guia de estudio matematica ii
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UNIVERSITARIA AGUSTINIANAUNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
GUIA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA II
LUIS FERNANDO ARIAS RAMÍREZ Autor
MARÍA JOSÉ ARANGO DE MANRIQUEDirectora Académica
Unidad de Ciencias Básicas
NATALIA MORENO MARTÍNEZOCTAVIO ECHEVERRY VALENCIARICARDO ALFONSO SANABRIA
WILBERTO DE JESÚS PÉREZ FUENTESColaboradores
FRANKLIN ANTONIO MORA MAESTRE
LUIS FERNANDO ARIAS RAMÍREZMARÍA JOSÉ ARANGO DE MANRIQUERevisión
Bogotá D.C Octubre 02 de 2012
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CONTENIDO
Unidad 1
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Unidad 2
DERIVADAS
Unidad 3
INTEGRALES
Unidad 4
MATRICES
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Primer corte:
Unidad 1
LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.1 Definición de límite y propiedades
1.2 Límites laterales
1.3 Límites indeterminados
1.4 Límites infinitos y al infinito
1.5 Continuidad, definición y propiedades
1.6 Aplicaciones
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Segundo corte:
Unidad 2
DERIVADAS
2.1 Interpretación geométrica de la Derivada.
2.2 Teoremas: Derivada de una constante, de una potencia, de una constante por una función, de una suma, del producto, del cociente. Derivada de unacomposición de funciones (regla de la cadena).
2.3 La derivada como una razón de cambio. Razones relacionadas. Problemas derazón de cambio.
2.4 Análisis de gráficas. Máximos y Mínimos. Criterio para la primera derivadapara máximos y mínimos relativos. La segunda derivada y concavidad. Criterio dela segunda derivada.
2.5 Optimización en la empresa y la economía. Elasticidad de la demanda-maximización del ingreso-minimización del costo promedio-maximización de laganancia.
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Prohibida la reproducción totalo parcial de éste documento porcualquier medio, sin permisoexpreso y por escrito del(los)autor(es).
DERECHOS RESERVADOSRESPECTO A LA PRIMERAEDICIÓN A LA UNIVERSITARIAAGUSTINIANA. ©2012.
Tercer corte:
Unidad 3
INTEGRALES3.1 Anti derivada y reglas de integración
3.2 Integración por sustitución
3.4 Área bajo una curva
3.5 La integral definida: Teorema fundamental del Cálculo
3.6 Área entre dos curvas
3.7 Aplicaciones de las integrales definidas en la empresa y la economía
Unidad 4
MATRICES
4.1Definiciones de Matriz, fila, columna, elementos, orden.
4.2 Tipos especiales de matrices.
4.3 Operaciones: suma y producto por escalar, resta de matrices.
4.4 Producto de matrices.
4.5 Propiedades de matrices, teoremas.
4.6 Matriz inversa.
4.7 Ecuaciones matriciales.
4.8 Sistemas de ecuaciones lineales.
4.9 Método de reducción de Gauss –Jordan.
4.10 Determinantes y Regla de Cramer.
4.11 Aplicaciones de las matrices: Modelos de entrada-salida de Leontief.
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MATEMÁTICA II
CONDUCTA DE ENTRADA
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Definición de expresión algebraica:
Se le da el nombre de expresión algebraica a la combinación de númerosreales y letras, estas últimas llamadas variables, las cuales se relacionan por lasoperaciones fundamentales establecidas para los números reales (suma,diferencia, producto y cociente).
Ejemplo
Son expresiones algebraicas:
ba 65 ;22ax ; )56( y x ; x2 ;
Definición de término algebraico
El nombre de término algebraico se le da a la expresión comprendida entre lossignos de suma o diferencia, la cual consta de una o más variables y una cantidadconstante o número real llamado coeficiente.
Definición de términos semejantes
Se llaman términos semejantes, a todos los términos de una expresión algebraica
que solo se diferencian en su coeficiente o valor real; estos se componen delmismo factor literal o las mismas variables elevadas a las mismas potencias.
Ejemplo
Son términos semejantes:a2, 2a2, -3a2, 0.5a2.
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2
Ejemplo
No son términos semejantes:
a2 b y ab2 , -a y -a2 , 2ab y ab2
Vemos en la primera parte, (términos semejantes) que el factor literal de todos lostérminos es a2 ; por esta razón son todos semejantes.
Sin embargo en la segunda parte correspondiente a términos no semejantes,tenemos en los tres casos factores literales diferentes entre sí. Aunque las letrasson a y b, cada una de ellas se encuentra elevada a una potencia diferente, por lotanto, son de diferente grado lo que hace que no sean semejantes.
Definición de polinomios
Se llama polinomio a la expresión algebraica formada por uno o más términos.Estos se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos, según el grado, y elnúmero de variables.
Ejemplos
73523
x x x
y xa
ba
Clasificación de los polinomios según el número de términos
Los polinomios se clasifican en monomios si poseen un solo término, binomio si
poseen dos términos, trinomio si poseen tres términos y polinomio si poseenmás de tres términos.
Ejemplos
Son monomios:
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3
a3 ; b5 ; 3
2
4n
y x
Son binomios:
ba ; y x 2 ; m
x
y
x
54
33
2
Son trinomios:
1-5xx 2c ba 2
Clasificación de los polinomios según el número de variables
Los polinomios pueden ser clasificados por la cantidad de letras diferentes ovariables que se encuentren en sus términos, así, si solo posee una variable sepuede decir que es univaluado o en una variable, con dos o más variables se lespuede llamar polinomios multivariados.
Definición del grado de un polinomio
El grado de un polinomio cualquiera, se define por el mayor exponente quecontiene la variable en el polinomio, si este es multivariado, se puede definir sugrado por la variable, aplicando la regla anterior y también se puede establecer elgrado del polinomio el cual se determina sumando los exponentes de las variablesen cada término y el mayor resultado será el grado general del polinomio.
Ejemplo
Sea el polinomio ,54²7 123892646 z y z x z xy z y x clasifíquelo según el número de
términos, el número de variables y el grado.
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Solución
Esta expresión tiene 4 términos, por lo tanto es un polinomio, las letras distintas
que poseen los términos, son las 3 variables, luego es un polinomio de 3 variables.Los grados en cada variable son:
Para la variable x su grado es 9 ya que es el máximo exponente en esta variable,para la variable y su grado es 6, y para la variable z su grado es 12. Para esteejemplo se toma como grado general del polinomio, el del tercer término ya que esel mayor de todos ellos y su valor es 17. Es decir, sumando 8 + 9 que son losexponente de las variables que lo componen.
Ejercicios propuestos
Clasifique los siguientes polinomios según el número de términos, el número devariables y el grado.
1. 9781066 11753 y x y x xy y x
2. 224481032325 6768 z xyba y x yz ba y xa
3. 1682
x x
4. 166 st
5. 22433 4128 d cbcd abbca
Las operaciones básicas que se presentan en las expresiones algebraicas son deadición, resta, producto y división. A continuación definiremos y ejemplificaremosdichas operaciones:
Adición de polinomios:
Para realizar una operación de adición, suma o resta, tenemos en cuenta lareducción de términos semejantes y la eliminación de los signos de agrupación. Esimportante recordar que si antes de un paréntesis hay un signo positivo “+”, los
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signos de los términos que están dentro del paréntesis quedaran iguales aldestruirlo, pero si el signo antepuesto al paréntesis es negativo “-“, todos lossignos de los términos internos al paréntesis serán automáticamente opuestos aldestruirlo.
Reducción de términos semejantes:
En la reducción de términos semejantes, se pueden presentar los siguientes casos:
1. Términos semejantes de igual signo: En este caso, se suman los coeficienteso valores reales de los términos implicados. Y la parte literal, es decir, las variableso letras que componen los términos no sufren cambio alguno, finalmente al
resultado obtenido se le deja el signo original de los términos. Lo anterior quieredecir, que si los términos tienen signo positivo, el resultado final se deja positivoo si tienen signo negativo, queda negativo.
Ejemplo
333 19109 x x x
2. Términos semejantes de diferente signo: Para este caso se tiene en cuenta
que los coeficientes de los términos se restan, la parte literal se deja igual, y alresultado final se le coloca el signo del coeficiente que muestre el mayor valor absoluto.
Ejemplo 1
Reducir
333 19109 x x x 5 5 54 7 11 x x x
2. Términos semejantes de diferente signo: Para este caso se tiene en cuentaque los coeficientes de los términos se restan, la parte literal se deja igual, y al
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resultado final se le coloca el signo del coeficiente que muestre el mayor valor absoluto.
Ejemplo 2
Reducir
22
22
7)125(
12,5
mm
mm
Ejercicios propuestos
Reducir los términos semejantes
1. 3232 15 ,9 nmnm
2. 33 12 ,18 x x
3. 22 32 ,19 x x
Ejemplo 1
Efectuar la siguiente suma de polinomios:
²)56²3(²)227²4( y xy x y xy x x
En primer lugar destruimos los paréntesis correspondientes, y como estos estánprecedidos de un signo positivo “+” (si no hay signo, por omisión sabemos que espositivo), esto implica que los términos en cada uno de ellos quedaran con elmismo signo:
²56²3²227²4 y xy x y xy x x
Luego aplicamos la ley conmutativa de la suma y la ley asociativa de los númerosreales, con el fin, de aplicar las reglas de reducción de términos semejantes,quedando agrupados los términos de la siguiente manera:
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7
x y y xy xy x x 7)52()62()34( 2222
Finalmente aplicando las reglas de reducción de términos semejantes y las dedestrucción de paréntesis se obtiene:
x y xy x 7²34²7
Ejemplo 2
Efectuar la siguiente resta de polinomios
)14²2(³)3²5( xy x y xy x
Inicialmente destruimos los paréntesis, teniendo en cuenta las reglas paradestruirlos, la cual también se le conoce como la ley de los signos, obteniendo:
14²2³3²5 xy x y xy x
Aplicando la ley conmutativa de la suma de términos y la ley asociativa, se obtiene:
1³)43(²)2²5( y xy xy x x
Aplicando las reglas de reducción de términos semejantes y la de destrucción de
paréntesis se obtiene finalmente:
1³7²3 y xy x
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios se debe conocer y aplicar el concepto de la conocidapropiedad distributiva de la multiplicación, además de saber utilizar la ley de los exponentes para potencias de igual base, la cual en forma general se define así
nmnmaaa
siempre y cuando m y n sean reales.
Ejemplo 1
Hallar el producto de la siguiente expresión
²)3³)(²5( 4 y x y x
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Solución
En primer lugar tenemos en cuenta los signos de los términos a multiplicar, con elfin de aplicar la ley de los signos, seguidamente realizamos la multiplicación de
sus coeficientes, y para terminar aplicamos la ley de los exponentes siempre ycuando la parte literal o variables estén contenidas y sean las mismas en lostérminos a multiplicar. Como se muestra a continuación la solución del ejercicioanterior, paso a paso.
564
56
5
64
15²)3³)(²5(
15
²³.
².
1535
y x y x y x
y x
y y y
x x x
Ejemplo 2
Hallar el producto de la siguiente expresión
³)5²2)(2²3( y xy x y x
Solución
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación se obtiene:
³)5²2(2³)5²2²(3³)5²2)(2²3( y xy x y y xy x x y xy x y x
Aplicando la ley de los signos, la propiedad distributiva de la multiplicación y laley de multiplicación de potencias de igual base se llega a:
44 2²10²4³²3³156³)5²2(2³)5²2²(3 y xy y x y x y x x y xy x y y xy x x
Finalmente se concluye que:
44 2²10²4³²3³156³)5²2)(2²3( y xy y x y x y x x y xy x y x
Por leyes de los exponentes, si se tiene multiplicación de potenciasde la misma base, se suman los exponentes
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División de polinomios
División polinómica
En cuanto a la división, dado dos polinomios p(x) y q(x) con 0)( xq , al dividir
p(x)(llamado dividendo) por q(x)(llamado divisor) se obtiene el polinomio c(x)
(llamado cociente) y otro polinomio r(x)(llamado residuo), de tal manera que altener en cuenta la definición de división se llega a la siguiente igualdad:
0)(0)()()()()( xr xr con xr xc xq x p
Si r(x) es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta, pero si r(x) esdiferente de cero, la división se llama inexacta. En los dos casos el grado del
cociente siempre será menor que el del dividendo p(x). Los polinomios resultantes,cociente y residuo son únicos, y se obtienen mediante el proceso llamado divisiónpolinómica.
Ejemplo
Determine los polinomios cociente y residuo, al realizar la división entre lospolinomios dados a continuación:
²41)(6³3²234)( 4 x x xq x x x x x p
Para realizar la división pedida y dar respuesta al interrogante, se debe tener encuenta la siguiente regla. Los términos de cada uno de los polinomios dados(dividendo y divisor) deben ordenarse en forma descendente con respecto alexponente de la variable x en cada uno de ellos. Además si llegasen a faltar términos en el polinomio dado, de acuerdo al orden lógico descendente, estosespacios correspondientes deberán ser llenados con ceros.
43²2³36)( 4 x x x x x p Dividendo
1²4)( x x xq Divisor
Al dividir p(x) por q(x) obtenemos:
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10
46 x 33 x 22 x x3 4 24 x x 1
46 x 3
2
3 x ²
2
3 x ²
2
3 x x
8
3
32
31
3
2
3 x ²
2
7 x x3
3
2
3 x ²
8
3 x x
8
3
²8
31 x x
8
21 4
²8
31 x x32
31 32
31
x32
115
32
159
De donde el cociente es:
32
31
8
3
²2
3
)(
x x xc
y el residuo es:
32
159
32
115)( x xr
Ejercicios propuestos
Realizar las siguientes operaciones entre polinomios:
1. )25158()3( 22 x x x
2. ³²15³²9 nmnm
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11
3. )4()2811( 2 x x x
4. )18611()191159( 223 mmmmm
5. 2323 67 baba
División sintética
Al igual que en cualquier división entre polinomios, en la división sintéticaordenamos en forma descendente los términos correspondiente a cada uno deellos, tanto al polinomio dividendo p(x) como al polinomio divisor q(x), pero hay
que resaltar que este proceso o método solo se utiliza cuando el divisor es unbinomio lineal de la forma (x+ b; donde b es un número real), es decir, elexponente de la variable es igual a la unidad (1).
Ejemplo
Realizar la siguiente división de polinomios
)2()59³62(
4 x x x x
Como vemos el divisor es de la forma c x con c = 2. Inicialmente vamos aorganizar los coeficientes del polinomio llamado dividendo, teniendo en cuenta elorden descendente de los términos del polinomio con respecto a la variable x. Como se muestra a continuación.
59062
En la tercera posición agregamos el cero por cuanto no hay términos de segundogrado. Luego al tomar c del divisor, comenzamos nuestro proceso.
Bajamos el primer coeficiente perteneciente a la primera columna como semuestra a continuación.
