gli insiemi dispensa a cura del prof. vincenzo lo presti
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GLI INSIEMI
Dispensa a cura del prof.
Vincenzo Lo Presti
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CONCETTO DI INSIEMEIn matematica si chiama insieme un raggruppamento di cose, persone o entità che rispettano un determinato criterio, mediante il quale si può stabilire con assoluta certezza quali sono gli elementi che compongono l’insieme.
RAGGRUPPAMENTI CHE COSTITUISCONO INSIEMI
RAGGRUPPAMENTI CHE NON COSTITUISCONO INSIEM
Le città italiane con più di 500.000 abitanti
Gli alunni della classe che pesano sino a 60 kg
I rettangoli che hanno la base di 10 cm
Le città italiane grandi
Gli alunni simpatici della classe
I rettangoli piccoli
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SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto italiano: A , B, C, D, E, ………
Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto italiano: a,b,c,d,e, ………
In matematica alcune lettere maiuscole sono riservate a particolari insiemi numerici:N Insieme dei numeri naturaliP Insieme dei numeri naturali pariD Insieme dei numeri naturali dispari Z Insieme dei numeri interi relativiQ Insieme dei numeri razionali
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SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI
Nello studio degli insiemi si utilizzano particolari simboli
c B
Simbolo di appartenenza
L’elemento c appartiene all’insieme B
4 N Il 4 appartiene all’insieme dei numeri naturali
Simbolo di non appartenenza
-3 N Il -3 non appartiene all’insieme dei numeri Naturali
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TIPI DI INSIEMIGli insiemi possono essere:
Esempi:
Finiti – se hanno un numero ben preciso di elementi
Infiniti – se hanno infiniti elementi
L’insieme dei divisori di 12 è un insieme finito in quanto ha un numero ben preciso di elementi (sei ed esattamente 1,2,3,4,6,12)
L’insieme dei multipli di 6 è un insieme infinito in quanto ha infiniti elementi(6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72………)
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INSIEME VUOTOUn insieme si dice vuoto se non ha elementi
Esempi:
L’insieme vuoto si indica con o con {}
L’insieme dei multipli di 4 che sono dispari
L’insieme dei quadrati con tre lati
L’insieme dei divisori di 13 che sono pari
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RAPPRESENTAZIONEPer rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano che chiameremmo “A”
Con il diagramma di Eulero Venn:
1
Ae i
a
o
2
Attraverso la rappresentazione tabulare o per elencazione:
3
Enunciando la proprietà caratteristica :
A = a;e;i;o;u
A = xx è una vocale dell’alfabeto italiano}
u
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SOTTOINSIEME
Aa
b B
c e
df
A = a; b; c, d; e; f
B = b; d
Si dice che l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A
B A
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SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”B è un SOTTOINSIEME
IMPROPRIO di A
C è un SOTTOINSIEME DI A
Ogni insieme è un SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di sé stesso
Aa
b B
c
dB A
C B
A A, B B,…..
L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di ogni insieme
C, B, …..
C
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APPARTENENZA e INCLUSIONE
INCLUSIONEAPPARTENENZA
b A
b A
L’elemento b appartiene
all’insieme A
L’insieme b è strettamente
incluso nell’insieme A
b A
d
L’insieme d;b è uguale ad A
d;b Aoppure
d;b = A
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INTERSEZIONE “A B”
A
B
A B
E’ l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A
sia a B A B = xx A e x B
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CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
A A = A
A =
Se B A allora A B = B
A A =
A U = A
Se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI
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UNIONE “A B”
A
B
A B
E’ l’insieme degli elementiche appartengono ad A
“o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.
A B = xx A o x B
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UNIONE di insiemi DISGIUNTI
A B
L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A B
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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
A A = A
A = A
Se B A allora A B = A
A A = U
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A B A B
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
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DIFFERENZA. “A - B”
A B
A - BSi tolgono ad A tutti gli elementi
che appartengono a B
E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B
E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a BA - B = xx A e x B
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DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A - B = a; b; cB - A = g; h; i; l
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DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.
A Ba d c b e
f
g h
l i
A - B = a; b; c
B - A = g; h; i; lA B
a d c b e
f
g h
l i
A
Ba d c b e
f
g h
l i
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CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI
A - A =
A - = A
Se A B = allora A - B = A e B - A = B
Se B A allora B - A =
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INSIEME COMPLEMENTARE
BA= A-B = xx A e x B
Dati due insiemi A e B con BA si chiama complementare di B rispetto ad A la differenza A-B
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INSIEME COMPLEMENTARE
A
B
a
b
c e f
g
d
BA =a; b; g
E’ l’insieme deglielementi di B
Che non appartengonoad A
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PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B = (x;y)x A e y B
Si legge A cartesiano B
Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2
Aa
b
c
B
1
2
A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1),
(b ;2), (c ;1), (c ;2)
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:
Aa
b
c
B
1
2
Rappresentazione SAGITTALE
1 (a;1) (b;1) (c;1)
2 (a;2) (b;2) (c;2)
B/ A a b c
Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA
a b c
1
2
Rappresentazione CARTESIANA
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OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)
Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie
A x A = A2
A x B B x A
Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.
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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
A a
c b
A = a; b; c;
a; b; c
Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI
propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica
con P(A)
I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:
a b c a; b a; c b; c
P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c
Gli elementi di P(A) sono INSIEMI
Se A contiene n elementi,
P(A) ne contiene 2n
L’insieme delle parti di A è:
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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
Gli elementi di P(A) sono INSIEMI ed esattamente tutti i sottoinsiemi propri e i due sottoinsiemi impropri (l’insieme stesso e l’insieme vuoto)
REGOLA PER DETERMINARE IL N. DI ELEMENTI DELL’INSIEME DELLE PARTI
Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n Esempi:- Se n=3 (esempio precedente) 23=8- Se n=5 (esempio precedente) 25=32- Se n=1 (esempio precedente) 21=2
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PARTIZIONE DI UN INSIEME
ASi consideri un numero “n” di
sottoinsiemi di A.
Si chiama PARTIZIONE di un insieme A un gruppo di sottoinsiemi di A se risultano verificate le seguenti condizioni:
A1A2
A3A4A5
Ogni sottoinsieme è proprio
I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti
L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A
1
2
3
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ESERCIZIO N. 1…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: A B C
A B C = g; h; i; l
C
m
n
A B C = d; e; f
A B C = d
A B C = e; f
Clicca sulla risposta corretta
EsercizioSuccessivo
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ESERCIZIO N. 2…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: C - (A B)
C - (A B) = m; n
C
m
n
C - (A B) = m; n; d
Clicca sulla risposta corretta
C - (A B) = e; f
C - (A B) = g; h; i; lEsercizio
SuccessivoSoluzione
passo passo
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ESERCIZIO N. 3…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
C - (A B)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
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ESERCIZIO N. 4…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
C - (A B)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
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ESERCIZIO N. 5…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
(C - (A B)) ((A B) - C)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
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FINE