Fig. 2.1

Fig. 2.2

INTERSECŢIA SUPRAFEŢELOR CURBE

2.1. Generalităţi

Se ştie că două suprafeţe şi se intersectează, dacă ele au puncte comune

(fig.2.1). Totalitatea punctelor (11 ,2, ...,i) ce aparţin ambelor suprafeţe formează linia l de

intersecţie a suprafeţelor:

Această linie poate fi plană sau spaţială. Ea poate fi

de asemenea curbă sau poligonală (în cazul cînd se

intersectează poliedrele). Ordinul liniei de intersecţie este

egal cu produsul ordinelor suprafeţelor. Construcţia liniei de

intersecţie pe desene se bazează pe proprietatea, că punctele

comune ale suprafeţelor pot fi la intersecţia liniilor, care

aparţin acestor suprafeţe, în scopul evidenţierii acestor linii la

construirea liniei de intersecţie se folosesc suprafeţe secante

auxiliare.

Drept suprafeţe auxiliare pot fi utilizate suprafeţele plane ori sferice. Din aceste considerente la

construirea liniei de intersecţie a suprafeţelor se diferenţiază metoda planelor auxiliare şi metoda

sferelor auxiliare.

2.2. Metoda planelor secante paralele

Esenţa acestei metode constă în aceea că suprafeţele date şi sunt intersectate de

suprafeţe plane auxiliare care se aleg în aşa fel

încît ele să intersecteze suprafeţele iniţiale şi în

linii drepte sau cercuri şi la intersecţia

cărora se obţin punctele 1 şi 2 care aparţin liniei de

intersecţie l a suprafeţelor (fig.2.2).

Aşadar, algoritmul de bază al găsirii

punctelor comune ale suprafeţelor intersectate

poate fi scris în felul următor:

Procedura intersecţiei suprafeţelor se repetă de atîtea ori de cîte este necesar pentru a

obţine o linie cît mai exactă.

Dacă linia de intersecţie a suprafeţelor date se construieşte cu ajutorul suprafeţelor plane,

Fig. 2.3

care sunt paralele cu unul dintre planele de proiecţie, această metodă se numeşte metoda

planelor auxiliare secante paralele. Ea se utilizează în cazurile cînd planele auxiliare

intersectează suprafeţele date în linii drepte

sau circumferinţe.

Să exemplificăm utilizarea acestei

metode în dublă proiecţie ortogonală la

intersecţia unei suprafeţe conice

cu o suprafaţă sferică (fig.2.3).

Punctele comune ale suprafeţelor se

determină utilizînd drept plane auxiliare ∑',

∑'', ∑''', ∑Iv care secţionează suprafaţa conică

după circumferinţele m', m", m1", m Iv şi

suprafaţa sferică – după circumferinţele t',

t", t1", t Iv .

Intersecţia acestor circumferinţe

determină punctele comune 3, 4, 5, 6 şi

3',4',5',6'. Punctele de bază 1 şi 2 se găsesc la

intersecţia liniilor de contur t20 şi S2A2 ale

suprafeţelor. Punctele 3 şi 3', în care

ecuatorul sferei intersectează conul, se obţin

cu ajutorul planului ∑'||Π1 care se trasează

prin centrul O2 al sferei. Aceste două puncte

situate pe ecuatorul t" în proiecţia orizontală împart linia de intersecţie a suprafeţelor în două

părţi: vizibilă (31-41-11-4'1-3'1) şi invizibila (31-61,-21-6'1-3'1). Din cauza simetriei faţă de planul de

front ∑1' pe suprafaţa frontală două ramuri ale liniei de intersecţie coincid.

2.3. Metoda sferelor concentrice

Utilizarea suprafeţelor concentrice drept suprafeţe auxiliare pentru determinarea curbelor

de intersecţie a două suprafeţe de rotaţie are la bază următoarea proprietate: o suprafaţă sferică

cu centrul în O situat pe axa i a unei suprafeţe de rotaţie se intersectează cu aceasta în

circumferinţe (m, m'), care în una din proiecţii apar complet deformate (fig. 2.4).

