guia 1 introduccion a la biomecanica

7/23/2019 Guia 1 Introduccion a La Biomecanica

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GUA 1: INTRODUCCIN A LA BIOMECNICA

Problema 1Para comprender las nociones bsicas de movimientos rectilneos, le proponemos que imagine la siguiente

situacin:

En la reparacin de un camino recto est trabajando una aplanadora. En la tabla adjunta, con el fin de describirsu movimiento, se indican sus posiciones en algunos instantes de tiempo.

Le pedimos que:

a) Represente en el sistema de ejes de la figura, los pares (tiempo, posicin)

b) Una los puntos con una curva suave, continua. Respecto a la descripcin del movimiento de la aplanadora,

qu significado fsico tiene unir los puntos? Explique.

c)

Si la aplanadora se mueve sobre un camino recto, cmo es posible que el grfico

sea una curva?

d)

Dnde estaba la aplanadora en ?e) Entre y , avanz o retrocedi?, y entre y ?f) En algn instante, o en algn intervalo de tiempo la aplanadora estuvo detenida?g) En qu instante comenz a retroceder?

h) Entre y se movi siempre del mismo modo, o a veces se desplaz ms rpido y a veces mslento? Justifique.

i)

Hubo alguna etapa en la que se desplaz distancias iguales en intervalos de tiempo iguales? Justifique.

j)

Escriba la ecuacin horaria de posicin para el movimiento de la aplanadora entre y .k) Describa con palabras cmo vari la velocidad de la aplanadora desde y .l) Durante qu intervalos de tiempo la aplanadora aceler (cambi su velocidad)?

m) Durante cul o cules intervalos anteriores aument el mdulo de su velocidad (lo que en el lenguaje

cotidiano llamamos aceler) y durante cul o cules fren? Justifique.

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Gua 1Biofsica

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n) Podra afirmar que en los intervalos mencionados en el tem l, el movimiento de la aplanadora fue

rectilneo uniformemente variado? Explique.

Resolucin

a) Vamos a trazar el sistema de ejes coordenados de posicin y de tiempo para representar los datos de la

tabla.

Estos datos se encuentran dispuestos a escala y describen la curva que puede observarse en el grfico que

se expone a continuacin:

b)

Nos piden ahora construir la curva, uniendo los puntitos que colocamos en el grfico. Veamos:

El hecho de unir los puntos lo que hace es completar la descripcin del movimiento de la aplanadora, de la

cual solamente disponamos unos pocos puntos. No tenamos todo el movimiento porque entre un instante

y el otro tenemos ms puntos por donde la mquina pas, pero nosotros no tenamos informacin para

ellos en el grfico. Lo que hacemos es completar (aproximadamente) dicha descripcin para de esta manera

obtener la funcin de posicintiempo, que es una funcin continua, como es esperable que sea.

c) Nos preguntan ac por el hecho de que si el movimiento es rectilneo, cmo es posible que el grfico de

posicin en funcin del tiempo sea curvo. El tema es que este grfico no describe la trayectoria del mvil,

sino que nos indica a qu distancia del origen se encuentra el mismo en cada instante de tiempo. Si


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queremos un grfico de la trayectoria, tenemos que colocar en cada eje coordenado, dos variables de

posicin (una de ellas debe ser y debe ser la que vare; mientras que la otra, que podemos llamarla ,quedar fijo, pues el movimiento es en una nica direccin).

d)

Ahora nos preguntan dnde estaba la aplanadora en el instante inicial del movimiento. Miramosla tabla y vemos que conocemos el dato de la posicin inicial a

. Entonces decimos que la

aplanadora se encontraba a

de su punto de partida (o bien del punto desde donde nosotros

empezamos a medir su movimiento).

e) Viendo el grfico podemos decir que entre los instantes y , desde nuestro sistema dereferencia para realizar la medicin, la aplanadora va avanzando, pues se va alejando cada vez ms de la

posicin inicial. Luego, entre los instantes y tambin va avanzando pues entre uninstante y otro de dicho lapso, la aplanadora va alcanzando posiciones cada vez ms distantes de la inicial.

f)

Nos preguntan ahora si hay algn lapso de tiempo en el que la aplanadora permanece detenida. Y dicho

lapso se da efectivamente entre los y los , pues all el grfico marca que siempre el mvilocupa la misma posicin, de .

g)

En cuanto al instante a partir del cual la aplanadora comienza a retroceder, lo tenemos en ,luego de que el conductor se reincorpora de su descanso. En la grfica se observa que comienzan aalcanzarse posiciones alcanzadas antes, y ellas son tambin ms cercanas al punto de partida. Luego estonos indica que el mvil estaba retrocediendo.

h) La concavidad del grfico es el elemento que nos indica si el mvil est aumentando o disminuyendo su

velocidad. Mirando el grfico en el lapso que nos indican en el enunciado podemos ver que hay un cambio

en la concavidad de la curva, y aproximadamente el mismo se produce a los de iniciado elmovimiento. Como el mvil parte del reposo, es razonable pensar que entre los y los demovimiento, la aplanadora se mova cada vez ms rpido. Luego, entre los y los , dondevemos que la concavidad es la inversa, decimos que se mova cada vez ms lento. Entre medio de ambos

lapsos tenemos una funcin lineal, con lo cual all no existe la idea de concavidad.

i) La respuesta a si existen intervalos de tiempo en los cuales el mvil recorra distancias iguales en tiempos

iguales es afirmativa, pues la existencia de dicho intervalo est implicando que en l la funcin es lineal. Y

ese intervalo lo encontramos entre los y observando el grfico. Entre estos dos instantes, elmismo es el de una recta.

j) Veamos la ecuacin horaria de posicin entre los y los , en el intervalo donde dijimos que elgrfico era el de una funcin lineal. Entonces, tenemos una funcin del estilo: . La ecuacinhoraria ms parecida es la del movimiento rectilneo uniforme, donde se plantea:

En dicha frmula, es la posicin inicial que tena a (que aqu es ), es el instanteen el cual se empieza a medir (que es ), y es la velocidad del movimiento en dicho lapso, y esuna constante que debemos calcular, pues no tenemos dicho dato. Sin embargo, lo podemos despejar de la

misma ecuacin, pues conocemos cunto vale en distintos instantes de tiempo. Lo que vamos a hacer es

evaluarla en un instante de los que figuran en la tabla e igualarla a su correspondiente valor de . Nos va aquedar una ecuacin lineal en , que la podemos despejar. Veamos:A los , la tabla nos dice que la aplanadora se encuentra en la posicin . Entonces: Damos ahora, entonces, la ecuacin horaria con todos los datos conocidos:


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k) Veamos, con palabras, como nos piden, cmo vari la velocidad de la aplanadora en todo el trayecto.

Miremos el grfico, ya dijimos que entre los y los , la velocidad va en aumento. Luego, entrelos y los , ya vimos que tenamos una funcin lineal, luego el movimiento es uniforme, con locual la velocidad no sufre cambios. Entre los y los , el mvil frena, con lo cual la velocidad vadisminuyendo. De all y hasta los

, la aplanadora permanece quieta en reposo, y luego la velocidad es

nula en dicho lapso. Y cuando arranca y hasta el final del movimiento la velocidad vuelve a ir en aumento,

pues parte del reposo (no puede disminuir, pues inicialmente tena velocidad igual a cero, y a menos que

velocidad cero no se puede marchar).

l) Dadas las explicaciones de los ltimos tems, podemos decir que la aplanadora aceler en todos los

intervalos descriptos en k), a excepcin del , donde la velocidad es constante, y del , donde la velocidad es nula. En el resto hay aceleracin, porque hay cambio en el mdulode la velocidad (ya sea para aumentarla o para disminuirla).

m) En este inciso nos piden que discriminemos en la enumeracin que hicimos en el anterior en los intervalos

en los cuales la velocidad aument y en los intervalos donde la misma disminuy. Lo primero, observando

la grfica, se tuvo en

y

; mientras que lo segundo lo tuvimos en

.n) Nos preguntan, por ltimo, si los intervalos en los cuales hubo cambios de velocidad (que son los que nos

piden, los del tem l)) son tambin aquellos en los cuales el movimiento es uniformemente variado. Y

justamente esa es la definicin de movimiento uniformemente variado. En ellos lo que vara es la velocidad,

con lo cual por ello se diferencian de los uniformes, donde la misma se mantiene fija. La respuesta es,

entonces afirmativa.

