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BY: Grupo CDPYE-UGR
Medidas de dispersion
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas.
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
La varianza proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X−E[X]| y, por lo tanto, es indicadorde la representatividad de la media:
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
La varianza proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X−E[X]| y, por lo tanto, es indicadorde la representatividad de la media: E[X] es tanto mas representativa de los valores de la variable cuanto menoressean las desviaciones respecto de ella o, equivalentemente, cuanto menores sean las desviaciones cuadraticas.
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
La varianza proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X−E[X]| y, por lo tanto, es indicadorde la representatividad de la media: E[X] es tanto mas representativa de los valores de la variable cuanto menoressean las desviaciones respecto de ella o, equivalentemente, cuanto menores sean las desviaciones cuadraticas.
Propiedades
i) V ar[X] ≥ 0.
ii) V ar[X] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) V ar[aX + b] = a2V ar[X], ∀a, b ∈ R.
iv) E [(X − b)2] > V ar[X], ∀b ∈ R / b 6= E[X].
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
La varianza proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X−E[X]| y, por lo tanto, es indicadorde la representatividad de la media: E[X] es tanto mas representativa de los valores de la variable cuanto menoressean las desviaciones respecto de ella o, equivalentemente, cuanto menores sean las desviaciones cuadraticas.
Propiedades
i) V ar[X] ≥ 0.
ii) V ar[X] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) V ar[aX + b] = a2V ar[X], ∀a, b ∈ R.
iv) E [(X − b)2] > V ar[X], ∀b ∈ R / b 6= E[X].
Demostracion:
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
La varianza proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X−E[X]| y, por lo tanto, es indicadorde la representatividad de la media: E[X] es tanto mas representativa de los valores de la variable cuanto menoressean las desviaciones respecto de ella o, equivalentemente, cuanto menores sean las desviaciones cuadraticas.
Propiedades
i) V ar[X] ≥ 0.
ii) V ar[X] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) V ar[aX + b] = a2V ar[X], ∀a, b ∈ R.
iv) E [(X − b)2] > V ar[X], ∀b ∈ R / b 6= E[X].
Demostracion:
Para la demostracion, se usaran repetidamente las propiedades de la esperanza.
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Medidas de dispersion
La dispersion de los valores de una variable suele medirse en referencia a las medidas de posicion, indicando ası larepresentatividad de estas. Presentamos seguidamente las mas usuales, referidas a la media, la mediana y los cuartiles.
Varianza: E [(X − E[X])2]
La varianza, momento centrado de orden dos de una variable, es la desviacion cuadratica media de los valores de lavariable respecto de su media.
La varianza proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X−E[X]| y, por lo tanto, es indicadorde la representatividad de la media: E[X] es tanto mas representativa de los valores de la variable cuanto menoressean las desviaciones respecto de ella o, equivalentemente, cuanto menores sean las desviaciones cuadraticas.
Propiedades
i) V ar[X] ≥ 0.
ii) V ar[X] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) V ar[aX + b] = a2V ar[X], ∀a, b ∈ R.
iv) E [(X − b)2] > V ar[X], ∀b ∈ R / b 6= E[X].
Demostracion:
Para la demostracion, se usaran repetidamente las propiedades de la esperanza.
i) V ar[X] = E [(X − E[X])2] ≥ 0.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
Las propiedades i)-iii) justifican el uso de la varianza como medida de dispersion de los valores de la variable respectode su media:
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
Las propiedades i)-iii) justifican el uso de la varianza como medida de dispersion de los valores de la variable respectode su media: es una medida no negativa, que vale cerosolo si la variable es constante, y es invariante por traslaciones.
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
Las propiedades i)-iii) justifican el uso de la varianza como medida de dispersion de los valores de la variable respectode su media: es una medida no negativa, que vale cerosolo si la variable es constante, y es invariante por traslaciones.
La propiedad iv) indica que si se mide la dispersion de los valores de X usando las desviaciones cuadraticas conrespecto a cualquier b 6= E[X], el indicador E [(X − b)2] es siempre mayor que la varianza.
