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Curso de Estadistica. Carlos M árquez Fernández 1

GUIA 1

INSTITUCION EDUCATIVA SAN VICENTE DE PAUL PROFESOR: Carlos Alberto Márquez Fernández [email protected]

ESTADISTICA INTRODUCCION Estas notas de estadística es el resultado de mi experiencia docente en esta asignaturas a nivel de bachillerato com o universitario son notas que están en proceso de revisión, cualquier observación la pueden comunicar. OBJETIVO: Dar al estudiante los elementos necesarios para llevar a cabo una investigación estadística en lo que tiene que ver con el análisis de datos DEFINICIONES:

Es la ciencia encargada de recolectar, analizar, presentar e interpretar información (datos) con el fin de llegar a conclusiones validas de la población.

Los métodos estadísticos, procesan y analizan grandes volúmenes de datos resumiéndolos e n tablas, graficas y a través de indicadores numéricos, permitiendo las fácil comprensión de las características del fenómeno estudiado.

La estadística en un sentido estricto se define como una rama de las matemáticas aplicada orientada a la recolección e interpretación de datos cuantitativos y al uso de la teoría de probabilidades para calcular los parámetros de la población.

La estadística se divide en:

Ø Estadística descriptiva Ø Estadística inferencial

ESTADISTICA DESCRIPTIVA : También llamada Deductiva. Organiza y procesa la información, es decir la describe por medio de tablas, gráficos y medidas numéricas, se restringe a describir los datos que se analizan. Si aplicamos los métodos de la estadística descriptiva a una muestra no se podrá generalizar la información hacia una población.

ESTADÍSTICA INFERNCIAL : También llamada Inductiva. Se basa en el análisis de una muestra para realizar conclusiones o inferencias sobre una población.

Los datos pueden provenir de una población o de una muestra . Lo ideal siempre es poder trabajar con la población completa pero en ocasiones se hace imposible entonces hay que tomar una muestra. Por tal motivo definamos algunos conceptos:

PPOBLCIÓN: Se refiere al número de individuos sobre el cual se quiere llevara cabo un estudio.

MUESTRA: Es un subconjunto de una población, esta debe ser representativa de la población, razón por la cual los elementos seleccionados deben de poner de manifiesto las características de una población, su característica más importante es su represen tatividad.

La selección de los elementos que conforman la nuestra se realizan por medio de técnicas de muestreo las cuales son métodos mediante el cual se selecciona la muestra de manera objetiva de la población objeto d e estudio.


Los métodos de muestreo pueden ser:

No probabisistico : Es aquel que no se basa en los conceptos de probabilidad.

Los métodos no probabilísticos más usados son:

Ø Muestro de criterio o dirigido Ø Muestreo por cuotas Ø Muestreo por conveniencia

Muestreo Probabilístico: Es aquel que se b asa en conceptos de probabilidad. Es más objetivo Los métodos probabilísticos más usuales son :

Ø Aleatorio Simple Ø Sistemático Ø Estratificado Ø Por conglomerados

CENSO: Es el estudio de cada una de las unidades que conforman una población.

Hay medidas estadísticas que reciben los nombres de parámetros si se estiman de una población y de estadísticos o estadígrafos se estiman de una muestra.

POBLACIÓN MUESTRA Parámetro: Es la medida que describe una característica de interés de una población

Estadístico. (Estadígrafos): Es la medida que describe una característica de una muestra

µ : Media poblacional : Media Muestral 2σ : Varianza poblacional : Varianza Muestral

σ : Desviación Estándar poblacional : Desviación Muestral P : La proporción de la población ρ :La proporción Muestral

LA INVESTIGACIÓN ESTADISTICA El proceso de aplicación de la estadística implica una serie de pasos:

1. Selección y determinación de la población o muestra y las características que se desean estudiar. En el caso en que se desee tomar una muestra, es necesario determinar el tamaño de la misma y el tipo de muestreo a realizar ( probabilistico o no probabilístico)

2. Obtención de los datos. Esta puede ser mediante la observación directa de los elementos, la aplicación de encuestas entrevistas, y la realización de experimentos.

3. Clasificación, tabulación y organización de datos. La clasificación incluye el tratamento de los datos considerados a nómalo que pueden en un momento dado, falsear u análisis de los indicadores estadísticos. La tabulación implica el resumen de datos en tablas de frecuencias y gráficos estadísticos.

4. Análisis descriptivos de los datos. El análisis de complementar con la obt ención de indicadores estadísticos como las medidas: tendencia central, medidas de dispersión, posición y forma

5. Análisis inferencial de los datos de los datos: Se aplican técnicas de tratamientos de datos que involucran elementos probabilísticos que perm iten inferir conclusiones de una muestra hacia la población.

6. Elaboración de conclusiones, se incluye el informe final.


El siguiente esquema resume l os pasos:

En resumen la estadística aporta unos instrumentos y técnica s que permiten tratar y si ntetizar una gran cantidad de información, en un intento de buscar las posibles regularidades que la misma esconde detrás de la enorme variabilidad con la que se presenta. El objetivo de este tratamiento estadistico de la informac ión es reducir, en la medida que ello sea posible , la incertidumbre inherente a la varibilidad de la información, para que la toma de decisiones, de cualquier agente , se lleve a cabo con el grado de incertidumbre posible.

La estadistica como ciencia ha t enido lugar fundamentalmente en el siglo XX . La estadistica está formada por el conjunto de métodos y técnicas que permiten la obtención, organización, síntesis, descripción e interpretación de los datos, para la toma de decisiones en ambiente de incertidumbres.

LA OBSERVACIÓN ESTADISTICA La estadística se dedica al estudio de fenómenos de masas. Es decir, la estadística centra su interés en la observación de colectivos amplios de entes o elementos, los cuales pueden ser personas o cosas, a esos colectivos estadísticos se le denomina población.

Entre las características observadas entre la muestra y la población habrá una diferencia que se conoce como error muestral. Es precisamente este error muestral el que lleva a que las decisiones, en relación con las características poblacionales se tomen en situaciones de incertidumbres

VARIABLES. Se puede definir como la característica de los individuos o elementos de una población que puede ser medibles.

Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas.

VARIABLES CUALITATIVAS: Son aquellas que determinan una cualidad y no pueden ser representadas numéricamente, es decir asumen categorías de clasificación o atributos, por tanto no se pueden medir numéricamente.

VARIABLES CUANTTATIVAS : Son aquellas que pueden tomar valores numéricos directamente por medio de procesos de conteos o de medición.

Las variables cuantitativas se clasifican en: Variables Discretas y Variables Continuas

VARIABLES DISCRETAS: Son aquellas que provienen de procesos de conteos y solo pue den tomar valores enteros

Paso 1 Selección y determinación de la población o muestra

Paso 2 Obtención de los datos (Observación, encuesta etc)

Paso 3 Clasificación, tabulación y organización

Paso 4 Análisis descriptivo

Paso 5 Análisis Inferencial

Paso 6 Informe Final


VARIABLES CONTINUAS: Son aquellas que provienen de procesos de medición y pueden asumir cualquier valor real dentro de un intervalo.

Las variables también se pueden clasificar según el numero de variables que se estudian a la vez:

UNIVARIDAS: Cuando solo se estudia una variable. BIVARIADAS: Cuando se estudia dos variables a la vez . MULTIVARIADAS: Cuando se estudian tres o más variables a la vez. DATO: Es la expresión numérica de un resultado cada vez que se realiza una observaci ón

o medición. ESCALA DE MEDIDA: Medir significa asignar valor numérico a un objeto o acontecimiento temiendo en cuenta ciertas reglas , lo cual origina varios tipos de escalas.