Problema 2Un coche recorre

cada

a velocidad constante.

a) Cul es su velocidad en metros por minuto? Y en metros por segundo?

b) Determine cunto se ha desplazado en , en , y en un da.c)

Grafique la posicin en funcin del tiempo durante los primeros .Resolucin

El dato que nos dan es importante, pues es la velocidad con la que marcha y con la que vamos a trabajar en los

tres incisos. Nos dicen que la velocidad es de , con lo cual, como la expresamos coloquialmente,tenemos que la velocidad es de . Pasamos entonces a continuacin con su resolucin.a) Nos piden expresar primero a la velocidad en

. Sabemos que

equivale a

y que

equivale a

. Reemplazamos entonces, donde diga

por su equivalente, y lo mismo haremos

donde diga : Y en segundo lugar nos piden expresar la misma velocidad en . Simplemente recordar que y hacemos el reemplazo:

b)

Nos piden el desplazamiento del coche en determinados lapsos de tiempo. Veamos en

. Para ello

vamos a dar la ecuacin horaria de posicin (que como la velocidad es constante, entonces ser la de un

movimiento rectilneo uniforme:


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El desplazamiento respecto de la posicin inicial viene dado por la diferencia entre la posicin en

determinado instante y la inicial. Luego, el desplazamiento tiene la siguiente expresin:

Evaluemos entonces este desplazamiento en el intervalo de tiempo que nos dan que es : Ahora hagamos lo mismo pero con el lapso . Para ello podemos usar la expresin de lavelocidad en :

Y ahora veamos en un da, con lo cual el intervalo de tiempo pasa a ser

. Vamos a usar entonces,

la velocidad expresada en

:

c) Nos piden un grfico de la posicin para los primeros del movimiento. Para ello vamos a necesitar

la ecuacin horaria correspondiente:

Si consideramos cero al instante en el cual comenzamos a medir y a la posicin que ocupaba el auto cuando

empezamos a medir, la ecuacin nos queda del siguiente modo:

Veamos ahora s, entonces, el grfico:

Problema 3Si

despus de haber visto un relmpago se percibe el ruido del trueno a qu distancia de nosotros se

produjo el fenmeno si la velocidad del sonido en el aire es de

y se desprecia el tiempo de

propagacin de la luz?


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Resolucin

Tenemos un problema de cinemtica comn y corriente, que est vestido como problema de meteorologa. De

esto ltimo, lo nico que hay que conocer es que se genera el trueno (con el relmpago) en lo alto del cielo,

hasta que el estruendo llega hasta nuestros odos pasa un cierto lapso de tiempo, que en este caso nos lo dan

como dato (

). Lo que sigue es un problema de cinemtica, pues lo que nos preguntan es la distancia de

un observador en tierra hasta el punto del cielo en el cual se gener el fenmeno. La velocidad con la que se

propaga la onda sonora que redunda en el trueno que escuchamos es la velocidad del sonido, que es una

constante universal y es la que debemos usar en la ecuacin horaria (que al ser una constante ser la ecuacin

de un movimiento rectilneo uniforme). Veamos:

Lo que despejamos (llamando ) es la distancia entre la posicin de origen del trueno y la posicin delobservador . Evaluamos simplemente la expresin:

Problema 4Un mvil se mueve en forma rectilnea de acuerdo al siguiente grfico de

posicin en funcin del tiempo.

a)

Con qu velocidad se desplaza?

b) Dnde se hallar a las ?Resolucin

Nos plantean un grfico y la idea es que lo sepamos leer como para luego responder las preguntas que nos

hacen. Veamos.

a)

Una caracterstica importante del grfico posicin tiempo es que la pendiente de la recta tangente al

mismo (que en este caso es la pendiente de la grfica, pues la grfica es en s misma una recta) corresponde

a la velocidad en el punto en el cual se calcul la tangente. Como la pendiente aqu es la misma en todos los

puntos, tenemos que la velocidad es una constante (lo cual ya nos imaginbamos al ver un grfico lineal).

Calculemos la pendiente entonces, usando los datos que nos muestra el grfico:

b) Para responder donde se encontrar a las

tenemos que plantear la ecuacin horaria de la posicin y

evaluarla en

. Veamos:

Se considera que el instante en el cual comienza la medicin es cero, con lo cual la posicin . Damos entonces la ecuacin con los datos numricos: Evaluamos la ecuacin en :

Problema 5


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A qu hora debe pasar un automovilista por la localidad A, a una velocidad constante de , si deseaalcanzar a las a otro automovilista que pas por el mismo lugar a las y que mantiene una velocidadconstante de ?Resolucin

Tenemos un auto (llammoslo 1) que circula por un determinado punto de una ruta a velocidad de

constante, un cierto tiempo despus de que otro auto (llammoslo 2) pasara por la misma ruta a velocidad

constante de por un punto que llamamos A, por el cual el primer auto todava no pas. Lo anteriorocurri justo cuando el cronmetro que usamos para medir tiempos marcaba el instante . La idea esaveriguar en qu instante debe pasar el auto que viaja a por el punto A para que cuando seencuentren ambos el cronmetro marque . Para ello planteamos las ecuaciones horarias de ambosautos. Ambas sern ecuaciones de movimientos rectilneos y uniformes:

[ ] [ ]

Consideramos que y son los puntos de la ruta que corresponden al paso de cada mvil por A.Podemos considerar que ese punto A representa el cero de medicin para ahorrarnos constantes. De estamanera podemos colocar y . Dijimos por otro lado, que cuando el auto 2 pasaba por Ael cronmetro marcaba , con lo cual entonces debe ser .Planteemos el encuentro entre los dos mviles, igualando las ecuaciones y evalundolas en el mismo instante

del encuentro, que corresponde a :() () [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] El resultado es el que obtuvimos, pero igualmente vamos a expresarlo de la manera en que ms coloquialmente

se la menciona:

Ese es el tiempo que marcar el cronmetro cuando el auto 1 pase por A para que se produzca el encuentro

entre ambos autos a

.

Problema 6Un corredor recorre llanos en , a velocidad que puede considerarse constante durante cadatramo. Al llegar al extremo del recorrido se detiene durante y retorna por el mismo camino en .a)

Cunto vale la velocidad a la ida? Cunto vale la velocidad a la vuelta?

b) Grafique la posicin del corredor desde que sale hasta que vuelve.

c) Dnde se hallar el corredor a los , a los y a los ?Resolucin

a)

Nos piden la velocidad del trayecto de la ida y de la vuelta. No tenemos idea de cunto valen, pero lo que ssabemos es que a la ida tuvo que haber corrido ms rpido que a la vuelta, pues all tard ms en recorrer


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los . Veamos la ecuacin horaria antes de calcular las velocidades, que es una funcin partida en trestramos (el de la ida, luego los en que permanece en reposo y el de la vuelta):

[ ] [ ] [ ] El corredor parte de su posicin inicial, que la podemos considerar cero, al igual que el tiempo en que

largamos el cronmetro para medir tiempos. Luego, podemos suponer que y que . En cuanto al segundo tramo, el corredor se encuentra en reposo, con lo cual ycomo nos dicen que en ese tramo se encuentra al final del camino de , tenemos que . Y en cuanto al camino de la vuelta, parte de donde se encontraba en el momento en que repos,con lo cual tenemos , y el tiempo desde el cual empezamos a medir este tramo es a los de iniciado el cronmetro, con lo cual tenemos . Reescribimos entonces, contodos estos datos, la ecuacin horaria:

Calculemos la velocidad a la ida. Sabemos que como la funcin de posicin es continua, cuando evaluemos

el primer tramo en debe valer lo mismo que el segundo tramo en dicho instante. Haciendo estopodremos despejar . Veamos:

Ahora para obtener la velocidad a la vuelta, usamos el dato de que tarda

en cubrir el tramo.

Entonces, cuando se cumpla el instante , el corredor estar en el punto el cual parti y quellamamos . Entonces, evaluamos y despejamos la velocidad: Damos ahora, pues nos ser til luego, la ecuacin completa:

b)

Grafiquemos esta ecuacin de posicin:


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c) Veamos en qu posicin se encontrar el corredor a los . Simplemente evaluamos la ecuacin en elprimer tramo, pues

:

Ahora veamos qu sucede a los . All corresponde el segundo tramo, cuando estaba en reposo en lameta. Luego, trivialmente all vale:

Por ltimo veamos dnde se encontraba a los . Aqu corresponde el tercer tramo, que es el delregreso a la partida. Evaluamos:

Problema 7Un objeto recorre en y luego ms en .a) Calcule el valor de la velocidad media en las dos primeras horas, en las tres ltimas y en el recorrido total.

b) Grafique la posicin en funcin del tiempo.

Resolucin

a) La velocidad media entre dos puntos la calculamos como el cociente entre la distancia recorrida y el

intervalo de tiempo que le llev al objeto recorrer dicha distancia. En este caso, tenemos la siguiente

expresin:

Para las primeras dos horas: Para las siguientes tres horas: Ahora veamos en el recorrido completo:


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b) Nos piden ahora el grfico de posicin en funcin del tiempo. Para ello vamos a dar la ecuacin horaria de

la posicin, que va a ser una funcin partida a las de iniciado el movimiento. Veamos: [ ]

[

]

Centramos el sistema de referencia en el punto de partida del objeto e iniciamos el cronmetro justo en el

momento en que el mismo comienza a moverse. Con lo cual podemos suponer que y . Como ambos movimientos son a velocidad constante, la velocidad media en ambosintervalos va a coincidir con la velocidad en cada punto de los mismos. Entonces, podemos decir que en la

ecuacin debemos colocar: y . Nos faltan determinarquines son y . Para este ltimo, decimos que como empezamos a medir con elsegundo tramo a partir de las , al tiempo le tenemos que restar las dos primeras horas quecorresponden al otro tramo. Entonces tenemos: . Para el primero, decimos que como lafuncin es continua, el primer tramo en

debe valer lo mismo que en el segundo. El primer tramo lo

tenemos completo, con lo cual podemos igualar ambos y despejar el

:

Damos ahora la ecuacin completa:

Y a continuacin, el grfico de la posicin en funcin del tiempo:

Problema 8Este ejercicio le ayudar a comprender las ecuaciones horarias y

los grficos del movimiento rectilneo uniformemente variado

(MRUV). Utilice papel milimetrado para los grficos:

Un auto se desplaza en lnea recta. En , pasa por unpunto ubicado a del origen del sistema de referenciaelegido, alejndose con velocidad . En ese instanteacelera, con aceleracin constante que mantienedurante

.