Suprafeţele auxiliare sferice concentrice sunt utilizate în cazul intersecţiei suprafeţelor de

rotaţie cu axe concurente şi paralele cu unul dintre planele de proiecţie. Se observă totodată că

punctul de intersecţie al axelor suprafeţelor date este centrul sferelor auxiliare. Raza minimă a

sferelor auxiliare este egală cu lungimea maximă a segmentelor de normale trasate din punctul

de intersecţie al axelor O pe suprafeţele date. Raza maximă este egală cu distanţa dintre punctul

O şi cel mai îndepărtat punct al liniei de intersecţie.

Fig. 2.4

Fig. 2.5

Să exemplificăm cele expuse mai sus printr-o problemă

concretă. Fie date două suprafeţe cilindrice şi de

rotaţie cu axele concurente şi paralele cu planul frontal de

proiecţie Π2 (fig. 2.5). Se cere să se construiască linia de

intersecţie a acestor suprafeţe, utilizînd metoda sferelor

concentrice.

Construcţia grafică a proiecţiei liniei de intersecţie se face

în felul următor: se determină

Centrul sferelor concentrice: . Se găseşte raza celei

mai mici sfere În suprafeţele date se

înscrie prima sfera cu raza Se

construiesc cercurile de intersecţie ale suprafeţelor date cu sfera

auxiliara:

Se găsesc punctele de intersecţie ale

cercurilor, care aparţin celor două suprafeţe

cilindrice şi suprafeţei sferice:

Se repetă procedura înscrierii altei suprafeţe

sferice cu R>Rmin şi se construiesc cercurile de

intersecţie ale suprafeţelor:

Se găsesc încă două puncte de intersecţie ale

cercurilor 4 şi 4':

În mod analog se construiesc şi punctele 52 , 5'2. .

Punctele de bază 12,22, l'2, 2'2 se află la intersecţia liniilor de contur ale suprafeţelor date.

Proiecţia frontală a liniei de intersecţie a suprafeţelor se obţine prin unirea punctelor:

şi

2.4. Metoda sferelor excentrice

Utilizarea acestei metode se bazează pe următoarea proprietate: o sferă poate să

intersecteze un tor după circumferinţe (generatoarele m', m"), dacă centrul sferei O se

găseşte în planul de simetrie ∑° al suprafeţei (fig. 2.6).

Fig. 2.6

Fig. 2.7

Segmentele (12,22), (1'2,2'2) cu centrele în N2, N'2 reprezintă diametrele acestor cercuri.

Centrul sferei O2 se găseşte la intersecţia perpendicularelor N2O2 şi N'2O2 ridicate din centrele N2

şi N'2. Planele cercurilor m' şi m" se găsesc în planele proiectante ∑'┴Π2 şi ∑''┴Π2 trasate prin axa

de rotaţie i0(i10,i2

0) a torului.

Să examinăm utilizarea acestei proprietăţi a

sferei la construirea proiecţiilor liniei de intersecţie a

suprafeţelor.

Fie date torul şi suprafata cilindrică

axele ărora se găsesc într-un plan de front

(fig. 2.7). Se cere să se construiască linia de intersecţie

a suprafeţelor:

Punctele comune ale suprafeţelor pot fi găsite în felul

următor: ştiind, că axele i' şi i ale suprafeţelor se află

într-un plan de front, se găsesc punctele de bază 12 şi 22

ca rezultat al intersecţiei liniilor de contur ale

suprafeţelor. Prin axa i20 se trasează un plan auxiliar ∑'2

la intersecţia căruia cu suprafaţa torică obţinem cercul

m2' cu diametrul A2'B'2.

Din centrul N'2 al cercului se coboară o perpendiculară

pe planul cercului pînă la intersecţia ei cu axa de

rotaţie i'2 a cilindrului (se obţine centrul O'2 ).

Din centrul O'2, se construieşte suprafaţa sferică cu raza

Intersecţia sferei cu torul formează cercul m'2= La

intersecţia sferei cu cilindrul obţinem cercul

Intersecţia cercurilor şi formează punctul 32 care

aparţine atît proiecţiei torului cît şi a cilindrului, deci

aparţine liniei de intersecţie. Procedura construirii sferelor

auxiliare secante se repeta de atîtea ori, de cîte este necesar

pentru a obţine o linie cît mai exactă.

