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Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 1

TEMA 6 – SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad? Solución

Calculamos la escala: Altura en la foto de María 2,5 1Escala

Altura real de María 167,5 67 La escala es 1:67.

Calculamos la altura real de Fernando: Altura real 67 · 2,7 180,9 cm

EJERCICIO 2 : Una empresa de construcción ha realizado la maqueta a escala 1:90 de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide cuadrangular. En la maqueta, la altura de la pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio expresando en metros cúbicos el resultado. Solución:

1El volumen de una pirámide es Área de la base Altura.3

Calculamos la altura en la realidad: Altura real 5,3 · 90 477 dm Calculamos el área de la base en la realidad, aplicando que la razón entre las áreas de dos figuras

semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: 2 2Maqueta 2,4 5,76 dmÁrea de la base

Real A

Razón de semejanza 90 2 2 2Luego: 90 90 5,76 46656 dm5,76

A A

Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene:

3 3REAL

1 46656 477 7418304 dm 7418,304 m3

V

EJERCICIO 3 : Lorena presenta este plano de su cocina junto con el tendedero a una empresa de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

Solución: Medimos en el plano las dimensiones correspondientes:

Largo 7,4 cm Largo 3,5 cmCocina Tendedero

Ancho 3,4 cm Ancho 1,3 cm

Calculamos las dimensiones reales sabiendo que el plano está realizado a escala 1:50:

Largo 7,4 50 370 cm 3,7 mCocina Área 3,7 1,7 6,29 m

Ancho 3,4 50 170 cm 1,7 m

2Largo 3,5 50 175 cm 1,75 m

Tendedero Área 1,75 0,65 1,14 mAncho 1,3 50 65 cm 0,65 m

Área total disponible 6,29 1,14 7,43 m2


EJERCICIO 4 : Se quiere enmarcar una fotografía de dimensiones 6 cm 11 cm. Calcula las dimensiones del marco para que la razón entre el área del marco y el área de la fotografía sea 25/16. Solución

2

Llamamos área del marco 25 por ser la fotografía y el marco 66 16 Área fotografía 66 cm

semejante

x x

25s, y la razón entre sus áreas, .16

25 25 5De la igualdad se deduce que la razón de semejanza es .

66 16 16 4x

Dimensiones del marco: 5 30 5 556 7,5 cm 11 13,75 cm.4 4 4 4

EJERCICIO 5 : En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km? Solución

Distancia mapaa) Distancia real 1,3 250000 325000 cm 3,25 km

Escala

En la realidad están separados 3,25 km.

1500000b) Distancia mapa Escala Distancia real 6 cm250000

En el mapa, los dos pueblos están separados 6 cm. EJERCICIO 6 : Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama. Solución

Dimensiones en el plano de la habitación:

Largo 6,5 cm Ancho 6,3 cm Dimensiones reales de la habitación: Largo 6,5 · 50 325 cm 3,25 m Ancho 6,3 · 50 315 cm 3,15 m Área de la habitación 3,25 · 3,15 10,24 m2

Dimensiones en el plano de la cama: Largo 3,8 cm Ancho 2,7 cm En la realidad, las dimensiones de la cama serán: Largo 3,8 · 50 190 cm 1,9 m Ancho 2,7 · 50 135 cm 1,35 m

EJERCICIO 7 : En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm? Solución


En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales. 7,5 cm 153 km 15 300 000 cm Distancia mapa 7,5 1EscalaDistancia real 15300000 2040000

La escala es 1:2 040 000.

Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será: 12,25 · 2 040 000 24 990 000 cm 249,9 km PROBLEMAS EJERCICIO 8 : Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina? Solución: Hacemos un dibujo que refleje la situación:

x profundidad de la piscina Los triángulos ABC y CDE son semejantes (sus ángulos son iguales).

Luego: 2,3 2,3 1,74 3,45 m1,16 1,74 1,16

x x La profundidad de la piscina es de 3,45 m.

EJERCICIO 9 : Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente. Calcula el perímetro del parterre. Solución: Dibujamos un triángulo rectángulo y ponemos los datos en él:

Hemos de calcular x, y, z. Por el teorema de la altura, calculamos x: 15,32 8,1 · x 234,09 8,1 · x x 28,9 m Calculamos y, z usando el teorema del cateto:

2 2 2

2 2 2

8,1 28,9 8,1 8,1 37 299,728,9 28,9 8,1 28,9 37 1069,3

z z zy y y

Luego: z 17,31 m, y 32,7 m Así, el perímetro del parterre será: 17,31 32,7 37 87,01 m

EJERCICIO 10 : Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm. Solución La casa y la persona forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos.


x altura de la casa

Por la semejanza de triángulos, se tiene:

3,5 3,5 1,87 7,7 m es la altura de la casa.1,87 0,85 0,85

x x

EJERCICIO 11 : Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que está en el portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué distancia está Cristina del quiosco?