Respecto de la velocidad:


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a) Qu significa que la aceleracin es ? Qu significa que es constante?b) Qu es lo que vara uniformemente en el MRUV?

c) Conociendo la velocidad en y el valor de la aceleracin, complete la segunda columna de la tabla.d)

Grafique la velocidad del auto en funcin del tiempo.

e) Cmo hubiera sido el grfico si el auto no hubiese acelerado? Compare

f) Qu significa la pendiente en un grfico velocidad en funcin del tiempo?

g) Escriba la ecuacin horaria de velocidad para el auto.

De lo discutido resulta que la forma general de la ecuacin horaria de velocidad para un MRUV es: Respecto de la posicin:

a) Se desplazar el auto lo mismo entre y que entre y ? Expliqueb) Deduzca (con ayuda del docente) la ecuacin horaria de la posicin para un MRUV.

La forma general de ecuacin horaria de posicin para un MRUV es:

c)

Qu representan los dos primeros trminos de esta ecuacin?

d)

Escriba la ecuacin horaria de posicin para el auto.

e) Complete la tercer columna de la tabla adjunta.

f) Grafique la posicin del auto en funcin del tiempo. Qu curva obtiene?

g) Determine en forma aproximada, a partir de este grfico, la velocidad en y en . Quvalores obtiene? Coinciden con lo que deba obtener? Explique.

Dos finales para el mismo cuento:

FINAL 1

Si a partir de y hasta el auto dejade acelerar, describa lo que suceder, escriba lasecuaciones correspondientes, complete la tabla adjunta

y contine los grficos de velocidad en funcin del

tiempo y de posicin en funcin del tiempo.

FINAL 2

Si a partir de y hasta el auto frenacon aceleracin constante

, describa lo que

suceder, escriba las ecuaciones correspondientes y

contine los grficos de velocidad en funcin del tiempo

y de posicin en funcin del tiempo.

Resolucin

Un poco larga la consigna, vamos a ir por partes. Comencemos con el apartado terico para la velocidad:

a) Nos preguntan en principio, qu significa que la aceleracin tenga el valor que tiene. Podemos plantear el

valor de la aceleracin de la siguiente manera: . Si la expresin de lavelocidad en nos indica que el mvil recorre tantos metros en un segundo, la aceleracin lo que nosindica en este caso es que el mvil cambia su velocidad en

por cada segundo transcurrido. Que la

aceleracin sea constante significa que no existe ningn fenmeno fsico que haga variar el patrn decambio de la velocidad del mvil.


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b) Ahora nos preguntan qu es lo que vara uniformemente en un MRUV. Y lo que vara de manera uniforme

es velocidad, que lo hace linealmente debido a que la aceleracin, como se dijo antes, es constante. De esta

manera se tiene que el grfico de velocidad en funcin del tiempo es una recta, como lo era el de posicin

en el movimiento rectilneo uniforme.

c)

Completemos la primera columna de la tabla que est adjunta a esta primera parte terica: La idea que usamos para completar la tabla fue la del tem a), donde explicbamos que al ser la aceleracin

de , la velocidad a cada segundo va a variar en .d) Hagamos el grfico de velocidad en funcin del tiempo, considerando los datos de la tabla:

e) Si no hubiese acelerado, el auto lo que hara sera avanzar a velocidad constante. Tendramos un

movimiento rectilneo uniforme, como los que venamos viendo y el grfico sera el de una funcin que es

independiente de su variable, tendramos un grfico con una recta paralela al eje de tiempos en algn lugar

del plano.

f) La pendiente en el grfico velocidad tiempo indica algo similar que lo que indica la pendiente en el grfico

posicin tiempo, y de la cual ya hablamos. As como en aquel caso obtenamos la velocidad en dicho

punto, en este caso lo que obtenemos es la aceleracin, que es la razn de cambio de la velocidad.

g) La ecuacin horaria de la velocidad pasa a tener la misma forma que en el MRU la de posicin, donde la

velocidad all es una constante. Lo que es aqu una constante es la razn de cambio de la velocidad (ya no la

de la posicin), con lo cual la ecuacin de la velocidad pasa a ser: Evaluando los datos tenemos: Notar que la velocidad es la velocidad inicial de , la aceleracin es dato, y el instante en el cualcomienza la medicin lo consideramos nulo, pues consideramos, como siempre, que el cronmetro lo

iniciamos en el preciso instante en que comienza el movimiento.


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Continuamos ahora con el apartado terico sobre la posicin:

a) Evidentemente no se va a desplazar lo mismo en los primeros dos segundos, que luego de tres, debido a

que este no es un movimiento uniforme. Ac cambia la velocidad a travs del tiempo, con lo cual en los

primeros dos segundos recorre una cierta distancia, y luego de dos ms ya se est moviendo ms rpido y

en el mismo intervalo de tiempo cubre una distancia levemente mayor.

b) Este segn parece, es un ejercicio terico que trasciende la idea del curso porque involucra integrales (al

parecer por esto es que sugieren la ayuda del docente, pues se supone que no todos los alumnos del curso,

tienen conocimientos sobre clculo integral y diferencial). El que tenga conocimiento, el problema lo

resolver en pocos segundos, pero la idea aqu es resolver el ejercicio, con lo cual si hay dudas sobre la

resolucin, no hay ningn problema por ahora, pues no es tema para los parciales, y de ltima, el docente

tendr la responsabilidad de explicar este tema con todo detalle a quin se lo consulte.

Dicho esto, pasamos a la resolucin, donde vamos a partir de una ecuacin conocida como la de la

velocidad en funcin del tiempo, que es la siguiente:

Habamos dicho que la velocidad era la razn de cambio de la posicin en el tiempo, que daba idea de

cunto uno se mueve en una determinada cantidad de tiempo, y que la pendiente de la recta tangente al

grfico en un punto era la velocidad del mvil en dicho punto. Resulta ser que dicha pendiente se la asocia

con la derivada de la funcin posicin en dicho punto. Y si uno junta las derivadas de la posicin en todos

los puntos de la grfica termina obteniendo la funcin velocidad. Con lo cual lo que obtuvimos es que la

velocidad es la funcin derivada temporal de la posicin. Pero el problema es que nosotros no tenemos la

posicin, sino que tenemos la velocidad y queremos llegar a aquella. Entonces, lo que tenemos que hacer

es la operacin inversa, que es integrar a la velocidad. Para ello hay varias tcnicas, pero en este caso, como

la funcin es lineal, se la puede integrar de manera simple, por tabla.

En las tablas figura que dada una funcin lineal: , su integral la calculamos de lasiguiente manera, teniendo en cuenta la regla para constantes y funciones lineales:

Entonces, veamos qu sucede con una funcin lineal completa, como lo es la velocidad:

La expresin anterior debe ser evaluada en los extremos (primero en el extremo superior y luego se resta la

misma evaluada en el extremo inferior). Hagamos eso:


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Ahora, si reemplazamos en la funcin genrica a por , si adems consideramos que es la aceleracin(sin cambiarle el nombre), y si usamos como variable al tiempo en lugar de , con como instante inicialen lugar de , nos va a quedar la siguiente expresin para la integral de la velocidad:

Por otro lado, tambin habamos dicho que la integral de la velocidad era la posicin en funcin del tiempo.

Si integramos en un determinado intervalo de tiempo, lo que vamos a obtener es precisamente la posicin

en dicho intervalo, como vemos a continuacin:

Igualamos ambas expresiones obtenidas para la integral de la velocidad:

Y si dejamos variar libremente a la constante

y la llamamos

, obtenemos la ecuacin de la posicin que

estbamos buscando:

c) Veamos qu representan los dos primeros trminos de la ecuacin deducida en el inciso anterior. El

primero corresponde, como vimos a la posicin inicial del mvil, pues hicimos un renombramiento

intermedio en el clculo, debido a que habamos obtenido , lo cual implica que lo que habamosobtenido era la posicin en el instante inicial del movimiento. En cuanto al segundo trmino, tenemos una

variacin lineal con el tiempo, que equivale al trmino del movimiento rectilneo y uniforme, pero que

ahora est acompaado por uno cuadrtico. Ambos representan al MRU acompaado de un trminoadicional que es propio de este tipo de movimientos acelerados.

d)

Veamos la ecuacin horaria de posicin para el caso del auto:

En este caso, si colocamos el origen del sistema de referencia delante de la posicin en la cualcomienza el movimiento, y adems el cronmetro lo iniciamos en ese preciso instante, tenemos que

y que

. La aceleracin es

, mientras que la velocidad inicial es

. Entonces, nos queda:


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e) Completemos la tabla que haba quedado interrumpida de la seccin anterior, evaluando la ecuacin:

f) Veamos el grfico para la posicin en funcin del tiempo:

Como vemos obtuvimos un arco de parbola, que es lo esperable para una funcin cuadrtica, ms all de que

quizs no se note tanto debido a que la misma no est tan pronunciada. Por ello tambin es que aunque los

puntos de la tabla parezcan estar alineados, el grfico se traza a pulso y no como una lnea recta.

g) Nos piden ahora, que mirando el grfico obtengamos aproximadamente la velocidad inicial, y tres segundos

despus. Para ello tenemos que calcular la pendiente de la recta tangente al grfico en los puntos

y .Veamos en , para lo cual vamos a utilizar dos puntos contiguos para realizar la aproximacin: Y ahora el valor real, evaluando la ecuacin de la velocidad:

Son valores ms o menos cercanos.

