Misure di Quantita di Calore

prof. Chiefari

lVlaggio 2014

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Capitola 8

Misure di Quantita di Calore

8.1 Introduzione

Abbiamo gia visto che la quantita di calore si misura con il calorimetro . Nel S.I l'uILiia di misura della quantita di calore eil joule, il cui simbolo eJ : tuttavia vi n aneora usata la caloria, definita come la quantita di calore necessaria per aumentare da 14.5 °C a 15.5 °C la temperatura eli un grammo di acqua distillata sogg· ita all' pressione di una atmosfera.

1,012 ..-..,.

9 1,008 o.c ~ 1~004 ~ --­~ 1,000 V.....

0,996 o 20 40 60 80 100 1.20

Temperatu a (ot) Fig.l : Andamento del calore specifico dell'acqua, espresso in k alj(kgOC), al varia-re della temperatura, espressa in °C.

1

a Fig. illustra l'andamento del calore sp cifico dell'acqua al variare della temperatura e spi ga ]a d finizione eli caloria.

Fra i calorimetri pili comuni ricorderemo i1 ca10rimetro eli Bun en ( deLto <U1che calorimetro isotermo ) e il calorimetro delle mescolanze 0 di Regnau1t.

8.2 Calorimetro di Bunsen

Consiste ( vedi Fig.2 ) di : • un grosso bu1bo di vetro B, terminante

ne1 capillare graduato CD

• una provetta PA saldata al bu1bo

• un'intercapedine, posta tra provetta e parete esterna, riempita di acqua ben disaerata

• un po di mercurio, che riempie i1 con­dotto che porta al capillare e che ter­mina con un menisco 1, che fa da indice sulla scala

G

c

Fig.2

Introdotto in A circa 1 cm3 di etere, per effetto dell evaporazione, si form. uno strato di ghiaccio G aHorno alla provetta. L'apparecchio cos! preparato ien immerso in un grosso recipiente contenente ghiaccio fondente E e a par ti praticam nte adiabatiche.

Dopo qualche ora l'a.pparecchio e comp1etamente isotermo a 0 °C e tale temperatura di equilibrio tra ghiaccio e acqua sotto pressione atmosferica puo 1'1 enersi costant entro ± 0.001 °C ( a meno di piccoli scambi termici con l'ambient ).

Con il rubinetto R S1 regola la posizione iniziale dim .Disco sulJa , cc lao

Introdotto nella prov tLa P un corpo a temperatura maggiore di 0 °C, dopo alcuni minut.i la t mperatura del corpo scende a a °C : il corpo ha ceeluto una certa quantita eli

2

calor e il rnenisco 1del mercurio si eritirato eli un fto tratto a causa elella fusione di una cefta quantit' di ghiaccio ( da notare che il ghiaccio, quando fonele, diminuisce eli volume ).

8.3 II Calorimetro delle Mescolanze 0 di Regnault

c

T A

R4

R3 R2")

R1

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Fig.3a

Fig.3b

La Fig.3a mostra un esempio di calorimetro d "lIe mescolanze, mel tr _ la Fig.3b illustra la sua realizzazione in laboratorio, Esso consiste sostanzialm nte di una. ma.ssa d'acq la M) di un agitatore A, di un termometro T c di isolanti termici.

Se non ci sono scambi termici con l' sterno, la quantita di calore 6Q scambiata con il sistema calorimetrico, avente capacita termica totale C ' data cia

6Q = C(Tj - Ti )

essendo Ti e T j la temperatura iniziale e finale del sistema calorimctrico.

3

8.4 Costante di Telnpo del calorimetro

Malgrado tutti gli sforzi per isolare termicamente il calorimetro, e inevitabile che una parte del calore venga scambiata con l'ambiente.

Seguendo 10 stesso ragionamento fatto a proposito della prontezza del termometro, si puo ricavare come varia nel tempo 130 temperatura del calorimetro a causa degli scambi termici con l'ambiente.

