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ESEMPIDIDOMANDEINVALSIDIMATEMATICAALTERMINEDELSECONDOCICLODIISTRUZIONE

Domandecomunidi“manutenzione”e“ricontestualizzazione”.................................................................2

Datieprevisioni............................................................................................................................................................2

Spazioefigure................................................................................................................................................................6

Numeri...........................................................................................................................................................................11

Relazioniefunzioni..................................................................................................................................................14

DomandespecificheperilLiceoscientifico.......................................................................................................19

DomandespecificheperilLiceoscientificoepergliIstitutitecnici.......................................................23

2 Grado 13: Esempi di domande INVALSI di Matematica al termine del secondo ciclo di istruzione ‐ Classe V scuola secondaria di secondo grado

Documento pubblicato il 31 agosto 2018

Domandecomunidi“manutenzione”e“ricontestualizzazione”

Datieprevisioni

DP1

Rispostacorretta:28

Formato:Rispostaapertaunivoca

Ambito:Datieprevisioni

Traguardo:Simuoveconsicurezzanelcalcolonumericoesimbolico;applicacorrettamenteleproprietàdelleoperazioniconinumerireali;realizzaordinamenti,calcolaordinidigrandezzaedeffettuastimenumericheeapprossimazioni.Risolveequazioniedisequazioni.

Dimensione:Conoscere

LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Valorimediemisuredivariabilità.Calcolareivalorimediealcunemisuredivariabilitàdiunadistribuzione.Definizionieproprietàdeivalorimediedellemisure di variabilità, nonché l’uso di strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) peranalizzareraccoltedidatieseriestatistiche.



Scopodelladomanda:Trovareundatomancanteinuninsiemedidaticonoscendonelamediapesata.

Commento: La domanda DP1 è una domanda di “manutenzione” sul concetto di mediaponderatainuncontestochepotrebberisultarevicinoastudentichesiapprestanoaterminareilsecondociclodistudi.Utilizzandoladefinizionedimediaponderata,chevienerichiamataneltestodelladomanda,sitrattadiimpostareun’equazioneperdeterminareundatomancante.

DP2

Rispostacorretta:10



Traguardo: Rappresenta, elabora, analizza e interpreta dati, anche calcolando indici, perdescrivere situazioni e individuare caratteristiche di un fenomeno o di una situazione,eventualmenteanchealloscopodiprodurreipotesieprenderedecisioni.

Dimensione:Risolvereproblemi

Linee Guida e Indicazioni Nazionali: Dati, loro organizzazione e rappresentazione.Raccogliere,organizzareerappresentareuninsiemedidati.Rappresentareeanalizzareindiversimodi(ancheutilizzandostrumentiinformatici)uninsiemedidati,scegliendolerappresentazionipiùidonee.

Scopodelladomanda:Elaborareidatidiunatabellaperricavareinformazioni.



Rispostacorretta:5



Traguardo:Esprimevalutazioniestimediprobabilitàinsituazionicaratterizzatedaincertezza.Esprimestimediprobabilitàdieventicompostiapartiredallaconoscenzadelleprobabilitàdieventielementari.


LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Significatodellaprobabilitàesuevalutazioni.Semplicispazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti.Nozionediprobabilità, con esempi trattida contesti classici e con l’introduzionedinozionidistatistica.

Scopodelladomanda:elaborareidatidiunatabellapercalcolareunaprobabilità.

Rispostacorretta:C

Formato:Sceltamultipla






LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Significatodellaprobabilitàesuevalutazioni.Semplicispazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti.Nozionediprobabilità, con esempi trattida contesti classici e con l’introduzionedinozionidistatistica.

Scopodelladomanda:elaborareidatidiunatabellapercalcolareunaprobabilità.

Commento:LadomandaDP2èunadomandadi“manutenzione”,compostadatreitem,nellaqualesiproponelaletturadiunatabellaadoppiaentrata.Inmanieragradualesipassadallarichiestadicalcolodiunapercentualealcalcolodiunaprobabilità.

