guía completa numérico

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GUA DE EJERCICIOS

ANLISIS

NUMRICO I

75.12

Anlisis Numrico I Facultad de Ingeniera-UBA

Menndez-Cavaliere-Tarela Pg. 1/4 24/04/2009

75.12 ANLISIS NUMRICO IFACULTAD DE INGENIERA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

REGLAMENTO DEL CURSO

1 SOBRE LAS CLASES

1.1 Los lunes se dictarn las clases tericas en el horario de 19 a 22 hs.1.2 Las clases prcticas se dictarn en 3 turnos, de acuerdo con el siguiente detalle:

Curso Docente Horario03 Menndez Martes 19-22 hs04 Tarela Mircoles 19-22 hs05 Cavaliere Jueves 19-22 hs

1.3 Se adjunta al presente reglamento el Cronograma del curso.

2 SOBRE LA ASISTENCIA A CLASE

2.1 La asistencia a clase es obligatoria. Rige la Resolucin CD 977/99, que requiere un mnimo del 75% de la asistencia a clase para conservar la regularidad.

2.2 Las clases sern la va de comunicacin principal entre la Ctedra y los alumnos. Tambin se dispondr de informacin en la pgina web de la Facultad y, eventualmente, en cartelera, aunque en estos dos ltimos casos las mismas podran no estar totalmente actualizadas.

3 SOBRE LOS EXMENES

3.1 Deber rendirse un (1) examen parcial escrito, el cual podr recuperarse hasta dos (2) veces.3.2 Este examen, que abarcar aproximadamente la mitad de los temas, se tomar a mediados de

cuatrimestre. Durante la segunda mitad del cuatrimestre se tomar el primer recuperatorio, mientras que el segundo recuperatorio se tomar en la primera semana de terminado el perodo de clases.

3.3 No aprobar este examen, en alguna de las fechas fijadas, es descalificatorio.3.4 Al final del perodo de clases se tomar una evaluacin integradora, que incluir la totalidad de la

materia, tanto en temas tericos como prcticos. Para tener derecho a rendir esta instancia, el alumno deber tener aprobados el examen parcial y todos los trabajos prcticos de mquina.

3.5 La inscripcin a las evaluaciones integradoras se realiza por Internet, a travs de la pgina de la Facultad.

3.6 Habr cinco (5) fechas de evaluacin integradora dentro de las 7 semanas del perodo de evaluacin.3.7 La evaluacin integradora consta de una primera instancia escrita que, luego de ser aprobada,

habilita a una segunda instancia oral (pueden ser en distintos das) con la que se da por aprobada la materia.

3.8 Todos los exmenes podrn incluir temas de programacin y ejercicios relativos a los prcticos de mquina.

3.9 Todos los exmenes parciales e integradores pueden ser revisados por el alumno en conjunto con el docente pero quedarn en manos de la Facultad.

4 SOBRE LOS TRABAJOS PRCTICOS DE MQUINA

4.1 Debern ejecutarse dos (2) trabajos prcticos de mquina (TPs), cuyos temas se indicarn durante el cuatrimestre.

4.2 Los TPs sern calificados y tendrn un peso similar a los de los dems exmenes, aunque un rgimen de aprobacin diferente.

4.3 No aprobar alguno de estos TPs es descalificatorio.4.4 Los TPs debern ser devueltos por los alumnos en el lugar y fecha que determine cada turno,

momento a partir del cual quedarn en manos de la Facultad.4.5 En hoja aparte se detalla el reglamento de los TPs.



5 SOBRE LA CALIFICACIN

5.1 La calificacin final surgir de entre las notas obtenidas en el examen parcial, los TPs, la evaluacin integradora y una calificacin conceptual.



75.12 ANLISIS NUMRICO IFACULTAD DE INGENIERA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

REGLAMENTO DE LOS TRABAJOS PRCTICOS DE MQUINA (TPs)

1. Debern ejecutarse dos (2) trabajos prcticos de mquina (TPs), cuyos temas se indicarn durante el cuatrimestre.

2. Los TPs sern calificados y tienen un peso igual a los exmenes parciales, aunque un rgimen de aprobacin diferente.

3. No aprobar alguno de los TPs es descalificatorio.4. Cada TP tiene una fecha de entrega o vencimiento, que depende del turno de las clases prcticas

(ver cronograma). 5. La falta de entrega de los TPs en las correspondientes fechas de vencimiento es descalificatoria.6. Los TPs debern entregarse indefectiblemente en el turno donde el alumno est inscripto.7. Los TPs debern ejecutarse individualmente o en equipo de no ms de dos (2) alumnos.8. Si el alumno (equipo) cumple con la fecha de entrega y el trabajo presenta errores, se le dar una (1)

oportunidad para corregir las fallas: el TP corregido deber entregarse 1 semana despus.9. Si en la fecha de vencimiento el TP se encuentra incompleto, se lo considerar como no entregado.

10. Los alumnos que deseen trabajar en equipo deben hacerlo constar en la primera entrega (TP 1) aclarndose que luego no hay posibilidades de modificar la lista de integrantes de los equipos. En el supuesto en que uno de los miembros del equipo abandone el curso, el otro miembro deber proseguir solo.

11. Cuando dos alumnos trabajen en equipo, compartirn indefectiblemente las responsabilidades respecto de la calidad del trabajo y la presentacin en trmino.

12. Podrn utilizarse los siguientes lenguajes de mquina: Pascal, Delphi, Fortran, C/C++, Matlab y Basic (de entre los diversos dialectos de Basic se recomienda el Qbasic). La utilizacin de otros lenguajes se deber tratar a priori con el JTP.

13. Cada entrega deber acompaarse con el envo de un nico archivo en formato texto (.txt) del cdigo fuente. Si se realizaron varios programas y/o mdulos, debern juntarse en un solo archivo. (Formato texto significa que pueda leerse con el block de notas de Windows).

14. El envo deber hacerse a travs del formulario electrnico que la pgina de la materia dispone para tal fin (http://www.fi.uba.ar/materias/7512/subircodigo.html). Luego de la subida exitosa del cdigo, se le informar un nmero de recibo, el cual deber anotar para cualquier reclamo. No subir el cdigo en tiempo y forma se traduce en descalificacin del curso, ya que es parte de la entrega del TP.

15. La fecha lmite para subir el cdigo es la misma que para el resto del TP.16. El nombre del archivo debe ser de 4 caracteres y una extensin de 3 caracteres, de acuerdo con el

siguiente formato:

Formato de nombre del archivo: RTXX.txt

donde: R = B para Basic/QbasicR = P para PascalR = D para DelphiR = C para C/C++R = F para FortranR = M para MatlabR = consultar para otro lenguajeT = 3 para Turno MenndezT = 4 para Turno TarelaT = 5 para Turno CavaliereXX = nmero de orden del equipo

Ejemplo: el equipo 9 del turno Cavaliere que trabaj en Basic deber entregar o enviar el archivo B509.txt

17. Dentro del archivo debe figurar en la primera lnea: Apellido Padrn Turno y Fecha.



18. El no cumplimiento de alguno de estos puntos ser penalizado con la baja de puntos en la calificacin final del TP o directamente la descalificacin.

19. Los TPs mellizos (total o parcialmente) sern descalificados, razn por la cual los archivos entregados sern procesados con un software de evaluacin desarrollado por la Ctedra.

Objetivos de los TPs

La realizacin de un TP apunta a que el alumno logre identificar el problema, buscar tcnicas de resolucin del mismo, traducirlas en un cdigo de programacin confiable y utilizar ste ltimo para extraer resultados de inters. Los resultados deben ser analizados y presentados de forma tal que el lector del informe pueda obtener las conclusiones importantes en forma rpida y sencilla. En este sentido, resulta instructivo que el alumno haga un paralelo entre el informe de un TP y un informe de estilo profesional.

Organizacin de los TPs

Cada TP se entregar encarpetado. La primera hoja la constituir la planilla de presentacin de TP, que deber ser impresin de la

disponible en la pgina web de la Facultad y deber llenarse a mano con letra de imprenta. Cada TP tendr una planilla propia. No es necesario adjuntar el enunciado del TP en la presentacin. El informe de un TP se organizar de la siguiente manera:

1. Planilla de presentacin de TP (1 pgina)2. Introduccin, incluyendo objetivos y un resumen del trabajo (1 pgina mximo)3. Desarrollo del trabajo; cuando corresponda, figuras y tablas. En esta seccin se respetar el

orden y numeracin de los tems requeridos en el TP.4. Conclusiones5. Anexo I: salida de impresora del programa (cdigo fuente), el cual debe estar identificado con

el(los) nombre(s) del(los) autor(es) y nmero(s) de padrn como parte del cdigo.6. Anexo II: salidas de impresora con los resultados numricos tal cual sale por pantalla (sin editar

posteriormente) (Imprimir mximo 5 hojas). Cada corrida debe estar identificada con el(los) nombre(s) del(los) autor(es) y nmero(s) de padrn.

Anlisis Numrico I Facultad de Ingeniera - UBA

Menndez-Cavaliere-Tarela Pg. 1/5 v1.0

75.12 ANLISIS NUMRICO I

FACULTAD DE INGENIERAUNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

GUA DE PROBLEMAS

1. ERRORES

1. Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde x= 2,00, y = 3,00 y z = 4,00 (estos valores estn correctamente redondeados):

a) 3 x + y - z b) x y / z c) x sen (y / 40)

2. Calcular la siguiente expresin, incluyendo su cota de error absoluto:

w = x y / z

donde x = 2,0 0,1, y = 3,0 0,2 y z = 1,0 0.1. Indicar qu variable tiene mayor incidencia en el error en w.

3. Con cuntos decimales significativos hay que tomar a p y e en las siguientes expresiones para que el resultado tenga tres decimales significativos?:

a) 1,3134 p b) 0,3761 e c) p e

4. Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes:

i) f = (2 - 1)6ii) f = 1/(2 + 1)6iii) f = (3 - 2*2)3iv) f = 1/(3 + 2*2)3v) f = (99 - 70*2)vi) f = 1/(99 + 70*2)

a) Demostrar que, efectivamente, son algebraicamente equivalentes.b) Utilizando el valor aproximado 1,4 para la raz cuadrada de 2, indicar qu

alternativa proporciona el mejor resultado.

5. Se tiene la expresin y = ln [x - (x - 1)]

a) Calcular y para x = 30, incluyendo su error absoluto. Suponer que la raz cuadrada se conoce con 6 decimales correctos y que el error en x es despreciable



b) Obtener una expresin matemticamente equivalente a la anterior, pero mejor condicionada desde el punto de vista numrico, y recalcular el resultado con el nuevo error.