Se Ta e 130 temperatura dell'ambiente, avente capacita termica molto maggiore di quella del calorimetro, se Toc e130 temperatura iniziale all'interno del calorimetro e se T e e130 costante di tempo di questo strumento,

Ta - T(t)T _ T. = exp( -tITe)

a Oc

La costante T e ( data dal rapporto fra 130 capacita termica Ce e il coefficienie oc di conduzione esterna del calorimetro ), essendo 6c molto piccolo a causa delle caratteristiche costruttive del calorimetro, emolto maggiore per esempio di quella di un normale t rmometro a mercurio. Accade allora di effettuare misure per intervalE di tempo molto piccoli risp Lto a T c : in tal caso, da uno sviluppo in serie di Taylor bloccato 301 primo ordine, si ricava :

e quindi

ossia T(t) varia linearmente con il tempo.

Questa stessa dipendenza lineare, sempre per intervalli di tempo minori di T, viene natata quando si misura 130 temperatura di una certa quantita di acqua, contenuta in un becher posta inizialmente su un fornellino elettrico e poi lasciata raffreddare verso 130 temperatura ambiente.

8.5 Equivalente in acqua del calorimetro

Nel calorimetro delle mescolanze il sistema calorimetrico e costituito da

• una massa nota M a di acqua, di calore specifico noto Ca , supposto costante nel tempo ( e quindi e costante anche Ca = !l1a ca )

• un insieme di altri corpi ( parte immersa del termometro, parte immersa dell'agitatore, pareti del thermos a contatto dell'acqua ) di masse e calOl'i specifici incogniti, che si suppongono tutti in equilibrio termico fra di lora e con l'acqua nel momenta in cui si legge 130 temperatura

Se Cc e130 capacita termica di questo insieme di corpi ( somma delle singole capacita termiche ) , 130 capacita termica totale del calorimetro C sara data da

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Se si introduce in un calorimetro vuoto inizialmente una massa d'acqua lV11 a temperatura T I

e successivamente si aggiunge una massa 1\112 a temperatura T2 > T I , raggiunto l'equilibrio a temperatura T* si avra, trascurando le perdite

Se ora si introduce l'equivalente in acqua del calorimetro, ossia quella massa d' acqua !vIe che abbia come capacita termica proprio Cc = 1Il/eca , la precedente relazione si riduce a

ossla NI = NI2 (T2 - T*) - NII(T* - Td

e T* ~ TI

Se Tc fosse infinito, se cioe l'isolamento del thermos fosse perfetto, la misura di T 1,T2 e T* sarebbe immediata. In realta bisogna tener conto che :

• Se T I e minore della temperatura ambiente Ta , a causa delle perdite T I sale linearmente nel tempo verso Ta .

• La massa 111/2 a temperatura T2 si raffredda durante le operazioni di travaso.

• La temperatura T* non rimane costante, rna varia linearmente nel tempo sempre a causa delle perdite.

11 rimedio a tutto cio consiste nell'escogitare un metodo di misura, che tenga esplicitamente in conto questi problemi.

8.6 Determinazione sperimentale dell'equivalente in acqua del calorimetro

La figura 4 illustra l'andamento nel tempo della temperatura dell' acqua nel calorimetro prima del mescolamento, della temperatura dell'acqua calda e della temperatura all'interno del calorimetro dopo il mescolamento. Il motivo di questi andamenti viene illustrato qui di seguito.

1. Con la bilancia elettronica al centesimo di grammo ( se disponibile ) si determina IvII ,

pesando un contenitore di vetro, becher, dapprima vuoto e poi contenente una massa Nfl di acqua, dell'ordine di circa 250 g. Per ridurre l'errore di misura su lV1l , e opportuno azzerare la bilancia quando si pesa il becher vuoto. Per ridurre l'errore di misura su lV1e ,

converrebbe che TI fosse dell'ordine di 4- 5 DC: il problema e che il thermos, essendo di plastica, non si porta subito a questa temperatura e la misura di NIe ne risulta inficiata, in quanta viene meno l'ipotesi che tutti i corpi presenti nel thermos, comprese le pareti, siano alla stessa temperatura iniziale. Con buona approssimazione si puo assumere che la temperatura del thermos sia quella dell'ambiente e quindi conviene che la temperatura di lV11 sia uguale a quella del laboratorio ( circa 25 DC). Si introduce successivamente la massa Nh nel thermos, che funziona da calorimetro.