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2 -6 0 9 5 2
2
El paso siguiente es multiplicar este coeficiente que se baja por el valor de c = 2, Luego este resultado se ubica debajo del coeficiente que se encuentra en lasegunda columna, se realiza la operación indicada entre ellos y su resultado secoloca debajo de la línea horizontal en la misma dirección de los dos términosoperados, así:
2 -6 0 9 5 2
4
2 2
Para continuar con el proceso repetimos el paso anterior, hasta terminar con elúltimo coeficiente que representa el residuo, así:
2 -6 0 9 5 2
4 -4 -8 2
2 -2 -4 1 7
Ahora reducimos en uno el exponente mayor del dividendo P(x), y se vaordenando en forma descendente el exponente de X, con el fin de establecer elresultado final, como se muestra a continuación.
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14²2³2 x x x Residuo2
7
x
Ejercicios propuestos
Realizar las siguientes divisiones, aplicando la división sintética:
1. )1()9724( 23 x x x x
2. )1()12( 2 x x x
3. )3()3( 223 x x x x x
Factorización
Definición
La factorización es el proceso mediante el cual un número o una expresiónalgebraica se puede expresar como el producto de dos o más factores. La basedel desarrollo de las operaciones con fracciones algebraicas y en general defunciones racionales y límites es la factorización, muchos de ellos se operan deésta forma.
Factor común monomio
Consiste en buscar en los monomios (términos) que componen un polinomio,aquellos coeficientes numéricos que contengan el mayor número múltiplo entreellos y además la variable común con el mayor exponente común.
Ejemplo 1
Hallar el factor común del siguiente polinomio
44 2³³6²8 xy y x y x
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Solución
Empezamos por buscar entre los coeficientes numéricos, el mayor múltiplo entre
ellos:
8 / 6 / 2 En este caso 2 es el mayor múltiplo común de los coeficientes numéricos
Observamos que todos los monomios tienen x e y entre sus variables, entoncestomamos como factor común la letra con su mayor exponente (grado mayor) ycomún entre los términos así:
Para x el mayor exponente común es 1 y para y es 2. Finalmente el factor comúnes: ²2 xy
En conclusión se llega a que:
²)²3³4²(22³³6²8 44 y y x x xy xy y x y x
Ejemplo 2
Hallar el factor común del siguiente polinomio
44433223523 3584 cbacbacbacba
Solución
Buscamos entre los coeficientes, el mayor múltiplo entre ellos:
4 / 8 / 5 / 3 Como no hay múltiplo común de todos ellos, entonces se toma 1
Observamos que todos los monomios tengan a, b y c entre sus variables ytomamos las de mayor grado común así: Para a es 2, para b es 2 y para c es 1.Quedándonos finalmente lo siguiente.
)3²5³84(²²3³³²5²³8²³4 3224445 cbabcbcaacbacbacbacbacba
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Diferencia de cuadrados perfectos
Definición
Es una expresión algebraica que se caracteriza porque consta de dos términos loscuales tienen raíz cuadrada exacta y además se encuentran unidos por laoperación diferencia (resta). El resultado es un producto entre dos factores. Laforma que tiene este término llamado diferencia de cuadrado y su definición es lasiguiente:
))((²² bababa
Ejemplo 1
Factorizar:
²4 y x
Solución
Para este caso se tiene que:
yb xa ²;
Esto se deduce a continuación al sacar las raíces cuadradas
Se obtiene la raíz cuadrada de ambos términos, las cuales deben ser exactas:
²4 x x y y 2
El resultado será:
)²)(²(24 y x y x y x Uno de los factores es la suma de las raíces y el otro
es la diferencia de las raíces encontradas.
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Ejemplo 2
Factorizar:
25
96 x
Solución
Para este caso se tiene que:
5
3³; b xa
Lo anterior se deduce al determinar las raíces cuadradas exactas de los términosdel binomio cuadrado, por tanto nos queda que:
Uno de los factores está compuesto por lasuma de las raíces y el otro por la diferencia delas raíces encontradas.
Ejercicios propuestos
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. 126 x
2. aba 1224
3. mnnm 7²14
4. ²6³8 aa
5
3
5
3
25
9 336 x x x
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5. ³4 bb
6. 352114 ba
7. xz xy x 41220
8. xy xy y x 25²15²10
9. ²25²9 ba
10. 14 8 x
11. 25²²36 nm
12.126
196196 nm
13. 22
36
49
25
9ba
14. 144256 22 x
15. 169²81 y
Factorización de trinomios.
Definición
Un trinomio es un polinomio formado por tres términos. Los más conocidos son de
la forma cbx x 2 y cbxax 2 , la factorización se puede obtener a partir de la
división de polinomios, como se explica en la definición de polinomios.
Para determinar la forma de factorizar los polinomios anteriores, se realiza elsiguiente procedimiento:
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Sea ))((2 r x p xcbx x , el estudiante debe de probar que al multiplicar los
dos paréntesis del segundo miembro de la igualdad se obtiene: pr xr p x )(2
luego la igualdad se convierte en pr xr p xcbx x )(22 , igualando término
a término los trinomios se obtiene que: 22 x x , xr pbx )( y pr c , cuyo análisis,es que para factorizar estos polinomios, debemos buscar dos números quemultiplicados equivalgan a c y que sumados den como resultado b.
Ejercicios resueltos de trinomios de la forma cbx x 2
Ejemplo 1
Factorizar el siguiente polinomio:
1072 x x
Solución
De lo expuesto anteriormente se puede decir que b = 7 y c = 10, entonces se debeencontrar dos números cuyo producto sea 10 y que al sumarlos, su resultado sea
7, entonces se tiene que 5 x 2 = 10 y que 5 + 2 = 7, como se puede ver el 5 y el 7cumplen con las condiciones, es decir, p = 2 y r = 5.
Luego la factorización del polinomio es:
)5)(2(1072 x x x x
Ejemplo 2
Factorizar el siguiente polinomio:
1072 x x
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Solución
Se puede concluir del polinomio dado que b = -7 y c = 10, por lo tanto los valoresde p y r son -5 y -2 respectivamente, los cuales cumplen con las condiciones de
factorización planteadas en los párrafos anteriores, ya que (-5)(-2) = 10 y (-5)+(-2)= -7.
Entonces la factorización del polinomio es:
)5)(2(1072 x x x x
Ejemplo 3
Factorizar:
12² x x
Solución
Hallar dos números que den -12 al multiplicarse y -1 cuando se sumen.Buscamos factores comunes en el número 12, estos son 4 y 3.
)3)(4( x x
Otro trinomio que es de carácter más general que el anterior, es el que tiene la
forma cbxax 2 , que se diferencia del anterior en el coeficiente de 2 x , que en
este caso es “a” el cual debe ser siempre diferente de 1. Existen varias formas derealizar la factorización de este tipo de polinomios, pero uno de los métodos másconocidos y utilizados, consiste en multiplicar y dividir el polinomio por el
coeficiente “a” de 2 x , así:
a
cbxaxa )( 2 ,
Efectuando el producto indicado en el numerador aplicando la propiedaddistributiva de la multiplicación y ordenando en forma adecuada, se obtiene lasiguiente expresión:
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a
caaxb xa
a
caaxb xaa
)(²²)()(²)(
Aplicando una de las propiedades de la potenciación, la expresión anterior se
convierte en:
a
caaxbax )()( 2
Haciendo los siguientes cambios de variable z = ax y ca = d, la expresión anterior se convierte en:
a
d z b z )()²(
Luego
a
d bz z ²
El término en el numerador en esta última expresión se puede resolver como untrinomio de la forma:
cbx x 2
Ejercicios de aplicación resueltos de trinomios de la forma cbx x 2
Factorizar el siguiente polinomio:
464 2 x x
Solución
Aplicando el procedimiento explicado anteriormente, debemos multiplicar y dividir
el polinomio por el coeficiente de 2 x que es 4, quedando así:
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21
416)4(6)4(
4
16)4(6)4(4
2
2
x x
x x
Sustituyendo 4x = z la expresión anterior se convierte en:
4
1662 z z
Como se observa en el numerador de la expresión anterior, esto es un trinomio dela forma:
cbx x 2
Lo cual nos lleva a buscar dos números que multiplicados den -16 y sumados den-6, estos números son -8 y 2, quedando factorizado el polinomio así:
4
)2)(8( z z
Reemplazando a z por 4x , el producto se convierte en:
4
)24)(84( x x
Sacando factor común 4 en el primer paréntesis del producto indicado en el
numerador se obtiene.
4
)24)(2(4 x x
Simplificando el 4 en el numerador con el 4 en el denominador, la expresión se
convierte en:)24)(2( x x
Entonces la factorización del trinomio dado queda expresada así:
)24)(2(464 2 x x x x .
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22
Ejemplo 4
Factorizar
2x2 + 5x + 3
Solución
Se multiplican todos los términos del polinomio por el primer coeficiente y sedivide por el mismo para no alterar la ecuación:
2
232522 2 x x
2
625)2( 2 x x
Ahora buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5, estosson 3 y 2 que son múltiplos de 6.
2
2232 x x
Sacando 2 como factor común en el segundo paréntesis del numerador seobtiene:
2
1232 x x
Simplificando el 2 contenido en el numerador y en el denominador, se obtiene elsiguiente resultado:
(2x + 3) (x + 1)
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Finalmente se concluye que:
)1)(32(35²2 x x x x
Ejercicios propuestos
Factorizar los siguientes trinomios:
1. 342 p p
2. 962 x x
3. 2452
x x
4. 50152 y y
5. 862 y y
6. 16122 2 x x
7. 16249 2 z z
8. 21362
y y
9. 3842 y y
10. 1572 2 x x
Simplificación de Expresiones Algebraicas
Concepto de Fracción Algebraica
Definición
Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas. Si lafracción algebraica es el cociente de dos polinomios, la llamamos una fracciónracional.
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La mayoría de las fracciones que consideramos, son fracciones racionales en unasola variable. Como la división por cero no es posible, siempre que tratemos confracciones, supondremos implícitamente que el denominador de la fracción esdiferente de cero.
Simplificación de fracciones
En el trabajo con fracciones, se acostumbra a simplificarlas hasta donde seaposible, de tal manera que obtengamos fracciones donde el numerador y eldenominador no tengan factores comunes. El principio básico para simplificar fracciones es la relación siguiente:
0 z si y x
yz xz
Este principio, nos indica que podemos cancelar los factores comunes distintos decero que aparecen en el numerador y el denominador de una fracción.
Ejemplo
Simplifique la siguiente expresión:
2
4
2
22
2
x x
x
x
x
Solución
2
4
2
22
2
x x
x
x
x
Factorizamos las expresiones algebraicas del segundo factor, es decir, delsegundo paréntesis. Como se puede observar el numerador representa una
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25
diferencia de cuadrados y el denominador un trinomio de la forma cbx x 2.
Luego solucionándolos de acuerdo a los métodos correspondientes se obtiene:
)1)(2(
)2)(2(
2
2
x x
x x
x
x
Realizando el planteamiento del producto de fracciones indicadas se llega a:
)1)(2)(2(
)2)(2)(2(
x x x
x x x
Ahora simplificando los términos semejantes se obtiene:
)1()2(
x x
Finalmente se concluye que:
1
2
2
4
2
22
2
x
x
x x
x
x
x
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CONTENIDO
Primer corte:
Unidad 1
LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.1 Definición de límite y propiedades
1.2 Límites laterales
1.3 Límites indeterminados
1.4 Límites infinitos y al infinito
1.5 Continuidad, definición y propiedades
1.6 Aplicaciones
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Concepto intuitivo de límite
Si f(x) se aproxima a tomar el valor único numérico L en la recta numérica o eje Y,cuando x tiende a tomar el valor c, tanto por su izquierda como por su derecha enla recta numérica o eje X, decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a c , es L ylo simbolizamos de la siguiente manera:
L x f c x
lim
Como se puede observar en la gráfica No. 1 el límite por la derecha tiende almismo punto que el límite por la izquierda por tanto el límite de la función f(x) =L,
en la gráfica No. 2 el límite por la izquierda tiende a infinito hacia abajo, y el límitepor la derecha tiende a infinito hacia arriba, por lo tanto el límite no existe.
Evaluación de límites
Definición
Los límites se evalúan sustituyendo el valor al cual tiende la variable x en el límite
de la función.
Ejemplo 1
)13(lim 2
3
x x
x
Gráfica No. 1 Gráfica No. 2
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Solución
Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la
función obtenemos el valor del límite:
191991)3)(3()3()13(lim 22
3
x x
x
Entonces:
19)13(lim 2
3
x x
x
Ejemplo 2
)10928(lim 234
2
x x x x
x
Solución
Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de lafunción obtenemos el valor al cual tiende el límite:
60)10928(lim
60101886416
1018)4(2)8(816
10)2(9)2(2)2(8)2()10928(lim
234
2
234234
2
x x x x
x x x x
x
x
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Límite de la Suma de dos Funciones
Definición
El límite de la suma de dos funciones en x, cuando está tiende a tomar el valor “a”,es igual a la suma de los límites de las funciones, con x tendiendo a este número.Lo anterior se expresa de la siguiente forma.
)(lim)(lim)]()([lim x g x f x g x f a xa xa x
Ejemplo 1
Evalúe la suma de:
)2(lim)(lim1
2
1
x y x
x x
Solución
Se suman los dos límites algebraicamente y se aplica la propiedad de la suma de
límites de funciones, obteniendo:
)2(²lim)2(limlim11
2
1
x x x x
x x x
Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de lafunción obtenemos el valor del límite:
4
)21()1(
)2(lim²lim
2
11
x x x x
Ejemplo 2
Evalúe los siguientes límites:
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30
)65(lim)32(lim2
23
2
x x x
x x
Aplicando la propiedad de suma de límites
)65(lim)32(lim2
23
2 x x x
x x )65()32(lim 23
2
x x x
x
Solución
Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de lafunción en la parte derecha de la ecuación anterior, obtenemos el valor del límiteen ella:
)65()32(lim 23
2
x x x
x
126101216
6)2(5)4(3)8(2
6)2(5)2(3)2(2 23
Finalmente se concluye que:
12)65(lim)32(lim2
23
2
x x x
x x
Límite del producto de dos funciones
Definición
El límite del producto de dos funciones, cuando la variable x tiende a tomar el valor “a”, es igual al producto de los límites de las funciones, cuando x tiende a tomar elvalor de este número.Lo anterior se expresa de la siguiente manera.
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31
)(lim).(lim)]().([lim x g x f x g x f a xa xa x
Ejemplo1
Evalúe el producto de los siguientes límites cuando a = 2:
)1(lim)1(lim 2
x y xa xa x
Solución
)1(lim)1(lim 2
2
2 x x x x )1)(1(lim2
2 x x x
Multiplicamos algebraicamente las dos funciones:
1)1)(1( 232 x x x x x
Quedándonos
)1)(1(lim 2
2
x x x
)1(lim 23
2
x x x x
Sustituyendo el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la funciónobtenemos el resultado del límite:
)1(lim 23
2
x x x
x912481)2()2()2( 23
Concluyendo
9)1(lim 23
2
x x x
x
Entonces:
9)1)(1(lim 2
2
x x
x
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Ejemplo 2
Evalúe el siguiente límite:
)65)(43(lim 2
3
x x
x
Solución
Multiplicamos algebraicamente las dos funciones:
24201815)65)(43( 232 x x x x x
)24201815(lim
)65)(43(lim
23
3
2
3
x x x
x x
x
x
Sustituyendo el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la funciónobtenemos el valor del límite:
)24201815(lim 23
3 x x x
x
2072460162405
24)3(20)9(18)27(15
24)3(20)3(18)3(15 23
Obteniendo al final
207)65)(43(lim 2
3
x x
x
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Límite del cociente de dos funciones
Definición
El límite del cociente de dos funciones (si existe) cuando la variable x tiende atomar el valor “a” es igual al cociente entre los límites de las funciones cuando xtiende a tomar este número, siempre y cuando el límite de la función denominador sea diferente de cero. Es decir: 0)(lim
x g
a x
Lo anterior se expresa de la siguiente forma.
