GRINDA Grinda este un element structural, orizontal sau înclinat, liniar (b,h<<<L), solicitat preponderent la încovoiere. Grinzile, în cadrul structurii de rezistenţă a unei construcţii, în funcţie de tipul ei, pot îndeplini mai multe sarcini. Tipurile de grinzi folosite în componenţa structurilor construcţiilor sunt: a) Grinzi de cadru Principale Secundare b) Centuri c) Buiandrug d) Rigle de cuplare e) Pane, căpriori şi cosoroabe f) Grinzi de fundare Grindă este solicitată preponderent la încovoiere. Pe lângă încovoiere, grinda mai este solicitată la forţă tăietoare şi uneori la forţe axiale şi torsiune. Apariţia solicitărilor de întinderea şi torsiunea în grinzi presupune luarea unor masuri speciale.

- Grinzile sprijină (se descarcă) pe diafragme, stâlp şi pe alte grinzi.

Figura 1. Elementele care se sprijină pe grinzilor

- Pe grinzi sprijină (se încarcă de la) planşee, alte grinzi şi chiar stâlpi şi pereţi.

Figura 2. Elemente care sprijină pe grinzii.

a) Grinda de cadru poate fi realizată din metal, lemn, beton armat, beton precomprimat, în sistem monolit sau prefabricat şi îndeplineşte următoarele sarcini: - susţine planşeele; - asigură conlucrarea stâlpilor; - transmite elementelor structurale verticale încărcările „culese” de la planşee. Grinzile de cadru se pot clasifica, după tipul elementelor pe care reazemă, în: Grinzi principale - reazemă la ambele capete pe stâlpi; Grinzi secundare - reazemă la minim un capăt pe o altă grindă Pe grinzi pot rezema planşee, alte grinzi şi în cazuri excepţionale stâlpi şi pereţi.

1

b) Centura – grinda realizată beton armat, cu rezemare continuă pe zidărie, şi îndeplineşte următoarele sarcini: - susţine planşeele; - asigură fixarea perimetrală a planşeelor (rezemare sau încastrare); - asigură confinarea şpaleţilor de zidărie; - transmite zidăriei încărcările „culese de la planşee” Centura este o grindă mai „slabă”, dimensionată şi armată de obicei constructiv. Se realizează obligatoriu la nivelul planşeelor şi uneori şi la niveluri intermediare pentru a micşora înălţimea şpaleţilor de zidărie. c) Buiandrug – element de construcţie alcătuit dintr-o grindă aşezată deasupra unei porţi, a unei uşi, a unei ferestre etc. pentru a susţine porţiunea de zidărie de deasupra acestora. d) Rigla de cuplare – este o grindă realizată beton armat între diafragme de beton armat, cu rol de a asigura conlucrarea acestora în planul lor. e) Pane, căpriori şi cosoroabe – elemente structurale ale acoperişurilor de tip şarpantă. - Pane – grinzi de lemn dispuse longitudinal şi rezemate pe popi. - Căpriori – grinzi de lemn dispuse după linia de cea mai mare pantă şi sprijină elementele secundare ale acoperişului (astereală, şipci). - Cosoroabe sau babe – grinzi de lemn dispuse pe zidurile exterioare ale construcţiilor, ancorate din loc în loc pe centura zidăriei, pe care reazemă căpriori. f) Grinzile de fundare sunt realizate din beton armat, în sistem monolit sau prefabricat şi îndeplinesc următoarele sarcini: - susţin zidăriile de închidere de la parter; - asigură conlucrarea fundaţiilor independente sub stâlpi. I) PREDIMENSIONARE GRINDĂ

1) BETON

- Predimensionarea secţiunii grinzilor:

- Grinda principala hgr = l/(8÷10) valorile se vor rotunji la multiplu de 50mm. bgr = hgr (1/3÷2/3) - Grinda secundară hgr = l/(10÷15) valorile se vor rotunji la multiplu de 50mm. bgr = hgr (1/3÷1/4)

Deschidere [m] Grinzi cu inimă plină monolite <15 Grinzi cu inimă plină prefabricate < 15 -18 Grinzi cu zăbrele 18 - 24 Arce 24 ….. 100

Experienţa de proiectare recomandă ca săgeţile să fie limitate la max. 1/10 din deschiderea arcelor circulare (uzual, se folosesc valori între 1/5 ... 1/8), iar pentru arce cu săgeţi mari (1/4 ... 1/2 din deschidere) forma parabolică este singura indicată.

