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GeometríaRiemannianaManfredo Perdigão do Carmo

Traducido por Julio César Vera Hernández

Índice general

Índice general I

0 Variedades diferenciables 10.1. Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Variedades diferenciables. Espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Inmersiones y encajes. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4. Otros ejemplos de variedades. Orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.5. Campos vectoriales, corchetes. Topología de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1 Métricas riemannianas 211.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2. Métricas riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Conexiones afines. Conexiones riemannianas 282.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Conexiones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Conexiones riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Geodésicas. Vecindades conexas 353.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. El flujo geodésico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Propiedades minimizantes de las geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. Vecindades convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Curvatura 514.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4. Curvatura de Ricci y curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5. Tensores sobre variedades riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Campos de Jacobi 645.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2. La ecuación de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3. Puntos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Índice alfabético 74

I

CAPÍTULO 0

Variedades diferenciables

0.1. Superficies regulares

La definición de una variedad diferenciable es necesaria para extender los métodos del cálculo diferencial a espaciosmás generales que Rn.

Recordemos que un subconjunto S ⊂ R3 es una superficie regular si, para cada punto p ∈ S, existe una vecindadV de p en R3 y un mapeo x : U ⊂ R2 → V ∩ S de un conjunto abierto U ⊂ R2 en V ∩ S tal que

(a) x es un homeomorfismo diferenciable;

(b) La diferencial (dx)q : R2 → R3 es inyectiva para todo q ∈ U .

El mapeo x es llamado una parametrización de S en p. La consecuencia más importante de la definición es que latransición de una parametrización a otra es un difeomorfismo: si xα : Uα → S y xβ : Uβ → S son dos parametrizacionestales que x(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, entonces los mapeos x−1β ◦ xα : x−1α (W )→ R2 y x−1α ◦ xβ : x−1β (W )→ R2 sondiferenciables.Intuitivamente, una superficie regular es la unión de conjuntos abiertos de R2 tales que cuando dos se intersecan, elcambio de uno al otro puede hacerse de manera diferenciable. El mayor defecto que tiene esta definición de superficieregular es su dependencia de R3; la presencia innecesaria de R3 simplemente es la imposición de nuestra naturalezafísica.

Puesto que no existe ninguna ventaja en restringirnos a dos dimensiones, la definición anterior puede ser dada parauna dimensión arbitraria n. Diferenciable siempre significa de clase C∞.

0.2. Variedades diferenciables. Espacio tangente

Definición 0.1. Una variedad diferenciable de dimensión n es un conjunto M y una familia de mapeos inyectivosxα : Uα ⊂ Rn →M de conjuntos abiertos Uα de Rn en M tal que

(1)⋃α xα(Uα) = M ;

(2) para cada par α, β con xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, los conjuntos x−1α (W ) y x−1β (W ) son conjuntos abiertos enRn y los mapeos x−1β ◦ xα son diferenciables (véase la figura 0.1);

(3) la familia {(Uα,xα)} es maximal relativa a las condiciones (1) y (2)1.

El par (Uα,xα) (o el mapeo xα) con p ∈ xα(Uα) es llamado una parametrización (o sistema de coordenadas) de Men p; xα(Uα) es entonces llamado una vecindad coordenada en p. Una familia {(Uα,xα)} que satisfacen (1) y (2) esllamada una estructura diferenciable sobre M .

Una comparación entre las definiciones de variedad diferenciable y superficie regular en R3 muestran que el puntoesencial (haciendo un lado el cambio en la dimensión de 2 a n) es la propiedad fundamental del cambio de parámetros(que es un teorema para superficies en R3) e incorporarlo como axioma. Esta es la idea que nos permite trabajar con

1La condición (3) se incluye por razones técnicas. Dada una estructura diferenciable sobre M se puede completar a una estructura maximaltomando la unión de todas las parametrizaciones que, junto con las parametrizaciones de la estructura dada, satisfacen la condición (2). Sin abusodel lenguaje podemos decir que una variedad diferenciable es un conjunto con una estructura diferenciable.

1

2 Variedades diferenciables

Figura 0.1: Variedad diferencial

las ideas del cálculo diferencial en Rn a las variedades diferenciables.

Además de esto, una estructura diferenciable sobre un conjunto M induce una topología natural sobre M . Essuficiente definir A ⊂M como un conjunto abierto en M si y sólo si x−1α (A∩xα(Uα)) es un abierto en Rn para toda α.Es fácil verificar que se forma una topología, y que está definida en tal manera que los conjuntos xα(Uα) son abiertosy que los mapeos xα son continuos.

Ejemplo 0.1. El espacio euclideano Rn, con la estructura diferenciable dada por la identidad, es un ejemplo trivial devariedad diferenciable n-dimensional.

Ejemplo 0.2. El espacio proyectivo Pn(R). Denotemos por Pn(R) el conjunto de rectas de Rn+1 que pasan por elorigen 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn+1; esto es, Pn(R) es el conjunto de direcciones de Rn+1.

Introduzcamos una estructura diferenciable sobre Pn(R). Para ello, sea (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 y observe quePn(R) es el espacio cociente de Rn+1 − {0} por la relación de equivalencia

(x1, . . . , xn+1) ∼ (λx1, . . . , λxn+1), λ ∈ R− {0}.

Denotaremos los puntos de Pn(R) como [x1, . . . , xn+1]. Si xi 6= 0,

[x1, . . . , xn+1] =

[x1xi, . . . ,

xi−1xi

, 1,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

].

Definamos los subconjuntos V1, . . . , Vn+1 de Pn(R) como

Vi := {[x1, . . . , xn+1] : xi 6= 0}, 1 ≤ i ≤ n+ 1.

Geométricamente, Vi es el conjunto de rectas de Rn+1 que pasan por el origen y que no pertenecen al hiperplanoxi = 0. Demostremos que podemos tomar a los Vi como vecindades coordenadas, donde las coordenadas sobre Vison

y1 =x1xi, . . . , yi−1 =

xi−1xi

, yi =xi+1

xi, . . . , yn =

xn+1

xi.

Para ello, definamos los mapeos xi : Rn → Vi como

xi(y1, . . . , yn) = [y1, . . . , yi−1, 1, yi, . . . , yn], (y1, . . . , yn) ∈ Rn,

0.2. Variedades diferenciables. Espacio tangente 3

y mostremos que la familia {(Rn,xi)} es una estructura diferenciable sobre Pn(R). Claramente, cualquier mapeo xi esbiyectivo mientras que

⋃i xi(Rn) = Pn(R). Sólo falta demostrar que x−1i (Vi ∩ Vj) es un conjunto abierto en Rn y que

x−1j ◦ xi, con 1 ≤ j ≤ n+ 1, es diferenciable allí. Si i > j, los puntos en x−1i (Vi ∩ Vj) son de la forma

{(y1, . . . , yn) ∈ Rn : yj 6= 0}.

Por lo tanto, x−1i (Vi ∩ Vj) es un abierto en Rn y suponiendo que i > j (el caso i < j es similar),

x−1j ◦ xi(y1, . . . , yn) = x−1j [y1, . . . , yi−1, 1, yi, . . . , yn]

= x−1j

[y1yj, . . . ,

yj−1yj

, 1,yj+1

yj, . . . ,

yi−1yj

,1

yj,yiyj, . . . ,

ynyj

]=

(y1yj, . . . ,

yj−1yj

,yj+1

yj, . . . ,

yi−1yj

,1

yj,yiyj, . . . ,

ynyj

),

la cual es claramente diferenciable.

En resumen, el espacio proyectivo Pn(R) puede ser cubierto por n + 1 vecindades coordenadas Vi, las cualesestán hechas de aquellas direcciones de Rn+1 que no son el hiperplano xi = 0; en adición, en cada Vi tenemos lascoordenadas2 (

x1xi, . . . ,

xi−1xi

,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

),

donde (xi, . . . , xn+1) son las coordenadas de Rn+1.

Antes de presentar más ejemplos, extendamos la idea de diferenciabilidad de mapeos entre variedades. Denotare-mos por Mm a una variedad diferenciable M de dimensión dimM = m.

Definición 0.2. Sean Mm y Nn dos variedades diferenciables. Un mapeo ϕ : M → N es diferenciable en p ∈ Msi, dada una parametrización y : V ⊂ Rn → N en ϕ(p), existe una parametrización x : U ⊂ Rm → M en p tal queϕ(x(U)) ⊂ y(V ) y el mapeo

y−1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rm → Rn (0.1)

es diferenciable en x−1(p) (figura 0.2). El mapeo ϕ es diferenciable en un abierto de M si es diferenciable en todos lospuntos de este abierto.

Se sigue de la condición 2 de la definición 0.1 que lo anterior es independiente de la elección de parametrizaciones.El mapeo (0.1) es llamado la expresión de ϕ en las parametrizaciones x y y.

Para superficies en R3, un vector tangente en un punto p de la superficie está definido como la "velocidad" en R3 deuna curva en la superficie que pasa a través de p. Sea α : (−ε, ε) → Rn una curva diferenciable en Rn, con α(0) = p.Escribimos

α(t) = (x1(t). . . . , xn(t)), t ∈ (−ε, ε), (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Entonces α′(0) = (x′1(t), . . . , x′n(0)) = v ∈ Rn. Ahora, sea f una función diferenciable definida en una vecindad de p.Podemos restringir f a la curva α y expresar la derivada direccional con respecto al vector v ∈ Rn como

d(f ◦ α)

dt

∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

∂f

∂xi

∣∣∣∣t=0

dxidt

∣∣∣∣t=0

=

(∑i

x′i(0)∂

∂xi

)f.

Por lo tanto, la derivada direccional con respecto a v es un operador sobre funciones diferenciables que dependeúnicamente de v. Esta es la propiedad característica que usaremos para definir vectores tangentes sobre una variedad.

Definición 0.3. Sea M una variedad diferenciable. Una función diferenciable α : (−ε, ε) → M es llamada una cur-va (diferenciable) sobre M . Supongamos que α(0) = p ∈ M , y sea D el conjunto de funciones sobre M que sondiferenciables en p. El vector tangente a la curva α en t = 0 es una función α′(0) : D → R dada por

α′(0)f =d(f ◦ α)

dt

∣∣∣∣t=0

, f ∈ D.

2Las coordenadas de Vi son las coordenadas inhomogéneas correspondientes a las coordenadas homogéneas (xi, . . . , xn+1) ∈ Rn+1.


Figura 0.2: Mapeo diferenciable

Un vector tangente en p es el vector tangente a t = 0 de alguna curva α : (−ε, ε)→M con α(0) = p. El conjuntode todos los vectores tangentes a M en p se indicará por TpM .

Si escogemos una parametrización x : U → Mm en p = x(0), podemos expresar la función f y la curva α en estaparametrización por

f ◦ x(q) = f(x1, . . . , xn), q = (x1, . . . , xn) ∈ U,y

x−1 ◦ α(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),

respectivamente. Por lo tanto, restringiendo f a α, obtenemos

α′(0)f =d

dt(f ◦ α)

∣∣∣∣t=0

=d

dtf(x1(t), . . . , , xn(t))

∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

x′i(0)

(∂f

∂xi

)=

(∑i

x′i(0)

(∂

∂xi

)0

)f.

En otras palabras, el vector α′(0) puede ser expresado en términos de la parametrización x como

α′(0) =∑i

x′i(0)

(∂

∂xi

)0

. (0.2)

Observe que(

∂∂xi

)0

es el vector tangente en p de la "curva coordenada" (figura 0.3)

xi 7→ x(0, . . . , 0, xi, 0, . . . , 0).

La expresión (0.2) muestra que el vector tangente a la curva α en p depende solamente de la derivada de α enun sistema coordenado. Se sigue de (0.2) que el conjunto TpM , con las operaciones usuales de funciones, forma unespacio vectorial de dimensión n y que la elección de una parametrización x : U → M determina una base asociada{(

∂∂x1

)0, . . . ,

(∂∂xn

)0

}. Es inmediato que la estructura lineal en TpM es independiente de la parametrización. Al

espacio TpM se le llama espacio tangente de M en p.

0.2. Variedades diferenciables. Espacio tangente 5

Figura 0.3: Vector tangente en p

Proposición 0.1. Sean Mm y Nn variedades diferenciables y sea ϕ : M → N un mapeo diferenciable. Para cadap ∈M y para cada v ∈ TpM , escojamos una curva diferenciable α : (−ε, ε)→M con α(0) = p y α′(0) = v. Tomemosβ = ϕ ◦α. El mapeo dϕp : TpM → Tϕ(p)N dado por dϕp(v) = β′(0) es un mapeo lineal que no depende de la elecciónde α (figura 0.4).

Demostración. Sean x : U →M y y : V → N parametrizaciones en p y ϕ(p), respectivamente. Expresando ϕ enestas parametrizaciones, podemos escribir

y−1 ◦ ϕ ◦ x(q) = (y1(x1, . . . , xm), . . . , yn(x1, . . . , xm)),

q = (x1, . . . , xm) ∈ U, (y1, . . . , yn) ∈ V.

Por otro lado, expresando a α en la parametrización x, obtenemos

x−1 ◦ α(t) = (x1(t), . . . , xm(t)).

Por lo tanto,y−1 ◦ β(t) = (y1(x1(t), . . . , xm(t)), . . . , yn(x1(t), . . . , xm(t))).

Se sigue de la expresión para β′(0) con respecto a la base{(

∂∂yi

)0

}de Tϕ(p)N , asociada a la parametrización y,

está dada por

β′(0) =

(m∑i=1

∂y1∂xi

x′i(0), . . . ,

m∑i=1

∂yn∂xi

x′i(0)

). (0.3)

La relación (0.3) muestra que β′(0) no depende de la elección de α. En adición, (0.3) se puede escribir como

β′(0) = dϕp(v) =

(∂yi∂xj

)(x′j(0)); 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m,

donde(∂yi∂xj

)denota una matriz n × m y x′j(0) denota una matriz columna con m elementos. Por lo tanto, dϕp es

un mapeo lineal de TpM en Tϕ(p)N cuya matriz en la base asociada obtenidas de las parametrizaciones x y y es

precisamente(∂yi∂xj

). �

Definición 0.4. El mapeo lineal dϕp definido por la proposición (0.1) es llamado la diferencial de ϕ en p.

Definición 0.5. Sean M y N dos variedades diferenciables. Un mapeo ϕ : M → N es un difeomorfismo si éste esdiferenciable, biyectiva y si su inversa ϕ−1 es diferenciable. Se dice que ϕ es un difeomorfismo local en p ∈ M siexisten vecindades U de p y V de ϕ(p) tales que ϕ : U → V es un difeomorfismo.


Figura 0.4: Proposición 0.1

La noción de difeomorfismo es la idea natural de equivalencia entre variedades diferenciables. Es una consecuenciainmediata de la regla de la cadena que si ϕ : M → N es un difeomorfimo, entonces dϕp : TpM → Tϕ(p)N es unisomorfismo para todo p ∈ M ; en particular, las dimensiones de M y N son iguales. Un recíproco local de este hechoes el siguiente teorema.

Teorema 0.1. Sea ϕ : Mn → Nn un mapeo diferenciable y sea p ∈M tal que dϕp : TpM → Tϕ(p)N es un isomorfismo.Entonces ϕ es un difeomorfismo local en p.

Demostración. La demostración es una aplicación inmediata del teorema de la función inversa en Rn. �

0.3. Inmersiones y encajes. Ejemplos

Definición 0.6. Sean Mm y Nn variedades diferenciables. Un mapeo diferenciable ϕ : M → N se dice que es unainmersión si dϕp : TpM → Tϕ(p)N es inyectiva para toda p ∈ M . Si, en adición, ϕ es un homeomorfismo sobreϕ(U) ⊂ N , donde ϕ(M) tiene la topología de subespacio inducida por N , decimos que ϕ es un encaje. Si M ⊂ N y lainclusión ι : M ↪→ N es un encaje, decimos que M es una subvariedad de N .

Puede verse que si ϕ : Mm → Nn es una inmersión, entonces m ≤ n; la diferencia k = n − m es llamada lacodimensión de la inmersión ϕ.

Ejemplo 0.3. La curva α : R→ R2 dada por α(t) = (t, |t|) no es diferenciable en t = 0 (figura 0.5).

Figura 0.5: Ejemplo 0.3

Ejemplo 0.4. La curva α : R → R2 dada por α(t) = (t2, t3) es un mapeo diferenciable pero no es una inmersión. Dehecho, la condición para que el mapeo sea una inmersión en este caso es equivalente a que α′(t) 6= 0, lo cual no ocurrepara t = 0 (figura 0.6).

0.3. Inmersiones y encajes. Ejemplos 7


Ejemplo 0.5. La curva α(t) = (t3−4t, t2−4) (figura 0.7) es una inmersión α : R→ R2 la cual tiene una autointersecciónpara t = 2, t = −2. Por lo tanto, α no es un encaje.


Ejemplo 0.6. La curva (figura 0.8)

α(t) =

(0,−(t− 2)), t ∈ (−3,−3);

curva regular, t ∈ (−1,−1/π);

(−t,− sen 1t ), t ∈ (−1/π, 0)

es una inmersión α : (−3, 0) → R2 sin autointersecciones. Sin embargo, α no es un encaje. De hecho, una vecindadde un punto p, en la parte vertical de la curva consiste de un número infinito de componentes conexos en la topologíainducida por R2. Por otra parte, una vecindad de tal punto en la topología "inducida" por α (esto es, la topología de lalínea) es un intervalo abierto y por tanto un conjunto conexo.

Ejemplo 0.7. Es claro que una superficie regular S ⊂ R3 tiene una estructura diferenciable dada por sus parametri-zaciones xα : Uα → S. Con tal estructura, los mapeos xα son diferenciables y, de hecho, son encajes de Uα en S;ésta es una consecuencia inmediata de las condiciones de la definición de superficie regular. Vamos a demostrar quela inclusión ι : S ↪→ R3 es un encaje; esto es, que S es una subvariedad de R3.

Tenemos que ι es diferenciable, puesto que para todo p ∈ S existe una parametrización x : U ⊂ R2 → S de S en py una parametrización j : V ⊂ R3 → V de R3 en ι(p) (V es una vecindad de p en R3 y j es el mapeo identidad), talesque j−1 ◦ ι ◦ x = x es diferenciable. En adición, de la segunda condición de la definición de superficie regular, ι es unainmersión y, de la primera condición, ι es un homeomorfismo en su imagen, con lo que queda demostrado.



Para la mayoría de las cuestiones locales de la geometría, es lo mismo trabajar ya sea con inmersiones o conencajes. Esto viene de la siguiente proposición, la cual muestra que cada inmersión es localmente (en ciertos casos)un encaje.

Proposición 0.2. Sea ϕ : Mm → Nn,m ≤ n, una inmersión de la variedad diferenciableM en la variedad diferenciableN . Para cada punto p ∈M existe una vecindad V ⊂M de p tal que la restricción ϕ|V → N es un encaje.

Demostración. Este hecho es una consecuencia del teorema de la función inversa. Sean x1 : U1 ⊂ Rm → My x2 : U2 ⊂ Rn → N dos sistemas coordenados en p y ϕ(p), respectivamente, y denotemos por (x1, . . . , xm) lascoordenadas de Rm y por (y1, . . . , yn) las coordenadas de Rn. En estas coordenadas, la expresión de ϕ está dada por

ϕ = x−12 ◦ ϕ ◦ x1 = (y1(x1, . . . , xm), . . . , yn(x1, . . . , xm)).

Sea q = x−11 (p). Puesto que ϕ es una inmersión, podemos suponer, renumerando las coordenadas para Rm y Rn si esnecesario, que

∂(y1, . . . , ym)

∂(x1, . . . , xm)(q) 6= 0.

Para aplicar el teorema de la función inversa, introduzcamos el mapeo $ : U1 × Rn−m=k → Rn dado por

$(x1, . . . , xm, t1, . . . , tk) = (y1(x1, . . . , xm), . . . , ym(x1, . . . , xm), ym+1(x1, . . . , xm) + t1, . . . , ym+k(x1, . . . , xm) + tk),

donde (t1, . . . , tk) ∈ Rn−m=k. Es fácil verificar que $ restringido a U1 coincide con ϕ y que

det(dϕq) =∂(y1, . . . , ym)

∂(x1, . . . , xm)(q) 6= 0.

Se sigue del teorema de la función inversa que existen vecindades W1 ⊂ U1 × Rk de q y W2 ⊂ U2 × Rn de $(q)tales que la restricción $|W1 es un difeomorfismo en W2. Sea V = W1 ∩ U1. Puesto que $|V = ϕ|V y xi es undifeomorfismo para i = 1, 2, concluímos que la restricción a V = x1(V ) del mapeo $ = x2 ◦ ϕ ◦ x−11 : V → ϕ(V ) ⊂ Nes un difeomorfismo; luego, es un encaje. �

0.4. Otros ejemplos de variedades. Orientación

Ejemplo 0.8. Haz tangente. Sea Mn una variedad diferenciable y sea TM = {(p, v) : p ∈M,V ∈ TpM}. Proveamosa TM de una estructura diferenciable (de dimensión 2n); con tal estructura TM es llamado haz tangente de M .

Sea {(Uα,xα)} una estructura diferenciable maximal sobre M . Denotemos por (xα1 , . . . , xαn) las coordenadas de

Uα y por{

∂∂xα1

, . . . , ∂∂xαn

}las bases asociadas a los espacios tangentes de xα(Uα). Para cada α, definamos yα :

Uα × Rn → TM por

yα(xα1 , . . . , xαn, u1, . . . , un) =

(xα(xα1 , . . . , x

αn),

n∑i=1

ui∂

∂xαi

), (u1, . . . , un) ∈ Rn.

0.4. Otros ejemplos de variedades. Orientación 9

Geométricamente, esto significa que tomamos como coordenadas de un punto (p, v) ∈ TM las coordenadas (xα1 , . . . , xαn)

de p junto con las coordenadas de v en la base{

∂∂xα1

, . . . , ∂∂xαn

}. Vamos a mostrar que {(Uα ×Rn,yα)} es una estruc-

tura diferenciable sobre TM . Puesto que⋃α xα(Uα) = M y (dxα)q(Rn) = Txα(q)M , con q ∈ Uα, tenemos que⋃

α

yα(Uα × Rn) = TM,

lo cual verifica la primera condición de la definición de variedad diferencial. Ahora, sea

(p, v) ∈ yα(Uα × Rn) ∩ yβ(Uβ × Rn);

entonces(p, v) = (xα(qα), dxα(vα)) = (xβ(qβ), dxβ(vβ)),

donde qα ∈ Uα, qβ ∈ Uβ y vα, vβ ∈ Rn. Por lo tanto,

y−1β ◦ yα(qα, vα) = y−1β (xα(qα), dxα(vα)) =((

x−1β ◦ xα)

(qα), d(x−1β ◦ xα)(vα)).

Puesto que x−1β ◦ xα es diferenciable, d(x−1β ◦ xα

)también lo es. Se sigue que yβ ◦ yα es diferenciable, lo cual

verifica la segunda condición de la definición de variedad diferenciable.

Ejemplo 0.9. Superficies regulares en Rn. La generalización natural de la noción de superficie regular en R3 es laidea de una superficie de dimensión k en Rn, con k ≤ n. Un subconjunto Mk ⊂ Rn es una superficie regular dedimensión k si para cada p ∈Mk existe una vecindad V de p en Rn y un mapeo x : U →M ∩U de un abierto U ⊂ Rken M ∩ V tales que

(a) x es un difeomorfismo diferenciable.

(b) (dx)q : Rk → Rn es inyectiva para todo q ∈ U .

Excepto por las dimensiones involucradas, la definición es exactamente la misma que la dada en la introducciónpara una superficie regular en R3. Puede probarse3 que si x : U ⊂ Rk → Mk y y : V ⊂ Rk → Mk son dos parame-trizaciones con x(U) ∩ y(V ) = W 6= ∅, entonces el mapeo h = x−1 ◦ y : y−1(W ) → x−1(W ) es un difeomorfismo.Daremos a continuación un bosquejo de prueba.

Bosquejo de demostración Observemos primero que h es un homeomorfismo, siendo una composición de ho-meomorfismos. Sea r ∈ y−1(W ) y hagamos q = h(r). Sean (u1, . . . , uk) ∈ U y (v1, . . . , vn) ∈ Rn y escribamos a x enestas coordenadas como

x(u1, . . . , uk) = (v1(u1, . . . , uk), . . . , vn(u1, . . . , uk)).

De la condición (b), podemos suponer que∂(v1, . . . , vk)

∂(u1, . . . , uk)(q) 6= 0.

Extendiendo x a un mapeo F : U × Rn−k → Rn dado por

F (u1, . . . , uk, tk+1, . . . , tn) = (v1(u1, . . . , uk), . . . , vk(u1, . . . , uk), vk+1(u1, . . . , uk) + tk+1, . . . , vn(u1, . . . , uk) + tn),

donde (tk+1, . . . , tn) ∈ Rn−k. Es claro que F es diferenciable y la restricción de F a U × {(0, ,0)} coincide con x. Conun simple cálculo, obtenemos que

det(dFq) =∂(v1, . . . , vk)

∂(u1, . . . , uk)(q) 6= 0.

Entonces estamos capacitados para aplicar el teorema de la función inversa, el cual garantiza la existencia de unavecindad Q de x(q) donde F−1 existe y es diferenciable. Por la continuidad de y, existe una vecindad R ⊂ V de r talque y(R) ⊂ Q. Notemos que la restricción de h a R, h|R = F−1 ◦ y|R es una composición de mapeos diferenciables.

3En una manera similar que lo hecho para superficies en R3


Entonces h es diferenciable en r y por tanto en y−1(W ). Un argumento similar muestra que h−1 es diferenciable, pro-bando la aserción. �

De lo que acabamos de probar, se sigue por un argumento completamente similar al del ejemplo 0.7 que Mk es unavariedad diferenciable de dimensión k y que la inclusión ι : Mk ⊂ Rn es un encaje; esto es, Mk es una subvariedad deRn.

Ejemplo 0.10. Imagen inversa de un valor regular. Antes de discutir el siguiente ejemplo, necesitamos algunas defi-niciones. Sea F : U ⊂ Rm → Rn un mapeo diferenciable de un conjunto abierto U de Rm. Un punto p ∈ U se definecomo un punto crítico de F si la diferencial dFp : Rm → Rn no es suprayectiva. La imagen F (p) de un punto crítico esllamado un valor crítico de F . Un punto a ∈ Rn que no es un valor crítico es llamado un valor regular de F . Note quecualquier punto a /∈ F (U) es trivialmente un valor regular de F y que si existe un valor regular de F en Rn, entoncesm ≥ n.

Sea ahora a ∈ F (U) un valor regular de F . Vamos a mostrar que la imagen inversa F−1(a) ⊂ Rm es una superfi-cie regular de dimensión k = m−n. De lo que se vio en el ejemplo 0.9, F−1(a) es, por lo tanto, una subvariedad de Rm.

Usemos, para demostrar esta aserción, el teorema de la función inversa. Sea p ∈ F−1(a). Denotemos por q =(y1, . . . , yn, x1, . . . , xk) un punto arbitrario de Rm=n+k y por F (q) = (f1(q), . . . , fn(q)) su imagen bajo el mapeo F .Puesto que a es un punto regular de F , dFp es suprayectiva. Por lo tanto, podemos suponer que

∂(f1, . . . , fn)

∂(y1, . . . , yn)(p) 6= 0.

Definamos un mapeo ϕ : U ⊂ Rm → Rm=n+k por

ϕ(y1, . . . , yn, x1, . . . , xk) = (f1(q), . . . , fn(q), x1, . . . , xk).

Entonces

det(dϕ)p =∂(f1, . . . , fn)

∂(y1, . . . , yn(p) 6= 0.

Por el teorema de la función inversa, ϕ es un difeomorfismo de una vecindad Q de p en una vecindad W de ϕ(p). SeaKn+k ⊂ W ⊂ Rn+k un cubo de centro ϕ(p) y hagamos V = ϕ−1(Kn+k) ∩ Q. Entonces ϕ mapea a la vecindad Vdifeomorfamente en Kn+k = Km ×Kk. Definimos un mapeo x : Kk → V como

x(x1, . . . , xk) = ϕ−1(a1, . . . , an, x, . . . , xk),

donde a = (a1, . . . , an). Es fácil checar que ϕ satisface las condiciones (a) y (b) de la definición de superficie regulardada en el ejemplo 0.9. Puesto que p es arbitrario, F−1(a) es una superficie en Rm, como se aseguraba.

Antes de ir hacia otros ejemplos de variedades diferenciables, debemos introducir la importante noción de orienta-ción.

Definición 0.7. Sea M una variedad diferenciable. Decimos que M es orientable si M admite una estructura diferen-ciable {(Uα,xα)} tal que

(I) para cada par α, β con xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, la diferencial del cambio de coordenadas x−1β ◦ xα tienedeterminante positivo.

En el caso opuesto, decimos que M es no orientable. Si M es orientable, una elección de una estructura diferenciableque satisfaga la condición (I) es llamada una orientación. Entonces M se dice orientada. Dos estructuras diferencia-bles que satisfacen (I) determinan la misma orientación si su unión satisface de nuevo (I).

No es difícil verificar que si M es orientable y conexa existen exactamente dos orientaciones distintas sobre M .