ESCALA NOMINAL: Consiste en clasificar objetos según ciertas características asignándole un símbolo o código sin que implique ninguna relación de orden, distancia o proporción entre ellos. En esta escala los valores son cualitativos y para medirlos se les asignan códigos a los diferentes atributos o categorías. Ej sexo, raza etc

La codificación dentro de un proceso de clasificación dentro de un número limitado de categorías, su propósito es resumir loa datos originales de modo que puedan ser tabulados y contados.

ESACALA ORDINAL: En esta escala se establecen posiciones relativas de objetos o individuos con relación una característica , si que se reflejen distancias entre ellos. Entre los objetos ordenados existe la relación mayor que. La ordenación implica diferentes nivel es de posición de un atributo: En militares General-Coronel-Mayor-Capitán-Cabo, existe un orden jerárquico pero no podemos decir que la distancia entre coronel y general sea mayor o mero o más importante que la distancia entre teniente y capitán

. ESCALA DE INTERVALOS: En esta escala hay relación de distancia entre los elementos; podemos decir que la distancia entre A y B es mayor o menor que la distancia entre B y C. En esta escala el punto cero y la unidad de medición son arbitrarios.

El estudio descriptivo de una variable se puede llevar a cabo por medio de tres enfoques:

Ø Enfoque tabular Ø Enfoque Gráfico Ø Enfoque Numérico

ENFOQUE TABULAR Esta forma de describir los datos también se denomina distribución de frecuencias o simplemente tablas de frecuencias.

Se describen los datos por medio de tablas, este método permi te clasificar y ordenar los datos o información indicándose el número de veces que se presentan los diferentes valores de los datos.

En dicha tabla se ubican la siguiente información:

FRECUENCIA ABSOLUTA )( if : Representa en número de vec es que se repiten los valores de la variable en estudio.


FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA )( iF : Representa la suma de las i frecuencias

absolutas if anteriores

FRECUENCIA RELATIVA ( ih ) : Representa la proporción o porcentaje de ocurrencia de los distintos valores que tienen la variable en estudio, se calcula dividiendo cada frecuencia

absoluta por el total de datos nfh i

i =

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA )( iH : Representa la suma de las i frecuencias

relativas ih anteriores

FRECUANCIA RELATIVA PORCENTUAL ( %ih ): Representa de manera porcentual, el porcentaje de ocurrencia de los distintos valores.

PROPIEDADES DE LAS FRECUANCIAS

1P : Las sumas de las frecuencias absolutas debe ser igual al total de datos

nfn

ii =∑

=1

2P : Los valores de las frecuencias absolutas if deben ser valores ente ros

3P : El último valor de la frecuencia absoluta acumulada iF debe ser igual al total de datos

4P : La suma de las frecuencias relativas ih debe ser igual a 1

5P : Los valores de las frecuencias relativas se encuentran en un rango de [ ]1,0

6P : El último valor de las frecuencias relativa acumulada iH debe ser igual a 1

7P : La suma de las frecuencias relativas porcentuales %ih debe ser del l 00%

8P : Los valores de ih debe estar entre 0% y 100%

Datos ( ix )

Frecuencia absoluta ( if )

Frecuencia relativa( ih )

Frecuencia absoluta acumulada( iF )

Frecuencia relativa acumulada( iH )

Frecuencia relativa porcentual( %ih )

1x

2x . . .

nx

1

1

ff

.

.

.

nf

nfhnfh//

22

11

==

.

.

. nfh kk /=

11 fF /=

212 ffF +/= . . .

kk fffF +++/= ...21

212

11

hhHhH

+==

.

.

. khhhH +++= ...212

100*%100*%

22

11

hhhh

==

.

.

. 100*% kk hh =

Las tablas de frecuencias pueden cambiar según el tipo de variables que se esté estudiando, es decir si es cualitativa o cuantitativa, y si es cuantitativa determinar si e s discreta o continua. Para esto podemos tener en cuanta los siguientes casos:


Caso 1: PARA VARIABLES CUALITATIVAS En este caso en la primera columna se colocan las categorías o atributos de la variable e estudio y en las demás se colocan ( if , ih , iF , iH , %ih )

Caso 2: VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS En este caso en la primera columna de la tabla los dif erentes valores de la variable preferiblemente en orden ascendente y luego las demás columnas ( if , ih , iF , iH , %ih )

Caso 3: PARA VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Para este caso se dispone de mucha información d ispersa, se acostumbra a agrupar dicha información en intervalos de clase, con el fin de dar un mejor y optimo manejo de la información, para ello debemos aplicar la siguiente metodología:

1. Hallamos el Rango minmax XXR −= ; Valor máximo menos valor mínimo 2. Hallamos el número de intervalo en la cual se va a distribuir la información que por lo

general se encuentra entre 5 y 15 intervalos, dependiendo del tamaño de la muestra. Para tal hecho se acostumbra a utilizar la formula de Strugess

nk log3.31+=

3. Determinar la amplitud de los intervalos, teniendo en cuenta que será igual para cada intervalo, para ello se utiliza la siguiente igualdad

kRA =

ENFOQUE GRÁFICO

CASO 1: DATOS CUALITATIVOS Los tipos de gráficos más utilizados para representar datos cualitativos son el de sectores circulares y los diagramas de barras

CASO 2: VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Al igual que los datos cualitativos son muy útil los diagramas de sectores circulares y los diagramas de barras

CASO 3: VARIABLES CUANTITATIVA CONTINUA Los gráficos más representativos son:

Ø Histogramas de frecuencias Ø Polígonos de frecuencias Ø Polígonos de frecuencias acumulada

HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS Es un conjunto de rectángulos contiguos, cuya bases son los intervalos sobre el eje x, y las alturas de estas la definen las frecuencia s absolutas o las frecuencias relativas.


POLIGONOS DE FRECUENCIAS Se construye uniendo con una línea poligonal los puntos formados por las marcas de clases ( im ) o punto medio de cada intervalo y sus respectivas frecuencias absolutas o las frecuencias relativas

En el eje x se colocan las respectivas marcas de clases im y en el eje y se colocan las

respectivas if o ih

El histograma de frecuencia se acostumbra a realizar en el mismo grafico del histograma.

POLIGONOS DE FRECUENCIAS ACUMULADAS También se conoce con el nombre de ojiva, es un grafico que recoge las frecuencias acumuladas por debajo del limite superior de cada intervalo.

Si se usan frecuencias acumuladas relativas en vez de frecuencias absolutas acumuladas, los resultados se llaman distribución de frecuencias acumuladas relativas i distribución acumulada de porcentajes u ojiva de porcentajes.

El polígono de frecuencia acumulada u ojiva se construye de la siguiente man era:

Se une con una linea poligonal los puntos formados por las frecuencias absolutas acumuladas

ii HoF y los limites superiores de cada intervalo .

CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS Los datos recogidos pueden considerarse usualment e como perteneciente a una muestra de una población grande, ya que son posibles muchas observaciones sobre esa población, es teóricamente posible (para datos continuos) escoger intervalos muy pequeños y tener todavía números razonables de observaciones en cada clase. Asi que cabe esperar que el polífono de frecuencias absoluta o polígono de frecuencias relativas para una gran población tenga tantos pequeños segmentos que parezca como una curva continua a la que nos referimos como curvas de frecuencias.

Es sensato esperar que dicha curva teórica sean aproximables suavizando los polígonos de frecuencias absoluta o frecuencias relativas d la muestra, la aproximación es mejor mientras mayor sea el tamaño de la muestra .

Por esta razón a una curva de frecuencia se cita también como polígono de frecuencia suavizado.

De forma análoga se obtienen ojivas suavizadas de los polígonos de frecuencias acumuladas, de hecho suele ser más fácil suavizar una ojiva que un polígono de frecuencias.