)(lim
)(lim
)(
)(lim
x g
x f
x g
x f
a x
a x
a x
Ejemplo 1
Evalúe el cociente de los siguientes límites:
)1(limy)1(lim1
2
1
x x
x x
Solución
Empezamos por simplificar el cociente algebraico entre las funciones argumentosde los dos límites así:
1
12
x
x
Desarrollamos el numerador del cociente como un producto notable, el cualrepresenta una diferencia de cuadrados perfectos, quedando la expresión anterior
así:
)1(
11
x
x x
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34
Luego el límite del cociente entre las dos funciones queda expresado de lasiguiente forma:
)1(
11lim
1 x
x x
x
Simplificando los términos en el límite de la función se llega a: 1lim
1
x
x
Sustituyendo el valor al cual tiende la variable x en el límite de la funciónobtenemos el valor del límite:
21
1lim
21lim
)11(1lim
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 2
Evalúe
3
18lim
1
x
x
x
Solución
Aplicando las propiedades de los límites
3
18lim
1
x
x
x
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35
)3(lim
)18(lim
3
18lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
Sustituyendo directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, específicamente en el cociente de límites dentro del radical, obtenemos elvalor del límite pedido:
2
3
4
9
)3)1((
)1)1(8(
Por lo tanto:
2
3
3
18lim
1
x
x
x
Ejercicios propuestos
Calcula los límites de las siguientes funciones, aplicando las propiedadescorrespondientes.
1. 2
13lim x
x
2. 4lim 2
2
x x
x
3. 127lim 23
x x x
4.
63
9lim
2
1 x
x
x
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5. )77(lim5 x
6. 457lim 2
3
2
x x x
Limites laterales
Definición
Para confirmar la existencia o la inexistencia del límite de una función para un
determinado valor dado “a” de x, se hace necesario intuir el valor que toma lafunción para este valor de la variable independiente. Esto se hace tomandovalores muy cercanos al valor “a” tanto por su derecha como por su izquierda en larecta numérica. A esta forma de determinar el límite o valor de la funciónacercándose al punto dado de x por sus lados laterales, se le conoce comoLímites Laterales y se simboliza por las siguientes expresiones:
Limite por la derecha
L x f a x
lim
Limite por la izquierda:
L x f a x
lim
Ejemplo 1
Indicar si el límite de la siguiente función, existe o no en el punto o valor indicado:
112
112)(
2
x x
x x x f
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Solución
En esta función definida a intervalos, tomaremos inicialmente el límite por la
derecha, es decir, para los valores de x mayores que 1, al cual le corresponde la
función:
Luego por la definición de límite por la derecha tenemos que:
31)1(2)12(lim 22
1
x
x
Ahora hallaremos el valor al cual tiende la función f(x) cuando nos acercamos al
valor definido de x por la izquierda, es decir, para los valores de x menores o
iguales a 1, a este intervalo le corresponde la función.
12)( 2 x x f
Luego por la definición de límite por la izquierda tenemos que:
31)1(2)12(lim 22
1
x
x
Finalmente, como los dos limites laterales hallados son iguales, entonces
podemos decir que el límite de la función f(x), en el punto x = 1, es 3.
Ejemplo 2
Indicar si el límite de la siguiente función, existe o no en el punto o valor indicado:
12)( x x f
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132
13²2)(
x x
x x x f
En esta función definida a intervalos, tomaremos inicialmente el límite por la
derecha, es decir, para los valores de x mayores que 1, al cual le corresponde la
función:
1)32
()( xcuando x
x f
Luego por la definición de límite por la derecha tenemos que:
5.22
53
2
1)3
2(lim
1
x
x
Ahora hallaremos el valor al cual tiende la función f(x ) cuando nos acercamos al
valor definido de x por la izquierda, es decir, para los valores de x menores o
iguales a 1, a este intervalo le corresponde la función.
132)( 2 xcuando x x f
Luego por la definición de límite por la izquierda tenemos que:
13)1(2)32(lim 22
1
x x
Finalmente, como los dos limites laterales hallados no son iguales, entonces
podemos decir que el límite de la función f ( x ), en el punto x = 1 no existe, aunque
se hallan encontrado valores para los dos limites laterales.
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Ejemplo 3
Determine si existe el límite o no para la siguiente función:
11²3
1513
x si x
x si x si x
x f
Solución
Hallamos inicialmente el límite de la función por la izquierda, el cual esta definidoasí:
x f x 1lim
3lim
1
x
x
Evaluamos el límite anterior para x = 1:
4313lim1
x
x
Evaluamos ahora el límite de la función por la derecha, el cual esta definido así:
1limlim 2
11
x x f
x x
Evaluamos el límite anterior para x =1:
41311313lim22
1
x
x
Como los límites son iguales por la derecha y por la izquierda, entonces se deduceque:
4lim1
x f x
Por lo tanto el límite de la función existe y es igual a 4. El valor de lafunción 51 f no desempeña ningún papel al calcular el límite en este caso.
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Ejemplo 4
Sea f la función definida a intervalos como se denota a continuación:
11²
12
x si x
x si x x f
Evaluar el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda, cuando x tiendea 1 por la derecha.
Solución
El límite por la izquierda es:
x f x 1
lim
x x
2lim1
Evaluando el límite:
1122lim1
x x
El límite por la derecha es:
x f x 1lim
1lim 2
1
x
x
Evaluando el límite por la derecha:
211111lim22
1
x
x
Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, entonces:
x f x 1lim = no existe
Existen funciones que representan algunas discontinuidades.
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Generado en illustrator cs4
b x f
a x
)(lim
Se usa el signo (+) como súper índice cuando x se aproxima a a por la derecha
c x f a x
)(lim
Se usa el signo (-) como súper índice cuando x se aproxima a a por la izquierda.
Consideremos la siguiente gráfica en la que existe una discontinuidad cuando x esigual a 3
Generado en illustrator cs4
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42
2)(lim3
x f x
Cuando x se aproxima a tres por la derecha la función tiende a tomar el valor 2
1)(lim3
x f x
Cuando x se aproxima a tres por la izquierda la función tiende a tomar el valor 1
Ejercicios propuestos
De acuerdo con las siguientes gráficas de funciones, determinar si el límite existe.
1. a. )(lim1
x f x
b. )(lim
1 x f
x
Figura 1. Generado en illustrator cs4
2. a. )(lim1 x f x b. )(lim0 x f x
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Figura 2. Generado en illustrator cs4
3. a. )(lim0
x f x
b. )(lim2
x f x
c. )(lim1
x f x
Figura 3. Generado en illustrator cs4
Determine si los límites existen:
4.
13
1³
x si x
x si x
x f
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44
5.
13
113
x si x
x si x
x f
6.
11
11
11²
x si x
x si
x si x
x f
7.
1)²1(
10
)(
x si x
x si
x f
8.
01
01²
)(
x si x
x si x
x f
9.
2
13²
2
11
)(
x si x x
x si x
x f
10.
21
212²
)(
x si x
x si x x
x f
Limites indeterminados
Definición
Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estasformas de solución:
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45
1,,,0,,
0
0 00
Siempre que el límite de una función presente una solución indeterminada,
debe optarse por una solución algebraica, aplicando la factorización comomedio de solución, en algunos casos, aplicando la conjugada o racionalizacióndel numerador o del denominador, todo esto, con el fin, de eliminar laindeterminación y dar respuesta al problema planteado.
Ejemplo 1
Calcular el siguiente límite:
x
x x
x
25lim
2
0
Solución
Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, observamos que el límite es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:
ind x
x x
x
0
0
0
)0(2)0(525 lim
22
0
Entonces, con el fin de quitar esta indeterminación, factorizamos el numerador dela función por medio de uno de los casos de factorización como es el de factor común.
Luego sacando el factor común x en el numerador de la función, obtenemos:
x
x x
x
)25(
lim0
Simplificando el término común x se obtiene:
)25(lim0
x x
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Finalmente sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en ellímite de la función obtenemos el valor del límite:
0
22020525lim
x x
Ejemplo 2
Calcular el siguiente límite:
1
12 lim
2
1
x
x x
x
Solución
Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, observamos que su resultado es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:
ind x
x x
x
0
0
0
121
1)1(
)1)1(2)1(
1
12 lim
22
1
Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,
factorizamos el numerador de la función, el cuál es un trinomio de la forma:x2 + bx + c.
Factorizando obtenemos:
)1(
)1)(1(lim
1
x
x x
x
Simplificando los términos se obtiene:
)1(lim1
x x
Finalmente sustituyendo el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción se obtiene el valor del límite:
011)1(lim1
x x
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Se concluye que:
01
12lim
2
1
x
x x
x
Ejemplo 3
Calcular el siguiente límite:
25
5 lim
25
x
x
x
Solución
Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, observamos que su resultado es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:
ind x
x
x
0
0
2525
0
25)5(
55
25
5lim
225
Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,factorizamos el denominador de la función, el cual es una diferencia de cuadrado.
Factorizando obtenemos:
)5)(5(
)5(lim
5 x x
x
x
Simplificando los términos se obtiene:
5
1lim
5 x x
Finalmente sustituyendo directamente el valor al cual tiende la variable x en ellímite de la función obtenemos el valor del límite:
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48
10
1
55
1
5
1lim
5
x x
Se concluye que:
10
1
25
5 lim
25
x
x
x
Ejemplo 4
Calcular el siguiente límite:
4
2
lim4
x
x
x
Solución
Al sustituir el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la función,observamos que es indeterminado, ya que un cociente cuyo numerador ydenominador sea cero no existe:
ind x x
x
00
022
4424
42lim
4
Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,racionalizamos el numerador de la función, esto se hace multiplicando por el
término 2 x , tanto al numerador como al denominador de la función argumento
del límite. (El término 2 x es la conjugada del numerador de la función).
2
2
4
2lim4 x
x
x
x
x
)2)(4(
)2(lim
22
4
x x
x
x
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49
)2)(4(
4lim
4
x x
x
x
Simplificando los términos semejantes en la expresión anterior, se obtiene:
)2(
1lim
4 x x
Finalmente, sustituyendo directamente el valor al cual tiende la variable x en ellímite de la función obtenemos el valor del límite:
4
1
22
1
24
1
2
1lim
4
x x
Se concluye que:
4
1
4
2lim
4
x
x
x
Ejemplo 5
Calcular el siguiente límite:
x
x
x
24lim
0
Solución
Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de la
función, observamos que el límite es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:
ind x
x
x
0
0
0
22
0
20424lim
0
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50
Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,racionalizamos el numerador de la función, esto se hace multiplicando por el
término, 24 x tanto al numerador como al denominador de la función
argumento del límite. (El término 24
x es la conjugada del numerador de lafunción argumento).
24
2424lim
0 x
x
x
x
x
24
)2(4lim
22
0 x x
x
x
Realizando las operaciones indicadas:
24
44lim
0 x x
x
x
24lim
0 x x
x
x
Se simplifica el término x
24
1lim
0 x x
Finalmente sustituimos el valor al cual tiende la variable x en el límite de la funciónse obtiene el valor del límite:
4
1
)22(
1
24
1
204
1
24
1lim
0
x x
Se concluye que:
4
124lim
0
x
x
x
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51
Ejercicios propuestos
Calcule los siguientes límites:
1.1
1lim
31
x
x
x
2.8
4lim
3
2
2
x
x
x
3.2
12
lim
2
2
x
x x
x
4.1
312lim
1
x
x
x
5.3
9lim
9
x
x
x
Limites al infinito
Definición
Son aquellos límites de funciones en los cuales la variable independiente x tiendeal infinito. Al calcular esto tipos de límites sustituyendo la variable x directamenteen la función por infinito, la mayoría de las veces el resultado es una expresión
infinita, la cuál es necesario intentar resolver ya que esta solución no tiene sentidoen el concepto de límite, porque el infinito no tiene límite.
Además en los límites al infinito, el resultado infinito representa únicamente unaexpresión simbólica puesto que y no son números definidos o determinados.
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52
Ejemplo1
Calcular el siguiente límite:
x x x
x x x
x 642
8354 lim
23
23
Solución
Al sustituir en las funciones, el resultado obtenido es una indeterminación
x x x
x x x
x 642
8354
lim 23
23
Entonces, con el fin, de eliminar ésta indeterminación, se realizan los siguientespasos:
1, Se escoge el término x en la función argumento del límite al infinito que tenga elmayor exponente, éste último llamado también grado de la función.
2. Luego se procede a dividir cada uno de los términos de la función por el términoescogido de la siguiente manera:
33
2
3
3
333
2
3
3
23
23
642
8354
lim
642
8354 lim
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
x
x
Simplificando la x indicada con su correspondiente grado en cada uno de lostérminos en la función del límite se obtiene:
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53
2
32
642
8354
lim
x x
x x x x
Por propiedad de los límites al infinito: Si k es un número racional positivo y r es un
número real arbitrario entonces 0lim k x x
r siempre que k
x esté definido.
Aplicando esta propiedad:
2
2
4
002
0004lim
x
Se concluye que:
2642
8354 lim
23
23
x x x
x x x
x
Ejemplo 2
Calcular el siguiente límite:
110
135 lim
23
23
x x
x x
x
Solución
Si reemplazamos directamente el valor infinito al cual tiende la variable x en ellímite de la función, encontramos que esto nos lleva a una indeterminación,entonces para eliminarla se dividen todos los términos de la función planteadasobre la variable de mayor grado, así:
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54
3
3
33
2
3
3
33
2
3
3
23
23
11
10
135
lim
:simplifica Se
110
135 lim
110
135 lim
x x
x x
x x
x
x
x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
Por propiedad de los límites al infinito: Si k es un número racional positivo y r es un
número real arbitrario entonces 0lim k x x
r siempre que k
x esté definido.
Aplicando esta propiedad:
2
1
10
5
0010
005lim
x
Se concluye que:
2
1
110
135 lim
23
23
x x
x x
x
Ejemplo 3
82
45 lim
2
2
4
x x
x x
x
Solución
Factorizamos el numerador y el denominador:
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)1)(4(452 x x x x )2)(4(822 x x x x
Reemplazamos:
2
1
)2(
)1(lim
6
3
)24(
)14(
)2(
)1(lim
:Evaluamos
)2(
)1(lim
:mosSimplifica
)2)(4(
)1)(4(lim
82
45 lim
4
4
4
42
2
4
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x x
Se concluye que:
2
1
82
45 lim
2
2
4
x x
x x
x
Ejemplo 4Determinar el siguiente limite
1
25lim
1
x
x
x
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56
Solución
Al reemplazar el valor al cual tiende el límite propuesto tenemos:
0
0
0
24
1)1(
2)1(5
Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,racionalizamos el numerador de la función, esto se hace multiplicando por el
término 25 x tanto al numerador como al denominador de la función
argumento del límite. (El término 25 x es la conjugada del numerador de lafunción).