Sean M y N dos variedades diferenciables y sea ϕ : M → N un difeomorfismo. Es fácil verificar que M esorientable si y sólo si N es orientable. Si, adicionalmente, M y N son orientables y conexas, ϕ induce una orientaciónsobre N la cual puede o no coincidir con la orientación inicial de N . En el primer caso, se dice que ϕ preserva laorientación y en el segundo caso, que ϕ invierte la orientación.


Ejemplo 0.11. Si M puede ser cubierto por dos vecindades coordenadas V1 y V2 de tal manera que la intersecciónV1 ∩ V2 es conexa, entonces M es orientable. De hecho, puesto que el determinante de la diferencial de cambio decoordenadas es distinto de cero, no hay cambio de signo en V1 ∩ V2; si es negativo en sólo un punto, es suficiente concambiar el signo de una de las coordenadas para hacerlo positivo en tal punto y de allí sobre V1 ∩ V2.

Ejemplo 0.12. El simple criterio del ejemplo previo puede ser usado para mostrar que la n-esfera

Sn :=

{(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 :

n+1∑i=1

x2i = 1

}⊂ Rn+1

es orientable. De hecho, sea N = (0, . . . , 0, 1) el polo norte y S = (0, . . . , 0, 1) el polo sur de Sn. Definamos un mapeoπ1 : Sn − {N} → Rn (proyección estereográfica desde el polo norte) que toma p = (x1, . . . , xn+1) en Sn − {N} y lomanda en la intersección del hiperplano xn+1 = 0 con la recta que pasa a través de p y N . Es fácil verificar que (figura0.9)

π1(x1, . . . , xn+1) =

(x1

1− xn+1, . . . ,

xn1− xn+1

).


El mapeo π1 es diferenciable, inyectiva y mapea a Sn−{N} en el hiperplano xn+1 = 0. La proyección estereográficaπ2 : Sn − {S} → Rn desde el polo sur al hiperplano xn+1 = 0 tiene las mismas propiedades.

Por lo tanto, las parametrizaciones (Rn, π−11 ), (Rn, π−12 ) cubren Sn. En adición, el cambio de coordenadas

yj =xj

1− xn+1←→ y′j =

xj1 + xn+1

, (y1, . . . , yn) ∈ Rn, 1 ≤ j ≤ n,

está dado pory′j =

yj∑ni=1 y

2i

(donde hemos usado el hecho de que∑n+1k=1 x

2k = 1). Por lo tanto, la familia {(Rn, π−11 ), (Rn, π−12 )} es una estructura

diferenciable sobre Sn. Observemos que la intersección π−11 (Rn)∩π−12 (Rn) = Sn−{N ∪S} es conexa, por lo que Sn

es orientable y la familia dada determina una orientación de Sn.

Sea ahora A : Sn → Sn el mapeo antipodal dado por A(p) = −p, con p ∈ Rn+1. Como puede verse, A es diferen-ciable y A2 = ı, donde ı es el mapeo identidad. Por lo tanto, A es un difeomorfismo de Sn. Obsérvese que cuando n espar, A invierte la orientación de Sn y cuando n es impar, A preserva la orientación de Sn.

Estamos ahora en posición de exhibir algunos otros ejemplos de variedades diferenciables.


Ejemplo 0.13. Otra descripción del espacio proyectivo. El conjunto Pn(R) de rectas de Rn+1 que pasan a travésdel origen puede ser pensado como el espacio cociente de la esfera unitaria Sn = {p ∈ Rn+1 : ‖p‖ = 1} por la relaciónde equivalencia que identifica p ∈ Sn con su punto antipodal, A(p) = −p. De hecho, cada recta que pasa a través delorigen determina dos puntos antipodales y la correspondencia así obtenida es evidentemente biyectiva.

Tomando en cuenta este hecho, vamos a introducir otra estructura diferenciable sobre Pn(R) (véase ejemplo 0.2).Para esto, inicialmente introducimos sobre Sn ⊂ Rn+1 la estructura de superficie regular, definiendo las parametriza-ciones

x+i : Ui → Sn, x−i : Ui → Sn, 1 ≤ i ≤ n+ 1,

en la siguiente manera:

Ui = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : xi = 0, x21 + · · ·+ x2i−1 + x2i+1 + · · ·+ x2n+1 < 1},

x+i (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1) = (x1, . . . , xi−1, Di, xi+1, . . . , xn+1),

x−i (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1) = (x1, . . . , xi−1,−Di, xi+1, . . . , xn+1),

dondeDi =

√1− (x21 + · · ·+ x2i−1 + x2i+1 + · · ·+ x2n+1).

Es fácil verificar que las condiciones (a) y (b) de la definición de superficie regular se satisfacen. Por lo tanto, la familia

{(Ui,x+i ), (Ui,x

−i )}, 1 ≤ i ≤ n+ 1

es una estructura diferenciable sobre Sn. Geométricamente, esto es equivalente a cubrir la esfera Sn con vecindadescoordenadas que son hemisferios perpendiculares a los ejes xi y tomar como coordenadas sobre, por ejemplo, x+

i (Ui),las coordenadas de la proyección ortogonal de x+

i (Ui) sobre el hiperplano xi = 0 (figura 0.10).


Sea π : Sn → Pn(R) la proyección canónica, esto es, π(p) = {p,−p}; obsérvese que π(x+i (Ui)) = π(x−i (Ui)).

Vamos a definir un mapeo yi : Ui → Pn(R) poryi = π ◦ x+

i .

Puesto que π restringido a x+i (Ui) es uno-a-uno, tenemos que

y−1i ◦ yj = (π ◦ x+i )−1 ◦ (π ◦ x+

j ) = (x+i )−1 ◦ x+

j ,

lo cual conduce a la diferenciabilidad de y−1i ◦ yj para todo 1 ≤ i, j ≤ n + 1. Entonces la familia {(Ui,yi)} es unaestructura diferenciable para Pn(R).


En efecto, esta estructura diferenciable y la del ejemplo 0.2 son la misma estructura maximal. De hecho, las vecin-dades coordenadas son las mismas y el cambio de coordenadas está dado por(

x1xi, . . . ,

xi−1xi

, 1,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

)←→ (x1, . . . , xi−1, Di, xi+1, . . . , xn+1)

el cual, puesto que xi 6= 0 y Di 6= 0, es diferenciable.

Como veremos en el ejercicio 0.9, Pn(R) es orientable si y sólo si n es impar.

Ejemplo 0.14. Acción discontinua de un grupo. Existe una manera de construir variedades diferenciables que gene-raliza el proceso anterior, la cual está dada por las siguientes consideraciones.

Decimos que un grupo G actúa cobre una variedad diferenciable M si existe un mapeo ϕ : G×M →M tal que

(I) Para cada g ∈ G el mapeo ϕg : M →M dado por ϕg(p) = ϕ(g, p), p ∈M , es un difeomorfismo y ϕe = ı.

(II) Si g1, g2 ∈ G, entonces ϕg1g2 = ϕg1 ◦ ϕg2 .

Frecuentemente, cuando estamos tratando con una sola acción, escribimos ϕ(g, p) = gp; en esta notación, la condición(II) puede ser interpretada como una forma de asociatividad: (g1g2)p = g1(g2p).

Decimos que la acción es propiamente discontinua si cada p ∈M tiene una vecindad U ⊂M tal que U∩g(U) = ∅para todo g 6= e.

Cuando G actúa sobre M , la acción determina una relación de equivalencia ∼ sobre M , en la cual p1 ∼ p2 si y sólosi p2 = gp1, para algún g ∈ G. Denotemos el espacio cociente de M por esta relación de equivalencia por M/G. Elmapeo π : M →M/G dado por

π(p) = [p] = Gp,

donde [p] representa la clase de equivalencia de p, será llamado la proyección de M en M/G.

Ahora, sea M una variedad diferenciable y sea G×M →M una acción propiamente discontinua de un grupo G so-bre M . Vamos a mostrar que M/G tiene una estructura diferenciable con respecto la cual la proyección π : M →M/Ges un difeomorfismo local.

Para cada p ∈ M escojamos una parametrización x : V → M en p tal que x(V ) ⊂ U , donde U ⊂ M es unavecindad de p de tal manera que U ∩ g(U) = ∅, con g 6= e. Claramente π|U es inyectiva y así y = π ◦x : V →M/G esinyectiva. La familia {(V,y)} claramente cubre M/G; para que tal familia sea una estructura diferenciable, es suficientemostrar que dados dos mapeos y1 = π ◦ x1 : V1 → M/G y y2 = π ◦ x2 : V2 → M/G con y1(V1) ∩ y2(V2) 6= ∅,entonces y−11 ◦ y2 es diferenciable.

Para esto, sea πi la restricción de π a xi(Vi), i = 1, 2. Sean q ∈ y1(V1) ∩ y2(V2) y r = x−12 ◦ π−12 (q). Sea W ⊂ V2

una vecindad de r tal que (π2 ◦ x2)(W ) ⊂ y1(V1) ∩ y2(V2) (figura 0.11). Entonces, la restricción a W está dada por

y−11 ◦ y2|W = x−11 ◦ π−11 ◦ π2 ◦ x2.

Por lo tanto, es suficiente mostrar que π−11 ◦ π2 es diferenciable en p2 = π−12 (q). Sea p1 = π−11 ◦ π2(p2). Entonces p1 yp2 son equivalentes en M , de allí se sigue que existe un g ∈ G tal que gp2 = p1. Se sigue fácilmente que la restricciónπ−11 ◦ π2|x2(W ) coincide con el difeomorfismo ϕg|x2(W ), lo cual prueba que π−11 ◦ π2 es diferenciable en p2, como sehabía dicho.

De la manera en la que esta estructura diferenciable fue construida, π : M → M/G es un difeomorfismo local. Uncriterio para la orientabilidad de M/G está dado en el ejercicio 0.9. Obsérvese que la situación en el ejemplo previose reduce al actual tomando M = Sn y G el grupo de difeomorfismos de Sn formado por el mapeo antipodal A y laidentidad ı = A2 de Sn.

Ejemplo 0.15. Casos especiales del ejemplo 0.14.


Figura 0.11: Ejemplo 0.14.

(a) Consideremos el grupo G de transformaciones "enteras" de Rk, donde la acción de G sobre Rk está dada por

G(x1, . . . , xk) = (x1 + n1, . . . , xk + nk), n1, . . . , nk ∈ Z, (x1, . . . , xk) ∈ Rk.

Es fácil verificar que el mapeo anterior define una acción de G sobre Rk, la cual es propiamente discontinua.El espacio cociente Rk/G, con la estructura diferenciable descrita en el ejemplo 0.14, es llamado el k-toro T k.Cuando k = 2, el 2-toro T 2 es difeomorfo al toro de revolución en R3 obtenido como la imagen inversa del cero dela función f : R3 → R,

f(x, y, z) = z2 +(√

x2 + y2 − a)2− r2.

(b) Sea S ⊂ R3 una superficie regular en R3, simétrica relativa al origen 0 ∈ R3; esto es, si p ∈ S, entonces−p = A(p) ∈ S. El grupo de difeomorfismos de S formado por {A, ı} actúa sobre S en una manera propiamentediscontinua. Introduzcamos sobre S/G la estructura diferenciable dada por el ejemplo 0.14. Cuando S es el toro derevolución T 2, entonces S/G = K es llamada la botella de Klein; cuando S es el cilindro circular recto dado porC = {(x, y, x) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1,−1 < z < 1}, entonces S/G es llamada la banda de Möbius. Como severá en el ejercicio 0.9, la botella de Klein y la banda de Möbius son no orientables. En el ejercicio 0.6 indicamoscomo la botella de Klein puede ser embebida en R4.

0.5. Campos vectoriales, corchetes. Topología de variedades

Definición 0.8. Un campo vectorial X sobre una variedad diferenciable M es una correspondencia que asocia a cadapunto p ∈M un vector X(p) ∈ TpM . En términos de mapeos, X es un mapeo de M en el haz tangente TM . El campoes diferenciable si el mapeo X : M → TM es diferenciable.

Considerando una parametrización x : U ⊂ Rn →M , podemos escribir

X(p) =

n∑i=1

ai(p)∂

∂xi, (0.4)

donde cada ai : U → R es una función sobre U y{

∂∂xi

}es la base asociada a x, 1 ≤ i ≤ n. Es claro que X es

diferenciable si y sólo si las funciones ai son diferenciables para alguna (y, por lo tanto, para cualquier) parametrización.

0.5. Campos vectoriales, corchetes. Topología de variedades 15

Ocasionalmente, es conveniente usar la idea sugerida por (0.4) y pensar a un campo vectorial como un mapeoX : D → F del conjunto D de las funciones diferenciables sobre M sobre el conjunto F de las funciones sobre M ,definido de la siguiente manera:

(Xf)(p) =∑i

ai(p)∂f

∂xi(p), (0.5)

donde f denota, por abuso de notación, la expresión de f en la parametrización x. De hecho esta idea de un vectorcomo una derivada direccional fue precisamente lo que usamos para definir la noción de vector tangente. Es fácilverificar que la función Xf obtenida en (0.5) no depende de la elección de la parametrización x. En este contexto, esinmediato que X es diferenciable si y sólo si X : D → D; esto es, Xf ∈ D para todo f ∈ D.

Obsérvese que si ϕ : M → M es un difeomorfismo, v ∈ TpM y f es una función diferenciable en una vecindad deϕ(p), tenemos

(dϕ(v)f)ϕ(p) = v(f ◦ ϕ)(p).

De hecho, sea α : (−ε, ε)→M una curva diferenciable con α′(0) = v, α(0) = p. Entonces

(dϕ(v)f)ϕ(p) =d

dt(f ◦ ϕ ◦ α)

∣∣∣∣t=0

= v(f ◦ ϕ)(p).

La interpretación de X como un operador sobre D nos permite considerar iteraciones de X. Por ejemplo, si X yY son campos diferenciables sobre M y f : M → R es una función diferenciable, podemos considerar las funcio-nes X(Y f) y Y (Xf). En general, tales operaciones no nos conducen a campos vectoriales, puesto que involucranderivadas de orden superior a uno. Sin embargo, podemos afirmar lo siguiente.

Lema 0.1. Sean X y Y dos campos vectoriales diferenciables sobre una variedad diferenciable M . Entonces existe unúnico campo vectorial diferenciable Z tal que, para todo f ∈ D, Zf = (XY − Y X)f .

Demostración. Primero, probemos que si Z existe, entonces es único. Supongamos, por lo tanto, la existencia detal Z. Sean p ∈M y x : U →M una parametrización en p, y sean

X =∑i

ai∂

∂xi, Y =

∑j

bj∂

∂xj

las expresiones de X y Y en estas parametrizaciones. Entonces, para todo f ∈ D,

XY f = X

∑j

bj∂f

∂xj

=∑i,j

ai∂bj∂xi

∂f

∂xj+∑i,j

aibj∂2f

∂xi∂xj,

Y Xf = Y

∑j

ai∂f

∂xi

=∑i,j

bj∂ai∂xj

∂f

∂xi+∑i,j

aibj∂2f

∂xi∂xj.

Por lo tanto, Z está dado, en la parametrización x, por

Zf = XY f − Y Xf =∑i,j

(ai∂bj∂xi− bi

∂aj∂xi

)∂f

∂xj

lo cual pruebe la unicidad de Z.

Para probar la existencia, definamos Zα en cada vecindad coordenada xα(Uα) de una estructura diferenciable{(Uα,xα)} sobre M por la expresión previa. Por unicidad, Zα = Zβ sobre xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) 6= ∅, el cual nos permitedefinir Z sobre la variedad completa M . �

El campo vectorial Z dada por el lema 0.1 es llamado el corchete [X,Y ] = XY − Y X de X y Y ; Z es obviamentediferenciable.

La operación corchete tiene las siguientes propiedades:


Proposición 0.3. Si X,Y y Z son campos vectoriales diferenciables sobre M , a, b son números reales y f, g sonfunciones diferenciables, entonces

(a) [X,Y ] = −[Y,X] (anticonmutatividad),

(b) [aX + bY, Z] = a[X,Z] + b[Y,Z] (linealidad),

(c) [[X,Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0 (identidad de Jacobi),

(d) [fX, gY ] = fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X.

Demostración. (a) y (b) son inmediatas. Para probar (c), es suficiente observar que, por un lado,

[[X,Y ], Z] = [XY − Y X,Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X

mientras que, por el otro lado,

[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] = XY Z −XZY − Y ZX + ZY X + Y ZX − Y XZ − ZXY +XZY.

Puesto que los segundos miembros de las expresiones anteriores son iguales, (c) se sigue de (a).Finalmente, para probar (d), calculemos

[fX, gY ] = fX(gY )− gY (fX) = fgXY + fX(g)Y − gfY X − gY (f)X = fg[X,Y ] + fX(g)X − gY (f)X.

�

El corchete [X,Y ] puede ser interpretado como una derivación de Y a lo largo de las "trayectorias" de X. Paradescribir esta interpretación, necesitamos algunas ideas preliminares sobre ecuaciones diferenciales.

Puesto que una variedad diferencial es localmente difeomorfa a Rn, el teorema fundamental sobre la existencia, uni-cidad y dependencia sobre condiciones iniciales de ecuaciones diferenciales ordinarias (el cual es un teorema local) seextiende naturalmente a variedades diferenciales. Para un uso posterior, es conveniente establecer esto explícitamenteaquí.

Teorema 0.2. Sea X un campo vectorial diferenciable sobre una variedad diferenciable M y sea p ∈ M . Entoncesexiste una vecindad U ⊂ M de p, un intervalo (−δ, δ), δ > 0 y un mapeo diferenciable ϕ : (−δ, δ) × U → M tal quet 7→ ϕ(t, q), t ∈ (−δ, δ), q ∈ U , es la única curva que satisface ∂ϕ

∂t = X(ϕ(t, q)) y ϕ(0, q) = q.

Una curva α : (−δ, δ)→M la cual satisface la condición α′(t) = X(α(t)) y α(0) = q es llamada una trayectoria delcampo X que pasa a través de q en t = 0. El teorema anterior garantiza que para cada punto de cierta vecindad pasapor ella una única trayectoria de X y que el mapeo así obtenido depende diferenciablemente de t y de la "condicióninicial" q. Es común usar la notación ϕt(q) = ϕ(t, q) y llamar a ϕt : U →M el flujo local de X.

La interpretación del corchete [X,Y ], mencionada arriba, está contenida en la siguiente proposición.

Proposición 0.4. Sean X,Y campos vectoriales diferenciables sobre una variedad diferenciable M , sea p ∈ M y seaϕt un flujo local de X en una vecindad U de p. Entonces

[X,Y ](p) = lımt→0

1

t[Y − dϕtY ](ϕt(p)).

Para la demostración, necesitamos del siguiente lema del cálculo.

Lema 0.2. Sea h : (−δ, δ) × U → R un mapeo diferenciable con h(0, q) = 0 para todo q ∈ U . Entonces existe unmapeo diferenciable g : (−δ, δ)× U → R con h(t, q) = tg(t, q); en particular,

g(0, q) =∂h(t, q)

∂t

∣∣∣∣t=0

.

0.5. Campos vectoriales, corchetes. Topología de variedades 17

Demostración del lema Es suficiente con definir, para t fijo,

g(t, q) =

∫ 1

0

∂h(ts, q)

∂(ts)ds

y, después de un cambio de variables, observemos que

tg(t, q) =

∫ 1

0

∂h(ts, q)

∂(ts)d(ts) = h(t, q).

�

Demostración de la proposición Sea f una función diferencial en una vecindad de p. Poniendo

h(t, q) = f(ϕt(q))− f(q)

y aplicando el lema obtenemos una función diferenciable g(t, q) tal que

f ◦ ϕt(q) = f(q) + tg(t, q) y g(0, q) = Xf(q).

En consecuencia,((dϕtY )f)(ϕt(p)) = (Y (f ◦ ϕt))(p) = Y f(p) + t(Y g(t, p)).

Por lo tanto,

lımt→0

1

t[Y − dϕtY ]f(ϕt(p)) = lım

t→0

(Y f)(ϕtp)− Y f(p)

t− (Y g(0, p))

= (X(Y f))(p)− (Y (Xf))(p)

= ((XY − Y X)f)(p)

= ([X,Y ]f)(p).

�

Hasta este momento no hemos dado ninguna restricción sobre la topología de una variedad diferencial. De hecho,la topología natural de una variedad puede ser un poco extraña. En particular, puede suceder que uno (o ambos) de lossiguientes axiomas no son satisfechos:

(A) Axioma de Hausdorff: Dados dos puntos distintos de M existen vecindades de estos dos puntos que no seintersectan.

(B) Axioma de una base numerable: M puede ser cubierto por un número numerable de vecindades coordenadas(decimos que M posee una base numerable4).

El axioma A es esencial para la unicidad de los límites de sucesiones convergentes y el axioma B es esencial pa-ra la existencia de una partición de la unidad diferenciable, una herramienta indispensable para el estudio de ciertascuestiones sobre variedades. (De hecho, si M es conexo, los axiomas A y B son equivalentes a la existencia de unapartición de la unidad; véase el teorema 0.4 a continuación.)

Por ejemplo, una cuestión natural en la teoría de las variedades diferenciables es conocer cuando una variedad dadapuede ser inmersa o encajada en algún espacio euclideano. Un resultado fundamental en esta dirección es el famosoteorema de Whitney que establece lo siguiente:

Teorema 0.3 (Whitney). Cualquier variedad diferenciable (la cual es Hausdorff y tiene una base numerable) de dimen-sión n puede ser inmersa en R2n y encajada en R2n+1. 5

4También se dice que M es segundo numerable (N. del T.).5De hecho, el teorema puede ser refinado a R2n−1 y R2n, respectivamente, con n > 1. Una prueba de este teorema no es compatible con esta

introducción y puede encontrarse en M. W. Hirsch [?].

18 Ejercicios

En pos de la información, mencionamos sin demostración el teorema de existencia de particiones de la unidad. Estorequiere de algunas definiciones.

Sea M una variedad diferenciable. Una familia de conjuntos abiertos Vα ⊂ M con⋃α Vα = M se dice que es

localmente finita si cada punto p ∈ M tiene una vecindad W tal que W ∩ Vα 6= ∅ para sólo un número finito deíndices. El soporte de una función f : M → R es la cerradura del conjunto de puntos donde f es diferente de cero.

Decimos que una familia {fα} de funciones diferenciables fα : M → R es una partición de la unidad diferenciablesi:

(1) Para todo α, fα ≥ 0 y el soporte de fα está contenido en una vecindad coordenada Vα = xα(Uα) de una estructuradiferenciable {(Uβ ,xβ)} de M .

(2) La familia {Vα} es localmente finita.

(3)∑α fα(p) = 1, para todo p ∈ M (esta condición tiene sentido, puesto que para cada p, fα(p) 6= 0 sólo para un

número finito de índices).

Es una convención decir que la partición de la unidad {fα} está subordinada a la cubierta {Vα}.

Teorema 0.4. Una variedad diferenciable M tiene una partición de la unidad diferenciable si y sólo si cada componenteconexa de M es Hausdorff y tiene una base numerable.

Recordemos que, dado p ∈ Rn y una bola abierta Br(p) ⊂ Rn centrada en p con radio r, existe una vecindad U dep con U ⊂ Br(p) y una función diferenciable f : Rn → R tal que 0 ≤ f(q) ≤ 1 para todo q ∈ Rn y

f(q) =

{1, si q ∈ U0, si q /∈ Br(p).

De hecho, si tomamos, por simplicidad, r = 2, podemos escoger U = B1(p) y definir f como f(q) = β(−‖p− q‖),con q ∈ Rn, donde β : R→ R está dado por

β(t) =

∫ t−∞ α(s) ds∫ −1−2 α(s) ds

,

y α : R→ R es la función suave igual a exp(− 1

(t+2)(−1−t)

)en [−2,−1] y cero fuera de este intervalo. Es fácil verificar

que f satisface las condiciones requeridas.

Claramente, la misma cosa pasa en una vecindad contenida en una variedad diferenciable M . En otras palabras, sip ∈ M y V ⊂ M es una vecindad de p contenida en una vecindad coordenada de p la cual es difeomorfa a una bolaabierta, entonces existe una vecindad U de p con U ⊂ V y una función diferenciable f : M → R con 0 ≤ f(q) ≤ 1si q ∈ M , f(q) = 1 si q ∈ U y f(q) = 0 si q 6= V . Este hecho nos permite demostrar que ciertos objetos definidosglobalmente sobreM son, en realidad, locales; es decir, su comportamiento en p sólo depende en cómoM se comportaen una vecindad de p (como la definición del corchete de dos campos vectoriales en este capítulo o la definición de unaconexión afín).

Ejercicios

0.1 (Variedad producto). Sean M y N dos variedades diferenciables y sean {(Uα,xα)}, {(Vβ ,yβ)} estructuras di-ferenciables sobre M y N , respectivamente. Considere el producto cartesiano M × N y los mapeos zαβ(p, q) =(xα(p),yβ(q)), p ∈ Uα, q ∈ V .

(a) Pruebe que {(Uα×Vβ , zαβ)} es una estructura diferenciable sobreM×N en la cual las proyecciones π1 : M×N →M y π2 : M×N → N son diferenciables. Con esta estructura diferenciableM×N es llamada la variedad productode M con N .

(b) Muestre que la variedad producto S1 × · · · × S1 de n círculos S1, donde S1 ⊂ R2 tiene la estructura diferencialusual, es difeomorfa al n-toro Tn del ejemplo a.

Ejercicios 19

0.2. Pruebe que el haz tangente de una variedad diferenciable M es orientable (incluso si M no lo es).

0.3. Pruebe que

(a) una superficie regular S ⊂ R3 es una variedad orientable si y sólo si existe un mapeo diferenciable de N : S → R3

con N(p) ⊥ Tp(S) y ‖N(p)‖ = 1 para todo p ∈ S.

(b) la banda de Möbius (ejemplo 0.14b) es no orientable.

0.4. Muestre que el plano proyectivo P 2(R) es no orientable. Sugerencia: Pruebe que si la variedadM es orientable, en-tonces cualquier subconjunto abierto deM es una subvariedad orientable. Observe que P 2(R) contiene un subconjuntoabierto difeomorfo a la banda de Möbius, la cual es no orientable.

0.5 (Encaje de P 2(R) en R4). Sea F : R3 → R4 dada por

F (x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, yz), (x, y, z) = p ∈ R3.

Sea S2 ⊂ R3 la esfera unitaria con el origen 0 ∈ R3. Observe que la restricción ϕ = F |S2 es tal que ϕ(p) = ϕ(−p), yconsidere el mapeo ϕ : P 2(R)→ R4 dada por

ϕ([p]) = ϕ(p), [p] = {p,−p}.

Pruebe que

(a) ϕ es una inmersión.

(b) ϕ es inyectiva; junto con el inciso anterior y la compacidad de P 2(R), implica que ϕ es un encaje.

0.6 (Encaje de la botella de Klein en R4). Muestre que el mapeo G : R2 → R4 dado por

G(x, y) =(

(r cos y + a) cosx, (r cos y + a) senx, r sen y cosx

2, r sen y sen

x

2

), (x, y) ∈ R2

induce un encaje de la botella de Klein (ejemplo 0.14-b en R4).

0.7 (Banda de Möbius infinita). Sea C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1} un cilindro circular recto y sea A : C → Cla simetría con respecto al origen 0 ∈ R3; esto es, A(x, y, z) = (−x,−y,−z). Sea M el espacio cociente de C conrespecto a la relación de equivalencia p ∼ A(p), y sea π : C →M la proyección π(p) = {p,A(p)}.

(a) Muestre que es posible dar a M una estructura diferenciable tal que π es un difeomorfismo local.

(b) Pruebe que M es no orientable.

0.8. Sean M y N variedades diferenciables. Sea ϕ : M → N un difeomorfismo local. Pruebe que si N es orientable,entonces M es orientable.

0.9. Sea G×M →M una acción propiamente discontinua de un grupo G sobre una variedad diferenciable M .

(a) Pruebe que la variedadM/G (ejemplo 0.14) es orientable si y sólo si existe una orientación deM que es preservadapor todos los difeomorfismos de G.

(b) Use el inciso anterior para mostrar que el plano proyectivo P 2(R), la botella de Klein y la banda de Möbius son noorientables.

(c) Pruebe que Pn(R) es orientable si y sólo si n es impar.

0.10. Muestre que la topología de la variedad diferenciable M/G del ejemplo 0.14 es Hausdorff si y sólo si la siguientecondición se cumple: dados dos puntos no equivalentes p1, p2 ∈ M , existen vecindades U1, U2 de p1 y p2, respectiva-mente, tales que U1 ∩ gU2 = ∅ para todo g ∈ G.

0.11. Consideremos las dos estructuras diferenciables siguientes sobre la recta real R: (R,x1), donde x1 : R→ R estádado por x1(x) = x, x ∈ R; (R,x2), donde x2 : R→ R está dado por x2(x) = x3, x ∈ R. Muestre que

20 Ejercicios

(a) el mapeo identidad ı : (R,x1) → (R,x2) no es un difeomorfismo; por lo tanto, las estructuras maximales determi-nadas por (R,x1) y (R,x2) son distintas.

(b) el mapeo f : (R,x1)→ (R,x2) dado por f(x) = x3 es un difeomorfismo; esto es, incluso cuando (R,x1) y (R,x2)son distintas, éstas determinan variedades diferenciables difeomorfas.