Tipos de curvas de frecuencias Simetrica pagina 10 y 11 Ojo graficas d e curvas de frecuencias

MEDIDAS NUMÉRICAS También son conocidas como medidas descriptivas, permiten resumir la información en forma cuantitativa, las medidas numéricas más utilizadas son:

Medidas de Tendencia Central Medidas de Dispersión o de Variabilidad Medidas de asimetrías Medidas de apuntamiento Las medidas numéricas también son llamadas medidas de resumen

Cuando dichas medidas se refieren a la población completa reciben el nombre de parámetros y cuando se refie ren a una muestra reciben el nombre de Estadísticas o estadígrafos.


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL También son llamadas medidas de centralización o promedios, son un valor típico o

representativo de un conjunto de datos, como tales valores suelen situarse ha cia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central.

Se definen varios tipos siendo los más comunes la media aritmética, la mediana, la moda, la media aritmética, la media armónica.

LA MEDIA ARITMETICA

También se conoce como promedio o simplemente media

x : Media Maestral (estadístico) µ : Media Poblacional (parámetro).

CALCULO DE LA MEDIA Para calcular la media o promedio hay que tener en cuenta c omo se encuentra la

información inicial, es decir si se encuentra agrupada o no en un atabla de frecuencias y si lo está determinar si la variable es continua o discretas.

CASO 1: DATOS NO AGRUPADOS

Dados un conjunto de datos numéricos nxxx ,...,, 21 se define la media aritmética por

n

xx

n

ii∑

== 1 , sumatoria de todos los datos dividido por el total de datos

CASO 2: DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA En este caso la media será igual a la sumatoria del producto de cada valor de la variable

x por su respectiva frecuencia absoluta if divididos el total de datos n

fxx

n

iii∑

== 1

CASO 3: DATOS AGRUPADOS EN FORMA CONTINUA

Para este caso hay que encontrar las marcas de clases im , y luego la media será igual a

la sumatoria del producto entre las marcas de clases im por su respectiva frecuencia

absoluta dividido el total de datos. n

fmx

n

iii∑

== 1

NOTA: Las formulas de la media para datos agrupados en forma discreta y conti nua también se pueden estimar utilizando las frecuencias relativas quedando así:

∑=

=n

iiihxx

1

Datos agrupados de forma discreta

∑=

=n

iiihmx

1 Datos agrupados en forma continua

La media aritmética verifica la propiedad de equilibrar la s desviaciones positivas y

negativas de los datos respecto a su valor, es decir para datos sin agrupar:


0)(11

=−=− ∑∑==

xnxxxn

ii

n

ii actúa por tanto como centro geométrico o “ centro de

gravedad para el conjunto de puntos.

MEDIA ARTITMETICA PONDERADA

A veces asociamos con los datos kxxx ,...,, 21 ciertos factores, pesos o ponderaciones

kWWW ,...,, 21 que depende de su importancia o significación en este caso la media está

dada por

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

W

Wxx

1

1

MEDIA GOEMÉTRICA

La media geométrica d e una serie de n datos nxxx ,...,, 21 es la raíz enésima del producto de

los números, la representamos por nnxxxxG ..... 321=

Hay dos usos principales de la media geométrica:

1. Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas 2. Para determinar el incremento porcentual promedio de ventas, producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro.

LA MEDINA La mediana es el valor tal que, ordenados en magnitud los datos (generalmente en forma ascendente), el 50% es menor que ella y el 50% es mayor. Por tanto al ordenar los datos sin agrupar, la mediana es el valor central, si n es impar, o la media de los dos centrales si n es par. Para datos agrupados se toma como mediana el centro del intervalo central

),( ba xx , que verifica:

5.0)(5.0)(

≤><<

bi

ai

xxhxxh

CALCULO DE LA MEDIANA

Para calcular la mediana además de tener en cuanta como se encuentra la información inicial (agrupada o no en una tabla de frecuencia) se debe sabe si n es par o impar.


n es impar

En este caso se ordena la información o datos en forma ascendente, luego la mediana será igual al valor central

54321 xxxxx la mediana 3xMe =

n es par

En este caso se ordenan los datos en forma ascendente luego la me diana será igual al promedio entre los datos centrales.


653321 xxxxxx

243 xxMe +

=

Antes de estudiar datos agrupados en forma discreta y continua estudiemos unas mediadas asociadas a la mediana como son cuartiles, deciles y percentiles

CAURTILES DECILES Y PERCENTILES

Estas mediadas se basan en su posición en una serie de datos ordenados.

Hay tres cuartiles 321 ,, QQQ que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. El primer

cuartil 1Q deja el 25% de los datos a su izquierda, el segundo cuartil 2Q deja el 50% de los

datos a su izquierda y es igual a la mediana, y el tercer cuartil 3Q deja el 75% de los datos a su izquierda.

Análogamente los valores que divi den las serie de datos en diez partes iguales se llam an deciles y se representan por: 921 ..., DDD . Mientras que los valores que dividen la serie de

datos en cien partes iguales se llaman perecentiles y se representa por: 9921 ..., PPP

La formula siguiente sirve para hallar los percentiles: (con esta formula podemos hallar cuartiles, deciles y percentiles y la mediana)

CALCULO DE LA MEDIDAN PARA DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA .

1. Con la formula de percentil 5.050 += npP hallamos la posición en que se encuentra la mediana

DATOS AGRUPADOS EN FROMA CONTINUA

=50pi

ii f

AFnLMe

*)*50.0( 1−−+=

iL : Límite inferior n: Número de datos A: Amplitud 1−iF : Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior donde se encuentra la

mediana if : Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana

OTRA FORMA CALCULO DE LA MEDIANA

CASO 1: DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA IMPARn →

Para calcular la mediana en este caso se tiene en cuanta los siguientes puntos:


1. Organizar la información en forma ascendente 2. Calcular las frecuencias absolutas acumuladas iF

3. Determinar la posición q con la siguiente igualdad : 12 += qn 4. Calcular la mediana, la cual será igual al valor de la variable que ocupe la posición

1+q 1+= qXMe

PARn → Para calcular la mediana en este caso se tiene en cuanta los siguientes puntos:

1. Organizar la información en forma ascendente 2. Calcular las frecuencias absolutas acumuladas iF

3. Determinar la posición q con la siguiente igualdad : qn 2= 4. Calcular la mediana la cual será igual al promedio entre los valores de la variable que

ocupen la posición 1+qyq respectivamente.

2

1++= qq XX

Me

CASO 3: DATOS AGRUPADOS EN FORMA CONTINUA En este caso para la información par o impar, la mediana se calcula de igual forma, por lo cual para calcularla se deben tener en cuanta los siguientes puntos:

1. Calcular las frecuencias absolutas acumuladas iF

2. Dividir la distribución en dos partes iguales 2n

3. Ubicar el valor de 2n

en las frecuencias absolutas acumuladas iF

Ø Si el valor de 2n

se encuentra en las frecuenci as absolutas acumuladas iF ,

llámelo 1+qF y al valor siguiente llámelo qF .

Ø Si el valor de 2n

no se encuentra en las frecuencias absolutas acumuladas iF ,

al valor inmediatamente anterior a 2n

llámelo 1−qF y al valor siguiente llámelo

qF 4. Calcule la median con la siguiente igualdad:

−+=

−

−q

q

q f

Fn

ALMe1

12

Donde:

1−qL :Limite inferior del intervalo correspondiente a qF

A: Amplitud de cada intervalo qf : Frecuencia absoluta correspondiente a qF


LA MODA ( Mo ) La moda es el valor que más se repite o se presenta en un conjunto de datos.

CALCULO DE LA MODA Para calcular la moda se aconseja que la información inicial se encuentre agrupada bien sea en forma discreta o en forma continua, para ello se tie nen los siguientes casos

CASO 1: DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA En este caso la moda será igual al valor de la variable que tenga o presente la mayor frecuencia absoluta if .

