Clase 6 triángulos semejantes

Figuras geométricas semejantes: En Geometría, diremos que dos objetos son semejantes (~ es el signo de semejanza) si, y solo si, tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño;

Aplicado a la geometría, podríamos decir que una figura corresponde a una representación a escala diferente de la otra.

Dos polígonos son semejantes cuando tienen ángulos iguales semejantemente dispuestos y sus lados homólogos proporcionales.

Las dos condiciones deben cumplirse para que se dé la semejanza, pues pueden existir figuras geométricas que satisfaciendo solo una de las condiciones no son semejantes, ejemplo un cuadrado y un rectángulo, cumplirán igualdad de ángulos pero no proporcionalidad de lados homólogos, por lo tanto no son la representación de la misma figura en dos escalas diferentes.

Semejanza de triángulos

Los lados a y a', b y b', c y c' son lados homólogos (con el mismo criterio que en los triángulos iguales).

Los ángulos homólogos serían:

De acuerdo a la definición de semejanza, dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales es decir:

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La igualdad de triángulos, ya estudiada sería entonces un caso particular de semejanza , en el que la razón de semejanza es de 1.

Importante los triángulos son los únicos polígonos en que se comprueba que son semejantes sin necesidad de cumplir las dos condiciones especificadas (igual que en los teoremas para demostrar la igualdad, que nos permiten concluir la igualdad de dos triángulos mediante la igualdad de 3 de sus elementos en lugar de los 6), esto de demuestra mediante los siguientes teoremas:

TEOREMA

Si dos triángulos son mutuamente equiángulos son semejantes.

Datos o hipótesis:

- ang.A = ang. A´- ang. B = ang. B´- ang. C = ang. C´

Tesis a demostrar:

- AB : A´B´ = AC :A´C´= BC: B´C´Demostración construir sobre el triángulo ABC un triángulo CPD igual al A’C’B’.

Corolario: Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del uno son respectivamente iguales a dos ángulos del otro.

Corolario : Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen iguales un ángulo agudo.

TEOREMA

Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos triángulos son semejantes.

Datos o hipótesis :

- ang. C = ang. C´- CA : C´A´= CB: C´B´Tesis a demostrar :

- Triangulo ABC semejante al triángulo A´B´C´

TEOREMA

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los de otro, los dos triángulos son semejantes.

Datos o hipótesis :

- AB : A´B´ = AC :A´C´= BC: B´C´

Tesis a demostrar :

- Triangulo ABC semejante al triángulo A´B´C´

TEOREMA

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

Problema para realizar en clase

1. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas homologas es igual a su razón de semejanza.

2. Te cuento que hace muchos años un señor conocido como Thales de Mileto pudo calcular la altura de la pirámide de Keops sin medirla directamente. ¿Cómo lo habrá logrado?En un viaje a Egipto midió, en forma indirecta, la altura de la pirámide de Keops. Con sólo medir la longitud de un bastón, la sombra de éste y la sombra de la pirámide, planteó la proporción que le permitió calcular la altura inaccesible:

3. Hipótesis : AB⊥CF ; AC⊥BD Tesis : ∆ FBE ∼ ∆ DEC

4. El baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos que, tales que el uno es el doble del otro.

Tarea resolver los siguientes problemas

En dos triángulos semejantes la razón entre dos medianas (segmento de mediana comprendido entre el vértice y el punto medio del lado opuesto) homologas es igual a su razón de semejanza.

Sabiendo que estos dos triángulos son semejantes: Halla los lados y los ángulos que les faltan a cada uno de ellos

Sabiendo que el triángulo ABC es rectángulo en B y que y es su altura, calcula los lados y , z del triángulo verde

Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de la farola.

Halla la altura del árbol grande

En la figura, Si L1 // L2, OA = 2x+12; AB = 4x ; OC =5x+8 ; CD = 4x + 1, entonces x=?

Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura. Calcula la distancia al barco

Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m

Dado que T = NGV. Demostrar∠ ∠ que ∆NGV ˜ (semejante) ∆NTX

Dado que LK // CB .Demostrar que: ∆ LKM ˜ (semejante) ∆ BCM

Sobre el lado AB de un triángulo ABC se toma un punto cualquiera P .Luego se hacen AW = WP , PX = XB, AZ = ZC ,BY = YC .Demuéstrese que XY = WZ

¿Cuál será la distancia desde la iglesia del pueblo de San Rafael hasta la casa de Román si se hizo la siguiente observación?

Recopilación realizado por Ing. Diana Mora Abril.