0.12 (La doble cubierta orientable). Sea Mm una variedad diferenciable no orientable. Para cada p ∈ M , considereel conjunto B de bases de TpM y digamos que dos bases son equivalentes si éstas se hallan relacionadas por unamatriz de determinante positivo. Esta es una relación de equivalencia y separa a B en dos conjuntos disjuntos. Sea Opel espacio cociente de B con respecto a esta relación de equivalencia. A Op ∈ Op le llamaremos una orientación deTpM . Sea M el conjunto

M = {(p,Op) : p ∈M,Op ∈ Op}.

Sea {(Uα,xα)} una estructura diferenciable maximal sobre M y definamos xα : Uα →M por

xα(uα1 , . . . , uαm) =

(xα(uα1 , . . . , u

αm),

[∂

∂uα1, . . . ,

∂

∂uαm

]),

donde (uα1 , . . . , uαm) ∈ Uα y

[∂∂uα1

, . . . , ∂∂uαm

]denota el elemento de Op determinado por la base

{∂∂uα1

, . . . , ∂∂uαm

}.

Pruebe que:

(a) {(Uα,xα)} es una estructura diferenciable sobre M y que la variedad M así obtenida es orientable.

(b) El mapeo π : M → M dado por π(p,Op) = p es diferenciable y suprayectiva. En adición, cada p ∈ M tiene unavecindad U ⊂M tal que π−1(U) = V1 ∪ V2, donde V1 y V2 son conjuntos abiertos disjuntos en M y π restringido acada Vi, i = 1, 2, es un difeomorfismo en U . Por esta razón, M es llamado la cubierta doble orientable de M .

(c) La esfera S2 es la cubierta doble orientable de P 2(R) y el toro T 2 es la cubierta doble orientable de la botella deKlein K.

CAPÍTULO 1

Métricas riemannianas

1.1. Introducción

Históricamente, la geometría riemanniana fue un desarrollo natural de la geometría diferencial de superficies en R3.Dada una superficie S ⊂ R3, tenemos una manera natural de medir las longitudes de los vectores tangentes a S: elproducto interno 〈v, w〉 de dos vectores tangentes a S en el punto p de S es simplemente el producto interno de estosvectores en R3. La manera de calcular la longitud de una curva es, por definición, integrar la longitud de su vector develocidad. La definición de 〈, 〉 nos permite medir no sólo las longitudes de curvas en S sino también el área de losdominios de S, así como ángulos entre dos curvas y todas las otras ideas "métricas" usadas en geometría. Más gene-ralmente, estas nociones nos conducen a definir sobre S ciertas curvas especiales, llamadas geodésicas, las cualesposeen la siguiente propiedad: dados dos puntos cualesquiera p y q sobre una geodésica, suficientemente cercanos(en un sentido que haremos más preciso después), la longitud de tal curva es menor o igual a la de cualquier otra curvaque una a p con q. Tales curvas se comportan, en muchas situaciones, como si fueran "las líneas rectas" de S y, comoveremos después, juegan un papel importante en el desarrollo de la geometría.

Observemos que la definición del producto interno en cada punto p ∈ S nos conduce, equivalentemente, a una for-ma cuadrática Ip, llamada primera forma fundamental de S en p, definida en el plano tangente TpS por Ip(v) = 〈v, v〉,con v ∈ TpS.

El punto crucial de este desarrollo fue una observación hecha por Gauss en su famoso trabajo (véase Gauss [?])publicado en 1827. En este trabajo, Gauss definió una noción de curvatura para superficies, la cual mide la cantidadque S se desvía, en el punto p ∈ S, de su plano tangente en p. En notación moderna, la definición de Gauss puedeser expresada en los términos siguientes. Definamos un mapeo g : S → S2 ⊂ R3 de S en la esfera unitaria S2 de R3,asociando a cada p ∈ S un vector unitario N(p) ∈ S2 normal a TpS; si S fuera orientable entonces g puede ser biendefinida y diferenciable sobre S. Durante la época de Gauss, la noción de orientación de superficies no estaba del todoentendida (en realidad, no fue sino hasta 1865 que Möbius presentó su famoso ejemplo, la conocida banda de Möbius),y por ello g fue definida sobre "piezas" de S. En cualquier caso, g es diferenciable y entonces es posible hablar de sudiferencial dgp : TpS → Tg(p)S

2. Puesto que N(p) es normal a TpS, podemos identificar a los dos espacios vectorialesTpS y Tg(p)S2 y entonces tiene sentido hablar del determinante del mapeo lineal dgp. Gauss definió su curvatura comoK(p) = det(dgp) y mostró que está en concordancia con el producto de las curvaturas principales introducidas porEuler en 1760.

Quizás valga la pena mencionar que Euler definió las curvaturas principales k1 y k2 de una superficie S conside-rando la curvatura kn de curvas obtenidas al intersecar S con planos normales a S en p y tomando k1 = max kn yk2 = mın kn. En el tiempo de Gauss no era completamente claro que una función o la otra fuera una definición adecua-da de curvatura. Gauss consideró que los hechos con los cuales había obtenido K justificaba la elección de K = k1k2como la curvatura de S.

Los hechos que Gauss aludió fueron los siguientes. En primer lugar, la curvatura, como fue definida anteriormente,depende sólo de la manera en que se mide en S; esto es, sólo depende de la primera forma fundamental I. En segundolugar, la suma de los ángulos interiores de un triángulo formado por geodésicas difiere de 180◦ por una expresión quedepende sólo de la curvatura y del área del triángulo.

Todo indica que Gauss percibió muy claramente las profundas implicaciones de su descubrimiento. De hecho, unode los problemas fundamentales durante su tiempo fue decidir si el quinto postulado de Euclides ("Dada una línea recta

21

22 Métricas riemannianas

y un punto fuera de la recta, existe otra línea recta que pasa a través del punto tal que no interseca la línea rectadada".) era independiente de los otros postulados de la geometría. Aunque sin aplicaciones inmediatas, la cuestión nosconduce a implicaciones filosóficas de importancia primaria. Anteriormente, se había establecido que el quinto postu-lado de Euclides es equivalente al hecho de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180◦.El descubrimiento de Gauss implicó, junto con otras cosas, que puede ser posible imaginar una geometría (al menosen dimensión dos) que depende de la forma cuadrática fundamental dada en una manera arbitraria (sin considerar elespacio ambiente). En tal geometría, definiendo líneas rectas como geodésicas, la suma de los ángulos interiores deun triángulo pueden depender de la curvatura y, como Gauss realmente verificó, su diferencia de 180◦ debe ser iguala la integral de la curvatura sobre el triángulo. Gauss, sin emabrgo, no tuvo las herramientas matemáticas disponiblespara desarrollar sus ideas (lo que esencialmente le hizo falta fue la idea de una variedad diferenciable) y prefirió nodiscutir este tema abiertamente. La aparición real de la geometría no euclideana fue debida, independientemente, aLobatchevski (1829) y Bolyai (1831).

Las ideas de Gauss fueron retomadas por Riemann en 1854 (véase Riemann [?]), incluso a pesar de que él seguíasin una definición adecuada de variedad. Usando lenguaje intuitivo y sin demostración, Riemann introdujo lo que ahorallamamos una variedad diferencial de dimensión n. Más adelante el asoció a cada punto de una variedad una formacuadrática fundamental y entonces generalizó la idea de la curvatura gaussiana a su situación. Más aun, estableció mu-chas relaciones entre la primera forma cuadrática fundamental y la curvatura que fue demostrada sólo décadas antes.La lectura de su trabajo deja claro que Riemann fue motivado por la cuestión fundamental implícita en el desarrollo delas geometrías no euclideanas y la relación entre la física y la geometría.

Es curioso observar que el concepto de variedad diferenciable, necesario para la formalización del trabajo de Rie-mann, sólo apareció explícitamente en 1913 en el trabajo de H. Weyl el cual hizo preciso otro de los conceptos audacesde Riemann: las superficies de Riemann. Pero esa es otra historia.

Debido a la ausencia de herramientas adecuadas, la geometría riemanniana como tal fue desarrollada muy lenta-mente. Una fuente externa muy importante de estímulo fue la aplicación de estas ideas a la teoría de la relatividad en1916. Otro paso fundamental fue la introducción del paralelismo de Levi-Civita. Regresaremos a este tópico en el si-guiente capítulo. Nuestro objetivo aquí no es escribir la historia completa de la geometría riemanniana sino simplementetrazar sus orígenes y suministrar la motivación para lo que sigue.

Nuestro punto de partida será una variedad diferencial sobre la cual introduciremos en cada punto una forma demedir la longitud de vectores tangentes. Esta medida puede cambiar diferenciablemente de punto a punto. La definiciónexplícita será dada en la siguiente sección.

Para el resto de este libro, las variedades consideradas se supondrá que son espacios de Hausdorff con basesnumerables. "Diferenciable" significará "de clase C∞", y cuando Mm = M denota a una variedad diferenciable, mdenota la dimansión de M .

1.2. Métricas riemannianas

Definición 1.1. Una métrica riemanniana (o estructura riemanniana) sobre una variedad diferenciable M es unacorrespondencia la cual asocia a cada punto p de M un producto interno 〈, 〉p (esto es, una forma simétrica, bilineal ydefinida positiva) sobre el espacio tangente TpM , la cual varía diferenciablemente en el siguiente sentido: si x : U ⊂Rn →M es un sistema de coordenadas alrededor de p, con x(x1, . . . , xn) = q ∈ x(U) y ∂

∂xi(q) = dxq(0, . . . , 1, . . . , 0),

entonces⟨

∂∂xi

(q), ∂∂xj

(q)⟩q

= gij(x1, . . . , xn) es una función diferenciable sobre U .

Es claro que esta definición no depende de la elección del sistema coordenado.

Otra manera de expresar la diferenciabilidad de la métrica riemanniana es decir que para cualquier par de camposvectoriales Xy Y , los cuales son diferenciables en una vecindad V de M , la función 〈X,Y 〉 es diferenciable sobre V .Es inmediato que esta definición es equivalente a la otra.

1.2. Métricas riemannianas 23

Es usual borrar el índice p en la función 〈, 〉p siempre y cuando no exista posibilidad de confusión. La funcióngij = gji es llamada la representación local de la métrica riemanniana (o "la gij de la métrica") en el sistema coor-denado x : U ⊂ Rn → M . Una variedad diferenciable con una métrica riemanniana dada será llamada una variedadriemanniana.

Antes de introducir cualquier tipo de estructura matemática, daremos una noción de cuando dos objetos son elmismo.

Definición 1.2. Sean M y N dos variedades riemannianas. Un difeomorfismo f : M → N (esto es, f es una biyeccióndiferenciable con una inversa diferenciable) es una isometría si

〈u, v〉p = 〈dfp(u), dfp(v)〉f(p) ∀p ∈M, u, v ∈ TpM. (1.1)

Definición 1.3. Sea M y N variedades riemannianas. Un mapeo diferenciable f : M → N es una isometría local enp ∈M si existe una vecindad U ⊂M de p tal que f : U → f(U) es un difeomorfismo que satisface (1.1).

Es común decir que una variedad riemanniana M es localmente isométrica a una variedad riemanniana N si paracada p en M existe una vecindad U de p en M y una isometría local f : U → f(U) ⊂ N .

Lo que sigue son algunos ejemplos no triviales de la noción de variedad riemanniana.

Ejemplo 1.1. El ejemplo casi trivial. M = Rn con ∂∂xi

identificado con ei = (0, . . . , 1, . . . , 0). La métrica está dadapor 〈ei, ej〉 = δij . Rn es llamado espacio euclideano de dimensión n y la geometría riemanniana de este espacio esla geometría métrica euclideana.

Ejemplo 1.2. Variedades inmersas. Sea f : Mn → Nn+k una inmersión; esto es, f es diferenciable y dfp : TpM →Tf(p)N es inyectiva para toda p ∈ M . Si N tiene una estructura riemanniana, f induce una estructura riemannianasobre M definiendo 〈u, v〉p = 〈dfp(u), dfp(v)〉f(p), con u, v ∈ TpM . Puesto que dfp es inyectiva, 〈, 〉p es definida positi-va. Las otras condiciones de la definición 1.1 son fácilmente verificadas. Esta métrica sobre M es entonces llamada lamétrica inducida por f , y f es una inmersión isométrica.

Un caso particularmente importante ocurre cuando tenemos una función diferenciable h : Mn+k → Nk y q ∈ N esun valor regular de h (esto es, dhp : TpM → Th(p)N es suprayectiva para todo p ∈ h−1(q)). Sabiendo esto, entoncesh−1(q) ⊂ M es una subvariedad de M de dimensión n; así, podemos colocar una métrica riemanniana sobre éstainducida por la inclusión.

Por ejemplo, sea h : Rn → R dada por h(x1, . . . , xn) =∑ni=1 x

2i − 1. Entonces, 0 es valor regular de h y h−1(0) =

{x ∈ Rn : x21 + · · ·+ x2n = 1} = Sn−1 es la esfera unitaria de Rn. La métrica inducida por Rn sobre Sn−1 es llamadala métrica canónica de Sn−1.

Ejemplo 1.3. Grupos de Lie. Un grupo de Lie es un grupo G con una estructura diferenciable tal que el mapeoG × G → G dado por (x, y) 7→ xy−1, con x, y ∈ G, es diferenciable. Se sigue entonces que las traslaciones desdela izquierda Lx y traslaciones desde la derecha Rx, dadas por Lx : G × G → G, Lx(y) = xy y Rx : G × G → G,Rx(y) = yx, son difeomorfismos.

Decimos que una métrica riemanniana es izquierda-invariante si 〈u, v〉y = 〈d(Lx)yu, d(Lx)yv〉K(y) para todox, y ∈ G y para todo u, v ∈ TyG; esto es, si Lx es una isometría. Análogamente, podemos definir una métrica rie-manniana derecha-invariante. Una métrica la cual es tanto izquierda-invariante como derecha-invariante se dice quees bi-invariante.

Decimos que un campo vectorial diferenciable X sobre un grupo de Lie G es izquierda-invariante si dLxX = Xpara todo x ∈ G. Los campos vectoriales izquierda-invariantes están completamente determinados por sus valoresen un sólo punto de G. Esto nos permite introducir una estructura adicional sobre el espacio tangente al elementoneutro e ∈ G de la siguiente manera. A cada vector Xe ∈ TeG le asociamos el izquierda-invariante Xa definido comoXa = dLaXe, con a ∈ G. Sean X,Y campos vectoriales izquierda-invariantes sobre G. Puesto que para cada x ∈ G ypara cualquier función diferenciable f sobre G,

dLx[X,Y ]f = [X,Y ](f ◦ Lx) = X(dLxY )f − Y (dLxX)f = (XY − Y X)f = [X,Y ]f,


concluimos que el corchete de cualesquiera dos campos vectoriales izquierda-invariantes es de nuevo un campo vec-torial izquierda-invariante. Si Xe, Ye ∈ TeG, pongamos [Xe, Ye] = [X,Y ]e. Con esta operación, TeG es llamado elálgebra de Lie de G, denotada por g. De ahora en adelante, los elementos del álgebra de Lie g serán interpretados yasea como vectores en TeG o como campos vectoriales izquierda-invariantes sobre G.

Para producir una métrica izquierda-invariante sobre G, tomemos cualquier producto interno arbitrario 〈, 〉e sobre gy definamos

〈u, v〉x = 〈(dLx−1)x(u), (dLx−1)x(v)〉e, x ∈ G, u, v ∈ TxG. (1.2)

Puesto que Lx depende diferenciablemente de x, esta construcción realmente produce una métrica riemanniana, lacual es claramente izquierda-invariante.

De una manera análoga, podemos construir una métrica derecha-invariante sobre G. Si G es compacto, veremosen el ejercicio 1.7 que G posee una métrica bi-invariante.

Si G posee una métrica bi-invariante, el producto interno que determina la métrica sobre g satisface la siguienterelación: Para cada U, V,X ∈ g,

〈[U,X, ], V 〉 = −〈U, [V,X]〉. (1.3)

Antes de probar la relación anterior, necesitamos algunos hechos preliminares acerca de los grupos de Lie.

Para cualquier a ∈ G, sea Ra−1La : G → G el automorfismo interno de G determinado por a. Tal mapeo es undifeomorfismo que deja a e fijo. Entonces, la diferencial d(Ra−1La) = Ad(a) : g → g es un mapeo lineal (de hecho, esun homomorfismo del álgebra de Lie, pero no necesitamos de este hecho). Explícitamente,

Ad(a)Y = dRa−1dLaY = dRa−1Y, ∀Y ∈ g.

Sea xt el flujo de X ∈ g. Entonces, por la proposición 0.4,

[Y,X] = lımt→0

1

t(dxt(Y )− Y ).

Por otro lado, puesto que X es izquierda-invariante, Ly ◦ xt = xt ◦ Ly, dando

xt(y) = xt(Ly(e)) = Ly(xt(e)) = yxt(e) = Rxt(e)(y).

Por lo tanto, dxt = dRxt(e), y

[Y,X] = lımt→0

1

t(dRxt(e)(Y )− Y ) = lım

t→0

1

t(Ad(x−1(e))Y − Y ).

Volvamos ahora con la demostración de (1.3). Sea 〈, 〉 una métrica bi-invariante sobre un grupo de Lie G. Entonces,para cualquier X,U, V ∈ g,

〈U, V 〉 = 〈dRxt(e) ◦ dLx−1t (e)U, dRxt(e) ◦ dLx−1

t (e)V 〉 = 〈dRxt(e)U, dRxt(e)V 〉.

Diferenciando la expresión anterior con respecto a t, retomando que 〈, 〉 es bilineal y haciendo t = 0 en la expresiónobtenida, concluimos que

0 = 〈[U,X], V 〉+ 〈U, [V,X]〉,

la cual es la ecuación (1.3).

El punto importante acerca de la relación anterior es que caracteriza las métricas bi-ínvariantes de G en el sentidosiguiente. Si una forma bilineal positiva 〈, 〉e definida sobre g satisface la relación (1.3), entonces la métrica riemannianadefinida sobre G por (1.2) es bi-invariante. No es difícil probar este hecho pero no entraremos en la demostración aquí.

1.2. Métricas riemannianas 25

Ejemplo 1.4. La métrica producto. Sean M1 y M2 variedades riemannianas y consideremos el producto cartesianoM1 ×M2 con la estructura producto y sean π1 : M1 ×M2 → M1 y π2 : M1 ×M2 → M2 las proyecciones naturales.Introducimos una métrica riemanniana sobre M1 ×M2 como sigue:

〈u, v〉(p,q) = 〈dπ1 · u, dπ1 · v〉p + 〈dπ2 · u, dπ2 · v〉q, ∀(p, q) ∈M1 ×M2, u, v ∈ T(p,q)(M1 ×M2).

Es fácil verificar que esta es realmente una métrica riemanniana sobre el producto. Por ejemplo, S1 × S1 = Tn tieneuna estructura riemanniana obtenida de escoger la métrica riemanniana inducida por R2 sobre el círculo S1 ⊂ R2. Eltoro Tn con esta métrica es llamado el toro plano.

Ahora vamos a mostrar cómo una métrica riemanniana puede ser usada para calcular longitudes de curvas.

Definición 1.4. Un mapeo diferenciable c : I → M de un intervalo abierto I ⊂ R en una variedad diferenciable M esllamada una curva (parametrizada).

Obsérvese que una curva parametrizada puede admitir autointersecciones, así como "esquinas" (figura 1.1).

Figura 1.1: Curva parametrizada

Definición 1.5. Un campo vectorial V a lo largo de una curva c : I → M es un mapeo diferenciable que asociaa cada t ∈ I un vector tangente V (t) ∈ Tc(t)M . Decir que V es diferenciable significa que para cualquier funcióndiferenciable f sobre M , la función t 7→ V (t)f es una función diferenciable sobre I.

El campo vectorial dc(ddt

), denotado por dcdt , es llamado el campo de velocidades (o campo vectorial tangente) de

c. Obsérvese que un campo vectorial a lo largo de c no necesariamente puede ser extendido a un campo vectorial sobreun conjunto abierto de M .

La restricción de una curva c a un intervalo cerrado [a, b] ⊂ I es llamado un segmento. Si M es una variedadriemanniana, definimos la longitud de un segmento como

Lba(c) =

∫ b

a

⟨dc

dt,dc

dt

⟩1/2

dt.

Probemos ahora un teorema sobre la existencia de métricas riemannianas.

Proposición 1.1. Una variedad diferenciable M (Hausdorff con base numerable) tiene una métrica riemanniana.

Demostración. Sea {fα} una partición de la unidad diferenciable sobre M subordinada a una cubierta {Vα} de Mpor vecindades coordenadas. Esto significa que {Vα} es una cubierta localmente finita (i.e., cualquier punto de M tieneuna vecindad U tal que U ∩ Vα 6= ∅ al menos para un número finito de índices) y {fα} es una familia de funcionesdiferenciables sobre M que satisfacen:

1) fα ≥ 0, fα = 0 sobre el complemento del conjunto cerrado V α.

2)∑α fα(p) = 1 para todo p sobre M .


Es claro que podemos definir una métrica riemanniana 〈, 〉α sobre cada Vα: la métrica inducida por el sistema de coorde-nadas locales. Fijemos 〈u, v〉p =

∑α fα(p)〈u, v〉αp para todo p ∈M , u, v ∈ TpM . Es fácil verificar que esta construcción

define una métrica riemanniana sobre M . �

Para concluir este capítulo, vamos a mostrar como una métrica riemanniana nos permite definir una noción de volu-men sobre una variedad orientable Mn dada.

Como es usual, necesitamos algunos hechos preliminares. Sea p ∈M y sea x : U ⊂ Rn →M una parametrizaciónalrededor de p la cual pertenece a una familia de parametrizaciones consistente con la orientación de M (decimos quetales parametrizaciones son positivas).Consideremos una base ortonormal positiva {e1, . . . , en} de TpM y escribamosXi(p) = ∂

∂xi(p) en la base {ei}: Xi(p) =

∑j aijej . Entonces

gij(p) = 〈Xi, Xk〉(p) =∑jl

aijakl〈ej , el〉 =∑j

aijakj .

Puesto que el volumen vol(X1(p), . . . , Xn(p)) del paralelepípedo formado por los vectores X1(p), . . . , Xn(p) en TpMes igual a vol(e1, . . . , en) = 1 multiplicado por el determinante de la matriz (aij), obtenemos

vol(X1(p), . . . , Xn(p)) = det(aij) =√

det(gij)(p).

Si y : V ⊂ Rn → M es otra parametrización positiva alrededor de p, con Yi(p) = ∂∂yi

(p) y hij(p) = 〈Yi, Yj〉(p),obtenemos √

det(gij)(p) = vol(X1(p), . . . , Xn(p)) = J vol(Y1(p), . . . , Yn(p)) = J√

det(hij)(p), (1.4)

donde J = det(∂xi∂yj

)= det(dy−1 ◦ dx)(p) > 0 es el determinante de la derivada del cambio de coordenadas.

Ahora, sea R ⊂ M una región (un subconjunto abierto conexo) cuya cerradura es compacta. Supongamos que Restá contenida en una vecindad coordenada x(U) con una parametrización positiva x : U → M y que la frontera dex−1(R) ⊂ U tiene medida cero en Rn (observe que la noción de medida cero en Rn es invariante por difeomorfismos).Definamos al volumen vol(R) de R por

vol(R) =

∫x−1(R)

√det(gij) dx1 · · · dxn. (1.5)

La expresión anterior está bien definida. De hecho, si R está contenida en otra vecindad coordenada y(V ) con unaparametrización positiva y : V ⊂ Rn → M , obtenemos del teorema de cambio de variable de las integrales múltiplesque1 ∫

x−1(R)

√det(gij) dx1 · · ·xn =

∫y−1(R)

√det(hij) dy1 · · · dyn = vol(R),

lo cual prueba que la definición dada por (1.5) no depende de la elección del sistema coordenado (aquí la hipótesis deorientabilidad de M se usa para garantizar que vol(R) no cambia de signo).

El lector familiarizado con las formas diferenciales notará que la ecuación (1.4) implica que el integrando en lafórmula del volumen en la expresión (1.5) es una forma diferencial positiva de grado n, la cual es usualmente llamadauna forma de volumen (o elemento de volumen) ω sobre M . Con el fin de definir el volumen de una región compactaR, la cual no está contenida en una vecindad coordenada, es necesario considerar una partición de la unidad {ϕi}subordinada a una cubierta (finita) de R que consista de vecindades coordenadas x(Ui) y tomar

vol(R) =∑i

∫x−1i (R)

ϕiω.

Se sigue inmediatamente que la expresión anterior no depende de la elección de la partición de la unidad.

1Usando la misma notación que en (1.4).

Ejercicios 27

Es claro que la existencia de una forma diferencial positiva de grado n definida globalmente (elemento de volumen)nos conduce a la noción de volumen sobre una variedad diferenciable. Una métrica riemanniana es sólo una de lasformas a través de las cuales un elemento de volumen puede ser obtenido.

Ejercicios

1.1. Pruebe que el mapeo antipodal A : Sn → Sn dado por A(p) = −p es una isometría de Sn. Use este hecho paraintroducir una métrica riemanniana sobre el espacio proyectivo real Pn(R) tal que la proyección natural π : Sn → Pn(R)es una isometría local.

1.2. Introduzca una métrica riemanniana sobre el toro Tn de tal manera que la proyección natural π : Rn → Tn dadapor

π(x1, . . . , xn) = (eix1 , . . . , eixn), (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

es una isometría local. Muestre que con esta métrica Tn es isométrico al toro plano.

1.3. Obtenga una inmersión isométrica del toro plano Tn en R2n.

1.4. Una función gR → R dada por g(t) = yt + x, con t, x, y ∈ R, y > 0, es llamada una función propiamente afín.El subconjunto de todas estas funciones con respecto a las leyes de composición usuales forman un grupo de Lie G.Como una variedad diferenciable G es simplemente el semiplano {(x, y) ∈ R2 : y > 0} con la estructura diferenciableinducida por R2. Pruebe que

(a) La métrica riemanniana izquierda-invariante de G la cual, en el elemento neutro e = (0, 1) coincide con la métricaeuclideana (g11 = g22 = 1, g12 = 0) está dada por g11 = g22 = 1

y2 , g12 = 0 (esta es la métrica de la geometría noeuclideana de Lobatchevski).

(b) Poniendo (x, y) = z = x + iy, i2 = −1, la transformación z 7→ z′ = az+bcz+d , con a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1, es una

isometría de G. Sugerencia: Observe que la primera forma fundamental puede ser escrita como

ds2 =dx2 + dy2

y2= − 4 dzdz

(z − z)2.

1.5. Pruebe que las isometrías de Sn ⊂ Rn+1 , con la métrica inducida, son las restricciones de Sn de los mapeoslineales ortogonales de Rn+1.

1.6. Muestre que la relación "M es localmente isométrico a N " no es una relación de simetría.

1.7. Sea G un grupo de Lie conexo compacto (dimG = n). El objetivo de este ejercicio es probar que G tiene unamétrica riemanniana bi-invariante. Para hacer esto, tome el siguiente camino:

(a) Sea ω una n-forma diferencial sobre G izquierda-invariante; esto es, L∗xω = ω, para todo x ∈ G. Pruebe que ωes derecha-invariante. Sugerencia: Para cada a ∈ G, R∗aω es izquierda-invariante. Se sigue que R∗aω = f(a)ω.Verifique que f(ab) = f(a)f(b), esto es, que f : G → R − 0 es un homomorfismo (continuo) de G en el grupomultiplicativo de los números reales. Puesto que f(G) es un subgrupo compacto conexo, la conclusión f(G) = 1se cumple. Por lo tanto, R∗aω = ω.

(b) Muestre que existe una forma n-diferencial izquierda-invariante ω sobre G.

(c) Sea 〈, 〉 una métrica izquierda-invariante sobre G. Sea ω una n-forma diferencial positiva sobre G la cual es inva-riante sobre al izquierda y defina una nueva métrica riemanniana, 〈〈, 〉〉 sobre G por

〈〈u, v〉〉 =

∫G

〈(dRx)yu, (dRx)yv〉yxω, x, y ∈ G u, v ∈ TyG−

Pruebe que esta nueva métrica riemanniana 〈〈, 〉〉 es bi-invariante.

CAPÍTULO 2

Conexiones afines. Conexiones riemannianas

2.1. Introducción

Un evento fundamental en el desarrollo de la geometría diferencial fue la introducción, en 1917, del paralelismo deLevi-Civita (véase Levi-Civita [?]). Para el caso de superficies en R3, una idea equivalente puede ser descrita en lasiguiente manera. Sea S ⊂ R3 una superficie y sea c : I → S una curva parametrizada en S, con V : I → R3 uncampo vectorial a lo largo de c tangente a S. El vector dVdt (t), con t ∈ I, en general no pertenece al plano tangente deS, Tc(t)S. El concepto de diferenciar a un campo vectorial no es, por lo tanto, una noción geométrica "intrínseca" sobreS. Para remediar esto, consideremos, en vez de la derivada usual dVdt (t), la proyección ortogonal de dV

dt (t) sobre Tc(t)S.A este vector proyectado ortogonalmente le llamaremos la derivada covaiante y la denotaremos por DVdt (t). La derivadacovariante de V es la derivada de V como es vista desde la "perspectiva de S".