CASO 2: DATOS AGRUPADOS EN FORMA CONTINUA En este caso para calcular la moda se tiene en cuenta los siguientes puntos:

1. Determinar el intervalo modal, el cual será igual al intervalo que presente la mayor frecuencia absoluta if

2. Determinar el limite inferior del intervalo modal 3. Determinar la mayor frecuencia absoluta if , la posterior 1+if y la anterior 1−if 4. Calcular la moda con la siguiente igualdad:

+

+=−+

+−

11

11

ii

ii ff

fALMo

Donde:

1−iL : Limite inferior del intervalo modal

1+if : Frecuencia absoluta posterior a la mayor

1−if : Frecuencia absoluta anterior a la mayor

CARACTERISTICAS DE LAS MEDIADAS DE TENDENCIA CENTRAL

LA MEDIA Ø Es la medida de tendencia central que más se conoce y se utiliza Ø Es estable en el muestreo, ósea, al sacar varias muestras de la misma población, las

medias o remedios de estas muestras son similares. Ø Es sensible a valores extremos; donde un valor extre mo es aquel valor que es muy

pequeño o muy grande con respecto a los demás valores.

LA MEDIANA Ø Es una medida de poco conocimiento y uso. Ø Es necesario ordenar la información para poder calcularse Ø No es sensible a valores extremos, pues al estar ordenada la información, estos

valores extremos quedaran al principio y final de la información .

LA MODA Ø Puede ser inadecuada medida de tendencia central ya que el valor que presenta mayor

frecuencia absoluta, no siempre está cerca del centro de la información. Ø La moda es una medida adecuada para resumir datos cualitativos Ø La moda es útil en el análisis descriptivo porque presenta el valor que se presenta con

mayor frecuencia. Ø No siempre la moda es única, ósea, que pueden presentarse varias modas.


REGAS PARA EL USO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL • Cuando la información tenga forma de progresión geométrica, la medida de

tendencia central adecuada será la media geométrica qX

• Cuando la información represente una cualidad la medida de tendencia ce ntral adecuada será la moda

• Cuando la información tenga o presente valores extremos, la medida de tendencia central adecuada será la mediana

• En todos los demás casos, la la medida de tendencia central será la media.

COMPARACIÓN DE LAS MEDIDAS DE TENDENCI A CENTRAL Aunque desde un punto de vista puramente descriptivo las tres medidas proporcionan información complementaria, sus propiedades son muy distintas: La media utiliza todos los datos y es por tanto preferible si los datos son homogéneos; tiene el inc onveniente que es muy sensible a observaciones atípicas, y un error de datos o un valor anormal puede modificarla totalmente. Por el contario la mediana utiliza menos información que la media, ya que solo tiene en cuanta el orden de los datos y no su magni tud, pero, en contrapartida no se ve alterada por datos atípicos

En consecuencia es recomendable siempre hallar las dos la media y la mediana: ambas medidas diferiran mucho cuando la distribución sea asimétrica, lo que sugiere herogeneidad en los datos.

Curso de Estadistica. Carlos Márquez Fernández 15

FORMULAS PARA EL CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

DATOS NO AGRUPADOS

DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA

DATOS AGRUPADOS EN FORMA CONTINUA

MEDIA

n

xx

n

ii∑

== 1 n

fxx

n

iii∑

== 1 n

fmx

n

iii∑

== 1

calsesdemarcami =

datosdeNúmerosnabsolutafrecuenciafi

=

=

n: es impar Me= es el valor central

MEDIANA

n: es par Me= es el promedio de los dos valores centrales

Hallamos el percentil 5.0*50.050 += np que es

equivalente a la mediana: Si el resultado da un número ente ro Se selecciona el valor correspondiente a la posición dada por el número. Si está en medio de dos enteros se selecciona la media aritmética de los dos valores posicionales; en otro caso se aproxima al entero más próximo.

=50pi

ii f

AFnLMe

*)*50.0( 1−−+=

iL : Límite inferior n: Número de datos A: Amplitud

1−iF : Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior donde se encuentra la mediana

if : Frecuencia absoluta del intervalo don de se encuentra la mediana

n: Impar Me : Valor central

n: Impar

1

12

+=+=

qXMeqn

OTRA FORMA DE LA MEDIANA

n: Par Me : Promedio entre los dos centrales

n: Par qn 2=

−+=

−

−q

q

q f

Fn

ALMe1

12

Donde: 1−qL :Limite inferior del intervalo correspondiente a qF


21++

= qq XXMe

A: Amplitud de cada intervalo

qf : Frecuencia absoluta correspondiente a qF

MODA No es adecuado calcularla ya que los datos no están agrupados en una tabla de frecuencias

Mo : Valor de la variable ix que tenga

mayor frecuencia absoluta if

+

+=−+

+−

11

11

ii

ii ff

fALMo

Donde:

1−iL : Limite inferior del intervalo modal

1+if : Frecuencia absoluta posterior a la mayor

1−if : Frecuencia absoluta anterior a la mayor Otra forma de hallar la moda

+

+=21

1

dddALMo i

iL : Limite inferior

A : Amplitud

1d : Diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo modal y la frecuencia absoluta

anterior es decir ii ffd −= −11

2d : Diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo modal y la frecuencia absoluta del

intervalo posterior es decir ii ffd −= +12


MEDIDAS DE DISPERSIÓN Por lo general las medidas de tendencia ce ntral no proporcionan suficiente información para un adecuado análisis descriptivo de información, ya que no toma en cuenta la variabilidad o dispersión de la información.

Para tener un completo análisis descriptivo, es necesario asociar a cada medida de t endencia central una medida de variabilidad.

Las medidas de dispersión se pueden usar para:

1. Al aplicar una medida de dispersión se puede evaluar la confiabilidad de un promedio que se está utilizando. Una dispersión pequeña indica que los datos están acumulados alrededor del promedio, y por tanto este se considera bastante representativo de todos los datos, y es un promedio confiable. Por el contrario, una dispersión grande indica que el promedio no es representativo.

2. Una medida de dispersión permite apreci ar de dos o más conjuntos de datos cual representa memos variblidad.

DEFINICIÓN Las medidas de variabilidad son medidas descriptivas que miden la variabilidad de los datos con respecto a una medida de tendencia central.

Para determinar el grado de dispers ión de un conjunto de datos las medidas más comunes son:

EL RANGO También llamado recorrido el cual se define como la diferencia entre el dato mayor y el dato menor menormayor XXR −=

El rango es una medida fácil de calcular, y cuando los datos son pocos, es la medida más conveniente; sin embargo, sólo considera los datos extremos, esta medida corre el riesgo de ser gravemente afectada por un valor excepcional o erróneo.

DESVIACIÓN MEDIA

Definamos primero que es desviación(d) de un dato x respecto a la media es la diferencia entre dicho dato y la media xxd −= La DESVIACIÓN MEDIA de un conjunto de datos es el promedio o media aritmética de los valores absolutos de todas las desviaciones es decir

:

n

xxMD i∑ −

=

LA VARIANZA La varianza se define como el promedio o media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media , esta medida mide el grado de dispersión de los datos respecto a la media.

La varianza presenta el inconveniente de las unidades ya que estas quedan elevadas al cuadrado y no tienen ningún sentido real; por tal razón la varianza es la medida de dispersión que para efectos de interpretación es más recomendable ya que queda definida en las mismas unidades de la variable que se está estudiando


CALCULO DE LA VARIANZA Para calcular la varianza, se debe tener presente como se encuentra la información inicial, es decir si está agrupada o no en tabla de frecuencias, si lo está determinar si esta en forma discreta o en forma continua.