6. Se realizan observaciones de un satlite para determinar su velocidad. En la primera observacin la distancia al satlite es L = 30.000 10 km. Luego de 5 segundos (medido con 4 dgitos de precisin) la distancia radial ha aumentado en r = 125 0,5 km y el cambio en la orientacin ha sido =0,00750 0,00002 radianes. Calcular la velocidad del satlite, incluyendo su error, suponiendo que el mismo se mueve en lnea recta y a velocidad constante durante ese intervalo de tiempo.

7. Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral:

( ) ( )I a b e dxb x

a x, =-

+2

0

1

Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla:

a b I0,39 0,34 1,4250320,40 0,32 1,4088450,40 0,34 1,3984640,40 0,36 1,3881980,41 0,34 1,372950

Ahora bien, se midieron las cantidades fsicas z e y, obtenindose:

z = 0,400 0,003 y = 0,340 0,005

Estimar el error en I(z,y) y expresar el resultado final.

8. En una computadora, una celda de memoria tiene 2 posiciones binarias para almacenar los signos de la mantisa y del exponente, 11 posiciones decimales para la mantisa y 3 posiciones decimales para el exponente. Por ejemplo, el nmero p se almacena de la siguiente forma: +31415926536+001. Indicar cmo se almacenan los nmeros:

a) 2.7182818285 b) -1073741824 c) 0.577216 d) -123E-45

Indicar cul es la cota de error relativo que tiene un nmero almacenado segn esta representacin.

9. Determinar las cotas para los errores relativos de v y w (que son dos expresiones algebraicamente equivalentes) en los siguientes casos, utilizando la grfica de proceso:



a) v = a+a , w = 2a b) v = a+a+a , w = 3a

Suponer que a es positivo y que los nmeros 2 y 3 tienen una representacin exacta en la computadora. Comparar los resultados de las dos expresiones y extraer conclusiones. Calcular dichos errores para a = 0,6992 (correctamente redondeado), redondeando a 4 dgitos luego de cada operacin aritmtica.

10. Considerar las expresiones v = (a-b) / c y w = (a/c) - (b/c). Suponer que a, b y c son positivos, sin errores de entrada y que a es aproximadamente igual a b.

a) Demostrar que el error relativo por redondeo en w puede ser mucho mayor que el mismo error en v.

b) Calcular dichos errores para a = 0,41, b = 0,36 y c = 0,70, utilizando aritmtica de punto flotante con 2 dgitos de precisin.

11. Mostrar en los siguientes clculos que, trabajando en punto flotante con una precisin de 5 dgitos, no valen las leyes asociativa y distributiva. Usar redondeo simtrico.

0.98765 + 0.012424 - 0.0065432 , (4.2832 - 4.2821) * 5.7632

12. Evaluar el polinomio P(x) = x3 6 x + 3 x 0,149 en x = 4,71 utilizando aritmtica de punto flotante de 3 dgitos con redondeo truncado. Evaluarlo luego usando la expresin alternativa P(x) = ((x - 6) x + 3) x 0,149 (denominada Esquema de Horner). Comparar con el resultado exacto y sacar conclusiones. Repetir el ejercicio con redondeo simtrico.

13. Sumar los siguientes nmeros de menor a mayor y luego de mayor a menor utilizando aritmtica de punto flotante con 4 dgitos de precisin. Comparar con el resultado exacto y obtener conclusiones.

0.2897 0.4976 0.2488*10 0.7259*10 0.1638*100.6249*10 0.2162*103 0.5233*103 0.1403*104 0.5291*104

14. Calcular v - w usando aritmtica de punto flotante de 4 dgitos de precisin, con v = 43,21 y w = 43,11, utilizando los siguientes algoritmos:

a) (v * v) - (w * w) b) (v + w) * (v w)

Indicar cul algoritmo es ms conveniente y justificar.

15. Investigar la estabilidad numrica en el clculo de:

x = 1/(1+2*a) - (1-a)/(1+a), siendo |a|



La secuencia de operaciones es:

e1=a , e2=1+2*e1 , e3=1/e2 , e4=1-e1 , e5=1+e1, e6=e4/e5 , e7=e3-e6 , x=e7

Cambiar la secuencia de operaciones de modo que resulte un algoritmo ms estable que el anterior.

16. Indicar cul de los siguientes algoritmos es ms estable numricamente para calcular la menor raz de la ecuacin x - 2 x + a = 0 , con a positiva y mucho menor que 1.

a) e1=1-a e2=e1 x=e3=1-e2b) e1=1-a e2=e1 e3=1+e2 x=e4=a/e3

17. Se desea evaluar la derivada de la funcin f(x) en el punto x1, pero slo se dispone de valores de f sobre un conjunto discreto de puntos. Se utiliza la siguiente estimacin:

D = [f(x2) - f(x1)] / [x2 - x1]

a) Suponiendo que x2-x1 es pequeo, obtener una estimacin del error de truncamiento cometido. Para ello, desarrollar f(x2) en serie de Taylor alrededor de x1.

b) Suponiendo que los valores de f(x2) y f(x1) se redondean de tal forma que sus errores relativos son r2 y r1 , respectivamente, obtener una estimacin del error en D por el redondeo durante las operaciones. Para ello utilizar la grfica de proceso, sin considerar errores en x1 y x2.

c) Estimar el error en D debido a errores de entrada dx2 y dx1 en x2 y x1, respectivamente. Para ello utilizar la frmula general de propagacin de errores.

18. La frmula f0 = [4 (f-1 + f1) - (f-2 + f2)] / 6 permite interpolar el valor de la funcin f en x= 0 conociendo sus valores en x-2 = -2, x-1 = -1 , x1 = 1 y x2 = 2.

a) Estimar, mediante la grfica de proceso, los errores en f0 debido al redondeo de los valores de la tabla de f y al redondeo durante los clculos.

b) Suponiendo que la funcin f es par y que f1 y f2 son del mismo orden, y utilizando el resultado del punto a, obtener una condicin que garantice que el error debido al redondeo en los clculos sea despreciable.

19. Se desea evaluar z = cos (a2 - a1) , donde a1 = 1,345 0,0005 y a2 = 1,352 0,0005, ambos medidos en radianes. Los clculos se efectan con 7 dgitos de precisin. El valor del coseno se obtiene de una tabla con 5 decimales significativos. Se pide :

a) Calcular z y efectuar una estimacin de la cota de error mediante la grfica de proceso. Identificar la principal fuente de error.



b) Repetir el clculo anterior utilizando el algoritmo alternativo

z = cos a2 cos a1 + sen a2 sen a1

Explicar cul de los dos algoritmos es mejor y justificar.





GUA DE PROBLEMAS

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

A. Mtodos Directos

1. Resolver el sistema lineal bxA = utilizando eliminacin de Gauss sin pivoteo, donde:

=

25681161642781169414321

A

=

19044102

b

2. Calcular la inversa de la matriz A resolviendo el sistema IXA = , utilizando eliminacin de Gauss, siendo I la matriz identidad y X la matriz inversa de A. Qu es lo que se obtiene si se utiliza pivoteo?

A =

2 1 21 2 34 1 2

3. Dada la siguiente descomposicin LU de Doolittle de la matriz A efectuada utilizando pivoteo parcial

-=

15/12/1012/1001

L

=

5/40012/50014

U

=

132

p

a) resolver el sistema de ecuaciones Ax = b siendo

{ }Tb 721 -=



b) obtener la matriz A y verificar la solucin obtenida en a)

4. Resolver el siguiente sistema:

3241 16010200 1540

163211740

. .

=

xy

a) Utilizar el mtodo de eliminacin de Gauss sin pivoteo y aritmtica de punto flotante con t=4 y redondeo simtrico.

b) Idem a) pero con pivoteo parcial.c) Idem (a), sin pivoteo y con refinamiento de la solucin.d) Obtener conclusiones.

5. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

=

00.1900.45

890.511.1331.1469.31

yx

a) Obtener la solucin mediante eliminacin de Gauss utilizando cuatro dgitos significativos y redondeo truncado

b) Estimar el nmero de digitos significativos de la solucin obtenida previamente (Utilizar doble precisin al calcular el residuo)

c) Efectuar el refinamiento iterativo de la solucin.d) Repetir el punto c) sin utilizar doble precisin al evaluar el residuoe) Obtener la solucin del problema utilizando toda la precisin de una

calculadora. Comparar las soluciones obtenidas y extraer conclusiones

6. Considerar la matriz A definida segn:

11

, -+=

jia ji

1 4 i j,

Considerar el sistema A X B = donde:

{ }b T= 058333 0 21667 011666 0 07381. . . .

Resolver el sistema utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial, operando con 5 decimales. Investigar las caractersticas de la matriz y obtener conclusiones.



7. Dada la matriz A del problema anterior y:

{ }b T= 2 66666 150000 106666 083334. . . .

resolver Ax=b aplicando la descomposicin LU de A, con 5 decimales. Obtener conclusiones.

8. Resolver el siguiente sistema:

2 15 0 924 129412 2 29 0 294

101 0872 325

122356

0 972

1

2

3

. . .. . .

. . .

..

.

- --

-

= --

xxx

Utilizar eliminacin de Gauss con pivoteo parcial. Hallar la descomposicin LU de la matriz de coeficientes y utilizarla para hallar una estimacin del error de redondeo, refinando la solucin. Utilizar aritmtica de punto flotante con 3 dgitos.

9. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

a x a y ba x a y b

11 12 1

21 22 2

+ = + =

a) Hallar la solucin por la regla de Cramer y por eliminacin de Gauss, con aritmtica de punto flotante y 3 dgitos de precisin.

b) Estimar el error de redondeo en los resultados anteriores utilizando la grfica de proceso. No considerar los errores de entrada en los coeficientes de las ecuaciones.

c) Indicar cul de los dos mtodos es ms estable y por qu.

Datos:aa

11

21

1580524

==

..

aa

12

22

2 31342

= -=

..

bb

1

2

335137

== -

..

10.Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

0721 0 352 1620836 0 410 189. . .. . .

- = - =x yx y



a) Resolverlo utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial. Hallar la descomposicin LU de la matriz de coeficientes. Trabajar con una precisin de 3 dgitos.

b) Hallar dos refinamientos de la solucin obtenida en el punto a) utilizando la descomposicin LU.

11.Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

2 50 014 0 00 25 140 0 72 00 0 44 320 0 21

0 85 0 011 180

340110

1602 20

1

2

3

4

. .. . .

. . .. . .

..

..

