NHĐ 1

αb

a

c(Q)

(P)

d

αb

a

c(Q)

(P)

B

H

A

α(Q)

(P)

GOÙC GIÖÕA HAI MAËT PHAÚNG

Muoán tìm goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q) ta coù theå söû duïng moät trong caùc caùch sau:

Tìm hai ñöôøng thaúng a, b: a (P), b (Q). Khi ñoù: ( ),( ) ,P Q a b .

Giaû söû (P) (Q) = c. Töø I c, döïng ( ),( ),

a P a cb Q b c

( ),( ) ,P Q a b

Trong thöïc haønh ta thöôøng duøng phöông phaùp sau :

1. Tìm giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q)

2 .Choïn (T) laø maët phaúng vuoâng goùc c taïi O. Neáu ta bieát ñöôøng thaúng d vuoâng

goùc c ( d naèm ngoaøi (P) vaø (Q)) thì ta choïn (T) qua d.

3. Xaùc ñònh giao tuyeán :

a T P

b T Q

4. Khi ñoù ( ),( ) ,P Q a b

Tröôøng hôïp ñaëc bieät neáu trong (P) coù ñieåm A sao cho : AB Q

Trong (P) keû AH c .Khi ñoù ( ),( )P Q AHB

Baøi 1. Cho töù dieän ABCD vôùi AB vuoâng goùc maët phaúng (BCD) vaø AB = a, ñaùy BCD laø

tam giaùc ñeàu caïnh 2a. Tính goùc giöõa hai maët phaúng (ACD) vaø (BCD).

HD : Tröôøng hôïp ñaëc bieät keû BH vuoâng goùc CD, 300

Baøi 2. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD, caïnh ñaùy ABCD laø a, caïnh beân laø 5

2

a.

Tính goùc giöõa caùc maët phaúng:

a) (SAB) vaø (ABCD)

b) (SAB) vaø (SCD).

HD : a) Keû OM vuoâng goùc AB, 600 b)600

Baøi 3. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA vuoâng goùc maët

phaúng (ABCD) vaø SA = a. Tính goùc giöõa hai maët phaúng :

LƯU Ý

NHĐ 2

a) (SBC) vaø (ABCD)

b) (BSC) vaø (DSC).

HD : a) 450

b) 1200. Chöùng minh BD vuoâng goùc SC, qua BD keû maët phaúng vuoâng goùc SC taïi

I. Chöùng minh tam giaùc IBD caân taïi I, töø ñoù tính ñöôïc goùc caàn tìm laø goùc hôïp bôûi

BI vaø ID.

Baøi 4. Cho hình choùp SABCD, ñaùy laø hình vuoâng taâm O, caïnh a. SA vuoâng goùc maët

ñaùy. Ñaët SA = x. Tính x ñeå hai maët phaúng (SBC) vaø (SDC) vuoâng goùc nhau.

HD: Xaùc ñònh goùc töông töï baøi 3, döïa vaøo ñieàu kieän goùc 2 maët phaúng laø 900 tính

ñöôïc OI theo a vaø hai tam giaùc COI vaø CSA ñoàng daïng tính ñöôïc OI theo a, x.

Baøi 5. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD thoûa 090B D , AB = AD = a,

2CB CD a . Hai maët beân (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc vôùi ñaùy. Hai maët beân (SBC)

vaø (SAD) hôïp vôùi ñaùy goùc 450. Tính goùc cuûa :

a) SC vaø (ABCD)

b) (SBD) vaø (ABCD)

HD: a) Chöùng minh ñöôïc SA ABCD ,

,

,

SB BC SBC ABCD SBA

SD DC SDC ABCD SDA

. Ñaây laø tröôøng

hôïp ñaëc bieät trong xaùc ñònh goùc.

b) AC BD taïi H. Chöùng minnh ñöôïc SH vuoâng goùc BD.(Tröôøng hôïp ñaëc bieät).

Baøi 6. Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a; SA

(ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC.

a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC).

b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC).

HD: a) ( ),( )SAC SBC = 600 b) cos3

(( ),( ))10

SEF SBC .

Baøi 7. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, taâm O; SA (ABCD). Tính SA theo a ñeå soá ño

cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SCB) vaø (SCD) baèng 600.

HD: SA = a.

Baøi 8. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn

ñöôøng kính AB = 2a; SA (ABCD) vaø SA = a 3 .

a) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SAD) vaø (SBC).

b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SBC) vaø (SCD).