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
Las propiedades i)-iii) justifican el uso de la varianza como medida de dispersion de los valores de la variable respectode su media: es una medida no negativa, que vale cerosolo si la variable es constante, y es invariante por traslaciones.
La propiedad iv) indica que si se mide la dispersion de los valores de X usando las desviaciones cuadraticas conrespecto a cualquier b 6= E[X], el indicador E [(X − b)2] es siempre mayor que la varianza. Por este motivo, sueleusarse la varianza como indicador de la dispersion global de los valores de la variable.
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
Las propiedades i)-iii) justifican el uso de la varianza como medida de dispersion de los valores de la variable respectode su media: es una medida no negativa, que vale cerosolo si la variable es constante, y es invariante por traslaciones.
La propiedad iv) indica que si se mide la dispersion de los valores de X usando las desviaciones cuadraticas conrespecto a cualquier b 6= E[X], el indicador E [(X − b)2] es siempre mayor que la varianza. Por este motivo, sueleusarse la varianza como indicador de la dispersion global de los valores de la variable.
La varianza de una variable aleatoria se mide en unidades cuadradas, por lo que es comun usar como medida dedispersion su raız cuadrada, esto es, la desviacion tıpica, cuyas propiedades son similares a las de la varianza.
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ii) ⇒) V ar[X] = E [(X − E[X])2] = 0 ⇒ P ((X − E[X])2 = 0) = 1 ⇒ P (X = E[X]) = 1.↑
(X − E[X])2 ≥ 0
⇐) P (X = c) = 1 ⇒
· E[X] = c
· P ((X − c)2 = 0) = 1
⇒ V ar[X] = E [(X − c)2] = 0.
iii) V ar[aX + b] = E [(aX + b− E[aX + b])2] = E [(a(X − E[X]))2] = a2E [(X − E[X])2] = a2V ar[X].
iv) E [(X − b)2] =E [(X−E[X]+E[X]−b)2] =E [(X−E[X])2 +(E[X]−b)2 +2(X−E[X])(E[X]−b)]=
=E [(X−E[X])2]+(E[X]−b)2 +2(E[X]−b)E[X−E[X]] =V ar[X]+(E[X]−b)2 >V ar[X]. �↑ ↑
E[X − E[X]] = 0 b 6= E[X] ⇒ (E[X]− b)2 > 0
Las propiedades i)-iii) justifican el uso de la varianza como medida de dispersion de los valores de la variable respectode su media: es una medida no negativa, que vale cerosolo si la variable es constante, y es invariante por traslaciones.
La propiedad iv) indica que si se mide la dispersion de los valores de X usando las desviaciones cuadraticas conrespecto a cualquier b 6= E[X], el indicador E [(X − b)2] es siempre mayor que la varianza. Por este motivo, sueleusarse la varianza como indicador de la dispersion global de los valores de la variable.
La varianza de una variable aleatoria se mide en unidades cuadradas, por lo que es comun usar como medida dedispersion su raız cuadrada, esto es, la desviacion tıpica, cuyas propiedades son similares a las de la varianza.
Tanto la varianza como la desviacion tıpica son medidas absolutas, en el sentido de que dependen de la unidad demedida de la variable y, por lo tanto, no son adecuadas para comparar distribuciones medidas en escalas diferentes.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
Demostracion:
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
Demostracion:
i) Es inmediata, teniendo en cuenta que√
V ar[X] y E[X] tienen la misma unidad de medida.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
Demostracion:
i) Es inmediata, teniendo en cuenta que√
V ar[X] y E[X] tienen la misma unidad de medida.
ii) CVaX =
√V ar[aX]
|E[aX]|=|a|
√V ar[X]
|a||E[X]|= CVX , ∀a ∈ R− {0}. �
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
Demostracion:
i) Es inmediata, teniendo en cuenta que√
V ar[X] y E[X] tienen la misma unidad de medida.
ii) CVaX =
√V ar[aX]
|E[aX]|=|a|
√V ar[X]
|a||E[X]|= CVX , ∀a ∈ R− {0}. �
Ya que la varianza y, por tanto, la desviacion tıpica de una variable pueden no existir, es conveniente disponer deotras medidas de dispersion. La que definimos a continuacion, mide la dispersion respecto de la mediana, y tienepropiedades analogas a las de la varianza.