--

=-

-

xxxx

Los coeficientes estn correctamente redondeados. Para resolverlo se propone el siguiente mtodo mixto directo/iterativo:

Se da a x1 el valor de arranque x1=0 Con ese valor de x1 se pasa el primer trmino de la ltima ecuacin al

miembro derecho, resultando un sistema tridiagonal. Se resuelve el sistema por medio del algoritmo tridiagonal. Con el nuevo valor hallado para x1 se corrige el trmino independiente de la

cuarta ecuacin y se vuelve a resolver el sistema tridiagonal, utilizando la descomposicin LU del punto anterior.

Se repite el procedimiento descripto en el punto anterior hasta obtener la convergencia.

a) Resolver el sistema en la forma propuesta, utilizando aritmtica de punto flotante con 3 dgitos de precisin, de modo de mantener pequeo el error de redondeo.

b) Estimar los errores en los resultados debido a los errores de entrada en los coeficientes del sistema. Para ello estimar el nmero de condicin de la matriz de coeficientes. Hallarlo efectuando un refinamiento de la solucin obtenida en el primer paso del procedimiento de resolucin.

12.Sea la siguiente matriz:

A =-

--

2 510 0142 0 7541210 3440 0 231

2 510 0142 0 754

. . .. . .

. . .

a) Hallar la descomposicin LU utilizando pivoteo total y aritmtica de punto flotante con 3 dgitos de precisin.



b) Utilizando la descomposicin LU obtenida en el punto anterior, calcular la solucin de un sistema de ecuaciones lineales cuyo vector de trminos independientes es:

{ }b T= -3760 2120 2 120. . .

13.Sea el sistema de ecuaciones lineales:

0 001325 5843 58443128 2 745 0 3831

1 2

1 2

. . .

. . . - =

- =x x

x x

a) Obtener las soluciones numricas utilizando eliminacin de Gauss sin y con pivoteo parcial.

b) Hallar estimaciones de los errores de redondeo en los resultados obtenidos en a). No considerar errores en los coeficientes ni en los trminos independientes. Obtener conclusiones.


0 003152 15280 009413 45 60

14 9844 75

1

2

. .. .

..

--

=-

xx

a) Obtenerla solucin numrica utilizando dos algoritmos: eliminacin de Gauss con pivoteo parcial y eliminacin de Gauss con pivoteo total.

b) Estimar el nmero de condicin de la matriz de coeficientes.c) En base a los resultados obtenidos en los puntos a) y b), indicar cuales de las

siguientes afirmaciones son correctas y por qu:

El primer algoritmo est mal condicionado. El segundo algoritmo est mal condicionado. El problema est mal condicionado.


138 0 2350 742 0125

1660 891

1

2

. .. .

..

--

=

xx

a) Hallar la solucin mediante eliminacin de Gauss, obteniendo la descomposicin LU de la matriz de coeficientes.

b) Analizar la propagacin de errores mediante la grfica de proceso. Descomponer el proceso total en los siguientes subprocesos: obtencin del



multiplicador, eliminacin y sustitucin inversa. Obtener estimaciones de los errores finales en los resultados.

c) Obtener otra estimacin de los errores, realizando un refinamiento de la solucin. Estimar el nmero de condicin de la matriz.

d) Extraer conclusiones sobre los resultados obtenidos en b) y c).

16.Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax=b , donde:

A =-

- -- -

3142 2 458 0 75421154 5258 0 4385

2 374 7 518 3 246

. . .. . .

. . .

-=

886.2879.6

177.7b

a) Obtener la solucin utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial. Hallar la descomposicin LU de la matriz de coeficientes. Trabajar con 4 dgitos de precisin.

b) Hallar el factor de amplificacin FB de los errores de entrada en b mediante perturbaciones experimentales. Tomar:

{ }Tb 1.01.01.0=d

utilizar la descomposicin LU y el estimador

Fdx xdb bB

=

c) Efectuar un refinamiento utilizando la descomposicin LU y, en base a los resultados, estimar el nmero de condicin de la matriz KA.

d) Comparar log (FB) y log (KA) y obtener conclusiones.e) Estimar el orden de magnitud de la perturbacin que se producira en x si la

matriz A se perturbara en un 5%.

17.Programar en pseudolenguaje un algoritmo que resuelva sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminacin de Gauss con pivoteo total teniendo en cuenta que se dispone de las siguientes subrutinas:

a) BUSCA(n,A,apf,apc,i,s,r): Dado el ndice i, que indica la posicin de pivoteo (i,i), devuelve los ndices s y r de fila y columna en donde se encontr el pivote. A es la matriz de coeficientes, n la dimensin, apf y apc son los apuntadores de fila y columna.

b) CAMBIO(apf,apc,i,s,r): Dado el ndice i, que indica la posicin de pivoteo, y los ndices s y r, que indican la posicin del pivote, efecta la actualizacin de los vectores apuntadores de fila y columna.



c) ELIMINA(A,b,apf,apc,i,j,m): Dado el ndice i de la fila de pivoteo, el ndice j de la fila de eliminacin y el multiplicador m, efecta la eliminacin sobre los elementos de A y del vector de trminos independientes b; apf y apc son los apuntadores de fila y columna.

18.Programar en seudolenguaje las subrutinas del problema anterior.

19.Repetir los problemas 17 y 18 para el caso de pivoteo parcial

20. Describir como se simplifica el algoritmo del mtodo de eliminacin de Gauss para el caso particular en que la matriz de coeficientes es simtrica definida positiva.

21.Programar en seudolenguaje un algoritmo para realizar el refinamiento iterativo de soluciones de sistemas lineales obtenidas por eliminacin de Gauss. El programa se debe estructurar de modo de contar con las siguientes subrutinas:

a) GAUSS(n,A,b,L,U,x): Dada la dimensin n del sistema, la matriz de coeficientes A y el vector de trminos independientes b, devuelve el vector solucin x y las matrices L y U.

b) RESIDUO(n,A,b,x,r): Dado el vector solucin x, devuelve el vector residuo r.c) SUSTDIR(L,r,y): Dada la matriz triangular inferior L y el vector de trminos

independientes r, devuelve el vector solucin y.d) SUSTINV(U,r,y): Dada la matriz triangular superior U y el vector de trminos

independientes r, devuelve el vector solucin y.e) NORMA(x,m): Dado el vector x, devuelve su norma m.

22.Programar en seudolenguaje las subrutinas del problema anterior.

B. Mtodos Iterativos

23.Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde la matriz A no singular

=

2

1

2

1

2221

1211

bb

xx

aaaa

a) Establecer cuando el mtodo de Jacobi diverge.



b) Demostrar que si el mtodo de Jacobi converge el mtodo de Gauss Seidel lo hace ms rpido.


=

-85.10

370.1008406.0462.5

387.201235.0

2

1

xx

a) Resolverlo por el mtodo de Jacobi. Efectuar las modificaciones necesarias para garantizar la convergencia. Trabajar con 5 dgitos de precisin.

b) Explicar la convergencia o no de los algoritmos del punto a) en trminos de la norma de la matriz de iteracin.

c) Si el sistema se expresa simblicamente como Ax=b, escribir en seudolenguaje un algoritmo que evale e informe la matriz de iteracion a partir de A y b.

25.Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de Gauss-Seidel, iterando hasta que la mxima diferencia entre dos valores sucesivos de x, y z sea menor que 0.02. Indicar si esto ltimo significa que la solucin obtenida est en un intervalo de radio 0.02 alrededor de la solucin exacta.

10 x + 2 y + 6 z = 28x + 10 y + 4 z = 7

2 x 7 y 10 z = -17

26.Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de Gauss-Seidel:

a + d = 2a + 4 b d = 4a + c = 2

c + d = 2

27.Considerar el sistema poco denso de ecuaciones:

2 a b = 1- a + 2 b c = 1

- b + 2 c d = 1 - c + 2 d = 1



Mostrar que el sistema permanece poco denso cuando se lleva a la forma triangular utilizando el mtodo de eliminacin de Gauss. Hallar la solucin por Gauss y luego por Gauss-Seidel.

28.Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

3.210 x1 + 0.943 x2 + 1.020 x3 = 2.3000.745 x1 - 1.290 x3 = 0.7400.875 x1 2.540 x2 + 0.247 x3 = 3.390

a) Efectuar las modificaciones necesarias para poder garantizar la convergencia utilizando el mtodo de Gauss-Seidel.

b) Resolverlo iterando hasta alcanzar una precisin de 3 dgitos significativos, sin exceder un mximo de 5 iteraciones. Trabajar con una precisin que garantice un error de redondeo despreciable.

c) Establecer la cantidad de dgitos significativos efectivamente obtenidos en el punto a), para cada una de las 3 componentes del vector solucin. Indicar si se verifica el criterio para acotar el error de truncamiento por medio de la norma de la diferencia entre dos vectores solucin consecutivos.

d) Determinar cmo influye un error absoluto de 0.01 en el primer coeficiente de la primera ecuacin sobre los valores calculados de x1, x2 y x3.

29.Construir un algoritmo para hallar experimentalmente el valor ptimo del factor de sobre-relajacin para un dado sistema de ecuaciones lineales. Programarlo en seudolenguaje. La precisin requerida para dicho factor es de 2 dgitos.

30.Dado el sistema Ax = b, construir un algoritmo que halle el vector solucin x mediante el mtodo de Gauss-Seidel.





GUA DE PROBLEMAS

3a. ECUACIONES NO LINEALES

1- Las siguientes ecuaciones tienen una raz en el intervalo (0, 1.6).

Determinarlas con un error menor que 0.02 por el mtodo de biseccin.

a) ( ) ( )x x x =cos ln b) 2 0 - =-x e x c) e xx- = -2 1

2- Programar el mtodo de biseccin.

3- Sea )xsen(4

x)x(F2

-= . Se desea encontrar la primer raz positiva de F(x).

a) Hallar un intervalo de partida para utilizar el mtodo de biseccin.b) Estimar el nmero de aproximaciones necesarias para hallar la raz con una tolerancia para

el error absoluto de 0.02. Calcular la raz.c) Si la tolerancia de 0.02 es sobre el error relativo, cuntas aproximaciones se requieren ?d) Sabiendo que la raz buscada a 5 decimales correctos es a=1.93375 obtener conclusiones

sobre la performance del mtodo.e) Estimar el orden de convergencia en forma experimental.

4- Utilizar el mtodo de Regula-Falsi para hallar la raz del ejercicio 3. Realice varias aproximaciones, con el objeto de poder estimar experimentalmente el orden de convergencia del mtodo. Compare sus resultados con los del ej. 3.

5- El mtodo de Regula-Falsi para obtener la raz de una ecuacin es anlogo al mtodo de la secante, salvo que, en todo momento, se trabaja con los 2 ltimos valores entre los cuales est comprendida la raz. Programarlo.