De exemplu, pentru construirea punctlui 42 se

trasează prin i20 planul ∑''2 care intersectează torul în cercul

m". Proiecţia centrului celei de-a doua sfere auxiliare se va

afla la intersecţia perpendicularei N"2Q"2 cu axa cilindrului

i20:

Din centrul O" se construieşte sfera auxiliara cu raza :

Această sfera va intersecta suprafeţele date în cercurile şi .

La intersecţia acestor cercuri se află punctul 4 care aparţine ambelor suprafeţe: .

Fig. 2.8

Fig. 2.9

În mod analog se construieşte şi punctul 52, folosindu-se planul secant auxiliar ∑'''┴Π2.

Linia de intersecţie a suprafeţelor date va trece prin punctele obţinute:

2.5 Cazuri particulare de intersecţie a suprafeţelor de ordinul doi

Întrucît suprafeţele de ordinul doi sunt algebrice, linia de intersecţie este o curba

algebrică (în caz general - o linie spaţială). Această curbă este de ordinul patru, fiindcă ordinul

liniei de intersecţie este egal cu produsul ordinelor suprafeţelor, în practica construirii desenelor

industriale se îmîlnesc cazuri cînd linia de intersecţie a suprafeţelor de ordinul doi se

descompune în cîteva linii de ordine inferioare.

O importanţă deosebită are descompunerea liniei

de intersecţie de ordinul patru în două curbe plane de

ordinul doi. În continuare sunt prezentate unele cazuri

mai des întîlnite în practică.l. Dacă două suprafeţe de ordinul doi se

intersectează după o curbă plană de ordinul doi, atunci

ele se intersectează încă după o curbă tot de ordinul doi.

Justeţea legii reiese din condiţia că suma ordinelor

liniilor, în care se descompune linia de intersecţie, este

egală cu ordinul acestei linii, în cazul dat linia de

intersecţie este de ordinul patru. Dacă o parte din această linie este o curbă de ordinul doi,

înseamnă că a doua parte trebuie să fie de asemenea de ordinul doi. De exemplu, dacă o

suprafaţă cilindrică de ordinul doi intersectează o

suprafaţă sferică după un cerc m atunci ea se

intersectează cu sfera încă după un cerc m' (vezi fig. 2.4-

2.7).

2. Dacă două suprafeţe şi de ordinul doi au

contact în două puncte (1,2), atunci linia lor de

intersecţie se descompune în două curbe plane de ordinul

doi, planele cărora trec prin dreapta care uneşte punctele

de contact (fig. 2.8).

Fie daţi - doi cilindri cu diametre egale,

unde 1,2 sunt puncte de contact ale cilindrilor, în acest

caz se obţin două linii de intersecţie: şi

Liniile m,m' reprezintă două curbe de ordinul doi (elipse).

3. Dacă două suprafeţe şi (fig. 2.9) de ordinul doi sunt circumscrise unei suprafeţe de

ordinul doi atunci ele se intersectează după curbe plane (t,n) de ordinul doi. Planele

acestor curbe trec prin dreapta (1,2), care uneşte punctele de intersecţie ale liniilor de contact.

Întrebări de control

1. Ce se numeşte linie de intersecţie a suprafeţelor?

2. Prin ce metode se efectuează construcţia liniei de intersecţie a suprafeţelor?

3. În ce constă esenţa metodei planelor secante paralele?

4. În ce consta esenţa metodei sferelor concentrice?

5. Ce proprietate a sferei este pusă la baza utilizării sferei ca suprafaţă auxiliară pentru

construcţia liniilor de intersecţie?

6. În ce cazuri se utilizează metoda planelor auxiliare?

7. În ce cazuri se utilizează metoda sferelor concentrice?

8. Cum se determină ordinul liniei de intersecţie a suprafeţelor?

9. Care sunt cazurile particulare de intersecţie a suprafeţelor de ordinul doi?