Geometría de Geometría de Proporción Proporción

Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Identificar triángulos congruentes y semejantes.

• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.

• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.

• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.

1. Figuras congruentes

Contenidos

1.1 Definición

1.2 Triángulos Congruentes

3.1 Definición

3.2 Triángulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes

3. Figuras semejantes

3.3 Elementos homólogos

3.4 Razón entre áreas y perímetros

3.5 Postulados de semejanza

4.1 División Interior

4.2 División Exterior

4.3 División Armónica

4. División de un segmento

4.4 Sección áurea o Divina

1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

A

C

B D

F

E

1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:

1° Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

5

3

5

3

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

1212

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.

Ejemplo:

El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:

Área = 4 Área = 4

3. Figuras semejantes (~)

Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

3.1 Definición

Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

G

F

J

I

H

A

E

D

C

B

1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y

2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

A

E

D

C

B

G

F

J

I

H

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Además, están en razón 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.

3.2 Triángulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k

5

3

15

94

12

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homólogo a DE

BC es homólogo a EF

AC es homólogo a DF ABDE

BCEF

ACDF

13

= = = = k

P

Q

R

A B

C

3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.

Ejemplo:

34

5

6

8

10

ABPQ

= BCQR

= CARP

= k 5 10

= 36

= 48

= 12

Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.

= k

PR

6

8

10

Q

A B

C

34

5

hC

hR

Además, =hC

hR

2,4

4,8=

1

2= k

Recuerda: Teorema de Euclides

hC = a · bc

• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros

Ejemplo:Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

PABC

PPQR

=12

24

=1

2

= k

• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo:

Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

AB

PQ= = k 5

10= 1

2

AABC

APQR

= 6

24

=1

4

= k2

3.5 Postulados de semejanza

1° Postulado AA.

• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

ABDF

BCFE

ACDE

= = = kAdemás

Δ ABC ~ Δ DFE por AA

2° Postulado LLL.

• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

Δ ABC ~ Δ FDE por LLL

A B

C

E

F

D

ABFD

BCDE

ACFE

12

= = = = k

Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

3° Postulado LAL.

• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

Δ ABC ~ Δ FED por LAL

Además BAC=DFE y CBA=FED

BCED

412

515

13

= = = kACFD

=

4. División de un segmento4.1 División interior

CA B

Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

Ejemplo:

QA B

ACCB

= m n

Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

QA B

45

AQQB

= 35

Solución:

AQ45

= 35

AQ =3∙45

5

AQ = 27

27

Por lo tanto, AB mide 72

4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

BA D

Ejemplo:

BA D

20

ADBD

= m n

Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?

ADBD

= 52

20BD

= 52 BD =

20∙2

5

BD = 8

BA D812

20Solución:

4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.

Ejemplo:

m

ACCB

= = nADBD

Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

A C B D

12

Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:

12+y y

Solución:

x y

ACCB

= 32

= 32

3x = 2(12 - x) 12- x x

3x = 24 - 2x5x = 24

ADBD

= 32

= 32 24 + 2y = 3y

365

x = 245

24 = y

245

24A C B D

12 - x

12

4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

XA B

PA B

ABAX

= AX BX

ó (AX)2 = AB∙BX

En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?

5

Solución:

(AP)2 = (AP + 5)∙5

(AP)2 = 5∙AP + 25

(AP)2 - 5∙AP - 25 = 0

5

PA B

(AP)2 = AB∙PB