6- La funcin x21)xsen()x(F -= tiene 2 ceros en I=[0,2]. Uno es x=0; se desea hallar el

otro. Para ello se utilizar un mtodo de punto fijo basado en la funcin de iteracin )x(Fx)x(g -= . Las figuras muestran g y g en I.

a) Hallar, mediante justificacin terica, un intervalo que contenga al cero buscado como nico cero de F(x). Mostrar que en dicho intervalo el mtodo propuesto converge.

b) Hallar el cero con una tolerancia del 1% para el error relativo entre 2 pasos consecutivos.c) Hallar el orden de convergencia del mtodo y la constante asinttica del error



7- Se desea hallar la primer raz positiva de la ecuacin x=cos(x) con el mtodo de Newton-Raphson.a) Plantee el mtodo para el problema de punto fijo planteado.b) Estudie las propiedades de convergencia del mtodo propuesto. Encuentre explcitamente

un intervalo de convergencia.c) Encuentre el cero buscado con una tolerancia para el error relativo del 10-10.d) Estime en forma experimental el orden de convergencia del mtodo.

8- Estudiar la convergencia del mtodo de Newton-Raphson aplicado a la ecuacin x 2 1 0- = . Elegir x0=2 como valor inicial y calcular aproximaciones de la raz con precisin sucesivamente creciente.

9- La raz real r de la ecuacin x x3 4= + puede ser escrita en la forma:

r = +

+ -

2

19

321 219

32112

13 1

2

13

a) Calcular r con 4 decimales significativos, utilizando la expresin.b) Recalcular r con la misma precisin por el mtodo de Newton con x0=2.c) Comparar los resultados anteriores y obtener conclusiones.

10- Determinar la raz no nula de la ecuacin x e x= - - 1 2 , con el mtodo de Newton-Raphson con 4 decimales significativos.

11- Determinar una raz de la ecuacin ( )x x - =ln 1 0 , con el mtodo de Newton-Raphson con 5 decimales significativos.

12- Aplicar el mtodo de Newton-Raphson para determinar una raz compleja de la ecuacin x 2 1 0+ = ; comenzar las iteraciones con x0=1+i.

13- Obtener una frmula iterativa de Newton-Raphson para hallar la raz cbica de un nmero positivo c.

14- Obtener una frmula iterativa de Newton-Raphson para hallar el arcsen(a) , siendo dato el valor de a. Determinar arcsen(0.5) con 3 dgitos significativos.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x

g g



15- Sea la ecuacin ( ) 020x24x9xxF 23 =-+-= .a) Aplicar el mtodo de Newton-Raphson con x0=1.5. Detener el proceso cuando se obtengan

2 decimales significativos.b) Aplicar el mtodo de Newton-Raphson para el caso de races mltiples y las mismas

condiciones del punto a).

16- Hallar la raz de la funcin ( ) ( )2x1ln5.1xF +-= , utilizando el mtodo de Newton-Raphson. Utilizar aritmtica de punto flotante con 5 dgitos de precisin para las operaciones y redondear el logaritmo a 4 dgitos significativos. Estimar el error de redondeo, determinando cul es la fuente que ms contribuye a este error. Tener en cuenta que este error proviene bsicamente de la evaluacin de f(x).

17- Hallar todos los ceros del polinomio ( )p x x x= - +3 29 12 , con una precisin igual a 4 dgitos, utilizando el mtodo de Newton-Raphson. Verificar que todos los dgitos obtenidos son significativos, en el sentido de que el error de truncamiento solo puede afectar ms all del cuarto dgito.

18- Mostrar que la aplicacin del mtodo de Newton-Raphson para hallar la raz de la funcin ( ) 1xexF x --= produce convergencia lineal. Partir x0=1. Indicar cul es el comportamiento

esperado a priori, a qu se puede deber el comportamiento observado y cmo lo corregira.

19- Suponer que se quiere evaluar el logaritmo natural de un nmero a, pero la mquina de que se dispone no lo provee, aunque s tiene implementada la funcin exponencial. Proponer un mtodo para calcular ln(a) y evaluarlo utilizando aritmtica de punto flotante con 4 dgitos de precisin, para a=1.2.

20- Hallar la raz negativa de la funcin ( ) 2xxxF 2 --= , utilizando el mtodo de Newton-Raphson y aritmtica de punto flotante con 4 dgitos de precisin. Estimar el error de redondeo que se comete en cada iteracin. Expresar la solucin final junto con su error.

21-Se desea hallar la raz de la funcin ( ) ( )xsinxF = que se encuentra en el intervalo 3 33<



23- Se desea hallar la raz de la funcin:( ) 804.16x564.14xxF 4 +-=

a) Utilizar el mtodo de Newton Raphson, con 6 dgitos de precisin. Obtener convergencia a 3 dgitos. Tomar x0=1.4 .

b) Mostrar que la velocidad de convergencia no es cuadrtica. Determinar dicho orden y dar una explicacin sobre la causa de la prdida de velocidad de convergencia.

c) Mostrar que los clculos con la frmula iterativa :( )( )k

kk1k

x'FxFqxx -=+

tomando q=1.9, convergen ms rpidamente.d) Dar una interpretacin al parmetro q.

24- Dada la profundidad h y el perodo T de una ola, su longitud de onda l surge de la relacin de dispersin ( )w g k k h2 = tanh , donde ( )w T= 2 p es la pulsacin, g es la aceleracin de la gravedad y ( )k l= 2 p es el nmero de onda. Conociendo g m s= 9 8 2. y h m= 4 , se desea calcular cul es la longitud de onda correspondiente a una ola con T seg= 5 .a) Utilizar un mtodo de punto fijo para calcular la solucin con 1 dgito de precisin,

partiendo de k=1.b) Utilizar el mtodo de Newton Raphson para calcular la solucin con 4 dgitos de precisin.

Partir del resultado obtenido en a).c) Escribir en pseudolenguaje un algoritmo que efecte los clculos desarrollados en a) y b).

25- El mtodo de la secante para resolver el problema de punto fijo F(x)=0 consiste en utilizar la aproximacin

1

1 )()()('-

-

--

nn

nnn xx

xFxFxF

en la frmula correspondiente del mtodo de Newton-Raphson. a) Aplique el mtodo de la secante para hallar la raz no nula de

)sen(4

)(2

xxxF -=

con una tolerancia del 0.1%.b) Encuentre experimentalmente el orden de convergencia del mtodo y comprelo con el de Newton-Raphson.

26-Determinar las races de las siguientes ecuaciones con el mtodo de la secante con 5 decimales significativos:

a) 2 = -x e x b) ( ) ( )tan cosx h x+ = 0

27- Programar en pseudolenguaje un algoritmo para hallar una raz de una funcin. Comenzar con el mtodo de biseccin hasta alcanzar cierta tolerancia y luego continuar automticamente con el mtodo de la secante, hasta la precisin requerida.


Menndez-Cavaliere -Tarela Pg. 1/2 v1.0



GUA DE PROBLEMAS

3b. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1- Sea el sistema de ecuaciones no lineal

( )( )

f x y x y

g x y x y

,

,

= + - =

= - =

2 2 4 0

1 0

Resolverlo por el mtodo de Newton-Raphson con x0=2 y y0=0.

2- Resolver el siguiente sistema:

05440.0040.5

953.4021.12

-=

-=

yxy

x

utilizando el mtodo de Newton-Raphson, hasta obtener una precisin de 4 dgitos. Partir de la siguiente estimacin : con x=0.3, y=-0.03.

3- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el mtodo de Newton-Raphson:

( )311 1 8 730 749 121 2 08. .. . .

- = -

+ = -

x yx y

Trabajar con una precisin de 3 dgitos. Iterar hasta obtener 3 dgitos significativos. Tomar x0=1, y0=-2.

4- Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

x xx x

1 22

1 2

1120183

=+ = -

..

a) Hallar la solucin utilizando el mtodo de Newton-Raphson. Partir de los valores de x1=1, x2=-3, y utilizar aritmtica de punto flotante con 3 dgitos de precisin.

b) Volver a hallar la solucin con la misma precisin, pero esta vez por el mtodo de Gauss-Seidel no lineal, partiendo de los mismos valores que en el punto a).

a) Justificar el comportamiento oscilatorio observado en el punto anterior en trminos del error de redondeo.



5- Se desea implementar un algoritmo para resolver sistemas no lineales expresados como ( ) 0,...,, 21 =ni xxxf , ( )ni 1 .

Se dispone de las siguientes subrutinas:

a) Gauss(n,A,b,x): Dada la matriz A de coeficientes, la dimensin y el vector b, devuelve el vector solucin x.

b) Finita(G,e,G'): Dada una funcin G y un valor e de su argumento provee una estimacin G' de la derivada de la funcin en e.

6- Sea el sistema no lineal:

0258.1677.3

188.4

21

321

321

=+=++

=

xxxxx

xxx

a) Resolverlo por el mtodo de Newton-Raphson, partiendo de:

( ) [ ]3110 -=x

con 3 iteraciones.

b) Idem punto a), sin actualizar la matriz de coeficientes.c) Mostrar que el orden de convergencia es de aproximadamente 0.5.

7- Se desea resolver el siguiente SENL

03

31020

006.1)()1.0(81

021)cos(3

3

32

221

321

21 =-p

++

=+++-

=--

- xe

xsenxx

xxx

xx

con una precisin de 10-6 para +

e 1k , donde ek+1 es el error absoluto entre dositeraciones consecutivas.

a) Utilizar un mtodo de punto fijo.b) Acelerar la convergencia de a) usando el criterio de Gauss-Seidel.c) Utilizar el mtodo de Newton.





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4. APROXIMACIN DE FUNCIONES: AJUSTE

1- Determinar las lneas rectas que aproximen la curva y ex= , segn los siguientes mtodos y comparar los resultados obtenidos:a) Cuadrados mnimos sobre la malla ( )15.005.01 -- .b) Tomando la lnea tangente a y ex= en el punto medio del intervalo ( )0 1 , es decir,

aproximacin de Taylor en el punto medio del intervalo ( )- 1 1 .Calcular los errores en x=1. Utilizar 3 decimales.

2- El nivel de agua en el Mar del Norte est determinado principalmente por la marea llamada M2, cuyo perodo es de aproximadamente 12 horas. Se han realizado las siguientes mediciones:

t(horas) 0 2 4 6 8 10H(t)(m) 1.0 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8

a) Ajustar la serie de mediciones usando el mtodo de los cuadrados mnimos y la funcin

( )

p+=

12t2sinahtH 10

*1

b) Calcular errores que permitan estimar la precisin de la aproximacin realizada en a)c) Utilizar ahora la funcin

( )

p+

p+=

12t2cosa

12t2sinahtH 210

*2

d) Repetir b) para la nueva funcin aproximante. Comparar. Obtener conclusiones.