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FigA : Andamento nel tempo delle tre temperature T1 , T2 . e T*.

2. Si determina Nh, dell'ordine di 250 g, usando 10 stesso procedimento su descritto. Si pone il becher su un fornellino elettrico, con la manopola in posizione 4, e si riscalda J'vf2 fino ad una temperatura dell 'ordine di 70°C ( non conviene andare oltre altrimenti le perdite di massa dovute all'evaporazione diventano consistenti ). Un'alternativa e quella di misurare inizialmente la massa del becher e del tappo di sughero in dotazione e successivamente la massa del tappo di sughero e del becher, contenente i 250 g d'acqua e ottenere, per difi'erenza, la massa M2 prima del riscaldamento, successivamente pone il becher sul fornellino, portare T2 a temperature prossime a quella dell'ebollizione, pone sulla bilancia il tappo di sughero e, con l'aiuto del guanto isolante, pone, sopra il tappo di sughero, il becher, contenente acqua, e ottenere per difi'erenza la massa M 2 dopo il riscaldamento. Sara interessante notare che 1'efi'etto dell 'evaporazione e notevole, ben al di la dell'errore di sensibilita della bilancia.

3. Si pone sul tavolo di lavoro il tappo di sughero e si poggia sopra il becher : si fa partire

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il cronometro e si misura come varia T2 in funzione di t.

4. Dopo aver presQ una decina di valori di T2 , si misura T1 con un secondo termometro e subito dopo, ad un istante fissato to, si mescola la massa M2 con la massa }\I[l) si agita il tutto e si misura come varia la temperatura all'interno del calorimetro. La temperatura sale rapidamente in maniera pi'll 0 meno regolare e rimarrebbe costante con valore T* se non ci fossero perdite, mentre invece tende a discendere verso la temperatura ambiente.

I I I I I L_ I -I I I I I I

r---------~_---------------------- _

Fig.5 : Ingrandimento dell'andamento nel tempo di T*.

Se si osserva attentamente l'andamento della temperatura subito dopo l'introduzione dell'acqua calda, si nota ( vedi figura 5 ) che esso molto irregolare e fortemente infiuenzato dal modo in cui si versa l'acqua calda nel calorimetro e si muove l'agitatore. In una seconda fase l'andamento della temperatura col tempo diviene regolare, rna puo' accadere che essa sia superiore a quella teorica d'equilibrio; questa avviene ogni qual volta il termometro si mette in equilibrio termico con il liquido pi rapidamente di quanto faccia il liquido col calorimetro.

5. Si fa il fit dei minimi quadrati delle due rette ( ricordandosi di ricavare anche l'intera matrice di covarianza ) di T2 e T* in funzione del tempo: si puo controllare infatti che il tempo sia la variabile indipendente, da pone sull'asse delle ascisse. Si estrapolano poi queste rette at = to, trovando i valori di T2 e T* all'istante di mescolamento. Per T1, che varia di pochissimo nel tempo, si puo assumere valido il valore misurato proprio prima del mescolamento. Ricordando la formula che consente di ricavare gli enori sui

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punti estrapolati, si rieavano gli errori ( di tipo statistieo I ) O'Tz e O'T'. Chiaramente su T1 e'e l'errore di sensibilita del termometro. Un proeedimento piu comodo per T2 e T* e quello di spostare l'origine dei tempi di una quantita pari a to, in maniera tale ehe l'intereetta della retta dia direttamente i valori di T2 e T* all'istante di meseolamento, senza bisogna di effettuare nessuna estrapolazione.

6. Si rieava a questo punto l'equivalente in aequa JVIe del ealorimetro

T2 - T* Me = M2 T* _ T - M 1

1

e l'errore su Me.