Solución Según el dibujo, las visuales desde donde está Cristina a las farmacias forman un ángulo de 90. Pongamos los datos en el triángulo:

Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:

2 2

2 2

18,05 21,25 383,56 19,58 m3,2 21,25 68 y 8,25 m

x x xy y

Cristina está más cerca de la farmacia 2. Calculamos h usando el teorema de la altura:h2 18,05 · 3,2 h2 57,76 h 7,6 m

Cristina está a 7,6 m del quiosco.

EJERCICIO 12 : En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo. Solución Hacemos un dibujo que represente la situación:

Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 5 Los triángulos ABC y CDE son semejantes (están en posición de Tales).

5 7Luego 7 5 7 2 7 35 10 17 35 2,06 cm7 2

a a a a a aa a

Las dimensiones del rectángulo son, aproximadamente, 2,06 y 4,12 cm. EJERCICIO 13 : Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:

a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo? b ¿Qué distancia separa ambas casas? Solución

Necesitamos calcular x e y: Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el

teorema del cateto: 7,52 4,5 · z 56,25 4,5 · z z 12,5 km Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.

Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto: 2 2 2 212,5 4,5 12,5 8 12,5 100 10 kmy x z y y y y

Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km. EJERCICIO 14 : El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A. . Calcula la longitud del circuito sabiendo que 5 km y la distancia de al albergueAC B es de 2,4 km.

Solución


El objetivo es calcular y .AB BC

Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura: 2,42 x · 5 x 5,76 5x x2

x2 5x 5,76 0 3,2

5 25 23,04 5 1,96 5 1,42 2 1

1,8x

Si 3,2 5 5 3,2 1,8Si 1,8 5 5 1,8 3,2

x xx x

Tenemos pues, según el dibujo, que x 1,8 km y 5 x 3,2 km.

Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:2 2

2 2

1,8 5 9 3km3,2 5 16 4km

y y yz z z

La longitud del circuito será 3 4 5 12 km.

EJERCICIO 15 : Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90). Solución Hacemos una representación del problema:

Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y: 2 2

2 2

6,1 2,5 15,25 3,91km6,1 3,6 21,96 4,69 km

x x xy y y

El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro. Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura: h2 2,5 · 3,6

h2 9 h 3 km La distancia del barco a al playa es de 3 km

EJERCICIO 16 : Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

Solución La longitud de un puente será x 10,2; la del otro, y 6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor de x e y. Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:


Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos:

15,9 10,2 10,6 10,2 6,8 m10,6 15,9

15,9 15,9 6,5 9,75 m10,6 6,5 10,6

xx

y y

Las longitudes de los puentes son: 6,8 10,2 17 m y 9,75 6,5 16,25 m. EJERCICIO 17 : Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente. Solución Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:

Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales),

Luego: 7,5 3,56 Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m.

1,52 3,2x x

EJERCICIO 18 : Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre? Solución La torre y la vara forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos.

Por la semejanza de triángulos se obtiene:

100 100 0,6 150 Por tanto, la sombra de la torre mide 150 m.0,4 0,6 0,4

x x

EJERCICIO 19 : Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña. Solución Hacemos una representación del problema:


En la figura tenemos dos triángulos semejantes.

138 1,5 138Luego: 901,5 2,3 2,3x x

La altura de la montaña será: x 1,82 90 1,82 91,82 m EJERCICIO 20 : Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m. Solución Alberto y el edificio forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes pues los rayos del sol, en cada momento, son paralelos.

47 1,8 47Por la semejanza de triángulos se tiene: 28,2

1,8 3 3x x

El edificio mide 28,2 m de altura.

EJERCICIO 21 : Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B, C, . .rectángulo en Se sabe que 35,36 m y la altura sobre es 15,6 cm.B AC AC Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m. Solución

El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura:

2

2 2 215,6 15,6 35,36 243,36 35,36 35,36 243,36 035,36

a b a a a a a ab a

26 9,3635,36 276,8896 35,36 16,64

2 29,36 26

ba

b

Observando el dibujo, tomamos a 9,36 m y b 26 m. Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:

Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 9 2 2 2

2 2 2

35,36 9,36 35,36 330,969635,36 26 35,36 919,36

x a x xy b y y

Luego, x 18,19 m e y 30,32 m.