Ahora veamos en :

Y ahora el valor real:

Nuevamente, se mantiene la diferencia entre el valor real y el aproximado, de

.


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Vamos ahora con el FINAL 1, donde nos plantean que el coche deja de acelerar a partir de los demovimiento y hasta los . En dicho intervalo, entonces contina su marcha a velocidad constante. All nospiden dar las ecuaciones horarias, completar la tabla y los grficos. Comencemos por las ecuaciones:

El valor de la velocidad inicial del segundo tramo, que es , debe ser igual a la velocidad co la que lleg a los . La calculamos, empleando la ecuacin de la velocidad en aquel tramo:

Como el segundo tramo tiene un retraso de

respecto del instante en que se inici el cronmetro,

entonces, al tiempo

se le debe restar esa diferencia, que queda condensada en el valor

. Ahora el

valor de lo obtenemos planteando la continuidad de , como ya venimos haciendo. El primer tramoevaluado en debe valer lo mismo que el segundo evaluado en el mismo instante: Damos ahora, con todos los datos, la ecuacin horaria de la posicin y de la velocidad:

Ahora completamos la tabla:

Y posteriormente, los grficos completos:


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Pasamos al FINAL 2, donde nos dicen ahora, que a partir de el auto comienza a frenar hasta

, con una aceleracin

. De esta manera, se nos modifican las ecuaciones de posicin y

velocidad. Veamos cmo cambian tambin los grficos.

Planteemos la ecuacin de la posicin y de la velocidad:

( ) ( )

( )

Como el retardo en el segundo tramo de la funcin es el mismo, no hay razn por la cual sea igual a , ysea igual a . Por otra parte, el desde donde parte es tambin el mismo que antes, pues el primer tramofue siempre el mismo, y no sufri ningn cambio. Entonces, parte del mismo lugar. Con lo cual, tenemos . Y por lo tanto, como el primer tramo no sufri cambios, tampoco lo har la velocidad que traaa los . Entonces, la velocidad inicial del segundo tramo tambin ser la misma, con lo cual nos quedar quela velocidad tambin vale . Lo nico que cambia aqu respecto del final anterior es que seagrega un trmino cuadrtico que depende de la aceleracin negativa, que hace que el auto se frene. Dicha

aceleracin es dato, con lo cual tenemos: . Veamos entonces, cmo quedan nuestras nuevasecuaciones:


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Con la nueva ecuacin escrita, podemos pasar a completar la tabla correspondiente:

Hecho esto, vamos a pasar a dar los grficos de posicin en funcin del tiempo, al igual que de velocidad en

funcin del tiempo:


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Problema 9

Un mvil realiza un movimiento rectilneo uniformemente variado, experimentando un desplazamiento de en un intervalo de tiempo de . Si la velocidad inicial es de , calcular la aceleracin a que estsometido.

Resolucin

Vamos a dar la ecuacin genrica de la posicin y a despejar de all la aceleracin:

El desplazamiento es la distancia que recorre el mvil respecto del punto del cual parti. Es razonable pensar

que el desplazamiento viene dado por la expresin:

. El intervalo de tiempo en que cubri esta

distancia, siguiendo con este razonamiento viene dado por:

. La velocidad inicial es

. Con lo cual ya tenemos todos los datos como para evaluar la expresin que despejamos para laaceleracin. Hagamos eso, pues:

Problema 10

Un automvil debe alcanzar, partiendo del reposo, una velocidad de en .a) Qu aceleracin debe tener este automvil (supuestamente constante)?

b)

Cul ser su velocidad al cabo de

?

c)

Grafique la velocidad y la posicin en funcin del tiempo (en los primeros )Resolucin

a) Nos plantean una situacin en la que un coche pasa de una velocidad a otra en un tiempo dado, y nos piden

la aceleracin necesaria para que esto ocurra. Planteemos la velocidad, que nos ayudar a pensarlo: Este inciso termina siendo parecido al problema anterior, en cuanto a que despejamos la aceleracin de la

frmula y despus ya tenemos todos los datos como para evaluarla. Veamos que es la velocidad de laque parte el movimiento (que como es del reposo, tenemos que ) y es la velocidad a la cualse quiere llegar ( ). El denominador es el intervalo de tiempo en el cual se quiere pasar de a , con lo cual . Ahora, simplemente no queda nada ms, que evaluar la expresin de :

b)

Veamos cul ser su velocidad luego de de iniciado el movimiento. Tenemos que plantearsimplemente la ecuacin de la velocidad (ya con el dato de la aceleracin obtenido) teniendo en cuenta, en

este caso, el intervalo :


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c) Veamos en los primeros los grficos de posicin y de velocidad, pero para ello vamos a dar sus

ecuaciones:

Como siempre, al ser libre la eleccin del sistema de referencia, lo elegimos como para que el origen

coincida con la ubicacin del punto de partida del automvil y para que el cronmetro se inicie en el preciso

instante en que comienza el movimiento. Entonces y . Como parte del reposo,tenemos y la aceleracin ya la calculamos, y vale . Entonces, tenemos:

Ahora s, pasamos a los grficos:


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Problema 11

Un subterrneo ingresa a una estacin a . Debe detenerse en .a)

Cul debe ser su aceleracin de frenado (supuestamente constante)?

b) Qu distancia recorre el subte en los cinco primeros segundos, contados desde que entra a la estacin?

c) Qu velocidad tendr el subte un segundo antes de detenerse?

Resolucin

Vamos a plantear un esquemita de la situacin. Esto es imprescindible hacerlo siempre, el tema es que algunos

problemas son un poco ms sencillos y uno a veces se anima a no plantear un esquema, sin embargo en este

caso nos va a ayudar. Veamos:

Dibujamos el tren como un crculo para dar la idea de que se trata de una partcula puntual, la cual debe llegar

hacia determinada posicin, tambin puntual. Si queremos que un tren frene adecuadamente, su locomotora

no debe pasarse de los lmites del andn. Entonces solamente basta con que el circulito que es el tren llegue en hacia el final del andn, sin importar dnde quede el ltimo vagn (donde imaginamos que todo estconstruido como para que este ltimo vagn quede dentro de la estacin tambin, pero esto igualmente no

nos importa). Pasemos entonces, a responder las preguntas:


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a) Calculemos la aceleracin que debe imprimir el tren para frenar en . Planteemos la ecuacin de lavelocidad en el MRUV, y despejemos de ella, la aceleracin:

La velocidad que trae el tren al ingresar a la estacin nos la dan de dato y es , mientras quela que se quiere alcanzar, es decir , es , pues queremos que se frene. El intervalo en elque queremos que ocurra esto es segn el enunciado. Entonces, evaluamos la expresinde la aceleracin:

b)

Nos piden la distancia recorrida en los primeros . Construyamos la ecuacin de la posicin:

Si iniciamos el cronmetro justo cuando el tren entra en la estacin tenemos . La aceleracin yala acabamos de calcular y es . La velocidad inicial es dato del problema y es . Entonces evaluamos la distancia:

c)

Por ltimo nos preguntan la velocidad del tren un segundo antes de detenerse, es decir, a los deentrado a la estacin. Evaluemos la ecuacin de la velocidad en dicho instante:

Problema 12

Un mvil recorre dos tramos rectilneos sucesivos. El primer tramo, de

, lo hace a una velocidad constante

de

. El segundo tramo lo hace en

y en forma uniformemente variada, duplicando su velocidad

en esos .a) Calcular la velocidad media en cada tramo y en el recorrido total.b) Graficar, para el recorrido total, la aceleracin, velocidad y posicin en funcin del tiempo.

Resolucin

a) Veamos la velocidad media en cada tramo y en el recorrido total. Para el primer tramo, como el mismo se

realiza a velocidad constante, la velocidad media va a ser la misma que la velocidad en cada punto de dicho

tramo. Entonces all tenemos:

.

Veamos ahora para el segundo tramo:


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Necesitamos saber qu distancia recorre en esos que le dura el segundo tramo. Nos dicen que lavelocidad all se duplica respecto de la que traa a los

que era

. Entonces all la velocidad

deber ser . Tenemos entonces, que en el mvil pasa de a .Planteando la ecuacin de la posicin, obtendremos dicha distancia: El intervalo es el tiempo que le lleva cubrir el tramo, mientras que la velocidad inicial es . Nos falta la aceleracin que no la tenemos, pero la podemos encontrar mediante laecuacin de la velocidad:

Volvemos a la ecuacin de la distancia recorrida:

Ahora volvamos a la ecuacin para la velocidad media en el segundo tramo:

Para terminar, damos la velocidad media en todo el recorrido:

Nos falta el intervalo de tiempo que le llev cubrir el primer tramo, porque dicha instancia la resolvimos de

manera muy directa. Vamos a plantear la ecuacin de la posicin del primer tramo, que es un MRU de la

forma:

Volvemos a la ecuacin de la velocidad media del recorrido total:


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b) Veamos los grficos de posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Repasemos las ecuaciones

para poder confeccionarlos:

Pasemos, ahora s a los grficos:


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Problema 13

Un objeto cae partiendo del reposo desde una altura de respecto del piso.a)

Cunto tiempo tarda en llegar al piso?

b) A qu altura del piso se hallar a los de la partida?c) Qu velocidad tendr en ese momento?

d)

Grafique la posicin y la velocidad desde que parte hasta que llega al piso.

e) Con qu velocidad, como mnimo, debera ser lanzado desde el piso hacia arriba para llegar otra vez hasta

una altura de

?