DP3

Rispostacorretta:V–F–V

Formato:Sceltamultiplacomplessa


Traguardo: Rappresenta, elabora, analizza e interpreta dati, anche calcolando indici, perdescrivere situazioni e individuare caratteristiche di un fenomeno o di una situazione,eventualmenteanchealloscopodiprodurreipotesieprenderedecisioni.




Linee Guida e Indicazioni Nazionali: Dati, loro organizzazione e rappresentazione.Raccogliere,organizzareerappresentareuninsiemedidati.Rappresentareeanalizzareindiversimodi(ancheutilizzandostrumentiinformatici)uninsiemedidati,scegliendolerappresentazionipiùidonee.

Scopodelladomanda:Dedurreinformazionidaundiagrammaabarre.

Commento:La domanda DP3 è una domanda di “manutenzione” nella quale sono richiestecompetenzedi lettura edi confrontodidati rappresentatimediantediagrammiabarre.Talicompetenzedibasespessositrovanonelleprovedituttiigradiscolari.

Spazioefigure

SF1

Rispostacorretta:A


Ambito:Spazioefigure

Traguardo: Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazionipossedute, le loro relazioni con ciò che si vuole determinare e la coerenza e plausibilità delprocedimentorisolutivoedeirisultatitrovati.


LineeGuida e IndicazioniNazionali: Nozioni fondamentali di geometria del piano e dellospazio.Conoscenzadeifondamentidellageometriaeuclideadelpiano.Elementidellageometriaeuclideadelpianoedellospazio.



Scopodelladomanda:Riconoscerel’isoperimetriadiduefigurediareadiversa.

Commento:LadomandaSF1èunadomandadi“manutenzione”digeometriaelementarechefariferimentoaunproblemaincontestoreale;perrisponderecorrettamente,occorrericonoscerecheleduefiguresonoisoperimetriche.

SF2

Rispostacorretta:56



Traguardo:Riconosceedenominaleformedelpianoedellospazio,lelororappresentazionienecoglielerelazionitraglielementi.Utilizzaproprietàdellefiguregeometricheeteoremiperilcalcolodilunghezze,areeevolumi.



Scopodelladomanda:Calcolarel’areadiuntriangoloperscomposizione.



Rispostacorretta:V–F–V



Traguardo:Comprendeeutilizzadiverseformedirappresentazione,passandodall’unaall’altraasecondadelleesigenze(grafica,numerica,simbolica,nellalinguanaturale).



Le funzioni e la loro rappresentazione (numerica, funzionale, grafica). Funzioni di vario tipo(lineari, quadratiche, circolari, diproporzionalitàdiretta e inversa).Rappresentare sul pianocartesianoleprincipalifunzioniincontrate.Studiarelefunzionif(x)=ax+bef(x)=ax2+bx+c.Lefunzionideltipof(x)=ax+b,f(x)=|x|,f(x)=a/x,f(x)=x2siainterministrettamentematematicisiainfunzionedelladescrizioneesoluzionediproblemiapplicativi.

Scopo della domanda: Valutare la variazione dell’area di un triangolo seguendo diversipossibiliapprocci.

Commento:LadomandaSF2ècompostadadueitem.Ilprimoèunitemdi“manutenzione”,cheprendeispirazionedaunadomandadellaProvaNazionaledel2012,dovesidevedeterminare,adesempioperdifferenza,l’areadiuntriangoloinscrittoinunquadrato.Ilsecondoitempuòessere considerato invece di “ricontestualizzazione” in quanto propone l’equazione di unafunzionedisecondogradochepuòessereutilizzataperdeterminareilvalorediveritàdialcuneaffermazioniriguardantil’areadiuntriangolochesimodificaalvariaredix.



SF3

Rispostacorretta:7,2






Scopo della domanda: Calcolare una lunghezza in un contesto reale utilizzando unasimilitudine.



Rispostacorretta:A





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Teoremadeiseniedeicoseni.Applicarelatrigonometrianeiproblemiriguardantiitriangoli.Iteoremichepermettonolarisoluzionedeitriangolieillorousonell'ambitodialtrediscipline.