2

h Forma riglei Cadre cu o

deschidere Cadre cu mai multe deschideri

Dreaptă l/10 ... l /12 l /12 ... l /16 Frântă, fără tirant l /12 ... l /16 l /10 ... l /18 Frântă cu tirant l /16 ... l /20 l /16 ... l /24 Curbă, fără tirant l /18 ... l /24 l /18 ... l /30 Curbă, cu tirant l /30 ... l /35 l /30 ... l/40

- Lăţimea secţiunii dreptunghiulare (b) este, de obicei, egală cu h/3 ... 2h/3; - Înălţimea secţiunii transversale a stâlpilor marginali, la cadrele cu un singur nivel, se ia egală cu aprox. 60% din înălţimea secţiunii riglei, iar pentru stâlpii centrali, cu 50% din înălţime secţiunii riglei; - Lăţimea secţiunii stâlpilor este, de obicei, egală cu lăţimea riglei. - Predimensionarea armăturilor grinzilor: - Predimensionarea armăturii longitudinale: *diametru minim – 12mm. Pentru Pc52 si Pc60 *distanţa minimă între bare – d = 25mm. *distanta maximă între bare – d = 200mm. * Numărul minim de bare – 4 pentru secţiune patrulateră – 6 pentru secţiune circulară * Procente de armare – pmediu = (0.8 ÷ 2)% - Predimensionarea armăturii transversale: *diametru minim – 6mm. pentru h grindă <800mm. – 8mm. pentru h grindă >800mm. *diametru etrier – φetr = (1/4) φa *număr de laturi ale etrierilor – 2 pentru b grinda <400mm. – 4 pentru b grinda >400mm. * distanta între etrieri – d ≤ 100mm. – d ≤ h/4 – d ≤ 15 φetr

* Procente de armare transversală – ptotal ≥0.2 % * acoperirea cu beton a armăturilor a = (10÷50)mm

b) Grinzi cu zăbrele din beton armat

3

- L = 15 ÷ 30m ; L/a = 10÷12m ; L/b = 6÷9m

- α = 350÷ 500

- p = 10 ÷ 15% 2) METAL

- Predimensionarea secţiunii grinzilor: a) Grinzi cu inima plină - Profile cu pereţi subţiri - h = 120÷300mm ; L = 3 ÷ 12m ; L/h = 25÷35m - sensibilităţi: săgeată, flexibilitate după axa minoră - Profile laminate late

- h = 100÷500mm ; L = 6 ÷ 14m ; L/h = 20÷30m - sensibilităţi: săgeată - Profile laminate înalte

- h = 200÷1000mm ; L = 6 ÷ 60m ; L/h = 18÷26m - sensibilităţi: săgeată, voalarea talpă superioară b) Grinzi cu zăbrele din metal

- Ferme

- L = 8 ÷ 20m ; L/h = 5÷10m; - L/h = 2÷4m; - pmin = 10 ÷ 15% - sensibilităţi: săgeată, voalarea bare

- Grinzi cu zăbrele propriu-zise

- L = 12 ÷ 75m ; L/h = 10÷15m - sensibilităţi: săgeată, voalarea bare

c) Grinzi cu inimă expandată

- L = 6 ÷ 18m ; L/h = 10÷18m - sensibilităţi: săgeată, voalare inimă

3) LEMN

- Predimensionarea secţiunii grinzilor: a) Grinzi cu inima plină

- h = 100÷500mm ; L = 6 ÷ 10m ; L/h = 20÷30m - sensibilităţi: săgeată b) Grinzi cu zabrele din lemn

4

- h = 1500÷3000mm ; L = 40 ÷ 80m ; L/h = 8÷10m - sensibilităţi: săgeată, flexibilitate după axa minoră c) Ferme - h = 1200÷2000mm ; L = 20 ÷ 30m ; L/h = 4÷60m - sensibilităţi: sunt necesare foarte dese (600mm) d) LLÎ

- Grinzi propriu-zise - h = 180÷400mm ; L = 30m ; L/h = 15÷20m

- Grinzi chesonate - h = 200÷2000mm ; L = 6 ÷ 20m ; L/h = 10÷15m

II. DEFINIŢII, NOMENCLATURA, FORME

0 structură geometric indeformabilă, alcătuită din bare prinse între ele la capete prin articulaţii şi destinată să suporte un sistem de sarcini aplicate numai in articulaţii (noduri), este numită, in tehnica construcţiilor, grinda cu zabrele. Asemenea structuri pot fi spaţiale sau plane. Atât barele cât şi încărcările grinzile cu zăbrele plane sunt în acelaşi plan. Barele din care se compune grinda cu zabrele sunt aproape totdeauna drepte şi se consideră că lungimea acestor bare este constantă (bara cu lungime invariabilă). Punctele de intersecţie ale axelor barelor se numesc noduri si articulaţiile se considera centrate în aceste noduri. În realitate, în cele mai multe situaţii, axele barelor nu concură riguros în nodul teoretic din schema de calcul static iar legătura barelor la nod nu este o articulaţie perfectă. Grinzile cu zăbrele realizate din metal sunt cele mai apropiate de grinzile cu zăbrele teoretice. La acestea, pentru realizarea nodurilor cât mai apropiate de nodurile ideale este necesară foarte adesea o piesă suplimentară numită guseu. Guseul este piesa de care se prind capetele barelor cu nituri, buloane sau suduri (fig. 1).