La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo: 18,19 30,32 35,36 83,87 m Y su coste será 83,87 · 0,3 25,16 € EJERCICIO 22 : Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente. Solución:

Necesitamos calcular el valor de x, y, z. Calculamos x aplicando el teorema de la altura:22 x · 2,5 4 x · 2,5 x 1,6 cm Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:

2 2 2

2 2 2

1,6 1,6 2,5 1,6 4,1 6,562,5 1,6 2,5 2,5 4,1 10,25

y y yz z z

Luego, y 2,56 cm y z 3,2 cm.

Por tanto: Perímetro 2,56 3,2 4,1 9,86 cm 24,1 2Área 4,1 cm2

AREAS Y VOLÚMENES EJERCICIO 23 : Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta. Solución Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta:

700070 m 7000 cm longitud Longitud real escala 70 cm100

L

Luego: Area de la planta 70 · 70 4 900 cm2 0,49 m2 Volumen del edificio 703 343 000 cm3 0,343 m3

EJERCICIO 24 : Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas. Solución Sí son semejantes. Por ser pentágonos regulares, todos sus lados y sus ángulos medirán lo

7mismo, luego la razón de semejanza será siempre la misma, .5

La razón de semejanza entre sus áreas será igual al cuadrado de la razón de semejanza, 27 49es decir, será .

5 25

EJERCICIO 25 : Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de

otro 9rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de .4

Solución

Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 10 2

2Área del rectángulo conocido 3 6 18 cm 9 18 9 40,5 cm18 4 4Área del rectángulo que nos pidenx x

x

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por

tanto: 9 3Razón de semejanza 4 2

Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son: 3 9 3 183 4,5 cm 6 9 cm2 2 2 2

CUESTIONES EJERCICIO 26 : ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona la respuesta: a Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes. b

Los triángulos AOC A’OB’ y A’’OB’’ no son semejantes. c El valor de x es de 4 cm.

Solución a Verdadero. En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales, 60. b) Falso. Los tres triángulos tienen dos ángulos iguales, el de 90° y el ángulo , luego son O semejantes. c Verdadero. Los dos triángulos que se forman están en posición de Tales, luego:

2 2 3 4 cm1,5 3 1,5

x x

EJERCICIO 27 : Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones: a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de

semejanza. b ABC es semejante a CDE.


c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide (70), pero los triángulos no son semejantes.

Solución a Verdadero. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:

ABC y ABC son semejantes A A. ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D 90.

Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así: razón de semejanzaBD ABB D A B

Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza. b Falso. Sus lados no son proporcionales.

15 10 93 2 2

A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no.

c Falso. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.

180 70110 110 55

2

En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55.

EJERCICIO 28 : Explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes. b Si unimos los puntos medios de un cuadrado obtenemos otro cuadrado que no es semejante al

anterior. c

Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 12 Los triángulos ABC y CDE son semejantes.

Solución a Verdadero. Por ser rectángulo, un ángulo será de 90. Luego, 90. Por ser isósceles, , es

decir, 45.

Todos los triángulos rectángulos isósceles serán semejantes, por tener los ángulos respectivos iguales: 90, 45 y 45.

b

Falso. La razón de semejanza entre los lados de dos cuadrados es siempre la misma,

, según la figura.ab

c Verdadero. Los tres ángulos son iguales en ambos: 180 115 21 44 Los ángulos son pues de 115, 21 y 44.

EJERCICIO 29 : Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no. a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.

c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y

B’C’ = 12 cm son semejantes. Solución a Falso. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran proporcionales entre

ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos. b Falso. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos. c

9 12 1,56 8 Verdadero. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual.

Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 13 EJERCICIO 30 : Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm. b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.

c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están en posición

de Tales se suponen antenas de distintas alturas. Solución

a Falso. Los lados no son proporcionales: 7,5 12,5 16,83 5 7

b Verdadero. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:

34,56 14,4 2,414,4 6

Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales. c Verdadero. Hagamos un dibujo que represente la situación:

Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común y los lados opuestos a éste ángulo son paralelos. Por tanto, están en posición de Tales.