Scopodelladomanda: Applicare la definizionedi tangente di un angolo come rapporto tracatetooppostoecatetoadiacenteall’angoloinuntriangolorettangolo

Commento:LadomandaSF3fariferimentoauncontestorealeedècompostadadueitem.Ilprimoitemrichiedediriconoscerelasimilitudinetraduetriangoliperstimareunalunghezzaedèquindidi“manutenzione”,mentreilsecondoitemtestaunaconoscenzadibasedasecondobienniorelativaalledefinizionidellefunzionigoniometricheinuntriangolorettangolo.



Numeri

NU1

Rispostacorretta:D


Ambito:Numeri



LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Leoperazioniconinumeriinterierazionali.Operareconinumeri interie razionalievalutare l’ordinedigrandezzadei risultati.Calcolo(mentale,concartaepenna,mediantestrumenti)coninumeriinteri,coninumerirazionalisianellascritturacomefrazionechenellarappresentazionedecimale.Potenzeeradici.Calcolaresempliciespressioniconpotenzeeradicali.Inumeriirrazionalieleespressioniincuiessicompaiono.Scopodelladomanda:Stimareunrapportotranumeriinnotazionescientifica

Commento: La domandaNU1 è una domanda di “manutenzione” in cui occorre stimare unrapportotranumeriespressiinnotazionescientifica,lavorandosiasullastimadelrapportotra1,5e3,8siaconleproprietàdellepotenze.



NU2

Rispostacorretta:peresempio“NelnegozioB,perché“compritreepaghidue”corrispondeaunoscontocircadel33%cheèmaggioredel25%”.

Formato:Rispostaapertaarticolata

Ambito:Numeri

Traguardo: Produce argomentazioni esplicitando la tesi, utilizzando conoscenze e formeargomentativepertinentiallatesioggettodiargomentazione.

Dimensione:Argomentare

LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Rapportiepercentuali.Proporzionalitàdirettaeinversa.Scopodelladomanda:Confrontareduescontiespressiinmododifferente.

Commento:LadomandaNU2èunadomandadi“manutenzione”sulcalcolodellepercentualiinun contesto di vita quotidiana. La domanda è di tipo argomentativo e per risponderecorrettamenteoccorreconfrontareunapercentualediscontoconun’offertadivenditadescrittaattraversoun’espressionediusocomuneinambitocommerciale.



NU3

Rispostacorretta:haunasolasoluzione–nonhasoluzione–nonhasoluzione


Ambito:Numeri



LineeGuidae IndicazioniNazionali:Risolvere equazioni e disequazioni relative a funzionigoniometriche,esponenziali,logaritmiche,funzionimoduloconmetodigraficionumericiancheconl'aiutodistrumentielettronici.Casi semplici e significativi di equazioni e disequazioni in cui compaiono funzioni polinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopo della domanda: Individuare l’insieme di soluzioni di una equazione esponenzialeparametrica.

Commento: LadomandaNU3èunadomandadi “ricontestualizzazione” in cui si richiedediriconoscere il numerodi soluzioni di una equazione esponenzialeparametrica al variaredelparametro. La risposta corretta può essere data conoscendo le proprietà della funzioneesponenziale.



Relazioniefunzioni

RF1

Rispostacorretta:V–F–F


Ambito:Relazioniefunzioni

Traguardo:Utilizzasemplicimodellimatematicidatiperdescriveresituazioniefenomenireali.


LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Leespressioniletteralieipolinomi.Padroneggiarel’usodellaletteracomemerosimboloecomevariabile.Elementidibasedelcalcololetterale.Calcolicon le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione,disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare inaritmetica.Scopodelladomanda:Ricavareinformazioniinterpretandounaformula.



Rispostacorretta:B

Formato:Sceltamultiplasemplice


Traguardo:Utilizzasemplicimodellimatematicidatiperdescriveresituazioniefenomenireali.


LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Leespressioniletteralieipolinomi.Padroneggiarel’usodellaletteracomemerosimboloecomevariabile.Elementidibasedelcalcololetterale.Calcolicon le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione,disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare inaritmetica.Scopodelladomanda:Ricavareilvalorediunavariabileapartiredaunaformuladata.

