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Géométrie ComparéeÉtude de la Composition dans les Arts
PragueJanv 2011
LE POLYÈDRE DE
MELENCOLIA § Idit “polyèdre de Dürer”
Le calcul des sphères du polyèdreL'héritage pythagoricien dans la géométrie sacrée
par Yvo JacquierNul n'est censé ignorer la Science
Géométrie Comparée @ Yvo Jacquier - Le Polyèdre de « MELENCOLIA § I » - A. Dürer 1 sur 17
TABLE DES MATIÈRES------------------------------------------------------------------------------------------------
p. 2 Table des matières
p. 2 Présentation
p. 3 Définitions
Art - Composition - Figure géométrique et Structure géométrique
Géométrie Sacrée - Géométrie Comparée
I - Le module du Polyèdre de Dürer
p. 4 1 • Énoncé du Problème
p. 5 2 • La construction du module
p. 7 3 • Reconstitution du polyèdre et de sa sphère
II - Les calculs du Polyèdre - Sphères
p. 8 1 • Le grand Pentagramme de Dürer
p. 9 La réduction du module, de Profil - Les triangles équilatéraux -
p. 9 La disposition des figures - La méthode
p. 10 2 • Premier rayon de la sphère
p. 10 Vue de dessus - Vue de profil - Triangle T2 - La Verticale - Triangle T1
p. 11 Le petit côté de T1 - Retour au triangle T2
p. 12 3 • Deuxième rayon de la sphère
p. 12 Le triangle T
p. 13 4 • La sphère intérieure
Annexe I - Le PENTAGRAMME
p. 14 Construction - Mesures et angles
p. 15 Construction du grand pentagramme de Dürer
Annexe II - La dimension symbolique du Polyèdre
p. 16 La reconstitution physique de la sphère
Annexe III
p. 17 Le problème reposé
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PRÉSENTATION
Cet article s'adresse en priorité aux Mathématiciens. Il rassemble des éléments qui les concernent
directement. Les démonstrations sont accessibles à un large public, en revanche seuls les professionnels
sont habilités à adouber ce travail, sur le plan scientifique et pédagogique, qui explique le passage
historique d'une Géométrie "avec les yeux", à celle où le calcul s'associe à la construction des figures.
Définitions
Art
Le champ où s'inscrit ce travail de recherche a lieu d'être précisé : il comprend Peinture, Sculpture et
Architecture dans l'Histoire.
Composition
La composition est comparable au bois de coffrage du bâtiment. Le propre de ce bois est de se retirer à
la fin du chantier. Un ensemble de figures géométriques guide le trait de l'Artiste ou de l'Architecte,
jusqu'à se faire digérer par l'oeuvre.
Figure géométrique et Structure géométrique
Les figures peuvent être envisagées séparément, comme c'est la "tradition" dans l'Histoire, mais elles
deviennent véritablement intéressantes quand elles se lient entre elles pour former un réseau, une trame
plus complexe capable d'assumer, et de donner un sens à l'oeuvre qui se bâtit sur elles.
Géométrie Sacrée
La Géométrie Sacrée est la pratique ancestrale de l'Art de la Composition. Elle se sert de structures
géométriques pour construire des oeuvres d'art. Cette Géométrie a un sens, porté par les valeurs
numériques des figures, identifiables sur un quadrillage.
Géométrie Comparée
La Géométrie Comparée est la Science qui étudie les oeuvres construites avec une Géométrie Sacrée.
La méthode consiste à comparer les oeuvres entre elles pour faire ressortir des structures communes.
Un principe s'ajoute, celui de la double-preuve, qui éclaircit les nombreux résultats de l'étude et écarte
les schémas secondaires.
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I - Le module du Polyèdre de Dürer
1 • Énoncé du Problème
Le polyèdre de Dürer est l'un des éléments le plus
remarqués de la célèbre gravure d'Albrecht Dürer :
« MELENCOLIA § I », datant de l'année 1514.
Depuis l'origine, l'on cherche à savoir si ce solide
étrange s'inscrit ou non dans une sphère. Ce point
décide non seulement du genre de la forme, mais il
participe au statut de l'Archange.
Un débat a longtemps opposé les partisans d'une représentation déformée d'un cube tronqué à ceux qui voyaient
en cette forme celle d'un rhomboïde tronqué. Citons les principaux protagonistes, sans préciser leur camp car ce
débat est clos désormais : P. Weber (1900), D.H. Richter (1957), W. L. Strauss (1972), E. Schröder (1980), C.