4
1
1
25lim
41
221
241
215
1
2)1(5
1
:Evaluamos25
1lim
:mosSimplifica
)25)(1(
1lim
)25)(1(
45lim
)25)(1(
2)5(lim
25
25
1
25lim
1
25lim
1
1
1
1
22
1
11
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
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Ejemplo 5
x x x x x
22
13lim
Solución
Sustituimos el valor al cual tiende la variable x en el límite de la función:
1131
11131
3lim
22
22
1
x x x x x
22
3lim
24
22
1
x x x x
x
Ejemplo 6
Demuestre que:
b
h
bhb
h2
)(lim
22
0
Solución
Desarrollamos el producto notable:
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:osFactorizam2
lim
semejantestérminosReducimos2
lim
)2( lim
)( lim
2
0
222
0
222
0
22
0
hh
hbh
h
bhbhb
h
bhbhb
h
bhb
h
h
hh
2)2(lim
02)2(lim
:Evaluamos)2(lim
:mosSimplifica)2(
lim
0
0
0
0
bhb
bhb
hb
h
hbh
h
h
h
h
Ejemplo 7
Demuestre que:
233
03
)( lim x
h
xh x
h
Solución
)( lim
33
0
h
xh x
h
Resolvemos el paréntesis:
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h
h xhh x
h
xh xhh x x
hh
322
0
33223
0
33 lim
)33( lim
Factorizamos la “h”:
233
0
222
0
2222
0
22
0
22
0
3)(
lim
003)33lim(
)0()0(33)33(lim
:Evaluamos)33(lim
:mosSimplifica)33(
lim
xh
xh x
xh xh x
x xh xh x
h xh x
h
h xh xh
h
h
h
h
h
Ejemplo 8
Evaluar el siguiente limite
33
2 )1( lim
b x
bb x x
b x
Solución
: planteadassoperacionelasresuelvenSe
)1( lim33
2
b x
bb x xb x
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60
:Factorizar
)()( lim
lim)(
lim
33
2
33
2
33
2
b xb xbx x
b x
b xbx x
b x
b xbx x
b x
b xb x
222
22222
2222
22
22
22
3
11 lim
11 lim
11 lim
:Evaluamos
1 lim
:mosSimplifica
))((
)1)(( lim
))((
)()( lim
b
b
bbx x
x
bbb
b
bbx x
x
bbbb
b
bbx x
x
bbx x
x
bbx xb x
xb x
bbx xb x
b xb x x
b x
b x
b x
b x
b x
b x
233
2
3
1)1( lim
b
b
b x
bb x x
b x
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61
Ejemplo 9
Demuestre los siguientes límites infinitos.
11
10
2
1lim
22
a
a
a
a
a
Solución
1
10
2
1lim
22
a
a
a
a
a
Realizando la resta de fracciones algebraicas por mínimo común múltiplo
)1)(2(
)2)(10()1)(1( lim
22
aa
aaaa
a
Realizando las multiplicaciones indicadas en el numerador tenemos
)1)(2(
)20102()1( lim
2323
aa
aaaaaaa
Suprimiendo paréntesis teniendo en cuenta la ley de los signos llegamos a:
)1)(2(
201021 lim
2323
aa
aaaaaa
a
Reducimos términos semejantes y se factoriza el signo menos (-)
)1)(2(
199 lim
)1)(2(
199 lim
22
aa
aa
aa
aa
aa
Multiplicamos los factores del denominador
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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62
23
199 lim
2
2
aa
aa
a
Si reemplazamos directamente el valor infinito al cual tiende la variable “a” en ellímite de la función, encontramos que esto nos lleva a una indeterminación,entonces para eliminarla se dividen todos los términos de la función planteadasobre la variable de mayor grado, así:
222
2
222
2
23
199
lim
aa
a
a
a
aa
a
a
a
a
Simplificando
aa
aaa
2
2
231
1991
lim
Por propiedad de los límites al infinito: Si k es un número racional positivo y r es un
número real arbitrario entonces 0lim k x x
r siempre que k
x esté definido.
Aplicando esta propiedad:
11
1
001
001
Se concluye:
11
10
2
1lim
22
a
a
a
a
a
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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63
Ejemplo 10
Demostrar que:
2
1lim 2
x x x
x
Solución
Reemplazando directamente obtenemos:
2lim x
Indeterminación
Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,racionalizamos el numerador de la función, esto se hace multiplicando por el
término x x x 2 tanto al numerador como al denominador de la función
argumento del límite. (El término x x x 2 es la conjugada del numerador de lafunción).
x x x
x x x x x x
x 2
22lim
Realizando los productos indicados, teniendo en cuenta que el producto de losnumeradores es una diferencia de cuadrados, obtenemos:
x x x
x x x
x 2
22
2
lim
La potencia 2 elimina el radical, lo cual nos lleva a:
x x x x x x
x
2
22
lim
Se reducen los términos semejantes en el numerador, llegamos a:
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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64
x x x
x
x 2lim
Si reemplazamos el valor infinito al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, encontramos que esto nos lleva a una indeterminación, entonces para
eliminarla se dividen todos los términos de la función planteada sobre la variablede mayor grado, así:
x
x
x
x x
x
x
x 2lim
Al introducir x en el radical, tenemos:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
22
2lim
Simplificando:
11
1
1lim
x
x
Por la propiedad de los límites al infinito siguiente: Si k es un número racional
positivo y r es un número real arbitrario entonces 0lim k x x
r siempre que k
x esté
definido. Aplicando esta propiedad:
101
1
2
1
11
1
Se concluye:
La variable con mayor exponente aparentemente es x², sin embargo como ésta
se encuentra dentro de la raíz, se aplica el teorema de los exponentes
x x ² , quedando así la variable por la cual dividiremos todos los
términos.
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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65
2
1lim 2
x x x
x
Ejemplo 11
Hallar el valor de b que hace a la siguiente función f(x) continua.
3si52)(
3si 13)(2
xbx x x f
xbx x f
Solución
Hallamos el límite de cada función en el punto dado para que la función seacontinua:
Cuando buscamos la continuidad en una función por partes, lo primero quedebemos hacer es evaluar los límites de cada una de la partes, por separado, y
después igualar los resultados para encontrar el valor que hace de unión entre lasdos.
19)13lim
1)3(3)13(lim
)13lim
13
3
3
3
bbx
bbx
bx
bx f(x)
x
x
x
(
(
)(
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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66
233)52(lim
5318)52(lim
53)9(2)52lim(
5)3()3(2)52(lim
)52lim(
52)(
2
3
2
3
2
3
22
3
2
3
2
bbx x
bbx x
bbx x
bbx x
bx x
bx x x f
x
x
x
x
x
Ahora igualamos los dos valores para hallar “b” :
3
11
6
22226
1233923319
233)52(lim
19)13(lim
)52(lim)13(lim
2
3
3
2
33
bbb
bbbb
bbx x
bbx
bx xbx
x
x
x x
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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67
353
112)(
313
113)(
2
x x x x f
x x x f
si
si
Figura 4.Generado en Derive 6.0
Ejemplo 12
Hallar el valor de b que hace a la siguiente función g(t) continua
2si23
2si9)(
2
t bt
t t bt g
Solución:
Hallamos el límite de cada función en el punto dado para que la función seacontinua:
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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68
49)9(lim
29)9(lim
)9(lim9)(
2
2
22
2
2
2
2
bt b
bt b
t bt bt g
t
t
t :Evaluamos
26)23(lim
2)2(3)23(lim
)23(lim23)(
2
2
2
bbt
bbt
bt bt t g
t
t
t :Evaluamos
Ahora igualamos los dos valores para hallar “b” :
42692649
26)23(lim
49)9(lim
2
2
2
bbbb
bbt
bt b
t
t
2
3
663 bbb
2si262si18)(
2si2)2(3
2si)2(9)(
2
2
t t t t t g
t t
t t t g
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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69
Figura 5.Generado en Derive 6.0
Ejemplo 13
Analizar la continuidad en los puntos -2 y 1 de la siguiente función:
12
11
25
)( 2
x x
x x
x x
x f
si
2-si
si
Solución
Hallamos el límite de cada función en los puntos dados para analizar sucontinuidad:
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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70
3)5(lim
52)5(lim
)5(lim5)(
2
2
2
x
x
x x x f
x
x
x
:Evaluamos
3)1(lim
14)1(lim
1)2()1(lim
)1(lim
1)(
2
2
2
2
22
2
2
2
2
x
x
x
x
x x f
x
x
x
x
0)1(lim
11)1(lim
1)1()1(lim
)1(lim)1()(
2
1
2
1
22
1
2
1
2
x
x
x
x x x f
x
x
x
x
:Evaluamos
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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71
3)2(lim
21)2lim(
)2lim(
2)(
1
1
1
x
x
x
x x f
x
x
x
Figura 6.Generado en Derive 6.0
Se dice que una función f es continua en el número “α” si y solo sí, se cumplen lassiguientes condiciones:
iii)
existe ii)
existe i)
)()(lim
)(lim
)(
a f x f
x f
a f
a x
a x
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72
Los dos primeros se cumplen, pero la tercera condición no se cumple porque ellímite de una función en 1 es diferente a la otra, luego la función no es continua en1, pero si es continua en -2.
Ejercicios propuestos
Calcule los siguientes límites:
1. x x x
x x x
x 6102
9155lim
32
23
2.542
137lim
2
2
x x
x x
x
3. 21
1lim
x
x
x
4.2423
1lim
23
2
nnn
nn
n
5.242
1542
23
nn
nn Limn
6.
nnnn
31
21
11lim
7.
32
2lim
n
nn
n
8. 12
1212lim
2
22
n
nn
n
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73
9.
3 4
2 43
n
nn Limn
10.32
14lim
n
nn
Ejemplo 1
En una empresa, en una caldera, el vapor de agua, que sale del proceso desuministro de calor a los equipos se mantiene a temperatura constante dentro de
la caldera. Cuando el gas se comprime el volumen disminuye hasta que se llega auna presión crítica. Al rebasar ésta presión el gas se convierte en líquido.Interpretar la siguiente gráfica y calcular:
V P 100
limy
V P 100
lim
Solución
Observamos que cuando la presión P (en Torrs) es baja la sustancia es gaseosa yel volumen V (en litros) es grande. Cuando P se acerca a 100 tomando valoresmenores que 100, el volumen disminuye y tiende a 0.8 litros, o sea que:
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74
8.0lim100
V
P
Cuando la Presión tiende a 100 tomando valores mayores que 100 la sustancia es
líquida y el volumen aumenta muy lentamente (los líquidos son casiincompresibles) tendiendo a 0.3 litros, así:
3.0lim100
V
P
Cuando la presión es igual a 100 Torrs, las formas líquida y gaseosa coexisten enequilibrio y la sustancia no se puede clasificar como gas o como líquido.
Ejemplo 2
En una casa matriz de vehículos de alta gama, se aplica la fórmula de Lorentzpara la contracción,
2
2
1c
v L L o
La cual da la relación entre la longitud L de un vehículo que se mueve convelocidad v respecto a un observador y la longitud Lo en reposo, donde c es lavelocidad de la luz. Esta fórmula indica que un objeto (vehículo) es más corto
cuando se está moviendo que cuando se halla en reposo.Calcular e interpretar L
cv lim
Solución
Lcv
lim=
2
2
1limc
v L
ocv
2
2
1limc
v L
cvo
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75
2
2
1limc
v L
cvo
00 o L
Por lo tanto, si la velocidad de un objeto pudiera acercarse a la velocidad de la luz,entonces su longitud, medida por un observador en reposo, tendería a cero. Esdecir, ningún objeto puede tener una velocidad mayor o igual a c.
Ejercicios propuestos
1. Un paciente recibe una dosis inicial de 200 mg (miligramos) de ciertomedicamento. Posteriormente se le administran dosis de 100 mg cada 4 horas. Lafigura muestra la cantidad m(t) del medicamento en la sangre a las t horas.Calcule e Interprete:
)(lim8
t f t
y)(lim
8t f
t
2. Una lente convexa tiene una distancia focal f en centímetros. Si un objeto secoloca a p centímetros de la lente, la distancia q de la imagen a la lente estárelacionada con p y f por la ecuación de las lentes
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76
f q p
111
P debe ser mayor que f para que los rayos converjan.
a. Analice:
q f p
lim
b. ¿Qué le sucede a la imagen cuando p tiende a f por la derecha?
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77
CONTENIDO
Segundo corte:
Unidad 2
DERIVADAS
2.1 Interpretación geométrica de la Derivada.
2.2 Teoremas: Derivada de una constante, de una potencia, de una constante por una función, de una suma, del producto, del cociente. Derivada de unacomposición de funciones (regla de la cadena).
2.3 La derivada como una razón de cambio. Razones relacionadas. Problemas derazón de cambio.
2.4 Análisis de gráficas. Máximos y Mínimos. Criterio para la primera derivadapara máximos y mínimos relativos. La segunda derivada y concavidad. Criterio dela segunda derivada.
2.5 Optimización en la empresa y la economía. Elasticidad de la demanda-maximización del ingreso-minimización del costo promedio-maximización de la
ganancia.
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78
Concepto de derivada
El concepto más importante del cálculo y en general de todas las matemáticas es
el de derivada. Un ejemplo muy particular es el de calcular la pendiente de larecta tangente a una curva en un punto dado. La razón de cambio en un instante yla pendiente de la recta tangente a la curva se definieron como el límite delcociente entre el incremento de la variable dependiente sobre el incremento de lavariable independiente, cuando éste último tiende a cero en el límite, y siempreque exista.
x
y
x 0lim
x
x f x x f
x
0
lim
Entonces se llama derivada de la función f(x) en un punto x, al límite del cocienteincremental cuando x tiende a 0.
Interpretación geométrica de la derivada
Consideremos la siguiente representación geométrica
La interpretación geométrica de la deriva se puede abordar a partir del cálculo dela pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.
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79
La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente de su recta tangente enP.
Puesto que la tangente en P es una posición limitante de las rectas secantes PQ,
la pendiente de la tangente es el valor límite de las pendientes de las rectassecantes, conforme Q se aproxima a P. se encontrara una expresión para lapendiente de la curva y= f(x) en el punto P= (x1, f(x1)) que se muestra en la figura.
Si Q= [x2, f(x2)], la pendiente de la recta secante PQ es:
12
12)()(
x x
x f x f m PQ
Se denomina h a la diferencia , es decir, h = , entonces se puede
escribir como (haciendo uso del despeje de ecuaciones). Aquí, se tieneque h tiene que ser diferente de cero, en consecuencia Reemplazando el valor de en la ecuación anterior que define la pendiente yreduciendo términos en el denominador se obtiene.
h
x f h x f
xh x
x f h x f m PQ
)()(
)(
)()( 11
11
11
Conforme Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, entonces se aproxima aesto significa que h tiende a cero. Por lo tanto el valor limitante de las
pendientes de las rectas secantes a la curva, se determina a través del siguientelímite:
h
x f h x f m
h
)()(lim 11
0tan
Esta ecuación representa la definición de derivada, así:
h
x f h x f y
h
)()(lim 11
0
,
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80
Ejemplo1
Hallar la derivada de la función ²3)( x x f en el punto x = 2.
