GRAFICI

Servono per dare immediatamente e

completamente le informazioni, che

riguardano l’andamento di una variabile

in funzione dell’altra.

La Geometria Analitica c’insegna che c’è

una corrispondenza biunivoca fra punto

del piano e coppia di numeri reali.

Si stabilisce sul piano un sistema di assi (

di solito ortogonali ) su ognuno dei quali

viene fissato un riferimento, individuato

dalla posizione dello zero, dal segmento

unitario l e dal verso positivo, indicato con

una freccia.

x lx Ux , unità di misura scelta per le x

y ly Uy , unità di misura scelta per le y

Ad ogni coppia (x,y) corrisponde quindi un

punto P nel piano avente come ascissa x e

come ordinata y.

L’insieme dei punti P, che soddisfano la

dipendenza funzionale y=y(x) al variare di

x nel suo insieme di definizione,

costituisce il grafico della funzione.

In laboratorio si useranno fogli di carta

millimetrata con scale lineari oppure

logaritmiche.

y = 0,1 x + 0,2 ( -1 ≤ x ≤ 4 )

La scelta del segmento unitario ly sulla

scala y compatta troppo il grafico.

N.B. I segmenti unitari lx e ly sono tracciati

solo per maggior chiarezza : in generale è

buona norma non disegnarli sul grafico

La funzione da graficare è sempre la

stessa, ma ly è ora 10 volte più grande.

Il grafico ne guadagna in leggibilità.

Un altro esempio da non seguire

y = 0,1 x2 -0,3 x +5 ( 0 ≤ x ≤ 5 )

Su una scala millimetrata con ly lungo 10 mm,

y(3,5) =5,2 e non si può apprezzare la seconda

cifra decimale con una certa sicurezza.

Ora la funzione y è la stessa del grafico

precedente ma ly è ora cinque volte più

grande.

Maggiore leggibilità, maggiore precisione

con cui il grafico può essere utilizzato:

y(3,5) = 5,18

Precisione nelle letture su un

grafico

La scelta di lx e ly determina la precisione

con cui un grafico può essere utilizzato.

Infatti l'errore di lettura su un grafico,

fatto su scala millimetrata, è non minore

di 0.5 mm .

D'altra parte, se x è la grandezza fisica e

Ux la sua unità di misura e se Lx è la

lunghezza letta sul grafico e lx è il

segmento unitario, dalla relazione

x = (Lx / lx) ∙Ux si ricava che

Δx = ( 0,5 mm / lx) ∙Ux

sicché l'errore relativo vale

Δx / x = ( 0.5 mm ) / Lx

Un analogo discorso vale per la

coordinata y, per cui

Δy / y = ( 0.5 mm ) / Ly

Nel penultimo grafico Ly=52.0 mm, sicché

l'errore relativo Δy / y è circa 1 %.

Nell’ultimo grafico Ly=259.0 mm, sicché

l'errore relativo Δy / y è circa 0,2 %.

Derivazione grafica

Si sfrutta la relazione fra derivata di una

funzione e la retta tangente alla

curva corrispondente ( vedi figura ).

Si hanno le seguenti relazioni :

Lx / lx= ( x2-x1) / Ux

Ly / ly= ( y2-y1) / Uy

da cui, approssimando il rapporto

incrementale alla derivata, si ricava

dy / dx ≈ ( y2-y1) / ( x2-x 1 )=

= (Uy/Ux)∙( lx/ly )∙( Ly/Lx) = η ∙ ( Ly/Lx )

In definitiva, per ottenere una stima

grafica della derivata, basta moltiplicare

il rapporto Ly/Lx per la costante η , che ha

le dimensioni [η] = [y] [x]-1, essendo il

rapporto Ly /Lx naturalmente

adimensionale.

Integrazione grafica

Si fa l'approssimazione per esempio che,

( vedi figura )

Se Lx e Ly sono le lunghezze misurate sul

grafico, corrispondenti a δxi e yi, allora

in cui la costante ψ vale (Uy∙Ux) / (ly∙ lx) ed

ha le dimensioni

[ ψ] = [y][x][L]-2

Grafici di misure

È bene farli a misure ottenute, per

controllare l’andamento globale

È bene farli anche durante la fase di

misura, per controllare se ci sono

sbagli grossolani…

Tra grafici di funzioni analitiche e grafici di

misure di grandezze fisiche ci sono due

differenze sostanziali.

Le funzioni analitiche hanno in linea di

principio un numero infinito di punti,

mentre le misure ne hanno un

numero limitato

Per le funzioni analitiche l’errore è al

più ± 0,5 mm se la lettura avviene su

un foglio di carta millimetrata. Per le

misure l’errore dipende dalle modalità

seguite per effettuare la misura.

Questo errore viene riportato sul

grafico con un segmento di lunghezza

corrispondente.