Un punto básico es que esta derivada covariante depende sólo de la primera forma fundamental de S y, por lo tanto,es un concepto el cual puede ser considerado desde la geometría riemanniana. En particular, la noción de derivadacovariante nos permite tomar la derivada del vector de velocidad de c, la cual nos da la aceleración de la curva c enS. Es posible demostrar que las curvas con aceleración cero son precisamente las geodésicas de S y que la curvaturagaussiana de S puede ser expresada en términos de la noción de la derivada covariante.

Decimos que un campo vectorial V a lo largo de c es paralelo si DVdt ≡ 0, Recíprocamente, empezando con lanoción de paralelismo es posible recuperar la noción de derivada covariante (ejercicio 2.1 de este capítulo).

A pesar de que hoy en día es preferible empezar con la noción de derivada covariante, históricamente la noción deparalelismo llegó primero. Para superficies en R3, el paralelismo puede introducirse de la siguiente manera. Considereuna familia de planos tangentes a S a lo largo de la curva c. Esta familia determina una superficie E que envuelve aestos planos tangentes, la cual posee la propiedad de que es tangente a S a lo largo de la curva c y cuya curvaturagaussiana es K ≡ 0. No es difícil demostrar que el paralelismo a lo largo de c, definido a través de la anulación de laderivada covariante es la misma si se considera relativa a S o relativa a E. Por otra parte, se puede mostrar que lassuperficies de curvatura cero son localmente isométricas a un plano. Puesto que el paralelismo es invariante por isome-tría, podemos realizar el paralelismo "euclideanamente" en la imagen isométrica de E y entonces traerlo de vuelta a S.Esta es la construcción usada clásicamente para definir paralelismo. Se ha visto que esto es preferible, técnicamente,a trabajar con la derivada covariante.

La noción de derivada covariante tiene muchas consecuencias importantes. Hace claro que las dos ideas básicasde geodésica y curvatura pueden ser definidas en situaciones más generales que las de las variedades riemannianas.Para este fin es suficiente que no sea capaz de definir una noción de derivación de campos vectoriales con ciertaspropiedades (las cuales hoy en día les llamamos una conexión afín). Esto ha estimulado la creación de muchas "es-tructuras geométricas" diferentes (sobre variedades diferenciables) más generales que la geometría riemanniana. En elmismo tenor que una geometría métrica euclideana es un caso particular para la geometría afín y más generalmentede la geometría proyectiva, la geometría riemanniana es un caso particular de estructuras geométricas más generales.

No vamos a entrar en detalles de estos desarrollos. Nuestro interés en las conexiones afines descansa en el hechode que una elección de una métrica riemanniana sobre una variedad M determina de manera unívoca una ciertaconexión afín sobre M . Entonces estamos en condición de derivar campos vectoriales sobre M .

28

2.2. Conexiones afines 29

2.2. Conexiones afines

Denotemos por X (M) el conjunto de todos los campos vectoriales de clase C∞ sobre M y por D(M) el anillo delas funciones con valores reales de clase C∞ definidas sobre M .

Definición 2.1. Una conexión afín ∇ sobre una variedad diferenciable M es un mapeo

∇ : X (M)×X (M)→ X (M)

la cual es denotada por (X,Y )∇7→ ∇XY y que satisface las siguientes propiedades:

I) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z

II) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ

III) ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y ,

con X,Y, Z ∈ X (M) y f, g ∈ D(M).

Esta definición no es tan transparente como lo es la de estructura riemanniana. La siguiente proposición, sin embar-go, debería aclarar un poco la situación.

Proposición 2.1. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín∇. Existe una correspondencia única la cualasocia a un campo vectorial V a lo largo de la curva diferenciable c : I → M otro campo vectorial DVdt a lo largo de c,llamado la derivada covariante de V a lo largo de c, tal que

a) Ddt (V +W ) = DV

dt + DWdt

b) DVdt (fV ) = df

dtV + f DVdt , donde V es un campo vectorial a lo largo de c y f es una función diferenciable sobre I

c) Si V está inducido por un campo vectorial Y ∈ X (M), esto es, V (t) = Y (c(t)), entonces DVdt = ∇ dc

dtY .

Lo último tiene sentido, puesto que∇XY (p) depende del valor de X(p) y del valor Y a lo largo de la curva, tangentea X en p. En efecto, la definición 2.1 nos permite mostrar que la noción de conexión afín es realmente una noción local.Escogiendo un sistema de coordenadas (x1, . . . , xn) alrededor de p y escribiendo

X =∑i

xiXi, Y =∑j

yjXj , Xi =∂

∂xi,

tenemos que

∇XY =∑i

xi∇Xi

∑j

yjXj

=∑i,j

xiyj∇XiXj +∑i,j

xiXi(yj)Xj .

Haciendo ∇XiXj =∑k ΓkijXk, concluímos que Γkij son funciones diferenciables y que

∇XY =∑k

∑i,j

xiyjΓkij +X(yk)

Xk,

lo cual prueba que ∇XY (p) depende de xi(p), yk(p) y de las derivadas X(xk)(p) de yk por X.

La proposición anterior muestra que la elección de una conexión afín sobre M nos conduce a una derivada decampos vectoriales a lo largo de curvas de buena fe (esto es, que satisfacen las condiciones enunciadas). Por lo tanto,la noción de conexión nos da una manera de derivar vectores a lo largo de curvas; en particular, es posible hablar de laaceleración de una curva en M .

Demostración de la proposición 2.1 Supongamos inicialmente que existe una correspondencia que satisface lascondiciones. Sea x : U ⊂ Rn →M un sistema coordenado con c(I)∩ x(U) 6= ∅ y sea (x1(t), . . . , xn(T )) la expresión

30 Conexiones afines. Conexiones riemannianas

local de c(t), t ∈ I. Sea Xi = ∂∂xi

. Entonces, podemos expresar el campo V localmente como V =∑i viXi, 1 ≤ i ≤ n,

donde vi = vi(t) y Xi = Xi(c(t)). Tenemos que

DV

dt=∑j

dvj

dtXj +

∑j

vjDXj

dt.

Por otra parte, tenemos

DXj

dt= ∇ dc

dtXj = ∇∑

idxidt Xi

Xj =∑i

dxidt∇XiXj , 1 ≤ i, j ≤ n.

Por lo tanto,DV

dt=∑j

dvj

dtXj +

∑i,j

dxidtvj∇xiXj . (2.1)

La ecuación (2.1) nos muestra que si existe una correspondencia que satisfaga las condiciones de la proposición (2.1),entonces tal correspondencia es única.

Para mostrar la existencia, definamos DVdt en x(U) por (2.1). Es fácil verificar que (2.1) posee las propiedades

deseadas. Si y(W ) es otra vecindad coordenada, con y(W ) ∩ x(U) 6= ∅ y definimos DVdt en y(W ) por (2.1), las

definiciones están en acuerdo en y(W ) ∩ x(U), por la unicidad de DVdt en x(U). Se sigue que la definición puede ser

extendida sobre todo M , y esto concluye la demostración. �

El concepto de paralelismo se sigue ahora en una manera natural.

Definición 2.2. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Un campo vectorial V a lo largo de unacurva c : I →M es llamado paralelo cuando DV

dt = 0 para todo t ∈ I.

Proposición 2.2. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Sea c : I → M una curva diferenciableen M y sea V0 un vector tangente a M en c(t0), t0 ∈ I (esto es, V0 ∈ Tc(t0)M ). Entonces, existe un único campovectorial paralelo V a lo largo de c, tal que V (t0) = V0 (V (t) es llamado el transporte paralelo de V (t0) a lo largo dec).

Demostración. Suponga que el teorema fue demostrado para el caso en el cual c(I) está contenido en una ve-cindad coordenada local. Por compacidad, para cualquier t1 ∈ I, el segmento c([t0, t1]) ⊂ M puede ser cubierto porun número finito de de vecindades coordenadas, en cada una de las cuales V puede ser definido, por hipótesis. De launicidad, las definiciones coinciden cuando las intersecciones no son vacías, permitiendo con ello la definición de V alo largo de todo el intervalo [t0, t1].

Tenemos ahora que probar, por lo tanto, el teorema cuando c(I) está contenido en una vecindad coordenada x(U)de un sistema de coordenadas x : U ⊂ Rn →M . Sea x−1(c(t)) = (x1(t), . . . , xn(t)) la expresión local para c(t) y seaV0 =

∑j v

j0Xj , donde Xj = ∂

∂xj(c(t0)).

Supóngase que existe un campo vectorial V en x(U) el cual es paralelo a lo largo de c con V (t0) = V0. EntoncesV =

∑j v

jXj satisface

0 =DV

dt=∑j

dvj

dtXj +

∑i,j

dxidtvj∇XiXj .

Poniendo ∇XiXj =∑k ΓkijXk y reemplazando j por k en la primera suma, obtenemos

DV

dt=∑k

dvkdt +∑i,j

vjdxidt

Γkij

Xk = 0.

2.3. Conexiones riemannianas 31

El sistema de n ecuaciones diferenciales en vk(t),

0 =dvk

dt+∑i,j

Γkijvj dxidt, 1 ≤ k ≤ n, (2.2)

posee una solución única que satisface las condiciones iniciales vk(t0) = vk0 . Se sigue que, si V existe, es único. Másaun, puesto que el sistema es lineal, cualquier solución está definida para todo t ∈ I, lo cual prueba la existencia (yunicidad) de V con las propiedades deseadas. �

2.3. Conexiones riemannianas

Definición 2.3. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇ y una métrica riemanniana 〈, 〉. Una cone-xión se dice que es compatible con la métrica 〈, 〉 cuando, para cada curva suave c y cada par de campos vectorialesparalelos P, P ′ a lo largo de c, tenemos que 〈P, P ′〉 = α, con α constante.

La definición 2.3 está justificada por la siguiente proposición, la cual muestra que si ∇ es compatible con 〈, 〉,entonces estamos en condiciones de diferenciar al producto interno por la "regla del producto" usual.

Proposición 2.3. Sea M una variedad riemanniana. Una conexión∇ sobre M es compatible con una métrica si y sólosi para cualesquiera campos vectoriales V y W a lo largo de la curva diferenciable c : I →M , tenemos que

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DV

dt

⟩, t ∈ I. (2.3)

Demostración. Es obvio que la ecuación (2.3) implica que ∇ es compatible con 〈, 〉. Por lo tanto, demostremosel recíproco. Escojamos una base ortonormal {P1(t0), . . . , Pn(t0)} de Tx(t0)M , t0 ∈ I. Usando la proposición 2.2,podemos extender los vectores Pi(t0), 1 ≤ i ≤ n, a lo largo de c mediante transporte paralelo. Puesto que ∇ escompatible con la métrica, {P1(t), . . . , Pn(t)} es una base ortonormal de Tc(t)M , para cualquier t ∈ I. Por lo tanto,podemos escribir

V =∑i

viPi, W =∑i

wiPi, 1 ≤ i ≤ n,

donde vi y wi son funciones diferenciables sobre I. Se sigue que

DV

dt=∑i

dvi

dtPi,

DW

dt=∑i

dwi

dtPi.

Por lo tanto, ⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩=∑i

{dvi

dtwi +

dwi

dtvi}

=d

dt

{∑i

viwi

}=

d

dt〈V,W 〉.

�

Corolario 2.1. Una conexión ∇ sobre una variedad riemanniana M es compatible con la métrica si y sólo si

X〈Y,Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉, X, Y, Z ∈ X (M). (2.4)

Demostración. Supongamos que ∇ es compatible con 〈, 〉. Sea p ∈ M y sea c : I → M una curva diferenciablecon c(t0) = p, t0 ∈ I, y dc

dt

∣∣t=t0

= X(p). Entonces

X(p)〈Y, Z〉 =d

dt〈Y,Z〉

∣∣∣∣t=t0

= 〈∇X(p)Y, Z〉p + 〈Y,∇X(p)Z〉p

Puesto que p es arbitrario, se sigue (2.4). El recíproco es obvio. �

32 Conexiones afines. Conexiones riemannianas

Definición 2.4. Una conexión afín ∇ sobre una variedad suave M se dice simétrica cuando

∇XY −∇YX = [X,Y ] ∀X,Y ∈ X (M). (2.5)

En un sistema coordenado (U,x) el hecho de que ∇ sea simétrica implica que para todo 1 ≤ i, j ≤ n,

∇XiXj −∇XjXi = [Xi, Xj ] = 0, Xi =∂

∂xi, (2.6)

lo cual justifica la terminología (obsérvese que (2.6) es equivalente al hecho de que Γkij = Γkji).

Ahora estamos en condiciones de establecer el teorema fundamental de este capítulo.

Teorema 2.1 (Levi-Civita). Dada una variedad riemanniana M , existe una única conexión afín∇ sobre M que satisfacelas condiciones:

a) ∇ es simétrica.

b) ∇ es compatible con la métrica riemanniana.

Demostración. Supóngase inicialmente la existencia de tal ∇. Entonces,

X〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉, (2.7)

Y 〈Z,X〉 = 〈∇Y Z,X〉+ 〈Z,∇YX〉, (2.8)

Z〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZY 〉. (2.9)

Sumando (2.7) y (2.8) y restando (2.9), tenemos (usando la simetría de ∇) que

X〈Y,Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X,Y 〉 = 〈[X,Z], Y 〉+ 〈[Y,Z], X〉+ 〈[X,Y ], Z〉+ 2〈Z,∇YX〉.

Por lo tanto,

〈Z,∇YX〉 =1

2{X〈Y,Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X,Y 〉 − 〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y,Z], X〉 − 〈[X,Y ], Z〉}. (2.10)

La expresión (2.10) muestra que ∇ está unívocamente determinada por la métrica 〈, 〉. Por lo tanto, si existe, debeser única.

Para probar la existencia, definamos ∇ por (2.10). Es fácil verificar que ∇ está bien definida y que satisface lascondiciones deseadas. �

La conexión dada por el teorema 2.1 será conocida, de ahora en adelante, como la conexión de Levi-Civita (oconexión riemanniana) sobre M .

Concluyamos este capítulo escribiendo parte de lo que hemos demostrado anteriormente en un sistema coordenado(U,x). Es una convención llamar a las funciones Γkij , definidas sobre U por∇XiXj =

∑k ΓkijXk, como los coeficientes

de la conexión ∇ sobre U o los símbolos de Christoffel de la conexión. De (2.10) se sigue que∑l

Γlijglk =1

2

{∂

∂xigjk +

∂

∂xjgki −

∂

∂xkgij

},

donde gij = 〈Xi, Xj〉.

Como la matriz (gkm) admite una inversa (gkm), obtenemos

Γmij =1

2

∑k

{∂

∂xigjk +

∂

∂xjgki −

∂

∂xkgij

}gkm. (2.11)

Ejercicios 33

La ecuación (2.11) es una expresión clásica para los símbolos de Christoffel de la conexión riemanniana en términosde gij (dados por la métrica).

Obsérvese que para el espacio euclideano Rn, tenemos que Γkij = 0. En términos de los símbolos de Christoffel, laderivada covariante tiene la expresión clásica

DV

dt=∑k

dvkdt +∑i,j

Γkijvj dxidt

Xk,

la cual se sigue de (2.1). Nótese que DVdt difiere de la derivada usual en el espacio euclideano por términos que

involucran los símbolos de Christoffel. Por lo tanto, en los espacios euclideanos la derivada covariante coincide con laderivada usual.

Ejercicios

2.1. Sea M una variedad riemanniana. Considere el mapeo

P = Pc,t0,t : Tc(t0)M → Tc(t)M

definido por Pc,t0,t(v), v ∈ Tc(t0)M , es el vector obtenido por transporte paralelo del vector v a lo largo de la curva c.Muestre que P es una isometría y que, si M es orientada, P preserva la orientación.

2.2. Sea X y Y campos vectoriales diferenciables sobre una variedad riemanniana M . Sea p ∈ M y sea c : I → Muna curva integral de X a través de p, esto es, c(t0) = p y dc

dt = X(c(t)). Pruebe que la conexión riemanniana de M es

(∇XY )(p) =d

dt(P−1c,t0,t(Y (c(t)))

∣∣∣∣t=t0

,

donde Pc,t0,t : Tc(t0)M → Tc(t)M es el transporte paralelo a lo largo de c, de t0 a t (esto muestra cómo la conexiónpuede ser obtenida de nuevo del concepto de paralelismo).

2.3. Sea f : Mn → Mn+k

una inmersión de una variedad diferenciable M en una variedad riemanniana M . Supongaque M tiene la métrica riemanniana inducida por f (véase el ejemplo 1.2). Sea p ∈M y sea U ⊂M una vecindad de ptal que f(U) ⊂M es una subvariedad de M . Más aun, suponga que X,Y son campos vectoriales diferenciables sobref(U) los cuales se extienden a los campos vectoriales diferenciables X,Y sobre un conjunto abierto de M . Defina(∇XY )(p) igual a la componente tangencial de ∇XY (p), donde ∇ es la conexión riemanniana de M . Pruebe que∇ esla conexión riemanniana de M .

2.4. Sea M2 ⊂ R3 una superficie en R3 con la métrica riemanniana inducida. Sea c : I → M una curva diferenciablesobre M y sea V un campo vectorial tangente a M a lo largo de c; V puede pensarse como una función suaveV : I → R3, con V (t) ∈ Tc(t)M .

a) Pruebe que V es paralelo si y sólo si dVdt es perpendicular a Tc(t)M ⊂ R3, donde dVdt es la derivada usual de

V : I → R3.

b) Si S2 ⊂ R3 es la esfera unitaria en R3, muestre que el campo de velocidades a lo largo de los círculos máximos,parametrizado por longitud de arco, es un campo paralelo. Un argumento similar se cumple para Sn ⊂ Rn+1 .

2.5. En el espacio euclideano, el transporte paralelo de un vector entre dos puntos no depende de la curva que une adichos puntos. Muestre, por ejemplo, que este hecho puede no ser verdadero sobre una variedad riemanniana arbitraria.

2.6. Sea M una variedad riemanniana y sea p ∈ M . Considere una curva constante f : I → M dada por f(t) = p,para todo t ∈ I. Sea V un campo vectorial a lo largo de f (esto es, V es un mapeo diferenciable de I en TpM ). Muestreque DV

dt = dVdt ; es decir, que la derivada covariante coincide con la derivada usual de V : I → TpM .

34 Ejercicios

2.7. Sea S2 ⊂ R3 la esfera unitaria, c un paralelo arbitrario de latitud sobre S2 y V0 un vector tangente de S2 en unpunto de c. Describa geométricamente el transporte paralelo de V0 a lo largo de c. Sugerencia: Considere el cono Ctangente a S2 a lo largo de c y muestre que el transporte paralelo de V0 a lo largo de c es el mismo, sea relativo a S2 oa C.

2.8. Considere el semi-plano superiorR2

+ = {(x, y) ∈ R2 : y > 0},

con la métrica dada por g11 = g22 = 1y2 , g12 = 0 (la métrica de la geometría no euclideana de Lobatchevski).

a) Muestre que los símbolos de Christoffel de la conexión riemanniana son Γ111 = Γ2

12 = Γ122 = 0, Γ2

11 = 1y , Γ1

12 =

Γ222 = − 1

y .

b) Sea v0 = (0, 1) un vector tangente en el punto (0, 1) ∈ R2+ (v0 es un vector unitario sobre el eje y con origen en(0, 1)). Sea v(t) el transporte paralelo de v0 a lo largo de la curva x = t, y = 1. Muestre que v(t) forma un ángulo tcon respecto la dirección del eje y, medido en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Sugerencia: El campov(t) = (a(t), b(t)) satisface el sistema (2.2), el cual define un campo paralelo y el cual, en este caso, se simplifica a

da

dt+ Γ1

12b = 0,db

dt+ Γ2

11a = 0.

Tomando a = cos θ(t), b = sen θ(t) y notando que a lo largo de la curva dada tenemos que y = 1, obtenemos de lasecuaciones anteriores que dθ

dt = −1. Puesto que v(0) = v0, esto implica que θ(t) = π/2− t.

2.9 (Métricas pseudoriemannianas). Una métrica pseudoriemanniana sobre una variedad suaveM es una elección,en cada punto p ∈ M , de una forma bilineal simétrica no degenerada 〈.〉 (no necesariamente definida positiva) sobreTpM la cual varía diferenciablemente con p. Excepto por el hecho de que 〈, 〉 no necesita ser definida positiva, todas lasdemás definiciones que han sido presentadas ahora tienen sentido para una métrica pseudoriemanniana. Por ejemplo,una conexión afín sobre M compatible con una métrica pseudoriemanniana satisface la ecuación (2.4); si, en adición,(2.5) se cumple, entonces la conexión afín se dice simétrica.

a) Muestre que el teorema de Levi-Civita se extiende a métricas pseudoriemannianas. La conexión así obtenida es lallamada conexión pseudoriemanniana.

b) Introduzca una métrica pseudoriemanniana sobre Rn+1 usando la forma cuadrática

Q(x0, . . . , xn) = −(x0)2 + (x1)2 + · · ·+ (xn)2, (x0, . . . , xn) ∈ Rn+1.

Muestre que el transporte paralelo correspondiente a la conexión de Levi-Civita de esta métrica coincide con eltransporte paralelo usual de Rn+1 (esta métrica pseudoriemanniana es llamada la métrica de Lorentz; para n = 3,aparece naturalmente en relatividad).

CAPÍTULO 3

Geodésicas. Vecindades conexas

3.1. Introducción

Después de fijar la terminología básica, pasaremos al estudio de dos conceptos fundamentales de la geometríariemanniana: las geodésicas y la curvatura. Este capítulo introduce la noción de geodésica como una curva con acele-ración cero. En el siguiente capítulo nosotros nos introducimos en el estudio de la curvatura.

Uno de los objetivos del presente capítulo es mostrar que una geodésica minimiza la longitud de arco por puntos"suficientemente cercanos" (en un sentido que haremos más preciso); en adición, si una curva minimiza la longitud dearco entre cualesquiera de sus puntos, es una geodésica. Para probar este hecho, necesitamos varios conceptos yteoremas los cuales serán muy útiles después.

En la sección 2 introduciremos el haz tangente TM de una variedad diferenciable M la cual nos permite reducir elestudio local de geodésicas sobre M al estudio de trayectorias de un campo vectorial (el campo de geodésicas) sobreTM . En la sección 3, introduciremos el mapeo exponencial de un conjunto abierto en TM a M , el cual es simplementeuna manera de "colectar" todas las geodésicas de M en un único mapeo diferenciable. Esta notación es extremada-mente útil y Y nos permite, por ejemplo, aplicar el teorema de la función inversa para mostrar que cualquier punto deM posee una vecindad W tal que cuales quiera dos puntos de W pueden ser unidos por una única geodésica la cualminimiza la longitud de arco (véase el teorema ).

El concepto de una geodésica, como una curva que minimiza la distancia entre dos puntos cercanos, es realmenteviejo. Para superficies en R3, las geodésicas pueden ser caracterizadas como curvas c(s) (donde s es la longitud de ar-co) para las cuales la aceleración c′′(s) en R3 es perpendicular a la superficie (por lo tanto, la aceleración de c "desde elpunto de observación" es cero). Tal caracterización fue aparente conocida, al menos para superficies convexas, en 1697por Johann Bernoulli, y las ecuaciones de geodésicas para superficies de la forma f(x, y, z) = 0 fueron consideradaspor Euler en 1732. Sin embargo, fue sólo con el trabajo de Gauss [?] en 1827 que la relación entre geodésicas y cur-vatura de una superficie fue establecida (véase la introducción del capítulo ). Esta relación es fundamental y apareceráen varias formas a lo largo del libro.

3.2. El flujo geodésico

En lo siguiente, M será una variedad riemanniana junto con una conexión riemanniana.

Definición 3.1. Una curva parametrízada γ : I → M es una geodésica en el punto t0 ∈ I si Ddt (dγdt ) = 0 en el punto

t0; si γ es una geodésica en t, para todo t ∈ I, decimos que γ es una geodésica. Si [a, b] ⊂ I y γ : I → M es unageodésica, la restricción de γ a [a, b] es llamada un segmento geodésico que une a γ(a) con γ(b).

Algunas veces, por abuso de lenguaje, nos referiremos a la imagen γ(I), de una geodésica γ, como una geodésica.

Si γ : I →M es una geodésica, entonces

d

dt

⟨dγ

dt,dγ

dt

⟩= 2

⟨D

dt

dγ

dt.dγ

dt

⟩= 0,

esto es, la longitud del vector tangente dγdt es constante. Suponenmos, de ahora en adelante, que

∥∥∥dγdt ∥∥∥ = c 6= 0; estoes, excluimos a las geodésicas que se reducen a puntos. La longitud de arco s de γ, empezando de un origen fijo, por

35

36 Geodésicas. Vecindades conexas

decir t = t0, está entonces dada por

s(t) =

∫ t

t0

∥∥∥∥dγdt∥∥∥∥ dt = c(t− t0).

Por lo tanto, el parámetro de una geodésica es proporcional a la longitud de arco. Cuando el parámetro es realmentela longitud de arco, esto es, c = 1, decimos que la geodésica está normalizada.

Ahora, vamos a determinar las ecuaciones locales que satisface una geodésica γ en un sistema de coordenadas(U,x) alrededor de γ(t0). En U , una curva γ,

γ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),

es geodésica si y sólo si

0 =D

dt

(dγ

dt

)=∑k

d2xkdt2

+∑i,j

Γkijdxidt

dxjdt

∂

∂xk.

Entonces, el sistema de segundo orden

d2xkdt2

+∑i,j

Γkijdxidt

dxjdt

= 0, 1 ≤ k ≤ n, (3.1)

nos conduce a las ecuaciones deseadas.

Para estudiar el sistema (3.1), es conveniente considerar el haz tangente TM , el cual también será útil en situacio-nes futuras. TM es el conjunto de pares (q, v), con q ∈ M y v ∈ TqM . Si (U,x) es un sistema de coordenadas sobreM , entonces cualquier vector en TqM , q ∈ x(U), puede ser escrito como

∑ni=1 yi

∂∂xi

. Tomando (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)como coordenadas de (q, v) ∈ TU , es fácil mostrar que podemos obtener una estructura diferenciable para TM .

Observemos que TU = U × Rn; esto es, el haz tangente es localmente un producto En adición, la proyeccióncanónica π : TM →M dada por π(q, v) = q es diferenciable.

Cualquier curva diferenciable t 7→ γ(t) en M determina una curva t 7→ (γ(t), dγdt (t)) en TM . Si γ es una geodésicaentonces, sobre TU , la curva

t 7→(x1(t), . . . , xn(t),

dx1(t)

dt, . . . ,

dxn(t)

dt

)satisface el sistema

dxkdt

= yk (3.2)

dykdt

= −∑i,j

Γkijyiyj , 1 ≤ k ≤ n

en términos de las coordenadas (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn). Por lo tanto, el sistema de segundo orden (3.1) sobre U esequivalente al sistema de primer orden (3.2) sobre TU .

Tomemos el siguiente resultado de ecuaciones diferenciales.

Teorema 3.1. Si X es un campo vectorial C∞ sobre el conjunto abierto V en la variedad M y p ∈ V , entonces existeun conjunto abierto V0 ⊂ V , p ∈ V0, un número δ > 0 y un mapeo C∞ ϕ : (−δ, δ)×V0 → V tal que la curva t 7→ ϕ(t, q),t ∈ (−δ, δ), es la única trayectoria de X que pasa a través del punto q en el instante t = 0, para todo q ∈ V0.

El mapeo ϕt : V0 → V dado por ϕt(q) = ϕ(t, q) es llamado el flujo de X sobre V .

Lema 3.1. Existe un único campo vectorial G sobre TM cuyas trayectorias son de la forma t 7→ (γ(t), γ′(t)), donde γes una geodésica sobre M .

3.2. El flujo geodésico 37

Demostración. Debemos probar primero la unicidad de G, suponiendo su existencia. Consideremos un sistema decoordenadas (U,x) sobre M . De la hipótesis, las trayectorias de G sobre TU están dadas por t 7→ (γ(t), γ′(t)), dondeγ es una geodésica. Se sigue que t 7→ (γ(t), γ′(t)) es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales (3.2). De launicidad de las trayectorias de tal sistema, concluímos que si G existe, debe ser único.

Para probar la existencia de G, definámoslo localmente por el sistema (3.2). Usando la unicidad, concluímos que Gestá bien definido sobre TM . �

Definición 3.2. El campo vectorial G definido anteriormente es llamado el campo geodésico sobre TM y su flujo esllamado el flujo geodésico sobre TM .

Aplicando el teorema 3.1 al campo geodésico G en el punto (p, 0) ∈ TM , obtenemos el siguiente resultado:

Para cada p ∈M , existe un conjunto abierto U en TU donde (U,x) es un sistema de coordenadas en p y (p, 0) ∈ U ,un número δ > 0 y un mapeo C∞, ϕ : (−δ, δ) × U → TU tal que t 7→ ϕ(t, q, v) es la única trayectoria de G la cualsatisface la condición inicial ϕ(0, q, v) = (q, v), para cada (q, v) ∈ U .

Es posible escoger a U de la forma

U = {(q, v) ∈ TU : q ∈ V, v ∈ TqM, ‖v‖ < ε1},

donde V ⊂ U es una vecindad de p ∈ M . Poniendo γ = π ◦ ϕ, donde π : TM → M es la proyección canónica,podemos describir el resultado anterior de la siguiente manera.