Tema 7 – TRIGONOMETRÍA– Matemáticas 4º ESO 4

EJERCICIO 11 : Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo αααα, sin usar calculadora ((((0°°°° < αααα ≤≤≤≤ 90°°°°)))):

sen αααα /3 2

cos αααα /2 2

tg αααα 0

αααα 30°°°°

Solución:

sen αααα /3 2 0 1/2 2 2/

cos αααα 1/2 1 3 2/ /2 2

tg αααα 3 0 3 3/ 1

αααα 60° 0° 30°°°° 45°

EJERCICIO 12 : Completa la tabla sin usar calculadora ((((0°°°° ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ 90°°°°)))):

αααα 0°°°°

sen αααα 1/2

cos αααα 0

tg αααα 1

Solución:

αααα 0°°°° 30° 45° 90°

sen αααα 0 1/2 2 2/ 1

cos αααα 1 3 2/ 2 2/ 0

tg αααα 0 3 3/ 1 NO EXISTE

EJERCICIO 13 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:

Solución:

Tema 7 – Trigonometría – Matemáticas 4º ESO 5 Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:

x2 + 1,22 = 1,32 → x2 + 1,44 = 1,69 → x2 = 0,25 → x = 0,5 m Calculamos las razones trigonométricas de α y β:

0,5 1,2 0,50,38 0,92 0,421,3 1,3 1,2

sen cos tgα = ≈ α = ≈ α = ≈

1,2 0,5 1,20,92 0,38 2,41,3 1,3 0,5

sen cos tgβ = ≈ β = ≈ β = ≈

EJERCICIO 14 : a)))) Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es rectángulo. b)))) Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. Solución: a) 102 = 62 + 82 → 100 = 36 + 64 → 100 = 100

Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo. b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β:

6 8 60,6 0,8 0,7510 10 8

sen cos tgα = = α = = α = =

8 6 80,8 0,6 1,310 10 6

sen cos tgβ = = β = = β = =)

EJERCICIO 15 : Halla las razones trigonométricas de los ángulos αααα y ββββ del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo.

Solución: Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras:

12,962 + 17,282 = x2 → x2 = 466,56 → x = 21,6 cm

Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 12,96 17,28 12,960,6 0,8 0,7521,6 21,6 17,28

sen cos tgα = = α = = α = =

17,28 12,96 17,280,8 0,6 1,321,6 21,6 12,96

sen cos tgβ = = β = = β = =)

EJERCICIO 16 : a)))) Calcula x e y en el triángulo:

b)))) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos αααα y ββββ. Solución: a) Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras:

52 = 32 + y 2 → 25 = 9 + y 2 → 16 = y 2 → y = 4 cm

Tema 7 – Trigonometría – Matemáticas 4º ESO 6

Calculamos x sabiendo que la longitud de los catetos del triángulo BDC miden 3 cm y 12 − 4 = 8 cm: x2 = 32 + 82 → x2 = 9 + 64 → x2 = 73 → x ≈ 8,54 cm

b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 4 3 40,8 0,6 1,35 5 3

sen cos tgα = = α = = α = =)

3 8 30,35 0,94 0,3758,54 8,54 8

sen cos tgβ = ≈ β = ≈ β = ≈

EJERCICIO 17 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos mide 2,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm. Solución: Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras: x2 + 2,52 = 6,52 → x2 + 6,25 = 42,25 → x2 = 36 Luego x = 6 cm es la longitud del otro cateto.

• Calculamos las razones trigonométricas de α:

6 0,926,5

sen α = ≈ 2,5 0,386,5

cos α = ≈ 6 2,42,5

tg α = ≈

• Calculamos las razones trigonométricas de β: 2,5 0,386,5

sen β = ≈ 6 0,926,5

cos β = ≈ 2,5 0,426

tg β = ≈

EJERCICIO 18 : De un ángulo αααα sabemos que la tag αααα = 3/4 y 180º < αααα < 270º. Calcula sen αααα y cos αααα. Solución:

3 3 3Como 4 4 4

sentg sen coscos

αα = → = → α = αα

2 2

2 2 2 1 19 25 1 13 6 16

4

sen coscos cos cos

sen cos

α + α = α + α = → α =

α = α

2 16 4 por estar en el tercer cuadrante.25 5

cos cosα = → α = − α

3 4 3 3Asi, 4 5 5 5

sen sen α = × − = − → α = −


3Luego: 120 60 1202

1 120 60 1202

120 60 120 3

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

PROBLEMAS EJERCICIO 38 : El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40°°°°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Solución: Sea x la longitud de la sombra del árbol.

Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la

tangente es la razón trigonométrica a usar: 15 15 15 40 17,86 m 40 0,84

tg xx tg

° = → = ≈ ≈°

La sombra del árbol mide 17,86 m. EJERCICIO 39 : Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°°°°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Solución:

Llamamos h a la altura de la casa y α al ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Calculamos α: 90° + 70° + α = 180° → α = 20°

Calculamos : 70 35 70 35 0,3435hh cos h cos° = → = × ° ≈ × ⇒

h = 11,9 m es la altura de la casa de Carlos. EJERCICIO 40 : Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°°°°. a)))) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b)))) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. Solución: h → altura que alcanza el tronco apoyado en la pared. x → distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.

