Gruppo: Federica Vecchieschi,

Chiara Salvatelli,

Manuela Zampieri

Sia X ={Giovanni, Nicolò, Caterina, Lorenzo, Giulia, Barbara, Michela} un insieme di 6 persone con le seguenti caratteristiche:

• Giovanni:anni 30,psicologo• Nicolò:anni 33,avvocato• Caterina:anni 33,medico• Lorenzo: anni 35,avvocato• Giulia: anni 37,casalinga• Barbara: anni 38,casalinga• Michela: anni 40,medico

definite in X².

• ◊ = “avere lo stesso sesso di”a. Rappresentazione per mezzo di tabella.

◊ Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela

Giovanni V V V

Nicolò V V V

Caterina V V V V

Lorenzo V V V

Giulia V V V V

Barbara V V V V

Michela V V V V

b. Relazione in termini di coppie ordinate◊={(Giovanni, Giovanni), (Giovanni, Nicolò), (Giovanni,

Lorenzo), (Nicolò, Nicolò), (Nicolò, Giovanni), (Nicolò, Lorenzo), (Caterina, Caterina), (Caterina, Giulia), (Caterina, Barbara), (Caterina, Michela), (Lorenzo, Giovanni), (Lorenzo, Nicolò), (Lorenzo, Lorenzo), (Giulia, Caterina), (Giulia, Giulia), (Giulia, Barbara), (Giulia, Michela), (Barbara, Caterina), (Barbara, Giulia), (Barbara, Barbara), (Barbara, Michela), (Michela, Caterina), (Michela, Giulia), (Michela, Barbara), (Michela, Michela)}

: ◊

c. Descrivere le principali proprietà e se sono relazione d’ordine o d’equivalenza.

-Riflessiva

-Simmetrica

-Transitiva

Quindi è una relazione d’equivalenza.

: ◊

d. Rappresentare graficamente la struttura indotta da tale relazione sul dominio X.

Giovanni, Lorenzo, Nicolò

Caterina, Giulia,Barbara, Michela

e. Costruire un sistema relazionale empirico e uno numerico dello stesso tipo e trovare almeno due omomorfismi e una funzione che non sia un omomorfismo tra loro.

< X,”avere lo stesso sesso di” >< R,= >OMOMORFISMO 1< X,“avere lo stesso sesso di”> F(x)=“associa 0 ai maschi e 1 alle femmine”

: ◊

GiovanniNicolò

CaterinaLorenzoGiulia

BarbaraMichela 0

1

(Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni) = F1(Giovanni))(Giovanni, Nicolò)→ (F1(Giovanni) = F2(Nicolò))……

OMOMORFISMO 2

< X,“avere lo stesso sesso di” >

F(x)=“associa la lettera finale A del nome delle femmine al numero 1 e le lettere finali I-O dei nomi dei maschi al numero 2”

GiovanniNicolò

CaterinaLorenzoGiulia

BarbaraMichela

1

2

(Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni) = F1(Giovanni))(Giovanni, Nicolò)→ (F1(Giovanni) = F2(Nicolò))…..

NON OMOMORFISMO< X,“avere lo stesso sesso di” > F(x)=“associa il numero 1 per il lavoro di psicologo,

2 per l’avvocato, 3 per il medico, 4 per la casalinga”

(Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni) = F1(Giovanni))(Giovanni, Nicolò)→ (F1(Giovanni) ≠ F2(Nicolò))……

MichelaBarbaraGiulia

LorenzoCaterinaNicolò

Giovanni

2

3

4

1

• & = “essere più giovane o avere la stessa età di”

a. Rappresentazione per mezzo di tabella

Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela

Giovanni V V V V V V V

Nicolò V V V V V V

Caterina V V V V V

Lorenzo V V V V

Giulia V V V

Barbara V V

Michela V

b. Relazione in termini di coppie ordinate.& = {(Giovanni, Giovanni), (Giovanni, Nicolò), (Giovanni,

Caterina), (Giovanni, Lorenzo), (Giovanni, Giulia), (Giovanni, Barbara), (Giovanni, Michela), (Nicolò, Nicolò), (Nicolò, Caterina), (Nicolò, Lorenzo), (Nicolò, Giulia), (Nicolò, Barbara), (Nicolò, Michela), (Caterina, Caterina), (Caterina, Lorenzo), (Caterina, Giulia), (Caterina, Barbara), (Caterina, Michela), (Lorenzo, Lorenzo), (Lorenzo, Giulia), (Lorenzo, Barbara), (Lorenzo, Michela), (Giulia, Giulia), (Giulia, Barbara), (Giulia, Michela), (Barbara, Barbara), (Barbara, Michela), (Michela, Michela)}.

: &c. Descrivere le principali proprietà e se

sono relazioni d’ordine o di equivalenza:

-Riflessiva

-Transitiva

-Connessa

Quindi è una relazione d’ordine largo totale.

: &d. Rappresentare graficamente la struttura

indotta da tale relazione sul dominio X.

→ → → → →GiovanniNicolò

~Caterina

Lorenzo Giulia Barbara Michela

e. Costruire un sistema relazione empirico e uno numerico dello stesso tipo e trovare almeno due omomorfismi e una funzione che non sia un omomorfismo tra loro.