Proposición 3.1. Dado p ∈M , existe un conjunto abierto V ⊂M , p ∈ V , números δ > 0 y ε1 > 0 y un mapeo C∞

γ : (−δ, δ)× U →M, U = {(q, v) : q ∈ V, v ∈ TqM, ‖v‖ < ε1},

tales que la curva t 7→ γ(t, q, v), t ∈ (−δ, δ), es la única geodésica de M la cual, en el instante t = 0, pasa a través deq con velocidad v, para cada q ∈ TqM con ‖v‖ < ε1.

La proposición 3.1 asegura que si ‖v‖ < ε1, la geodésica γ(t, q, v) existe en un intervalo (−δ, δ) y es única. Real-mente, es posible incrementar la velocidad de una geodésica disminuyendo su intervalo de definición y viceversa. Estose sigue del siguiente lema de homogeneidad.

Lema 3.2 (Homogeneidad de una geodésica). Si la geodésica γ(t, q, v) está definida en el intervalo (−δ, δ), entoncesla geodésica γ(t, q, av), a ∈ R, a > 0, está definida sobre el intervalo (− δ

a ,δa ) y

γ(t, q, av) = γ(at, q, v).

Demostración. Sea h : (− δa ,

δa )→M una curva dada por h(t) = γ(at, q, v). Entonces, h(0) = q y dh

dt (0) = av. Enadición, puesto que h′(t) = aγ′(at, q, v),

D

dt

(dh

dt

)= ∇h′(t)h′(t) = a2∇γ′(at,q,v)γ′(at, q, v) = 0,

donde, para la primera igualdad, extendimos h′(t) a una vecindad de h(t) en M . Por lo tanto, h es una geodésica quepasa a través de q con velocidad av en el instante t = 0. Por unicidad,

h(t) = γ(at, q, v) = γ(t, q, av).

�

La proposición 3.1 junto con el lema de homogeneidad 3.2 nos permiten hacer el intervalo de definición de unageodésica uniformemente grande en una vecindad de p. De manera más precisa, tenemos el siguiente hecho.

Proposición 3.2. Dado p ∈M , existe una vecindad V de p en M , un número ε > 0 y un mapeo C∞ γ : (−2, 2)×U →M , U = {(q, w) ∈ TM : q ∈M,w ∈ TqM, ‖w‖ < ε}, tal que t 7→ γ(t, q, w), t ∈ (−2, 2), es la única geodésica de M lacual, en el instante t = 0, pasa a través de q con velocidad w, para cada q ∈ V y para cada w ∈ TqM con ‖w‖ < ε.


Demostración. La geodésica γ(t, q, v) de la proposiicón 3.1 está definida por |t| < δ y por ‖v‖ < ε1. Por el lema dehomogeneidad 3.2, γ(t, q, δv2 ) está definido por |t| < 2. Tomando ε < δε1

2 , obtenemos que la geodésica γ(t, q, w) estádefinida por |t| < 2 y ‖w‖ < ε. �

Por un argumento análogo, podemos hacer la velocidad de una geodésica uniformemente grande en una vecindadde p.

La proposición 3.2 nos permite introducir el concepto de mapeo exponencial de la siguiente manera. Sea p ∈ M ysea U ⊂ TM un conjunto abierto dado por la proposición 3.2. Entonces el mapeo exp : U →M dado por

exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ

(‖v‖, q, v

‖v‖

), (q, v) ∈ U ,

es llamado el mapeo exponencial sobre U .

Es claro que exp es diferenciable. En la mayoría de las aplicaciones debemos utilizar la restricción de exp a unsubconjunto abierto del espacio tangente TqM ; esto es, definimos

expq : Bε(0) ⊂ TqM →M

por expq(v) = exp(q, v). Aquí, y en lo que sigue, denotaremos por Bε(0) una bola abierta con centro en el origen0 ∈ TqM y de radio ε. Es fácil verificar que expq es diferenciable y que expq(0) = q.

Geométricamente, expq(v) es un punto de M obtenido por hacer la longitud igual a ‖v‖, comenzando desde q, a lolargo de una geodésica que pasa por q con velocidad igual a v

‖v‖ .

Proposición 3.3. Dado q ∈ M , existe un ε > 0 tal que expq : Bε ⊂ TqM → M es un difeomorfismo de Bε(0) en unsubconjunto abierto de M .

Demostración. Calculemos d(expq)0:

d(expq)0(v) =d

dt(expq(tv))

∣∣∣∣t=0

=d

dt(γ(1, q, tv))

∣∣∣∣t=0

=d

dt(γ(t, q, v))

∣∣∣∣t=0

= v.

Puesto que d(expq)0 es la identidad de TqM , se sigue del teorema de la función inversa que expq es un difeomorfismolocal sobre una vecindad de 0. �

Ejemplo 3.1. Sea M = Rn. Puesto que la derivada covariante coincide con la derivada usual, las geodésicas sonlíneas rectas parametrizadas proporcionalmente a la longitud de arco. La eponencial es claramente la identidad (con laidentificación usual del espacio tangente de Rn en p con Rn).

Ejemplo 3.2. Sea M = Sn ⊂ Rn+1 la esfera unitaria de dimensión n. Como vimos en el ejercicio b del capítulo 1.2, loscírculos máximos de Sn, parametrizados por longitud de arco, son geodésicas. Vamos a demostrar que todas las geo-désicas de Sn son círculos máximos parametrizados proporcionalmente a la longitud de arco. De hecho, dado p ∈ Sny un vector unitario v ∈ TpSn, la intersección con Sn del plano que contiene al origen de Rn+1, al punto p y al vector ves un círculo máximo que puede ser parametrizado como la geodésica a través de p con velocidad v. De la unicidad dela proposición 3.1, lo establecido se sigue.

Dado un punto (p, v) ∈ TM , el punto expq(v) ∈M se obtiene al recorrer a lo largo de la geodésica γ(t, p, v

‖v‖

)una

longitud igual a ‖v‖, empezando desde p. En este caso, es claro que expp está definido sobre todo el espacio tangentey puede ser descrito en la siguiente manera: expp transforma inyectivamente a Bπ(0) en Sn − {q}, donde q es el puntoantipodal de p; la frontera de Bπ(0) se transforma en q; el anillo abierto B2π(0)−Bπ(0) es transformado inyectivamenteen Sn − {p, q}; la frontera de B2π(0) colapsa a p, etcétera (véase figura 3.1). Obsérvese qu si a consideramos lavariedad riemanniana Sn − {q}, entonces expp estará definida sólo sobre Bπ(0) ⊂ Tp(Sn − {q}).

3.3. Propiedades minimizantes de las geodésicas 39

Figura 3.1: Mapeo exponencial

3.3. Propiedades minimizantes de las geodésicas

Queremos ahora estudiar ciertas propiedades minimizantes de las geodésicas. Para esto es necesario consideraralgunas definiciones y lemas preliminares.

Definición 3.3. Una curva diferenciable a trozos es un mapeo continuo c : [a, b] → M de un intervalo cerrado[a, b] ⊂ R en M que satisface la siguiente condición: existe una partición a = t0 < t1 < · · · < tk−1 < tk = b de [a, b]tal que las restricciones c|[ti,ti+1], 0 ≤ i ≤ k − 1, son diferenciables. Decimos que c une los puntos c(a) y c(b). A c(ti)le llamamos un vértice de c, y el ángulo formado por lımt→t+i

c′(t) con lımt→t−ic′(t) es llamado ángulo del vértice en

c(ti).

La idea de transporte paralelo puede ser fácilmente extendida a curvas diferenciables a trozos: dado V0 ∈ Tc(t)M ,t ∈ [ti, ti+1], extendiendo V0 obtenemos un campos paralelo V (t), t ∈ [ti, ti+1]; tomando V (ti) y V (ti+1) como nuevosvalores iniciales, podemos extender V (t) en una manera similar sobre el intervalo [ti−1, ti+2] y así en adelante.

Definición 3.4. Un segmento de geodésica γ : [a, b]→M es llamado minimizante si L(γ) ≤ L(c), donde L() denotala longitud de una curva y c es una curva diferenciable a trozos arbitraria que une γ(a) con γ(b).

En la demostración del lema de Gauss, que aparecerá en un momento, usaremos la siguiente terminología.

Definición 3.5. Sea A un conjunto conexo en R2, U ⊂ A ⊂ U , U abierto, tal que la frontera ∂A de A es una curvadiferenciable a trozos con ángulos de vértice diferentes de π. Una superficie parametrizada en M es un mapeodiferenciable s : A ⊂ R2 →M1.

Un campo vectorial V a lo largo de s es un mapeo que asocia a cada q ∈ A un vector V (q) ∈ Ts(q)M y el cuales diferenciable en el siguiente sentido: si f es una función diferenciable sobre M , entonces el mapeo q 7→ V (q)f esdiferenciable.

Sean (u, v) coordenadas cartesianas sobre R2. Para v0 fijo, el mapeo u→ s(u, v0), donde u pertenece a una com-ponente conexa de A ∩ {v = v0}, es una curva en M y ds

(∂∂u

), la cual indicaremos por ∂s

∂u , es un campo vectorial a lolargo de esta curva. Esto define ∂s

∂u para todo (u, v) ∈ A y ∂s∂u es un campo vectorial a lo largo de s. El campo vectorial

∂s∂v se define análogamente.

Si V es un campo vectorial a lo largo de s : A→M , definamos a la derivada covariante DV∂u y DV

∂v de la siguientemanera. DV∂u (u, v0) es la derivada covariante a lo largo de la curva u 7→ s(u, v0) de la restricción de V a esta curva.Esto define DV

∂u (u, v) para todo (u, v) ∈ A. DV∂v se define de forma análoga.

1Obsérvese que decir que s es diferenciable sobre A significa que existe un conjunto abierto U ⊃ A para el cual s se puede extender diferencia-blemente. La condición de los ángulos de vértice de A es necesario para asegurar que la diferencial de s no dependa de la extensión dada.


Lema 3.3 (Simetría). Si M es una variedad diferenciable con una conexión simétrica y s : A → M es una superficieparametrizada, entonces

D

∂v

∂s

∂u=

D

∂u

∂s

∂v.

Demostración. Sea x : V ⊂ Rn →M un sistema de coordenadas en una vecindad de un punto de s(A). Podemosescribir

x−1 ◦ s(u, v) = (x1(u, v), . . . , xn(u, v)).

Por lo tanto

D

∂v

(∂s

∂u

)=D

∂v

(∑i

∂xi∂u

∂

∂xi

)

=∑i

∂2xi∂v∂u

∂

∂xi+∑i

∂xi∂u∇∑

j

(∂xj∂v

)∂∂xj

∂

∂xi

=∑i

∂2xi∂v∂u

∂

∂xi+∑i,j

∂xi∂u

∂xj∂v∇ ∂

∂xj

∂

∂xi.

De la simetría de la conexión, ∇ ∂∂xj

∂∂xi

= ∇ ∂∂xi

∂∂xj

. Así, calculando D∂u

(∂s∂v

), obtenemos la misma expresión anterior,

lo cual prueba el lema. �

En lo que sigue identificaremos al espacio tangente a TpM en v ∈ TpM consigo mismo y escribiremos TpM ≈Tv(TpM).

Lema 3.4 (Gauss). Sea p ∈M y sea v ∈ TpM tales que expp v está definido. Sea w ∈ TpM ≈ Tv)TpM). Entonces

〈(d expp)v(v), (d expp)v(w)〉 = 〈v, w〉. (3.3)

Demostración. Sea w = wT + wN , donde wT es paralelo a v y wN es normal a v. Puesto que d expp es lineal y,por definición de expp,

〈(d expp)v(v), (d expp)v(wT )〉 = 〈v, wT 〉,

es suficiente probar (3.3) para w = wN . Es claro que podemos suponer wN 6= 0.

Como expp v está definido, existe ε > 0 tal que expp u está definido por

u = tv(s), 0 ≤ t ≤ 1, −ε < s < ε,

donde v(s) es una curva en TpM con v(0) = v, v′(0) = wN y ‖v(s)‖ = α, siendo α constante. Podemos, por lo tanto,considerar la superficie parametrizada

f : A→M, A = {(t, s) : 0 ≤ t ≤ 1, −ε < s < ε}

dada porf(t, s) = expp tv(s).

Obsérvese que las curvas t 7→ f(t, s0) son geodésicas (véase figura 3.2).

Para probar (3.3) para w = wN , obsérvese que⟨∂f

∂s,∂f

∂t

⟩(1, 0) = 〈(d expp)v(wN ), (d expp)v(v)〉. (3.4)

En adición, para todo (t, s), tenemos

∂

∂t

⟨∂f

∂s,∂f

∂t

⟩=

⟨D

∂t

∂f

∂s,∂f

∂t

⟩+

⟨∂f

∂s,D

∂t

∂f

∂t

⟩.

3.3. Propiedades minimizantes de las geodésicas 41

Figura 3.2: Lema 3.4

El último término de la expresión anterior es cero, puesto que ∂f∂t es el vector tangente de la geodésica. De la simetría

de la conexión, el primer término de la suma es transformado en⟨D

∂t

∂f

∂s,∂f

∂t

⟩=

⟨D

∂s

∂f

∂t,∂f

∂t

⟩=

1

2

∂

∂s

⟨∂f

∂t,∂f

∂t

⟩= 0.

Se sigue que⟨∂f∂s ,

∂f∂t

⟩es independiente de t. Puesto que

lımt→0

∂f

∂s(t, 0) = lım

t→0(d expp)tvtwN = 0,

concluímos que⟨∂f∂s ,

∂f∂t

⟩(1, 0) = 0, lo cual junto con (3.4) prueba el lema. �

Es conveniente usar la siguiente terminología. Si expp es un difeomorfismo de una vecindad V del origen en TpM ,expp V = U es llamada una vecindad normal de p. Si Bε(0) es tal que Bε(0) ⊂ V , llamaremos a exppBε(0) = Bε(p)la bola normal (o bola geodésica) con centro en p y radio ε. Del lema de Gauss 3.4, la frontera de una bola normal esuna hipersuperficie (subvariedad de codimensión 1) en M ortogonal a las geodésicas que empieza en p; es denotadapor Sε(p) y llamada la (o esfera geodésica) en p. Las geodésicas en Bε(p) que comienzan en p son llamadas geodé-sicas radiales.

Mostraremos ahora que las geodésicas minimizan localmente la longitud de arco. De una manera más precisa,tenemos el siguiente hecho.

Proposición 3.4. Sea p ∈ M , U una vecindad normal de p y B ⊂ U una bola normal de centro p. Sea γ : [0, 1] → Bun segmento geodésico con γ(0) = p. Si c[0, 1]→M es cualquier curva diferenciable a trozos que une a γ(0) con γ(1),entonces L(γ) ≤ L(c) y si la igualdad se cumple, entonces γ([0, 1]) = c([0, 1]).

Demostración. Suponga inicialmente que c([0, 1]) ⊂ B. Puesto que expp es un difeomorfismo sobre U , la curvac(t), para t 6= 0, puede escribirse de manera única como expp(r(t) ·v(t)) = f(r(t =, t), donde t 7→ v(t) es una curva enTpM con ‖v(t)‖ = 1 y r : (0, 1]→ R es una función positiva diferenciable a trozos (podemos suponer que si t1 ∈ (0, 1]entonces c(t1) 6= p; en caso contrario, ignoraremos el intervalo [0, t1)). Se sigue que, excepto para un número finito depuntos,

dc

dt=∂f

∂rr′(t) +

∂f

∂t.

Del lema de Gauss,⟨∂f∂r ,

∂f∂t

⟩= 0. Puesto que

∥∥∥∂f∂r ∥∥∥ = 1,∥∥∥∥dcdt∥∥∥∥2 = |r′(t)|2 +

∥∥∥∥∂f∂t∥∥∥∥2 ≥ |r′(t)|2 (3.5)


y con esto ∫ 1

ε

∥∥∥∥dcdt∥∥∥∥ dt ≥ ∫ 1

ε

|r′(t)| dt ≥∫ 1

ε

r′(t) dt = r(1)− r(ε). (3.6)

Tomando ε→ 0, obtenemos L(c) ≥ L(γ), puesto que r(1) = L(γ).

Es claro que si la desigualdad (3.5) o la desigualdad (3.6) es estricta, entonces L(c) > L(γ). Si L(c) = L(γ),

entonces∥∥∥∂f∂t ∥∥∥ = 0; esto es, v(t) = α, α constante, y ‖r′(t)‖ = r′(t) > 0. Se sigue que c es una reparametrización

monótona de γ y c([0, 1]) = γ([0, 1]).

Si c([0, 1]) no está contenido en B, considere el primer punto t1 ∈ (0, 1) para el cual c(t1) pertenezca a la fronterade B. Si ρ es el radio de la bola geodésica, tenemos

L(c) ≥ L[0,t1](c) ≥ ρ ≥ L(γ).

�

Debe notarse que la proposición anterior no es global. Si consideramos un arco de geodésica suficientemente gran-de, podemos dejar de minimizar la longitud de arco después de un tiempo. Por ejemplo, las geodésicas sobre la esferaque empiezan en un punto p no se minimizarán después de que pasen la antípoda de p.

Por otro lado, si una curva diferenciable a trozos c es minimizada, tendríamos que probar que c es una geodésica.Para esto, necesitamos un refinamiento de la proposición 3.3, donde hemos probado la existencia de las vecindadesnormales. Mostraremos a continuación que para cada p ∈ M existe una vecindad W de p la cual es una vecindadnormal de cada q ∈W .

Teorema 3.2. Para cualquier p ∈ M existe una vecindad W de p y un número δ > 0 tales que, para todo q ∈ W , expqes un difeomorfismo sobre Bδ(0) ⊂ TqM y expq(Bδ(0)) ⊃W ; esto es, W es una vecindad normal de cada uno de suspuntos.

Demostración. Sea ε > 0, V y U como en la proposición 3.2. Definamos F : U →M×M por F (q, v) = (q, expq v).Recordemos que U ⊂ TU , donde U es el dominio de un sistema de coordenadas x en p, con V ⊂ x(U). Consideremos,alrededor de F (p, 0) = (p, p) ∈M ×M , el sistema de coordenadas (U × U, (x,x)). Entonces, la matriz de dF(p,0) es(

ı ı0 ı

),

puesto que (d expp)0 = ı, ı la identidad. Se sigue que F es un difeomorfismo local en una vecindad de (p, 0). Estosignifica que existe una vecindad U ′ ⊂ U de (p, 0) en TM tal que F mapea U ′ difeomorfamente en una vecindad W ′

de (p, p) en M ×M . Es posible escoger U ′ de la forma

U ′ = {(q, v) : q ∈ V ′, v ∈ TqM, ‖v‖ < δ},

donde V ′ ⊂ V es una vecindad de p en M . Ahora, escojamos una vecindad W ⊂ M de p tal que W ×W ⊂ W ′.Afirmamos que W y δ, así obtenidos, satisfacen la aseveración de la proposición.

De hacho, si q ∈W y Bδ(0) ⊂ TqM entonces, puesto que F es un difeomorfismo sobre U ′, obtenemos

F ({q} ×Bδ(0)) ⊃ {q} ×W.

De la definición de F , expq(Bδ(0)) ⊃W . �

De la proposición anterior y de la propiedad de minimización de las geodésicas, se sigue que, dados dos puntosq1, q2 ∈ W , existe una única geodésica minimizante γ de longitud L(γ) < δ que une a q1 con q2. La demostraciónmuestra, más aun, que γ depende diferenciablemente de (q1, q2) en el siguiente sentido: dado (q1, q2) existe un únicov ∈ Tq1M (dado por F−1(q1, q2) = (q1, v)) que depende diferenciablemente de (q1, q2) y es tal que γ′(0) = v.

Es convención llamar a W una vecindad totalmente normal de p ∈M .

3.4. Vecindades convexas 43

Corolario 3.1. Si una curva diferenciable a trozos γ : [a, b] → M , con parámetro proporcional a la longitud de arco,tiene una longitud menor o igual a la longitud de cualquier otra curva diferenciable a trozos que una a γ(a) con γ(b),entonces γ es una geodésica. En particular, γ es regular.

Demostración. Sea t ∈ [a, b] y seaW una vecindad totalmente normal de γ(t). Existe un intervalo cerrado I ⊂ [a, b]con interior no vacío, t ∈ I, tal que γ(I) ⊂ W ; la restricción γI : I → W es entonces una curva diferenciable a trozosque une dos puntos de una bola normal. De la hipótesis y de la proposición 3.4, L(γI) es igual a la longitud de unageodésica radial que une a estos dos puntos. De nuevo, de la proposición 3.4 y del hecho de que γI es parametrizadaproporcionalmente a la longitud de arco, γI es una geodésica sobre I y, por lo tanto, en t. �

Usando el corolario anterior, podemos determinar las geodésicas en el plano de Lobatchevski. Debe observarse, yes fácil verificar, que las isometrías de una variedad riemanniana toma geodésicas en geodésicas.

Ejemplo 3.3. Sea G el semiplano superior; esto es, G = {(x, y) ∈ R2 : y > 0} con la métrica riemannianag11 = g22 = 1

y2 , g12 = g21 = 0.

Vamos a demostrar que el segmento γ : [a, b] → G, con a > 0, del eje y, dado por γ(t) = (0, t) es la imagen deuna geodésica. En efecto, para cada arco c : [a, b] → G dado por c(t) = (x(t), y(t)) con c(a) = (0, a) y c(b) = (0, b),tenemos que

L(c) =

∫ b

a

∥∥∥∥dcdt∥∥∥∥ dt =

∫ b

a

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2dt

y≥∫ b

a

∣∣∣∣dydt∣∣∣∣ dty ≥

∫ b

a

dy

y= L(γ).

Se sigue que γ minimiza la longitud de arco para curvas diferenciables a trozos y, del corolario 3.1, que la imagen de γes una geodésica.

Es fácil el ver que las isometrías de G (véase el ejercicio 1.4),

z → az + b

cz + d, z = x+ iy, ad− bc = 1,

transforman el eje 0y en semicírculos (superiores) o rayos x = x0, y > 0. Estas curvas son, por lo tanto, geodésicasde G. De hecho, son todas las geodésicas de G, puesto que por todo p ∈ G y cualquier dirección en TpG pasa uno detales círculos con centro en el eje 0x (véase la figura 3.3; en el caso especial de que una dirección es normal a 0x, elcírculo se degenera en un rayo normal a 0x).


3.4. Vecindades convexas

Vimos en el teorema 3.2 que cualquier punto p ∈ M posee una vecindad totalmente normal; esto es, una vecindadW y un número δ > 0 tal que cualesquiera dos puntos q1, q2 ∈W pueden ser unidos por una geodésica minimizante de


longitud menor que δ. Sin embargo, tal geodésica puede no estar completamente en W . Decimos que un subconjuntoS ⊂ M es fuertemente convexo si para cualesquiera dos puntos q1, q2 en la cerradura S de S existe una únicageodésica minimizante γ que une a q1 con q2 cuyo interior está contenido en S. Ahora vamos a probar que el radio deuna bola totalmente normal puede ser elegido de tal manera que la bola es fuertemente convexa.

Lema 3.5. Para cualquier p ∈M existe un número c > 0 tal que cualquier geodésica en M que es tangente en q ∈Ma la esfera geodésica Sr(p) de radio r < c se queda afuera de la bola geodésica Br(p) para alguna vecindad de q.

Demostración. Sea W una vecindad totalmente normal de p. Usando el lema de homogeneidad, podemos supo-ner, restringiendo convenientemente el intervalo de definición, que toda las geodésicas de W tienen velocidad uno.Podemos, por lo tanto, restringirnos al haz tangente unidad T1W dado por

T1W = {(q, v) : q ∈W, v ∈ TqW, ‖v‖ = 1}.

Sea γ : I × T1W →M , I = (−ε, ε), el mapeo diferenciable tal que t→ γ(t, q, v) es la geodésica que en el instantet = 0 pasa a través de q con velocidad v, ‖v‖ = 1. Definamos u(t, q, v) = exp−1p (γ(t, q, v)) y

F : I × T1W → R, F (t, q, v) = ‖u(t, q, v)‖2.

F mide el cuadrado de la "distancia" de p a un punto que se mueve a lo largo de la geodésica γ (figura 3.4). Es claroque u y F son diferenciables y que

∂F

∂t= 2

⟨∂u

∂t, u

⟩,

∂2F

∂t2= 2

⟨∂2u

∂t2, u

⟩+ 2

∥∥∥∥∂u∂t∥∥∥∥2 .

Ahora, escojamos r > 0 tal queexppBr(0) = Br(p) ⊂W.

Si una geodésica γ es tangente a la esfera geodésica Sr(p) en el punto q = γ(0, q, v), entonces, por el lema de Gauss,⟨∂u

∂t(0, q, v), u(0, q, v)

⟩= 0;

esto es, ∂F∂t (0, q, v) = 0. Si demostramos que, para r suficientemente pequeño, el punto crítico (0, q, v) de F es un

punto mínimo estricto, habremos probado el lema.

Para esto es suficiente con observar que para q = p, tenemos que u(t, p, v) = tv y, por lo tanto,

∂2F

∂t2(0, p, v) = 2‖v‖2 = 2.

Se sigue que existe una vecindad V ⊂W de p tal que ∂2F∂t2 (0, q, v) > 0, para todo q ∈ V y para todo v ∈ TqM , ‖v‖ = 1.

Sea c > 0 tal queexppBc(0) ⊂ V.

De lo probado anteriormente, cualquier geodésica en Bc(p) que es tangente a la esfera geodésica de radio r < c enel punto γ(0, q, v) produce un mínimo estrictamente local para F en (0, q, v). Se sigue que, en una vecindad de q, lospuntos de γ quedan fuera de la bola Br(p). �

Proposición 3.5 (Vecindades convexas). Para cualquier p ∈ M existe un número β > 0 tal que la bola geodésicaBβ(p) es fuertemente convexa.

Demostración. Sea c el número dado en el lema 3.5. Escojamos δ > 0 y W del teorema 3.2 de tal manera queδ < c

2 . Tomemos β < δ tal que Bβ(p) ⊂ W . Debemos probar que Bβ(p) es fuertemente convexa. Sea q1, q2 ∈ Bβ(p)y sea γ la (única) geodésica de longitud L(γ) < 2δ < c que une a q1 con q2. Es claro que γ está contenida en Bc(p)(figura 3.5).

Si el interior de γ no está contenido en Bβ(p), entonces existe un punto m en el interior de γ donde la distanciamáxima r desde p a γ es alcanzada. Los puntos de γ en una vecindad de m permanecen en la cerradura de Br(p).Puesto que m ∈ Bc(p), esto contradice el lema 3.5 y prueba la proposición. �

Ejercicios 45

Figura 3.4: Lema3.5

Figura 3.5: Proposición 3.5

Ejercicios

3.1 (Geodésicas de una superficie de revolución). Denotemos por (u, v) las coordenadas cartesianas de R2. Muestreque la función ϕ : U ⊂ R2 → R3 dada por ϕ(u, v) = (f(v) cosu, f(v) senu, g(v)),

U = {(u, v) ∈ R2 : u0 < u < u1, v0 < v < v1},

donde f y g son funciones diferenciables, con f ′(v)2 + g′(v)2 6= 0 y f(v) 6= 0, es una inmersión. La imagen ϕ(U)es la superficie generada por la rotación de la curva (f(v), g(v)) alrededor del eje 0z y es llamada una superficie derevolución. Las imágenes bajo ϕ de las curvas u = α y v = β, con α, β constantes, son llamadas meridianos yparalelos, respectivamente, de S.

a) Muestre que la métrica inducida en las coordenadas (u, v) está dada por

g11 = f2, g12 = 0, g22 = (f ′)2 + (g′)2.

46 Ejercicios

b) Muestre que las ecuaciones locales de una geodésica γ son

d2u

dt2+

2ff ′

f2du

dt

dv

dt= 0,

d2u

dt2− ff ′

(f ′)2 + (g′)2

(du

dt

)2

+f ′f ′′ + g′g′′

(f ′)2 + (g′)2

(dv

dt

)2

= 0.

c) Obtenga el siguiente significado geométrico de las ecuaciones anteriores: la segunda ecuación es, excepto paralos meridianos y los paralelos, equivalente al hecho de que la "energía" ‖γ′(t)‖2 de una geodésica es constante alo largo de γ; la primera ecuación significa que si β(t) es el ángulo orientado, β(t) < π, de γ con un paralelo Pintersectando a γ en γ(t), entonces

r cosβ = constante,

donde r es el radio del paralelo P (la ecuación anterior es llamada la relación de Clairaut).

d) Use la relación de Clairaut para demostrar que una geodésica del paraboloide

f(v) = v, g(v) = v2, 0 < v <∞, −ε < u < 2π + ε,

la cual no es un meridiano, se interseca a sí misma un número infinito de veces (figura 3.6).

Figura 3.6: Geodésicas de un paraboloide

3.2. Es posible introducir una métrica riemanniana en el haz tangente TM de una variedad riemanniana M en lasiguiente manera. Sea (p, v) ∈ TM y V,W vectores tangentes en TM en (p, v). Escoja curvas en TM

α : t 7→ (p(t), v(t)), β : s 7→ (q(s), w(s)),

con p(0) = q(0) = p, v(0) = w(0) = v y V = α′(0), W = β′(0). Definamos un producto interno sobre TM por

〈V,W 〉(p,v) = 〈dπ(V ), dπ(W )〉p +

⟨Dv

dt(0),

Dw

ds(0)

⟩p

,

donde dπ es la diferencial de π : TM →M .

a) Pruebe que este producto interno está bien definido e introduzca una métrica riemanniana sobre TM .