Solución
Primero: se aplica la definición de derivada a partir del límite.
h
x f h x f x f
h
)()(lim)(' 11
0
Segundo: para reemplazar se cambia el valor de x en la fórmula,colocando el valor indicado en el punto, en este caso x = 2.
h
f h f f
h
)2()2(lim)2('
0
Tercero: teniendo en cuenta como ésta definida la funcion dada ²3)( x x f se
tiene que )²2(3)( hh x f y además )²2(3)2( f reemplazando estas
últimas expresiones en la fórmula de derivada anterior, se obtiene:
hh f
h
22
0)2(3)2(3lim)2('
Cuarto: Realizando el cuadrado del binomio se obtiene.
h
hh f
h
12)44(3lim)2('
2
0
Eliminando el paréntesis al pasar a multiplicar el 3 por cada uno de lostérminos en él, llegamos a.
h
hh f
h
1231212lim)2('
2
0
Reduciendo términos semejantes se obtiene.
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81
h
hh f
h
123lim)2('
2
0
Factorizando el numerador de la expresión
h
hh f
h
)123(lim)2('
0
Simplificando h
)123lim)2('0
h f h
(
Evaluando el límite
es decir, la derivada de
Ejemplo 2
Hallar la derivada de la función 7532)( 23 x x x x f
Solución
Primero: se aplica la definición de derivada a partir del límite.
h
x f h x f x f
h
)()(lim)(' 11
0
Segundo: teniendo en cuenta como está definida la función dada
7532)( 23 x x x x f entonces para x1=x tenemos que
7532)( 23
1 x x x x f y 7)(5)(3)(2)( 23
1 h xh xh xh x f entonces
reemplazando estas dos últimas igualdades en la definición de derivada,
obtenemos:
12)2(' f 12 es 2 x en x f )(
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h
x x xh xh xh x x f
h
)7532(7)(5)(3)(2lim)('
2323
0
Tercero: Realizando las operaciones algebraicas correspondientes, esdecir, el cubo del binomio y el cuadrado del binomio y destruyendo
paréntesis se obtiene:
h
x x xh xh xh xh xhh x x x f
h
75327)(5)2(3)33(2lim)('
23223223
0
Suprimiendo los paréntesis, realizando las multiplicaciones
correspondientes y teniendo en cuenta la ley de los signos se obtiene:
h
x x xh xh xh xh xhh x x x f
h
75327553632662lim)('
23223223
0
Reduciendo términos semejantes se llega a:
h
hh xhh xhh x x f
h
536266lim)('
2322
0
Sacando el factor común h en el numerador se llega:
h
h xh xh xh x f
h
)536266(lim)('
22
0
Simplificando h
)536266(lim)('
22
0 h xh xh x x f h
Evaluando el límite se obtiene finalmente la derivada de la función, así.
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56²6)('
5)0(36)²0(2)0(66)(' 2
x x x f
x x x x f
Ejemplo 3
Hallar la derivada de x
x f 2
)(
Solución
Primero: se aplica la definición de derivada a partir del límite.
h
x f h x f x f
h
)()(lim)(' 11
0
Segundo: teniendo en cuenta la funcion dada x
x f 2
)( se reemplaza en
x de la siguiente manera:
h
xh x x f h
22
lim)('0
Tercero: se realizan las operaciones algebraicas correspondientes.
h
xh x
h x x
x f h
))((
222
lim)('0
Se reducen términos semejantes y luego se aplica la ley de extremos
sobre medios.
))()((
2lim)('
0 h xh x
h x f
h
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Simplificando h en el numerador y el denominador.
))((
2lim)('
0 xh x
x f h
Multiplicando el denominador.
xh x x f
h
20
2lim)('
Aplicando el límite con h tendiendo a cero, por lo tanto la derivada de
x
x f 2
)( es:
2
2)('
x x f
Ejemplo 4
Hallar la derivada de x x f )(
Solución
Primero: se aplica la definición de derivada a partir del límite.
h
x f h x f x f
h
)()(lim)(' 11
0
Segundo: teniendo en cuenta la funcion dada x x f )( se reemplaza en x
de la siguiente manera:
h
xh x x f
h
0lim)('
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Tercero: en este caso se realiza la multiplicación por la conjugada para
poder racionalizar las raíces presentes en el numerador.
xh x
xh x
h
xh x x f
h
.lim)('
0
Se realizan las multiplicaciones correspondientes.
.)(
lim)('0 xh xh
x xh x xh xh x x f
h
Se reducen términos semejantes
.)(
lim)('0 xh xh
h x f
h
Simplificando h en el numerador y el denominador
.1
lim)('0 xh x
x f h
Aplicando el límite con h tendiendo a cero obtenemos,
.2
1)('
x x f
Por lo tanto la derivada de es
Ejemplo 5
Si determinar Después hallar una ecuación de la rectatangente a la gráfica de f en (1,7).
x x f )( .2
1)('
x x f
322)( 2 x x x f ).1(' f
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Solución
Primero: se aplica la definición de derivada a partir del límite.
h
x f h x f x f
h
)()(lim)(' 11
0
Segundo: teniendo en cuenta la funcion dada 322)( 2 x x x f se
reemplaza en x de la siguiente manera:
h
x xh xh x x f
h
)322(3)(2)(2lim)('
22
0
Tercero: se realizan las operaciones algebraicas correspondientes
Se realiza el binomio al cuadrado, la multip licación y se suprime el
paréntesis teniendo en cuenta la ley de los signos.
h
x xh xh xh x x f
h
322322)2(2lim))('
222
0
Se eliminan el paréntesis multiplicando.
h
x xh xh xh x x f
h
322322242lim)('
222
0
Reduciendo términos semejantes.
h
hh xh x f
h
224lim)('
2
0
Sacando factor común en los términos del numerador y simplificando h
en el numerador y el denominador se obtiene.
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24))(' x x f
)224(lim)('0
h x x f h
Aplicando el lími te cuando h tiende a cero :
24)('
2)0(24)('
x x f
x x f
Ahora se halla reemplazando en la derivada
624)1('
2)1(4)1('
f
f
Cuarto: se construye la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto
(1,7).
Consecuentemente, la recta tangente a la gráfica en (1,7) tiene pendiente igual
a 6, ya que la derivada de una función representa la pendiente de la recta
tangente a la curva en ese punto. Entonces aplicando la ecuación punto
pendiente.
)( 11 x xm y y
Se tiene que: m= 6 y el punto es (1,7), reemplazando:
16
766
667
)1(67
)( 11
x y
x y
x y
x y
x xm y y
)1('
f
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Luego la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 7) está
dada por:
Ejercicios propuestos
1. Utilice la definición e interpretación geométrica de la derivada para hallar la
derivada de la función 34)( 2 x x x f
2. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 42)( 2 x x f en el punto
(3,-14)
3. Obtener la pendiente de la curva1
23)(
x
x x f en el punto (1,1)
4. Derivar la función 13)( x x f utilizando la definición de límite.
5. Determine la pendiente de la curva 54)( 2 X x f cuando x=0
Teorema
Derivada de la función constante
La derivada de una función constante (c) es cero.
Como la derivada por definición de límites es:
x
x f x x f x f x
)()(lim)('0
Entonces:
16 x y
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y x f
x f
x x f
c x f x
cc x f
x
x
x
)(
00lim)('
00
lim)('
)()()(
lim)('
0
0
0
Para
con ,
0' yc ySi
Ejemplo
Hallar la derivada de 5 y
Solución
Como y es una función constante:
0'5 y y
Derivada de una potencia
La derivada de una potencia se halla de la siguiente forma:Se multiplica el exponente por el coeficiente de la función potencia.Se le resta uno (1) al exponente.
Así: 1' nn ncx ycx y donde c es una constante
Ejemplo
Calcular la derivada de:
312 x y
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90
Solución
Como se sabe la función es:
312 x y
Para derivar ésta función, bajamos el exponente, lo multiplicamos por elcoeficiente de la variable x y al exponente le restamos 1, así.
13)12)(3(' x y
236' x y
Derivada de una constante por una función
La derivada de una constante (c) por una función es igual a la constante por laderivada de la función, de la siguiente forma:
x f c y x f c y '')(
Ejemplo
Hallar la derivada de )1²(5 x x y
Solución
Como 5 es una constante entonces:
Derivando la función:
)12(5'
)012(5'
x y
x y
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91
Derivada de la suma de funciones
La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las
funciones.
Es decir, si y ( x ) está determinada por la suma de dos funciones, así:
)(')('')()( x g x f y x g x f y
Ejemplo
Halle la derivada de la siguiente función:
854 3 x x y
Solución
854 3 x x y
Realizamos la derivada de cada término, como si cada uno de ellos fuera unafunción independientemente. En cierta forma se utilizó la propiedad de la derivadade suma de funciones, así:
02
1113
5)3)(4('
05)3)(4('
x x y
x x y
Recordemos que al quedar x0= 1, en el segundo término, por las propiedades dela potenciación el resultado es 5 x 1.
512'
5)3)(4('
2
02
x y
x x y
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92
Derivada del producto de dos funciones
La derivada del producto de funciones es una regla especial, por lo tanto, no esigual al producto de la derivada de cada función. Esta se define de la siguientemanera:
Dadas las funciones derivables f y g, y sea x g x f y )()( se define su derivadade la siguiente manera:
x' g x f x g x f y )()()()(''
Ejemplo
Halle la derivada de la siguiente función:
)52)(84( 2 x x y
Solución
Como se sabe:
)52)(84( 2 x x y
Para este caso se tiene que:
)2()(
)1(4)( 2
52x x g
y 8 x x f
Derivando las funciones f ( x ) y g ( x ) tenemos:
)3(8' x(x) f
)4(2' (x) g
Teniendo en cuenta como está definida la derivada de un producto que se
expresa:
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93
)5()()()()('' x' g x f x g x f y
Reemplazando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) en la (5) se obtiene:
842528' 2 x x x y
Ahora realizamos las multiplicaciones algebraicas:
1684016'
)84(2)52)(8('
22
2
x x x y
x x x y
Reduciendo términos semejantes en:
164024'
1684016'
2
22
x x y
x x x y
Sacando factor común se obtiene finalmente:
)253(8' 2 x x y
Derivada del cociente de funciones
La derivada del cociente de dos funciones es igual, a la derivada de la funciónnumerador por la función denominador, menos la función numerador por laderivada de la función denominador, sobre el cuadrado de la función denominador.
Es decir, sí )(
)(
x g
x f y
)(
)()()()(''
2 x g
x' g x f x g x f y
Ejemplo
Calcular la derivada de la función52
353
x
x x y
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94
Solución
Se conoce que:
52
353
x
x x y
Para este caso se puede decir que:
)2()(
)1(35)( 3
x
x x x f
52xg
y
Derivando las funciones f ( x ) y g ( x ) tenemos que:
)4()(
)3(315)(' 2
x
x x f
2g'
y
Teniendo en cuenta como está definida la derivada de un cociente que se
expresa:
)(
)()()()(''
2
x g
x' g x f x g x f y
Reemplazando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) en la (5) se obtiene:
2
32
52
23531552'
x
x x x x y
Realizamos las operaciones indicadas:
2
323
52
6101575630'
x
x x x x x y
Reducimos términos semejantes:
2
23
52
157520'
x
x x y
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Sacando factor común en el numerador, finalmente la derivada de la función es:
2
23
52
)3154(5'
x
x x y
Derivada de funciones compuestas
Regla de la cadena
La derivada de una función compuesta x f g x f g se define como el
producto de la derivada de la primera función, la cual debe estar inicialmente entérminos de la segunda como variable independiente, por la derivada de lasegunda función llamada derivada interna, la cual actúa como función argumentoo variable independiente de la primera función. Cada una de ellas se deriva conrespecto a su variable independiente x.
Es decir, sí x f g y x f x f g y '''
Ejemplo
Hallar la derivada de la función )³2³4( x x y
Solución
Se conoce que:
)³2³4( x x y
Para este caso se puede decir que.
)1(2³4)( x x x f
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y )2³()( x x g
Derivando la función f(x)
)3(2²12)(' x x f
Derivando la función g(x)
)4²(3)(' x x g
En consecuencia la función derivada compuesta queda:
(5) )²2³4(3)]([' x x x f g
Teniendo en cuenta como está definida la derivada de la regla de la cadena que
se expresa:
x f g y )6(''' x f x f g y
Reemplazando las ecuaciones (3) y (5) en la (6) se obtiene:
)2²12)²(2³4(3' x x x y
Multiplicando el 3 por el paréntesis derecho se obtiene:
)²2³4)(6²36(' x x x y
Ejercicios propuestos
Calcule la derivada de las siguientes funciones, aplicando las reglas de derivación:
1. y = 9x3 - 2x + 7
2. y =3
53
x
3. y = (2x4 – 3) (-5x3 + 4)
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4. y = x3 (-5x2 -2x)
5. y = x x
x x
32
872
23
6. y = (2x – 1)2
7. y = 12x (4x – 3)2
8. y =
1
373
x
x
9. y =
2
2
32
34
x
x
La derivada como razón de cambio o tasa de variación
Definición
Para denotar el cambio de una variable como x, es común que se utilice el símbolo(que se lee “delta de x”). Por ejemplo, si x varia de 1 a 3. Entonces el cambio
en x es . El nuevo valor de x=3 el cual es igual al valor inicial másel valor del cambio, es decir 1 + . De igual forma si t aumenta en , el nuevovalor es t + .
El análisis de la tasa de variación o razón de cambio de una variable con respectoa otra se aplica a cualquier función y = f(x). Esto significa lo siguiente:
Si y = f(x), entonces:
Tasa media de variación de y con respecto a x sobre el intervalo de x a x +está dada por la expresión:
x
x f x x f
x
y
)()(
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Luego la tasa instantánea de variación de y con respecto a x se define a través delsiguiente límite:
x y
dxdy
x 0lim
La derivada como razón de cambio permite solucionar situaciones (problemas) enun contexto determinado, en estas situaciones se tiene una función de la que sequiere medir u obtener su razón de cambio, es decir, la derivada.
Ejemplos de aplicación
1. Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuandoel lado mide 5 pulgadas.
Solución
Sea 2( ) A f a a , el área del cuadrado como función de su lado.
Entonces:
aa f da
adf
da
dA
2)()( ,
Ahora para a = 5 pulgadas tenemos que:
)5(2)(' pul a f
pul a f 10)('
2. Supóngase que la ecuación de movimiento de una partícula que se mueve a lo
largo de una recta numérica está dada por 4
53 2
t s metros, encontrar la
rapidez cuando t = 10 segundos.
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Solución
La rapidez en cualquier tiempo t está dada por
dt
dsv
Se derivada la función de distancia s con respecto al tiempo t obteniendo lafunción de rapidez, así.
t t t dt
d t
dt
d
dt
dsv
2
3)06(
4
1)53(
4
1
4
53 22
Cuando t = 10 segundos la función de rapidez toma el siguiente valor:
m/s 1510.2
3v
3. Sea 2100 q p la función de demanda para el producto de un fabricante.
Hallar la tasa de variación del precio p por unidad con respecto a la cantidad q.
