Unsur

Unsur terutama sebuah sistematisasi pengetahuan awal geometri. Keunggulannya di

atas perawatan sebelumnya dengan cepat diakui, dengan hasil bahwa ada sedikit minat dalam

melestarikan yang sebelumnya, dan mereka sekarang hampir semua hilang. Buku I-IV dan

VI membahas geometri bidang datar. Banyak hasil tentang tokoh-tokoh pesawat terbukti,

misalnya, Jika segitiga memiliki dua sudut yang sama, maka sisi  yang bersesuaian dengan

sudut tersebut adalah sama . Teorema Pythagoras terbukti. Buku V dan VII-X berurusan

dengan nomor teori, dengan nomor diperlakukan secara geometris melalui representasi

mereka sebagai segmen garis dengan berbagai panjang. Pengertian seperti bilangan prima dan

rasional dan bilangan irasional diperkenalkan. Yang tak terbatas bilangan prima terbukti.

Buku XI-XIII geometri perhatian padat. Hasil khas adalah rasio 01:03 antara volume kerucut

dan silinder dengan ketinggian yang sama dan basis.

Persamaan postulat: Jika dua garis berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah

dari sudut-sudut bagian dalam di satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mau tidak

mau harus dua baris saling berpotongan pada sisi jika diperpanjang cukup jauh.

4

E. Aksioma

Geometri Euclidean adalah sistem aksiomatik , di mana semua teorema ("pernyataan benar")

berasal dari sejumlah kecil aksioma. Menjelang awal buku pertama dari Elemen, Euclid

memberikan lima postulat (aksioma) untuk pesawat geometri , menyatakan dalam hal

konstruksi (sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas Heath):

"Mari berikut akan mendalilkan":

1. "Untuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun. "

2. "Untuk menghasilkan [memperluas] sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam

garis lurus. "

3. "Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak [radius]. "

4. "Itu semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain."

5. Para paralel dalil : "Itu, jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut interior

pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua garis lurus, jika diproduksi

tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat.

Meskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan

konstruksi, mereka juga diambil untuk menjadi unik.

Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":

1. Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya.

2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama

3. Jika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama.

4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain.

5. Keseluruhan lebih besar daripada bagian.

F. Paralel postulat

Untuk nenek moyang, paralel  tampak kurang jelas mendalilkan dari yang lain. Euclid sendiri

tampaknya telah dianggap sebagai yang secara kualitatif berbeda dari yang lain, sebagaimana

dibuktikan oleh organisasi dari Elemen: 28 yang pertama ia menyajikan proposisi adalah

mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu.

Aksioma banyak alternatif dapat dirumuskan yang sama konsekuensi logis sebagai paralel

dalil. Misalnya aksioma Playfair 's menyatakan:

Dalam pesawat, melalui titik tidak pada garis lurus yang diberikan, paling banyak satu baris

dapat ditarik bahwa tidak pernah memenuhi garis yang diberikan.

G. Metode pembuktian

Geometri Euclid adalah konstruktif . Postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan

dan keunikan dari bidang geometri tertentu, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu,

5

kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk

membuatnya dengan lebih dari satu tidak ada kompas dan lurus yang tidak bertanda . Dalam

hal ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem aksiomatik modern

seperti teori set , dimana sering menegaskan keberadaan objek tanpa memberitahukan

bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek yang tidak dapat

dibangun dalam teori. Tepatnya, garis-garis pada kertas model dari objek didefinisikan dalam

sistem formal, bukan contoh objek tersebut. Misalnya garis lurus Euclidean memiliki lebar 

atau tidak, tetapi setiap garis yang ditarik akan nyata . Meskipun hampir semua

matematikawan modern yang mempertimbangkan metode nonconstructive hanya sebagai

suara yang konstruktif, bukti konstruktif Euclid sering diartikan keliru sebagai metode

nonconstructive misalnya, beberapa bukti Pythagorean   nomor  irasional yang terlibat, yang

biasanya diperlukan pernyataan seperti "Cari ukuran umum terbesar dari ... "

Euclid sering digunakan bukti oleh kontradiksi . Geometri Euclidean juga memungkinkan

metode superposisi, di mana angka ditransfer ke titik lain di ruang angkasa. Misalnya,

proposisi I.4, pada kongruensi segitiga dengan aksioma sisi-sudut-sisi, terbukti dengan

memindahkan salah satu dari dua segitiga sehingga salah satu sisinya bertepatan dengan sisi

segitiga sama lain, dan kemudian membuktikan bahwa sisi lain bertepatan juga . Beberapa

perawatan modern menambahkan seperenam postulat, kekakuan segitiga, yang dapat

digunakan sebagai alternatif untuk superposisi.