Ejercicios 47

b) Un vector en (p, v) ∈ TM que es ortogonal (con la métrica anterior) a la fibra π−1(p) ≈ TpM es llamado un vectorhorizontal. Una curva

t 7→ (p(t), v(t))

en TM es horizontal si su vector tangente es horizontal para todo t. Pruebe que la curva

t 7→ (p(t), v(t))

es horizontal si y sólo si el campo vectorial v(t) es paralelo a lo largo de p(t) en M .

c) Pruebe que el campo geodésico es un campo vectorial horizontal (i.e., que es horizontal en todo punto).

d) Pruebe que las trayectoria de un campo geodésico son geodésicas sobre TM en la métrica anterior. Sugerencia:Sea α(t) = (α(t), v(t)) una curva en TM . Muestre que L(α) ≥ L(α) y que la desigualdad se verifica si v es paraleloa lo largo de α. Considere una trayectoria del flujo geodésico que pasa a través de (p, v) el cual es localmente de laforma γ(t) = (γ(t), γ′(t)), donde γ(t) es una geodésica sobre M . Escoja vecindades convexas W ⊂ TM de (p, v)y V ⊂ M de p tales que π(W ) = V . Tome dos puntos Q1 = (q1, v1), Q2 = (q2, v2) en γ ∩W . Si γ no es unageodésica, existe una curva α en W que pasa a través de Q1 y Q2 tal que L(α) < L(γ) = L(γ). Sea α = π(α);puesto que L(α) ≤ L(α), esto contradice el hecho de que γ es una geodésica.

e) Un vector en (p, v) ∈ TM es llamado vertical si es tangente a la fibra π−1(p) ≈ TpM . Muestre que 〈W,W 〉(p,v) =〈dπ(W ), dπ(W )〉p si W es horizontal y 〈W,W 〉(p,v) = 〈W,W 〉p si W es vertical, donde estamos identificando alespacio tangente a la fibra con TpM .

3.3. Sea G un grupo de Lie, g su álgebra de Lie y sea X ∈ g (véase el ejemplo 1.3). Las trayectorias de X determinanun mapeo ϕ : (−ε, ε)→ G con ϕ(0) = e, ϕ′(t) = X(ϕ(t)).

a) Pruebe que ϕ(t) está definido para todo t ∈ R y que ϕ(t+s) = ϕ(t) ·ϕ(s)2. Sugerencia: Sea ϕ(t0) = y, t0 ∈ (−ε, ε).Muestre que, de la izquierda-invarianza, t 7→ y−1ϕ(t), t ∈ (−ε, ε), es también una curva integral de X que pasaa través de e para t = t0. Por unicidad, ϕ(t0)−1ϕ(t) = ϕ(t − t0), por lo que ϕ puede ser extendida desde t0 a unintervalo de radio ε. Esto muestra que ϕ(t) está definida para todo t ∈ R. En adición, ϕ(t0)−1 = ϕ(−t0) y, puestoque t0 es arbitrario, obtenemos que ϕ(t+ s) = ϕ(t) · ϕ(s).

b) Pruebe que si G tiene una métrica bi-invariante 〈, 〉, entonces las geodésicas de G que comienzan en e son subgru-pos monoparamétricos de G. Sugerencia: Use la relación (véase la ecuación (2.10))

2〈X,∇ZY 〉 = Z〈X,Y 〉+ Y 〈X,Z〉 −X〈Y,Z〉+ 〈Z, [X,Y ]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈X, [Y,Z]〉

y el hecho de que la métrica es izquierda-invariante para probar que 〈X,∇Y Y 〉 = 〈Y, [X,Y ]〉, donde X,Y, Z soncampos izquierda-invariantes. Use también el hecho de que la bi-invarianza de 〈, 〉 implica que

〈[U,X], V 〉 = −〈U, [V,X]〉, X, U, V ∈ g.

Se sigue que ∇Y Y = 0 para todo Y ∈ g, Entonces los subgrupos monoparamétricos son geodésicas. Por unicidad,las geodésicas son subgrupos monoparamétricos.

3.4. Un subconjunto A de una variedad diferenciable M es contractible a un punto a ∈ A cuando el mapeo ıA (laidentidad en A) y ka : x ∈ A 7→ a ∈ A son homotópicos (con punto base a). A es contractible si es contractible concada uno de sus puntos.

a) Muestre que una vecindad convexa en una variedad riemanniana M es un subconjunto contractible (con respeco acualquiera de sus puntos).

b) Sea M una variedad diferenciable. Muestre que existe una cubierta {Uα} de M con las siguientes propiedades:

I) Uα es abierto y contractible, para cada α.

II) Si Uα1 , . . . , Uαr son elementos de la cubierta, entonces⋂ri=1 Uαi es contractible.

2El mapeo ϕ : R→ G es entonces llamado un subgrupo monoparamétrico de G.

48 Ejercicios

3.5. Sea M una variedad riemanniana y X ∈ X (M). Sea p ∈ M y sea U ⊂ M una vecindad de p. Sea ϕ : (−ε, ε) ×U → M un mapeo diferenciable tal que para cualquier q ∈ U la curva t 7→ ϕ(t, q) es una trayectoria de X que pasa através de q en t = 0 (U y ϕ están dadas por el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias; véase elteorema 3.1). X es llamado un campo de Killing (o una isometría infinitesimal) si, para cada t0 ∈ (−ε, ε), el mapeoϕ(t0, ·) : U ⊂M →M es una isometría. Pruebe que:

a) Un campo vectorial v sobre Rn puede ser visto como un mapeo v : Rn → Rn; decimos que el campo es lineal si ves un mapeo lineal. Un campo lineal sobre Rn, definido por una matriz A, es un campo de Killing si y sólo si A esantisimétrico.

b) Sea X un campo de Killing sobre M , p ∈ M , y sea U una vecindad normal de p sobre M . Suponga que p es unúnico punto de U que satisface X(p) = 0. Entonces, en U , X es tangente a las esferas geodésicas centradas en p.

c) Sea X un campo vectorial diferenciable sobre M y sea f : M → N una isometría. Sea Y un campo vectorial sobreN definido por Y (f(p)) = dfp(X(p)), p ∈M . Entonces Y es un campo de Killing si y sólo si X es también un campovectorial de Killing.

d) X es Killing si y sólo sí 〈∇YX,Z〉 + 〈∇ZX,Y 〉 = 0 para todo Y, Z ∈ X (M) (la ecuación anterior es llamada laecuación de Killing). Sugerencia para la necesidad : Por continuidad, es suficiente con probar la ecuación anteriorpara puntos q ∈ U donde X(q) 6= 0. Si este es el caso, sea S ⊂ U una subvariedad de U , que pasa a través de q,normal a X(q) 6= 0 en q, con dimS = dimM − 1. Sean (x1, . . . , xn−1) coordenadas de una vecindad V ⊂ S deq tales que (x1, . . . , xn−1, t) son coordenadas de una vecindad V × (−ε, ε) ⊂ U y X = ∂

∂t . Haciendo Xi = ∂∂xi

,obtenemos

〈∇XjX,Xi〉+ 〈∇XiX,Xj〉 = X〈Xi, Xj〉 − 〈[X,Xi], Xj〉 − 〈[X,Xj ], Xi〉 =∂

∂t〈Xi, Xj〉 = 0,

donde en la última igualdad se usó el hecho de que X es un campo de Killing.

e) SeaX un campo de Killing sobreM conX(q) 6= 0, q ∈M . Entonces, existe un sistema de coordenadas (x1, . . . , xn)en una vecindad de q, por lo que los coeficientes gij de la métrica en este sistema coordenado no dependen de xn.

3.6. Sea X un campo de Killing sobre una variedad riemanniana conexa M . Suponga que existe un punto q ∈ Mtal que X(q) = 0 y ∇YX(q) = 0, para todo T (q) ∈ TqM . Pruebe que X ≡ 0. Sugerencia: Muestre que, paratodo t, la isometría local ϕ(t, ·) : U ⊂ M → M generada por el campo X deja fijo al punto q y su diferencial en q,como un mapeo lineal de TqM , es la identidad. Para esto, observe que dϕt : TqM → TqM para todo t. En adición,[X,Y ](q) = (∇XY −∇YX)(q) = 0, por hipótesis. Puesto que

0 = [Y,X](q) = lımt→0

1

t[dϕt − ı](Y ) =

d

dt(dϕt)

∣∣∣∣t=0

y dϕs+t = dϕs · dϕt, concluímos que dϕt no depende de t, y es igual a ı. Ahora, use el mapeo exponencial parademostrar que tal isometría es la identidad en M .

3.7 (Marco geodésico). Sea M una variedad riemanniana de dimensión n y sea p ∈ M . Muestre que existe unavecindad U ⊂ M de p y n campos vectoriales E1, . . . , En ∈ X (U), ortonormales en cada punto de U , tales que, en p,∇EiEj(p) = 0. Tal familia {Ei}ni=1 de campos vectoriales es llamado un marco geodésico (local) en p.

3.8. Sea M una variedad riemanniana. Sea X ∈ X (M) y f ∈ D(M). Defina la divergencia de X como una funcióndivX : M → R dada por divX(p) como la traza del mapeo lineal Y (p)→ ∇YX(p), p ∈M , y el gradiente de f comoun campo vectorial grad f sobre M definido por

〈grad f(p), v〉 = dfp(v), p ∈M v ∈ TpM.

a) Sea {Ei}ni=1, n = dimM , un marco geodésico en p ∈M . Muestre que

grad f(p) =

n∑i=1

(Ei(f))Ei(p), divX(p) =

n∑i=1

Ei(fi)(p), donde X =∑i

fiEi.

Ejercicios 49

b) Suponga que M = Rn, con coordenadas (x1, . . . , xn) y ∂∂xi

= (0, . . . , 1, . . . , 0) = ei. Muestre que

grad f =

n∑i=1

∂f

∂xiei, divX =

n∑i=1

∂fi∂xi

, donde X =∑i

fiei.

3.9. Sea M una variedad riemanniana. Defina un operador ∆ : D(M)→ D(M) (el laplaciano de M ) por

∆f = div grad f, f ∈ D(M).

a) Sea Ei un marco geodésico en p ∈M , ≤ i ≤ n = dimM . Pruebe que

∆f(p) =∑i

Ei(Ei(f))(p).

Concluya que si M = Rn, ∆ coincide con el laplaciano usual: ∆f =∑i∂2f∂x2i.

b) Muestre que∆(f · g) = f∆g + g∆f + 2〈grad f, grad g〉.

3.10. Sea f : [0, 1] × [0, a] → M una superficie parametrizada tal que para todo t0 ∈ [0, a], la curva s 7→ f(s, t0),s ∈ [0, 1], es una geodésica parametrizada por longitud de arco, la cual es ortogonal a la curva f 7→ f(0, t), t ∈ [0, a],en el punto f(0, t0). Pruebe que, para todo (s0, t0) ∈ [0, 1]× [0, a], las curvas s 7→ f(s, t0), t 7→ f(s0, t) son ortogonales.

Sugerencia: Diferencíe⟨∂f∂s ,

∂f∂t

⟩con respecto a s, obteniendo

d

ds

⟨∂f

∂s,∂f

∂t

⟩=

⟨D

ds

∂f

∂s,∂f

∂t

⟩+

⟨∂f

∂s,D

∂t

∂f

∂s

⟩=

1

2

d

dt

⟨∂f

∂s,∂f

∂s

⟩= 0,

donde hemos usado la simetría de la conexión y el hecho de que Dds

∂∂s = 0.

3.11. Sea M una variedad riemanniana orientada. Sea ω una forma diferencial de grado n = dimM definida en lasiguiente manera:

ω(v1, . . . , vn)(p) = ±√

det(〈vi, vj〉) = volumen orientado de {v1, . . . , vn}, p ∈M,

donde v1, . . . , vn ∈ TpM son linealmente independientes y el volumen orientado es afectado por el signo + o −dependiendo de si la base {v1, . . . , vn} pertenece o no a la orientación de M ; ω es llamado el elemento de volumende M . Para un campo vectorial X ∈ X (M), defina el producto interior ι(X)ω de X con ω como la (n− 1)-forma

ι(X)ω(Y2, . . . , Yn) = ω(X,Y2, . . . , Yn), Yj ∈ X (M), 2 ≤ j ≤ n.

Pruebe qued(ι(X)ω) = divXω.

Sugerencia: Sea p ∈M y sea Ei un marco geodésico en p. Escriba X como una suma, X =∑i fiEi y sean ωi formas

diferenciales de grado uno definidas sobre una vecindad de p por ωi(Ej) = δij . Muestre que ωi ∧ · · · ∧ωn es una formade volumen ω sobre M . Enseguida, haga θi = ω1 ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωn, donde ωi significa que el factor ωi no estápresente. Pruebe que ι(X)ω =

∑i(−1)i+1fiθi. Entonces se sigue que

d(ι(X)ω) =∑i

(−1)i+1dfi ∧ θi +∑i

(−1)i+1fi ∧ dθi =

(∑i

Ei(fi)

)ω +

∑i

(−1)i+1fi ∧ dθi.

Pero dθi = 0 en p, puesto que

dωk(Ei, Ej) = Eiωk(Ej)− Ejωk(Ei)− ωk([Ei, Ej ]) = ωk(∇EiEj −∇EjEi).

50 Ejercicios

Por lo tanto,

d(ι(X)ω)(p) =

(∑i

Ei(fi)(p)

)ω = divX(p)ω

y puesto que p es arbitrario, esto completa la prueba.

El resultado obtenido implica que la noción de divergencia de X tiene sentido sobre una variedad diferenciableorientada sobre la cual un "elemento de volumen" ha sido elegido; esto es, una n-forma ω la cual toma valores positivossobre bases positivas.

3.12 (Teorema de Hopf). Sea M una variedad riemanniana compacta orientable la cual también es conexa. Sea funa función diferenciable sobre M con ∆f ≥ 0. Entonces, f = constante. En particular, las funciones armónicas sobreM , esto es, aquellas para las cuales ∆f = 0, son constantes. Sugerencia: Tome grad f = X. Usando el teorema deStokes y el resultado del ejercicio anterior, obtenemos∫

M

∆fω =

∫M

divXω =

∫M

d(ι(X)ω) =

∫∂M

ι(X)ω = 0.

Puesto que ∆f ≥ 0, tenemos ∆f = 0. Usando otra vez el teorema de Stokes sobre f2/2, y el resultado del ejercicio3.9, obtenemos

0 =

∫M

∆(f2/2)ω =

∫M

f∆fω +

∫M

‖grad f‖2ω =

∫M

‖grad f‖2ω,

la cual, junto con la compacidad de M implica que f = constante.

3.13. Sea M una variedad riemanniana y X ∈ X (M). Sea p ∈ M tal que X(p) 6= 0. Escoja un sistema coordenado(t, x2, . . . , xn) en una vecindad U de p tal que ∂

∂t = X. Muestre que si ω = g dt ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn es un elemento devolumen de M , entonces

ι(X)ω = g dx2 ∧ · · · ∧ dxn.De esto concluya que, usando el resultado del ejercicio 3.11, que

divX =1

g

∂g

∂t.

Esto prueba que divX intuitivamente mide el grado de variación del elemento de volumen de M a lo largo de lastrayectorias de X.

3.14 (Teorema de Liouville). Pruebe que si G es el campo geodésico sobre TM , entonces divG = 0. Concluya deesto que el flujo geodésico preserva el volumen de TM . Sugerencia: Sea p ∈ M y considere un sistema (u1, . . . , un)de coordenadas normales en p. Tales coordenadas están definidas en una vecindad normal U de p al considerar unabase ortonormal {ei} de TpM y tomando (u1, . . . , un), q = expp (

∑i uiei), 1 ≤ i ≤ n, como coordenadas de q. En

tal sistema coordenado Γkij(p) = 0, puesto que las geodésicas que pasan a través de p están dadas por ecuacioneslineales. Por lo tanto, si X =

∑i xi

∂∂ui

, entonces divX(p) =∑i∂xi∂ui

.

Ahora, sean (ui) coordenadas normales en una vecindad U ⊂M alrededor de p ∈M y sea (ui, vj), v =∑j vj

∂∂uj

,1 ≤ i, j ≤ n, coordenadas sobre TM . Calcule el elemento de volumen de la métrica natural de TM en (q, v), q ∈ U ,v ∈ TqM , y muestre que es el elemento de volumen de la métrica producto sobre U × U en el punto (q, q) (véaseejercicio 3.2). Puesto que la divergencia de G depende sólo del elemento de volumen (véase ejercicio 3.11), y como Ges horizontal, podemos calcular divG en la métrica producto. Observe que en las coordenadas (ui, vj) tenemos

G(ui) = vi, G(vk) = −∑i,j

Γkijvivj , 1 ≤ i, j, k ≤ n.

Puesto que los símbolos de Christoffel de la métrica producto sobre U × U se anulan en (p, p), obtenemos finalmente,en p,

divG =∑i

∂vi∂ui−∑k

∂

∂vk

∑i,j

Γkijvivj

= 0.

CAPÍTULO 4

Curvatura

4.1. Introducción

La noción de curvatura en una variedad riemanniana fue introducido por Riemann (véase [?]) en una manera másgeométrica, la cual vamos ahora a describir. Sea p un punto de una variedad riemanniana M y sea σ ⊂ TpM un subes-pacio 2-dimensional del espacio tangente TpM de M en p. Considere el conjunto de las geodésicas que empiezan enp y que son tangentes a σ. Los segmentos de tales geodésicas en una vecindad normal U ⊂ M de p determina unasubvariedad de dimensión dos S ⊂ M (con nuestra notación, S es la imagen de expp restringida a σ ∩ exp−1p (U)). Stiene una métrica inducida por la inclusión. Puesto que Gauss había probado que la curvatura de una superficie puedeser expresada en términos de la métrica, Riemann pudo hablar de la curvatura de S en p e indicarla por K(p, σ) (hoyen día, K(p, σ) es llamada la curvatura seccional de M en p con respecto a σ). Esta curvatura fue considerada por Rie-mann en [?]. Esta es una generalización natural de la curvatura gaussiana para superficies y es claro que si M = Rn,entonces K(p, σ) = 0 para todo p y para todo σ. Riemann no indicó una manera para calcular la curvatura seccionalempezando con la métrica de M ; esto fue hecho unos años más tarde por Christoffel (véase [?], así como tambiénla ecuación (??) en este capítulo). De hecho, todo el trabajo de Riemann contiene sólo una fórmula: una expresiónpara la métrica para la cual K(p, σ) es constante, para todo p y para todo σ, e incluso esta fórmula fue presentada sindemostración. (La fórmula de Riemann será presentada en el ejercicio ??.)

Como frecuentemente sucede en matemáticas, una formulación "trabajable" del concepto de curvatura requirió deun largo tiempo para su desarrollo. Cuando tal formulación finalmente apareció, tenía la ventaja de que era fácil de usarpara probar teoremas pero tenía la desventaja de haberse alejado tanto de su concepto intuitivo inicial que parecía queera una creación arbitraria.

Este capítulo presenta una definición de curvatura que, intuitivamente, mide la cantidad que una variedad rieman-niana se desvía de ser euclideana (véase la definición 4.1). En el capítulo ?? vamos a demostrar que la noción decurvatura seccional (véase la definición 4.2) obtenida al empezar con esta definición de curvatura generaliza la nociónde curvatura gaussiana para superficies y coincide con el concepto introducido por Riemann.

4.2. Curvatura

Definición 4.1. La curvatura R de una variedad riemanniana M es una correspondencia que asocia a cada parX,Y ∈ X (M) un mapeo R(X,Y ) : X (M)→ X (M) dado por

R(X, )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z, Z ∈ X (M),

donde ∇ es la conexión riemanniana de M .

Obsérvese que si M = Rn, entoncex R(X,Y )Z = 0 para todo X,Y, Z ∈ X (Rn). De hecho, si el campo vectorial Zestá dado por (z1, . . . , zn), con las componentes de Z viniendo de las coordenadas naturales de Rn, obtenemos

∇XZ = (Xz1, . . . , Xzn),

por lo que∇Y∇XZ = (Y Xz1, . . . , Y Xzn),

lo cual implica queR(X,Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z = 0,

51

52 Curvatura

como habíamos establecido. Estamos en condiciones, por lo tanto, de pensar a R como una manera de medir qué tantose desvía M de ser euclideana.

Otra manera de ver la definición 4.1 es considerar un sistema de coordenadas {xi} alrededor de p ∈ M . Puesto

que[∂∂xi

, ∂∂xj

]= 0, obtenemos

R

(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xk=

(∇ ∂

∂xj

∇ ∂∂xi

−∇ ∂∂xi

∇ ∂∂xj

)∂

∂xk;

esto es, la curvatura mide la no conmutatividad de la derivada covariante.

Estas interpretaciones son, sin embargo, más o menos informales. En este capítulo sugeriremos al lector que obten-ga las propiedades formales de la curvatura, posponiendo hasta el capítulo ?? la demostración de una interpretaciónmás geométrica de la curvatura. Hagamos notar también que una definición que se encuentra frecuentemente en laliteratura difiere de nuestra definición 4.1 por un signo.

Proposición 4.1. La curvatura R de una variedad riemanniana tiene las siguientes propiedades:

I) R es bilineal en X (M)×X (M); esto es,

R(fX1 + gX2, Y1) = fR(X1, Y1) + gR(X2, Y1)

R(X1, fY1 + gY2) = fR(X1, Y1) + gR(X1, Y2)

para f, g ∈ D(M), X1, X2, Y1, Y2 ∈ X (M).

II) Para cualesquiera X,Y ∈ X (M), el operador de curvatura R(X,Y ) : X (M)→ X (M) es lineal; esto es,

R(X,Y )(Z +W ) = R(X,Y )Z +R(X,Y )W

R(X,Y )fZ = fR(X,Y )Z

para f ∈ D(M), Z,W ∈ X (M).

Demostración. Vamos a verificar sólo (II), dejando (I) como un ejercicio al lector. La primera parte de (II) es obvia.Para la segunda, tenemos

∇Y∇X(fZ) = ∇Y (f∇XZ + (Xf)Z) = f∇Y∇XZ + (Y f)∇XZ + (Xf)(∇Y Z) + (Y (Xf))Z.

Por lo tanto,∇Y∇X(fZ)−∇X∇Y (fZ) = f(∇Y∇X −∇X∇Y )Z + ((Y X −XY )f)Z,

con lo que

R(X,Y )fZ = f∇Y∇XZ − f∇X∇Y Z + ([Y,X]f)Z + f∇[X,Y ]Z + ([X,Y ]f)Z = fR(X,Y )Z.

�

Un análisis de la demostración anterior muestra que la necesidad de que aparezca el término ∇[X,Y ]Z en la de-finición de curvatura está conectada con el hecho de que queremos que el mapeo R(X,Y ) : X (M) → X (M) sealineal.

Proposición 4.2 (Identidad de Bianchi).

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = 0 (4.1)

4.2. Curvatura 53

Demostración. De la simetría de la conexión riemanniana, tenemos

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z +∇Z∇YX −∇Y∇ZX +∇[Y,Z]X

+∇X∇ZY −∇Z∇XY +∇[Z,X]Y

= ∇Y [X,Z] +∇Z [Y,X] +∇X [Z, Y ]−∇[X,Z]Y −∇[Y,X]Z −∇[Z,Y ]X

= [Y, [X,Z]] + [Z, [Y,X]] + [X, [Z, Y ]] = 0,

donde la última igualdad se sigue de la identidad de Jacobi (c) para campos vectoriales. �

De ahora en adelante, escribiremos 〈R(X,Y )Z, T 〉 = (X,Y, Z, T ).

Proposición 4.3. Se cumple lo siguiente:

(a) (X,Y, Z, T ) + (Y, Z, T,X) + (Z, T,X, Y ) = 0.

(b) (X,Y, Z, T ) = −(Y,X,Z, T ).

(c) (X,Y, Z, T ) = −(X,Y, T, Z).

(d) (X,Y, Z, T ) = (Z, T,X, Y ).

Demostración.

(a) Es sólo la identidad de Bianchi (4.1) de nuevo.

(b) Se sigue directamente de la definición 4.1.

(c) Es equivalente a (X,Y, Z, Z) = 0, cuya prueba se da a continuación:

(X,Y, Z, Z) = 〈∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z,Z〉.

Pero〈∇Y∇XZ,Z〉 = Y 〈∇XZ,Z〉 − 〈∇XZ,∇Y Z〉,

y

〈∇[X,Y ]Z,Z〉 =1

2[X,Y ]〈Z,Z〉.

Así,

(X,Y, Z, Z) = Y 〈∇XZ,Z〉 −X〈∇Y Z,Z〉+1

2[X,Y ]〈Z,Z〉

=1

2Y (X〈Z,Z〉)− 1

2X(Y 〈Z,Z〉) +

1

2[X,Y ]〈Z,Z〉

= −1

2[X,Y ]〈Z,Z〉+

1

2[X,Y ]〈Z,Z〉 = 0,

lo cual prueba esta propiedad.

(d) Para probar esta propiedad, usaremos la primera y escribamos:

(X,Y, Z, T ) + (Y, Z,X, T ) + (Z,X, Y, T ) = 0

(Y, Z, T,X) + (Z, T, Y,X) + (T, Y, Z,X) = 0

(Z, T,X, Y ) + (T,X,Z, Y ) + (X,Z, T, Y ) = 0

(T,X, Y, Z) + (X,Y, T, Z) + (Y, T,X,Z) = 0.

Sumando las ecuaciones anteriores, obtenemos

2(Z,X, Y, T ) + 2(T, Y, Z,X) = 0

y, por lo tanto,(Z,X, Y, T ) = (Y, T, Z,X).

54 Curvatura

�

Es conveniente expresar lo que obtuvimos anteriormente en un sistema coordenado (U,x) basado en el puntop ∈M . Indiquemos, como es usual, Xi = ∂

∂xi. Hagamos

R(Xi, Xj)Xk =∑l

RlijkXl.

Entonces Rlijk son las componentes de la curvatura R en (U,x). Si

X =∑i

uiXi, Y =∑j

vjXj , Z =∑k

wkXk,

obtenemos, por linealidad de R,R(X,Y )Z =

∑i,j,k,l

RlijkuivjwkXl. (4.2)

Para expresar Rlijk en términos de los coeficientes Γkij de la conexión riemanniana, escribimos

R(Xi, Xj)Xk = ∇Xj∇XiXk −∇Xi∇XjXk = ∇Xj

(∑l

ΓlikXl

)−∇Xi

(∑l

ΓljkXl

),

el cual por un cálculo directo nos conduce a

Rsijk =∑l

ΓlikΓsjl −∑l

ΓljkΓsil +∂

∂xjΓsik −

∂

∂xiΓsjk. (4.3)

Haciendo〈R(Xi, Xj)Xk, Xs〉 =

∑l

Rlijkgls = Rijks,

podemos escribir las identidades de la proposición 4.3 como:

(a) Rijks +Rjkis +Rkijs = 0.

(b) Rijks = −Rjiks.

(c) Rijks = −Rijsk.

(d) Rijks = Rksij .

La ecuación (4.2), la cual depende de la linealidad del operador R, muestra que el valor de R(X,Y )Z en el puntop depende únicamente de los valores de X,Y, Z en p y de los valores de las funciones Rlijk en p. Obsérvese queesto contrasta con el comportamiento de la derivada covariante, ya que ésta no es lineal en todos sus argumentos. Engeneral, entidades como la curvatura, que son lineales, son llamados tensores sobre M (más detalles serán dados enla sección 4.4).

4.3. Curvatura seccional

Íntimamente relacionado con el operador de curvatura es la curvatura seccional (o riemanniana), la cual vamos aho-ra a definir.

En lo que sigue es conveniente usar la siguiente notación. Dado un espacio vectorial V , denotamos por ‖x ∧ y‖ laexpresión

‖x ∧ y‖ =√‖x‖2‖y‖2 − 〈x, y〉2,

la cual representa el área de un paralelogramo 2-dimensional determinado por el par de vectores x, y ∈ V .

4.3. Curvatura seccional 55

Proposición 4.4. Sea σ ∈ TpM un subespacio 2-dimensional del espacio tangente TpM , y sean x, y ∈ σ dos vectoreslinealmente independientes. Entonces

K(x, y) =(x, y, x, y)

‖x ∧ y‖2

no depende de la elección de los vectores x, y ∈ σ.

Demostración. Para evitar el cálculo, observemos que podemos pasar de la base {x, y} de σ a la base {x′, y′}mediante la iteración de las siguientes transformaciones elementales:

(a) {x, y} 7→ {y, x},

(b) {x, y} 7→ {λx, y},

(c) {x, y} 7→ {x+ λy, y}.

Es fácil ver que K(x, y) es invariante bajo tales transformaciones y esto completa la demostración. �

Definición 4.2. Dado un punto p ∈ M y un subespacio 2-dimensional σ ⊂ TpM , el número real K(x, y) = K(σ),donde {x, y} es cualquier base de σ, es llamado la curvatura seccional de σ en p.

