geometria espacial - parte 4
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8/7/2019 GEOMETRIA ESPACIAL - Parte 4
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ISERJ 2012
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Consideramos um ponto O e um segmento de
medida R. Chama-se esfera de centro O e raio Roconjunto dos pontos P do espao , tais que a
distncia OP seja menor ou igual a R.
P
P
OR P
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A esfera tambm pode ser descrita como sendo o
slido de revoluo gerado pela rotao completa de
um semicrculo em torno de um eixo que contm umdimetro.
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Superfcie esfrica de centro O e raio R o conjunto
dos pontos P do espao que distam Rdo ponto O.
RO
A superfcie gerada pela rotaode uma semicircunferncia em
torno de um eixo que contm
um dimetro uma superfcie
esfrica.
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Considerando a superfcie de uma esfera de eixo e e centro O,
temos:
a) Plos so as intersees da superfcie com o eixo;
b) Equador a seo (circunferncia) perpendicular ao eixo,
pelo centro da superfcie; e
P
P
Equador
Plo
Plo
Meridiano
Paralelo
O
c) Meridiano a seo (circunferncia) que passa pelo eixo e
contm os polos;
d) Paralelo qualquer seo (circunferncia) perpendicular aoeixo;
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OR
R' O
Qualquer plano a que seciona uma esfera de raio R determina
como seo plana um crculo de raio R
a
Se a seo passa pelo
centro da esfera,
temos como seo umcrculo mximo da
esfera ( R= R ).
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O
OO a distncia ddo plano a ao centro da esfera.
a
R
R'R'
R
O
d
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2R 2R
2R 2R
Considere o cilindro equiltero dimetro da base igual altura
de raio da base R.
Considere agora uma esfera de raio R e um cone equiltero de
raio da base R e, consequentemente, altura 2R.
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Sabemos que, nessas condies, o volume do cone ser igual a
um tero do volume do cilindro.Vamos derramar o cone dentro do cilindro:
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Vemos que o volume do cone
ocupou um tero da capacidade
do cilindro.
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Vamos repetir o procedimento, vertendo o contedo da esfera no
cilindro que j est com um tero de sua capacidade ocupada.
Constatamos assim que o
volume da esfera igual a dois
teros do volume do cilindrocorrespondente.
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Dessa forma podemos deduzir a frmula que calcula o volume de
uma esfera de raio R:
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Imagine uma esfera de raio .
Imagine agora outra esfera, concntrica, de raio + .
+
O volume da regio entre as duasesferas como se fosse a cascade um melo.
Esse volume a diferena entreos volumes das duas esferas.
Quanto mais os raios das duasesferas se aproximam, mais finatorna-se esta casca, ou seja, a
diferena entre os raios das esferasse aproxima de zero.
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A razo entre estes dois valores aproxima-se da rea da superfcieesfrica, quando diminumos a diferena entre os raios das esferas.
Superfcie Esfrica
A razo entre os valoresDiferena entre os volumes das duas esferas
Diferena entre os raios das duas esferas
se aproxima da rea da Superfcie Esfrica quando a diferenaentre os raios das duas esferas diminui.
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rea da Superfcie Esfrica +
+ , quando 0
Volume da esfera de raio + :
+ =4
3. . +
=4
3. .
+ 3 .
2. + 3. .
2+
Volume da esfera de raio :
=4
3. .
+ =4
3. .
+ 3.
2. + 3. .
2+
+ =4
3. . . 3
2+ 3. +
2
Diferena entre os volumes:
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rea da Superfcie Esfrica +
+ , quando 0
rea da Superfcie Esfrica 4
3. . . 3
2+ 3. +
2
, quando 0
rea da Superfcie Esfrica 43
.. 32
+ 3. + 2 , quando 0
0 0
rea da Superfcie Esfrica =4
3..3
2
= 4. . 2
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1) Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?
Soluo: O volume da esfera dado pela
frmula:
Logo o volume ser:
3336000)27000(
3
4)30(
3
4cmV
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2) Uma esfera est inscrita num cubo cuja aresta mede 20
cm. Calcule a rea da superfcie esfrica.
Soluo: Repare que o raio da
esfera inscrita a metade da
aresta do cubo, logo R= 10cm.
A rea da esfera calculada
com a frmula:
Ento a rea dessa esfera :
221256)14,3(400400)100(4)10(4 cmA
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3) Calcule o volume de uma esfera de 100 cm2 de rea.
Soluo: Igualando a frmula da rea ao valor indicado, temos:
10042 RA
4
1002 R 252 R cmR 5
Calculando o volume vem:
33)5(
3
4
3
4 RV
3
500
3
)125(4 V
333,523 cmV
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4) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de
raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa
nova esfera.
Soluo: V3 = V1 + V2 , onde:
333
11 36)3(3
4
3
4cmRV
333
22 288)6(3
4
3
4cmRV
324)28836(3
4 333 RV
4
)324)(3(33 R
2433
3 R
33
3 93243 R
cmR 24,63
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5) Determine a rea de uma esfera, sendo 2304 cm3 o seu
volume.
Soluo: Igualando a frmula do volume ao valor indicado,temos:
23043
4 3 RV4
)2304)(3(3 R cmR 1217283
Calculando a rea vem:
22)12(44 RA
)14,3(576576)144(4
264,1808 cmA
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6) Qual a rea total e o volume do recipiente da figura abaixo?
3 m
3 m
Soluo: Considerando o recipiente aberto, no calculamos a
rea da tampa. Basta calcularmos a metade da rea e dovolume da esfera.
2
22
52,56182
)3(4
2
4
2cm
RA
333
52,56186
)3(4
3
4
2
1
2cm
RV
i)
ii)
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7) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que seciona
essa esfera determina nela um crculo de raio 45 cm.
Determinar a distncia do plano ao centro da esfera.
Soluo: A distncia entre o crculo
e o centro o cateto do tringulo
retngulo formado pelo raio da
esfera e o do crculo.
Logo aplicando a relao de Pitgoras,
temos:
202528094553 2222 dd
cmdd 287847842
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Questes resolvidas:
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