1

15-Apr-07

Geometri

Mona RøsselandNasjonalt senter for matematikk i OpplæringenLeder i LAMISLærebokforfatter, MULTI

15-Apr-07 2

Geometri i skolen

• dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og utføre konstruksjoner og beregninger.

• Videre studeres dynamiske prosesser som speiling, rotasjon og forskyvning.

• Hovedområdet omfatter også det å utføre og beskrive lokalisering og forflytning.

15-Apr-07 3

Geometri etter 4.trinn

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne• gjenkjenne og beskrive trekk ved sirkler, mangekanter, kuler,

sylindere og enkle polyedre• tegne og bygge geometriske figurer og modeller i praktiske

sammenhenger, herunder teknologi og design• gjenkjenne og bruke speilsymmetri og parallellforskyvning i

konkrete situasjoner• lage og utforske geometriske mønstre og beskrive dem

muntlig• plassere og beskrive posisjoner i rutenett, på kart og i

koordinatsystem både uten og ved hjelp av digitale verktøy

2

15-Apr-07 4

Geometri etter 7.trinn

• Mål for opplæringen er at eleven skal kunne• analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og

beskrive fysiske gjenstander innenfor teknologi og dagligliv ved hjelp av geometriske begreper

• bygge tredimensjonale modeller og tegne perspektiv med ett forsvinningspunkt

• beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og parallellforskyvning

• bruke koordinater til å beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem på papiret og digitalt

• bruke koordinater til å beregne avstander parallelt med aksene i et koordinatsystem

15-Apr-07 5

Geometriens kjerneområder:

1. Det å beskrive bestemte figurer. Figurene bør ha en eller annen form for regularitet. Eks. en figur med rette linjer, et bilde av en hest har ikke noen slik regularitet. Det dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer

2. Gjøre beregninger av og sette størrelser påvinkler, lengder, areal, og lignende

3. Transformasjoner, der det blir utført en bestemt operasjon på de geometriske figurene(flytte, speile, rotere)

15-Apr-07 6

• Tredimensjonale figurer er figurer som har romlig utstrekning.

• Todimensjonale figurer er enten avledet av 3dim. objekter, som overflaten til en terning (kvadrat) eller det er tegninger på et papir e.l.

• Undervisningen på skolen starter ofte med 2dim. figurer, for en anser det som lettest.

• Men da bryter en med barnas erfaringsgrunnlag….• Forholdet mellom 2D og 3D figurer har fått liten

oppmerksomhet i skolen.

1.Beskrive figurer

3

15-Apr-07 7

Mangekanter og sirkler

• Det som er viktig på småtrinnet er å fokusere på egenskapene til figurene. Det vil for eksempel dreie seg om hvor mange kanter, sider og hjørner de ulike figurene har.

• En mangekant er en figur avgrenset av rette linjer, altså ikke buete. Slike figurer kan legges tett inntil hverandre, kant mot kant.

• En firkant er en slik mangekant med fire linjer. En trekant er en mangekant med tre rette linjer.

• Vi kaller gjerne mangekantenes linjer/sider for kanter, det er ikke feil å si side.

• En sirkel er en figur der alle punktene på sirkelbuen er like langt fra et sentrum. Elever bruker ofte betegnelsen runding. Det er fint hvis elevene oppfordres til å kalle dette for sirkler, men husk at noen figurer faktisk kalles runding. Det er figurer som ikkeoppfyller kravet til sirkelen.

15-Apr-07 8

Kunstbilde av trekanter, firkanter og sirkler

• Klipp ut ulike geometriske figurer i farget papir, bruk gjerne ferdigklipte trekanter, firkanter og sirkler, men elevene kan ogsåtegne og klippe på frihånd. Lim de geometriske figurene sammen til et bilde.

• Bruk Autofigurer på datamaskinen

15-Apr-07 9

Noen geometriske begreper …

4

15-Apr-07 10

Utforsk diagonaler Her er noen utsagn om diagonaler i firkanter:• Diagonalene er like lange.• Diagonalene skjærer hverandre på midten.• Diagonalene står vinkelrett på hverandre.• Tegn et kvadrat, et trapes, et parallellogram og et rektangel

og undersøk disse firkantene. • Stemmer alle utsagnene for alle firkantene?• Skriv gjerne ned i tabellen hvilke utsagn som stemmer for

hvilke firkant.

15-Apr-07 11

Før resultatet i en tabell

15-Apr-07 12

Diagonaler Finn ut hvor mange diagonaler det er i en

- Firkant- Femkant- Sekskant- Sjukant- Åttekant- Osv..

5

15-Apr-07 13

Egenskaper med 2D

……nikant

6 flere diagonaler20 åttekant

5 flere diagonaler14 sjukant

4 flere diagonaler9sekskant

3 flere diagonaler5femkant

2firkant

Øker medAntall diagonalerMangekant

15-Apr-07 14

Ta det siste rektanglet!• Et spill for 2–3 personer. Spillerne skal etter tur tegne

rektangler på rutearket. (Kvadrat går selvsagt også, for det er jo bare et spesielt rektangel). Den som tegner det siste mulige rektanglet har vunnet.

Noen regler:• Rektanglene kan tegnes i ulike størrelser. Det største vil

være omrisset av hele rutearket, det minste vil være rundt en enkelt rute.

• Sidene i et rektangel kan krysse sidene i et annet.• En side i et nytt rektangel får ikke sammenfalle med en

side i et tidligere rektangel.• Et rektangel får ikke dele samme hjørne med et annet.