GUSEU

5

S-a încercat realizarea grinzii cu zabrele pentru poduri metalice, cu articulaţii ideale la noduri, însă s-a dovedit că datorită frecărilor şi ruginirii, acestea nu funcţionau ca articulaţii perfecte. La construcţiile din lemn apar câteva probleme care fac ca grinzile cu zăbrele sa nu ˝funcţioneze˝ perfect. Printre aceste probleme sunt: barele tălpilor trec continuu prin noduri, barele se leagă destul de rigid, prin îmbinări bine ajustate (praguri, cepuri, crestături etc.), buloane, cuie, scoabe, piese metalice speciale etc. Construcţiile de beton armat au nodurile complet rigide, fiind turnate monolit împreună cu barele; deci teoretic nu există grinzile cu zăbrele realizate din beton armat. În proiectare de fapt, la calculul grinzilor de beton armat, ca şi al celor metalice mai importante, în etapa de predimensionare, se aplică ipoteza articulaţiilor perfecte la noduri, însă se adaugă apoi şi eforturile secundare, datorate rigidităţii

legăturilor de la noduri; evaluarea acelor eforturi secundare se face prin metodele de rezolvare a sistemelor multiplu static nedeterminate. În ceea ce priveşte aplicarea sarcinilor numai la noduri, intervine şi aici o aproximaţie: neglijarea cel puţin a greutăţilor proprii ale barelor, a presiunii vântului (la poduri) etc. sarcini inevitabil distribuite continuu de-a lungul barelor. Aproximaţia este însă admisibilă, considerând că in genere greutăţile barelor sunt relativ mici în raport cu sarcinile concentrate de la noduri; pe de alta parte, atât sarcinile continue cât si eventualele alte sarcini ce acţionează transversal pe bare, pot fi înlocuite la calcule, cu componentele lor de la capetele barelor, ţinând apoi seama, separat, de efectele lor de încovoiere. Aşadar, definiţia grinzilor cu zabrele cuprinde implicit admiterea, pentru calculul lor static, a următoarelor ipoteze simplificatoare: — nodurile sunt articulaţii perfecte; — barele sunt drepte, perfect axate in nodurile teoretice si au lungimi invariable; — sarcinile acţionează numai la noduri, ca forte concentrate.

Grinzile cu zabrele sunt mult folosite în construcţii, ca grinzi principale la poduri şi la poduri rulante, la macarale turn, la stâlpi şi la grinzile de rezistenta ale halelor şi ale altor construcţii industriale, la acoperişuri etc.

Grinzile cu zabrele se pot clasifica în funcţie de mai multe criterii în diferite categorii.

A)După modul de rezemare, grinzile cu zabrele pot fi: - simplu rezemate, când au un reazem simplu (mobil) şi altul articulat (reazem fix) (fig. 2); - în consola (fig. 3);

6

BV

2F

A

B

2F AV

F2

1F

Figura 2 Figura 3 - continue, când au mai multe reazeme, dintre care cel puţin unul trebuie sa fie articulaţie (fig. 4);

V B

2F

AV DV

CV

F 13F

Figura 4

- arce, dacă poziţia reazemele determină reacţiuni înclinate produse de sarcinile verticale (fig. 5);

arce articulate, dublu articulate (fig. 6a), triplu articulate (fig. 6b)

F1

VA

2F

BV

FN

b

a

NF

VB

1F

F2

AV

VBVA

NF

2F

1F

Figura 5 Figura 6

arce încastrate (fig. 7), (când au capetele prinse în articulaţii fixe.)

VA VB'

F1

F2

FN

A'VBV

Figura 7

Barele de pe conturul grinzii, situate la partea superioara, formează ta1pa superioară, iar cele care o conturează la partea inferioară, formează talpa inferioara. Barele care leagă între ele nodurile celor doua tălpi se numesc în general zabrele (de unde si denumirea de grinda cu zăbrele); cele verticale se numesc montanţi, iar cele înclinate, diagonale.