La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6,2 m, y un ángulo agudo, 55°. Así:


) ha 55 h 6,2 55 6,2 0,82 5,08 m6,2

sen sen° = → = × ° ≈ × =

El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.

)b 55 6,2 55 6,2 0,57 3,53 m6,2xcos x cos° = → = × ° ≈ × =

La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m. EJERCICIO 41 : Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30°°°°. Solución: Llamamos h a la altura de la antena.

Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la

tangente será la razón trigonométrica a usar: 3 30 18 30 18 6 3 10,39 m18 3htg h tg° = → = × ° = = ≈

La altura de la antena es de 10,39 m. EJERCICIO 42 : Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60°°°°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable? Solución:

Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica:

9 3 60 9 60 7,79 m9 2hsen h sen° = → = × ° = = ⇒ La altura de la casa es de 7,79 m.

Sea x = distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno

es la razón trigonométrica que debemos usar: 1 60 9 60 9 4,5 m9 2xcos x cos° = → = × ° = × =

El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa. EJERCICIO 43 : Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio cercano bajo un ángulo de 45°°°°. La distancia entre ambos en línea recta es de 0,21 km. Calcula la altura del otro edificio. Solución: Hacemos una representación del problema:

0,21 km = 210 m

45 210 45 210 m210

xtg x tg x° = → = × ° → =

Luego, la altura del otro edificio será x + 150 = 210 + 150, es decir, 360 m.

Tema 7 – Trigonometría – Matemáticas 4º ESO 14 EJERCICIO 44 : Un globo, sujeto al suelo por una cuerda, se encuentra a una altura de 7,5 m; entre la altura y la cuerda se forma un ángulo de 54°. Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo que esta forma con el suelo. Solución:

Llamamos: x → longitud de la cuerda α → ángulo entre la cuerda y el suelo La razón trigonométrica a usar con los datos del problema es el coseno:

7,5 7,5 7,554 12,7154 0,59

cos xx cos

° = → = ≈ ≈°

⇒ La cuerda tiene una longitud de 12,71 m.

Calculamos α → 54° + 90° + α = 180° → α = 36° EJERCICIO 45 : Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75°°°°. Solución: Hagamos un dibujo que represente el problema:

Llamamos x → longitud del puente y → anchura del río

Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75°: 203 − 198 = 5 m.

5 5 575 19,23 m75 0,26

75 75 19,23 0,97 18,65 m

cos xx cos

ysen y x senx

° = → = ≈ ≈°

° = → = × ° ≈ × ≈

La longitud del puente es de 19,23 m, y la anchura del río, 18,65 m. EJERCICIO 46 : Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46°°°°. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Solución:

Llamamos: x → distancia entre la base de la escalera y la pared

α → ángulo entre la escalera y el suelo Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos

el seno como razón trigonométrica: 46 5 46 5 0,72 3,65xsen x sen° = → = × ° ≈ × =

La distancia entre la base de la escalera y la pared es de 3,6 m. Calculamos α → 46° + 90° + α = 180° → α = 44° es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo.

Tema 7 – Trigonometría – Matemáticas 4º ESO 15 EJERCICIO 47 : El lado de un rectángulo mide 4 m y la diagonal forma con dicho lado un ángulo de 33°°°°. Calcula la longitud de la diagonal y el área del rectángulo. Solución:

Llamamos: d → longitud de la diagonal x → longitud del otro lado Nos dan un ángulo y el lado contiguo a este ángulo. Para calcular d y x, usamos el coseno y la tangente,

respectivamente:

4 4 433 4,76 m33 0,84

33 4 33 4 0,65 2,6 m4

cos dd cos

xtg x tg

° = → = ≈ ≈°

° = → = × ° ≈ × =

La longitud de la diagonal es de 4,76 m. Calculamos el área: A = 4 · 2,6 = 10,4 → El área del rectángulo es 10,4 m2. EJERCICIO 48 : Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:

Solución: Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB.