HD: a) tan(( ),( )) 7SAD SBC b) cos10

(( ),( ))5

SBC SCD .

NHĐ 3

CHÖÙNG MINH HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC

CHÖÙNG MINH ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC MAËT PHAÚNG

Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc

Ñeå chöùng minh (P) (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:

Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a (Q).

Chöùng minh 0( ),( ) 90P Q

Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng

Ñeå chöùng minh d (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:

Chöùng minh d (Q) vôùi (Q) (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q).

Chöùng minh d = (Q) (R) vôùi (Q) (P) vaø (R) (P).

Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc.

Baøi 9. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi B. Moät ñoaïn AD vuoâng goùc (ABC). Chöùng minh

raèng (ABD) vuoâng goùc vôùi (BCD). Töø ñieåm A trong maët phaúng (ABD) veõ AH vuoâng

goùc BD, chöùng minh raèng AH vuoâng goùc (BCD).

Baøi 10. Cho töù dieän ABCD coù caïnh AB vuoâng goùc vôùi maët phaúng (BCD). Trong tam giaùc

BCD veõ caùc ñöôøng cao BE vaø DF caét nhau taïi O. Trong maët phaúng (ACD) veõ DK

vuoâng goùc AC taïi K. Goïi H laø tröïc taâm tam giaùc ACD.

a) Chöùng minh (ADC) vuoâng goùc (ABE), (ADC) vuoâng goùc (DFK)

b) Chöùng minh OH vuoâng goùc vôùi (ACD)

HD :a) Cm AC vuoâng goùc (DFK) b) Duøng heä quaû veà giao tuyeán cuûa 3 mp vuoâng goùc

Baøi 11. Töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng caân ôû B vaø AC = 2a, SA vuoâng goùc maët

ñaùy, SA = a.

a) Chöùng minh (SAB) vuoâng goùc (SBC)

b) Trong (SAB) veõ AH vuoâng goùc SB taïi H. Chöùng minh AH vuoâng goùc (SBC)

c) Tính AH

d) Töø trung ñieåm O cuûa AC veõ OK vuoâng goùc (SBC) caét (SBC) taïi K. Tính OK.

Baøi 12. Hình choùp SBCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø SA = SB = SC = a.

Chöùng minh :

a) (ABCD) vuoâng goùc (SBD)

b) Tam giaùc SBD vuoâng taïi S.

Baøi 13. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng AC’

vuoâng goùc vôùi maët phaúng (A’BD) vaø maët phaúng (ACC’A’) vuoâng goùc vôùi maët phaúng

(A’BD). Tính ñöôøng cheùo AC’.

Baøi 14. Cho töù dieän SABC coø SA vuoâng goùc vôùi (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm caùc

tam giaùc ABC vaø SBC. Chöùng minh :

a) AH, SK, BC ñoàng qui

b) SC vuoâng goùc vôùi (BHK), (SAC) vuoâng goùc (BHK)

c) HK vuoâng goùc (SBC), (SBC) vuoâng goùc (BHK)

HD : a) Goïi A’ laø giao ñieåm AH vaø BC, cm SA’ vuoâng goùc BC

b) Cm SC vuoâng goùc (BHK)

c) Cm HK vuoâng goùc (SBC)

Baøi 15. Cho hình vuoâng ABCD. Goïi S laø ñieåm trong khoâng gian sao cho SAB laø tam

giaùc ñeàu vaø (SAB) vuoâng goùc vôùi mp(ABCD).

LƯU Ý

NHĐ 4

a) Chöùng minh : (SAB) vuoâng goùc (SAD), (SAB) vuoâng goùc (SBC)

b) Tính goùc giöõa (SAD) vaø (SBC)

HD: a) Goïi H laø trung ñieåm AB, cm AD vuoâng goùc (SAB)

b) 600

Baøi 16. Cho tam giaùc ñeàu ABC, caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân

ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôi mp(ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho SD = a 6 . Chöùng

minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau.

Baøi 17. Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët (ABC) vaø (ABD) cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy

(DBC). Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa BCD, ñöôøng cao DK cuûa ACD.

a) Chöùng minh: AB (BCD).

b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC).

c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH (ADC).

Baøi 18. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA (ABCD).

a) Chöùng minh (SAC) (SBD).

b) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAD) vaø (SCD).

c) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa SBD. CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC).

HD: b) 900.