giansalvo exin cirrincione unité #2 les deux problèmes fondamentaux résolution dun système...
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Giansalvo EXIN CirrincioneGiansalvo EXIN Cirrincione
unité #2unité #2
Les deux problèmes fondamentaux Les deux problèmes fondamentaux
Résolution d’un système linéaireRésolution d’un système linéaireA uA u = = bb
Calcul des valeurs propres et des Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matricevecteurs propres d’une matrice
erreur de troncatureerreur de troncature
erreurs d’arrondierreurs d’arrondiRésolution d’un système linéaireRésolution d’un système linéaire
A uA u = = bb
Méthodes directes
Méthodes itératives
Méthodes itératives !
Calcul des valeurs propres et des Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matricevecteurs propres d’une matrice
Compagne du polynôme
Théorème de Abel
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
1u bA A
u b
Au b
A u u b b
1 bu uA Ab
Au b
A A u u b
1u A A u u
1u AA A
u u A
Conditionnement d’un système linéaire
1u bA A
u b
1u AA A
u u A
1cond A A A A 1cond A A A A
Soit une matrice inversible et soit et les solutions de
On suppose 0. Alors l'inégalité
est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on peu
Au b
A u u b b
u bA
u b
A u u u
b
A
t
trouver des vecteurs 0 et 0 tels qu'elle devienne une égalité.b b
Soit une matrice inversible et soit et les solutions de
On suppose 0. Alors l'inégalité
est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on peu
Au b
A u u b b
u bA
u b
A u u u
b
A
t
trouver des vecteurs 0 et 0 tels qu'elle devienne une égalité.b b
Conditionnement d’un système linéaire
1u bA A
u b
1u AA A
u u A
1cond A A A A 1cond A A A A
Soit une matrice inversible et soit et les solutions de
On suppose 0. Alors l'inégalité
est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on
Au b
A A u u b
u A
A u
A
u u
b
A
Au u
peut
trouver un vecteur 0 et un matrice 0 tels qu'elle devienne une égalité.
On a par ailleurs l'inégali é
1
t
u AA O A
u A
b A
Soit une matrice inversible et soit et les solutions de
On suppose 0. Alors l'inégalité
est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on
Au b
A A u u b
u A
A u
A
u u
b
A
Au u
peut
trouver un vecteur 0 et un matrice 0 tels qu'elle devienne une égalité.
On a par ailleurs l'inégali é
1
t
u AA O A
u A
b A
Conditionnement d’un système linéaire
1u bA A
u b
1u AA A
u u A
1cond A A A A 1cond A A A A
1
1Si alors :
1
u b AA
A
u b AA
A
A
A
1
1Si alors :
1
u b AA
A
u b AA
A
A
A
Conditionnement d’un système linéaire
1u bA A
u b
1u AA A
u u A
1cond A A A A 1cond A A A A
x1
min : singulièren nA BB
A A
x1min : singulièren nA B
BA A
1cond pour 1, 2,p p p pA A A A p 1cond pour 1, 2,p p p pA A A A p
Conditionnement d’un système linéaire
1cond A A A A 1cond A A A A
Un système linéaire Un système linéaire Au Au = = b b est autant est autant mieux conditionnémieux conditionné que le nombre que le nombre cond (cond (AA)) est est voisin de 1voisin de 1..
Conditionnement d’un système linéaire
1cond A A A A 1cond A A A A
10" lose dilog gits "A
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution
r b Ax
1 1 1
1
rx x A b A b r A r A
A
x x rA r A
x A x b
r
x x
1 1 1
1
rx x A b A b r A r A
A
x x rA r A
x A x b
r
x x
Conditionnement d’un système linéaire
Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution
1.2969 0.8648 0.8642 2
0.2161 0.1441 0.1440 2A b x
8
8
0.9911 10
0.4870 10x r b Ax
1 8
1 8
0.1441 0.864810
0.2161 1.2969
3.3 10
A
A A A
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
1 1min , ii
A p max , n i ni
A p A normale
2 21 1 2
2 2
n
u bb p b p A
u b
n nn n n n
n n
p pAp p A p u
nb p
n
n
pu
Conditionnement d’un système linéaire
1 1min , ii
A p max , n i ni
A p A normale
2 21 1 2
2 2
n
u bb p b p A
u b
n
n
pu
2 212 2
12 2
nu bu p
u b
1u p
u u
nb p
1 1b p b b
Matrice de HilbertMatrice de Hilbert
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Théorème de Bauer-Fike
Soit Soit AA une matrice diagonalisable, une matrice diagonalisable, PP une matrice telle que une matrice telle que
1 diag iP AP
et et || • || une norme matricielle telle que|| • || une norme matricielle telle que
diag maxi ii
d
pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice A,A,
1
sp
;
n
ii
i i
A A D
D z z P A
1 2e.g. , ,
C’est le conditionnement de la C’est le conditionnement de la matrice de passage à une matrice matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !diagonale qui intervient !
