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Geometria 3D
ELEMENTI DI BASE
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Coordinate cartesiane
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Distanza tra due punti
CASO PARTICOLARE: Distanza di un punto dall’origine
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Punto medio
di un segmento di estremi A e B Ricorda che la
dimostrazione ricalca quella nel piano cartesiano e sfrutta il teorema di Talete.
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'c,'b,'akc,b,avvv//v 02121
002121 'cc'bb'aavvvv
Alcuni elementi dell’algebra vettoriale
Ricordiamo le condizioni di parallelismo e
perpendicolarità tra i vettori v1 (a,b,c) e v2 (a’,b’,c’), cioè:
Prodotto vettoriale VETTORE n di modulo |n|=|a||b| sen
Prodotto scalare SCALARE k=|a||b| cos
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Rappresentazione analitica del piano Un piano si può individuare in due modi:
a) Assegnando un punto P0 di ed un vettore w non nullo ortogonale ad
b) Assegnando tre punti non allineati di
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Equazione vettoriale del piano a)
• Se consideriamo il piano passante per P0(x0,y0,z0) e ortogonale al vettore non nullo w(a,b,c), allora un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad se e solo se il vettore P-P0 è ortogonale a w;
(1) W(P-P0)=0
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Equazioni del piano La (1) si chiama equazione vettoriale del piano.
Esplicitando le componenti la (1) si può scrivere :
(1’) a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 ed è detta equazione cartesiana del piano.
La (1’) si può scrivere
(2) ax+by+cz+d=0 ossia come un’equazione polinomiale di I grado in x,y, z dove i
coefficienti a,b,c rispettivamente di x, y, z, sono le componenti di un vettore non nullo ortogonale ad .
Viceversa ogni equazione del tipo (2) con a, b, c non tutti nulli rappresenta un piano e tale piano è ortogonale al vettore (a,b,c).
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Rappresentazione analitica del piano
OSSERVAZIONE 1 Se un piano ha equazione ax+by+cz+d=0 e se k0,
l’equazione kax+kby+kcz+kd=0 rappresenta lo stesso piano.
(infatti è soddisfatta dagli stessi punti).
Viceversa si dimostra che se due equazioni
ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0 rappresentano lo stesso piano, allora esiste un
k 0 tale che a’=ka, b’=kb, c’=kc che è la condizione di parallelismo tra vettori
ricordata prima .
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Rappresentazione analitica del piano
OSSERVAZIONE 2 Mentre è possibile determinare
in maniera univoca una direzione ortogonale al piano
-ad esempio mediante il vettore (a,b,c)- non è possibile determinare in
maniera univoca una direzione parallela al piano ,
poiché non tutti i vettori paralleli ad sono tra loro paralleli.
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Piano per tre punti non allineati b)
Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio. Allora esiste un unico piano passante per i tre punti: esso si può pensare come il piano per A ortogonale al vettore w= (B-A)(C-A) (che è non nullo, essendo i tre punti non allineati).
L’equazione vettoriale di è:
(P-A)·(B-A)(C-A)=0
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0
ACACAC
ABABAB
AAA
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Equazione di un piano
come sviluppo di un determinante
• Esplicitando il prodotto misto in termini di
componenti si trova l’equazione cartesiana
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Le rette nello spazio e la loro equazione
Una retta nello spazio si può individuare in vari modi:
assegnando un punto di r ed un vettore parallelo ad r
assegnando due punti distinti di r
assegnando due piani
Ricordiamo che di due piani nello spazio possono assumere le seguenti posizioni reciproche:
Sono paralleli
Sono incidenti
Teorema: Se sono incidenti ed hanno un punto in comune allora hanno tutta una retta in comune
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EQUAZIONE DELLA RETTA • Una retta r è caratterizzata dalla sua direzione;
• La direzione è determinata da un vettore che viene caratterizzato dalla sue componenti:
v (l,m,n)
• Consideriamo due punti appartenenti alla retta r : P(x,y,z) e Po(x0;y0;z0) ;
• Il vettore P-Po avrà la stessa direzione del vettore v cioè v// P-Po cioè componenti proporzionali :
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Equazione parametrica di una retta
ntzz
mtyy
ltxx
cioè
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0
0
0
0
dove t è un parametro reale
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)zz(tzz
)yy(tyy
)xx(txx
121
121
121
Retta passante per due punti
A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2)
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O ancora………
• Posto:
x2 - x1= l , y2 - y1 = m z2 - z1=n
si ha l’equazione frazionaria della retta
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Esempio: è una retta con equazione generale
La sua equazione ridotta, formata dalle equazioni di due piani paralleli a due piani coordinati è
Equazione generale di una retta individuata dall’intersezione di due
piani non paralleli
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Esercizio:
Calcolare la direzione della retta individuata da:
023
1
zyx
zx
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Distanza di un punto A (xA,yA,zA)
da un piano ax+by+cz+d=0
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Condizione di parallelismo tra piani Due piani di equazione:
ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0
• sono paralleli se e solo se: a=ka’ b=kb’ c=kc’
• sono coincidenti se e solo se: a=ka’ b=kb’ c=kc’ d=kd’ k ϵ R
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Esempi
Due piani sono paralleli distinti i piani di equazione
Due piani sono paralleli coincidenti i piani di equazione
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Condizione di perpendicolarità tra piani
Due piani di equazione:
ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0
sono ortogonali se e solo se:
aa’+bb’+cc’=0
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Distanza punto retta • P(x1;y1;z1) e la retta di equazione
• Costruiamo il piano per P
ortogonale alla retta r :
: l(x-x1)+m(y-y1)+n(z-z1)=0
• Trovare il punto di intersezione tra retta r e piano e lo indichiamo con H
• Calcolare la distanza tra i due punti P e H
ntzz
mtyy
ltxx
:r
0
0
0