Resolucin

Tenemos un problema de cada libre de un objeto, para lo cual vamos a plantear el siguiente esquema:

a) Para contestar a la pregunta sobre cunto tiempo tarda en caer, primero tenemos que plantear la ecuacin

para la posicin: Cuando el objeto est en el suelo all

, con lo cual a ese valor tendremos que evaluar la ecuacin. La

posicin inicial es la altura desde donde parte, que es . Como parte del reposo, tenemos que


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y la aceleracin es la de la gravedad, con lo cual . Como siempre, elcronmetro lo iniciamos en el momento en que se deja caer al objeto. Con esos datos, planteamos:

()

b)

Ahora nos piden la altura a la que se encontrar a los de la partida. Solamente tenemos que evaluarla ecuacin de la posicin en . Veamos:

c) Nos piden la velocidad del objeto cuando se encuentra a del suelo. Para ello tenemos que plantear la

ecuacin de la velocidad y evaluarla en :

Como parte del reposo, nuevamente tenemos y por lo ya dicho, tambin .Entonces, tenemos:

d) Vamos a graficar, para lo cual vamos a dejar primero las ecuaciones:


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e) Ahora nos piden que demos la velocidad para que el objeto lanzado desde el suelo llegue a una altura

mxima de . Para responder a ello hay que modificar levemente las ecuaciones horarias:

Vamos a suponer que el tiempo que tarda en llegar hasta arriba es el mismo que el de cada, pues los

puntos de partida y de destino se han invertido, pero no dejan de ser los mismos, con lo cual al evaluar la

funcin en , la velocidad pasa a ser cero. Y de all se puede despejar la velocidad quebuscamos:

Problema 14

Un cuerpo cae libremente, partiendo del reposo, y emplea en recorrer la primera mitad de sudesplazamiento.a) Cul es el desplazamiento total?

b)

Con qu velocidad pasa por la mitad de su recorrido?

Resolucin

El esquema es prcticamente el mismo del problema anterior, con lo cual los pasos a seguir no pueden variar

demasiado. Veamos.

a) Vamos a plantear las ecuacin para la posicin, que nos va a dar informacin sobre el desplazamiento que

nos piden:

Si se lo deja caer desde el reposo, entonces , por otro lado si cae libremente, la aceleracin ala cual est sometido es a la de la gravedad, con lo cual . Y si el cronmetro loencendemos en el preciso instante en que lo dejamos caer,

. Es todo lo que necesitamos. Ahora

simplemente evaluamos el desplazamiento en y tenemos la primera mitad del recorrido. Eltrayecto entero ser el doble de dicho resultado. Veamos:


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Nos da negativo, debido a que el sistema de referencia que empleamos est en el suelo, apunta hacia

arriba, y el objeto cae hacia abajo. All radica la diferencia de signos. Sin embargo, nosotros vamos a decir

que el objeto recorri en la mitad de su trayecto

. Con lo cual, en el recorrido entero cubri la

distancia: .b) Para saber con qu velocidad pasa a la mitad de su recorrido simplemente evaluamos en la

ecuacin horaria de la velocidad:

De nuevo, por lo mismo de antes, , la aceleracin sigue siendo la de la gravedad y

porque se lo suelta desde el reposo. Entonces tenemos:

Entonces a los de recorrido su velocidad era la siguiente:

Nota: la gua tiene el resultado con el otro signo, porque seguramente all colocaron el sistema de

referencia positivo hacia abajo, al contrario de cmo lo hicimos aqu. Esto no significa que esta resolucin

tenga un error, sino que se encar el problema desde otro punto de vista.

Problema 15

Una partcula disparada hacia arriba est a de altura respecto del punto de lanzamiento a los dela partida.

a) Hallar la velocidad inicial.

b) Determinar la mxima altura que alcanzar la partcula.

Resolucin

Veamos un dibujo de la situacin:


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Problema 16

Considerando un sistema de coordenadas positivo hacia arriba:

a) Representar velocidad en funcin del tiempo para un objeto que es arrojado hacia arriba, queda pegado en

el techo durante unos instantes y luego cae.

b) Representar posicin en funcin del tiempo para el mismo movimiento.

Resolucin

Tenemos un objeto que se lanza hacia arriba, luego se queda en el techo unos segundos y luego experimenta

desde all y desde el reposo una cada libre. Tenemos que graficar este fenmeno. Veamos.

a)

Veamos primero el grfico de velocidad en funcin del tiempo. Como no nos dan los instantes en que se

pega y se despega, los vamos a nombrar nosotros. Tendremos que el mvil llega al techo en , sedespega en y llega al suelo en el instante . Vamos a tener entonces, la siguiente ecuacinhoraria:

[ ] [ ] [ ] En principio esta es la ecuacin, pero podemos rpidamente deshacernos del segundo tramo, diciendo que

entre y el mvil se encuentra en reposo, luego y . Como elcronmetro lo iniciamos en el momento en que se lanz el objeto hacia arriba, tenemos: , ydebido a los retrasos sucesivos

y

. La aceleracin es siempre la de la gravedad, con lo

cual al ser el sistema de referencia, positivo hacia arriba, tenemos que .Nos faltan las velocidades iniciales de los tramos inicial y final. La del tramo final es , puesdicho tramo lo inicia desde el reposo. Nos falta la velocidad inicial del primer tramo, que como no latenemos la podemos llamar . Con estos datos, actualizamos la ecuacin:

Y aqu va el grfico, cualitativo:


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Notar que el primer tramo no culmina en pues la funcin velocidad no es continua aqu.Pensemos que va lanzada con una cierta velocidad y bien de golpe pasa a ser cero cuando se pega en el

techo, luego s es continua, pues al despegarse va ganando velocidad de a poco debido a la accin de la

gravedad.

b)

Ahora nos piden el mismo desarrollo pero para el grfico de posicin. Hacemos exactamente lo mismo,

planteando en principio la ecuacin general de la posicin:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

Las consideraciones sobre los instantes , y no cambian, son las mismas de antes, lo mismovale para las aceleraciones, que equivalen siempre a la de la gravedad, con signo menos, debido a la

orientacin del sistema de referencia. Las velocidades iniciales de los tramos y es cero, por lo ya vistoantes, y la del primer tramo la seguimos llamando . La posicin inicial del primer tramo es ,pues el sistema est clavado en el suelo. Si llamamos a la altura del techo respecto del suelo, tenemosque tanto como valen . Con lo cual nos queda: e . Actualizamos entonces,la ecuacin:

Pasamos a dar el grfico correspondiente, a continuacin:


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Debe notarse que el pasaje del intervalo a no es suave, sino que es un corte brusco de lacurva, que tena su punto mximo por encima del nivel de . El pasaje de a s lo es, puescomienza desde el reposo a caer, como ya dijimos, por accin de la gravedad y dicho pasaje no es brusco.

Problema 17

Represente grficamente aceleracin en funcin del tiempo para una persona que salta repetidamente sobre

una cama elstica.

ResolucinEste problema es bastante sencillo porque simplemente plantea que demos la aceleracin para un movimiento

donde el objeto en cuestin, que es la persona que salta, pasa gran parte del tiempo en el aire. Entonces en este

tiempo la aceleracin es una sola, siempre constante y siempre con el mismo signo, que es la gravedad. Va a

haber pequeos intervalitos de tiempo en los cuales el tipo va a estar en contacto con la lona de la cama

elstica. All la aceleracin se distorsiona un poco y su forma funcional tiene que ver con la teora de

movimientos oscilatorios que en estos cursos no se ven. Se trata de funciones sinusoidales que nacen y

terminan en el mismo punto como se ve en el grfico que a continuacin adosamos:


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c) Nos preguntan ahora si volver en algn momento al punto de partida del movimiento. Y la respuesta es

afirmativa, pues el grfico del dato nos lo dice todo. Vemos que entre los y los la velocidad espositiva, pero a partir de all la misma pasa a ser negativa, con lo cual eso implica que hay un cambio en el

sentido de los vectores posicin, lo cual significa que el mvil regresa sobre sus pasos y jams volver a

cambiar de sentido. Entonces, en algn momento, efectivamente pasar otra vez pasar por el punto de

partida.