< X,”essere più giovane o avere la stessa età di” >

< R,≤ >

30 33 35 37 38 40

Giovanni V

Nicolò V

Caterina V

Lorenzo V

Giulia V

Barbara V

Michela V

(Giovanni, Giovanni) → (F1(Giovanni) ≤ F1 (Giovanni))

(Giovanni, Nicolò) → (F1(Giovanni) ≤ F2 (Nicolò))

…..F = {(Giovanni,30), (Nicolò,33), (Caterina,33), (Lorenzo,35), (Giulia,37), (Barbara,38), (Michela,40)}

OMOMORFISMO 1

OMOMORFISMO 2

& = “essere più giovane di o avere la stessa età di”

< = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7), (5,6), (5,7), (6,7)}

1 2 3 4 5 6 7

1 V V V V V V

2 V V V V V

3 V V V V

4 V V V

5 V V

6 V

7

F = {(Giovanni,1), (Nicolò,2), (Caterina,2), (Lorenzo,4), (Giulia,5), (Barbara,6), (Michela,7)}.

1 2 3 4 5 6 7

Giovanni V

Nicolò V

Caterina V

Lorenzo V

Giulia V

Barbara V

Michela V

NON OMOMORFISMO< X, “essere più giovane di o avere la stessa età di” >F(x) = “associa al nome il numero di lettere che compongono il nome”

(Giovanni, Giovanni) → (F1(Giovanni)=F1(Giovanni))(Giovanni, Nicolò) → (F1(Giovanni) non < F2(Nicolò))

GiovanniNicolò

CaterinaLorenzoGiulia

BarbaraMichela

6

7

8

= “avere lo stesso lavoro di”

a. Rappresentazione per mezzo di tabella.

Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela

Giovanni V

Nicolò V V

Caterina V V

Lorenzo V V

Giulia V V

Barbara V V

Michela V V

b. Relazione in termini di coppie ordinate

={(Giovanni, Giovanni), (Nicolò,Nicolò), (Nicolò, Lorenzo), (Caterina, Caterina), (Caterina, Michela), (Lorenzo, Nicolò), (Lorenzo, Lorenzo), (Giulia, Giulia), (Giulia, Barbara), (Barbara, Giulia), (Barbara, Barbara), (Michela, Caterina), (Michela, Michela)}.

:

c. Descrivere la principali proprietà e se sono relazione d’ordine o d’equivalenza.

-Riflessiva

-Simmetrica

-Transitiva

Quindi è una relazione d’equivalenza.

:

d. Rappresentare graficamente la struttura indotta da tale relazione sul dominio X.

GiovanniGiovanni

Nicolò, LorenzoNicolò, Lorenzo

Caterina, MichelaCaterina, Michela

Giulia, BarbaraGiulia, Barbara

e. Costruire un sistema relazionale empirico e uno numerico dello stesso tipo e trovare almeno due omomorfismi e una funzione che non sia un omomorfismo tra loro.

< X,”avere lo stesso lavoro di” >< R,= >

OMOMORFISMO 1OMOMORFISMO 1< X,“avere lo stesso lavoro di” > F(x)=“associa 0 ai maschi ed 1 alle femmine”

:

GiovanniNicolò

CaterinaLorenzoGiulia

BarbaraMichela 0

1

(Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni)=F1(Giovanni))(Nicolò, Nicolò)→ (F2(Nicolò)= F2(Nicolò))(Nicolò, Lorenzo) →(F2(Nicolò)=F3(Lorenzo))…

OMOMORFISMO 2< X,“avere lo stesso lavoro di” > F(x)= “associa il numero 1 per il lavoro di psicologo,

2 per l’avvocato, 3 per il medico, 4 per la casalinga”

(Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni)=F1(Giovanni))(Nicolò,Lorenzo)→ (F1(Nicolò) = F2(Lorenzo))……

MichelaBarbaraGiulia

LorenzoCaterinaNicolò

Giovanni

2

3

4

1

NON OMOMORFISMO< X, “avere lo stesso lavoro di” >F(x) = “associa al nome il numero di lettere che compongono il nome”

(Giovanni, Giovanni) → (F1(Giovanni)=F1(Giovanni))(Nicolò, Lorenzo) → (F1(Nicolò) ≠ F2(Lorenzo))…..

GiovanniNicolò

CaterinaLorenzoGiulia

BarbaraMichela

6

7

8

• Si verifichi se le funzioni:y = xy = x²y = log(x)da R+ a R sono degli omomorfismi con

ciascuna delle seguenti strutture:a. < R+,≥ > e < R+,≥ >b. < R+,· > e < R,+ >

a. < R+,≥ > e < R+,≥ >E’ UN OMOMORFISMO

Esempio:

a) < R+,≥ >3>2

y = x

X Y

3 3

2 2

b)< R+,≥ > 3>2

a. < R+,≥ > e < R+,≥ >E’ UN OMOMORFISMO

Esempio:

a) < R+,≥ >3>2

y = x²

X Y

3 9

2 4

b)< R+,≥ > 9>4

a. < R+,≥ > e < R+,≥ > E’ UN OMOMORFISMO

Esempioa) < R+,≥ > 3>2y = logx

x y

3 0.48

2 0.30

                                    

1 x x3 4

xx1 2

0 x

y

X > X X >XF(X ) > F(X ) F(X ) > F(X )

2 1

2 1

4 3

4 3

b)< R+, ≥ >0,48>0,30

b. < R+,· > e < R,+ >NON E’ UN OMOMORFISMO

Esempiob) < R+,· > 3•2=6y=x

x y

3 3

2 2

6 6

< R,+ >3+2 ≠6

NON E’ UN OMOMORFISMO

Esempiob) < R+,· > 3•2=6y=x²

x y

3 9

2 4

6 36

< R,+ >9+4≠36

b. < R+,· > e < R,+ >

b. < R+,· > e < R,+ > E’ UN OMOMORFISMO

Esempiob) < R+,· > 3•2=6y = logx

x y

3 0.47

2 0.30

6 0.77

< R,+ >0.47+0.30=0.77

(3,2,6) Є • (3,2,6) Є +

                                    

10 x

y