Commento:LadomandaRF1èunadomandadi“manutenzione”formatadadueitemneiqualisirichiedediusareunaformulachemodellizzaunasituazioneinuncontestoreale.Inparticolareper stabilire la verità delle affermazioni descritte nel primo item è necessario utilizzare laformuladatainmanieradirettamentreperrisponderealsecondoitemoccorresapernericavareunaformulainversa.



RF2

Rispostacorretta:85





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Funzioni.Negli Istitutitecnicidelsettoretecnologicoenegli Istituti professionali: funzioni polinomiali; funzioni razionali e irrazionali; funzionemodulo; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni periodiche. Negli Istituti tecnici delsettore economico: funzioni di uso comune nelle scienze economiche e sociali e lororappresentazionegrafica.Lefunzionielementaridell'analisieilorografici;funzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda:Calcolareilvalorediunafunzioneinunpunto,descrittaattraversoillinguaggioverbale.



Rispostacorretta:A





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Costruiremodellimatematicidifenomeni.Metodologieelementariperlacostruzionedimodellimatematiciincasimoltosemplicimasignificativi.Scopodelladomanda:Individuarelarappresentazionegraficadelmodellodescritto.

Commento:LadomandaRF2èunadomandadi“ricontestualizzazione”compostadadueitemeproponeunmodellolineareatrattiattraversounatabellacheillustraunoschemadicostoperilnoleggiogiornalierodiun’auto.Nelprimoitemsichiedeuncalcolodirettodesumibiledallaletturadellatabella,mentrenelsecondoitemsichiedediindividuareilgraficocorrispondenteallasituazionedescritta,individuandolaspezzatacherappresentailcostodelnoleggio.



RF3

Rispostacorretta:

4

3





Linee Guida e Indicazioni Nazionali: Le funzioni e la loro rappresentazione (numerica,funzionale, grafica). Funzioni di vario tipo (lineari, quadratiche, circolari, di proporzionalitàdirettaeinversa).Rappresentaresulpianocartesianoleprincipalifunzioniincontrate.Studiarelefunzionif(x)=ax+bef(x)=ax2+bx+c.Lefunzionideltipof(x)=ax+b,f(x)=|x|,f(x)=a/x,f(x)=x2siainterministrettamentematematicisiainfunzionedelladescrizioneesoluzionediproblemiapplicativi.Scopodelladomanda:Determinarelapendenzadiunarettariconoscendochepassaperunpuntocomuneadunaparabola.

Commento: La RF3 è una domanda di “ricontestualizzazione” in stretta continuità con lerichiestefattenelGrado10.Perrisponderealladomandaoccorredeterminarel’ordinatadiunpuntodiunaparaboladiequazionenotaconoscendonel’ascissaepoideterminarelapendenzadiunarettapassanteperl’origineeperquelpunto.



DomandespecificheperilLiceoscientifico

DP1_S

Rispostacorretta:64,75(accettabileanche64,74)





Indicazioni Nazionali: Probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sueapplicazioni,nonchéglielementidibasedelcalcolocombinatorio.Scopodelladomanda:ApplicareilteoremadiBayespercalcolareunaprobabilità.

Commento: La domanda DP1_S è una domanda nella quale la situazione problematica èdescritta sia in un testo verbale sia attraverso un diagramma ad albero; per risponderecorrettamente si può utilizzare il teorema di Bayes: il diagramma ad albero può supportarepossibilistrategierisolutiveodicontrollo.



SF1_S

Rispostacorretta:F–V–V





IndicazioniNazionali:Conoscenzadeifondamentidellageometriaeuclideadelpiano.Elementidellageometriaeuclideadelpianoedellospazio.Scopodelladomanda:Riconosceremutueposizionidiretteepianinellospazio.

Commento:LadomandaSF1_Srichiededisapervisualizzarenellospaziolaposizionereciprocadiretteepianisenzachevengadataunarappresentazionegraficadellesituazionidescritteaparoleesenzachevenganodateequazioniesplicite.