Ahora tenemos que calcular en qu instante volver a pasar por dicho punto. Para ello vamos a tener en

cuenta que el desplazamiento en los tres primeros segundos ya est calculado. Como a partir de all cambia

el sentido del movimiento, es razonable pensar que si repito el desplazamiento pero en sentido contrario

volver al punto de partida. Entonces, si el primer desplazamiento le llev , si luego invierte susentido en ms estar en el origen, con lo cual en volver a la partida.

d)

Ahora nos piden graficar la posicin del mvil en funcin del tiempo. Vamos a dar para ello, la ecuacin

correspondiente:

Como parte del origen, ya lo dijimos, . La velocidad inicial la sacamos del grfico del dato, y es . La aceleracin la calculamos en el inciso b) y su valor es . En cuanto a el mismo argumento de siempre, si no tenemos ms de un suceso que quiere representarse con lasmismas variables, pero que ocurren con algn retraso temporal siempre conviene encender el cronmetro

en el mismo instante en que comienza el nico movimiento que estamos analizando, lo cual nos devuelve

un valor de

. Con todos los datos obtenidos, damos la ecuacin:

Graficamos ahora en los primeros :

Problema 19


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El grfico representa en forma aproximada la posicin en funcin del tiempo para un corredor en una carrera de . Analice el grfico y responda:a) Cul es la velocidad mxima que desarrolla?

b) Se detiene al llegar a la meta?

c)

Efecte un grfico aproximado de .Los tramos curvos son arcos de parbola. La curva pasa por el punto .Resolucin

Un ejercicio parecido al anterior, con la diferencia de que ahora el grfico dato es de posicin y de all

tendramos que poder obtener informacin sobre la velocidad y la aceleracin. Veamos.

a) Nos comienzan preguntando por la velocidad mxima alcanzada por el corredor. Por lo que vemos el

grfico consta de tres tramos bien distinguibles, donde hasta los de movimiento va acelerando (en elsentido coloquial del trmino, queriendo decir que iba aumentando el mdulo de la velocidad en el

tiempo), luego y por diez segundos ms mantiene constante dicha velocidad alcanzada y luego de los empieza a frenar. Con lo cual se puede fcilmente deducir que la velocidad mxima alcanzada es laque mantiene constante en el tramo medio del grfico y la misma se obtiene calculando la pendiente de larecta que queda determinada en dicho intervalo. Hagmoslo:

b) Ahora nos preguntan si se detiene cuando llega al final del recorrido. En el grfico vemos que cuando lleg

a la meta vemos que la curva termina horizontal, con lo cual la recta tangente al mismo en el punto final del

recorrido debe ser tambin horizontal. Y una recta de este tipo tiene pendiente nula, con lo cual lavelocidad all debe ser cero. Luego, la respuesta es afirmativa, el corredor se detiene.

c)

Nos piden ahora, un grfico aproximado de la velocidad, con lo cual no vamos a perder el tiempo

construyendo la ecuacin horaria. Simplemente mirando el grfico se nos debera ocurrir la forma que

debera tener el de velocidad. Por ejemplo, en el tramo central, donde tenemos velocidad constante, el

grfico debe ser una recta paralela al eje temporal y de valor . Por otro lado, en los otros dostramos, la velocidad debe ser una recta que una la porcin del grfico que acabamos de dibujar con el eje

temporal en el instante que corresponda a los extremos de cada tramo (los tramos son los mismos que en

el grfico de posicin del dato). Entonces nos queda:

Vemos que en el primer tramo, que es cuando el corredor acelera, la pendiente del grfico es positiva,como debe ser; y en el ltimo tramo, cuando va frenando, la pendiente es negativa. Finaliza en un tiempo


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Como vemos, hay solo dos fuerzas aplicadas sobre la pelota, y que se equilibran entre s para que la misma

no entre en movimiento. Las reacciones a dichas fuerzas son, como lo propone la tercera ley de Newton, de

distinto sentido pero con igual mdulo y direccin que sus correspondientes pares, y lo ms importante que

hay que tener en cuenta es que no estn aplicadas sobre la pelota, sino que sobre el cuerpo con el cual

estn interactuando, que es la mano en el caso de la normal de contacto con la superficie sobre la cual est

apoyada la pelota, y el centro de la Tierra en el caso del peso.

b)

Ahora nos plantean otra situacin. El nio va a lanzar la pelota hacia arriba, y para hacerlo antes de soltar la

pelota, el conjunto del inflable con su mano deben viajar unos centmetros juntos como para que se genere

un primer impulso y entonces luego s se separen y la pelota viaje alto. En esos pequeos centmetros deviaje en conjunto es donde nos piden que representemos las fuerzas que actan sobre la pelota. Veamos:

La situacin es prcticamente la misma, con la leve diferencia de que ahora la mano est haciendo ms

fuerza que el peso, con lo cual esto significa que la pelota va a tender a moverse hacia arriba (obviamente


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en conjunto con la mano que tambin se eleva). Esto intenta ser representado con un vector de fuerza

normal de contacto ms largo que el del peso, y en cuanto a los mdulos de estas fuerzas queda claro que:

Y esto se debe a que cuando estaban en equilibrio se satisfaca, debido al segundo principio de Newton, la

correspondencia dada por:

Ahora incorporamos una aceleracin positiva hacia arriba, con lo cual nos queda:

Como

, agrandamos el mdulo de

, con lo cual agrandamos el mdulo de la normal, que ahora

queda un poco mayor que el del peso de la pelota. Las reacciones obviamente sufren los mismos cambios

en el mdulo, no en su punto de aplicacin ni en su direccin ni en su sentido.

Por ltimo, tambin nos preguntan qu sucede con la pelota cuando est en el aire y se suelta

definitivamente de la mano del nio. All pierde el contacto con la mano, con lo cual solamente est

sometida a la gravedad. En el dibujo siguiente, vamos a plantear la nica fuerza que acta sobre la pelota, y

nos vamos a olvidar de su reaccin, porque ya consideramos fijada esa idea. Veamos:

Como perdi el contacto, solo le qued una fuerza que es el peso propio de la pelota. La gravedad le va a ir

disminuyendo la velocidad hacia arriba que lleva inicialmente la pelota debido al impulso inicial de la mano,

y va a ocurrir lo que sucede con el tiro vertical, va a llegar a una altura mxima y luego va a comenzar a

caer.

Problema 22


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En los siguientes esquemas se aplican fuerzas y a un mismo cuerpo, de masa .Para cada caso:

a) Dibuje la fuerza resultante.

b) Calcule la aceleracin del cuerpo.

Resolucin

a)

Tenemos que, dadas todas las fuerzas que actan sobre cada sistema, dibujar la resultante de todas ellas,

que es su suma vectorial.

Comencemos por el primero, como los dos vectores tienen el mismo sentido, su suma vectorial ser un

vector cuyo mdulo sea la suma de ambos mdulos. Veamos:

Continuamos con el segundo. Ac los vectores tienen sentidos opuestos, con lo cual la suma de ambos

tiene que ver con la resta de los mdulos. Si el vector de mayor mdulo apunta en el mismo sentido que la

direccin positiva del sistema de referencia, entonces la resultante se calcula como un vector cuyo mdulo

es igual a la resta entre el mdulo mayor y el menor, con lo cual conserva la direccin de . Si ocurre locontrario, la resultante sera la resta opuesta, con lo cual la direccin sera la de . Vamos a suponer queocurre lo primero, y vamos a plantear el siguiente dibujo:

b) Calculemos para cada sistema, la aceleracin del cuerpo:

Comencemos por el primero, planteando la ecuacin de Newton:

Continuemos con el segundo, planteando la misma ecuacin:

Problema 23

Dos remolcadores llevan un barco de

hasta una drsena, tirando

cada uno con una fuerza constante de

, como indica la figura. Si la fuerza


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Problema 24

Un jugador de ftbol patea una pelota de con una fuerza media de .a) Qu direccin tiene la aceleracin media? Cul es su valor?b)

Con qu velocidad sale disparada la pelota si inicialmente estaba en reposo y el impacto dura ?c) Cules de las respuestas anteriores se modifican si, en el instante en que el jugador patea, la pelota tena

velocidad no nula? Explique.

Resolucin

Como hacemos siempre, vamos a comenzar estos ejercicios de Dinmica con un esquema de la situacin, vamos

a representar las fuerzas que actan sobre nuestro cuerpo en cuestin, en este caso, la pelota, y luego

resolveremos las cuestiones que correspondan.

Veamos:

a) Nos piden la direccin de la aceleracin media y su valor. Estamos hablando de aceleraciones y de fuerzas

medias debido a que las fuerzas que se generan debido a choques o golpes (como la patada a una pelota)

son fuerzas cuya duracin es muy corta, pero producen una deformacin del objeto que la recibe, con lo

cual la fuerza la va a sentir por ms tiempo de lo que dura el choque. Sin embargo, su intensidad va a variar

en el tiempo. Por ello es que se acostumbra trabajar con el valor medio de dicha fuerza, y por lo tanto, de la

aceleracin que imprime. De esta manera, planteamos la segunda ley de Newton de la siguiente manera:


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Luego, si aislamos el peso, pues es la fuerza que siempre est debido a la gravedad, pero no influye en la

direccin que se le quera imprimir a la pelota mediante la fuerza , tenemos que la aceleracin debe tenerla misma direccin que la fuerza . Y en cuanto al valor de la aceleracin media, lo calculamos despejndolade la segunda ley:

b)

Necesitamos ahora saber con qu velocidad sale disparada la pelota, conociendo cunto dura el impacto.

Vamos a plantear la ecuacin horaria de la velocidad media para la pelota, suponiendo que parte del

reposo:

Lo anterior vale porque la aceleracin media es un nmero que no depende del tiempo, luego la velocidad

va a depender linealmente de este parmetro.

c) Ahora nos dicen que la pelota en el momento del impacto tena velocidad no nula. Evidentemente cambia

la anterior, es decir, la b), debido a que depende fuertemente del valor de , que es la velocidad quejustamente, traa la pelota. Si es distinto de cero, obviamente que cambiar el resultado final. La otra

pregunta no sufre cambios debido a que se trata de un problema de Dinmica, con lo cual all no interviene

para nada la velocidad.

Problema 25

Si un avin de vuela horizontalmente a velocidad constante.a) Cunto vale la resultante de fuerzas sobre el avin?b) Cul es el valor de la fuerza ascensional que el aire ejerce sobre el avin?