De acuerdo a lo anterior podemos considerar los siguientes casos:


( )....2,1

1

2

2 =−

−= ∑ i

nxx

S i

CASO 2: DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA

( )....2,1

1

2

2 =−

−= ∑ idonde

nfxx

S ii

CASO 3: DATOS AGRUPADOS EN FORMA CONTINUA

( )....2,1

1

2

2 =−

−= ∑ idonde

nfxm

S ii

DESVIACCIÓN ESTANDAR Se conoce también como desviación típica y se define como la raíz cuadrada de la varianza, esta medida, mide el grado de dispersión de los datos con respecto a la media.

Como se dijo anteriormente la desviación estándar es por lo general más convenien te que la varianza, para conceptos de análisis de variabilidad de la infamación, ya que la varianza se expresa en unidades cuadradas, en tanto que la desviación estándar se encuentra expresada en las mismas unidades que la información inicial.

CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR Para calcular la desviación estándar se debe tener en cuneta los mismos aspectos que la varianza hay que tener en cuenta el estado de la información.

CASO 1: DATOS NO AGRUPADOS En este caso se utiliza la siguiente igualdad:

( )

...2,11

2

=−

−= ∑ idonde

nxx

S i

CASO 2: DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA En este caso se utiliza la siguiente igualdad:

( )...2,1

1

2

=−

−= ∑ idonde

nfxx

S ii


CASO 3: DATOS AGRUPADOS EN FORMA CONTINUA En este caso se utiliza la siguiente igualdad:

( )...2,1

1

2

=−

−= ∑ idonde

nfxm

S ii

COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es una medida relativa de variabilidad de la información, es decir mide la variabilidad de la información en términos porcentuales, este coeficiente mide la variabilidad de la información inicial con respecto a la media o p romedio en términos porcentuales.

Es independiente de las unidades de mediadas, por tanto, permite comparar la variabilidad o dispersión de dos o más muestras, aun en los casos en que la información de estas muestras estén expresadas en unidades diferente s.

CALCULO DEL COEFICCEINTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación se calcula con la siguiente igualdad, tanto para datos no agrupados como para datos agrupados, bien sea en forma discreta o en forma continua.

100*xSCv =

MEDIDAD DE ASIMETRÍ A El coeficiente de asimetría se conoce también como Coeficiente de Pearson. Para el análisis de la asimetría se utiliza el SESGO, el cual se define como el grado de asimetría que presenta una distribución.

CLASES DE CURVAS DE FRECUENCIA SIMETRICAS: Se caracterizan porque las observaciones que equidistan del máximo central tienen la misma frecuencia. En estas distribuciones la media, mediana y moda coinciden, también es llamada curva normal.

ASIMETRICA A LA DERECHA: Se produce cuando tiene una mayor prolon gación a la derecha del máximo central que a la izquierda, t ambién es llamada asimétrica positiva .

ASIMETRICA A LA IZQUIERDA: Se produce cuando tiene una mayor prolongación a la izquierda del máximo central que a la derecha. también es llamada asimétrica negativa.

En distribuciones asimétricas la media tiende a situarse con respecto a la moda al mismo lado de la prolongación más larga, la mediana queda situada entre la media y la moda.

Para medir asimetría se utiliza el coeficiente de Pearson.

Para evaluar la asimetría de un conjunto de datos se puede utilizar tres casos:

CASO 1: CON EL POLIGONO DE FRECUENCIAS Si el polígono de frecuencias de una distribución presenta una cola mas larga a la derecha, se dice que la distribución es sesgada a la derecha o qu e presenta sesgo positivo; pero si el polígono de frecuencias presenta una cola más larga a la izquierda, se dice que la distribución es sesgada a la izquierda o que presenta un sesgo negativo .


CASO 2: COMPARANDO LAS MEDIADAS DE TENDENCIA CENTAL

• Cuando la media es igual que la mediana e igual que la moda ( )MoMex == , se dice que la distribución de la infamación es SIMETRICA O NORMAL

• Cuando la media es mayor que la mediana y la mediana es mayor que la moda

( )MoMex >> , se dice que la distribución de la información es ASIMETRICA POSITIVA

• Cuando la media, es menor que la mediana y la mediana menor que la moda ( )MoMex << , se dice que la distribución de la información es ASIMÉTRICA NEGATIVA

CASO 3: UTILIZANDO EL COEFICEINTE D E ASIMETRÍA O DE PEARSON Por lo general ninguna distribución de una conjunto de datos provenientes de un muestreo, tiene o presenta exactamente forma simétrica o normal; En la práctica, las curvas o polígonos de frecuencias, presentan simetría bien sea a la izquierda o a la derecha.

CALCULO DEL COEFICIENTE DE ASIMETRÍA El coeficiente de asimetría se calcula con la siguiente igualdad:

( )

SMexCp −

=3

El resultado de esta igualdad define lo siguiente:

Si Cp =0 ; La distribución es simétrica o Normal Si Cp >0; La distribución presenta asimetría positiva o se dice que es asimétrica a la derecha Si Cp <0; La distribución presenta asimetría negativa o se dice que es asimétrica a la

izquierda. NOTA: Es difícil encontrar una distribución con un coeficiente de asimetría igual a cero, pero distribuciones con coeficientes de asimetría cercano a cero se pueden considerar como simétricas.

En la práctica si dicho coeficiente se encuentra en el rango -0.37 y 0.37 , se puede considerar la distribución simétrica o normal ( )37.037.0 ≤≤− Cp .

En resumen:

En un conjunto de datos simétricos respecto a su media, la suma ( )3∑ − xxi será igual a cero, mientras que con datos asimé tricos esta suma crecerá con la asimetría otra formula que

se puede utilizar para hallas el coeficiente de asimetría es: ( )

3nSxx

Cp i∑ −=

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO

También son llamadas medidas de CUTOSIS; y es una medida relacionada con la forma de l a distribución de los datos, al tanto que algunos la llaman medidas de forma .

Las medidas de curtosis nos dicen que tan alta o puntiaguda o que tan bajita o aplanada es la distribución comparada con la distribución normal.

Una medida de curtosis es el Coeficiente de Curtosis K definido por: ( )1090

13

2 PPQQK

−−

=


El valor de K se compara con el de la distribución normal estándar que es igual a 0.26. si K>0.26 decimos que la distribución es Leptocúrtica, si K<0.26 decimos que la distribución es Platicúrtica, y si K=0 decimos que es Mesocúrtica o Normal

OTRA FORMA DE ESTIMAR EL COEFICIENTE DE CÚRTOSIS


( )4

4

Sxx

K i∑ −=

CASO 2: DATOS AGRUPADOS EN FORMA DISCRETA

( ) ii hxxk4

∑ −=

CASO 3: DATOS AGRUPADOS EN FORMA C ONTINUA

( ) ii hxmk4

∑ −=

MEDIDAS DE VARIBILIDAD

DATOS NO AGRUPADOS



VARIANZA ( )1

1

2

2 =−

−= ∑ i

nxx

S i

( )1

2

2

−

−= ∑ donde

nfxx

S ii

( )1

2

2

−

−= ∑ donde

nfxm

S ii

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

( )1

2

−

−= ∑ donde

nxx

S i

( )1

2

−

−= ∑ donde

nfxx

S ii

( )1

2

−

−= ∑ donde

nfxm

S ii

COEFICEINTE DE VARIACIÓN

100*xSCv = 100*

xSCv = 100*

xSCv =

MEDIDAS DE ASIMETRIA

DATOS NO AGRUPADOS



COEFICEINTE DE ASIMETRIA( coeficiente de PEARSON)

( )

SMexCp −

=3


Si Cp =0 ; La distribución es simétrica o Normal

Si Cp >0; La

( )S

MexCp −=

3



Si Cp >0; La distribución presenta asimetría positiva o se dice que

( )S

MexCp −=

3



Si Cp >0; La distribución presenta asimetría positiva o se dice que


distribución presenta asimetría positiva o se dice que es asimétrica a la derecha

Si Cp <0; La distribución presenta asimetría negativa o se dice que es asimétrica a la izquierda.