B)După forma tălpilor, grinzile cu zabrele se clasifica în : - grinzi cu tălpi paralele (fig. 8);

f

d

e

c

b

a

Figura 8

- grinzi cu tălpi poligonale (fig. 2);

7

- grinzi cu tălpi curbe, când nodurile de la una din tălpi sau de la amândouă sunt situate pe o curba (barele între noduri rămânând drepte); se disting astfel: grinzi parabolice, care au nodurile uneia din tălpi pe o parabola (fig. 9);

8

BVVA

VBAV

Figura 9a Figura 9b grinzi semiparabolice (fig. 10), care au o talpa parabolică, dar la capete au montanţi verticali;

V BAV

Figura 10

grinzi lenticulare (fig. 11) cu ambele tălpi curbe;

VBAV

Figura 11

- grinzi în arc (fig. 5,6,7). C)Desenul format de zabrele influenţează modul de calcul al eforturilor din bare şi constituie un criteriu de clasificare a grinzilor cu zabrele: 1)grinzi cu sisteme simple de zabrele, formate prin juxtapunerea unor triunghiuri ale căror suprafeţe nu se suprapun. Astfel: grinzile cu zabrele sistem triunghiular au numai diagonale, fără montanţi (fig. 2 si 8 f); grinzile cu zabrele sistem dreptunghiular au montanţi şi diagonale, între zabrele formându-se triunghiuri-dreptunghice (fig. 8, a şi b, 9a şi b şi 10); grinzile cu diagonale în K (fig. 8 e).

2)grinzi cu sistem compus de zabrele: pe lângă un sistem simplu, numit sistem primitiv, mai au şi sisteme suplimentare de zabrele (fig. 12 ).

Figura 12 3)grinzi cu sistem complex de zăbrele: alcătuirea sistemului de zabrele nu se încadrează în nici una din categoriile precedente; de multe ori sistemul zăbrelelor rezultă din combinarea sau suprapunerea mai multor sisteme simple. Astfel: grinzi cu zabrele sistem triunghiular dublu (fig. 13); grinzi cu zăbrele sistem dreptunghiular dublu (fig. 14)

Figura 13 Figura 14 grinzi cu zabrele cu diagonale în cruce (fig. 8c); grinzi cu zabrele cu diagonale multiple (fig. 8d) D)Grinzile cu zăbrele utilizate ca schelete de rezistenţă pentru acoperişurile clădirilor se numesc ferme; la nodurile tălpilor lor superioare se reazemă panele acoperişului; distanta între aceste pane fiind în mod curent 1,53 m, ea determină poziţia nodurilor şi desenul zăbrelelor. Ferma triunghiulară simpla (fig. 15) se utilizează la deschideri mici şi poate fi realizată din lemn sau din metal.

Figura 15

9

Ferma de tip german din figura 16, pentru deschideri de 8—12 m, poate fi de asemenea alcătuită din lemn sau din profile metalice, sau combinat: barele comprimate, din lemn, iar cele întinse din profile metalice.

Figura 16 Ferma Polonceau (fig. 17, a, b) poate fi folosită şi pentru deschideri mici si pentru deschideri mari.

Figura 17 Ferma de tip englezesc (fig. 18) are montanţi verticali şi diagonale înclinate; talpa inferioara poate fi poligonală sau dreaptă

10

a

b

Figura 18

Fermele cu contrafişe si montanţi intermediari, pentru susţinerea panelor acoperişului, pot avea forme şi desene variate (fig. 19).

a

b

Figura 19 Fermele cu o singură pantă, pentru astfel de acoperişuri, pot fi simplu rezemate, sau încastrate la un capăt (fig. 20, a si b).

a

b

Figura 20 Prin legarea a doua grinzi cu zabrele se pot alcătui grinzi sau cadre cu trei articulaţii şi cu tirant (fig. 21); ele se comporta ca o ferma simplu rezemata.

Figura 21

Din grinzi cu zabrele, articulate, se mai alcătuiesc cadre static nedeterminate, cu doua articulaţii (fig. 22) precum si cadre static determinate cu trei articulaţii, fără tirant (fig. 23). Aceste tipuri de cadre comporta împingeri orizontale ce trebuie preluate de fundaţii.

11

Figura 22 Figura 23 Alte tipuri de grinzi cu zabrele sunt denumite după numele primului proiectant sau după simbolistica formei (fig. 23).

Grinda "Burta de peste"

Grinda in "Cocoase de cam ila"Grinda Baltimore

Grinda W arren

Grinda PrattGrinda Howe

Grinda W arren rombica

Figura 23 Evoluţia de la grinda plină la grinda cu zăbrele este prezentată schematic în figurile următoare (Fig. 24)

12

b

a

c

e1

d1

e2

d2

Figura 24 III) CONDIŢA DE INDEFORMABILITATE GEOMETRICĂ Grinda cu zabrele este geometric indeformabilă atunci când poziţia fiecărui nod al ei este invariabil în raport cu toate celelalte noduri. Dacă se consideră două noduri 1 si 2 (fig. 25a), pentru ca poziţia unuia faţă de celalalt să fie invariabilă, este evident de ajuns ca ele sa fie legate cu o bară de lungime invariabilă. Ca un al treilea nod să aibă o poziţie invariabilă în raport cu primele două, este necesar ca el să fie legat de acestea prin doua bare: 1—3 si 2—3 (fig. 25b).Acesta nu poate ocupa decât o singură poziţie şi anume, intersecţia arcelor de cerc de raze egale cu lungimile invariabile ale celor doua bare rezultând un triunghiul, cea mai simplă figură geometrică indeformabilă. Pentru a fixa în mod invariabil un al patrulea nod cu primele trei, mai trebuie alte doua bare (fig. 25c,d si e). La fel, pentru orice alt nod ce s-ar mai lega invariabil de nodurile precedentele, ar mai fi necesare câte doua bare.