Resolucin

a) La respuesta a la pregunta sobre la resultante de fuerzas es obvia, si es que nos dicen que el avin vuela a

velocidad constante. Veamos, si la segunda ley de Newton dice: , si la velocidad es constante,tenemos: , con lo cual .

b) Nos preguntan ahora por el valor de la fuerza que se aplica sobre el avin para mantenerlo en vuelo y que

no se caiga por accin de su propio peso. El diagrama de las fuerzas aplicadas es el siguiente:


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todava en contacto con el suelo). De esta manera, la nia no est en equilibrio, pues se est impulsando

hacia arriba, con lo cual la normal del piso no es igual a su peso, sino que va a ser igual a su peso ms una

aceleracin positiva. Veamos esto en la segunda ley de Newton:

b)

Veamos cuntas veces su peso vale la normal. Si esta ltima vale y el peso vale . Entonces podemos decir que la normal vale tres veces el peso de la nia.Problema 27

El conductor de un auto que se estaba desplazando a , frena al ver el semforo en rojo. El vehculo, de , se detiene en .a)

Dibujar todas las fuerzas que actan sobre el vehculo, e identificar sus pares de interaccin.

b) Calcular el valor de la fuerza que acta en el frenado.

Resolucin

a) Planteemos el diagrama de la situacin de frenado del auto, con las fuerzas que actan y sus

correspondientes reacciones, como nos piden aqu:

En rojo tenemos las fuerzas aplicadas, que son todas las fuerzas que sufre el auto en presencia de la

superficie pavimentada, mientras que en verde tenemos las reacciones que son, obviamente, todas fuerzas

sufridas por el piso debidas al auto, con igual mdulo y direccin pero sentido contrario a las rojas.

b) Veamos ahora cunto vale la fuerza responsable del frenado, que es el rozamiento con el piso. Para ello

vamos a plantear las ecuaciones de Newton:

La segunda ecuacin no nos dice nada, porque en la primera est prcticamente despejada la fuerza de

rozamiento:


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Resolucin

Si nos dicen que el ascensor sube aumentando su velocidad en por segundo, esto es lo mismo que nosdigan que la aceleracin del ascensor es de . Aclarado esto, pasamos a resolver el problema.a)

Vamos a calcular la fuerza que ejerce el cable que lo eleva, como nos dicen. Para ello vamos a dibujar las

fuerzas que actan sobre el ascensor:

Y ahora vamos a plantear la ecuacin de Newton:

Tenemos como datos la masa y la aceleracin (tanto la de la gravedad como la del ascensor). Luego, la

tensin del cable la podemos despejar de manera sencilla:

b)

Si se corta el cable, nos preguntan si el ascensor sigue subiendo. Veamos, el ascensor est siendo elevadopor un cable de manera mecnica (es como si con la mano uno levanta una manzana). Si se corta el cable

del ascensor, se elimina el mecanismo que haca que se elevara el ascensor, con lo cual el mismo queda

libre y solamente sometido a la interaccin gravitatoria. Se supone que comenzar a caer, aunque no

exactamente en el momento en que se corta el cable, pues en ese instante la velocidad del ascensor apunta

hacia arriba todava, con lo cual se genera algo similar a un tiro vertical del ascensor. Parte con dicha

velocidad que traa, llega hasta una altura mxima y luego s comienza la cada libre (mejor que sin

pasajeros dentro para evitar vctimas fatales).

c)

Nos piden ahora cuantitativamente la aceleracin del ascensor al cortarse el cable. Puede responderse esto

sin hacer ninguna cuenta y simplemente leyendo el anlisis del inciso anterior. El ascensor sin el cable es un

cuerpo en cada libre, con lo cual su aceleracin es la de la gravedad. Veamos como la ecuacin de Newton

avala todo este anlisis:

Si cortamos el cable del ascensor, este ltimo ya no sentir ms la fuerza de tensin del cable, con lo cual pasa a valer cero, y nos queda trivialmente:


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Problema 29

Se aplica una fuerza de que forma un ngulo hacia arriba de con la horizontal a un bloque de quese halla sobre una superficie horizontal. Cunto vale la fuerza de rozamiento si el bloque se desplaza con

velocidad constante de ?Resolucin

Tenemos un tpico problema de plantear diagrama de fuerzas, luego ecuaciones de Newton y luego hacer

despejes algebraicos hasta que damos con el valor de la incgnita buscada. Pero en este caso el diagrama previo

hay que hacerlo bien, para que las cuentas despus nos den como tengan que darnos. Es por eso que el dibujo

de este ejercicio viene con todo detalle. Veamos el esquema:

Con esta descomposicin debera ser simple ya lo que queda. Vamos a las ecuaciones de Newtoncorrespondientes:

Como el movimiento es solo en la segunda ecuacin va igualada a cero. Lo que nos piden es la fuerza derozamiento, con lo cual la despejamos en principio de la primera ecuacin:

Si volvemos a mirar el enunciado del problema, nos vamos a encontrar con una grata sorpresa: a lo ltimo,

vemos que dice que el objeto se mueve a velocidad constante, con lo cual desaparece la aceleracin de la

ecuacin del rozamiento, y se nos facilita el clculo en un , por no decir en un . Volvemos a plantearla ecuacin:

Problema 30


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Entonces, volvemos a la ecuacin de la componente del peso:

b) Nos preguntan ahora cunto tardar un cuerpo de masa en recorrer . La respuesta es simple: lo

que tendramos que hacer es ir a las ecuaciones horarias, pero en ninguna de estas aparece la masa del

bloque (que es lo nico que modificamos), con lo cual no debera modificarse el tiempo que tardara en

recorrer dicha distancia. Con lo cual decimos que el intervalo en cuestin es: Problema 31

La base de un plano inclinado mide y la altura . Desde la cspide del plano, parten simultneamente,desde el reposo, dos mviles, uno por el plano inclinado y el otro en cada libre. Despreciando los rozamientos:

a) Calcular el tiempo que cada uno tarda en llegar a la base del plano.

b)

Hallar la velocidad que tiene cada uno al llegar a la base del plano.

ResolucinEste es un problema de Cinemtica, donde tenemos que comparar el tiempo que tardan dos objetos en recorrer

determinadas distancias. Veamos el dibujo:

a)

Veamos el tiempo que tarda cada bloque en caer. Como ambos caen simultneamente, vamos a usar el

mismo sistema de referencia para analizar ambos movimientos:

Comencemos por el que cae libremente. Planteemos la ecuacin de la posicin para este tipo de

movimiento: El cronmetro lo iniciamos cuando comienzan las cadas, luego siempre

. En este caso,

tenemos , y como parten del reposo y la aceleracin es . Entonces, nos queda:


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Llamemos al instante en que llega al suelo. En dicho instante la altura a la que se encontrar ser cero.Despejamos entonces dicho instante evaluando la ecuacin en

:

Ahora vamos con la que recorre el plano. Vamos a plantear ahora dos ecuaciones, pues el movimiento de

este bloque es en y en :

Como antes, ya vamos colocando y tambin . La posicin inicial es e . Y por ltimo tenemos que por un lado y por otro. El vector aceleracin efectivamente en este caso apunta en la direccin paralela al plano, y la

describimos como estamos acostumbrados: . Y a este vector lo descomponemos en y en, como sigue:

Necesitamos encontrar el ngulo de inclinacin para poder completar las ecuaciones. Para ello vamos a

usar trigonometra, pues conocemos los valores de los catetos del tringulo. Entonces: Completamos:

Igualamos la ecuacin en a cero y despejamos el instante en que cae al suelo:

Con lo cual tarda ms en caer el cuerpo que circula por el plano inclinado, como era de esperar.

Verifiquemos que las cosas las hicimos bien evaluando la ecuacin en en este instante. Tendramos queobtener como respuesta

, que es la distancia que recorre en esta direccin:


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Efectivamente, la descripcin del movimiento fue la correcta.

b) Ahora nos preguntan por las velocidades de cada bloque al llegar al suelo.

Vamos a comenzar por el que cae libremente, como antes. Planteemos la ecuacin para la velocidad y

vamos a evaluarla en el instante de la cada, que ahora ya lo conocemos para ambos bloques. Veamos:

Evaluamos en :

Hacemos lo mismo ahora con la velocidad del otro bloque. Planteamos las ecuaciones para la velocidad en

funcin del tiempo:

Evaluamos ambas en el instante :

Damos el mdulo del vector velocidad final:

| | Problema 32

Un esquiador de se deja caer por una colina de de altura, partiendo con una velocidad inicial de . No se impulsa con los bastones y se puede despreciar el rozamiento con la nieve y con el aire.a) Cul es la energa mecnica inicial del esquiador? Cambia este valor a lo largo del recorrido? Justifique su

respuesta analizando las fuerzas que actan sobre el esquiador.

b) Con qu velocidad llega el esquiador al pie de la colina?

c) Qu debera hacer el esquiador para llegar al pie de la colina con una velocidad de ? Justifiquesu respuesta sobre la base de consideraciones dinmicas y energticas (d valores numricos).

d) Y si quisiera llegar con una velocidad de

?


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Problema 33

El empleado de una empresa de mudanzas desea transportar un mueble. Calcule el valor y el signo del trabajo

entregado por el hombre al mueble en las cuatro situaciones que siguen:

a)

Lo empuja con una fuerza de , paralela al piso, a lo largo de .b) Tira del mueble con una fuerza de

por medio de una soga que forma un ngulo de

con la

horizontal a lo largo de .c) El mueble se vena moviendo por un plano horizontal y el empleado lo detiene aplicndole una fuerza de , paralela al piso, a lo largo de .d) Camina horizontalmente, con velocidad constante, cargando el mueble sobre sus hombros.