MacGillavry (1981), T. Lynch (1982), P. Schrieber (1999), et enfin H. Weitzel (2004). Les publications les plus
récentes sont accessibles en langue anglaise, aussi pour un temps avec Christophe de Cène, nous nous sommes
posé la question de l'origine du schéma des angles présentés ci dessus (source : Wikipedia).
Ainsi, d'une façon comme d'une autre, l'on connaissait les angles d'un module qui se répète sur six de ses faces1.
Pour nous, la question n'était pas tant mathématique, ou même historique : c'était un problème de conscience !
Dürer maîtrisait-il la structure du polyèdre qui s'exhibe au milieu de sa fameuse Melencolia ? Comment en être
sûr alors qu'il n'a pas laissé la moindre trace écrite sur sa pratique de la géométrie sacrée ? Nous avons alors
retenu une hypothèse et une certitude. La certitude est que Dürer ne disposait en tout et pour tout que du
théorème de Pythagore comme matériel de démonstration. L'hypothèse de bon sens est que si le calcul de la
sphère est accessible par ce théorème, Dürer était en mesure d'y penser, au besoin de se faire “corriger”,
notamment par Luca Pacioli ou Johannes Stabius. Selon quoi le problème se résumait à celui de la faisabilité de
la démonstration par le calcul selon Pythagore, de la sphère qui enferme ou non le fameux polyèdre de Dürer.
Ensuite, une fois cette question résolue, une seconde question émerge : celle du réel statut de la forme dans la
culture de Dürer. Un dossier exhaustif est présenté dans l'article :
http://www.art-renaissance.net/EDL/Yvo_jacquier-La_conscience_de_Durer.pdf
Note 1 : Pour autant, le solide ne respecte pas plus que l'échelle les règles précises de la Perspective.
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2 • La construction du module
Par la peinture, le nombre d'or révèle sa nature géométrique. Les
peintres ne s'en servent pas selon le mode des mathématiciens, dont le
riche discours est résolument algébrique. En outre, la transposition du
résultat des équations produit une logique de proportion qui ignore le
rôle essentiel du nombre d'or : sa capacité à produire des structures dans
l'espace. La figure ci-contre permet d'aborder cette logique avec les
yeux. Par l'angle de 36°, le point inférieur du diamètre d'un cercle de
diamètre 2 se lie à φ, le nombre d'or, sur le cercle...
À gauche - L'équerre de la Géométrie Sacrée s'accorde à Phi (90°, 36° et 54°).
Construisons un Pentagone et son Pentagramme, par report du compas.
À droite - En répétant cette opération du compas, à partir du point le plus bas,
naît un deuxième pentagramme, inversé, pour compléter l'étoile à dix branches.
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À gauche - Le motif qui construit le polyèdre, se cache dans cette figure. Il suffit de choisir cinq points.
À droite - Deux pentagrammes internes se révèlent et impriment leurs mesures dorées.
Trois de ces modules s'assemblent sur leurs bords, selon un angle de 72°, pour
constituer la partie haute du polyèdre. Un triangle équilatéral bouchera le sommet.
La partie du bas, constituée également de trois modules, a la même construction.
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3 • Reconstitution du polyèdre et de sa sphère
Il suffit alors de coller le tout pour reconstituer le polyèdre . La photo en
encart le montre sur la table de Christophe de Cène. Le symboliste a
repéré la présence des deux étoiles internes du module, à partir du
schéma intuitif du cercle et de sa proportion dorée que je lui avais
proposé. Sans cette suite d'idées, le polyèdre serait encore aujourd'hui
sujet de chorus trigonométriques et philosophiques sans livrer sa vérité.
L'interrogation de l'Archange ne peut pas concerner des équations que
nous allons résoudre avec les outils de l'époque. À savoir Thalès, les
propriétés des triangles semblables et le théorème de Pythagore.
L'Archange use sa patience à nous attendre au pied de son échelle...
II - Les calculs du Polyèdre - Sphères
Ce polyèdre est un exemple d'école de la
Géométrie Sacrée. Dans le développement des
pavages non périodiques, l'on utilise les propriétés
virtuoses du pentagramme, liées au nombre d'or.
Elles se traduisent ici par une simplification
miraculeuse du calcul et des situations dans
l'espace...
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1 • Le grand Pentagramme de Dürer
Le module qui se répète dans le Polyèdre de Dürer a des propriétés singulières,
que la figure du Grand Pentagramme met en évidence. La principale est dans le
rapport entre la grande et la "petite largeur" du "losange" tronqué :
√(2+Phi) ÷ √(3-Phi) = Phi
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La réduction du module - de Profil
Le module, ici vu de face, se retrouve de profil et subit une
inclinaison pour se rattacher aux deux autres. Il est ici
schématiquement représenté par le trait rouge. Dans cette
position de profil, il n'a aucune épaisseur et se voit dans sa
hauteur exacte.