NU1_S

Rispostacorretta:C


Ambito:Numeri



IndicazioniNazionali:Casisempliciesignificatividiequazioniedisequazioniincuicompaionofunzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda: Individuare l’intervalloacuiappartiene lasoluzionediun’equazionetrascendente.

Commento:LadomandaNU1_Srichiedediindividuarel’intervalloacuiappartienelasoluzionedi un’equazione che può essere risolta solo in modo approssimato. Per rispondere quindibisognaconoscereigraficidellafunzione log edellafunzione esaperechelasoluzionedell’equazioneèdatadall’ascissadelpuntodiintersezioneditaligrafici.



RF1_S

Rispostacorretta:A





IndicazioniNazionali:Casisempliciesignificatividiequazioniedisequazioniincuicompaionofunzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda:Risolvereperviagraficaun’equazioneparametrica.

Commento:LadomandaRF1_Srichiedediriconosceredall’equazionedellafunzionehcheilsuografico si può ottenere con una traslazione di vettore [0,a] del grafico della funzione f. Perrisponderebisognapoiindividuareilvalorediaperilqualeigraficidellefunzionihegnonsiintersecanonell’intervallodato.



DomandespecificheperilLiceoscientificoepergliIstitutitecnici

RF1_ST

Rispostacorretta:1





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Funzioni.Negli Istitutitecnicidelsettoretecnologicoenegli Istituti professionali: funzioni polinomiali; funzioni razionali e irrazionali; funzionemodulo; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni periodiche. Negli Istituti tecnici delsettore economico: funzioni di uso comune nelle scienze economiche e sociali e lororappresentazionegrafica.Lefunzionielementaridell'analisieilorografici;funzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda: Leggere su un grafico il valore di una funzione in un punto del suodominio.



Rispostacorretta:3

2





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Derivatadiunafunzione.Lanozionedicrescitamediaeilconcetto di velocità di variazione di un processo rappresentato mediante una funzione. Laderivabilità.Scopodelladomanda:Individuareladerivatadiunafunzioneinunpuntoutilizzandoilsuosignificatogeometrico.

Commento:LadomandaRF1_STècompostadadue item; ilprimoriguarda lacondizionediappartenenza di un punto al grafico di una funzione e quindi può essere considerato di“manutenzione”diunaconoscenzache, seppur internaallamatematica, èunaconoscenzadibase che dovrebbe rimanere fino alla fine di un percorso di studio di scuola secondaria disecondogrado;ilsecondoiteminveceriguardailsignificatogeometricodelconcettodiderivata:



sidevesaperecheilvalorecheladerivataprimadiunafunzioneassumeperuncertovaloredixcorrispondeallapendenzadellarettatangentealgraficodellafunzionenelpuntodiascissax.Lerispostenonrichiedonoparticolaritecnichedicalcolo,masoloilpossessodiconcettibasilariperunabuonaformazionematematica.

RF2_ST

Rispostacorretta:V–F–F–V





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Funzioni.Negli Istitutitecnicidelsettoretecnologicoenegli Istituti professionali: funzioni polinomiali; funzioni razionali e irrazionali; funzionemodulo; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni periodiche. Negli Istituti tecnici delsettore economico: funzioni di uso comune nelle scienze economiche e sociali e lororappresentazionegrafica.Lefunzionielementaridell'analisieilorografici;funzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Derivatadiunafunzione.Lanozionedicrescitamediaeilconcettodivelocitàdivariazionediunprocessorappresentatomedianteunafunzione.Laderivabilità.



Scopodelladomanda:Individuareproprietàdiunafunzionedalsuografico.

Commento:LadomandaRF2_STrichiedediriconosceresealcuneaffermazioniriguardantileproprietàdiunafunzionesonovereofalse:inparticolarerichiedediconfrontareivalorichelafunzione assume in due punti del suo dominio, distinguere tramassimi eminimi assoluti erelativiemettereinrelazionelacrescenzaeladecrescenzadellafunzioneconilsegnodellasuaderivataprima.

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