Resolucin

Definimos en general al trabajo de una fuerza constante como sigue:

En dicha expresin es el desplazamiento que se genera debido a la aplicacin de la fuerza y es el nguloque forman dicha fuerza y el vector desplazamiento.a) Tenemos a un hombre empujando un mueble en forma paralela al piso. Entonces, el trabajo entregado por

el hombre es el siguiente:

b) Ahora tenemos una situacin en la cual se tira del mueble (avanzando) mediante una soga que forma un

ngulo no nulo con la horizontal. El desplazamiento es el mismo en mdulo que el anterior: c) Ahora el mueble contraataca y se le viene encima al pobre hombre que debe aplicarle una fuerza dada a lo

largo de una cierta distancia. Simplemente aplicamos la frmula anterior, teniendo en cuenta que en este

caso el desplazamiento del mueble y la fuerza tienen sentidos opuestos: d) Por ltimo nos dicen que el hombre lleva el mueble sostenindolo con sus brazos. En este caso le debe

aplicar una fuerza cuya direccin es completamente vertical. Y si se mueve hacia adelante, la direccin de la

fuerza va a ser perpendicular punto a punto con la direccin del desplazamiento. Entonces, tenemos:

Como vemos, no fue necesario dar los datos de la fuerza que aplica ni del desplazamiento. Si uno aplica una

fuerza perpendicular a la direccin de movimiento no va a entregar ningn trabajo.

Problema 34

Un caballo arrastra una carreta de , por un camino horizontal, a lo largo de . La lleva desde elreposo hasta una velocidad de

. La fuerza que hace el caballo, que es de

, forma un ngulo de

con la direccin de avance de la carreta.a) Qu variacin de energa cintica experimenta la carreta?


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b) Cunto vale el trabajo realizado por la fuerza que ejerce el caballo sobre la carreta?

c)

Cunto vale el trabajo de la fuerza de rozamiento carreta-piso?

Resolucin

Bueno, nos dan muchos datos, con lo cual parece fcil el problema. Pasemos a resolverlo.

a)

Nos piden primero la variacin de energa cintica de la carreta. Planteamos:

b)

Veamos el trabajo realizado por la fuerza que hace el caballo para llevar a la carreta:

Como siempre, es el desplazamiento de la carreta y es el ngulo que forman la fuerza y eldesplazamiento. En este caso, , el desplazamiento es y la fuerza es de . Entonces,solo nos queda evaluar:

c) Por ltimo nos preguntan por el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento que acta sobre las ruedas de

la carreta. No tenemos datos sobre la fuerza de rozamiento, ni tampoco estamos en un problema de

Dinmica, con lo cual no nos vamos a poner a hacer diagramas de fuerzas, ni nada parecido. Lo que vamos a

aplicar es un teorema conocido que dice lo siguiente: Las nicas fuerzas no conservativas que intervienen son el citado rozamiento, la normal de contacto que el

suelo aplica sobre la carreta, y la fuerza que aplica el caballo, y de la cual antes calculamos sutrabajo. Desglosemos un poco ms esta igualdad:

Problema 35


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idea es que el lector las piense y las discuta en clase, no es tema de examen ni mucho menos, por ello es

que desde aqu solo nos limitamos a dar esta idea noms.

Problema 36

Un levantador de pesas eleva desde el piso hasta una altura de

, una barra cuya masa total es de

.

Para efectuar este proceso emplea .a) Qu fuerzas actan sobre la barra?, cules de ellas hacen trabajo?b) Cunta energa gan la barra?, cunto trabajo le entreg el hombre?

c) Cul es la potencia media transferida por el hombre a la barra?

d) Calcule la energa que pierde el hombre sabiendo que para un proceso de esta naturaleza slo el deesta energa se aprovecha en realizar trabajo sobre la barra. A qu velocidad la pierde?

e) Si la energa se conserva, dnde est la energa que el hombre perdi y la barra no gan?

f)

Cules de las respuestas anteriores cambian si el hombre demora 20 segundos en levantar las pesas?

Resolucin

a)

Veamos las fuerzas que actan sobre la barra. Para ello, el siguiente dibujo:

Son solo estas dos, el peso de la barra y la fuerza que hace el hombre que la levanta primero y que la

sostiene despus. Ambas realizan trabajo, pues la direccin de estas fuerzas es paralelo a la del

desplazamiento de la barra.

b) Para saber cunta energa gan la barra tenemos que plantear la variacin de energa a los y alinstante inicial. Veamos:

Aqu y son las alturas final e inicial de la barra respectivamente, mientras que la masa es dato delproblema, y las velocidades final e inicial son nulas, debido a que el movimiento comienza desde el reposo,

y en el reposo finaliza. Calculemos entonces, cunto vale esta variacin de energa mecnica:

[ ] Esta es la energa ganada por la barra y naturalmente tambin es el trabajo que le entrega el pesista. Setrata de conceptos equivalentes.


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c)

Veamos cul es la potencia media transferida a la barra. La potencia es la variacin en el tiempo de la

energa, y el valor medio es el cociente entre sus variaciones en un intervalo determinado (en nuestro caso

los que dura el levantamiento). Veamos:

d) Nos estn diciendo que de los que calculamos ms arriba, que es la energa mecnica transferida

por el hombre a la barra, solamente un se destina a trabajo mecnico. Y nos estn pidiendo cul es el de esa energa perdida. El clculo es directo: En cuanto a la velocidad a la cual pierde esa energa, nos estn preguntando por la potencia desarrollada en

esos

. Simplemente tenemos que dividir la energa perdida por el intervalo de tiempo:

e)

La energa que perdi el hombre y que no fue destinada en trabajo mecnico para la barra por lo general se

disipa como energa trmica y en menor porcentaje en otro tipo de energas que no tienen que ver con la

mecnica, y que por consiguiente no van a ser tratadas en esta seccin.

f)

Nos dicen ahora que el hombre tarda el doble de tiempo en levantar la pesa, y nos preguntan cules de las

respuestas anteriores se modificara. Sabemos que el trabajo no va a variar porque se traslade a un objetoms o menos tiempo. Pero s lo hace la potencia, pues es el cociente, justamente, del trabajo por unidad de

tiempo. Entonces, podemos decir que se modificara la respuesta al inciso c), donde la potencia media se

reducira a la mitad (pues el intervalo de tiempo est dividiendo en la expresin); y tambin la parte del

inciso d) donde se habla de potencia, con el mismo cambio reducindose dicho resultado a la mitad.

Problema 37

El grfico representa la componente de la fuerza resultante en la direccin del

movimiento en funcin de la posicin, para un cuerpo de , queinicialmente se mueve a

.

a)

Calcule el trabajo de la fuerza resultante para el desplazamiento del primer

metro, del segundo metro y de los cinco primeros metros.

b) Determine en qu posicin el cuerpo tendr el valor mximo de la energa

cintica y en cual el valor mnimo.

c)

En cul o cules posiciones su velocidad es de ?Resolucin

a) El rea bajo una grfica de fuerza en funcin de posicin representa un producto entre fuerza y distancia,

con lo cual equivale al trabajo realizado por dicha fuerza. Con lo cual esto es lo que nos estn pidiendo ac

para varias distancias (es decir intervalos en el eje de abscisas). Veamos:


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En el ltimo vamos a usar la aditividad de las reas, dando esta como suma de reas fciles de obtener:

b) Nos preguntan en qu punto la energa cintica es mxima y en cul es mnima. Vamos a aprovechar el

resultado que dice: , es decir que es igual al trabajo de todas las fuerzas incidentes.Justamente en el grfico tenemos representada a esta fuerza neta (o por lo menos la componente en la

direccin del desplazamiento, que es la que hace trabajo). Por lo tanto, cuando este grfico se encuentra

por encima del eje de abscisas, el mismo es positivo y se agrega energa cintica. Por lo tanto, es mximo en

el momento en que deja de ser positivo. Es decir, la energa cintica es mxima en la posicin .El mismo argumento se puede emplear para obtener el punto donde la energa cintica es mnima. Cuando

la grfica cruza el eje, el trabajo se hace negativo y toda la energa cintica que haba acumulado hasta el

momento empieza a mermar, hasta que se hace mnima en el punto donde culmina el grfico, es decir en la

posicin . En la gua tambin son vivos y nos mencionan el punto inicial ( ), pues cuandoempez el movimiento obviamente que todo es mnimo. El trabajo comienza siendo nulo y termina

sindolo tambin.

c)

Por ltimo nos preguntan en qu punto o puntos la velocidad es de . Veamos cunto vale lavariacin de energa cintica (que es el trabajo de la fuerza neta) si la velocidad es esa que nos piden(recordemos que la velocidad inicial del movimiento es de ):

Entonces, tenemos que: en el punto en que la velocidad del cuerpo es de .Veamos en qu parte o partes del grfico puede llegar a darse este fenmeno. Vamos a fijar un yvamos a calcular el rea encerrada bajo el grfico de la fuerza en el intervalo

, y le pediremos que

dicho trabajo valga lo que debe valer que es : Despejamos el posible valor de : Encontramos un punto en esta regin donde la velocidad es la pedida. Ahora veamos si existe algn otro en

el resto de la grfica. Sea un tal que . Calculemos el trabajo realizado entre laposicin inicial y este

, y pidmosle que valga

. Despejaremos de all este otro punto, si es que

existe:


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Despejamos el : Problema 38

a) Calcule, por consideraciones energticas, la velocidad con la que deb

guia 1 introduccion a la biomecanica

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