A pesar de que el hecho de que la curvatura seccional tiene interpretaciones geométricas interesantes, su impor-tancia viene del hecho de que conocimiento de K(σ), para todo σ, determina a la curvatura R completamente. Este esun argumento puramente algebraico:

Lema 4.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión n ≥ 2, dotado de un producto interno 〈, 〉. SeanR : V ×V ×V → Vy R′ : V × V × V → V dos mapeos trilineales tales que las condiciones de la proposición 4.3 son satisfechas por

(x, y, z, t) = 〈R(x, y)z, t〉. (x, y, z, t)′ = 〈R′(x, y)z, t〉.

Si x, y son dos vectores linealmente independientes, podemos escribir

K(σ) =(x, y, x, y)

‖x ∧ y‖2, K ′(σ) =

(x, y, x, y)′

‖x ∧ y‖2,

donde σ es el espacio bidimensional generado por x y y. Si para todo σ ⊂ V , K(σ) = K ′(σ), entonces R = R′.

Demostración. Es suficiente con probar que (x, y, z, t) = (x, y, z, t)′ para todo x, y, z, t ∈ V . Obsérvese primeroque, por hipótesis, tenemos (x, y, x, y, ) = (x, y, x, y)′, para todo x, y ∈ V . Entonces

(x+ z, y, x+ z, y) = (x+ z, y, x+ z, y)′;

en consecuencia,

(x, y, x, y) + 2(x, y, z, y) + (z, y, z, y) = (x, y, x, y)′ + 2(x, y, z, y)′ + (z, y, z, y)′

y, por lo tanto(x, y, z, y) = (x, y, z, y)′,

para todo x, y, z ∈ V .

Usando lo que acabamos de demostrar, obtenemos

(x, y + t, z, y + t) = (x, y + t, z, y + t)′,

por lo que(x, y, z, t) + (x, t, z, y) = (x, y, z, t)′ + (x, t, z, y)′,

lo cual puede escribirse como(x, y, z, t)− (x, y, z, t)′ = (y, z, x, t)− (y, z, x, t)′.

56 Curvatura

Se sigue que la expresión (x, y, z, t) − (x, y, z, t)′ es invariante por permutaciones cíclicas de los primeros treselementos. Por lo tanto, por la proposición 4.3, tenemos

3[(x, y, z, t)− (x, y, z, t)′] = 0.

implicando(x, y, z, t) = (x, y, z, t)′

para todo x, y, z, t ∈ V . �

Las variedades riemannianas que tienen curvatura seccional constante juegan un papel fundamental en el desarrollode la geometría geometría. Trataremos estas variedades en mayor detalle en el capítulo ?? de este libro. Por el momento,sólo deseamos mostrar cómo el lema anterior nos permite obtener una caracterización de tales variedades a través delas componentes Rijkl de la curvatura en una base ortonormal. Esto se sigue del lema siguiente.

Lema 4.2. Sea M una variedad riemanniana y p un punto de M . Defina un mapeo trilineal R′ : TpM ×TpM ×TpM →TpM por

〈R′(X,Y,W ), Z〉 = 〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈Y,W 〉〈X,Z〉,

para todo X,Y,W,Z ∈ TpM . Entonces M tiene curvatura seccional constante igual a K0 si y sólo si R = K0R′, donde

R es la curvatura de M .

Demostración. Supóngase que K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ TpM y fijemos 〈R′(X,Y,W ), Z〉 = (X,Y,W,Z)′.Obsérvese que R′ satisface la proposición 4.3. Puesto que

(X,Y,X, Y )′ = 〈X,X〉〈Y, Y 〉 − 〈X,Y, 〉2,

tenemos que, para todo par de vectores X,Y ∈ TpM ,

R(X,Y,X, Y ) = K0(‖X‖2‖Y ‖2 − 〈X,Y 〉2) = K0R′(X,Y,X, Y ).

El lema 4.1 implica que, para todo X,Y,W,Z,

R(X,Y,W,Z) = K0R′(X,Y,W,Z),

lo que implica que R = K0R′. La suficiencia es inmediata. �

Corolario 4.1. Sea M una variedad riemanniana, p un punto de M y {e1, . . . , en}, n = dimM , una base ortonormalde TpM . Definamos Rijkl = 〈R(ei, ej)ek, el〉, 1 ≤ i, j, k, l ≤ n. Entonces K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ TpM , si y sólo si

Rijkl = K0(δikδjl − δilδjk),

donde

δij =

{1, si i = j

0, si i 6= j.

En otras palabras, K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ TpM si y sólo si Rijij = −Rijji = K0 para todo i 6= j, y Rijkl = 0 enlos otros casos.

4.4. Curvatura de Ricci y curvatura escalar

Ciertas combinaciones de la curvatura seccional aparecen con cierta frecuencia que ameritan nombres especiales.

Sea x = zn un vector unitario en TpM ; tomemos una base ortonormal {z1, z2, . . . , zn−1} del hiperplano en TpMortogonal a x y consideremos los siguientes promedios:

Ricp(x) =1

n− 1

∑i

〈R(x, zi)x, zi〉, 1 ≤ i ≤ n− 1,

4.4. Curvatura de Ricci y curvatura escalar 57

K(p) =1

n

∑j

Ricp(zj) =1

n(n− 1)

∑i,j

〈R(zi, zj)zi, zj〉, 1 ≤ i ≤ n− 1.

Vamos a probar que la expresión anterior no depende de la elección de la base ortonormal correspondiente; estasexpresiones son llamadas la curvatura de Ricci en la dirección x y la curvatura escalar en p, respectivamente.

Para probar estos hechos, daremos una caracterización intrínseca de las expresiones anteriores. Primero, definamosuna forma bilineal sobre TpM como sigue: sea x, y ∈ TpM y hagamos

Q(x, y) = traza del mapeo z 7→ R(x, z)y.

Q es obviamente bilineal. Escogiendo a x como vector unitario y después completándolo a una base ortonormal{z1, . . . , zn−1, zn = x} de TpM , tenemos

Q(x, y) =∑i

〈R(x, zi)y, zi〉 =∑i

〈R(y, zi)x, zi〉 = Q(y, x),

esto es, Q es simétrica y Q(x, x) = (n− 1) Ricp(x); esto prueba que Ricp(x) está intrínsecamente definida.

Por otro lado, la forma bilineal Q sobre TpM corresponde a un mapeo lineal autoadjunto K, dado por

〈K(x), y〉 = Q(x, y).

Tomando una base ortonormal {z1, . . . , zn}, tenemos

trK =∑j

〈K(zj), zj〉 =∑j

Q(zj , zj) = (n− 1)∑j

Ricp(zj) = n(n− 1)K(p),

lo cual prueba lo afirmado.

La forma bilineal 1n−1Q es, a veces, llamado el tensor de Ricci.

Como es usual, expresaremos lo que hemos hecho hasta ahora en un sistema coordenado {xi}. Sea Xi = ∂∂xi

,gij = 〈Xi, Xj〉 y gij la matriz inversa de gij (esto es,

∑k gikg

kl = δli). Entonces los coeficientes de la forma bilineal1

n−1Q en la base {Xi} están dados por

1

n− 1Rik =

1

n− 1

∑j

Rjijk =1

n− 1

∑s,j

Rijksgsj .

Observemos ahora que si A : TpM → TpM es un mapeo lineal autoadjunto y B : TpM ×TpM → R es la forma bilinealasociada, i.e., B(X,Y ) = 〈A(X), Y 〉, entonces la traza de A, trA, es igual a

∑i,k B(Xi, Xk)gik. Así, la curvatura

escalar en el sistema de coordenadas {xi} está dado por

K =1

n(n− 1)

∑i,k

Rikgik.

Para concluir esta sección, vamos a establecer una relación que será muy útil en el futuro. Sea f : A ⊂ R2 → Muna superficie parametrizada (véase la definición 3.5) y sean (s, t) las coordenadas usuales de R2. Sea V = V (s, t) un

campo vectorial a lo largo de f . Para cada (s, t) es posible definir R(∂f∂s ,

∂f∂t

)V en una manera obvia.

Lema 4.3.D

∂t

D

∂sV − D

∂s

D

∂tV = R

(∂f

∂s,∂f

∂t

)V. (4.4)

58 Curvatura

Demostración. La prueba es un cálculo largo. Escoja un sistema de coordenadas (U,x) basado en p ∈ M . SeaV =

∑i viXi, donde vi = vi(s, t) y Xi = ∂

∂xi. Entonces

D

∂sV =

D

∂s

(∑i

viXi

)=∑i

viD

∂sXi +

∑i

∂vi

∂sXi

yD

∂t

(D

∂sV

)=∑i

viD

∂t

D

∂sXi +

∑i

∂vi

∂t

D

∂sXi +

∑i

∂vi

∂s

D

∂tXi +

∑i

∂2vi

∂t∂sXi.

Por lo tanto, intercambiando el papel de s y t en la expresión anterior y sustrayendo, tenemos

D

∂t

D

∂sV − D

∂s

D

∂tV =

∑i

vi(D

∂t

D

∂sXi −

D

∂s

D

∂tXi

).

Ahora calculemos D∂t

D∂sXi. Hagamos

f(s, t) = (x1(s, t), . . . , xn(s, t)).

Entonces ∂f∂s =

∑j∂xj∂s Xj y ∂f

∂t =∑k∂xk∂t Xk. Así, tenemos

D

∂sXi = ∇∑

j

(∂xj∂s

)XjXi =

∑j

∂xj∂s∇XjXi

y

D

∂t

D

∂sXi =

D

∂t

∑j

∂xj∂s∇XjXi

=∑j

∂2xj∂t∂s

∇XjXi +∑j

∂xj∂s∇∑

k

(∂xk∂t

)Xk

(∇XjXi

)=∑j

∂2xj∂t∂s

∇XjXi +∑j,k

∂xj∂s

∂xk∂t∇Xk∇XjXi,

o (D

∂t

D

∂s− D

∂s

D

∂t

)Xi =

∑j,k

∂xj∂s

∂xk∂t

(∇Xk∇XjXi −∇Xj∇XkXi

).

Juntando todo lo anterior, finamente tenemos(D

∂t

D

∂s− D

∂s

D

∂t

)V =

∑i,j,k

vi∂xj∂s

∂xk∂t

R(Xj , Xk)Xi = R

(∂f

∂s,∂f

∂t

)V.

�

4.5. Tensores sobre variedades riemannianas

La noción de curvatura es un caso particular de la idea de tensor, la cual es un objeto útil en la geometría diferencial.Presentamos aquí una rápida introducción al estudio de los tensores sobre una variedad riemanniana. La idea de untensor es una generalización natural de la idea de un campo vectorial, un punto importante siendo que, análogamentea los campos vectoriales, los tensores pueden ser derivados covariantemente.

En lo que sigue es útil observar que X (M) es un módulo sobre D(M); esto es, X (M) tiene una estructura linealcuando tomamos como "escalares" los elementos de D(M).

4.5. Tensores sobre variedades riemannianas 59

Definición 4.3. Un tensor de orden r sobre una variedad riemanniana es un mapeo multilineal

T : X (M)× · · · X (M)→ D(M).

Esto significa que dados Y1, . . . , Yr ∈ X (M), T (Y1, . . . , Yr) es una función diferenciable sobre M y que T es linealen cada argumento; esto es,

T (Y1, . . . , fX + gY, . . . , Yr) = fT (Y1, . . . , X, . . . , Yr) + gT (Y1, . . . , Y, . . . , Yr),

para todo X,Y ∈ X (M), f, g ∈ D(M).

Un tensor T es un objeto puntual en un sentido que vamos a explicar ahora. Fijando un punto p ∈ M y siendo Uuna vecindad de p en M sobre la cual es posible definir campos vectoriales E1, . . . , EnX (Mn) de tal manera que encada q ∈ U , los vectores {Ei(q)}ni=1 forman una base de TpM ; decimos, en este caso, que {Ei} es un marco móvilsobre U . Sean

Yj =∑ij

yijEij , 1 ≤ ij ≤ n, 1 ≤ j ≤ r,

las restricciones a U de los campos vectoriales {Yj}rj=1, expresadas en el marco móvil{Ei}. Por linealidad,

T (Y1, . . . , Yr) =∑

i1,...,ir

yi1 · · · yirT (Ei1 , . . . , Eir ).

Las funciones T (Ei1 , . . . , Eir ) = Ti1···ir sobre U son llamadas las componentes de T en el marco {Ei}.

La expresión anterior implica que el valor de T (Y1, . . . , Yr) en el punto p ∈ M depende sólo de los valores en p delas componentes de T y de los valores de Y1, . . . , Yr en p. Es en este sentido que decimos que T es un objeto puntual.

Ejemplo 4.1. El tensor de curvatura

R : X (M)×X (M)×X (M)×X (M)→ D(M)

está definido porR(X,Y, Z,W ) = 〈R(X,Y )Z,W 〉, X, Y, Z,W ∈ X (M).

Es fácil verificar que R es un tensor de orden 4 cuyas componentes en el marco{Xi = ∂

∂xi

}asociado al sistema de

coordenadas {xi} esR(Xi, Xj , Xk, Xl) = Rijkl.

Ejemplo 4.2. El "tensor métrico" G : X (M)× X (M)→ D(M) está definido por G(X,Y ) = 〈X,Y 〉, X,Y ∈ X (M). Ges un tensor de orden 2 y sus componentes en el marco {Xi} son los coeficientes gij de la métrica riemanniana en elsistema de coordenadas dado.

Ejemplo 4.3. La conexión riemanniana ∇ definida por

∇ : X (M)×X (M)×X (M)→ D(M)

∇(X,Y, Z) = 〈∇XY,Z〉, X, Y, Z ∈ X (M),

NO es un tensor, puesto que ∇ no es lineal con respecto al argumento Y .

Es posible definir la noción de un tensor sobre una variedad diferenciable la cual no tenga una métrica riemanniana.En este caso, es necesario distinguir los tensores covariantes (los cuales hemos definido) de los tensores contrava-riantes (los cuales pueden definirse de una manera análoga, reemplazando X (M) por su dual X ∗(M)). Esto no esnecesario en una variedad riemanniana, puesto que la métrica riemanniana asocia a cada X ∈ X (M) un elementoúnico ω ∈ X ∗(M) dado por

ω(Y ) = 〈X,Y 〉, ∀Y ∈ X (M).

60 Ejercicios

Tal correspondencia nos permite identificar los tensores contravariantes de los covariantes. Por razones de economía,nos restringiremos a los vectores covariantes.

Por muchas razones, es conveniente identificar al campo X ∈ X (M) con el tensor X : X (M) → D(M) dado porX(Y ) = 〈X,Y 〉, para todo Y ∈ X (M).

Es posible derivar tensores covariantemente. Mostraremos en un momento que la siguiente definición es realmentenatural.

Definición 4.4. Sea T un tensor de orden r. La diferencial covariante ∇T de T es un tensor de orden r+ 1 dado por

∇T (Y1, . . . , Yr, Z) = Z(T (Y1, . . . , Yr))− T (∇ZY1, . . . , Yr)− · · · − T (Y1, . . . , Yr−1,∇ZYr).

Para cada Z ∈ X (M), la derivada covariante ∇ZT de T relativa a Z es un tensor de orden r dado por

∇ZT (Y1, . . . , Yr) = ∇T (Y1, . . . , Yr, Z).

Vamos a demostrar que, en un marco conveniente, la definición de derivada covariante de un tensor T relativa aZ ∈ X (M) resulta ser bastante natural. Para esto, sea p ∈ M y sea α : (−ε, ε) → M una curva diferenciable conα(0) = p, α′(t) = Z(α(t)). Sea {e1, . . . , en} una base de TpM y sea ei(t) el transporte paralelo de ei a lo largo deα = α(t), para 1 ≤ i ≤ n. Sea Ti1···ir (t) las componentes, en la base {ei(t)}, de la restricción T (α(t)) de T en la curvaα. Entonces, por la definición de ∇ZT ,

(∇ZT )(ei1(t), . . . , eir (t)) =d

dtTi1...ir (t) = T (∇Zei1(t), . . . , eir (t))− · · · − T (ei1(t), . . . ,∇Zeir (t)).

Puesto que ∇Zei(t) = 0, tenemos, por linealidad,

(∇ZT )i1...ir = (∇ZT )(ei1(t), . . . , eir (t)) =d

dtTi1...ir .

En otras palabras, en este marco, las componentes de la derivada covariante de T son las derivadas usuales de lascomponentes de T .

Ejemplo 4.4. La diferencial covariante del tensor métrico es el tensor cero. De hecho, para todo X,Y, Z ∈ X (M),

∇G(X,Y, Z) = Z〈X,Y 〉 − 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉 = 0,

debido a que ∇ es la conexión riemanniana.

Ejemplo 4.5. Sea X ∈ X (M). Identifiquemos a X con el tensor que asocia al campo vectorial Y ∈ X (M) la función〈X,Y 〉. La derivada covariante del tensor X relativa al campo vectorial Z ∈ X (M) es tal que, para todo Y ∈ X (M),

∇ZX(Y ) = ∇X(Y,Z) = Z(X(Y ))−X(∇ZY ) = Z〈X,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉 = 〈∇ZX,Y 〉.

En consecuencia, concluimos que el tensor ∇ZX puede ser identificado con el campo vectorial ∇ZX. Esto justifica lanotación adoptada y muestra que la derivada covariante de tensores es una generalización de la derivada covariantede campos vectoriales.

Ejercicios

4.1. Sea G un grupo de Lie con una métrica bi-invariante 〈, 〉. Sean X,Y, Z ∈ X (G) campos vectoriales unitariosizquierda-invariantes sobre G.

a) Muestre que ∇XY = 12 [X,Y ]. Sugerencia: Use la simetría de la conexión y el hecho de que ∇XX = 0 (ejercicio

3.3).

b) Concluya del inciso anterior que R(X,Y )Z = 14 [[X,Y ], Z].

Ejercicios 61

c) Pruebe que, si X y Y son ortonormales, la curvatura seccional K(σ) de G con respecto al plano σ generado por Xy Y está dado por

K(σ) =1

4‖[X,Y ]‖2.

Por lo tanto, la curvatura seccional K(σ) de un grupo de Lie con métrica bi-invariante es no negativa, y escero si y sólo si σ es generado por los vectores X,Y , los cuales conmutan (esto es, [X,Y ] = 0).

4.2. Sea un campo de Killing sobre una variedad riemannianaM . Defina un mapeoAX : X (M)→ X (M) porAX(Z) =∇ZX, Z ∈ X (M). Considere la función f : M → R dada por f(q) = 〈X,X〉q, q ∈ M . Sea p ∈ M un punto crítico def (esto es, dfp = 0). Demuestre que para cualquier Z ∈ X (M) en p,

a) 〈AX(z), X〉(p) = 0.

b) 〈AX(Z), AX(Z)〉(p) = 12Zp(Z〈X,X〉) + 〈R(X,Z)X,Z〉. Sugerencia: Haga S = 1

2ZZ〈X,X〉 − 〈R(X,Z)X,Z〉.Usando la ecuación de Killing 〈∇ZX,X〉+ 〈∇XX,Z〉 = 0, obtenemos

S = 〈∇[X,Z]X,Z〉 − 〈∇XX,∇ZZ〉 = 〈∇X∇Z , Z〉.

Usando de nuevo la ecuación de Killing, obtenemos

S = −〈∇ZX,∇XZ〉+ 〈∇ZX,∇ZX〉+ 〈∇ZX,∇XZ〉 − 〈∇XX,∇ZZ〉 = 〈∇ZX,∇ZX〉 − 〈∇XX,∇ZZ〉.

De acuerdo con la ecuación de Killing en p, ∇XX(p) = 0 y concluimos la afirmación.

4.3. Sea M una variedad riemanniana compacta de dimensión par cuya curvatura seccional es positiva. Pruebe quecada campo de Killing X sobre M tiene una singularidad (i.e., existe p ∈ M tal que X(p) = 0). Sugerencia: Seaf : M → R una función f(q) = 〈X,X〉(q), q ∈M , y sea p ∈M un punto mínimo de f . Suponga que X(p) 6= 0. Definaun mapeo lineal A : TpM → TpM por A(y) = AXY = ∇YX, donde Y es una extensión de y ∈ TpM . Sea E ⊂ TpMortogonal a X(p). Use el ejercicio previo para mostrar que A : E → E es un isomorfismo antisimétrico. Esto implicaque dimE = dimM − 1 es par, lo cual es una contradicción; entonces, X(p) = 0.

4.4. SeaM una variedad riemanniana con la siguiente propiedad: dados cualesquiera dos puntos p, q ∈M , el transpor-te paralelo de p a q no depende de la curva que une a p con q. Pruebe que la curvatura deM es idénticamente cero; estoes, para todo X,Y, Z ∈ X (M), R(X,Y )Z = 0. Sugerencia: Considere la superficie parametrizada f : U ⊂ R2 → M ,donde

U = {(s, t) ∈ R2 : −ε < t < 1 + ε,−ε < s < 1 + ε, ε > 0}y f(s, 0) = f(0, 0) para todo s. Sea V0 ∈ Tf(0,0)M y defina un campo V a lo largo de f como V (s, 0) = V0 y, si t 6= 0,V (s, t) es el transporte paralelo de V0 a lo largo de la curva t 7→ f(s, t). Entonces, del lema 4.3,

D

∂s

D

∂tV = 0 =

D

∂t

D

∂sV +R

(∂f

∂t,∂f

∂s

)V.

Puesto que el transporte paralelo no depende de la elección de la curva, V (s, 1) es el transporte paralelo de V (0, 1) alo largo de la s 7→ f(s, 1); así, D

∂sV (s, 1) = 0. Así,

Rf(0,1)

(∂f

∂t(0, 1),

∂f

∂s(0, 1)

)V (0, 1) = 0.

Use la arbitrariedad de f y V0 para concluir lo requerido.

4.5. Sea γ : [0, l]→M una geodésica y sea X ∈ X (M) tal que X(γ(0)) = 0. Muestre que

∇γ′(R(γ′, X)γ′)(0) = (R(γ′, X ′)γ′)(0),

donde X ′ = DXdt . Sugerencia: Sea R el tensor de curvatura del ejemplo 4.1. Observe que, para todo Z ∈ X (M) y

t = 0,

0 = (∇γ′R)(γ′, X, γ′, Z) =d

dt〈R(γ′, X)γ′, Z〉 − 〈R(γ′, X ′)γ′, Z〉 − 〈R(γ′, X)γ′, Z ′〉

= 〈∇γ′(R(γ′, X)γ′), Z〉 − 〈R(γ′, X ′)γ′, Z〉.

62 Ejercicios

4.6 (Espacios localmente simétricos). Sea M una variedad riemanniana. M es un espacio localmente simétrico si∇R = 0, donde R es el tensor de curvatura de M . (El significado geométrico de esta condición se dará en el ejercicio??.)

a) Sea M un espacio localmente simétrico y sea γ : [0, l)→M una geodésica de M . Sean X,Y, Z campos vectorialesparalelos a lo largo de γ. Pruebe que R(X,Y )Z es un campo paralelo a lo largo de γ.

b) Pruebe que si M es localmente simétrico, conexo y tiene dimensión 2, entonces M tiene curvatura seccional cons-tante.

c) Pruebe que si M tiene curvatura (seccional) constante, entonces M es un espacio localmente simétrico.

4.7. Pruebe la segunda identidad de Bianchi:

∇R(X,Y, Z,W, T ) +∇R(X,Y,W, T, Z) +∇R(X,Y, T, Z,W ) = 0

para todo X,Y, Z,W, T ∈ X (M). Sugerencia: Puesto que los objetos involucrados son todos tensores, es suficientecpn probar la igualdad en el punto p ∈M . Escoja un marco geodésico {ei} basado en p. En este marco ∇eiej(p) = 0,por lo que

∇R(ei, ej , ek, el, em) = em〈R(ei, ej)ek, el〉 = em〈R(ek, el)ei, ej〉= 〈∇em∇el∇ekei −∇em∇ek∇elei +∇em∇[ek,el]ei, ej〉.

Por lo tanto, usando la identidad de Jacobi para el corchete, encontramos

∇R(ei, ej , ek, el, em) +∇R(ei, ej , el, em, ek) +∇R(ei, ej , em, ek, el)

= R(el, em,∇ekei, ej) +R(em, ek,∇elei, ej) +R(ek, el,∇emei, ej) = 0,

puesto que cada uno de los sumando se anula en p. El caso general se sigue por linealidad.

4.8 (Teorema de Schur). Sea Mn una variedad riemanniana conexa con n ≥ 3. Suponga que M es isotrópica; estoes, para cada p ∈M la curvatura seccional K(p, σ) no depende de σ ⊂ TpM . Pruebe que M tiene curvatura seccionalconstante; es decir, K(p, σ) tampoco depende de p. Sugenrencia: Defina un tensor R′ de orden 4 por

R′(W,Z,X, Y ) = 〈W,X〉〈Z, Y 〉 − 〈Z,X〉〈W,Y 〉.

Si K(p, σ) = K no depende de σ, por el lema 4.2, R = KR′. Por lo tanto, para todo U ∈ X (M), ∇UR = (UK)R′.Usando la segunda identidad de Bianchi

∇R(W,Z,X, Y, U) +∇R(W,Z, Y, U,X) +∇R(W,Z,U,X, Y ) = 0,

obtenemos, para todo X,Y,W,Z,U ∈ X (M),

0 = (UK)(〈W,X〉〈Z, Y 〉 − 〈Z,X〉〈W,Y 〉) + (XK)(〈W,Y 〉〈Z,U〉− 〈Z, Y 〉〈W,U〉) + (Y K)(〈W,U〉〈Z,X〉 − 〈Z,U〉〈W,X〉).

Fije p ∈M . Puesto que n ≥ 3 es posible, fijando X en p, escoger Y y Z en p tales que 〈X,Y 〉 = 〈Y,Z〉 = 〈Z,X〉 = 0,〈Z,Z〉 = 1. Haga U = Z en p. La relación anterior nos conduce, para todo W ,

〈(XK)Y − (Y K)X,W 〉 = 0.

Puesto que X y Y son linealmente independientes en p, concluímos que XK = 0 para todo X ∈ TpM . Entonces,K = constante.

4.9. Pruebe que la curvatura escalar K(p) en p ∈M está dada por

K(p) =1

ωn−1

∫Sn−1

Ricp(x) dSn−1,

Ejercicios 63

donde ωn−1 es el área de la esfera Sn−1 en TpM y dSn−1es el elemento de área sobre Sn−1. Sugerencia: Use elsiguiente argumento general sobre formas cuadráticas. Considere una base ortonormal e1, . . . , en en TpM tal que six =

∑ni=1 xiei,

Ricp(x) =∑i

λix2i , λi ∈ R.

Puesto que ‖x‖ = 1, el vector (x1, . . . , xn) = ν es un vector unitario normal sobre Sn−1. Denotando a V = (λ1x1, . . . , λnxn),y usando el teorema de Stokes, obtenemos

1

ωn−1

∫Sn−1

(∑i

λix2i

)dSn−1 =

1

ωn−1

∫Sn−1

〈V, ν〉 dSn−1 =1

ωn−1

∫Bn

div V dBn,

donde Bn es la bola unitaria cuya frontera es Sn−1 = ∂Bn. Notando que volBn/ωn = 1/n, concluimos que

1

ωn−1

∫Sn−1

Ricp(x) dSn−1 =1

ndiv V =

∑i λin

=

∑i Ricp(ei)

n= K(p).

4.10 (Variedades einsteinianas). Una variedad riemanniana Mn es llamada una variedad einsteiniana si, para todoX,Y ∈ X (M), Ric(X,Y ) = λ〈X,Y 〉, donde λ : M → R es una función de valores reales. Pruebe que

a) Si Mn es conexa y Einstein, con n ≥ 3, entonces λ es constante sobre M . Sugerencia: Considere un marcogeodésico ortonormal {ei}, 1 ≤ i ≤ n ≥ 3, en un punto p ∈ M . La segunda identidad de Bianchi en p puedeescribirse como

es(Rhijk) + ej(Rhiks) + ek(Rhish) = 0, (4.5)

donde Rhijk son las componentes del tensor de curvatura en este marco y tomando en cuenta que ∇eiej(p) = 0.Observe que 〈ei, ek〉 = gik = δik = δik. Multiplicando (4.5) por δikδhj y sumando sobre i, k, h, j, obtenemos: para laprimera parte,

∑i,k,j,h

δhjδikes(Rhijk = es

∑ikjh

δhjδikRhijk

= es

∑h,j

δhjRhj

= es

∑hj

δhj(λδhj)

= nes(λ);

para la segunda parte,

∑i,k,j,h

δhjδikej(Rhiks) = −∑j,h

δhjej

∑i,k

δikRhisk

=∑j,h

δhjej(λδhs) = −es(λ);

y para la tercera parte, ∑i,k,j,h

δhjδikek(Rhiks) = −es(λ).

Por lo tanto, (4.5) implica que, para todo s, (n− 2)es(λ) = 0. De la arbitrariedad de p, λ es constante sobre M .

b) Si M3 es una variedad einsteiniana conexa, entonces M3 tiene curvatura seccional constante.

CAPÍTULO 5

Campos de Jacobi

5.1. Introducción

En este capítulo derivaremos una primera relación entre los dos conceptos básicos introducidos previamente: lasgeodésicas y la curvatura. Como hemos visto, la curvatura K(p, σ), σ ⊂ TpM , determina qué tan rápido la geodésica,que empieza desde p y que es tangente a σ, se desvía. Con la intención de formalizar de manera precisa esta velocidadde desviación de las geodésicas, es necesario introducir los llamados campos de Jacobi. Los campos de Jacobi soncampos vectoriales a lo largo de geodésicas definidos a partir de una ecuación diferencial que emerge naturalmenteen el estudio del mapeo exponencial. Además de proporcionar la relación anterior, los campos de Jacobi nos permitenobtener una caracterización simple de las singularidades del mapeo exponencial.