Del dibujo deducimos:( )

45 45

42 8 428

htg h x tgx

htg h x tgx

° = → = × ° ° = → = − × °−

( ) ( ) 45 8 42 8 0,9 7,2 0,9 1,9 7,2x tg x tg x x x x x° = − ° → = − → = − → = → 3,79 km, luego 3,79 kmx h→ = =

De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso:

( )22 2 2 3,79 3,79 2 5,36 kmb h x= + = × = ≈

( )22 2 28 3,79 4,21 5,66 kma h x= + − = + ≈ La ambulancia A está a 5,36 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km. EJERCICIO 49 : Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35°°°°; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25°°°°. Calcula la altura del árbol y la anchura de río. Solución:


Hacemos una representación del problema y llamamos: h → altura del árbol x → anchura del río

( )

35 35

25 5 255

htg h x tgx

htg h x tgx

° = → = × ° ° = → = + °+

( ) ( ) 35 5 25 0,7 5 0,47 0,7 0,47 2,35x tg x tg x x x x° = + × ° → = + × → = + →0,23 2,35 10,22 mx x→ = → ≈

h = 10,22 · 0,7 = 7,15 m La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m. EJERCICIO 50 : La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40°°°°. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Solución:

Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos.

Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x.

En cada triángulo conocemos el ángulo de 20° y el cateto opuesto a este ángulo que mide 64 32 cm.2

=

32 32 32 20 94,12 cm 20 0,34

20 20 94,12 2094,12

sen xx sen

h hcos cos h cosx

° = → = ≈ =°

° = → ° = → = × °h ≈ 94,12 · 0,94 ≈ 88,47 cm

Luego: Perímetro = 64 + 2 · 94,12 = 252,24 cm 264 88,47Área 2831,04 cm2

×= =

EJERCICIO 51 : El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68°°°°. La granja A está a 230 m de ese punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? Solución:

Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B.

Por no ser rectángulo el triángulo ABC, trazamos la altura h que lo divide en dos triángulos rectángulos: AHC y AHB.

�En el triángulo conocemos 68 y 230, podemos calcular e :AHC C AC h y= ° =


68 230 68 230 0,37 85,1 m230

h 68 h 230 68 230 0,93 213,9 m230

ycos y cos

sen sen

° = → = × ° = × =

° = → = × ° = × =

En el triángulo AHB, ahora conocemos h = 213,9 m y 435 − y = 435 − 85,1 = 349,9 m. Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2435 213,9 349,9

45753,21 122430,01 168183,22 410,1 m

x h y x

x

= + − → = + →

= + = ≈

La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m. EJERCICIO 52 : Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°°°°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°°°°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.

Solución:

Hacemos una representación. Llamamos: h → altura de la estatua x → radio del lago

( )( )

50 50 50 45 35

35 45 3545

htg h x tgx x tg x tg

htg h x tgx

° = → = × ° → × ° = + × ° →° = → = + × °+

( )1,19 45 0,7 1,19 0,7 31,5 0,49 31,5 64,29 dmx x x x x x→ × = + × → = + → = → =

Luego h = 64,29 · 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m Calculamos la superficie del lago circular: ( )22 2 2

CIRCULO 3,14 64,29 12978,26 dm 129,78 m A x= π × ≈ × ≈ ≈ La superficie del lago es de 129,78 m2. ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO 53 :

:)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg =

( ) ( ) ( ) ( )αtgαtgαtgαtg +−+− oooo 360 d)360 c)180 b)180 a) Solución:

( )31180 a) −=−=− αα tgtg o ( )

31180tg b) ==+ αα tgo

( )31360 c) −=−=− αα tgtg o ( )

31360 d) ==+ αα tgtg o

EJERCICIO 54 : Si sen αααα ==== 0,35 y 0°°°° < αααα < 90°°°° halla ((((sin calcular αααα)))):

( ) ( )αcosαsen +− oo 180 b)180 a)

Tema 4 – Funciones elementales I – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 1

TEMA 4 – FUNCIONES ELEMENTALES I DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c)

Solución: a) y c) son funciones, porque para cada valor de “x” hay un único valor de “y”. b) no es una función, porque para cada valor de “x” hay dos valores de “y”. DOMINIO EJERCICIO 2 : Calcular el dominio de las siguientes funciones

a) f(x) = x2 - 4x + 3 b) 3x4x

3x2)x(f2

c) f(x) = 3 2 3x4x

d) f(x) = 3x4x 2 e) 1x

3x4x)x(f2

f )

3x4x

1x)x(f2

g ) 3x4x

1x)x(f 2

Solución:

a) D(f) = R

b) D(f) = R – {x / x2 – 4x + 3 = 0} x2 -4x + 3 = 0 x = 13

212164

D(f) = R – {1,3}

c) D(f) = R d) D(f) = {x / x2 – 4x + 3 0} x2 – 4x + 3 0

D(f) = (-,1] U [3,+)

e)

01x03x4x 2

1x),3[]1,(x

x (-,-1) (-1,1] [3,+)

f)

03x4x

03x4x2

2

3,1x),3[]1,(x

x (-,1) (3,+)


g) 3x4x

1x2

0

31

x

1x

03x4x

01x2

x (-,-1] (3,+)