OTRA FORMA

( )3nS

xxCp i∑ −

=

es asimétrica a la derecha


OTRA FORMA

( )3nS

xxCp i∑ −

=

es asimétrica a la derecha


OTRA FORMA

( )3nS

xxCp i∑ −

=

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO

DATOS NO AGRUPADOS



COEFICIENTE DE CÚRTOSIS

( )4

4

Sxx

K i∑ −=

OTRA FORMA

( )1090

13

2 PPQQK

−−

=

( ) ii hxxk4

∑ −=

OTRA FORMA

( )1090

13

2 PPQQK

−−

=

( ) ii hxmk4

∑ −=


TALLER ESTUDIO DE DATOS CUALITATIVOS.

1. De una población de 300.000 habitantes, se hace un estudio estadístico con 50 personas,

para conocer la prefer encia por seis productos no básicos. Los productos se codificaron como A, B, C, D, E y F. Los resultados obtenidos son los siguientes.

A A E C C D D D C C B A A A B C A B A F C B A A C D C C D D F C B F C C D D E B E F E F C C A C F C

1. Elabore la ficha técnica. 2. Elabore la tabla de frecuencia. 3. Determine cual es el producto más preferido y el menos preferido y el tanto por

ciento que representa cada uno. R: C, con el 32% y E con el 8%. 4. Se decide impulsar en otras ciudades los productos que tenga n una aceptación

superior al 20%. ¿Qué productos serían los impulsados? Qué haría usted con los demás productos?

5. Determine la moda y explique su significado. 6. Estime cuantas personas de la población prefieren el producto E. ¿Cuántas

personas prefieren el producto D?

2. En un cuestionario una de las preguntas esta diseñada y codificada de la siguiente manera. Su estado civil es: 1 Soltero, 2 Casado, 3 Viudo, 4 Divorciado, 5 Separado y 6 Otro. Al recolectar los datos se obtiene la siguiente infor mación:

1 3 5 6 1 1 2 4 3 6 5 5 4 6 5 5 4 2 2 2 3 2 2 3 1 1 3 2 1 1 2 2 2 3 3 5 6 4 1 2 5 3 4 6 3 2 1 1 2 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 1

1. Elabore la ficha técnica. 2. Elabore la tabla de frecuencias. 3. Cuantas personas encuestadas eran separadas. 4. ¿Qué porcentaje de personas encuestadas era casadas? 5. Determine la moda y diga su significado. 6. Construya el diagrama de Pareto e indique cuales son los tres estados civiles más

frecuentes y el porcentaje que representan.

3. Se efectúo un estudio a cerca del tipo de vivien da que poseen las familias en el barrio Robledo de la ciudad de Medellín. Para ello se efectuó una encuesta con 59 familias de dicho sector. El tipo de vivienda se codificó de la siguiente manera: 1: Vivienda propia sin deuda. 2: Vivienda propia con d euda. 3: Vivienda arrendada. 4: Vivienda Prestada. 5: Otro. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

4 2 3 5 3 1 4 1 1 5 5 2 4 2 3 2 2 5 3 1 2 2 5 3 2 1 3 2 4 5 5 3 2 3 1 3 3 4 5 1 3 4 3 1 2 2 4 1 1 1 1 3 2 1 4 4 2 3 1

1. Elabore la ficha técnica.


2. Construya tabla de frecuencias. 3. Determine la moda y diga su significado. 4. ¿Cuántas familias encuestadas tenían vivienda propia con deuda? ¿Cuántas tenían

vivienda prestada? ¿Qué porcentaje de familias tenía vivienda arrendada? 5. Construya todos los gráficos correspondientes y analícelos.

4. Los siguientes datos representan la producción de petróleo de los miembros de la OPEP

en diciembre de 1993, en millones de barriles al día.

País Producción diaria de petróleo (En millones de barriles)

Algeria 0.77 Gabón 0.30 Indonesia 1.35 Irán 3.50 Iraq 0.55 Kuwait 1.30 Libia 1.45 Nigeria 1.90 Qatar 8.20 Saudit Arabia 2.25 Emiratos Arabes Unidos

2.25

Venezuela 3.50 Total 25.49

Fuente: The New York Times 25 de enero de 1993, pág. D4.

1. Elabore tabla de frecuencias. 2. Elabore el diagrama de barras, analícelo.

5. Los siguientes datos representan la participación en el mercado mundial (en porcentaje) de

los fabricantes de software aplicado a los negocios durante 1999.

Fabricante

Participación en el mercado mundial (en %)

Aldus 4.1 Lotus 14.6 Microsoft 60.0 Software Publishing

2.9

Wordperfect 9.6 Otros 8.8 Total 100.0

1. Construya diagrama de barras y analícelo. ¿Qué puede decir? 2. Construya el gráfico de sectores y a nalícelo.


3. Determine la moda y analícela. 6. El tránsito departamental realizó un estudio sobre las causas de accidente ocurridos en los

dos últimos años en la avenida las Palmas. Los resultados obtenidos son los siguientes:

CAUSA DE ACCIDENTE NÚMERO DE ACCIDENTES

Fallas técnicas 150 Mal estado de la carretera. 200 Mala señalización 50 Embriaguez del conductor 350 Otros 50 Total 800

Elabore la ficha técnica y construya la tabla de frecuencias.

Construya el diagrama de Pareto. Analice el diagrama y d e varias conclusiones.


TALLER:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA DATOS AGRUPADOS DE MANERA DISCRETA

11.. Una empresa que fabrica chocolatinas proyecta lanzar al mercado un nuevo sabor. Se

realiza un test de aceptación de dicho sabor con una muestra de 20 niños, de la escuela El Salvador de la ciudad de Pasto. Para medir el grado de aceptación, se utilizó una escala de 10 puntos. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:

6 7 4 7 10 6 6 5 7 3 7 7 8 6 4 7 5 7 6 5

a. Elabore la ficha técnica. b. Construya la tabla de frecuencias. c. Que tanto por ciento de niños calificó el sabor da la nueva chocolatina con: § ¿6 puntos ó más? R: 70% § ¿Más de 7 puntos? R: 10% § ¿Entre 4 y 6 puntos? R: 50% § ¿Menos de 3 puntos? R: 0% § ¿Hasta 5 puntos? R: 30% § ¿Dio una calificación mínima de 8 puntos?

d. ¿Cuál es el dato menor y qué representa? e. ¿Interprete el dato mayor? f. Construya el gráfico que más crea conveniente e interprételo. g. Calcule: Moda, mediana y media, interprete los valores obtenidos. R:

15.6,6,7 === xMeM o . 22.. Se efectuó un censo cuyo objetivo era evaluar la capacidad de las fábricas textiles

existentes en el municipio A, y más concretamente para determinar el número de telares instalado en cada fábrica. Los resultados del censo son los siguientes:

3 9 10 4 3 3 4 5 5 5 6 2 8 8 3 9 10 7 7 2 2 7 5 3 3 5 10 5 2 8 6 6 5 3 10 5 5 5 3 6 8 6 5 5 8 3 5 5 10 2 a. Elabore la ficha técnica. b. Construya la tabla de frecuencias. c. Elabore el diagrama de barras. Interprete. d. Calcule moda, mediana y promedio. In terprete. R: 48,5,5,5 === xMeMo e. ¿Qué significado tiene el dato menor? f. ¿Qué significado tiene el dato mayor? g. ¿Qué significado tiene el dato más frecuente? h. ¿Qué significado tiene el dato menos frecuente? i. Calcule varianza y desviación estándar. j. ¿Cuál es el número de telares en el 30%, 60% y 80% de las fábricas? R: 4 ó

menos, 5, 8. k. Una textilera extranjera, tiene como objetivo invertir en dicha región, para ello se

debe cumplir que el 60% de las fábricas textiles tengan instalados como mínimo 5 telares. ¿Qué decisión debe tomar la textilera extrajera? Justifique.