3- Se tiene la siguiente tabla de datos :

x 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24y 3.8 3.7 4.0 3.9 4.3 4.2 4.2 4.4 4.5 4.5

a) Encontrar una funcin lineal que aproxime estos datos por cuadrados mnimos. Utilizar esta curva para suavizar los datos.

b) Repetir el punto anterior con una funcin cuadrtica.c) Comparar los resultados.



4- Obtener una frmula del tipo ( )P x a em x= a partir de los datos que siguen:

x 1 2 3 4y 7 11 17 27

5- Dada la siguiente coleccin de datos, elegir la curva de aproximacin y analizar los errores respecto de los valores dados.

x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46

6- Construir las aproximaciones indicadas, calcular los errores y obtener conclusiones.

a) Aproximacin polinmica de grado 1.b) Aproximacin polinmica de grado 2.c) Aproximacin polinmica de grado 3.d) d) Aproximacin de la forma b ea x .e) Aproximacin de la forma b x a .

1) x y 2) x y4.0 102.56 0.2 0.0504464.2 113.18 0.3 0.0984264.5 130.11 0.6 0.3327704.7 142.05 0.9 0.7266005.1 167.53 1.1 1.0972005.5 195.14 1.3 1.5697005.9 224.87 1.4 1.8487006.3 256.73 1.6 2.5015006.8 299.507.1 326.72

7- Para 5 instantes de tiempo se observaron los siguientes valores de un parmetro fsico

t -2 -1 0 1 2u u-2 u-1 u0 u1 u2

Mostrar que, si los datos se ajustan con una parbola )t(y , la aproximacin en t=0 es:

{ }21012 31217123351)0( uuuuu -+++-= --y

8- Hallar el polinomio aproximante de segundo grado para la funcin ( ) ( )f x x= sin p en el intervalo [ ]0 1 . Graficar la funcin y su aproximacin. Analizar los errores.

9- Encontrar la aproximacin polinmica de grado 1 y 2 de ( )f x en el intervalo indicado.

a) ( )f x x x= - +2 2 3 [ ]0 1 d) ( )f x x= -3 1 [ ]0 2b) ( )f x x= 1 [ ]1 3 e) ( )f x ex= [ ]0 1c) ( ) ( )f x x= cos p [ ]0 1 f) ( ) ( )f x x= ln [ ]1 2





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5. APROXIMACIN DE FUNCIONES: INTERPOLACIN

1- Calcular f(3) utilizando la frmula de Newton, dada la siguiente tabla:

x 1 2 4 5f(x) 0 2 12 21

a) Tomar los puntos 1, 2 y 4 y luego los puntos 2, 4 y 5.

b) Calcular f(3) por interpolacin cbica.

c) Comparar los resultados de (a) y (b). Obtener conclusiones.

2- Calcular f(0) utilizando la frmula de Newton, dada la siguiente tabla:

x 0.1 0.2 0.4 0.8f(x) 64987 62055 56074 43609

Notar que la frmula de interpolacin se utiliza para extrapolar.

Analizar si la extrapolacin es admisible.

3- Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la frmula de Newton:

x 4 6 8 10y 1 3 8 20

4- Encontrar el polinomio de grado 4 que pasa por los siguientes puntos utilizando la frmula de Newton:

x 1 2 3 4 5y 1 -1 1 -1 1

5- Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la frmula de Lagrange:

x 0 1 2 4y 1 1 2 5

6- Hallar los valores de (1.01)1/2 y (1.28)1/2, a partir de la siguiente tabla, por interpolacin de Newton con 3 dgitos significativos:



x 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30(x)1/2 1.00000 1.02470 1.04881 1.07238 1.09544 1.11803 1 14017

7- Encontrar un algoritmo para evaluar los coeficientes del polinomio de Newton minimizando las operaciones.

8- Calcular el sen(0.390736) conociendo la siguiente tabla:

x sen(x)0.390 0.3801884150.391 0.3811131340.392 0.3820374720.393 0.382961427

Utilizar la frmula de Gregory-Newton para obtener un polinomio interpolante de grado 2.

9- Hallar un polinomio Q de grado 3 tal que Q(0)=0, Q'(0)=1, Q(1)=3 y Q'(1)=6.

10- Se conocen los siguientes datos acerca de la funcin f(x):

f(0)=1, f(1)=2, f(2)=5, f'(0)=0 y f'(2)=4

a) Hallar el polinomio interpolante que verifica esa tabla mediante el mtodo de Hermite.

b) Hallar la funcin spline de orden 2 que verifica esas condiciones.

11- Dada la siguiente tabla:

x 0 1 3f(x) -1.201 0.8204 2.253

a) Construir el polinomio interpolante Pn(x) que surge de la frmula de Newton. Luego reescribirlo de la forma Pt(x)= ai xi . Redondear los coeficientes a 4 dgitos.

b) Estudiar el error por redondeo durante las operaciones que se comete al evaluar Pn(2) y Pt(2).

12- Aproximar los datos con un polinomio de grado 2, por cuadrados mnimos y graficar la solucin.

x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00y 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

Calcular los errores para cada dato de la tabla. Calcular el error mnimo que puede ser obtenido con un polinomio cuadrtico.

Calcular el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2, en los nodos 0, 0.5 y 1. Graficar la solucin y calcular los errores para cada dato de la tabla.

Comparar los resultados obtenidos y determinar cul solucin aproxima mejor a la curva en [0,1].

Comparar los resultados obtenidos con la funcin f(x) = ex en los puntos 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 ; calcular los erroresy obtener conclusiones.



13- Hallar el polinomio interpolante de grado 2 para f(x)= 1/x , por medio de la frmula de Lagrange, utilizando los nodos x0 = 2 , x1 = 2.5 y x2 = 4 .Graficar la curva y su aproximacin. Analizar los errores para x = 0.5 y x = 1/3.

14- Cada 10 aos se realiza un censo de poblacin en los Estados Unidos.La siguiente tabla presenta los resultados entre 1930 y 1980.

Ao: 1930 1940 1950 1960 1970 1980Poblacin en miles:

123203 131669 150697 179323 203212 226505

a) Hallar el polinomio de Lagrange de grado 5 que aproxime estos datos.

b) Hallar el polinomio de Newton de grado 5 .

c) Utilizar las aproximaciones anteriores para estimar la poblacin en 1920, 1965 y 2000. Comparar los resultados.

d) La poblacin en 1920 fue de 105.711 millones de habitantes. En base a este dato, indicar qu tan exactos cree usted que son sus resultados de 1965 y 2000.

15- Hallar el polimonio interpolante de Hermite de grado 5 y estimar el valor para x = 0.34 de la funcin f(x) = sen x .

x 0.30 0.32 0.35sen x 0.29552 0.31457 0.34290

Determinar una cota de error para la aproximacin anterior y comparar con el error real.

Agregar sen(0.33) = 0.32404 a los datos y rehacer los clculos.

En ambos casos completar la tabla con los valores de la derivada.

16- Un coche que viaja en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Los datos obtenidos se dan en la siguiente tabla.

Utilice un polinomio de Hermite para predecir la posicin del coche y su velocidad cuando t = 10 segundos.

Tiempo (seg) 0.00 3.00 5.00 8.00 13.00Distancia (m) 0.00 67.50 114.90 186.90 297.90Velocidad (m/s) 22.50 23.10 24.00 22.20 21.60

17- Se desea hallar una funcin polinmica para aproximar a la funcin f(x) = ex cos x, en el intervalo 0 x 2 .

a) Tabular f(x) en los nodos x = 0, 0.5, 1 y 2 y hallar el polinomio interpolante por el mtodo de Newton. Trabajar con una precisin de 5 dgitos.

b) Agregar el nodo x = 1.5 para hallar una expresin aproximada para el error de truncamiento. Utilizarla para estimar el error en x = 0.1, 0.3, 0.8, 1.2, 1.5 y 1.7 .

c) Comparar los errores estimados en el punto anterior con los valores correctos, calculados como diferencia entre el valor correcto de f(x) y el obtenido por medio del polinomio interpolante.

18- Se tiene una tabla de valores de una funcin, es decir, { xi , f(xi) , 1 i n }, donde la grilla es equiespaciada, xi = xo + i * h, siendo h el paso.



a) Construir una frmula de interpolacin con 3 nodos por el mtodo de Newton.Si x es tal que xi x xi+1 , los nodos a utilizar deben ser xi-1, xi y xi+1 . Expresar la frmula final en trminos de la variable e = ( x - xi ) / h. Obtener el trmino de error utilizando el nodo xi+2 .

b) Idem que el punto anterior, pero para una frmula con 2 nodos, ahora no se usa xi-1.Mostrar que la relacin entre los trminos de error de la primera y segunda frmula vale:

13+

-

- +- +

+ -

+ +

e1

f 2f ff 2f f

i 1 i i 1

i 2 i 1 i

A partir de esta expresin determinar cundo es mayor el error de la primera frmula que el de la segunda, suponiendo que la diferencia segunda es positiva para todo i.

19- Se tiene la funcin f(x) = ex, de la cual se proveen los siguientes valores:

x 0.0 0.5 1.0 2.0f(x) 1.00000 1.64872 2.71828 7.38906

a) Estimar f(0.25) utilizando interpolacin de Lagrange con los nodos xo = 0 y x1 = 0.5 .

b) Estimar f(0.75) utilizando interpolacin de Lagrange con los nodos xo = 0.5 y x1 = 1.0.

c) Estimar f(0.25) y f(0.75) utilizando interpolacin de Lagrange con los nodos xo = 0 , x1 = 1.0 y x2 = 2.0 .

d) Estimar los errores de truncamiento de los clculos realizados en los puntos a, b y c en base a la frmula:

f(x) = f*(x) + f ( )(n 1)!

(n 1)+

+e

(x - x0) ... (x - xn)

Compararlos con los valores "exactos" calculados a partir de los valores reales de la funcin f(0.25) = 1.28403 y f(0.75) =2.11700.

e) Indicar qu aproximaciones resultaron ms precisas y por qu.

20- Se desea hallar una funcin de interpolacin polinmica para aproximar la funcin sen2 x en el intervalo 0 x p .

a) Construir un polinomio por interpolacin de Hermite en los nodos 0, p/2 y p. Garantizar una precisin de 4 decimales en los coeficientes. Estimar el error de redondeo cometido en la construccin del polinomio, en forma expeditiva.

b) Estimar el error de truncamiento cometido en 0.2, 0.5, 1 utilizando el punto extra 5p/4 en la tabla de interpolacin de Hermite. Compararlo con el error "exacto" (valor interpolado - valor provisto por la calculadora).