Les triangles équilatéraux
Vue de dessus, les petites et les grandes largeurs dessinent des
Triangles Equilatéraux dont les complémentaires à la base du
solide (non représentés ici), viennent compléter deux
hexagrammes de Salomon.
La disposition des figures
Le Polyèdre est alors envisagé selon deux angles de vue : la vue
de dessus, et la vue de profil. Tous les points sont sur les mêmes
verticales (représentant autant de plans vus de profil) puisque la
rotation se fait selon un axe horizontal situé exactement face à
nous (façon barbecue). Le "chapeau rouge" vient enfin
reconstituer les losanges d'origine qui furent tronqués pour
obtenir le module.
La méthodeNous allons calculer le premier rayon d'une sphère qui enferme ce polyèdre. En effet, deux sortes de points sont
concernés, au nombre de 2x6, et on peut ramener le tout à deux calculs. Celui des points où se réunissent les
grandes largeurs (en vert), et celui des points où se réunissent les petites largeurs (en rouge). Si la valeur des
deux rayons est la même, la sphère est exacte. Sinon, comme le montre l'expérience du "travail manuel", la
sphère sera "juste" à une marge près que nous allons établir.
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2 • Premier rayon de la sphère
Vue de dessus
Le centre de la Sphère est forcément à la verticale du sommet de
la pyramide rouge, les trois faces étant équivalentes.
Vue de profil
Verticalement, ce sommet est "au milieu" de la ligne qui sépare
les deux modules qui apparaissent, de façon symétrique. En
réalité, deux autres faces sont cachées, qui se confondent avec
celles-ci selon cet angle de vue. Le centre de la sphère est au
milieu de la ligne qui unit les milieux respectifs. Sous cet angle,
se segment est un point. Cette considération a son importance
puisque le point d'intersection des deux grandes largeurs sur la
gauche est exactement sur le plan du centre (la vue de dessus en
témoigne).
Triangle T2
Une fois positionné, ce centre va chercher la mesure du rayon qui
le sépare du point des grandes largeurs. Les cinq autres sont
équivalents de par la symétrie du solide, rappelons-le. Pythagore
sera notre seul outil. Nous avons besoin de deux cotes, verticale et
horizontale. Le rayon est l'hypoténuse du triangle T2.
La Verticale
L'échelle en rouge nous permet de visualiser les rapports de hauteur. La hauteur totale du losange complet est
coupée en deux par la ligne verte (grande largeur), milieu vertical du losange. Le centre de la sphère est à son
tour situé au milieu de la moitié inférieure. La symétrie de la figure y oblige. En revanche, la graduation "3" en
hauteur de l'échelle ne correspond pas au niveau du triangle équilatéral rouge (celui qui tronque les losanges).
Triangle T1
Or, la moitié supérieure du Polyèdre non tronqué, prolongé de son chapeau rouge, dessine un tétraèdre à trois
faces égales dont nous pouvons calculer la hauteur. Cette hauteur correspond à deux fois la cote verticale de
notre rayon. Calculons cette hauteur selon Pythagore.
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Le petit côté de T1
Sur la vue de dessus, considérons le triangle équilatéral vert. Son coté est de
√(2+Phi). La "hauteur" d'un triangle équilatéral fait √3÷2 fois son coté. Et le milieu
du cercle qui cerne les trois sommets est au tiers de la base et au deux tiers du
sommet. Ce petit segment horizontal, sur la droite de la figure, fait donc :
(1÷3).(√3÷2).√(2+Phi) = √(2+Phi)÷2√3
Nous connaissons l'hypoténuse de T1, qui correspond à la moitié de (Phi+1).