¿cuán rápido cambia el precio con respecto a q cuando q = 5? El precio p estáen unidades monetarias.
Solución
Para hallar la tasa de variación de p con respecto a q se debe hallar la derivada dep, es decir, de la función de la demanda con respecto a la cantidad q.
qqdqd
dqdp 2)100( 2
Cuando q = 5
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100
10
)5(2
dq
dp
dq
dp
Analizando el resultado, se puede decir que cuando se tiene una demanda de 5unidades, el aumento de una unidad en la demanda corresponde a unadisminución de aproximadamente $10 en el precio por unidad que losconsumidores están dispuestos a pagar.
4. Un sociólogo está estudiando varios programas que se sugiere pueden ayudar en la educación de niños en edad preescolar de cierta ciudad. El sociólogo
considera que después de x años de iniciado un programa específico, f(x) millaresde preescolares se inscribirán. Se tiene que:
)12(9
10)( 2 x x x f 0 ≤ x ≤ 12
¿A qué tasa cambiaria la inscripción después de tres años del inicio de eseprograma?
Solución
La tasa de variación de f(x) es la derivada de esta función:
)212(9
10)(' x x f
Después de tres años:
3
206
9
10))3(212(
9
10)3(' f
Por ello, la inscripción estaría aumentando a una tasa de millares depreescolares por un año.
3
20
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4. Evaluar la tasa de variación de respecto a x. Evaluar la razón decambio cuando x = 2
Solución
La razón o variación de cambio es la derivada de la función 4 x y entonces su
derivada está dada por:
34 xdx
dy
Cuando x = 2, 32)2(4 3 dxdy
Eso significa que si x aumenta en una cantidad pequeña, entonces y aumentaaproximadamente en 32 veces el aumento en x. En términos simples, se dice quey aumenta a un ritmo 32 veces superior al de x.
Ejercicios propuestos de aplicación
1. En un análisis de las aguas contemporáneas de mares poco profundos, seafirma que en estas aguas el total de materia orgánica (en miligramos por litro) esfunción de la diversidad de las especies en x (en número de especies por millar deindividuos). Si y = 100/x, ¿a qué tasa de variación el total de materia orgánica conrespecto a la diversidad de especies cuando x = 10?
2. Con el método de depreciación en línea recta, el valor v de cierta maquinadespués de haber transcurrido t años, está dado por v = 50.000 + 5.000t, endonde t esta entre 0 y 10. ¿Con qué rapidez cambia v con respecto a t cuando t =2?
3. La temperatura aproximada t de la piel en términos de la temperatura Te delambiente, está dada por:
4 x y
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)20(27,08,32 eT t
En donde t y Te están en grados Celsius. Determine la tasa de cambio de t con
respecto a Te
1. El peso W de la rama de un árbol está dado por W = 2t 0,432 en donde t estiempo. Halle la tasa relativa de cambio de W con respecto a t .
Análisis de gráficas y trazado de curvas
Derivadas de orden superior
Cuando la derivada de una función es otra función que se puede derivar, entoncespodemos hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, y el resultado es de nuevo unafunción que puede ser a su vez derivada, podemos determinar la derivada de estanueva función. En conclusión se puede decir que cuando continuamente se puededeterminar una y otra vez la derivada de una función dada, tenemos lo que seconoce por derivada de orden superior .
Ejemplo
²4³5)( x x x f
Primera derivada es: x x x f 8²15)('
Segunda derivada es: 830)('' x x f
Tercera derivada es: 30)(''' x f
Cuarta derivada es: 0)()4( x f
La n-ésima derivada es: 0)( x f n
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Ejercicios propuestos
1. Sea la función:
34236)( 234 x x x x x f
Hallar )1(''' f .
2. Hallar las primeras cuatro derivadas de:
x y
2
Trazados y curvas
Definición
Es una de las aplicaciones de la derivada más útil ya que permite determinar laforma y el comportamiento real de la gráfica de una función.
Al realizar el trazado de una curva se pueden analizar los siguientes elementos:
Crecimiento y decrecimiento
Máximos y mínimos
Concavidad
Puntos de inflexión
En los dos primeros se aplica el criterio de la primera derivada y en los otros dos elcriterio de la segunda derivada. Analicemos cada uno de estos elementos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
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Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función setiene en cuenta el criterio de la primera derivada y los siguientes aspectos:
Se deriva la función f ( x ).
Se iguala a cero la primera derivada de la función, y se resuelve la igualdadhallando los valores de x para los cuales ésta es cero.
Con los valores hallados de x en el anterior procedimiento, se determina elcomportamiento de la función original tomando intervalos que incluyan estosvalores, luego:
Para los intervalos en los que los valores de la función primera derivada seanpositivos se concluye que la función original crece.
Para los intervalos en los que los valores de la función primera derivada seannegativos se concluye que la función original decrece.
Máximos y mínimos
Los puntos de transición de crecimiento y decrecimiento y viceversa se denominanmáximos y mínimos respectivamente.
Estos valores se pueden determinar con el criterio de la primera derivada así:
Se halla la primera derivada de la función.
Se iguala la primera derivada a cero y se hallan los valores de x, por medio defactorización o por la fórmula cuadrática.
Se reemplazan los valores de x en la función original para hallar los respectivosvalores de la función.
Se grafican los puntos encontrados para saber cuál es máximo y cuál el mínimo.
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Concavidad
Definición
Para determinar la concavidad de una función se tiene en cuenta el criterio de lasegunda derivada y los siguientes aspectos:
1. Se deriva dos veces la función f ( x ).
2. La segunda derivada se iguala a cero, y se determinan los valores de la variablex para los cuales el resultado de la ecuación sea cero.
3. Con los valores anteriores hallados de x se determina el comportamiento de lafunción así:
Se toman intervalos en los que se involucran los valores anteriores hallados dex. Luego para valores tomados en éstos en los cuales es positivo el valor de lasegunda derivada, se dice entonces que la gráfica de la función original es
cóncava hacia arriba.
Igualmente para los valores de los intervalos en los que los valores de lasegunda derivada sean negativos, se dice que la función original es cóncavahacia abajo.
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Puntos de inflexión
Definición
Un punto de inflexión es el punto en donde la curva de una función cambia deconcavidad, estos involucran el criterio de la segunda derivada. Para hallar lospuntos de inflexión se tienen en cuenta los siguientes aspectos.
A la primera derivada le sacamos una segunda derivada y a esta última funciónhallada la igualamos a 0.
Hallamos los valores de x para los cuales nos de cero la segunda derivada.
Con los valores hallados de x, estos se remplazan en la función original paraencontrar los valores que toma la función.
Con los valores de x y los de la función determinamos los puntos de inflexión.
Ejemplo 1
De la ecuación x x x 3223 hallar:
a. Los puntos críticos si los hay.
b. Dónde la función crece o decrece.
c. Puntos de inflexión si los hay.
d. Dónde la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.
e. Las coordenadas de los puntos principales.
Solución
a. Los puntos críticos si los hay.
Primero sacamos la primera derivada de la función
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343'
1343343´
3223
32
2
2012
111213´
23
x x y
x x x x x y
x x x y
x x x y
Para hallar los puntos críticos igualamos a cero la primera derivada:
0343
343'
2
2
x x
x x y
Para determinar los valores de x para los cuales se cumple la igualdad en laecuación anterior, se utiliza la formula general para resolver ecuacionescuadráticas, así:
)3(2
)3)(3(444
0343
2
4
2
2
2
x
x x
a
acbb x
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869,13
13
3
2
53503
13
3
2
3
13
3
2
6
132
6
4
6
1324
61344
61344
6
524
6
36164
22
11
x x
x x
x
x x
x x
x x
,
Tenemos dos puntos críticos en:
869,1
535,0
2
1
x
x
b. Dónde la función crece o decrece.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original,tomamos un valor en el intervalo comprendido entre -∞ y el primer punto crítico,luego otro valor en el intervalo comprendido entre el primer valor y el otro punto
crítico y por último otro valor en el intervalo comprendido entre el último puntocrítico y +∞, todos estos valores elegidos se remplazan en la primera derivada dela función, luego se tienen en cuenta los siguientes aspectos: si el valor determinado en la función de la primera derivada al reemplazar los valoresescogidos en los diferentes intervalos es positivo, se concluye que la funciónoriginal crece y si es negativo la función original decrece.
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1)2('
3812)2('38)4(3)2('
3)2(4)2(3)2('
343)('
2
2
f
f f
f
x x x f
Entonces la función crece en el intervalo )869,1,(
3)0('
300)0('
3)0(4)0(3)0('
343)('
2
2
f
f
f
x x x f
Entonces la función decrece en el intervalo )535,0,869,1(
4)1('
343)1('34)1(3)1('
3)1(4)1(3)1('
343)('
2
2
f
f f
f
x x x f
Entonces la función crece en el intervalo ),869,1(
c. Cuando los puntos hallados, son de inflexión.Para hallar los puntos de inflexión, hallamos la segunda derivada de la función:
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Solución
46)(''
046)(''
04)3(2)(''
343)('
01
1112
2
x x f
x x x f
x x x f
x x x f
Igualamos la segunda derivada a cero:
046
46)(''
x
x x f
66,0
3
2
6
4
6
446
x
x x
x x
Ahora reemplazamos éste valor en la función para hallar la coordenada en y:
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3
6
9
8
27
8)
3
2(
)3
2(3)
9
4(2)
27
8()
3
2(
)
3
2(3)
3
2(2)
3
2()
3
2(
32)(
23
23
f
f
f
x x x x f
6,2
27
70
27
70)
3
2(
27
54248)
3
2(
y
y
f
f
Tiene un punto de inflexión en )6,2,66,0(
d. Donde la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.
Para hallar los intervalos de concavidad, damos un valor entre -∞ y el punto deinflexión y otro valor entre el punto de inflexión y +∞, a la segunda derivada de lafunción, si el valor es positivo, el intervalo de concavidad es hacia arriba y si esnegativo el intervalo de concavidad es hacia abajo.
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Solución
2)1(''
46)1(''
4)1(6)1(''
46)(''
f
f
f
x x f
El intervalo de concavidad es hacia abajo en )6,0,( -
4)0(''
40)0(''
4)0(6)0(''
46)(''
f
f
f
x x f
El intervalo de concavidad es hacia arriba en ),6,0( .
e. Las coordenadas de los puntos principales.
Para hallar las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, se reemplazan lospuntos críticos en la función para hallar la coordenada en y:
Solución
869,1
535,0
2
1
x
x
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88,0)535,0(
)535,0(3)535,0(2)535,0()535,0(
)535,0(3)535,0(2)535,0()535,0(
32)(
23
23
23
f
f
f
x x x x f
06,6)869,1(
)869,1(3)869,1(2)869,1()869,1(
32)(
23
23
f
f
x x x x f
Entonces el punto mínimo está en )0,88 , 535,0(
El punto máximo está en ),066 , 869,1(
El punto de inflexión está en )6,2,6,0(
La siguiente es su gráfica:
Generado en Derive 6.0
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Ejercicios propuestos de aplicación
1. Determine cuando la función es creciente o decreciente y halle cuando ocurren
máximos y mínimos de la función f(x) = x3
– 6x2
+ 12x - 6
2. Determine la concavidad y los valores de x en donde ocurren puntos deinflexión. No trace las gráfica. Y= 3x2 – 6x + 5
3. Trace la gráfica de la función y= x3 – 12x + 20
Optimización de la empresa y la economía
Elasticidad de la demanda y oferta
Concepto de demanda
La demanda determina la relación que existe entre las cantidades de productosque los consumidores desean adquirir de un bien determinado (cantidad dedemanda) y el precio de dicho bien.
Dicha relación puede establecerse matemáticamente y representarse por mediode una gráfica o tabla de demanda, en donde se mostraría que cuando el preciode un artículo es mayor, es decir, crece, menor cantidad de ese bien estaríadispuesto a comprar el consumidor, o viceversa, cuanto más bajo es el precio,más unidades del mismo demandaran.
En matemáticas las relaciones que se comportan de esta manera se denominan
relaciones inversas, porque cuando el precio aumenta la cantidad demandadadisminuye o cuando el precio disminuye la cantidad demandada aumenta.
Los consumidores pueden disminuir la cantidad demandada en la medida que elprecio suba por las siguientes razones:
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a. Cuando aumenta el precio de un bien algunos consumidores que previamentelo adquirían dejaran de hacerlo y buscaran otros bienes que lo sustituirán.
b. Otros consumidores aun sin dejar de consumirlo demandaran menos unidades
del mismo por dos razones, porque se han encarecido respecto a otros bienescuyo precio no ha variado y porque la elevación del precio ha reducido lacapacidad adquisitiva de la renta.
Concepto de oferta
La oferta es la relación que existe entre el precio de un bien y las cantidades queun empresario desearía ofrecer de ese bien en un tiempo determinado.
Al igual que la demanda, la oferta se puede representar matemáticamente a través
de una tabla o gráfica. Esta tabla muestra el comportamiento de los productores, silos productores bajan los precios del producto los costos de producción no secubren, por lo tanto, los productores no producirían nada lo que quiere decir que aprecios más altos, la producción seria mayor.
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El equilibrio en el mercado
Definición
Un mercado determinado está formado por los compradores y vendedores de unbien o de un servicio. Cada uno tiene sus expectativas de consumo y producción,estas están representadas por la demanda y la oferta.
Al representar la demanda y la oferta como curvas se puede encontrar un puntoen común denominado punto de corte entre la oferta y la demanda. En este puntode corte de las curvas de oferta y demanda se dice que los compradores yvendedores coinciden en las decisiones, es decir, en este punto de equilibrio loscompradores están comprando la cantidad que desean comprar, y los vendedoresestán vendiendo la cantidad que desean vender.
El punto de equilibrio en el mercado, es una pareja ordenada cuya abscisa es elprecio y la ordenada es la cantidad. En la gráfica, es el punto de intersección entrelas curvas de oferta y la demanda.
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Elasticidad de la demanda
Definición
La elasticidad de la demanda, es un medio por el cual se mide la incidencia delprecio de un producto en la cantidad demandada.
Matemáticamente la elasticidad de la demanda se define como la razón entre elcambio porcentual en la cantidad demandada y el cambio porcentual en el precio.
dq
dp
q
p
ó
,,precioelenporcentualcambio
cantidadlaenporcentualcambioE.D.
Siendo la elasticidad de la demanda, p el precio, q la cantidad de artículos, dp lavariación en el precio y dq, la variación en la cantidad.
Al realizar la gráfica de la demanda, cuanto más horizontal sea la curva de
demanda, mayor es la elasticidad de la demanda. Del mismo modo, si la curva dedemanda es más bien vertical, la elasticidad de la demanda será inelástica alprecio.
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118
Elasticidad de la oferta
Definición
La elasticidad de la oferta se define como el cambio de la cantidad ofrecida enrazón a la variación del precio.
La elasticidad de la oferta se divide en tres clases:
Nula: Es aquella en donde la cantidad ofrecida no cambia por las variaciones deprecio.