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EJERCICIO 3 : Dada las gráficas de las siguientes funciones, estudia sus propiedades: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


Solución: a Dom f 7, 5

Rec f = [-3,4] Puntos de corte con los ejes: OX: (-5,5;0); (-2,8,0), (0,0) OY: (0,0) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-7,5] Tendencia y periodicidad: No tiene Monotonía: Creciente [-7,-4) (-2,5] ; Decreciente (-4,-2) Extremos relativos: Máximo relativo (-4,4) y Mínimo relativo (-2,-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto (-4,4) y Mínimo absoluto (-7,-3) Curvatura: Cóncava (-6,-3) (0,5] y Convexa [-7,-6) (-3,0) Puntos de Inflexión: (-6,-1), (-3,2), (0,0)

b Dom f 4, )

Rec f = [-2,) Puntos de corte con los ejes: OX: (-2,7;0); (1,0), (5,5;0), (8,0), (13,0) y OY: (0;-1,2) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-4,) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-1,3) (7,10) (13,+) ; Decreciente [-4,-1) (3,7) (10,13) Extremos relativos: Máximos relativos (3,2), (10,1) y Mínimo relativo (-1,-2), (7,-1), (13,0) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (-1,-2) Curvatura: Cóncava [-4,-3) (0;5,2) (8,12) y Convexa (-3,0) (5,2;8) (12,+) Puntos de Inflexión: (-3;1,8), (5,2;0), (8,0), (12;0,8)

c Dom f (-, 10

Rec f = (-,12] Puntos de corte con los ejes: OX: (-10,0) OY: (0,6) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-,10] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiene a -, la función tiene a - Monotonía: Creciente (-,-6) (4,10] ; Constante (-6,4) Extremos relativos: No tiene Extremos absolutos: Máximo absoluto (10,12) y Mínimo absoluto no tiene Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

d Dom f (-,-1) (-1,+) = R – {-1}

Rec f = R Puntos de corte con los ejes: OX: (-3,5;0), (-1,3;0), (2,0) OY: (0,3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R – {-1}. En x = -1 es discontinua inevitable de salto finito (Salto 2) Tendencia y periodicidad: Cuando la x tiende a - la función tiende a +. Cuando la x tiende a +, la función tiende a -. Monotonía: Creciente (-2,5;-1) ; Decreciente (-;-2,5) (1,+) ; Constante (-1,1) Extremos relativos: Máximo relativo: No tiene y Mínimo relativo (-2,5;-3) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

e Dom f R Rec f = R

Puntos de corte con los ejes: OX: (-10,0), (-5,0), (-1,0), (1,0), (5,0) y OY: (0,1) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R Tendencia y periodicidad: Cuando la x tiende a -, la función tiende a -. Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-,-7) (-3,0) (3,+) ; Decreciente (-7,-3) (0,3) Extremos relativos: Máximos relativos (-7,4), (0,1) y Mínimos relativos (-3,-3), (3,-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: Cóncava (-,-5) (-1,1) y Convexa (-5,-1) (1,+) Puntos de Inflexión: (-5,0), (-1,0), (1,0)


f Dom f (-;1,5] Rec f = (-,3] Puntos de corte con los ejes: OX: (-1,5;0), (-0,5;0), (0,5;0), (1,5;0) y OY: (0,-3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-;1,5] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a - Monotonía: Creciente (-,-1) (0,1) ; Decreciente (-1,0) (1;1,5] Extremos relativos: Máximos relativos (-1,3), (1,3) y Mínimo relativo (0,-3) Extremos absolutos: Máximo absoluto: (-1,3) y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: Cóncava (-,-0,5) (0,5;1,5] y Convexa (-0,5;0,5) Puntos de Inflexión: (-0,5;0), (0,5;0)

g Dom f R

Rec f = R Puntos de corte con los ejes: OX: (-3,0), (2,0), (4,0) y OY: (0,3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a -. Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-,-2) (3,+) ; Constante (-2,0) ; Decreciente (0,3) Extremos relativos: Máximos relativos: No tiene y Mínimo relativo (3,-2) Extremos absolutos: No tiene Curvatura: Cóncava (0,3) y Convexa (3,+) Puntos de Inflexión: (3,-2)

h Dom f R – {-3}

Rec f = {-4} [-2,+) Puntos de corte con los ejes: OX: (-2,5;0); (-1,0), (1;0) y OY: (0,4) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R – {-3,1}. En x = -3 es discontinua inevitable de salto finito. En x = 1 es discontinua inevitable de salto finito (salto 4) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a 0. Cuando x tiende a +, la función tiende a -4. Asíntotas: Asíntota vertical x = -3 (Se va al infinito). Asíntota horizontal y = 0 Monotonía: Creciente (-,-3) (-1,5,0) ; Constante (1,+) ; Decreciente (-3;-1,5) (0,1] Extremos relativos: Máximos relativos (0,4) y Mínimo relativo (-1,5;-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto {(x,-4) / x (1,+)} Curvatura: Cóncava (-1,1) y Convexa (-,-3) (-3,-1) Puntos de Inflexión: (-1,0)

i Dom f 5, )