Selon quoi le calcul donne, si H est la hauteur du tétraèdre (base verte) :
H² + [√(2+Phi)÷2√3]² = (Phi+1)²
soit :
H = √[(2Phi+1)÷3] ≈ 1,188
Retour au triangle T2
La recherche de l'hypoténuse, rayon de la sphère, fait intervenir H/2 en hauteur et
2/3 de la hauteur du triangle équilatéral vert, soit :
(2÷3)(√3÷2)√(2+Phi) = √[(2+Phi)÷3]
R² = (H/2)² + (2+Phi)÷3 = [(2Phi+1)÷3]÷4 + (2+Phi)÷3
R = √(2Phi+3)÷2
Le diamètre de la Sphère est donc :
D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 5/2 à 1,1‰
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3 • Deuxième rayon de la sphère
Le triangle T
- Le coté horizontal du Triangle T fait :
(2/3).(√3/2).[√(3-Phi)]
Soit :
Coté horizontal = √[(3-Phi)÷3]
- Le coté vertical fait :
H/2 + h1
Pour trouver h1, utilisons le théorème de Thalès :
H/h2 =
segment vert ÷ segment rouge =
Gde largeur du module ÷ Pte largeur du module
H/h2 = Phi
les noms des segments compliqueraient la figure
Or : h1 + h2 = H
Donc :
h1 = H - h2 = H - H/Phi = H (1-1/Phi)
D'où le coté vertical :
H/2 + h1 = H(1/2 + 1 - 1/Phi) = H(5/2-Phi)
(5/2-Phi).√[(2Phi+1)÷3] = √[(10Phi-3)÷12]
Coté vertical = √[(10Phi-3)÷12]
Somme du carré des deux cotés :
3-Phi)÷3 + (10Phi-3)÷12 = (2Phi+3)÷4
R = √(2Phi+3)÷2 Q.E.D.
Les deux calculs de rayon, pour les deux types de points, donnent le même résultat.
Le polyèdre de Dürer est bien parfaitement inscrit dans une sphère de diamètre :
D =√(2Phi+3)
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4 • La sphère intérieure
Le rayon de la Sphère intérieure se cale sur la même figure. Les surfaces parallèles, vues de profil (des modules
supérieur à droite et inférieur à gauche) présentent par trois fois la même configuration sur le Polyèdre. Il suffit
de tracer les perpendiculaires aux segments qui les représentent, passant par le centre que l'on connaît. Nous
allons utiliser le principe des triangles semblables, comme nous l'avons fait pour établir les propriétés du grand
Pentagramme.
Considérons le triangle que fait naître le rayon avec le sommet du polyèdre non tronqué. Ce triangle est
"semblable" à deux autres (l'angle du sommet est le même, et un deuxième angle est droit; le troisième est
forcément égal).
- 1er triangle semblable - La partie droite du "chapeau rouge"
- 2nd triangle semblable - La partie droite du "Triangle de base verte".
Le second est plus pratique :
Nous allons y trouver le même rapport entre la base
et l'hypoténuse :
Base ÷ Hypothenuse = r ÷ 3.H/2 =
(1÷2√3)[√(2+Phi)] ÷[(Phi+1)÷2]
avec H = √[(2Phi+1)÷3]
r=[3.√[(2Phi+1)÷3]÷2].(1÷2√3)[√(2+Phi)]÷[(Phi+1)÷2]
r = (1/2).√(2Phi-1)
donc :
d = √(2Phi-1) ≈ 1,495 349 ≈ 3/2 à 3,1‰
Rappelons que D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 2,5 à 1,1‰
Le rapport entre les deux sphères, intérieure et extérieure, est :
d/D = √[(2Phi-1)(2Phi+3)] ≈ 0,598 807 ≈ 3/5 à 2 ‰
Cette marge est typique de la Géométrie Sacrée (et sera l'objet d'un autre article).
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Annexe I - Le PENTAGRAMME
Construction- Soit un carré de coté 1
• La diagonale du double-carré de base 1/2 mesure √5/2
- Du milieu de la base on trace un cercle de rayon √5.
• De l'angle gauche de la base au cercle la distance est
1/2+√5=Phi, que l'on prend pour mesure au cercle vert.
• Du même point l'on prend le 1 vertical pour mesure.
L'intersection des deux cercles verts donne le point
extérieur du pentagone de coté 1.
Il y a cinq triangles d'or dans un pentagone, ici de base 1 et coté Phi.
Mesures et angles
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Construction du grand pentagramme de Dürer
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Annexe II - La dimension symbolique du Polyèdre
La reconstitution physique de la sphère
Les douze étoiles du polyèdre ne manquent pas d'évoquer le
Zodiaque. L'Astrologie est une dimension initiale de la Symbolique.
Dans un article intitulé :
Kepler, d’un savoir ancien à la physique moderne
le symboliste Christophe de Cène reconstitue avec précision la
démarche fondatrice de la physique moderne. Cet épisode de
l'Histoire, qui se conclut par les fameuses lois de Kepler, est souvent
mal interprété. À partir de textes originaux de l'Homme qui créa la
Science, ainsi que de publications universitaires, l'auteur décrypte
point par point les étapes de cette grande aventure.