Infinita: Se presenta cuando al disminuir el precio no se vende nada.
Unitaria: Se da en el momento en que aumenta el precio generando unincremento en la cantidad ofrecida.
La elasticidad de la oferta depende en gran medida de cómo se comporten loscostos al variar el volumen de producción.
Ingresos, costos y ganancia
Definición
El precio que debe fijar el empresario es aquel para el cual la elasticidad de lademanda es unitaria. El gasto total de los consumidores se maximiza en el puntoen el que la demanda tiene elasticidad unitaria. El beneficio total de una empresase calcula por la diferencia entre sus ingresos totales y sus costos totales y laempresa logra maximizar sus ganancias o beneficios totales a corto plazo en el
punto en el cual se encuentra la mayor diferencia positiva entre sus ingresostotales y sus gastos totales.
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Maximización del ingreso
Definición
La función del ingreso total para un fabricante está dada por: r = f (q), estafunción establece que el valor total en unidades monetarias que se recibe por laventa de q unidades de un producto es r.
El ingreso marginal se define como la tasa de variación del valor total que serecibe con respeto al número total de unidades que se vende. Por consiguiente, elingreso marginal es simplemente la derivada de r con respecto a q.
Ingreso marginaldq
dr I
Los ingresos marginales señalan la tasa a la cual varían los ingresos con respectoa las unidades que se venden, se le interpreta como los ingresos aproximados quese reciben por la venta de una unidad adicional de producción.
Minimización del costo promedio
Definición
La función de costo total de un fabricante está dada por la ecuación: c =f (q), estádetermina el costo total c de fabricar y vender q unidades de un producto. La tasade cambio de c con respecto a q se denomina costo marginal. En consecuencia,
Costo marginal =dq
dc
Si c es el costo total de fabricar q unidades de un producto, entonces el costopromedio por unidad, c está dado por:
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120
q
cc
Ejemplo 1
Consideremos la siguiente gráfica que nos muestra la oferta y la demanda en unmismo plano cartesiano.
Si el precio fuera superior a $20, por ejemplo $30, la demanda se desalienta.Muchos compradores no dispondrían de los ingresos suficientes para adquirir elproducto, y la cantidad demandada disminuye a 10 unidades. Con respecto a laoferta, el nuevo precio alienta a los productores a ofrecer más, las cantidadesofrecidas aumentan a 60 unidades.
La diferencia entre cantidades ofrecidas y demandadas provoca un excedente(exceso) de producción de 50 unidades que quedan sin vender, y los oferentescomenzarán a bajar los precios
Si por el contrario el precio bajara a $15, los compradores se sentiríaninsatisfechos, porque demandarían 40 unidades, y los vendedores ofrecerían solo
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121
15, existiría un exceso de demanda de 25 unidades (escasez). La presión de lademanda haría aumentar el precio.
Ejemplo 2
Hallar el punto de equilibrio entre la oferta y la demanda es una de lasaplicaciones de la matemática en la administración y la economía. En el caso quese conocieran las leyes que rigen la oferta y la demanda de un bien, paraencontrar el punto de equilibrio se aplican los conocimientos de los métodos desolución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
Encontrar el punto de equilibrio de un determinado bien sabiendo que las leyes deoferta y demanda se comportan de la siguiente manera:
853 p D Demanda
202 pO Oferta
Resolviendo el sistema de ecuaciones, en este caso igualando la ecuación deoferta y demanda se tiene:
21
5
1051055
852023
202853
p
p p
p p
p p
En este caso, el precio de equilibrio es p = 21 y la cantidad de equilibrio es q = 22.
Ejemplo 3
Determinar la elasticidad de la ecuación de demanda:
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122
400402 p pq
Esta ecuación define implícitamente a p como función de q.
402 pdp
dq
Por lo tanto,
dp
dqdq
dp 1
)402(
1
pdq
dp
Y la elasticidad de la demanda seria:
q
p p
p
q
p
dq
dp
q
p
)402(
402
1
Por ejemplo, si p = 15, entonces q = 25; por ello 625/)]10(15[ y la
demanda es elástica.
Ejemplo 4
Si la ecuación de costos promedios de un fabricante es:
qqqc
000.5502,00001,0 2
Obtener la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando sefabrican 50 unidades?
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123
Solución
En primer lugar, se encuentra el costo total c. como
cqc , entonces
000.5502,00001,0
]000.5
502,00001,0[
23
2
qqqc
qqqqc
cqc
Derivando la función c se obtiene la función de costo marginal:
504,00003,0
0)1(5)2(02,0)3(0001,0
2
2
qqdq
dc
El costo marginal cuando se fabrican 50 unidades es:
75,35)50(04,0)50(0003,0 2
50
qdq
dc
Si c está en dólares y se aumenta la producción en una unidad de q = 50 a q = 51,entonces el costo de la unidad adicional es aproximadamente $3,75.Si se aumenta la producción en un tercio de unidad a partir de q = 50, entonces el
costo de la producción adicional es aproximadamente 25,1$)75,3(
3
1
Ejemplo 5
Si la ecuación de demanda para el producto de un fabricante es)5(
000.1
q p
hallar la función de ingreso marginal y evaluar cuando q = 45 unidades.
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124
Solución
El ingreso r que se obtiene por la venta de q unidades es:
Ingreso = (precio)(cantidad)
pqr
Por consiguiente, la función de ingreso es:
5
000.1
))(5
000.1(
q
qr
r
La función de ingreso marginal esdq
dr
Realizando la derivada del cociente, multiplicando y reduciendo términossemejantes tenemos:
2
2
)5(
000.5
)5(
)1)(000.1()000.1)(5(
qdq
dr
q
dq
dr
Ahora se reemplaza q en la función de ingreso marginal por 45 unidades:
2
45 )545(
000.5
qdq
dr
|
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2500.2
000.5
)50(
000.52
Esto significa que vender una unidad por encima de 45 unidades da comoresultado aproximadamente $2,00 más de ingreso.
Ejercicios propuestos de aplicación
1. Considérese la función de costo en la que c es el costo de fabricar q unidadesde un producto. Halle la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginalcuando q = 3?
85023,0 2 qqc
2. Supóngase que es una ecuación de demanda para elproducto de un fabricante.
a. Obtenga la tasa de cambio de p con respecto a q.
b. Determine la tasa de cambio relativa de p con respecto a q.
c. halle la función de ingreso marginal.
3. Supóngase que la demanda p (en dólares) al fabricar q unidades de unproducto es:
4002,2396 2 qq p
4. Evalúe el cambio aproximado en las utilidades, si el nivel de producción cambiade q = 80 a q = 81.
a. Halle el punto de equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda:
20100 2 q p
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12800
1 q p Ecuación de demanda.
8300
1 q p Ecuación de oferta.
b. Halle el punto de equilibrio para la oferta.
c. Halle el punto de equilibrio para la demanda.
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128
Antiderivada y reglas de integración
Antiderivada de una función
Definición
Consiste en averiguar la función original conociendo la derivada de ésta. Es decir,aquí siempre se averigua la integral de la derivada de una función dada.
Sí la función y =f(x), tiene como derivada a y’ =f ’(x), es posible establecer lasrelaciones: y’ es la derivada de y; y es la anti derivada de y’.Por ejemplo, la función y = 2x, es la derivada de la función y = x 2, pero también es
la derivada de y = x2 – 3; y = x2 – 5; y = x2 + 2 5 .
Por lo tanto, si y = x
2
, entonces y’ = 2x O sea, que sí y = x2 + C, entonces y’ = 2x + 0. Podemos concluir que y’ = 2x es la derivada de y = x2 + C; donde C es cualquier número real.
Anti derivada de la función de la forma f(x) = xn
El siguiente cuadro muestra algunas funciones y las anti derivadas de cada una de
ellas:
FUNCI N ANTIDERIVADAf(x) F(x)1
x
x2
x3
x + C
C x
2
2
C x
3
3
C x
4
4
Para realizar una anti derivada de la forma xn se procede de la siguiente forma:
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129
Ejemplos
1. Hallar la antiderivada de 5)( x x f
Solución
La antiderivada es F(X).
Si 5)( x x f para hallar F(x), al exponente se le suma 1 y éste pasa a dividir al
coeficiente de la función, así:
C x
x F
15
)(15
C x
6
6
2. Hallar la antiderivada de la función 410)( x x f
Solución
Para hallar F(x), se le suma 1 al exponente y éste baja a dividir:
C
x x F
14
10)(
14
Realizamos las operaciones del caso:
Por lo tanto, F(x) de 410)( x x f es:
C x x F 52)(
En general podemos decir que si n es un número real diferente de -1, F(x) de la
función n x x f )( , es el cociente que resulta de dividir la base elevada a su
exponente original aumentado en uno, por el exponente también aumentado enuno, es decir:
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Si n x x f )( entonces, C
n
x x F
n
1)(
1
Reglas de integración
Integral definida de una función
Definición
El conjunto de todas las anti derivadas de f(x) se llama integral de la función f(x) y
se denota de la siguiente forma:
dx x f
Se lee como la integral de la función f(x) de x. La notación dx se refiere a lavariable x, respecto a la cual se integra la función.
La notación dx x42 , se lee como la integral de 2x4 respecto a la variable x.
La notación dx x3
2
1, se lee como la integral de un medio de x al cubo respecto a
la variable x.
Integral de una constante
Definición
La integral de una constante k se soluciona aplicando la siguiente expresión:
C kxkdx
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Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
dx23
Solución
De acuerdo a la definición de la integral de una constante tenemos que elresultado de la integral propuesta es:
C xdx 2323
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral:
dx5
Solución
Otra forma de realizar ésta integral es sacando el coeficiente de la integral,incluyendo el signo, así:
dxdx 55
La integral de es , por lo tanto:
dx5 C xdx 55
dx x
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Ejercicios propuestos
Resolver las siguientes integrales:
1. dx17
2. dx5
1
3. dx100
4. dx36
6
5. dx
Integral de una potencia
Definición
La integral de un monomio, se obtiene aplicando la siguiente expresión:
C n
xdx x
nn
1
1
, con n -1.
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
dx x53
Solución
La función es 53 x
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Se suma 1 al exponente y como denominador queda el exponente aumentado en1, así:
C x
15
315
Realizando la operación indicada en el denominador tenemos:
C x
6
3 6
Reduciendo términos
C x
2
6
Se concluye que:
C x
dx x 23
65
Ejemplo 2
Resolver la integral:
dx x
3
Solución
Reemplazamos la raíz cuadrada por la fracción ½, teniendo en cuenta la ley delos exponentes (específicamente, potencia de una potencia): se obtiene
dx x 23
Como es de la forma xn, entonces aplicamos la regla de integración indefinida,obteniendo la siguiente expresión:
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C x
dx x
1
2
3
12
3
23
Realizamos las operaciones indicadas:
La suma de 12
3 =
2
2
2
3 =
2
1
Tenemos que:
C
x
dx x
2
1
21
23
Realizando productos de extremos sobre el producto de medios:
C xdx x
21
23
2
Volvemos el exponente raíz cuadrada, y ésta es la respuesta:
dx x
3 = C x
2
Ejercicios propuestos
Resolver las siguientes integrales:
1. dx x
5
3
2. dx x95
3.
dx x2
5
4
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4. dx x
315
5. dx x53
Integral de la suma o diferencia de funciones
Definición
La integral de una adición (suma o diferencia) de funciones está determinada por la expresión:
dx x g dx x f dx x g x f
O sea, la integral de una adición (suma o diferencia) de funciones polinómicas,será igual a la adición (suma o diferencia) de las integrales de cada uno de lostérminos monomios que integran el resultado de realizar cualquiera de las dosoperaciones.
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
dx x x x 4245 23
Solución
Se comienza separando cada uno de los términos que componen la función polinómica:
dx xdxdx xdx xdx x x x 42454245 2323
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Integramos cada uno de los términos, aplicando las reglas de la Integraciónanteriores, así:
)1(4
5
5 1
43
C xdx x
)2(3
44 2
32 C xdx x
)3(2
22 3
2
3
2 C xC x xdx
)4(44 4 C xdx
El resultado es la suma de (1), (2), (3) y (4):
dx x x x 4245 23
=C x x x x
4
3
4
4
5 234
Con C = C1 + C2 + C3 + C4
Ejemplo 2
Resolver la integral:
dx x x x x 56
71
32 25
Solución
Se comienza separando cada uno de los términos que componen la función polinómica:
dx x xdxdx xdx xdx x x x x 567
1
3
2
567
1
3
2 2525
Realizamos las integrales de cada uno se los términos que componen la funciónpolinomio:
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137
)1(9
1
18
2
3
21
6
1
65 C xC xdx x
)2(21
1
7
1
2
32 C xdx x
)3(32
66 3
2
3
2 C xC x xdx
)4(53
2
53
2
12
1555
4
3
42
3
4
12
1
21
21
C xC x
C x
dx xdx xdx x
El resultado es la adición (suma o diferencia) de (1), (2), (3) y (4):
dx x x x x 56
7
1
3
2 25
=C x x x x
3236 5
3
23
21
1
9
1
Con C = C1 + C2 + C3 + C4
Ejercicios propuestos
Solucionar las siguientes integrales
1. dx x x x 25 125
2.
dx x x x 345
5
7
11
4
3
1
3.
dx x x x 3 335 216
5
12
Cuadro de algunas funciones conocidas, con su derivada y su antiderivada
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FUNCION DERIVADA INTEGRAL
1, n x y n
1 nnx
dx
dy
1;1
1
nC n
xdx x
nn
xa y aadx
dy x ln C
aadxa
x
x
ln
xe y
xedx
dy
C edxe x x
x y ln xdx
dy 1
C x x
dxln
Integración por sustitución
Definición
La integración por sustitución se efectúa en funciones compuestas,estableciéndose en el siguiente teorema:
Integración de una función compuesta
Si f y g son funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena parala función compuesta y = f[g(x)], y si F es una función primitiva de f , entonces:
C x g F dx x g x g f '
Si entonces , por lo tanto:
C u F duu f
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
)( x g U dx x g dU )('
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dx x f k dx xkf )()(
dx x x )3()2( 22
Solución
La integración por sustitución sigue el siguiente procedimiento:
1. Aplicando el teorema de las integrales a la expresióndada:
dx x x )3()2( 22
dx x x )²2²(3
2. Reemplazamos por u la función más compleja:
)2²( xu
3. Hallamos la derivada de u con respecto a x
xdx
du2
4. Despejamos dx en función de du
dx x
du
2
5. Se sustituye dx y u en la función dada
xduu xdx x x2
)(3)²2²(3 2
6. Simplificando X y sacando la constante de la integral
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140
x
duu xdx x x
2)(3)²2²(3 2
duu)²(2
3
7. Aplicando el teorema de la integralC
n
xdx x
nn
1
1
C u
3
³
2
3
8. Simplificando y reemplazando la u
C x
2
)2²( 3
En consecuencia:
C
xdx x x
2
2)3()2(
3222
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral:
dx x x 1
Solución
Aplicando el teorema de los exponentes para las raíces
)1()1(1 2/1dx x xdx x x
Reemplazamos por u la función más compleja
)1( xu
Hallamos la derivada de u con respecto a x
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1dx
du
Despejamos dx en función de du
dxdu
Se sustituye dx y u en (1)
)2()()1( 2/12/1duu xdx x x
Como ésta integral queda con dos variables diferentes, es necesario despejar x enfunción de u y reemplazarla en (2)
duuuduu x
xu xu
))(1()(
11
2/12/1
Aplicando la ley distributiva y resolviendo
duuu
duuuu
)(
1
2/12/3
2/12/1
Por el teorema de la integral de adición de funciones
duuduu2/12/3
Aplicando el teorema de la integralC
n
xdx x
nn
1
1
duuduu 2/12/3C
uu
12/112/3
12/112/3
Resolviendo las operaciones indicadas
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C uu
C uu
3
2
5
2
2/32/5
2/32/5
2/32/5
Reemplazando u y Factorizando
C x
x
C x
x
C x x
3
1
5
1)³1(2
3
1
5
1)1(2
3
)1(2
5
)1(2
2/3
2/32/5
Por lo tanto
C x
xdx x x
3
1
5
1)³1(21
Ejercicios propuestos
Calcula las siguientes integrales por el método de sustitución:
1. dx x x 22
2. dx x
x
29
3. dxa x2
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Integración por partes
Definición
Cuando una función que se desea integrar es igual al producto de dos funciones,una de las cuales es la derivada de una función conocida, se puede aplicar elmétodo de integración por partes.
vduuvudv
El método de integración por partes se aplica a funciones que sean el producto dedos funciones, una de las cuales es la derivada de una función conocida. Para susolución se procede de la siguiente forma:
1. La función a integrar es expresada como el producto de dos funciones. A una
de ellas se le denota u, la otra función multiplicada por dx se denota como dv.