Facciamo l’ipotesi che vogliamo studiare

come varia la temperatura T di una certa

sostanza al variare del tempo t e di avere

ottenuto la seguente tabella, in cui sono

riportate le coppie di valori, con i relativi

errori, di t e T.

t±Δt (s) T±ΔT (°C)

2,0± 0,6 2,0 ±0,5

5,0± 0,6 2,5± 0,5

6,6 ±0,6 3,2± 0,5

9,0± 0,6 3,4 ±0,5

11,0 ±0,6 3,9± 0,3

13,0± 0,6 4,6± 0,3

14,8 ±0,6 4,8± 0,3

Se gli errori fossero nulli, la curva che sul

grafico corrisponde a T=T(t) dovrebbe

passare per tutti i punti sperimentali.

La figura mostra due possibili andamenti

per T=T(t).

Tenendo conto degli errori, non è detto che

la curva passi per tutti i punti sperimentali.

È sbagliato tracciare la spezzata ( mostrata in

tratteggio), perché si introducono

discontinuità in corrispondenza dei punti

sperimentali.

Si può invece tracciare, per guidare l’occhio,

una curva continua che passi vicino ai punti

sperimentali, in base agli errori di misura.

Problema cruciale e delicato per

ogni sperimentatore :

come ricavare un’eventuale dipendenza

funzionale fra due grandezze fisiche a

partire da un numero limitato di coppie di

misura delle stesse grandezze.

Da un punto di vista geometrico, ∞ curve

passano per un numero finito di punti. Poi

bisogna tener conto degli errori…

Sembrerebbe un problema irrisolubile ma

Aiutano delle ragionevoli ipotesi, di cui

però bisogna controllare “a posteriori” la

validità.

Sembra piuttosto irragionevole pensare

ad un andamento del tipo illustrato in

figura se nel corso del riscaldamento non

si è riscontrata alcuna causa che possa

giustificare un riscaldamento così

improvviso fra 7 e 9 secondi.

Rette di massima e minima

pendenza

Se i dati ci suggeriscono un andamento di

tipo lineare, possiamo tracciare

le rette di massima e minima pendenza,

come in figura.

Se gli errori sono di tipo massimo,

queste rette devono passare all'interno di

tutti i rettangolini, centrati

sui punti sperimentali e aventi per base

l'errore sull'ascissa e per altezza

l'errore sull'ordinata.

Se scriviamo l'equazione di una retta

come y=a+bx, una volta determinati dal

grafico i valori di bmin e amax per la retta di

minima pendenza e i valori di

bmax e amin per la retta di massima

pendenza, possiamo ricavare

una stima dei parametri ( e dei relativi

errori ) della retta che meglio passa

per i punti sperimentali.

b=(bmax+bmin)/2 ± (bmax-bmin) / 2

a=(amax+amin)/2 ± (amax-amin) / 2

Caratteristiche dei “buoni”

grafici :

1. Titolo del grafico e relativo commento

2. Grandezze chiaramente indicate sugli

assi insieme con le dimensioni

espresse fra parentesi

3. Scale “umane” ( non ci deve essere

bisogno di una calcolatrice per

tracciare o leggere i punti )

4. Uso di frecce, per indicare parti

rilevanti del grafico

5. Non sono tracciati i segmenti unitari (

sono superflui !)

6. Non sono indicate sugli assi i valori né

delle ascisse né delle ordinate dei

punti sperimentali.

Un esempio di “buon” grafico tratto da

“Physical Review Letters”:

Altri esempi da “Physical Review Letters”:

da notare come sono riportate le barre di errore

e l’uso ( non consigliato) della spezzata nel primo

grafico.

Altri esempi particolari da “Physics

Letters”

Cosa hanno di strano questi due ultimi

grafici ?

La scala delle ordinate non è lineare (

ossia non vengono tracciati segmenti di

lunghezza proporzionale a quella

dell’unità di misura ).

La scala è invece logaritmica ( ossia

vengono tracciati segmenti di lunghezza

proporzionale a quella del logaritmo

dell’unità di misura ). Al numero 1

corrisponde un segmento di lunghezza

nulla ( loga 1 = 0 ), al numero 2

corrisponde un segmento di lunghezza

proporzionale a loga 2, al numero 10

corrisponde un segmento di lunghezza

proporzionale a loga 10 e così via.

Da ricordare :

data la funzione esponenziale di base a

y = ax , il loga y è il numero tale che

a loga

y sia proprio uguale ad y e quindi

coincide con l’esponente x.

loga (x∙y) = loga x + loga y

loga x y = y loga x

Le basi più comunemente usate sono l

base 10 e la base e. Questo ultimo

numero è irrazionale ed è noto come

numero di Neper, perché è stato il

matematico Neper a sceglierlo come base

del sistema di logaritmi, che furono

chiamati da allora anche neperiani. Il suo

valore è circa 2,71828….. Per semplicità il

logaritmo in base di un numero viene

scritto con il simbolo ln.