En résumé, Kepler a trouvé non seulement l'inspiration, mais surtout les principes élémentaires pour fonder ses
lois, dans la grande Culture de la Géométrie Sacrée. Il en était l'héritier. Astrologue réputé, il traduit cet héritage
en intégrant une valeur qui, dans son contexte traditionnel, esquivait la mesure : le temps. La troisième loi de
Kepler se rapproche étrangement de l'équation de Phi dont Vénus est la muse...
Les solides de Platon sont une des bases reconnues du travail de Kepler. À la quête du modèle parfait que sa foi
lui inspirait, il compléta les efforts des Grecs par les solides connus sous le nom de Solides de Kepler-Poinsot. Il
n'a malheureusement pas pensé au Polyèdre de Dürer, qui se rapporte étrangement à Mars. Or ce puissant objet
de la Géométrie Sacrée ne saurait être réservé à Dürer seul. Le Maître de Nürenberg peut en avoir finalisé les
démonstrations, peut-être même aidé de Paccioli, mais d'une façon comme d'une autre, le solide a intégré le
discours de la "Tradition", avant ou à partir de Melencolia. Et moins d'un siècle plus tard, cette "Tradition"
perdait déjà de son élan, au point que l'érudition de Kepler ne s'en rappelait pas. C'est en quelque sorte une
chance que cette culture soit restée assez vivace pour permettre à Kepler de hisser sa conscience au niveau de ce
qui deviendra la Science.
Un article plus complet est consacré au statut du polyèdre de Dürer :http://www.art-renaissance.net/EDL/Yvo_jacquier-La_conscience_de_Durer.pdf
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Annexe III - Le problème reposé
Cet article résout un problème de façon simple avec les moyens de l'époque. L'on suppose la forme régulière et
l'on cherche la sphère dans laquelle il s'inscrit. Longtemps ce problème est resté irrésolu, et l'on a fini par voir en
ce solide de pierre un symbole de mystère, et même d'impuissance pour l'homme.
En toute objectivité, selon les règles de la perspective, les faces visibles du solide représenté dans Melencolia ne
sont pas régulières, loin s'en faut. Deux options se proposent alors : l'idée d'un solide débile ou celle d'un solide
régulier avec lequel Dürer aurait pris quelque liberté dans sa représentation. Nous apprendrons avec les calques
de la composition une part des raisons de cette déformation. Mais avant d'aborder ce voyage qui prend au bas
mots soixante-dix visuels et deux fois ce nombre de pages, nous devons faire preuve de bon-sens.
Dürer a construit son polyèdre "en 3D", avant de le dessiner, et de le graver. Une esquisse de sa main en
témoigne, archivée à la Bibliothèque de Dresde. L'artiste y montre même un certain amusement. Celui du renard
en quelque sorte. Le solide est posé sur une estrade, qui elle-même est tronquée. Ce détail a son importance car
le problème du solide se résume à savoir à quel niveau le rhomboèdre est tronqué pour dessiner ses chapeaux
triangulaires. Celui qui est habitué à ce genre de travaux pratiques, à assembler des bouts de cartons, sait qu'il y
a fort à parier qu'elle soit régulière. Huit surfaces doivent se coller entre elles pour former un tout cohérent et
c'est déjà bien assez compliqué. Quant à concevoir six surfaces asymétriques et à parvenir à les assembler... Cela
relève du fantasme. Pendant cinq siècles, les mathématiciens ont cherché à calculer la sphère du polyèdre, à
force de chorus trigonométriques et de supputations sur les angles, sans y parvenir. Comment Dürer aurait-il pu
calculer des formes asymétriques pour un résultat "presque crédible" à l'oeil. Et dans quel but ? Pour démontrer
quoi ? L'ir-raison n'est pas la mentalité de Dürer, le Maître, le pédagogue. D'ailleurs, la tradition ne la rapporte
pas. Il est toujours question de la résolution de la sphère et du calcul des proportions du Polyèdre. Et sa
déformation n'est l'objet d'aucune thèse.
L'hypothèse dominante, instituée en Dogme par trois principaux auteurs, successivement Florensky, Panofsky et
Rauschenbach, veut que Dürer soit uniquement un Maître de la perspective. Dans ces conditions l'on ne peut pas
remarquer, ni accepter que l'échelle de Melencolia ne tient pas debout. On ne peut pas non plus envisager que le
polyèdre respecte d'autres règles que celles de la Perspective. Cette pression de l'opinion toute faite et dominante
est une des marques de la pensée esthétique du XXème Siècle. Et un sombre écho du colonialisme.
Le XXIème Siècle ne pourra commencer que quand il dénoncera ces erreurs.
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