13

3

21e

4

4

d1 2

3

3

3

2

2

2

1

1

1

c

b

a

Figura 25 În total deci, pentru a forma o grindă articulată indeformabilă, cu n noduri, sunt necesare :

— pentru primele 2 noduri ---------------- 1 bara; — pentru următoarele (n-2) noduri-------------2(n - 2) bare; — în total, pentru n noduri-----------------2n - 3 bare. Notând cu b numărul de bare, condiţia ca grinda cu n noduri sa fie indeformabila este :

b = 2n – 3 Dacă o grindă are mai puţine bare, adică dacă b <2n - 3, legăturile dintre noduri nu sunt suficiente pentru a le fixa poziţiile invariabil, prin urmare grinda este deformabilă sau labilă. Daca însă b > 2n - 3, grinda este indeformabila, dar are şi legături (bare) suplimentare. Triunghiul îndeplineşte condiţia de indeformabilitate, având n = 3 şi b = 3 = 2n - 3; el este elementul de bază la alcătuirea grinzilor cu zabrele strict indeformabile: o grindă formată numai din triunghiuri alăturate este totdeauna indeformabilă. La un patrulater, b = 4 si 2n - 3 = 5, prin urmare b < 2n - 3 → patrulaterul este deformabil; într-adevăr, presupunând nodurile 1 si 4 (fig. 26) fixe, nodurile 2 si 3 pot să se mişte pe arce de cerc şi să ocupe o infinitate de poziţii, împreună cu barele 1 — 2, 2 — 3 si 3 — 4. Problema indeformabilităţii se poate rezolva prin adăugarea unei diagonale, de exemplu 2—4 (fig. 27), construcţia ajunge să fie alcătuită din doua. triunghiuri, patrulaterul este strict indeformabil. Dacă s-ar introduce şi a doua diagonală, 1—3, grinda ar rămâne indeformabilă, dar nu strict. În acest caz s-ar putea suprima una, oarecare, dintre barele diagonale, fără să devină deformabilă.

2

1 4

3

Figura 26 Figura 27

14

15

Condiţia de strictă indeformabilitate, totdeauna necesară nu este însă şi suficientă. Mai întâi, barele trebuie să. lege nodurile în aşa fel, încât să nu existe parţi de grindă cu un număr insuficient de legături, în timp ce în altele părţi ar exista legături suplimentare. (fig. 27). Pentru a se asigura indeformabilitatea unei grinzi cu zăbrele pe lângă IV) CONDIŢIA DE DETERMINARE STATICĂ Considerăm o grindă cu zăbrele strict indeformabilă acţionată de forţe coplanare cu ea. Pentru ca aceasta să fie în echilibru, în primul rând trebuie ca sistemul de forţe să fie el însuşi în echilibru, întrucât altfel întreaga grindă ar căpăta o mişcare în planul ei. Tot odată fiecare element al grinzii trebuie să fie în echilibru, ceea ce se poate exprima prin câte două" ecuaţii de echilibru de fiecare nod (ΣFx = 0 şi ΣFy = 0).Ecuaţie de echilibru a punctului liber în plan, ecuaţia de momente, nu este utilizabilă la nod, deoarece atât direcţiile forţelor exterioare de la nod cât si eforturile din bare trec toate prin nod. Scriind deci ecuaţiile de echilibru pentru toate n nodurile grinzii, se obţine un sistem de 2n ecuaţii. Necunoscutele din acest sistem de ecuaţii, când se cunosc forţele exterioare, sunt: reacţiunile de la reazeme şi eforturile din bare. Pentru a avea determinare statică, adică pentru ca să se poată determina toate necunoscutele numai cu aceste 2n ecuaţii date de statica, trebuie ca numărul necunoscutelor sa fie egal cu numărul de ecuaţii, deci cu 2n. Dacă grinda are b bare şi numărul reacţiunilor de la reazeme este r, atunci condiţia de determinare statica est:

b - r = 2n,

b = 2n- r,

Aceasta înseamnă ca daca, numărul necunoscutelor (b + r) este mai mare decât numărul ecuaţiilor de care dispunem din statica şi deci grinda este static nedeterminată : nu se pot determina toate necunoscutele cu cele 2n ecuaţii. Dacă numărul Valoarea lui A, definita prin A = b + r — 2n, constituie gradul de nedeterminare statica sau de nestaticitate al grinzii. Daca insa A < 0, având [b -}- r) < 2n, numărul necunoscutelor este mai mic decât cel al ecuaţiilor, aşa ca sistemul admite o infinitate de soluţii.