H. Sistem pengukuran dan aritmatika

Geometri Euclidean memiliki dua tipe dasar pengukuran: sudut dan jarak. Skala sudut adalah

mutlak, dan Euclid menggunakan sudut yang tepat sebagai unit dasarnya, sehingga, misalnya,

sebuah sudut 45 derajat akan disebut sebagai setengah dari sudut kanan. Skala jarak relatif,

satu sewenang-wenang mengambil segmen garis dengan panjang tertentu sebagai unit, dan

jarak lainnya disajikan dalam kaitannya dengan hal itu.

Sebuah garis dalam geometri Euclidean adalah model garis bilangan real . Sebuah segmen

garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik akhir, dan berisi setiap titik pada

garis antara titik akhir. Penambahan diwakili oleh konstruksi di mana satu segmen garis akan

disalin ke akhir dari suatu segmen garis untuk memperpanjang panjangnya, dan juga untuk

pengurangan. Pengukuran luas dan volume berasal dari jarak. Sebagai contoh, sebuah persegi

panjang dengan lebar 3 dan panjang 4 memiliki luas yang mewakili produk, 12. Karena

interpretasi geometris dari perkalian terbatas pada tiga dimensi, tidak ada cara langsung

menafsirkan produk dari empat atau lebih angka, dan Euclid dihindari produk tersebut,

meskipun mereka tersirat, misalnya, dalam bukti buku IX, proposisi 20.

6

Contoh kongruensi. Dua angka di sebelah kiri adalah kongruen, sementara yang ketiga adalah

serupa kepada mereka. Angka terakhir adalah tidak. Perhatikan bahwa  kongruensi mengubah

beberapa sifat, seperti lokasi dan orientasi, tetapi membiarkan yang lain tidak berubah, seperti

jarak dan sudut . Jenis kedua sifat ini disebut invariants dan pelajaran itu adalah inti dari

geometri.

Euclid mengacu pada sepasang garis, atau sepasang bangun planar atau padat, sebagai "sama"

(ἴσος) jika panjang mereka, daerah, atau volume adalah sama, dan juga untuk sudut. Istilah

lebih kuat " kongruen "mengacu pada ide bahwa  bangun dengan seluruh ukuran yang sama

dan bentuk sebagai bentuk lain. Atau, dua bangun yang kongruen jika bangun tersebut dapat

dipindahkan di atas yang lain sehingga cocok dengan persis. (Flipping di atas diperbolehkan.)

Jadi, misalnya, persegi panjang 2x6 dan 3x4 persegi panjang adalah sama tetapi tidak

kongruen, dan huruf R adalah kongruen dengan bayangannya. Angka yang akan kongruen

kecuali untuk ukuran mereka yang berbeda disebut sebagai serupa.

Notasi dan terminologi Penamaan poin dan angka

Poin lazim diberi nama menggunakan huruf alfabet. Objek lainnya, seperti garis, segitiga,

atau lingkaran, diberi nama dengan daftar cukup banyak poin untuk menjemput mereka

keluar jelas dari angka yang relevan, misalnya, segitiga ABC biasanya akan menjadi segitiga

dengan simpul pada titik-titik A, B, dan C .

sudut pelengkap dan penunjang

Sudut yang jumlahnya 90 derajat adalah sudut siku-siku disebut komplementer , sedangkan

sudut yang jumlahnya 180 derajat adalah sudut lurus adalah tambahan (suplementer).

Versi Modern notasi Euclid

Dalam terminologi modern, sudut biasanya akan diukur dalam derajat atau radian .

Buku pelajaran sekolah modern sering mendefinisikan bangun terpisah yang disebut baris

(tak terbatas), sinar (semi-infinite), dan segmen garis (panjang terbatas). Euclid, daripada

membahas sebuah sinar sebagai objek yang meluas hingga tak terbatas dalam satu arah,

biasanya akan menggunakan lokusi seperti "jika baris ini diperpanjang dengan panjang yang

cukup," meskipun ia kadang-kadang disebut "garis yang tak terbatas." Sebuah "garis" dalam

Euclid dapat berupa lurus atau melengkung, dan ia menggunakan istilah yang lebih spesifik

"garis lurus" bila diperlukan.

7

Beberapa hasil penting atau terkenal

Teorema Jembatan keledai  menyatakan bahwa A = B dan C = D.

Jumlah dari sudut A, B, dan C adalah sama dengan 180 derajat. 

Teorema Pythagoras: Jumlah dari bidang dua kotak pada kaki (a dan b) dari sebuah

segitiga siku-siku sama dengan luas persegi pada sisi miring (c).