21- Se desea interpolar una spline cbica para una funcin tabulada en 4 nodos. Explicar cuntas son las incgnitas y cules las ecuaciones que completan el planteo del problema.





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6. INTEGRACIN

1. Calcular la siguiente integral utilizando las frmulas del trapecio y de Simpson, con pasos h=p/4 y h=p/2, respectivamente:

( )dxeI

x

p

-

p

=2

0

sin212

2

Obtener conclusiones sobre la precisin obtenida.

2. Integrar la funcin y x= entre los argumentos 1.00 y 1.30, segn las frmulas del trapecio y de Simpson. Obtener conclusiones sobre la precisin obtenida.

3. Integrar la funcin y=sen(x) entre 0 y p/2, a partir de la siguiente tabla:

x 0 p/12 p/6 p/4 p/3 5p/12 p/2sen x 0.0000 0.2587 0.5000 0.7071 0.8660 0.9659 1.0000

por el mtodo del trapecio y por el mtodo de Simpson. Comparar los resultados con el valor exacto.

4. Integrar la funcin ( )y x x= sin entre 0 y 0.8 por el mtodo de Romberg con 5 dgitos significativos.

5. Integrar la funcin ( )y f x= entre 0 y 4, por el mtodo de Romberg. Los valores de ( )f x estn correctamente redondeados. Cul es la precisin obtenida?

x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

f(x)-4.271 -2.522 -0.499 1.795 4.358 7.187 10.279 13.633 17.247

6. Integrar la funcin xey -= entre 0 y 10, por el mtodo de cuadratura de Gauss con 6 puntos. Comparar con el resultado exacto a 6 decimales: 0.999955.

7. Evaluar la integral



( )I x dx= sin20

2

a) Utilizar el mtodo de Romberg hasta una precisin de 4 dgitos.b) Estimar el error de redondeo en los resultados parciales obtenidos por la regla del

trapecio suponiendo que se ha trabajado con aritmtica de punto flotante con 4 dgitos de precisin. Suponer que el orden en que se efectan las operaciones es el siguiente:

( ) ( ) hfffhTn

jjn

++=

-

=

1

102

1

donde n es el nmero de intervalos y h el paso.


( )I x dx= sin20

2

mediante cuadratura de Gauss con 3 puntos. Proceder de la siguiente forma:

a) Hallar la frmula de cuadratura sabiendo que el polinomio de Legendre de grado 3 es:

( ) ( )p x x x3 22 5 3=

-

Aplicarla a la integral.

b) Estimar el error cometido en base al desarrollo en serie de Taylor del integrando. Indicar de qu tipo de error de trata.

9. Evaluar la integral:

dxeI x=2

0

2

mediante cuadratura de Gauss con 4 puntos. La siguiente tabla presenta los puntos de evaluacin y los coeficientes asociados:

Puntos Coeficientes 0.86114 0.34785 0.33998 0.65215



Efectuar los clculos con 5 decimales de precisin.


Idxx

= 1

2

mediante el mtodo de Romberg hasta obtener 4 dgitos de precisin.

11. Hallar una frmula de cuadratura para la integral:

( )I f x dx= 0

3

utilizando 4 nodos equiespaciados e interpolacin polinomial sobre todo el intervalo. Utilizar el mtodo de los coeficientes indeterminados. Si M es una cota superior para

( )f IV 0 , hallar una estimacin del error por truncamiento en trminos de M.


( )I x dx= ln1

5

utilizando la frmula de Simpson, con un error no mayor a 0.01.

Sabiendo que la regla de Simpson aplicada a un intervalo genrico ( )x xi i- +1 1, es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )iIViiix

x

fhxfxfxfhdxxfi

i

e-++= +-+

-90

43

5

11

1

1

donde 11 +-



dteerfx

t -p=

0

22

a) Hallar ( )erf 1 utilizando el mtodo de Romberg, hasta alcanzar una precisin de 4 dgitos significativos. Trabajar con una cantidad suficiente de dgitos para garantizar que no influya el error de redondeo.

b) Hallar ( )erf 1 utilizando Cuadratura de Gauss con 5 puntos. Los nodos de evaluacin y los correspondientes coeficientes son:

0.90618 0.23693 0.53847 0.47863

0 0.56889

c) Estimar el error de truncamiento del resultado obtenido por Romberg. Estimar el error del resultado obtenido por Gauss debido al redondeo en las coordenadas y en los coeficientes provistos. En base a la comparacin entre los resultados obtenidos en a) y b),qu puede decir del error de truncamiento del mtodo de Gauss?,cul de los dos mtodos ha resultado ms trabajoso en trminos de la cantidad de clculos?

14. Obtener una frmula de integracin que involucre 4 nodos equiespaciados (frmula de Cotes) mediante el mtodo de los coeficientes indeterminados. Para simplificar la resolucin del sistema de ecuaciones, tener en cuenta que la frmula resulta simtrica alrededor del punto medio.a) Hallar una expresin para el error de truncamiento.b) Aplicar las frmulas obtenidas para estimar la integral:

( )I x dx= sin.

2

0

1 5

junto con su error. Sabiendo que el valor correcto de la integral a 5dgitos significativos es 0.71472, comparar la estimacin del error con su valor correcto.

15. Programar en pseudolenguaje un algoritmo para resolver la siguiente integral, por el mtodo de Romberg.

( )dxxfIb

a=


( )( )dxxI p

-=0

cos2ln



a) Utilizar el mtodo de Romberg comenzando con un paso h=p/2. Trabajar con 5 decimales de precisin. Afinar el paso de clculo no ms de 2 veces.

b) Calcular la influencia de los errores en los valores del integrando sobre los valores obtenidos por la Regla del Trapecio.

c) El valor exacto de la integral es

...959759164.1231ln =

+p

Dar una explicacin de la alta precisin obtenida con la Regla del Trapecio.

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7. DIFERENCIACIN NUMRICA

1. Construir una aproximacin en atraso con tres puntos de ( )u x y analizar la precisin del esquema obtenido.

2. Construir una aproximacin de orden 2 en adelanto de ( )u x .

3. Construir una aproximacin de orden 2 de ( ) ( )( )a x u x , donde ( )a x es una funcin conocida y suficientemente lisa.

4. Construir las aproximaciones en diferencias de orden 3 para ( )u x , en adelanto, en atraso y centrada.

5. Se tiene la siguiente tabla de valores para la funcin seno:

x 0.920 0.950 1.000( )sin x 0.79560 0.81342 0.84147

a) Estimar el valor de la derivada de la funcin en x=1 utilizando dos aproximaciones en diferencias en atraso y luego obtener un valor ms preciso por extrapolacin de Richardson.

b) Construir una frmula de aproximacin en diferencias de segundo orden para la derivada en x=1, y utilizarla para hallar un nuevo valor.

c) Discutir sobre la precisin de los valores hallados en los puntos anteriores. Estimar el error de truncamiento y compararlo con el valor 'exacto' de ese error obtenido por diferencia con el valor de cos(1).

6. Obtener la frmula de aproximacin en diferencias finitas en adelanto de una derivada de orden 3 con orden de precisin 2.


Menndez-Cavaliere Tarela Pg. 1/6 v1.0



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8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES

1. Discretizar el siguiente problema de valores iniciales por el mtodo de Euler

1dy y tdt

= - + + t 0 ( ) 10 =y

a) Utilizando un paso k = 0.1 avanzar 10 pasos el clculo de la solucin numrica.b) Calcular el error global en t=1 sabiendo que la solucin exacta es

( ) tetty -+=c) Mejorar los resultados mediante extrapolacin de Richardson.

2. Discretizar el siguiente problema mediante el mtodo de Euler y analizar la estabilidad numrica.

dudt

u= 2 t tuo

0

1< < ( )u t u0 0 0= >

Analizar la estabilidad numrica si 0 0u < y 01

o

t tu

< < .


d udt

u2

2 2 0+ =t > 0 ( )u u0 0= ( ) '0' 0uu =


dudt

u1 2=dudt

u2 1= -t > 0 ( )u a1 0 = ( )u b2 0 =

5. Aproximar el siguiente problema por el mtodo fuertemente implcito (Euler inverso) y analizar la estabilidad numrica. Analizar qu ocurre si u(0) = -1.

dudt

u= - 2 t 0( )u 0 1=



6. Aproximar el siguiente problema por el mtodo de Euler modificado (Runge-Kutta de orden 2:

dudt

u t= + t 0( )u 0 1=

Analizar la estabilidad numrica. Avanzar 10 pasos de clculo y comparar con la solucin exacta ( ) 2 1tu t e t= - - .

7. Analizar la estabilidad del esquema de la rayuela (leap-frog) aplicado al siguiente problema.

dudt

u= - 2 t 0( )u a0 0= >

8. Aproximar el siguiente problema por el mtodo de Euler. Utilizar un paso k = 0.01 y obtener u(0.1). Estimar el tamao de malla necesario para obtener una precisin de 10-4.

dudt

t u u t- - - = 0 t 0( )u 0 1=

9. Repetir el problema anterior, utilizando el mtodo de Crank-Nicolson, con un paso k = 0.025. Comparar el esfuerzo de clculo requerido por ambos mtodos.

10.El problema diferencial 1++-= tyy , 0 1t< < , y(0) = 1, ha de ser integrado utilizando el esquema predictor-corrector explcito o del punto medio.

a) Demostrar que el esquema es consistente y hallar su orden de precisin.b) Utilizando un paso k = 0.1 avanzar 10 pasos el clculo de la solucin

numrica.c) Calcular el error cometido (ver problema 1 b)

11.Calcular u(0.5) utilizando los siguientes mtodos:

a) Euler.b) Predictor-corrector explcito (Punto medio).c) Euler modificado (Runge-Kutta orden 2).

aplicados al siguiente problema

( )dudt

t u+ - =1 03( )u 0 1=

Obtener previamente el factor de amplificacin y durante el clculo verificar en cada paso que dicho factor es menor o igual que 1. Elegir un paso k = 0.1 por razones de precisin.



12.Sea el siguiente problema

- =uau

0( )u 0 1=

Discretizarlo utilizando los mtodos:

a) Runge-Kutta de orden 2 (Euler modificado).b) Crank-Nicolson.

Verificar el orden del error de truncamiento. Hallar las condiciones de estabilidad.

13.Sea el siguiente problema:

dudt

u t+ =2 0 ( )u 0 1=

Discretizarlo mediante el esquema de Crank-Nicolson y analizar la estabilidad suponiendo que u permanece positiva. Avanzar la solucin un paso de clculo tomando k = 0.1.