l. Qué porcentaje de fábricas tienen: § ¿Hasta 8 telares? R: 86% § ¿Cómo mínimo 6 telares? R: 40%. § ¿Entre 4 y 7 telares? R: 48%


33.. El propietario de un bosque necesita estimar la cantidad de madera que tiene disponible

para la venta. Contrata un estudio estadístico para tal fin. En el estudio se divide el bosque en áreas de 15 X 15 metros y se cuenta el número de árboles con diámetro superior a 30 cm en cada área. Se seleccio naron al azar 70 áreas y en cada área se encontró que el número de árboles con diámetro superior a 30 cm era de:

7 8 7 10 4 8 6 9 6 4 9 10 4 8 3 9 5 9 9 9 7 10 2 7 9 8 5 10 9 6 8 8 8 7 8 6 11 9 11 7 9 10 7 7 7 5 8 7 9 9 6 8 9 5 8 7 9 13 8 6 7 11 10 8 8 5 9 9 8 8 a. Elabore la ficha técnica. b. Construya tabla de frecuencias. c. Construya el diagrama de barras. d. Calcule moda, mediana y promedio. Interprete.

R: 741.7,8,9,8 ==== xMeMoMo e. Calcule varianza y desviación estándar. R: 4.004 y 2.001. f. Que porcentaje de áreas tienen: § ¿Más de 8 árboles? R: 37.142%. § ¿Hasta 5 árboles? R: 14.285%. § ¿Cómo mínimo 7 árboles?

g. Que cantidad de árboles hay en: § ¿El 30% de las áreas? § ¿El 80% de las áreas?

h. ¿Qué significado tiene el dato mayor? i. ¿Qué significado tiene el dato menor? j. ¿Qué significado tiene el dato menos frecuente? k. El propietario decide cortar y vender los árboles, sí por lo menos el 70% de las

áreas tiene un mínimo de 7 árboles con más de 30 cm de diámetro. ¿Qué decisión debe tomar? Justifique su respuesta.

l. Sí se estima que en total el bosque se pude dividir en 562 áreas de 15 X 15 metros y el propietario vende cada árbol a $ 30000 libres. Estime cual es el ingreso total para el propietario, si logra vender todos los árboles.

44.. La información que aparece a continuación corresponde al ingreso obtenido por ventas en

un pequeño supermercado, en los últimos 27 días. Los datos estan aproximados en miles de pesos.

69 58 68 67 66 66 69 57 59 60 62 63 69 69 64 65 67 68 61 62 63 65 64 69 60 57 58

a. Elabore tabla de frecuencias. b. Elabore el gráfico que más crea conveniente. c. Calcule. Moda, mediana y promedio. Interprete. R: $ 69000, $ 64000, $63888,9. d. Diga el significado del dato menor y del dato mayor. e. En que porcentaje de días los ingresos fueron de: § ¿Más de $ 60000? R: En el 74.074%. § ¿Hasta $ 63000?. R: 44.445%. § ¿$ 59000 ó más? R: 85.186%.

f. El administrador tiene pensado cerrar el supermercado si, en el 80% de los días, los ingresos son inferiores a $ 67000 por día. ¿Qué decisión debe tomar el administrador? Justifique.


TALLER:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA DATOS AGRUPADOS

1. De la producción mensual en una fábrica de pilas para reloj, se tomó al azar 50 pilas y se sometieron a un test de laboratorio para estimar el tiempo promedio de duración, en horas, de cada pila. Los resultados obtenidos son los siguientes.

302 315 420 460 530 590 306 580 470 310

372 570 348 417 440 483 455 322 417 560

483 405 430 452 570 360 390 422 511 558

595 506 580 333 310 572 590 533 479 394

355 346 520 511 466 480 490 547 383 555

a. Elabore la ficha técnica. b. Elabore tabla de frecuencias. c. Elabore la ojiva. d. Diga que tipo de modelo de población es. e. Determine el promedio de duración de cada pila. f. Determine moda y mediana. Interprete. g. Determine el tiempo de duració n del 25% y del 60% de las pilas. h. Determine que porcentaje de pilas dura 300 horas o menos, 450 horas o menos, 500

horas o menos, más de 420 horas, entre 320 y 340 horas. i. Determine que porcentaje de pilas dura más o menos una desviación estándar el

promedio; más o menos dos desviaciones estándar el promedio. j. Sí, el 80% de las pilas tiene una vida útil inferior al promedio más una desviación

estándar, la producción del mes será rechazada. ¿Qué le recomendaría usted a las directivas de la fábrica? Justifique su respuesta. En el caso del rechazo, ¿Qué haría usted con la producción del mes? Proponga una solución viable para la fábrica desde el punto de vista económico.

22.. Se desea conocer la vida útil de las herramientas cortantes de un proceso industrial. Se

efectúa un estudio estadístico, para ello se toma una muestra de 30 herramientas y se determinó el número de horas antes del reemplazo para cada una. Los resultados en horas son los siguientes:

140.5

77 51 49.9 117.5 75.3 108.2 103.2 55.6 60.3

99.8 97.3 18 75 75 82.3 52.5 124.9 112 90.12

30.2 90.3 80 51.3 100 130.3 120.3 84.2 118.2 75.8

a. Elabore la ficha técnica. b. Elabore tabla de frecuencias. c. Elabore la ojiva. d. ¿Cuál es el tiempo de duración en horas del 50% de herramientas? Interprete el valor

obtenido. e. ¿Cuál es la vida útil en horas más frecuente? f. Determine que porcentaje de herramientas tiene una vida útil de 60 horas o menos,

120 horas o menos, entre 70 y 110 horas, superior a 50 horas, superior a 125 horas. g. Calcule promedio y desviación estándar. h. Elabore el histograma y analícelo. i. Determine la vida útil del 30% de herramientas, del 60%, del 75%.


j. Sí, el 70% de las herramientas tiene una vida útil inferior al promedio más cinco horas, se cambia de proveedor, ¿qué le recomenda ría usted a las directivas de la fábrica? Justifique su respuesta.

33.. Se realizó un test de aptitud a todos los aspirantes a puestos oficiales de un país. Se eligió

al azar una muestra de 50 aspirantes, los puntos obtenidos en el test son los siguientes:

77 44 49 33 38 33 76 55 68 39

29 41 45 32 83 58 73 47 40 26

34 86 66 53 55 58 49 45 61 41

59 50 51 66 80 73 57 61 56 50

38 45 51 44 41 68 95 93 43 31

a. Elabore la ficha técnica. b. Elabore tabla de frecuencias. c. Calcule moda, mediana y promedio. Interpre te. R: 41.667 puntos. 50puntos o

menos. 53.2 puntos. d. Elabore: Histograma (explique la información que ve en él), polígono de frecuencias,

curva de frecuencias (¿qué tipo de modelo es?), Ojiva. e. ¿Qué puntaje obtuvo el 30% de los aspirantes? El 50%, el 60%? R: 41.154, 50, 55. f. Calcule desviación estándar. R: puntos548.17± . g. ¿Cuántos aspirantes tienen una puntuación superior en tres puntos la moda? R:

Aproximadamente 31 aspirantes. h. Los aspirantes que tengan una puntuación superior en 5 puntos la nota promedio

pasarán a la siguiente etapa. ¿Cuántos aspirantes pasarán a la siguiente etapa y qué porcentaje representan? R: %52.35,1876.17 ≈ .

i. ¿Cuantos aspirantes tiene una nota superior en una desviación estándar el promedio?

