Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties

Lovász, Szegedy 2006

Propriedades Testáveis de Grafos

Propriedade P hereditária:

G satisfaz P todo subgrafo induzido de G satisfaz P

Propriedade P testável: Existe outra propriedade P’ tal que, , k: G satisfaz P Com prob. 1- , Gk induzido k vértices satisfaz P’

G -far(P) Com prob. 1- , Gk induzido k vértices não satisfaz P’

Teorema 1 [Alon, Shapira, 2005]:Propriedade Hereditária Testável

Parâmetros Testáveis de Grafos

Invariante f(G) de grafos normalizado entre 0 e 1

f(G) testável: , k: grafo G k vértices:Com prob. 1- , Gk induzido com k vértices satisfaz |f (G)-f (Gk)|

Distância entre grafos:

Distância para uma propriedade:

Teorema 2 [Alon, Shapira, 2005]:Distância para P hereditária é testável

Prova alternativa

Densidades de Subgrafos

t(F,G): Probabilidade de um random map V(F)V(G) preservar adjacências

tinj(F,G): injective

tind(F,G): e não-adjacências

Sequências Convergentes de Grafos

Sequência (Gn) de grafos simples |V(Gn)|

(Gn) convergente: (t(F,Gn)) converge, para todo grafo F simplescauchy? métrica?

Distância : generalização de d para pesos e conjunto diferente de vértices

[Borgs, Chayes, et al, 2006]:

(Gn) convergente cauchy em

Todo (Gn) possui uma subsequência convergenteProva:1. Elon Lages: Toda sequência limitada de reais possui subsequência convergente 2. Para todo (Gn), todo conjunto finito de grafos F possui subsequência na qual (t(F,Gn)) converge3. Segue do Teorema da Compacidade

Funções com 2 variáveis

Intuição: grafo em [0,1], onde W(x,y) é a dens entre vizinhança infinitesimal de x e y

Norma retangular:

Densidade de Subgrafos:

Relação, “Graphons” e Step-Functions

[Lovász, Szegedy 2004]: (Gn) convergente se e só se existe “objeto limite” tal que

Obs: Todo é limite de uma (Gn) convergente

W-random graph G(n,W) sobre [n]: sorteia x1,…xn: ij aresta com prob. W(xi,xj)

StepFunction:

f(G) Testável f(Gn) Convergente

[Borgs, Chayes, et al, 2006]:Parâmetro f(G) testável (Gn) convergente: f(Gn) converge

Prova ()f testável , k: grafo G k vértices:

|f (G)-f (G[Vk])| com prob. 1-, para Vk aleat. com k vértices

|f (G)-E(f (G[Vk]))| , para Vk aleat. com k vértices

(Gn) convergente

Fk com k vértices:

Um Lema Auxiliar

Lema 4:

Prova:Suponha Z indicadora de um retângulo S x T

Vale para Z step-function

(combinação linear de funções indicadoras de retângulos)

Vale para Z integrável

(por definição, aproxima para step-functions em L1([0,1]2) )

Graphons com a propriedade P hereditária

Funções , tais que n, x1,…,xn[0,1]:

Se G sobre [n] satisfaz: U(xi,xj)=0 ij E(G)

U(xi,xj)=1 ij E(G)

Então G satisfaz P

Obs1: Alterando 0<U(x,y)<1 gera U’ que satisfaz o mesmo

Obs2:

Lema 5: é fechado em com respeito a norma

Prova:

Distância de um Graphon para P

Distância para :

Lema 6: P hereditária é função contínua na norma ||||Prova:

Distância de um Graphon para P

Distância para :

Lema 6: P hereditária é função contínua na norma ||||Prova:

Se não for convergente, tomeuma subsequência convergente

Grafos e Graphons com a Propriedade P

Lema 7:

Prova:

Lema 8:

Prova:

Prova do Teorema 2

Tome (Gn) convergente:

Prova-se que

Se não for convergente, tomeuma subsequência convergente

FIM