15-Apr-07 15

Tredimensjonale figurer

6

15-Apr-07 16

- gjenkjenne geometriske former i omgivelsene sine (trekanter, firkanter og sirkler, kuler, sylindere og terninger).- sortere slike figurer etter geometrisk form.

15-Apr-07 17

Blindebukk• Lag ulike former i f.eks papp og ha dem i en

ugjennomsiktig pose. En og en elev får stikke hendene inn i posen, velge seg en figur og beskrive denne for resten. De andre elevene skal så prøve å finne ut hvilken figur dette er ved hjelp av beskrivelsen. Det kan hjelp å ha samme sort figurer liggende fremfor elevene slik at de kan se på disse samtidig som eleven prøver å beskrive.

• Beskrivelser elevene kan bruke er for eksempel:- Figuren jeg kjenner har fem flater. Noen av flatene er trekantet og en er firkantet.

• En enklere variant av leken er bare å ha en og en figur i posen om gangen, og så la elevene kjenne og prøve åfinne ut hvilken figur de føler på.

15-Apr-07 18

Undersøk hvordan ser figurene ut?

• Hvilken form har sideflatene?• Sorter figurene i to grupper. Beskriv forskjellen på

figurene du har valgt skal være i de to gruppene.

7

15-Apr-07 19

Hvilke figurer hører sammen?

15-Apr-07 20

Vi lager emballasje

Hvor mange flater,hjørner og kanter har esken din?

15-Apr-07 21

Hvilken figur er jeg?

1. Jeg har seks flater. Alle kantene er like lange.

2. Jeg har seks kanter. Alle kantene er like lange.

3. Jeg har samme antall hjørner som flater. Antall hjørner er oddetall.

4. Jeg har oddetall antall flater. Antall hjørner er partall.

5. Ikke alle mine kanter er like lange. Antall hjørner er fire færre enn kanter.

8

15-Apr-07 22

Hva er et prisme?

15-Apr-07 23

Hva heter disse prismene?

15-Apr-07 24

Hva er en pyramide?

9

15-Apr-07 25

Hva heter disse pyramidene?

15-Apr-07 26

Fra 3-dimensjoner til 2-dimensjoner

• Finn fram en rekke klosser eller andre 3-dimensjonale objekter, med form som sylinder, terning, tetraeder (pyramide der alle fire sidene har trekantform), pyramide o.l.

• La elevene undersøke sideflatene ved å tegne dem: Sett klossen oppå et ark og tegn rundt grunnflata. Påden måten kan vi illustrere at en sylinder er rund påden ene siden, en terning er kvadratisk osv. Vend påklossen og tegn den fra en annen side.

• La elevene tegne ulike trekanter og firkanter som de finner på disse to sidene. De bør få en linjal slik at de øver seg i å tegne rette streker.

15-Apr-07 27

Tegn disse figurene sett fra to sider og sett ovenfra.

10

15-Apr-07 28

Lag figurer og tegn hvordan de ser ut fra sidene og ovenfra. La en annen lage figurene.

15-Apr-07 29

Tegne tredimensjonale figurer

Bygg mitt tårn• Elevene deler seg i to like store grupper. De

må arbeide slik at hver gruppe ikke ser hva den andre gruppen lager.

• Alle elevene velge seg 3 klosser hver fra en stor haug med lekeklosser. Med de klossene bygger de hvert sitt tårn. Så skal de tegne dette tårnet på et papir.

• Når det er gjort, bytter de ark med en elev på den andre gruppen. Så skal de forsøke åbygge et likt tårn ut fra tegningen de har fått.

15-Apr-07 30

2.Gjøre beregninger; vinklerAnalysere vinkler til ulike trekanter

•Undersøk egenskaper til vinkler i trekanter•Tegn fem forskjellige trekanter.•Hvordan ser vinklene til ulike trekanter ser ut? Beskriv for hverandre. -Kan rettvinklede trekanter ha stumpe vinkler?- Kan likesidede trekanter ha det? -Kan likebeinte ha det?-Hvor mange stumpe vinkler kan en trekant ha? -Hvor mange spisse vinkler kan den ha? -Hvor mange rette vinkler kan den ha?•- Kan en likebeinet trekant ha en rett vinkel?

11

15-Apr-07 31

Analysere vinkler til ulike trekanter

• Verken rettvinklede eller likesidede trekanter kan ha stumpe vinkler, mens likebeinte kan det.

• Likebeinte trekanter kan også være rettvinklede.

• En trekant kan aldri ha mer enn en stump eller en rett vinkel.

15-Apr-07 32

Trekant-minnespill

• Bland kortene godt og fordel dem med blank side opp på bordet.

• Så skal spillerne trekke et kort av hver farge og prøve å finne kortene som hører sammen.

• Trekker en to kort som ikke passer sammen skal en legge begge tilbake på bordet.

• Den som finner to kort som passer, får paret. Vinneren er den med flest par når alle kortene er borte.

15-Apr-07 33

3.Transformasjoner

• Når du har et todimensjonalt objekt, kan du foreta en transformasjon av det objektet.

• Det kan være forstørring eller forminsking.

• Det kan være parallellforskyvning.

• Det kan være speiling/symmetri.

• Det kan være rotasjon.

12

15-Apr-07 34

Rotasjon …

15-Apr-07 35

Lage rotasjonsbilde …

15-Apr-07 36

Rotasjon

13

15-Apr-07 37

Rotasjon

15-Apr-07 38

Vindusmønster

15-Apr-07 39

Vindusmønster

14

15-Apr-07 40

Vindusmønster