44.. Para comprobar la eficacia de los empleados encargados del llenado de paquetes de azúcar, con peso nominal de 2 kilogramos (Kg), el dueño de un ingenio contrató un estudio estadístico, para ello se tomó una muestra aleatoria con 30 de dichos paquetes. El resultado del chequeo del peso en Kg de cada paquete es:

1.930 2.120 1.907 2.075 1.946 1.865

2.025 1.999 1.977 2.053 2.005 1.954

2.030 1.830 1.934 2.047 1.943 1.972

2.093 1.898 2.000 1.910 1.967 1.876

1.985 2.061 1.966 1.880 2.015 1.988

a. Elabore ficha técnica. b. Elabore tabla de frecuencias. c. Elabore los siguientes gráficos: Histograma (explíquelo), polígono de frecuencias,

polígono de frecuencias acumuladas (ojiva) y la curva de frecuencias o modelo de población (diga que tipo de modelo es).

d. ¿Cuál es e l peso del: 50%, 10%, 25%, 40%, 60% y 70% de los paquetes de azúcar? R: 1.975 Kg o menos, 1.885 Kg, 1.928Kg, 1.956 Kg, 1.944 Kg, 2.025Kg.

e. Calcule moda, mediana y promedio (interprete). R: 1,975 Kg. f. ¿Qué porcentaje de bolsas tiene un peso meno r o igual al peso promedio? R: 50%. g. ¿Que porcentaje de bolsas pesan hasta 2 Kg, hasta 2,1Kg, hasta 1,9 Kg? R:

96,667%; 63,333%; 15%.


h. Calcule varianza y desviación estándar, interprete. R: 0,0044; .0666,0± i. Sí el 20% de los paquete s tienen un peso superior a 2,1 Kg o sí el 20 % tiene un peso

inferior a 1,9 Kg, el producto será rechazado, ¿Qué decisión se debe tomar? Justifique.

55.. La tabla muestra el sueldo mensual (en miles de $)de los trabajadores en cierta compañía.

SUELDO Fa Faa Fr% Fra% Mc

200—250 30 30 20% 20% 225

250—300 21 51 14% 34% 275

300—350 27 78 18% 52% 325

350—400 12 90 8% 60% 375

400—450 9 99 6% 66% 425

450—500 15 114 10% 76% 475

500—550 21 135 14% 90% 525

550—600 15 150 10% 100% 575

a. Elabore ficha técnica. b. Determine el sueldo de: El 50% de los trabajadores, el 80% de los trabajadores. c. ¿Qué tanto por ciento de trabajadores tiene sueldo de: $ 320.000 o menos, superior a

$ 520000.


SOLUCIÓN PUNTO NÚMERO DOS 1. R=140.-,5-18=122,5

K= 1+3.3log30=5,87. K=6 INTERVALOS A=122,5/6=20,4 A=21 Horas RA=6*21=126. CANT.=(126-122,5)/2=1,75 CANT.=1 Límite izquierdo del primer intervalo: 18 -1=17 TIEMPO NÚMERO DE HERRAMIENTAS

Fa Faa

Fr%

Fra%

Mc

17 38 2 2 6,67% 6,67% 27,5 38 59 5 7 16,67% 23,34% 48,5 59 80 7 14 23,33% 46,67% 69,5 80 101 7 21 23,33% 70% 90,5 101 122 6 27 20% 90% 111,5 122 143 3 30 10% 100% 132,5

2. FICHA TÉCNICA:

POBALCIÓN: Herramientas cortantes de un proceso industrial. MUESTRA: 30 herramientas. VARIABLE: Tiempo de vida útil de cada herramienta en horas. CALSIFICACIÓN: Continua.

3. 50xMe = . Li=80, Faap=14, Fap=7, A=21, Np=15.

HorasMe 83217

141580 =

−

+= .

El 50% de las herramientas tiene una vida útil de 83 horas o menos. 4. Mo. Hay dos modas.

MODA 1: Li=59, d1=7-5=2, d2=7-7=0, A=21

.802102

259 HorasMo =

++=

MODA 2: Li=80, d1=7-7=0, d2=7-6=1, A=21.

HorasMo 802101

080 =

++=

Lo más común o lo más frecuente es que las herramientas tengan una vida útil de 80 horas.

5. 60x : Li=80, Fap=7, Faap=14, Np=18 (60% de 30)

Horasx 9221*7

14188060 =

−

+=

El 60% de las herramientas tiene una vida útil de 92 horas o menos.

30x : Li=59, Faap=7, Fap=7, Np=9 (30% de 30)

Horasx 6521*7

795930 =

−

+=

El 30% de las herramientas tiene una vida út il de 65 horas o menos.

75x : Li=101, Faap=21, Fap=6, A=21, Np=22,5 (el 75% de 30)

Horasx 25,10621*6

215,2210175 =

−

+=

El 75% de las herramientas tiene una vida útil de 106,25 horas o menos.


6. horasx p 60= : Li=59, Fap=7, Faap=7, A =21

( )

( )

%44,2430

%100*3333,7

.3333,77217*5960

*

==

=+−=

−−=

p

asHerramientNp

FaapA

FapLixNp p

El 24,44% de las herramientas tiene una vida útil de 60 horas o menos. 7. 120=px : Li=101, Fap=6, Faap=21, A=21

( )

%09,8830%100*428,26

428,2621216*101120

=÷=

=+−=

p

asHerramientNp

El 88,09% de las herramientas tiene una vida útil de 120 horas o menos. 8. Entre 70 y 110 horas.

Porcentaje de 110 menos porcentaje de 70. 70=px : Li=59, Fap=7, Faap=7, A=21

( )

%55,3530

%100*667,10

667,107217*5970

==

=+−=

p

asHerramientNp

110=px : Li=101, Fap=6, Faap=21, A=21

( )

%57,7830

%100*57,23

.57,2321216*101110

==

=+−=

p

asHerramientNp

78,57%-35,55%=43,02% El 43,02% de las herramientas tiene una vida útil entre 70 y 110 horas.

9. Superior 50 horas: 100% menos porcentaje de 50 horas o menos 50=px : Li=38, Fap=5, Faap=2, A=21

( ) .857,42215*3850 asHerramientNp =+−=

%19,1630

%100*857,4==p

100-16,19%=83,81% El 83,81% de las herramientas tiene una vida útil superior a 50 horas.

10. Superior a 125 horas: 100% menos porcentaje de 125 horas o menos. 125=̀px : Li=122, Fap=3, Faap=27, A=21

( )

%42,9130

%100*428,27

.428,2727213*122125

==

=+−=

p

asHerramientNp

100%-91,42%=8,58% El 8,58% de las herramientas tiene una vida útil superior a 125 horas.

11.

Horasx

x

8,8230

248430

3*5,1326*5,1117*5,907*5,695*5,482*5,27

=

=+++++

=


En promedio las herramientas tienen un vida útil de 82,8 horas.

12. 29

27,741014,494203,41523,123845,588218,61162 +++++=S

HorasS

S

...94494949,29

7,89629

3,261142

±=

==

13. Promedio más 5 horas= 82,8+5=87,8 8,87=px : Li=80, Fap=7, Faap=14, A=21.

( )

%33,5530

%100*6,16

6,1614217*808,87

==

=+−=

p

asHerramientNp

El 55,33% de las herramientas tiene una vida útil de 87,8 horas o menos. (superior en 5 horas el promedio).

14. ELABORE LA OJIVA.

VIDA ÚTIL HERRAMIENTAS

0%6.67%

23.34%

46.67%

70%

90%100%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

17 38 59 80 101 122 143

HORAS

POR

CEN

TAJE

guia 1...curso de estadistica. carlos márquez fernández 1 guia 1 institucion educativa san vicente...

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