14.Sea el siguiente problema de valores iniciales:

=

+ y t

y t e t2 2 1 15 t . ( )y 1 0=

cuya solucin es ( ) ( )2 ty t t e e= - .a) Obtener la solucin numrica mediante el mtodo de Euler, utilizando 2 pasos de clculo distintos, k = 0.1 y k = 0.05. Mostrar cmo se refleja el orden de precisin del esquema en la reduccin del error de truncamiento.b) Utilizar extrapolacin de Richardson para obtener un valor ms preciso de y(1.5).Utilizar aritmtica de punto flotante con 4 dgitos de precisin.

15.Dada la ecuacin diferencial ( ), 0du f u tdt

+ = , se pide:

a) Demostrar la consistencia del esquema de Euler modificado (Runge-Kutta de orden 2).b) Idem anterior para el mtodo de Adams-Bashforth de orden 2.

16.Dada la ecuacin diferencial 0du udt

+ = , ( )0 1u = , calcular ( )0.6u utilizando:



a) Mtodo predictor-corrector de Adams de orden 2, con pasos k = 0.2 y k = 0.1.b) Mtodo de Crank-Nicolson con pasos k = 0.2 y k = 0.1.c) Obtener una mejor aproximacin por extrapolacin de Richardson. Indicar de qu orden es esta aproximacin.

17.Programar en pseudolenguaje un algoritmo para resolver la ecuacin:

( )dudt

f u t+ =, 0 ( )u u0 0=

mediante el mtodo de Adams-Bashforth de orden 2, arrancando con un Runge Kutta del mismo orden.

18.Sea la ecuacin diferencial:

( )dudt

f u t+ =, 0 ( )u u0 0=

a) Discretizarla mediante el mtodo de Adams Bashforth de orden 2 y demostrar que su orden de precisin es, efectivamente 2.

b) Determinar la condicin de estabilidad, trabajando con los autovalores a primer orden en k y considerando, por simplicidad, que f=f(u). Identificar el autovalor asociado a la solucin genuina y verificar que es dominante.

c) Tomando ( ) 2,f u t u= , ( )0 1u = y 0.1k = , avanzar la solucin hasta 0.3t = . Arrancar con el mtodo del punto medio y trabajar con 5 dgitos de precisin.

d) Tomando ( ),f u t a u= , con 0a > , hallar la solucin numrica genuina y la parsita. Mostrar que si ak 2 , el mtodo es estable.

Ayuda : ( ) ( )1 2

2 2 32 41 12 8

x x x x xa b aa b - + + + + + O

19.Sea el problema diferencial:

dudt

u+ =2 0 ( )u 0 1=

cuya solucin es ( ) 11

u tt

=+

.

a) Integrarlo utilizando el mtodo de Adams de tercer orden en su variante predictor - corrector. Tomar k = 0.1. Los valores de partida son:

u0 1= u1 0 90909= . u2 0 83333= .

Trabajar con 5 dgitos de precisin. Calcular hasta 0.4t = . Mostrar que el paso corrector corrige los 2 ltimos dgitos.b) Para 0.4t = efectuar iteraciones con el corrector hasta la convergencia. Mostrar que esto corrige solo el ltimo dgito. c) Programar en pseudolenguaje el clculo desarrollado en a).



20. Resolver el siguiente sistema utilizando un mtodo numrico apropiado.

+ - = - =

u u ww u

2000 1000 10

( )u 0 0= ( )w 0 0=

21. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

+ = + =

u u vv v

002

( )0u a= , ( )0 1v = , a = constante

Demostrar que si se discretiza el sistema por el mtodo de Euler, la estabilidad numrica est sujeta a la restriccin 1k v .

22. Dado el siguiente problema diferencial:

d udt

5

5 120 0- = t 19.

( )u 19 33. = - ( ) =u 19 322 6. .( ) =u 19 2716. . ( ) = -u 19 269 4. .( )u IV 19 12 5. .= -

a) Transformarlo en un sistema de ecuaciones de primer orden y resolverlo mediante el mtodo de Crank-Nicolson , con k = 0.04 y avanzar la solucin hasta t=2.1.b) Hallar el polinomio que pasa por los puntos calculados en a) por el mtodo de Newton, includa la condicin inicial.c) La solucin obtenida en a) cambia de signo en el intervalo considerado. Hallar el polinomio interpolante que pasa por los cuatro puntos ms cercanos a la raz y, en base a este polinomio, calcular la raz por el mtodo de Newton-Raphson.d) Discutir sobre si hubiera sido suficiente una interpolacin lineal para hallar la raz evaluada en c) con la misma precisin.Nota:Trabajar con 4 dgitos de precisin.

23.Transformar la ecuacin diferencial:

d udt

dudt

w u2

22 0+ + =m m > 0

en un sistema de ecuaciones de primer orden y discretizar segn:

a) Mtodo predictor-corrector de Adams de orden 2.b) Mtodo fuertemente implcito (Euler inverso).



Avanzar dos pasos de clculo tomando 1wm = = , para las condiciones iniciales:

( )u 0 1= ( ) =u 0 1

Elegir un paso de clculo que garantice la estabilidad.

24. Sea el siguiente problema diferencial

d udt

u2

2 0+ = ( )u 0 0= ( ) =u 0 1

a) Transformarlo en un problema de valores iniciales de primer orden.b) Utilizar el mtodo de Euler modificado para avanzar la solucin hasta t=0.4.

Utilizar dos pasos de tiempo: k = 0.1 y k = 0.2.c) Sabiendo que la solucin es ( ) ( )sinu t t= , determinar los errores cometidos y

verificar que el mtodo numrico tiene orden de precisin 2.

25.Analizar la estabilidad del problema 3

3 1 0d udt

- = , reducido a un sistema de

primer orden y resuelto por Euler.

26. Sea el problema rgido

d udt

dudt

u2

2 1001 1000 0+ + =( )u 0 1= ( ) = -u 0 1

a) Convertir la ecuacin diferencial en un sistema de ecuaciones de primer orden y discretizarlo mediante el mtodo de Euler.

b) Hallar la condicin de estabilidad del problema numrico planteado, es decir, el valor de maxk tal que maxk k< .

c) Con las condiciones iniciales dadas, la solucin del problema es ( ) tu t e-= , es decir que solo est activa la componente lenta. Mostrar que con maxk k>cualquier perturbacin dispara la componente rpida que se amplifica tornando inestable el clculo.

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9. . ECUACIONES DIFERENCIALES

Problemas de Valores de Contorno

1- El anlisis en rgimen estacionario de la conduccin del calor a travs de un slido congeneracin interna de calor, est dado por el siguiente problema :

( ) + + =up

xu f u 0 ; 0 0 1 x x x ; ( ) =u x0 0 ; ( )u x1 1=

Si el slido es una placa plana y la generacin de calor es constante, o sea :

p = 0 ; ( )f u qk

=

resulta para x0 0= y x1 0= , el problema :

+ =uq

k0 ; 0 1 x ; ( ) =u 0 0 ; ( )u 1 1=

La solucin exacta de esta ecuacin es : ( ) ( )u x qk

x= +

1 2 1 2

Se pide encontrar el perfil de temperaturas ( )u x cuando qk= 2 .

Utilizar un paso de clculo k = 0.1 .

2- Resolver el siguiente problema por un mtodo directo con un paso de clculo h = 0.1 .

+

+ =uu

xu 0 ; 1 2 x ; ( ) =u 1 0 ; ( )u 2 1=

3- Resolver el siguiente problema por el mtodo del tiro :

( ) + + =u x u u2 1 12 2 ; 1 1x ; ( ) =u 1 0 ; ( )u 2 1=

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4- Sea el siguiente problema :

+ =u x 0 ; 0 1 x ; ( )u 0 1= ; ( ) =u 1 0a) Construir una aproximacin en diferencias de orden de precisin 2, includas las

condiciones de borde. Expresar el sistema de ecuaciones resultante en formamatricial.

b) Resolver el problema para un paso de clculo h = 1/2 y h =1/3, utilizandoeliminacin de Gauss sin pivoteo y redondear los resultados a 4 dgitos.

c) Aplicar extrapolacin de Richardson para obtener una mejor aproximacin deu(x=1).

5- Dado el siguiente problema de valores de contorno :

u IV = 0 ; ( )u u0 0= ; ( ) =u 0 0 ; ( ) =u 1 0 ; ( ) =u 1 0 ; 0 1 xa) Discretizarlo con un esquema de orden de precisin 2.

b) Dividir el intervalo de clculo en cinco subintervalos y plantear el sistema deecuaciones en forma matricial, incluyendo las condiciones de borde con igual ordende precisin.

6- Dado el siguiente problema diferencial :

+ + =u u u11 10 0 ; 0 1 x ; u(0) = 0 ; u(1) = 1

a) Plantear su resolucin por el mtodo del tiro. Para ello reducir la ecuacindiferencial a dos ecuaciones de primer orden, aplicar el esquema de Crank-Nicolson e indicar el algoritmo que se utilizar. Tomar h = 0.2 .

b) Sea v=u'. Se sabe que los resultados obtenidos con dos tiros sucesivos fueron :

v(0) = 20 ! u(1) = 0.815v(0) = 30 ! u(1) = 1.222

Utilizar estos resultados para realizar un tercer tiro. Indicar si son necesarios nuevostiros. Trabajar con 4 dgitos de precisin.

c) Graficar la solucin obtenida en b) y extraer conclusiones, en relacin al tipo deproblema diferencial de que se trata y al error de truncamiento cometido.

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7- Sea el problema

d u

dtu

2

2 0+ = ; ( )u 0 0= ; ( )u 1 1=

cuya solucin es :

( ) ( )u x x= 118840. sina) Resolverlo utilizando un mtodo directo de precisin 2, con un paso h = 0.25.

Trabajar con una precisin de 5 decimales. Comparar los resultados con la solucinexacta.

b) Repetir el clculo con la condicin de borde ( )dudt

1 0 64210= . . Verificar que la

solucin analtica satisface esta condicin de borde.

c) Programar en pseudolenguaje el clculo desarrollado en a), dando la posibilidad deusar un paso variable. Suponer que se dispone de la subrutina

TRIDIAG ( di, dp, ds, ti, u )

que resuelve un sistema tridiagonal, siendo di, dp y ds los vectores que contienenlos elementos de la diagonal inferior, principal y superior, ti el vector de trminosindependientes y u el vector solucin.


udu

dx

d u

dx =

2

2 0 ; 0 x L ; ( )u U0 = ; ( )dudx L q=

a) Discretizarlo con un mtodo directo de orden 2. Plantear el sistema total deecuaciones algebraicas para paso h = L/2.

b) El sistema de ecuaciones es no lineal. Plantear el sistema a resolver en cadaiteracin segn el mtodo de Newton Raphson.