Infine è opportuno ricordare le formule della

derivata di una funzione esponenziale e di una

funzione logaritmica.

dax/dx = ax ln a dex/dx = ex

dlogax/dx = (1/x) lna e dlnx/dx = (1/x)

Inoltre si può ricavare che logax = (1/logba) logbx

e quindi un cambiamento della base comporta

soltanto una diversa scelta del fattore di

proporzionalità.

Nelle carte logaritmiche in commercio a fianco

delle scale vengono riportati i valori dei numeri

anziché i valori dei logaritmi : la stessa carta può

essere allora usata per logaritmi con basi

diverse, naturalmente con fattori di

proporzionalità differenti.

Un particolare tipo di carta logaritmica è quello

in cui un asse ha scala lineare e l’altro ha scala

logaritmica : si parla allora di carta

semilogaritmica.

Quando conviene usare scale

logaritmiche ?

le grandezze da graficare hanno un

intervallo di valori che spazia di diversi

ordini di grandezza, per cui è

impossibile fare un grafico su scala

lineare ( a meno di non voler fare un

grafico stile “lenzuolo”…)

le grandezze da graficare acquistano

un andamento più facilmente

controllabile.

Supponiamo che un certo modello teorico

preveda che l’andamento dei nostri dati

debba essere descritto dalla curva x∙ y = c,

con c costante, che rappresenta un’iperbole

equilatera, avente come asintoti gli assi

coordinati.

Sicuramente non è agevole rendersi conto a

prima vista che i nostri punti si dispongano

lungo l’iperbole se la scala è lineare. I punti

potrebbero disporsi ad esempio lungo un

ramo d’iperbole oppure lungo una

qualunque curva che non sia una retta.

Tuttavia se usiamo una scala logaritmica su

entrambi gli assi, dovremmo ottenere una

retta ( facilmente controllabile a vista …)

poiché

log (x∙ y ) = logx + logy = log c rappresenta

una retta nel piano ( log x, log y ).

Analoghe considerazioni si possono svolgere

per la funzione y = A∙ e –bx, che su scala

semilogaritmica nel piano ( x, ln y) diventa la

retta ln y = ln A – bx, che ha come pendenza

–b e come intercetta ln A.

Errori di lettura sulle scale

semilogaritmiche

Supponiamo di voler graficare i dati riportati

in tabella :

x y

0.0 110

2.6 90

4.2 80

8.2 60

13.6 40

23.0 20

Questi dati sono descritti perfettamente

dalla funzione y = k aλ x che, su scala

semilogaritmica, diventa logay = λx +costante

che è l'equazione di una retta che ha λ come

pendenza ( vedi prossima figura ).

Il valore di k si ricava immediatamente,

perché y(0)=k=110. Il valore di λ può essere

ricavato in due modi :

per via algebrica, applicando la

definizione di coefficiente angolare a due

diverse coppie di punti del piano (x,logay).

Se a=10 e le coppie di punti sono

(0.0,log10110) e (23.0,log1020) (conviene

sempre in casi analoghi scegliere i punti

più distanti fra loro )

λ10 = ( log10110 -log1020) / ( 0,0 -23,0 ) = -0,0322

Se a= e,

λe = ( ln 110 –ln 20) / ( 0,0 -23,0 ) = -0,0 741

per via grafica (è utile quando non si ha a

portata di mano una tavola dei logaritmi

oppure una calcolatrice ).

λ10 = ( log10110 -log1020) / ( 0,0 -23,0 )

Il denominatore può essere espresso in

termini di lunghezze sul grafico come -115

mm/ 5 mm=-23, dove 115 mm è la

lunghezza del segmento che sull'asse x unisce

il punto x=0.0 con x=23.0, mentre 5 mm è la

lunghezza del segmento unitario.

Per quanto riguarda il numeratore, bisogna

ricordare che

L110=c10 log10110 ; L20=c10 log1020; L10=c10 log1010

con chiaro significato dei simboli, definiti

precedentemente. Quindi

L110-L20=c10 ( log10110 - log1020 )

ossia

log10110 - log1020 = (L110-L20)/L10

Per la carta in figura la casa costruttrice

garantisce per L10 il valore di 90 mm ( lo si

legge in basso, a fianco della dicitura Einheit

in tedesco e Unité in francese ). Dal grafico si

legge che L110-L20=67 mm, per cui

λ10 = ( (67/90) / (-115/5) ) = -0.0324

Sempre dal grafico si può ricavare $Le, ossia

la lunghezza del segmento compreso fra i

punti 1 e e=2.718..., ossia 39 mm.

λe = ( (67/39) / (-115/5) ) = -0.0747

I valori di λ10 e di λe ottenuti per via grafica

sono naturalmente leggermente differenti

dai valori ottenuti per via algebrica, a causa

degli inevitabili arrotondamenti sulla lettura

dei punti sul grafico.