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
Demostracion:
i) Es inmediata, teniendo en cuenta que√
V ar[X] y E[X] tienen la misma unidad de medida.
ii) CVaX =
√V ar[aX]
|E[aX]|=|a|
√V ar[X]
|a||E[X]|= CVX , ∀a ∈ R− {0}. �
Ya que la varianza y, por tanto, la desviacion tıpica de una variable pueden no existir, es conveniente disponer deotras medidas de dispersion. La que definimos a continuacion, mide la dispersion respecto de la mediana, y tienepropiedades analogas a las de la varianza.
Desviacion absoluta media respecto de la mediana: E[|X −MeX |]
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Ademas, ya que ambas se refieren a la dispersion respecto de la media, su magnitud adquiere distinto significadosegun la magnitud de la media de la variable. Esto es, una desviacion tıpica de 10 unidades en una distribucion conmedia 1 indica mayor dispersion que una desviacion tıpica de 10 en una distribucion con media 100.
Por este motivo, si se pretende efectuar comparaciones entre distribuciones medidas en diferentes escalas, o condistintas medias, debe usarse una medida de dispersion relativa como la que proporciona el siguiente coeficiente,aplicable a variables con media no nula.
Coeficiente de variacion de Pearson: CVX =
√V ar[X]
|E[X]|
Propiedades
i) El coeficiente de variacion es una medida adimensional.
ii) El coeficiente de variacion es invariante frente a cambios en la unidad de medida.
Demostracion:
i) Es inmediata, teniendo en cuenta que√
V ar[X] y E[X] tienen la misma unidad de medida.
ii) CVaX =
√V ar[aX]
|E[aX]|=|a|
√V ar[X]
|a||E[X]|= CVX , ∀a ∈ R− {0}. �
Ya que la varianza y, por tanto, la desviacion tıpica de una variable pueden no existir, es conveniente disponer deotras medidas de dispersion. La que definimos a continuacion, mide la dispersion respecto de la mediana, y tienepropiedades analogas a las de la varianza.
Desviacion absoluta media respecto de la mediana: E[|X −MeX |]
Proporciona una medida global de la magnitud de las desviaciones |X −MeX | y, por lo tanto, es indicador de la
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representatividad de la mediana.
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
Sea b > MeX :
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
Sea b > MeX :
E(|X − b| − |X −MeX |) =∑
x≤MeX
(b−MeX)P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) +∑x≥b
(MeX − b)P (X = x) =
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
Sea b > MeX :
E(|X − b| − |X −MeX |) =∑
x≤MeX
(b−MeX)P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) +∑x≥b
(MeX − b)P (X = x) =
= (b−MeX)∑
x≤MeX
P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x)− (b−MeX)∑x≥b
P (X = x) =
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
Sea b > MeX :
E(|X − b| − |X −MeX |) =∑
x≤MeX
(b−MeX)P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) +∑x≥b
(MeX − b)P (X = x) =
= (b−MeX)∑
x≤MeX
P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x)− (b−MeX)∑x≥b
P (X = x) =
= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X ≥ b)] +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) >
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
Sea b > MeX :
E(|X − b| − |X −MeX |) =∑
x≤MeX
(b−MeX)P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) +∑x≥b
(MeX − b)P (X = x) =
= (b−MeX)∑
x≤MeX
P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x)− (b−MeX)∑x≥b
P (X = x) =
= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X ≥ b)] +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) >
> (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X ≥ b)] +∑
MeX<x<b
(MeX − b)P (X = x) =
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representatividad de la mediana.
