grafici di funzioni goniometriche 02
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Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
2
GRAFICI DI FUNZIONE E DILATAZIONI-CONTRAZIONI IN VERTICALE Sia ( )xfy = una funzione e sia a un numero reale positivo. Allora • il grafico della funzione ( )xafy = risulta “contratto” di un fattore a “in verticale” se 10 << a ; • il grafico della funzione ( )xafy = risulta “dilatato” di un fattore a “in orizzontale” se 1>a . Il grafico di senxy 2= (in rosso) si ottiene con una dilatazione verticale di fattore 2 di senxy = (in nero), mentre il grafico di
senxy21
= (in blu) si
ottiene con una contrazione verticale di fattore 1/2 di
senxy = (in nero).
GRAFICI DI FUNZIONE E DILATAZIONI-CONTRAZIONI IN ORIZZONTALE Sia ( )xfy = una funzione e sia ω un numero reale positivo. Allora • il grafico della funzione ( )xfy ω= risulta “dilatato” di un fattore ω “in orizzontale” se
10 <<ω ; • il grafico della funzione ( )xfy ω= risulta “contratto” di un fattore ω “in orizzontale” se 1>ω . Il grafico di xseny 2= (in rosso) si ottiene con una contrazione orizzontale di fattore 2 di senxy = (in nero), mentre il grafico di
2xseny = (in blu) si ottiene
con una dilatazione orizzontale di fattore 1/2 di
senxy = (in nero).
OSSERVAZIONE IMPORTANTE Le contrazioni-dilatazioni “in orizzontale” cambiano il periodo di una funzione periodica. Se T è il
periodo della funzione ( )xfy = e T’ quello della funzione ( )xfy ω= allora ωTT =′ . In particolare
Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
3
il periodo delle funzioni ( )xseny ω= , ( )xy ωcos= è ωπ2 , mentre quello delle funzioni ( )xtgy ω=
e ( )xgy ωcot= è ωπ .
ESEMPIO PARTICOLARE
Supponiamo di voler rappresentare la funzione 13
22 −
−=
πxseny . Si parte dal grafico di
senxy = e di deve arrivare al grafico desiderato. Riscriviamo la funzione come
16
22 −
−=
πxseny e operiamo nel seguente modo:
1) passiamo da senxy = (in nero) a
−=
6πxseny (in rosso) con una traslazione orizzontale
“verso destra” di π/6;
2) passiamo da
−=
6πxseny (in rosso) a
−=
62 πxseny (in blu) con una contrazione
orizzontale di fattore 2 e di centro nel punto
0;
6π ;
Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
4
3) passiamo da
−=
62 πxseny (in blu) a
−=
622 πxseny (in verde) con una dilatazione
verticale di fattore 2;
4) passiamo da
−=
622 πxseny (in verde) a 1
622 −
−=
πxseny (in nero) con una
traslazione verticale “verso il basso” di 1.
GRAFICI DI FUNZIONE E SIMMETRIE Sia ( )xfy = una funzione allora • il grafico della funzione ( )xfy −= risulta simmetrico a quello di ( )xfy = rispetto all’asse y; • il grafico della funzione ( )xfy −= risulta simmetrico a quello di ( )xfy = rispetto all’asse x; • il grafico della funzione ( )xfy −−= risulta simmetrico a quello di ( )xfy = rispetto all’origine
O. Esempio
Consideriamo la funzione ( )
−==
3πxsenxfy il cui grafico è
Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
6
Il grafico di ( )
−−−=−−=
3. πxsenxfy (in rosso) è
GRAFICI DI FUNZIONE E VALORE ASSOLUTO Sia ( )xfy = una funzione allora • il grafico della funzione ( )xfy = si ottiene “simmetrizzando” la parte di grafico di ( )xfy =
che si trova nel semipiano delle ascisse positive rispetto all’asse y; • il grafico della funzione ( )xfy = si ottiene “simmetrizzando” la parte di grafico di ( )xfy =
che si trova nel semipiano delle ordinate negative rispetto all’asse x e lasciando inalterata la parte restante;
• il grafico della funzione ( )xfy = si ottiene svolgendo in successione le due operazioni precedenti.
Esempio
Consideriamo la funzione ( )
−==
3πxsenxfy il cui grafico è
Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
7
Il grafico di ( )
−==
3πxsenxfy (in rosso) è
Il grafico di ( )
−==
3πxsenxfy (in blu) è
Il grafico di ( )
−==
3πxsenxfy (in verde) è