Pentru orice corp din plan, condiţia de determinare statică în ce priveşte rezemările, este r = 3, rezultă relaţia anterioară sub forma :

b = 2n — 3 V) METODE DE DETERMINARE A EFORTURILOR DIN BERELE GRINZILOR CU ZABRELE 5.1. METODA IZOLĂRII (SEPARĂRII) NODURILOR O grinda cu zăbrele este în echilibru, rezultă că şi nodurile sale sunt în echilibru. Dacă separăm fiecare nod de restul grinzi, înlocuind barele, ce concură în nod, cu forţele din aceste bare, nodul va fi în echilibru. Pentru fiecare nod putem scrie în plan trei ecuaţii de echilibru:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMo= 0 Această ecuaţie nu poate fii folosită deoarece toate forţele din barele ce concură în nod dau moment zero faţă de nod. Convenţia de semn pentru forţele din bare este următoarea: + întindere forţa trage de nod: − compresiune forţa împinge în nod. Se notează: Si,i+1 forţele din talpa superioară Ii,i+1 forţele din talpa inferioara Mi,i+1 forţele din montanţi Di,i+1 forţele din diagonale

F1

2F

V1 V

2

1

4

3

1223

D12

23D

S2421F

Figura 28 ΣFx = S24 + D23 cosα23 − D12 cosα12 = 0 ΣFy = F1 − D23 sin23 − D12 sinα12 = 0 Această metodă se poate folosi dacă se pot rezolva pe rând nodurile astfel încât fiecare nod să presupună două necunoscute. Pentru a uşura determinarea eforturilor din zăbrele, înainte de separarea nodurilor se poate face o analiză a situaţiilor particulare ce pot conduce la aflarea directă a forţelor axiale. Printre aceste situaţii cele mai des întâlnite sunt: 1)Dacă într-un nod se întâlnesc trei bare, două fiind în prelungire şi nodul nu este încărcat cu forţe exterioare, bara a treia are forţa egală cu zero(fig. 29.1); 2)Dacă într-un nod se întâlnesc trei bare, două fiind în prelungire şi nodul este încărcat cu forţe exterioare, bara a treia are forţa egală cu proiecţia forţei exterioare pe direcţia ei(fig. 29.2); 3)Dacă într-un nod se întâlnesc doua bare, ne fiind în prelungire şi nodul nu este încărcat cu forţe exterioare, ambele bare au forţa egală cu zero(fig. 2.3); 4)Dacă într-un nod se întâlnesc doua bare, ne fiind în prelungire şi nodul este încărcat cu forţe exterioare, pe direcţia uneia dintre bare, această bare are forţa egală cu forţa exterioară(fig. 29.4);

16

3F 3

4

1

2

VA

F21F

4

2

3

1y3

F3F

F12F

AV

2

1

4

3

1F2F

AV

2

1

4

3

3

4

1

2

VA

F21F

Figura 29

5.2. METODA SECŢIUNILOR Determinarea forţelor din zăbrele prin metoda secţiunilor presupune tăierea grinda cu zabrele în dona bucăţi (tronsoane) şi se determine eforturile din barele secţionate, exprimând, analitic sau grafic,echilibrul unuia din cele dona tronsoane (fig. 30).

47D

57I

S46

R

F57

6

5

4

37V

1

1V

21F

Figura 30

Tronson de grindă, astfel separat, rămâne cu un număr oarecare de noduri, legate între ele prin bare şi cu sistem de forţe exterioare ce acţionează în noduri. Pentru ca fiecare tronson să fie în echilibru, trebuie să fie înlocuite barele secţionate prin forte, cu valori, direcţii si sensuri identice cu cele ale eforturilor pe care le aveau in ele înainte de secţionare.

17

Pentru un tronson în echilibru se pot scrie trei ecuaţii, cu care se pot determina, numai trei necunoscute. Deci secţiunea trebuie realizată aceasta să secţioneze numai trei bare, cu efort necunoscut. Pe de alta parte cele trei bare secţionate nu trebuie sa fie concurente sau paralele.