8.7 Considerazioni sull'errore di Me

Gli errori su M 1 , JVh e T1 sono errori di tipo massimo, perehe determinati dall'crrore di sensibilita della bilancia e del termometro, mentre gli errori su T2 e T* sono di tipo stc1tii:5tieo. Come bisogna eomportarsi allora per rieavare l'errore su JVIe ? Bisogna usarc la formula per gli errori massimi, moltiplieando per tre l'errore statistieo su T2 e T* ? Bisogna usare un algoritmo diverso ? Prima di avventurarsi per strade pengliose, eonviene esaminare i singoli termini ehe eontribuiseono all'errore su J'v1e e stimare separatamente l'errore statistieo e quello massimo

•

•

•

•

• [} JVIe I T2 - 11

0'5 = oT; O'y< = JVI2 (T* _ Td 2 O'y<I

Supponiamo ora ehe JVh = 250,00 g, JVh = 250,00 g, tJ.JVI1 = O,Olg, tJ.JVh = 0.02 g, ehe T1 = 25,0°C, tJ.T1 = 0,2°C e ehe, dai fits, O'Tz = O'T* piceole fino a 0.02°C. Se ora T2 = 80, OO°C e T* = 51, 24°C, si ottiene ehe JVIe sia circa 24,01 g .

In queste eondizioni, l'errore massimo su JVIe vale:

. T2 - T* T2 - T* tJ.j\l!e = T* _ T tJ.JVh + tJ.JVI1 + M 2 (T* _ T )2 tJ.T1 = 0,022 + 0,01 + 2, 1 ~ 2, 1 g

1 1

mentre l'errore statistieo su JVIe vale:

O'Me = J0'1 + O'g = )0,192 + 0,42 ~ 0,4 g

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8.8 Determinazione sperimentale del calore specifico di un solido

Una volta determinato l'equivalente in acqua del calorimetro, e abbastanza agevole determi­nare il calore specifico di un solido.

Se poniamo nel calorimetro, contenente una massa d'acqua lVII, un solido, di massa lVIx e calore specifico relativo all'acqua cx , alla temperatura T2 , si raggiunge dopo un certo tempo una condizione di equilibrio alla temperatura T* :

da cui si ricava che

Le temperature Tl e T* si determinano con 10 stesso procedimento usato per la misura di lVIe . Per quanto riguarda T2 , c'e da notare che il solido viene immerso inizialmente Ilell acquu, contenuta in un becher, posta sui fornellino elettrico: poiche il solido e un ottimo conduttore del calore, si pUG assumere che la temperature dell'acqua sia uguale alla temperatura del solido. Qundi il valore di T2 sara quello misurato subito prima del mescolament .

L'errore su Cx ha due componenti : una di tipo massimo, dovuta al fatto che M ll J\;[eJVIx ,

T l e T2 sono note con errori massimi, ed una di tipo statistico, perche gli errori su Me e T* sono di tipo statistico. Vediamo i vari contributi :

• 1 T* - T1 t\ ~ If Cx t\ MIl6 = I OCx 16lVI ~ If rTJ L:;.}V1l = u.1 oM

l 1

lVl x .L 2 - T* lVIl + lVIe

•

•

•

• OCx I 1 T* - Tl ex

(J4 = ~lVI (JMe = ~I T _ T*(JMe = i\1 + lVI (JMeI U e LVj X 2 1 1 e

•

•

9

Bisogna alla fine stimare separatamente il contributo finale, massimo e statistico, col giusto numero di cifre significative e dare il calore finale di Cx col giusto numero di cifre decimali. Se ad esempio supponiamo che J\l[l = 250,00 g, NIx = 206,00 g, t:,.NI1 = 0, O1g, 6Mx = 0,01 g, che T1 = 25, O°C, t:,.T

1 = 0, 2°C, che T2 = 85, O°C, t:,.T2 = 0, 2°C, che, da fit, T* = 33, 42°C

e O"T* = 0, 02°C, con i valori di NIe, t:,.NIe e O"Me dati dall'esempio precedente, allora si ricava che Cx = 0,217 con un errore massimo di

t:,.cx = 8· 10-6 + 1 . 10-5 + 0, 0008 + 0, 0017 + 0,005 = 0,008

e un errore statistico pari a

O"c x = jo, 00032 + 0, 00062 ~ 0.0007

trascurabile rispetto a t:,.cx.

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