0.1 u + u + u = 0 ; 0 x 1 ; u(0) = 0 ; u(1) = 1

a) Hallar la solucin numrica por un mtodo directo centrado con paso h = 0.25 .Resolver el sistema resultante y graficar la solucin obtenida.

b) Resolver nuevamente por el mtodo de upwinding con igual paso. Graficar lasolucin obtenida.

c) Siendo la solucin analtica u(x) = 3.08777 ( e 1.12702 x - e 8.87298 x ) , comparar ycomentar sobre los resultados obtenidos.

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10. . ECUACIONES DIFERENCIALES

Problemas de Valores Iniciales Conservativos

1- Sea el siguiente problema diferencial :

( )d udt

f u2

2 0+ = ; ( ) ( )f u u u= + 1 2 ; ( )u 0 1= ; ( ) =u 0 0a) Resolverlo utilizando el siguiente esquema:

( )u u h u k f un n n n+ = + 12

2

( ) ( )[ ] = ++ +u u k f u f un n n n1 12Avanzar la solucin 4 pasos de tiempo utilizando k = 20 y 5 dgitos de precisin.

b) La siguiente expresin debe permanecer constante para todo valor del tiempo :

E u u u= + +

1

2

1

21

1

22 2 2

Verificar si esto sucede con los valores calculados. Cul es la fuente de variacin?

2- Sea la siguiente ecuacin diferencial:

d u

dt

du

dtw u

2

22 0+ + =

Discretizarla utilizando los mtodos:

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a) Mtodo de Newmark.b) Mtodo del salto de rana (rayuela).

Analizar la estabilidad numrica.

Avanzar dos pasos de clculo tomando = =w 1, para las condiciones iniciales( )u 0 0= , ( ) =u 0 1. Elegir un paso de clculo que garantice la estabilidad.

3- Dada la ecuacin diferencial :

=u eu 0 ; t 0 ; ( )u 0 0= ; ( ) =u 0 2 a) Discretizar la ecuacin por el mtodo de Newmark y avanzar la solucin dos pasos

de clculo, tomando k = 0.1 . Trabajar con 4 dgitos de precisin y plantear unatcnica iterativa para efectuar el clculo.

b) Hallar la matriz de amplificacin.

4- Dada la ecuacin del oscilador armnico u + 2u = 0 , mostrar que el mtodo dePunto Medio produce soluciones oscilatorias, pero que no es conservativo. Determinarel tipo de oscilacin que produce.

5- Dada la ecuacin del oscilador armnico u + 2u = 0 , discretizarlo por el mtodo de laRayuela (Salto de Rana). Explicar cmo arrancar el clculo para asegurar orden deprecisin 2. Hallar las races de la ecuacin caracterstica y mostrar que si se imponeuna solucin oscilatoria, resulta un esquema conservativo.

6- Se tiene el siguiente problema diferencial

u + 40u = 10 ; u(0) = 0 ; u(0) = 0

a) Plantear su resolucin numrica por el mtodo mas conveniente. Indicar elalgoritmo de clculo. Explicar el por qu de la eleccin.

b) Elegir un paso de clculo apropiado y calcular la solucin numrica entre t = 0 y t =2. Explicar el por qu de la eleccin.

c) Explicar qu diferencias cualitativas se esperan entre la solucin numrica y la delproblema diferencial. Ilustrar grficamente.


Menndez-Cavaliere-Prez Berro-Tarela Pg. 1/26 26/04/02


FACULTAD DE INGENIERA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

GUA DE PROBLEMAS APLICADOS

1. DINAMICA DE LA PARTICULA

Problema DP-1: Cada libre Un objeto que cae verticalmente a travs del aire est sujeto a resistencia viscosa, adems de la atraccin gravitatoria. Si su masa es m, la ecuacin dinmica (segunda ley de Newton) para la posicin vertical s(t), considerada positiva hacia abajo, es

md sdt

mg kdsdt

2

2= -

donde t es el tiempo, g es la aceleracin de la gravedad (9,80 m/s2) y k representa el coeficiente de resistencia del aire. Si la posicin inicial del objeto es s0 , la solucin de esa ecuacin es (demostrarlo!)

s t smgk

tm gk

e kt m( ) ( )/= + - - -02

21

Suponer s0 =90 m, m = 100 g y k = 0,15 kg / s. Hallar, con una precisin de 0,01 segundos, el tiempo que le toma llegar al suelo. Problema DP-2: Recorrido de un mvil Un automvil que viaja a lo largo de un camino recto es cronometrado en una cantidad de puntos. En la siguiente tabla se muestran los datos de las observaciones, donde el tiempo est en segundos, la distancia en metros y la velocidad en m/s.

Tiempo 0 3 5 8 13 Distancia 0 69 117 190 303 Velocidad 22,9 23,5 24,4 22,6 21,9

a) Predecir la posicin del automvil y su velocidad para el tiempo t = 10 segundos

utilizando en la interpolacin tanto las distancias como las velocidades medidas. b) Utilizar slo los tiempos y distancias provistas en la tabla para estimar las velocidades

en los instantes especificados y compararlas con los valores provistos en la tabla.



Problema DP-3: Desaceleracin por resistencia viscosa Una partcula de masa m se mueve a travs de un fludo sujeta a una resistencia viscosa R, que es funcin de la velocidad v. La relacin entre la resistencia R, la velocidad v y el tiempo t est dada por la segunda ley de Newton

mdvdt

R v= ( )

que puede reescribirse como

tm

R udu

v t

v t= ( )( )

( )

0

Suponer R(v) = - K v v para un fludo particular, donde R est en Newtons, v en m/s y K=1 kg/(ms)1/2. Si m = 10 kg y v(0) = 10 m/s, calcular numricamente el tiempo requerido por la partcula para bajar su velocidad a 5 m/s. Compararlo con el valor obtenido por integracin exacta. Problema DP-4: Disparo vertical Un proyectil de masa m = 0,11 kg, disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v(0)= 8 m/s, se desacelera debido a la fuerza de la gravedad y la resistencia del aire, por lo que su ecuacin de movimiento es (considerando v positivo hacia abajo)

mv = mg - kvv donde g = 9,8 m/s2 es la gravedad y k = 0,002 kg/m el coeficiente de resistencia del aire. a) Hallar la velocidad en pasos de 0,1 segundos hasta un tiempo de 1 segundo. b) Calcular, con una precisin de una dcima de segundo, cundo el proyectil alcanza la

mxima altura y comienza a caer.



2. MECANICA DEL SOLIDO Problema MS-1: Centro de masa Una lmina plana se define como una delgada hoja de masa continuamente distribuda. Si s es una funcin que describe la densidad de una lmina por unidad de espesor que tiene la forma de una regin R en el plano x-y, el centro de masa de la lmina x y, se define como

x

x x y dA

x y dAy

y x y dA

x y dAR

R

R

R

= =

s

s

s

s

( , )

( , ),

( , )

( , )

Hallar en forma numrica el centro de masa de una lmina cuya forma es de crculo, descripta por

{ }R x y x y x= -( , ) / ,0 1 0 1 2

con una funcin densidad dada por la distribucin guassiana s ( , ) ( )x y e x y= - +2 2

. Comparar con el valor exacto. Problema MS-2: Deflexin de una viga Un problema comn en ingeniera civil es el de la deflexin de una viga de seccin transversal uniforme sujeta a una carga distribuda, mientras sus extremos estn soportados de forma tal que no pueden deflectarse (ver figura).

La ecuacin que describe esta situacin fsica es de la forma

d wdx

SEI

wqxEI

x l2

2 2= + -( )



donde w(x) es la deflexin a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, l la longitud de la viga, q la intensidad de carga por unidad de longitud, E el mdulo de elasticidad, S la tensin en los puntos extremos e I el momento principal de inercia. La condicin de no deflexin en los extremos se expresa como w(0) = w(l) = 0. Sea una viga de acero y seccin transversal en I con las siguientes caractersticas: l = 36 m, q = 1460 N/m, E = 20,7 x 107 kPa, S = 4,4 kN, I = 5,4 m4. a) Calcular la deflexin de la viga cada 2 m. b) Supngase que la ley municipal establece que max w x mm

x l01

< d por debajo de la superficie, puede ser aproximada por una ecuacin de la forma

p k e k rk r= +1 32 donde k1, k2 y k3 son constantes, con k2 > 0, que dependen de d y de la consistencia del suelo, pero no del radio de la placa.



a) Hallar los valores de k1, k2 y k3 suponiendo que una placa de 2,5 cm requiere una presin de 69 kPa para hundirse 30 cm en un campo de barro, una placa de 5 cm requiere una presin de 82,8 kPa para hundirse 30 cm y una placa de 7,5 cm requiere una presin de 103,5 kPa para hundirse la misma distancia (suponiendo, por supuesto, que el barro tiene ms de 30 cm de profundidad).

b) Predecir el tamao mnimo de una placa circular requerido para sostener un peso de 2200 N sobre ese campo, con un hundimiento menor a 30 cm.



7. QUIMICA Problema QU-1: Velocidad de reaccin La reaccin qumica irreversible en la cual dos molculas de dicromato de potasio slido, dos molculas de agua y tres tomos de sulfuro se combinan para dar tres molculas de dixido de sulfuro gaseoso, cuatro molculas de hidrxido de potasio slido y dos molculas de xido crmico slido puede ser representada simblicamente por la ecuacin esteiquiomtrica

2K2Cr2O7 + 2H2O + 3S 4KOH + 2Cr2O3 + 3SO2 Si originalmente estn disponibles n1 molculas de dicromato de potasio, n2 molculas de agua y n3 molculas sulfuro, la siguiente ecuacin diferencial describe la cantidad x(t) de hidrxido de potasio luego de un tiempo t:

dxdt

k nx

nx

nx= - - -( ) ( ) ( )1

22

23

3

2 234

donde k es la constante de velocidad de reaccin. Si k=6,22 x 10-19, n1= n2=2 x 103 y n3=3 x 103, cuntas unidades de hidrxido de potasio se habrn formado luego de 0,2 segundos?



8. BIOLOGIA Problema BI-1: Sustancia inhibidora Se sospecha que altas cantidades de tanino en hojas de roble maduras inhibe el crecimiento de las larvas de la polilla de invierno que daan extensivamente estos rboles en ciertos aos. La siguiente tabla presenta el peso promedio de dos muestras de larvas a ciertos tiempos durante los primeros 28 das de vida. La primera muestra fue levantada de hojas de roble jvenes, mientras que la segunda muestra corresponde a hojas maduras del mismo rbol.

Da Peso muestra 1 (mg) Peso muestra 2 (mg) 0 6,67 6,67 6 17,33 16,11 10 42,67 18,8

guía completa numérico

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