Metoda secţiunilor constă în : secţionarea grinzii astfel încât să taie numai trei bare; determinarea rezultantei R a forţelor (sarcini exterioare şi reacţiuni) descompunerea acestei rezultante R după direcţiile celor trei bare secţionate. Descompunerea unei forţe după trei direcţii cunoscute, se poate face, atât analitic cât şi grafic. Metoda este mai puţin laborioasă decât metoda izolării nodurilor şi permite să se determine efortul din una sau mai multe din barele grinzii, fără a fi nevoie sa se facă calculul pentru toate barele. Fiecare dintre tronsoanele create prin secţionarea grinzii cu zăbrele se află în echilibru, acesta putând fi exprimat prin trei ecuaţii independente. Aceste sunt suma momentelor tuturor forţelor (ce acţionează asupra unui tronson) în raport cu punctele de intersecţia a barelor secţionate luate două câte două. Din fiecare ecuaţie se poate determina efortul din cea dea treia bară (cea care nu concură în punctul faţă de care se calculează suma de momente). Dacă două puncte de intersecţie se cunosc al treilea este relativ greu de determinat iar determinarea momentelor în raport cu acest punct şi mai greu, atunci această ecuaţie poate fi înlocuită cu o ecuaţie de proiecţie de forţe. 5.3. METODA GRAFICĂ Metoda constă în exprimarea grafică a echilibrului fiecărui nod prin separarea acestora şi construirea poligonului închis al forţelor exterioare şi interioare ce acţionează asupra lui. Pentru trasarea poligonului forţelor, se cunosc, direcţiile tuturor forţelor ce concură în nod, mărimea şi sensul forţelor exterioare. Necunoscute rămânând sensul şi mărimea forţelor zăbrelelor ce concură în nod. Problema care se pune este descompunerea unei forţe după doua direcţi concurente coplanare. Descompunerea unei forţe în plan este posibilă după doua direcţi, rezultă că această metodă nu poate fi folosită decât la noduri în care concură numai două zăbrele cu forţe necunoscute.

18

F12

V1

1

V7

b

a

1

1FV1

13I

S12

F1

1V

3

4

5

6

7

1F

Figura 30

Să aplicăm toate acestea la grinda din figura 30. Separând întâi nodul 1, în care se întâlnesc numai doua bare:1-2 si 1-3, se descompune forţa exterioară rezultantă (V1 - F1) = Oa după direcţiile acestor doua bare, ca in figura 5. 40, b. Parcurgând poligonul Oab în sensul indicat de forţa exterioară rezultantă Oa. Eforturile astfel găsite S12 = ab

şi I13 = bO au sensurile săgeţilor din figură. Rezultă că în bara 1-2 efortul este de compresiune (săgeata împinge în nod), iar în bara 1-3 este de întindere (săgeata trage de nod). Rămâne să se măsoare segmentele ab şi bO, la aceeaşi scara a forţelor la care au fost măsurate forţele V1 şi F1, pentru a obţine şi valorile eforturilor S12 şi I13 . Dacă dorim să aflăm şi alte forţe din zăbrelele acestei grinzi, prin această metodă, următorul nod ce poate fi analizat este nodul 3, nod la care concură trei bare din care numai două au forţele. VI) EXEMPLE

- Sarcina concentrata

F1 = 15kN - Lungimi a = 2 m ; b = 1 m SE CERE:

Să se determine eforturile în zabrele,prin metoda: Izolării nodurilor Secţiunilor

REZOLVARE: Calculul reacţiunilor cu reazeme

211111111112 VF5.2F2

5F

6

15V0V6FF2F3F4F50M

000F5.2F5F5.20F 111

24122 =2n

24321 r b n2rb sistem static determinat

unde b = nr de bare r = reacţiuni în reazeme n = numărul de noduri

kN5.37155.2F5.2V 11

19

Metoda izolării nodurilor

o565.26)5.0(arctg5.02

1

a

btg

NODUL 1

cosDSsin

VDsinDV

1413

114141

1

3

4

V1=2.5F1

S13

D14

tg

F5.2cos

sin

F5.2S

sin

F5.2D

1113

114

kN75S

kN85.83D

13

14

NODUL 4

3414

4614

VcosD

IcosD

6

3

4

V34

I46

D14

11

34

111

46

F5.2sinsin

F5.2V

Fa

b5.2

tg

F5.2cos

sin

F5.2I

kN5.37V

kN75I

34

46

NODUL 3

0sinDFV

0cosDSS

36134

361335

3 5

6

S35

D36

4

S13

V34

F1

0sinDFF5.2

cosDtg

F5.2S

3611

361

35

tg

F4

tg

F5.1

tg

F5.2S

sin

F5.2D

11135

136

kN120S

kN31.50D

35

36

20

NODUL 6

5636

683646

VsinD

0IcosDI

8

5

6

I46

D36

I68

V56

11

56

11168

F5.1sinsin

F5.1V

tg

F4

tg

F5.1F5.2I

kN5.22V

kN120I

56

68

NODUL 5

0sinDVF

0cosDSS

58561

585735

5 7

8

S57

D58

6

S35

V56

F1

0sinDF5.1F

0cosDStg

F4

5811

58571

tg

F5.4cos

sin

F5.0

tg

F4S

sin

F5.0D

11157

158

kN135S

kN77.16D

57

58

Având în vedere simetria geometrica a grinzi cu zabrele precum si simetria încărcărilor rezulta: NODUL 2