Rec f = [0,) Puntos de corte con los ejes: OX: (-5,0), (0,0) OY: (0,0) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-5,) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente [-5,-3) (0,+) ; Decreciente (-3,0) Extremos relativos: Máximos relativos (-3,3) y Mínimo relativo (0,0) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (-5,0), (0,0) Curvatura: Convexa (-3,0) Puntos de Inflexión: No tiene


EJERCICIO 4 : Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

Estudia sus propiedades. Solución: Completamos la tabla:

x 4 3 1 1 3 5

y 8 5 2 2 0 0

Propiedades: Dom f (-,5]

Rec f = [-4,+) Puntos de corte con los ejes: OX: (1.5;0), (3,0), (5,0) y OY: (0,2) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-,5] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a + Monotonía: Creciente (2,4) ; Constante (-2,1) ; Decreciente (-,-2) (1,2) (4,5] Extremos relativos: Máximos relativos (4,4) y Mínimo relativo (2,-1) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (2,-4) Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

EJERCICIO 5 : Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a Dom f 5, 6 b Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6]; decrece en el intervalo 3, 0.

c Es continua en su dominio. d Corta al eje X en los puntos 5, 0, 1, 0 y 4, 0. e Tiene un mínimo en 0, 2 y máximo en 3, 3 Solución:

EJERCICIO 6 : Una función, f, cumple las siguientes condiciones: a El dominio de definición son todos los valores de x 3. b Es continua en su dominio. c Crece en el intervalo 2, 3. d Pasa por los puntos 0, 0, 2, 3 y 3, 4. e Es constante para todos los valores de x 2.


Solución:

EJERCICIO 7 : Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a) Está definida en todo R b) Es continua. c) Corta al eje Y en 0, 6, pero no corta al eje X. d) Crece en 3, 0 y 3, . Decrece en , 3 y 0, 3.

e Su mínimo es 3, 1, y pasa por el punto 3, 2. Solución:

EJERCICIO 8 : Haz la gráfica de una función que cumpla:

a) Dominio de definición: R – {-1} b) Corta al eje X en x 2, x 0 y x 4. c) Crece en , 1 y 0, 2; y decrece en 1, 0 y 2, d) Tiene un máximo relativo en 2, 3. Solución:

EJERCICIO 9 : Desde su casa hasta la parada del autobús, María tarda 5 minutos la parada está a 200 m de su casa; espera durante 10 minutos, y al ver que el autobús tarda más de lo normal, decide ir andando a su lugar de trabajo, situado a 1 km de su casa. Al cuarto de hora de estar andando y a 300 m de su trabajo, se da cuenta de que el teléfono móvil se le ha olvidado en casa y regresa a buscarlo, tardando 10 minutos en llegar. Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. Solución:


EJERCICIO 10 : Eduardo se va de vacaciones a una localidad situada a 400 km de su casa; para ello decide hacer el recorrido en coche. La primera parada, de 30 minutos, la hace al cabo de hora y media para desayunar, habiendo realizado la mitad del recorrido. Continúa su viaje sin problemas durante 1 hora, pero a 100 km del final sufre una parada de 15 minutos. En total tarda 4 horas en llegar a su destino. Representa la gráfica tiempo-distancia recorrida. Solución:

EJERCICIO 11 : Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen unos grandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde marzo hasta junio los ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A partir de entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresos realizados al comienzo del año. Solución: Esta es una posible gráfica que describe la situación anterior:

EJERCICIO 12 : Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: A las 0 horas, la temperatura de una casa es de 15 C y, por la acción de un aparato que controla la temperatura, permanece así hasta las 8 de la mañana. En ese momento se enciende la calefacción y la temperatura de la casa va creciendo hasta que, a las 14:00 h, alcanza la temperatura máxima de 25 C. Paulatinamente, la temperatura disminuye hasta el momento en que se apaga la calefacción a las 10 de la noche volviendo a coincidir con la que había hasta las 8:00 horas. Solución:

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