C’est le conditionnement de la C’est le conditionnement de la matrice de passage à une matrice matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !diagonale qui intervient !
Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Si Si AA est une matrice diagonalisable, est une matrice diagonalisable,
1
1
inf ; d
p
ia
;
g
sn
i
i
i
A P
A z z A A
P AP
A
conditionnement de A relativement au
calcul de ses valeurs propres
Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Si Si AA est une matrice diagonalisable, est une matrice diagonalisable,
1
1
inf ; d
p
ia
;
g
sn
i
i
i
A P
A z z A A
P AP
A
* * 12 2inf ; diag 1iAA A A A P P AP
Les Les matrices normalesmatrices normales sont très bien conditionnées sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.pour le problème des valeurs propres.
* *
21
sp ;n
ii
AA A A A A z z A
Conditionnement d’un problème de valeurs propres
* * 12 2inf ; diag 1iAA A A A P P AP
Les Les matrices normalesmatrices normales sont très bien conditionnées sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.pour le problème des valeurs propres.
* *
21
sp ;n
ii
AA A A A A z z A
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
Approximation par les moindres carrées
, , 1i ix c i m
regression
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
Approximation par les moindres carrées
moon fit
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
Approximation par les moindres carrées
regression linéare regression non linéare
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
Approximation par les moindres carrées
regression linéare
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
Soit wj , 1 j n (n < m) un ensemble de n fonctions réelles linéairement indépendantes, définies sur un ensemble contenant les points xj . Le problème consiste à déterminer une fonction
1
n
j jj
U u w
telle que les égalités U(xi) , 1 i n , soient approchées « au mieux ».
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
1
n
j jj
U u w
ordinary least squares
data least squares
total least squares
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
1
n
j jj
U u w
On cherche une fonction U qui rend minimum le nombre :
2
1 1
lorsque le vecteur décrit m n
nj j i i j j
i j
v w x c u w v
2 2trouver / inf
n
n
vu Bu c Bv c
1
mxnj iij
m mi i
B b
c
w x
c
2 2 2
2 222 ,T T
nB u w c Bu c B Bu B c w Bw
T TB Bu B cT TB Bu B cÉquations normalesÉquations normales
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
système mécanique à deux degrés de liberté
1
1
1
1
1
: variable d'état
: position du ressort
: position du ressort au repos
: masse au bout du ressort
: constante de raideur du ressort
: force agissant u
niquement sur la
sec
o e ) n( d
u t
x t
L
m
k
f t masse
m1 m2 f(t)k1 k2
x1(t)x2(t)
Seconde loide Newton
)(221222
2
2
2212121
2
1
tfukukdt
udm
ukukkdt
udm
222
111
Ltxtu
Ltxtu
11 2 2
1 1
2 22
2
2
2
22
0( )
, , , ( )
( )
k k k
mu t
u bf t
u tm
mK
k k
m m
d uKu b
dt
Écriture matricielle
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
système mécanique à deux degrés de liberté
m1 m2 f(t)k1 k2
x1(t)x2(t)
2
2
d uKu b
dt
1
2
1
2
2
0si telle que : ,
0
on pose
P P
d vDv Pb
d
KP D
v ut
P
21
1 1 12
22
2 2 22
( )
( )
d vv g t
dt
d vv g t
dt
Le comportement des deux ressorts Le comportement des deux ressorts est découpléest découplé - si l’on admet que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système.
fréquences de fréquences de résonancerésonance
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
système mécanique à deux degrés de liberté
fréquences de fréquences de résonancerésonance
2 2
2
22 2 2 2
solution : ( )
1avec
1
i t
i t
x t ke
k
x x x e
k
i
2 2
2
22 2 2 2
solution : ( )
1avec
1
i t
i t
x t ke
k
x x x e
k
i
0 0.5 1 1.5 2 2.50
2
4
6
8
10
fréquence excitatrice
Mod
ule
de l'
ampl
itude
de
la r
épon
se
Amplitude de la réponse Amplitude de la réponse d’un système oscillantd’un système oscillant
FINEFINE