 

8

Teorema Thales: jika AC adalah diameter, maka sudut di B adalah sudut kanan.

Jembatan Menilai

Jembatan menilai (Pons Asinorum) menyatakan bahwa dalam segitiga sama kaki sudut di

dasar sama satu sama lain, dan, jika garis-garis lurus yang sama yang diproduksi lebih

lanjut, maka sudut bawah dasar sama satu sama lain. Namanya mungkin dikaitkan dengan

peran sering sebagai tes nyata pertama dalam Unsur-unsur kecerdasan pembaca dan sebagai

jembatan untuk proposisi keras yang diikuti. Hal ini juga mungkin dinamakan demikian

karena kemiripannya sosok geometris untuk jembatan yang curam yang hanya seekor keledai

yang dapat menyeberang.

Kongruensi segitiga

Kongruensi segitiga ditentukan dengan menentukan dua sisi dan sudut antara mereka (SAS),

dua sudut dan sisi antara mereka (ASA) atau dua sudut dan sisi yang berdekatan sesuai

(SSA). Menentukan dua sisi dan sudut yang berdekatan (SSA), bagaimanapun, dapat

menghasilkan dua segitiga yang mungkin berbeda.

Segitiga dikatakan kongruen jika mereka memiliki ketiga sisi yang sama (SSS), dua sisi dan

sudut antara mereka sama (SAS), atau dua sudut dan sisi yang sama (ASA) (Buku I, proposisi

9

4, 8, dan 26). (Segitiga dengan tiga sudut yang sama umumnya serupa, tetapi belum tentu

kongruen Juga, segitiga dengan dua sisi yang sama dan sudut yang berdekatan tidak selalu

sama..)

Jumlah sudut sebuah segitiga

Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan sudut lurus (180 derajat).

Teorema Pythagoras

Para terkenal Teorema Pythagoras  (buku I, proposisi 47) menyatakan bahwa dalam setiap

segitiga siku-siku, luas persegi yang sisinya adalah sisi miring (sisi berlawanan sudut yang

tepat) sama dengan jumlah dari bidang kotak yang sisi-sisinya  bertemu di sudut 90 derajat

(kedua belah pihak yang bertemu di sudut kanan).

Thales 'Teorema

Thales 'Teorema , yaitu setelah Thales dari Miletus menyatakan bahwa jika A, B, dan C

adalah titik pada lingkaran di mana garis AC adalah diameter lingkaran, maka sudut ABC

adalah sudut kanan. Penyanyi menyangka bahwa Thales membuktikan Teorema melalui

Euclid buku saya, prop 32 menurut cara Euclid buku III, prop 31. Tradisi mengatakan bahwa

Thales mengorbankan lembu untuk merayakan teorema ini.

Scaling daerah dan volume

Dalam terminologi modern, area objek pesawat sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi

linier. Dan volume yang solid untuk kubus. Euclid membuktikan hasil ini dalam berbagai

kasus khusus seperti luas lingkaran  dan volume yang solid parallelepipedal. Euclid

ditentukan, tapi tidak semua, dari konstanta proporsionalitas yang relevan. Misalnya, itu

penggantinya Archimedes yang membuktikan bahwa bola memiliki 2/3 volume silinder

circumscribing.

J. PEMIKIRAN DAN KARYA EUCLID

Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid

untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan

tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu

mentor Archimedes. Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada

Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak

ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran

kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari

Euclid. Selanjutnya jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang

perlu pembuktian. Euclid banyak menulis buku, diantaranya yang terkenal dan masih

tersimpan, antara lain :

10

a. The Elements, pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri

b. The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait

dengan jilid ke-4 buku The Elements

c. On Divisions of Figures, menyangkut pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih

bagian yang sama atau dengan rasio tertentu

d. Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin

cekung

e. Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola.

f. Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid mengikuti tradisi

Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal

dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di

bawah sudut yang lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang

sama adalah sama.

11

KESIMPULAN

Pada era Euclid matematika lebih dikenal sebagai sains dan bukan mistik. Tidak

banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu

ukur Yunani yang besar. Euclid dapat disebut juga sebagai matematikawan utama. Dia

dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The

Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut

membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan

terbesar Yunani.

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus

pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah

ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid

terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara

menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini yang paling utama adalah

pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya. Sesudah itu dengan cermat dan hati-

hati dia mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Dia pun

menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan

percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The

Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di

samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.

12

DAFTAR PUSTAKA

Diakses dari http://astutisetyoningsih.blogspot.co.id/2012/02/sejarah-geometri-euclid.html

Diakses dari http://infinitymath.blogspot.co.id/p/sejarah-geometri-euclid-sejak-zaman.html

13