sin

F5.2D

tg

F5.2S

1112

1112

2

D2-12

S2-11

V2=2.5F1

kN85.83D

kN75S

112

112

21

11 2

12I12-10

NODUL 12

V11-12

D2-12

11011

11012

F5.2V

tg

F5.2I

kN5.37V

kN75I

1011

1012

F1

9 11 6

1210

S9-11

V11-12D10-11

NODUL 11

sin

F5.1D

tg

F4S

11110

1911

kN31.50D

kN120S

1110

911

V9-10

9 11

1210

I8-10 I12-10

D10-11

8

7NODUL 10

kN85.83F5.2V

kN75tg

F4I

1109

1108

kN5.22V

kN120I

109

108

NODUL 9

V9-10

9 11

1210

S97 S11-9

D98

8

7

F1

kN85.83sin

F5.0D

kN75tg

F2S

198

197

kN77.16D

kN135S

98

97

Acum putem sa aflam eforturile in bara 7-8 ( bara centrala)

8

I62

D58

I8-10

V78

D98 NODUL 8

00)II,DD(

0IIcosDcosD

108689858

108689858

Se verifica:

22

kN15FV0Vsin 17878

23

sin

F5.0sin

sin

F5.00VsinDsinD 11

789858

F1 NODUL 7

97569756 SS0SS Se verifica: 0FF0VF 11781 (A)

Calculul eforturilor :

N1-3 75kN întindere N7-9 135kN întindere

N1-4 -83.85kN compresiune N8-10 -120kN compresiune

N3-4 37.5kN întindere N8-9 -16.77kN compresiune

N3-5 120kN întindere N9-10 22.5kN întindere

N3-6 -50.31kN compresiune N9-11 120kN întindere

N4-6 -75kN compresiune N10-11 -50.31kN compresiune

N5-7 135kN întindere N10-12 -75kN compresiune

N5-8 -16.77kN compresiune N11-12 37.5kN întindere

N6-8 -120kN compresiune N2-11 75kN întindere

N5-6 22.5kN întindere N2-12 -83.85kN compresiune

N7-8 15kN întindere

Metoda secţiunilor

Cu secţiunea I-I se determina eforturile din tălpi si diagonale. Cu secţiunea II-II se determina eforturile din montanţi. Cu III-III se determina efortul central.

0bIaV0M 4613

0aFbSa2V0M 13516

0IcosDS0X 463635

V78

7 9

108

5 S86 S97

6

3 5

6

y

D36

4

S35

V1

F1

1

I46

x

kN75tg

F5.2

a

bF5.2

b

aVI 111

46

kN125.0

5.14

tg

F4

b

aF4S

0FabSa2F5.2

1135

1351

sin

F5.1D

tg

F5.1cosD0

tg

F5.2cosD

tg

F4 136

136

136

1

kN5.22F5.1VFF5.2V0VFV 15611565611

0bIaFa2V0M 68115

0a2FaFbSa3V0M 113518 3 5

6

V56

4

S352.5F1

1

1

I68

1

7

8

II

II

3 5

6

D58

4

2.5F1

F1

1

I68

F1

7

8

IV

IV

S57

0IcosDS0X 685957

kN120tg

F4

b

aF4I

0FabIa2F5.2

1168

1681

kN135tg

F5.4

b

aF5.4S

0Fa3bSa3F5.2

1157

1571

kN77.16sin

F5.0D0

tg

F4cosD

tg

F5.4 158

158

1

Având in vedere simetria geometrica a grinzii precum şi simetria încărcărilor vom obţine şi o simetrie a eforturilor în bare.

3 5

6

D58

4

2.5F1

F1

I68

F1

7

8

IV

IV

S57kN135tg

F5.4S 1

97

kN77.16sin

F5.0D 1

98

kN120tg

F4I 1

810

24

Calculul in bara centrala 7-8 se face prin izolarea nodului 7.

V78

7 9S57 S975

F1

kN15FV0VF

000SS

178781

9757

Calculul eforturilor prin metoda secţiunilor pentru barele 1-3, 1-4, 2-11 si 2-12 se reduce la izolarea nodurilor 1 si respectiv 2 – adică metoda izolării nodurilor. Pentru celelalte bare eforturile se deduc in nod simetric.

SCHEMA GRINZII INCARCATE SI CU EFORTURILE FINALE

1 2119753

4 6 8 10 12

75

37.5 83.85

120

37

.5

22

.5

15

135

50.31

16.77

12075

135 120 75

120 75

22

.5

37

.5 37.516.7

7

50.31

83.85

15 15 15 15 15

25