Propiedades
i) E[|X −MeX |] ≥ 0.
ii) E[|X −MeX |] = 0 ⇔ ∃c ∈ R / P (X = c) = 1.
iii) E [|X − b|] > E[|X −MeX |], ∀b ∈ R / b 6= MeX .
Demostracion:
Las propiedades i) y ii) se deben a que esta medida es la esperanza de una variable no negativa, y se demuestrancomo las correspondientes de la varianza.
iii) Probaremos esta propiedad suponiendo que X es una variable de tipo discreto; la demostracion en el casocontinuo se realiza de forma totalmente similar.
Sea b > MeX :
E(|X − b| − |X −MeX |) =∑
x≤MeX
(b−MeX)P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) +∑x≥b
(MeX − b)P (X = x) =
= (b−MeX)∑
x≤MeX
P (X = x) +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x)− (b−MeX)∑x≥b
P (X = x) =
= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X ≥ b)] +∑
MeX<x<b
(b + MeX − 2x)P (X = x) >
> (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X ≥ b)] +∑
MeX<x<b
(MeX − b)P (X = x) =
= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X ≥ b)− P (MeX < X < b)] =
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= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X > MeX)] = (b−MeX) [2P (X ≤ MeX)− 1] .
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= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X > MeX)] = (b−MeX) [2P (X ≤ MeX)− 1] .
Teniendo en cuenta la definicion de mediana, P (X ≤ MeX) ≥ 1/2, de donde se deduce que la ultima expresion esno negativa y, consecuentemente, a partir de la cadena de desigualdades
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b > MeX .
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= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X > MeX)] = (b−MeX) [2P (X ≤ MeX)− 1] .
Teniendo en cuenta la definicion de mediana, P (X ≤ MeX) ≥ 1/2, de donde se deduce que la ultima expresion esno negativa y, consecuentemente, a partir de la cadena de desigualdades
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b > MeX .
De forma similar se prueba que
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b < MeX . �
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BY: Grupo CDPYE-UGR
= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X > MeX)] = (b−MeX) [2P (X ≤ MeX)− 1] .
Teniendo en cuenta la definicion de mediana, P (X ≤ MeX) ≥ 1/2, de donde se deduce que la ultima expresion esno negativa y, consecuentemente, a partir de la cadena de desigualdades
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b > MeX .
De forma similar se prueba que
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b < MeX . �
Finalmente, la medida de dispersion usual asociada a los cuartiles, que se define a continuacion, indica la longituddel intervalo que contiene al 50 % central de la distribucion.
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= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X > MeX)] = (b−MeX) [2P (X ≤ MeX)− 1] .
Teniendo en cuenta la definicion de mediana, P (X ≤ MeX) ≥ 1/2, de donde se deduce que la ultima expresion esno negativa y, consecuentemente, a partir de la cadena de desigualdades
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b > MeX .
De forma similar se prueba que
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b < MeX . �
Finalmente, la medida de dispersion usual asociada a los cuartiles, que se define a continuacion, indica la longituddel intervalo que contiene al 50 % central de la distribucion.
Rango intercuartılico: Q3 −Q1
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= (b−MeX) [P (X ≤ MeX)− P (X > MeX)] = (b−MeX) [2P (X ≤ MeX)− 1] .
Teniendo en cuenta la definicion de mediana, P (X ≤ MeX) ≥ 1/2, de donde se deduce que la ultima expresion esno negativa y, consecuentemente, a partir de la cadena de desigualdades
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b > MeX .
De forma similar se prueba que
E(|X − b| − |X −MeX |) = E(|X − b|)− E(|X −MeX |) > 0, ∀b < MeX . �
Finalmente, la medida de dispersion usual asociada a los cuartiles, que se define a continuacion, indica la longituddel intervalo que contiene al 50 % central de la distribucion.
Rango intercuartılico: Q3 −Q1
Nota: Para variables acotadas, a veces se usa como medida de dispersion de los valores de la variable el rango o recorrido,diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Sin embargo, el rango intercuartılico tiene la ventaja de disminuirlos efectos distorsionantes que pueden causar los valores extremos en el rango.