5.2. La ecuación de Jacobi

Sea M una variedad riemanniana y sea p ∈ M . En la demostración del lema de Gauss vimos que si expp estádefinida en v ∈ TpM y si w ∈ Tp(TpM), entonces

(d expp)vw =∂f

∂s(1, 0),

donde f es una superficie parametrizada dada por

f(t, s) = expp tv(s), 0 ≤ t ≤ 1, −ε ≤ s ≤ ε,

y v(s) es una en TpM con v(0) = v, v′(0) = w.

Nosotros queremos obtener información sobre ‖(d expp)v(w)‖. Una de las razones de esto es que ‖(d expp)v(w)‖denota, intuitivamente, la razón de desviación de la geodésica t 7→ expp tv(s) que comienza en p. Como veremos másadelante, tal desviación está asociada con el valor de la curvatura seccional en p con respecto al plano generado por vy w. Otra razón es que si tenemos ‖(d expp)v(w)‖ = 0, con w 6= 0, entonces v será un punto crítico de expp.

Es conveniente extender nuestro objetivo levemente y estudiar el campo

(d expp)tv(tw) =∂f

∂s(t, 0)

a lo largo de la geodésica γ(t) = expp(tv), 0 ≤ t ≤ 1.

La observación básica es que ∂∂s satisface una ecuación diferencial. De hecho, puesto que γ es una geodésica,

tenemos para todo (t.s) que D∂t∂f∂t = 0. Entonces, del lema 4.3,

0 =D

∂s

(D

∂t

∂f

∂t

)=D

∂t

D

∂s

∂f

∂t−R

(∂f

∂s,∂f

∂t

)∂f

∂t=D

∂t

D

∂t

∂f

∂s+R

(∂f

∂t.∂f

∂s

)∂f

∂t.

Haciendo ∂f∂s (t, 0) = J(t), obtenemos el hecho de que J satisface la ecuación

D2J

dt2+R(γ′(t), J(t))γ′(t) = 0. (5.1)

La ecuación anterior es llamada la ecuación de Jacobi. Puesto que aparece en una diversidad de situaciones, esútil hacer un estudio separado de ella. Empezaremos pues con una definición.

64

5.2. La ecuación de Jacobi 65

Definición 5.1. Sea γ : [0, a] → M una geodésica en M . Un campo vectorial J a lo largo de γ se dice un campo deJacobi si éste satisface la ecuación de Jacobi (5.1), para todo t ∈ [0, a].

Un campo de Jacobi está determinado por sus condiciones iniciales J(0), DJdt (0). De hecho, sean e1(t), . . . , en(t)campos paralelos ortonormales a lo largo de γ. Escribimos

J(t) =∑i

fi(t)ei(t), aij = 〈R(γ′(t), ei(t))γ′(t), ej(t)〉, 1 ≤ i, j ≤ n = dimM.

EntoncesD2J

dt2=∑i

f ′′i (t)ei(t),

yR(γ′, J)γ′ =

∑j

〈R(γ′, J)γ′, ej〉ej =∑i,j

fi〈R(γ′, ei)γ′, ej〉j =

∑i,j

fiaijej .

Por lo tanto, la ecuación (5.1) es equivalente al sistema

f ′′j (t) +∑i

aij(t)fi(t) = 0. 1 ≤ j ≤ n,

el cual es un sistema lineal de segundo orden. Así, dadas las condiciones iniciales J(0), DJdt (0), existe una solución C∞

definida sobre [0, a]. Por lo tanto, existen 2n campos de Jacobi linealmente independientes a lo largo de γ.

Es importante notar que γ′(t) y tγ′(t) son dos campos de Jacobi a lo largo de γ. El primer campo tiene derivada ceroy no se anula en ninguna parte; el segundo campo es cero si y sólo si t = 0. Debido a estos hechos, consideraremosque los campos de Jacobi a lo largo de γ son normales a γ′.

Ejemplo 5.1. Campos de Jacobi sobre variedades de curvatura constante. Sea M una variedad de curvaturaseccional constante K y sea γ : [0, l]→M una geodésica normalizada sobre M . Más aun, sea J un campo de Jacobia lo largo de γ, normal a γ′. Afirmamos que del hecho de que ‖γ′‖ = 1 y del lema 4.2, se sigue que

R(γ′, J)γ′ = KJ.

De hecho, para todos los campos vectoriales T a lo largo de γ, tenemos

〈R(γ′, J)γ′, T 〉 = K[〈γ′, γ′〉〈J, T 〉 − 〈γ′, T 〉〈J, γ′〉] = K〈J, T 〉,

lo cual es lo afirmado.

Como un resultado, podemos escribir la ecuación de Jacobi como

D2J

dt2+KJ = 0. (5.2)

Sea w(t) un campo paralelo a lo largo de γ con 〈γ′(t), w(t)〉 = 0 y ‖w(t)‖ = 1. Es fácil verificar que

J(t) =

sen(t

√K)√

Kw(t), K > 0,

tw(t), K = 0,senh(t

√−K)√

−K w(t), K < 0,

es una solución de (5.2) con condiciones iniciales J(0) = 0, J ′(0) = w(0).

Como hemos visto previamente, dados p ∈ M , v ∈ TpM y w ∈ Tp(TpM), podemos construir un campo de Jacobia lo largo de la geodésica γ : [0, 1]→M , dada por γ(t) = expp tv. Para ello, consideremos la superficie parametrizadadada por f(t, s) = expp tv(s), donde v(s) es una curva en TpM con v(0) = v, v′(0) = w, y tomemos J(t) = ∂f

∂s (t, 0).Notemos que J(0) = 0.

Vamos a mostrar que esta es esencialmente la única manera de construir campos de Jacobi a lo largo de γ(t) conJ(0) = 0. De manera más precisa, tenemos la siguiente proposición.

66 Campos de Jacobi

Proposición 5.1. Sea γ : [0, a] → M una geodésica y sea J un campo de Jacobi a lo largo de γ con J(0) = 0.Hagamos DJ

dt (0) = w y γ′(0) = v. Considere a w como un elemento de Tav(Tγ(0)M) y construya una curva v(s) enTγ(0)M con v(0) = av, v′(0) = w. Hagamos f(t, s) = expp

(tav(s)

), p = γ(0), y defina un campo de Jacobi J por

J(t) = ∂f∂s (t, 0). Entonces J = J sobre [0, a].

Demostración. Para s = 0, tenemos

D

dt

∂f

∂s=D

∂t((d expp)tv(tw)) =

D

∂t(t(d expp)tv(w)) = (d expp)tv(w) + t

D

∂t((d expp)tv(w)).

Por lo tanto, para t = 0,DJ

dt(0) =

D

∂t

∂

∂s(0, 0) = (d expp)0(w) = w.

Puesto que J(0) = J(0) = 0 y DJdt (0)DJdt (0) = w, concluimos del teorema de unicidad que J = J . �

Corolario 5.1. Sea γ : [0, a] → M una geodésica. Entonces un campo de Jacobi J a lo largo de γ con J(0) = 0 estádado por

J(t) = (d expp)tγ′(0)(tJ′(0)), t ∈ [0, a].

Es posible obtener una construcción análoga a la proposición 5.1 para campos de Jacobi que no satisfacen la con-dición J(0) = 0. Puesto que no usaremos este hecho, dejaremos su prueba como un ejercicio (??).

Ahora vamos a relacionar la razón de desviación de las geodésicas que empiezan en p ∈ M con la curvatura en p.De ahora en adelante, por simplicidad de notación, escribiremos DJ

dt = J ′, D2Jdt2 = J ′′, etcétera.

Proposición 5.2. Sea p ∈M y γ : [0, a]→M una geodésica con γ(0) = p, γ′(0) = v. Sea w ∈ Tv(TpM) con ‖w‖ = 1y sea J un campo de Jacobi a lo largo de γ dado por

J(t) = (d expp)tv(tw), 0 ≤ t ≤ a.

Entonces la expansión de Taylor de ‖J(t)‖2 alrededor de t = 0 está dada por

‖J(t)‖2 = t2 − 1

3〈R(v, w)v, w〉t4 +R(t), (5.3)

donde lımt→0R(t)t4 = 0.

Demostración. Puesto que J(0) = 0 y J ′(0) = w, tenemos, para los primeros tres coeficientes:

〈J, J〉(0) = 0,

〈J, J〉′(0) = 2〈J, J ′〉(0) = 0,

〈J, J〉′′(0) = 2〈J ′, J ′〉(0) + 2〈J ′′, J〉(0) = 2.

Por otro lado, puesto que J ′′(0) = −R(γ′, J)γ′(0) = 0, tenemos

〈J, J〉′′′(0) = 6〈J ′, J ′′〉(0) + 2〈J ′′′, J〉(0) = 0.

Ahora, necesitamos del hecho siguiente:

∇γ′(R(γ′, J)γ′)(0) = R(γ′, J ′)γ′(0). (5.4)

Para demostrar (5.4), notemos que para cualquier W , tenemos en t = 0,⟨D

dt(R(γ′, J)γ′),W

⟩=

d

dt〈R(γ′,W )γ′, J〉 − 〈R(γ′, J)γ′,W ′〉

=

⟨D

dt(R(γ′,Wγ′), J

⟩+ 〈R(γ′,W )γ′, J ′〉

= 〈R(γ′, J ′)γ′,W 〉,

5.3. Puntos conjugados 67

lo cual implica (5.4).

Se sigue de (5.4) y de la ecuación de Jacobi que J ′′′(0) = −R(γ′, J ′)γ′(0). Por lo tanto,

〈J, J〉′′′′(0) = 8〈J ′, J ′′′〉(0) + 6〈J ′′, J ′′〉(0) + 2〈J ′′′′, J〉(0) = −8〈J ′, R(γ′, J ′)γ′〉(0) = −8〈R(v, w)v, w〉.

Juntando los cálculos anteriores, obtenemos (5.3). �

La expresión (5.4) también puede obtenerse usando la derivación (covariante) de tensores descrita en el capítulo3.4 (véase ejercicio ??).

Corolario 5.2. Si γ : [0, l] → M está parametrizada por longitud de arco (i.e., ‖v‖ = 1) y 〈w, v〉 = 0, la expresión〈R(v, w)v, w〉 es la curvatura seccional en p con respecto al plano σ generado por v y w. Por lo tanto, en esta situación,

‖J(t)‖2 = t2 − 1

3K(p, σ)t4 +R(t). (5.5)

Corolario 5.3. Con las mismas condiciones que en el corolario previo,

‖J(t)‖ = t− 1

6K(p, σ)t3 + R(t), lım

t→0

R(t)

t3= 0. (5.6)

La expresión (5.6) esencialmente contiene la relación entre geodésicas y curvatura mencionada al inicio de estecapítulo. De hecho, considerando a la superficie parametrizada

f(t, s) = expp tv(s), t ∈ [0, δ], s ∈ (−ε, ε),

donde δ se escoge tan pequeño que expp tv(s) está definido, y v(s) es una curva en TpM con ‖v(s)‖ = 1, v(0) = v,v′(0) = w, podemos ver que los rayos t 7→ tv(s), con t ∈ [0, δ], que empiezan desde el origen 0 de TpM , se desvíandel rayo t→ tv(0) con velocidad ∥∥∥∥( ∂

∂stv(s)

)(0)

∥∥∥∥ = ‖tw‖ = t.

Por otra parte, (5.6) nos dice que las geodésicas t 7→ expp(tv(s)) se desvían de la geodésica γ(t) = expp tv(0) conuna velocidad que difiere de t en un término de tercer orden en t, dado por − 1

6K(p, σ)t3. Esto nos dice también que,localmente, las geodésicas se desvían menos que los rayos en TpM si Kp(σ) > 0, y que se apartan más que los rayosen TpM si Kp(σ) < 0. Realmente, para t pequeño, el valor de K(p, σ)t3 proporciona una aproximación para el tamañode esta desviación con un error de orden t3.

5.3. Puntos conjugados

Ahora, vamos a estudiar la relación entre las singularidades del mapeo exponencial y los campos de Jacobi. Antesde hacer esto, requerimos de algunas definiciones.

Definición 5.2. Sea γ : [0.a] → M una geodésica. El punto γ)t0) se dice que es conjugado a γ(0) a lo largo de γ si,para t0 ∈ (0, a], existe un campo de Jacobi J a lo largo de γ, no idénticamente cero, con J(0) = 0 = J(t0). El númeromáximo de tales campos linealmente independientes es llamado la multiplicidad del punto conjugado γ(t0).

Obsérvese que si γ(t0) es conjugado a γ(0), entonces γ(0) es conjugado a γ(t0). Si la dimensión de M es n, existeexactamente n campos de Jacobi linealmente independientes a lo largo de la geodésica γ : [0.a]→ M , los cuales soncero en γ(0). Esto se sigue del hecho, fácilmente verificable, que los campos de Jacobi J1, . . . , Jk, con Ji(0) = 0, sonlinealmente independientes si y sólo si J ′1(0), . . . , J ′k(0) son linealmente independientes. En adición, el campo de JacobiJ(t) = tγ′(t) nunca se anula para t 6= 0. De esto se deduce que la multiplicidad de un punto conjugado nunca exceden− 1.

Ejemplo 5.2. Sea Sn = {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1}. En este ejemplo, supondremos un hecho que probaremos en elsiguiente capítulo, a saber: las curvaturas seccionales de Sn son todas iguales a uno. El campo de Jacobi sobre Sn

dado en el ejemplo 5.1, esto es, J(t) = (sen t)w(t), satisface la condición J(0) = J(π) = 0. Por lo tanto, a lo largo decualquier geodésica γ de Sn, el punto antipodal γ(π) a γ(0) es conjugado a γ(0). Es trivial verificar que existen n−1 detales campos lo que son linealmente independientes; esto es, la multiplicidad de γ(π) como punto conjugado de γ(0)es n− 1.

68 Campos de Jacobi

Definición 5.3. El conjunto de (los primeros) puntos conjugados del punto p ∈ M , para todas las geodésicas quecomienzan en p, es llamado el lugar geométrico conjugado de p y es denotado por C(p).

Sobre Sn, C(p) = {−p}, para todo p. El caso Sn, sin embargo no es típico. Un ejemplo más cercano está dado porel elipsoide, donde C(p) es, en general, una curva con cuatro puntos singulares (véase figura ??)1.

La siguiente proposición relaciona los puntos conjugados con las singularidades del mapeo exponencial.

Proposición 5.3. Sea γ : [0, a]→M una geodésica y hagamos γ(0) = p. El punto q = γ(t0), t0 ∈ (0, a], es conjugadoa p a lo largo de γ si y sólo si v0 = t0γ

′(0) es un punto crítico de expp. En adición, la multiplicidad de q como un puntoconjugado de p es igual a la dimensión del kernel del mapeo lineal d(expp)v0 .

Demostración. El punto q = γ(t0) es un punto conjugado a lo largo de γ si y sólo si existe un campo de Jacobi Jno cero a lo largo de γ con J(0) = J(t0) = 0. Sea v = γ′(0) y w = J ′(0). Del corolario 5.1, J(t) = (d expp)tv(tw),t ∈ [0, a]. Obsérvese que J no es cero si y sólo si w 6= 0. Por lo tanto, q = γ(t0) es conjugado a p si y sólo si

0 = J(t0) = (d expp)t0v(t0w), w 6= 0;

esto es, si y sólo si t0v es un punto crítico de expp. La primera afirmación está demostrada.

La multiplicidad de q es igual al número de campos de Jacobi linealmente independientes J1, . . . , Jk que no soncero en 0 y en t0. Como es fácil de verificar, los campos J1, . . . , Jk son linealmente independientes si y sólo siJ ′1(0), . . . , J ′k(0) son linealmente independientes en TpM . De la construcción anterior, la multiplicidad de q es iguala la dimensión del kernel de (d expp)t0v. �

Concluimos este capítulo presentando algunas propiedades de los campos de Jacobi que nos serán útiles después.

Proposición 5.4. Sea J un campo de Jacobi a lo largo de la geodésica γ : [0, a]→M . Entonces

〈J(t), γ′(t)〉 = 〈J ′(0), γ′(0)〉t+ 〈J(0), γ′(0)〉, t ∈ [0, a].

Demostración. Omitiendo a la t en favor de la notación, tenemos de la ecuación de Jacobi,

〈J ′, γ′〉′ = 〈J ′′, γ′〉 = −〈R(γ′, J)γ′, γ′〉 = 0.

Por lo tanto, 〈J ′, γ′〉 = 〈J ′(0), γ′(0)〉. En adición,

〈J, γ′〉′ = 〈J ′, γ′〉 = 〈J ′(0), γ′(0)〉.

Integrando en la última ecuación con respecto a t, obtenemos finalmente

〈J, γ′〉 = 〈J ′(0), γ′(0)〉t+ 〈J(0), γ′(0)〉.

�

Corolario 5.4. Si 〈J, γ′〉(t1) = 〈J, γ′〉(t2), con t1, t2 ∈ [0, a], t1 6= t2, entonces 〈J, γ′〉 no depende de t; en particular, siJ(0) = J(a) = 0, entonces 〈J, γ′〉(t) ≡ 0.

Corolario 5.5. Suponga que J(0) = 0. Entonces 〈J ′(0), γ′(0)〉 = 0 si y sólo si 〈J, γ′〉(t) ≡ 0; en particular, el espacioJ de los campos de Jacobi J con J(0) = 0 y 〈J, γ′〉 ≡ 0 tiene dimensión n− 1.

Proposición 5.5. Sea γ : [0.a]→M una geodésica. Sea V1 ∈ Tγ(0)M y V2 ∈ Tγ(a)M . Si γ(a) no es conjugado a γ(0),existe un único campo de Jacobi J a lo largo de γ, con J(0) = V1 y J(a) = V2.

1Véase Branmül, A. Geodätische Linien auf dreiachsigen Flächen 2-Grades, Math. Ann., 20 (1882)

Ejercicios 69

Demostración. Sea J el espacio de los campos de Jacobi con J(0) = 0. Definamos un mapeo Θ : J → Tγ(a)Mpor

Θ(J) = J(a), J ∈ J .

Puesto que γ(a) no es conjugado de γ(0), Θ es inyectiva. De hecho, si J1 6= J2 con J1(a) = J2(a), tendremosJ1 − J2, un campo de Jacobi no nulo, con (J1 − J2)(0) = 0, lo cual contradice el hecho que γ(a) no es conjugado aγ(0).

Puesto que Θ es lineal, se sigue de la inyectividad y del hecho de que dimJ = dimTγ(a)M que Θ es un isomorfis-mo. Por lo tanto, existe J1 ∈ J con J1(0) = 0 y J !(a) = V2.

Por un argumento análogo, existe un campo de Jacobi J2 a lo largo de γ con J2(a) = 0, J2(0) = V1. El campodeseado está dado ahora por J = J1 + J2. La unicidad es clara. �

Corolario 5.6. Sea γ : [0, a]→M una geodésica en M , dimM = n, y sea J⊥ el espacio de los campos de Jacobi conJ(0) = 0, J ′(0) ⊥ γ′(0). Sea {J1, . . . , Jn−1} una base de J⊥. Si γ(t), t ∈ (0, a], no es el conjugado a γ(0), entonces{J(t), . . . , Jn−1(t)} es una base para el complemento ortogonal {γ′(t)}⊥ ⊂ Tγ(t)M de γ′(t).

Ejercicios

5.1. Sea M una variedad riemanniana con curvatura seccional idénticamente cero. Muestre que, para cada p ∈ M , elmapeo expp : Bε(0) ⊂ TpM → Bε(p) es una isometría, donde Bε(p) es unabola normal en p.

5.2. Sea M una variedad riemanniana, γ : [0, 1] → M es una geodésica, y J un campo de Jacobi a lo largo de γ.Pruebe que existe una superficie parametrizada f(t, s), donde f(t, 0) = γ(t) y las curvas t 7→ f(t, s) son geodésicastales que J(t) = ∂f

∂s (t, 0). Sugerencia: Escoja una curva λ(s), s ∈ (−ε, ε) en M tal que λ(0) = γ(0), λ′(0) = J(0).Junto con λ escoja un campo W (s) con W (0) = γ′(0), DWds (0) = DJ

dt (0). Defina f(s, t) = expλ(s) tW (s) y verifique que∂f∂s (0, 0) = dλ

ds (0) = J(0) yD

dt

∂f

∂s(0, 0) =

D

ds

∂f

∂t(0, 0) =

DW

ds(0) =

DJ

dt(0).

5.3. SeaM una variedad riemanniana con curvatura seccional no positiva. Pruebe que, para todo p, el lugar geométricoconjugado C(p) es vacío. Sugerencia: Suponga la existencia de un campo de Jacobi no trivial a lo largo de la geodésicaγ : [0, a] → M , con γ(0) = p, J(0) = J(a) = 0. Use la ecuación de Jacobi para mostrar que d

dt 〈DJdt , J〉 ≥ 0. Concluya

que 〈DJdt , J〉 ≡ 0. Puesto que ddt 〈J, J〉 = 2〈DJdt , J〉 ≡ 0, tenemos ‖J‖2 = constante = 0, una contradicción.

5.4. Sea b < 0 y sea M una variedad con curvatura seccional negativa constante igual a b. Sea γ : [0, l] → M unageodésica normalizada, y sea v ∈ Tγ(l)M tal que 〈v, γ′(l)〉 = 0 y ‖v‖ = 1. Puesto que M tiene curvatura negativa, γ(l)no es conjugado a γ(0) (por el ejercicio anterior). Muestre que el campo de Jacobi J a lo largo de γ determinado porJ(0) = 0, J(l) = v, está dado por

J(t) =senh(t

√−b)

senh(l√−b)

w(t),

donde w(t) es el transporte paralelo a lo largo de γ del vector

w(0) =u0‖u0‖

, u0 = (d expp)−1lγ′(0)(v)

y donde u0 es considerado como un vector Tγ(0)M por la identificación Tγ(0)M ≈ Tlγ′(0)(Tγ(0)M). Sugerencia: Delejemplo 5.1, el campo de Jacobi J1 a lo largo de γ que satisface J1(0) = 0, J ′1(0) = u0

‖u0‖ está dado por

J1(t) =senh t

√−b√

−bw(t).

En adición, del corolario 5.1,J1(l) = (d expp)lγ′(0)(lw(0)).

70 Ejercicios

Se sigue que

J(l) = v = (d expp)lγ′(0)(u0) = J1(l)‖u0‖l.

Por lo tanto

J(t) = J1(t)‖u0‖l

=senh t

√−b√

−bw(t)

‖u0‖l

En adición, puesto que

1 = ‖v‖ = ‖J(l)‖ =senh l

√−b√

−b‖u0‖l,

tenemos‖u0‖l

=

(senh l

√−b√

−b

)−1,

lo cual implica la afirmación.

5.5 (Campos de Jacobi y puntos conjugados sobre espacios localmente simétricos). Sea γ : [0,∞) → M unageodésica en un espacio localmente simétrico M y sea v = γ′(0) su velocidad en p = γ(0). Defina una transformaciónlineal Kv : TpM → TpM por

Kv(x) = R(v, x)v, x ∈ TpM.

a) Pruebe que Kv es autoadjunto.

b) Escoja una base ortonormal {e1, . . . , en} de TpM que diagonaliza Kv; esto es,

Kv(ei) = λiei, 1 ≤ i ≤ n.

Extienda las ei a campos a lo largo de γ por transporte paralelo. Muestre que, para todo t,

Kγ′(t)(ei(t)) = λiei(t),

donde λi no depende de t. Sugerencia: Use el ejercicio 4.6.

c) Sea J(t) =∑i xi(t)ei(t) un campo de Jacobi a lo largo de γ. Muestre que la ecuación de Jacobi es equivalente al

sistemad2xidt2

+ λixi = 0, 1 ≤ i ≤ n.

d) Muestre que los puntos conjugados de p a lo largo de γ están dados por γ(πk/√λi), donde k es un entero positivo

y λi es un eigenvalor positivo de Kv.

5.6. Sea M una variedad riemanniana de dimensión dos (en este caso diremos que M es una superficie). Sea Bδ(p)una bola normal alrededor del punto p ∈M y considere la superficie parametrizada

f(p, θ) = expp ρv(θ), 0 < ρ < δ, −π < θ < π,

donde v(θ) es un círculo de radio δ en TpM parametrizado por el ángulo central θ.

a) Muestre que (ρ.θ) son coordenadas en un conjunto abierto U ⊂M formado por la bola abierta Bδ(ρ) menos el rayoexpp(−ρv(0)), 0 < ρ < δ. Tales coordenadas son llamadas coordenadas polares.

b) Muestre que los coeficientes gij de la métrica riemanniana en estas coordenadas son

g12 = 0, g11 =

∥∥∥∥∂f∂ρ∥∥∥∥2 = ‖v(θ)‖2 = 1, g22 =

∥∥∥∥∂f∂θ∥∥∥∥2 .

Ejercicios 71

c) Muestre que, a lo largo de la geodésica f(ρ, 0), tenemos

(√g22)ρρ = −K(p)ρ+R(p), donde lım

ρ→0

R(ρ)

ρ= 0

y K(p) es la curvatura seccional de M en p.

d) Pruebe que

lımρ→0

(√g22)ρρ√g22

= −K(p).

La última expresión es el valor de la curvatura gaussiana de M en p en coordenadas polares. Este hecho de lateoría de superficies muestra que, en dimensión dos, la curvatura seccional coincide con la curvatura gaussiana. Enel próximo capítulo, daremos una prueba más directa de este hecho.

5.7. Sea M una variedad riemanniana de dimensión dos. Sea p ∈ M y sea V ⊂ TpM una vecindad del origen dondeexpp es un difeomorfismo. Sea Sr(0) ⊂ V el círculo de radio r centrado en el origen, y sea Lr la longitud de la curvaexpp(Sr) en M . Pruebe que la curvatura seccional en p ∈M está dada por

K(p) = lımr→0

3

π

2πr − Lrr3

.

Sugerencia: Use el ejercicio 5.6.

5.8. Sea γ[0, a]→M una geodésica y sea X un campo de Killing sobre M .

a) Muestre que la restricción X(γ(s)) de X en γ(s) es un campo de Jacobi a lo largo de γ.

b) Use el inciso anterior para demostrar que si M es conexo y si existe p ∈M con X(p) = 0 y ∇YX(p) = 0 para todoY (p) ∈ TpM , entonces X = 0 sobre M .

Índice alfabético

álgebrade Lie, 24

acción, 13propiamente discontinua, 13

axiomade Hausdorff, 17segundo numerable, 17

banda de Möbius, 14botella de Klein, 14

campode Killing, 48de velocidades, 25geodésico, 37vectorial

paralelo, 30campo vectorial, 14

a lo largo de una curva, 25diferenciable, 14

campo:de Jacobi, 65codimensión, 6conexión

afín, 29de Levi-Civita, 32pseudoriemanniana, 34riemanniana, 32

conexión afíncompatible, 31simétrica, 32

contractible, 47a un punto, 47

corchete, 16curva, 3

diferenciable a trozos, 39horizontal, 47parametrizada, 25

curvatura, 51de Ricci, 57escalar, 57seccional, 55

derivadacovariante, 60

derivada covariante, 29difeomorfismo, 5

local, 5diferenciabilidad

en mapeos, 3diferencial, 5

covariante, 60divergencia, 48

ecuaciónde Jacobi, 64

ecuación de Killing, 48elemento de volumen, 49encaje, 6espacio

localmente simétrico, 62tangente, 4

estructura diferenciable, 1

flujo, 36geodésico, 37

flujo local, 16fuertemente convexo, 44

geodésica, 35normai, 36puntual, 35segmento, 35

minimizante, 39gradiente, 48grupo

de Lie, 23

haz tangente, 8

identidadde Bianchi, 52

segunda, 62de Jacobi, 16

inmersión, 6isométrica, 23

isometría, 23local, 23

laplaciano, 49

74

Índice alfabético 75

métricade Lorentz, 34inducida, 23invariante

izquierda, 23pseudoriemanniana, 34riemanniana, 22

representación local, 23mapeo exponencial, 38marco

móvil, 59marco geodésico, 48

normalbola, 41esfera, 41vecindad, 41

orientación, 10

parametrización, 1proyección, 13proyección estereográfica, 11punto

conjugado, 67lugar geométrico, 68multiplicidad, 67

punto crítico, 10

símbolos de Christoffel, 32subgrupo monoparamétrico, 47subvariedad, 6superficie

parametrizada, 39superficie regular

de dimensión superior, 9

tensor, 59componente de, 59contravariante, 59covariante, 59de curvatura, 59de Ricci, 57

tensores, 54teorema

de Schur, 62teorema de Hopf, 50teorema de Liouville, 50toro, 14transporte paralelo, 30trayectoria, 16

vértice, 39ángulo de, 39

valor crítico, 10

valor regular, 10variedad

diferenciable, 1einsteiniana, 63isotrópica, 62orientable, 10producto, 19riemanniana, 23

vecindad coordenada, 1vector

horizontal, 47vertical, 47

vector tangente, 4a la curva, 3

volumen, 26

geometría riemanniana - nekonekno.x10.mxnekonekno.x10.mx/doc/docarmo.pdf · manfredo perdigão do...

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