2. La parte seleccionada como dv debe ser integrable y de fácil solución.
3. La integral sustraendo en el teorema debe ser simple, es decir, de fácil
solución, más que la integral inicial .
Ejemplo 1
Solucionar la siguiente integral:
xdx2ln
Solución
ln 2 x dx
Este tipo de integrales se hallan por el método de la integración por partes que seenuncia así:
vduudv
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144
.udv u v vdu
Para:
ln 2
1*2
2
u x
du
dx x
dxdu
x
dv dx
dv dx
v x
Remplazando los valores hallados en el teorema citado
ln 2 dx ln 2 .( ) ( ).
Simplificando la x
ln 2 dx ln 2 .( )
Evaluando el integral y organizando la expresión
ln 2 dx ( ) ln 2
dx
x x x x x
x x x dx
x x x x C
Ejemplo 2.
Solucionar la integral dxe x x2
Solución
2
Los integrales del tipo x e se suelen realizar por la integración por partes
.
x
n nx
x e dx
udv u v vdu
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145
Aplicando el teorema, hallamos el valor de du y v, correspondientemente.
2
2
2
u x
du x
dx
du xdx
x
x
x
dv e dx
dv e dx
v e
2 2
2 2
Reemplazando los valores hallados en el teorema citado
. (2 )
. 2 (1)
Como nuevamente queda un integral de la forma x e , volvemos a aplicar
el teorema anterior
x x x
x x x
n nx
x e dx x e e xdx
x e dx x e xe dx
dx xe x
Hallamos el valor de du1 y v1, correspondientemente.
1
1
1
u
1
x
du
dx
du dx
1
1
1
x
x
x
dv e dx
dv e dx
v e
Reemplazando los valores hallados en el teorema citado:
dxe xedx xe x x x
Evaluando la integral que resulta en forma directa:
C e xedx xe x x x
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146
2 2
2 2
Factorizando
( 1) (2)
Reemplazando el valor de (2) en (1)
. 2 ( 1)
Factorizando y terminando
2( 1)
x x
x x x
x x
xe dx e x C
x e dx x e e x C
x e dx e x x C
Ejercicios propuestos
Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales:
1. dx x x 1
2. dxe x x3
3. xdx x ln
La Integral Definida
Definición
El área bajo la curva de una función es igual al límite de la suma de las áreas de nrectángulos, a medida que el número de rectángulos se acerca al infinito, y la basede los rectángulos se aproxima a cero.
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147
El límite de ésta suma de áreas se llama integral definida y se define como laintegral definida de la función y =f(x) entre los valores a y b:
n
k n
b
a
x xk a f límdx x f 1
Y se lee: integral definida entre a y b de la función f(x) respecto a x.
El lado izquierdo de la ecuación muestra cómo se denota la integral definida. Losvalores a y b que aparecen, abajo y arriba del signo de la integral, se llamanlímites de integración. El límite inferior es a y el límite superior es b.
Teorema fundamental del cálculo
Si f(x) es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b], entonces laintegral definida de f(x) es la diferencia entre los valores de los extremos superior e inferior de la antiderivada de f(x).
a F b F dx x f b
a , donde F es cualquier antiderivada de f , es decir
)()(' x f x F
Ejemplo 1
Calcular la integral definida dx x 1
0
22)23(
Solución
Desarrollamos primero el producto notable:
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148
dx x x
x x x
)4129(
)4129()23(
1
0
24
2422
Ahora aplicando la propiedad de la integral de la adición de funciones tenemosque:
0
1
5
999
4129)4129(
51
0
4
1
0
4
1
0
1
0
2
1
0
4
1
0
24
xdx xdx x
dxdx xdx xdx x x
0
144
5
9)4129(
0
14
312
59)4129(
0
144
0
1
3121212
3
51
0
24
351
0
24
1
0
31
0
2
1
0
2
x x x
dx x x
x x x
dx x x
xdx
xdx xdx x
Evaluamos la función hallada en los valores dados de integración:
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005
044
5
9
)0(4)0(45
)0(9)1(4)1(45
)1(9
0
144
5
9)4129(
3535
351
0
24 x x x
dx x x
cuadradas.unidadessonU²queSabiendo
2
1
0
22
5
49)23(
5
498
5
908
5
9
U dx x
Ejemplo 2
Calcule la integral definida dx x 1
0
23
Solución
Integramos por el método de sustitución de variable:
)1(23
1
0
dx x
Haciendo u a la función que se encuentra dentro de la raíz
3
23
dx
du
xu
dxdu
3
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150
Remplazando u y du en (1)
323
1
0
1
0
duudx x
Sacando la constante de la integral:
duu
1
03
1
Aplicando el teorema de los exponentes para la raíz:
duu
1
0
2/1
3
1
Utilizando el teorema de los integrales:
1
0
2/31
0
2/1
1
0
2/31
0
2/3
9
2
3
1
33
2
2/33
1
u
duu
uu
Cambiamos nuevamente la variable, entonces:
0
1
9
)23(2
0
1
9
2 2/32/3 xu
Evaluamos:
0
1
9
)23(2 2/3 x
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151
9)20(2
9)23(2
9
)2)0(3(2
9
)2)1(3(2
2/32/3
2/32/3
2
1
0
2/32/3
855980613.19
24
9
510
924
951023
9
24
9
510
9
82
9
1252
9
22
9
52
U
dx x
Siendo U2 = unidades cuadradas.
Ejercicios propuestos
Hallar el valor de la integral en cada caso:
1. 5
2
2 )1( dx x
2. 3
1
)52( dx x
3. 4/3
1
1dx x
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152
4.
0
2
2 )32( dx x x
5.
3
2/1
2
1
dx x
Área bajo la Curva
Definición
Calcular la integral definida de una función f, entre dos valores dados de x, esexactamente el problema de calcular el área bajo la curva entre la función f y el ejex, en el intervalo comprendido entre los valores dados de x.
Ejemplo 1
Halle el área limitada por la curva xy = 46, el eje x ylas rectas x = 5, x = 20
Solución
46
46
46( )
xy
y x
f x x
Para hallar el valor del área limitada por la curva y el intervalo dado, integramos enforma definida dentro del intervalo dado de la siguiente forma:
20546
)( x x x
x f
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153
20
5
20
5
20
5
||46
46
46
x Ln A
xdx A
dx x
A
Evaluando en el intervalo dado la función solución tenemos:
20
46 | 20 | | 5 | 465
46 | 4 |
A Ln Ln Ln
A Ln
20
5
20
2
5
2
4663.76954061|
46 64
Siendo U unidades cuadradas
dx x
dx U x
Ejemplo 2
Hallar el área limitada por la curva y la recta que pasa por los puntosP1 = (1,4) y P2 = (−1,0), es:
Solución
Tenemos que hallar la ecuación de la recta con los puntos dados:
22 x y
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154
)0,1()4,1( 21 P y P
Hallamos la pendiente de la recta:
224
1140
mmm
La ecuación canónica de la recta es:
bmx y
224
)1(24
bb
bmx yb
22 x ybmx y
Luego el área pedida se encuentra entre la línea y la parábola determinadasrespectivamente por las siguientes funciones.
222 2 x y x y
Ahora hallamos los valores de x que nos determinan los puntos de corte quelimitan el área pedida, esto se hace así:
Como:
222 2 x y x y
Igualando las expresiones y despejando la x, se obtienen los puntos deintersección:
20
0)2(02
0222
222
21
2
2
2
x x
x x x x
x x
x x
y
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155
Entonces el intervalo de valores para la variable x es: [0,2]
Para hallar el valor del área limitada por la parábola y la recta, solucionamos laintegral definida, tomando como límites de integración el intervalo de valores
determinado de la variable x, así:
2
0
2
2
0
2
)222(
)]2()22[(
dx x x A
dx x x A
2
0
2 )2( dx x x A
2
3322
2
0
32
0
2
2
0
32
0
22
0
2
2
0
2
0
2
2
0
34
3
4
3
84
3
0202
3
3222
2
U A
A
A
x x A
x xdx x xdx A
dx x xdx A
Siendo U2 = unidades cuadradas.
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156
Ejemplo 3.
Determinar el área bajo la curva entre la función, , la línea x = e y el eje x.De donde:
“El número e conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue
reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien
introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. Más adelante bajo ese
mismo concepto se definen los logaritmos naturales ( ln ) como los logaritmos de base
e. Su valor aproximado es 2.7182818284…”
Solución
Teniendo en cuenta que los valoresde y sobre el eje x son iguales a cero.
Ahora para hallar el punto deintersección entre estas dos funcioneslas igualamos de la siguiente manera:
0||
0||
xln
y xln y Si
Hallamos el punto de corte de la función y con el eje x para hallar el intervalo:
0||ln0|| x x ySi eln
Por definición de logaritmo:
unoaigualesresultadosu
quecuentaenteniendoLuego
b
,exp
0ln
ln
0
cero seaonentecuya potenciatodaque sabe seComo
xe
x
cebcSi
e
e
x
queconcluye se Entonces
e
1
10
ln( ) y x
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157
Entonces el intervalo de valores determinado de x es:
],1[ e
Para determinar el valor del área limitada por la curva y el eje x, integramos enforma definida dentro del intervalo hallado para x, así.
dx x Ln
e
1
|| Integramos por integral inmediata, así:
Este tipo de integrales se hallan por el método de la integración por partes que seenuncia así:
vduvuudv .
Para:
x
dxdu
xdx
du
xu
1
||ln
xv
dxdv
dxdv
Remplazando los valores hallados en el teorema citado
ee
x
dx x x xdx x
11
)().(||ln||ln
Simplificando la x:
ee
dx x xdx x11
)().(||ln||ln
Organizando la expresión anterior:
ee
x x xdx x1
1
||ln)(||ln
Evaluamos la integral hallada:
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158
110||ln
1)0(10||ln
1)0(1)1(||ln
1|1|ln1||ln||ln
1
1
1
1
e
e
e
e
dx x
dx x
eedx x
eeedx x
Entonces:
1||ln1
e
dx x
El área bajo la curva de la función , la línea x = e y el eje x, es:
21U A
Ejercicios propuestos
Hallar el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funcionesdadas, el eje x y las rectas indicadas:
1. y = x2 , x = 0 , y = 2
2. y = x
, x = 3
3. y = x3 , x = 0 , y = 4
|| x Ln y
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159
Áreas entre dos curvas
Definición
El área entre dos curvas, entre y = f ( x ) y y = g ( x ), en el intervalo cerrado [a,b],está dado por el valor de la integral definida de │f - g│ en [a,b].
Ejemplo 1
Hallar el área comprendida entre las líneas L 1 que pasa por los puntos p1 = (4, -4)y p2 = (0,4) L2 que pasa por los puntos q1 = (0,4) y q2 = (-4, -4) y L3 que pasa
por los puntos r 1 = (-4,- 4) y r 2 = (4, -4).
Solución
Se hallan las ecuaciones de las rectas, por medio de los puntos de A, B y C.
1
2
3
2 4
2 4
4
L x
L x
L
Como cada línea representa una función lineal, entonces le asignamos a cada unade las rectas un nombre de función:
1
2
3
2 4 ( ) -2 4
2 4 g( ) 2 4
4 h( ) -4
L x f x x
L x x x
L x
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160
Como se puede observar en la gráfica el área total comprendida entre las tresfunciones, es simétrica con respecto al eje y, por tanto se hace necesariocalcularla en dos partes, de tal forma que :
1 2T A A A
Para hallar el A1 utilizamos las funciones g ( x ) y h( x ), con los límites de integracióna = - 4 y b = 0, como se desarrolla a continuación:
0
1
4
0
1
4
0
1
4
2 4 4
2 4 4
2 8
A x dx
A x dx
A x dx
Aplicando las propiedades de las integrales obtenemos
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161
0 0
1
4 4
0 0
1
4 4
02
0
1 4
4
2 8
2 8
2 82
A xdx dx
A xdx dx
x A x
Aplicando el teorema fundamental del cálculo
22
1
1
1
2 2
1
(0) 4 8((0) ( 4))
(0 16) 8(4)
16 32
16 U (Recuerde que U unidades cuadradas)
A
A
A
A
Para calcular A2 utilizamos las funciones f(x) y h(x), con los límites de integración
a= 0 y b = 4, como se muestra continuación:
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2 4 4
2 4 4
2 8
A x dx
A x dx
A x dx
Aplicando las propiedades de las integrales obtenemos
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162
4 4
2
0 0
4 4
2
0 0
42
4
1 0
0
2 8
2 8
2 82
A xdx dx
A xdx dx
x A x
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
22
2
2
2
2 2
2
(4) 0 8((4) (0))
(16 0) 8(4)
16 32
16 U (Recuerde que U unidades cuadradas)
A
A
A
A
En consecuencia
2 2 216 16 32T
A U U U
Ejemplo 2
Determinar el área comprendida entre las funciones 325.0)( x x f y ( ) 4 g x x .
Solución
Hallamos el intervalo donde se encuentra definida el área, encontrando los puntosde corte entre las dos funciones, igualándolas:
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163
4
16
16
016
0
025,0
016025,0
0)16(25,0
0425,0425,0
)()(
4)(
25,0)(
2
2
2
2
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x x x
x g x g
x x g
x x f
opciónsegundalaTomando
opciónprimeralaTomando
:realeslosdepropiedadla Aplicando
Como los puntos de intersección son -4, 0 y 4 y al observar la gráfica verificamosque la función es impar, es decir, que es simétrica con respecto al origen, vamos ahallar el área de uno de los dos trozos y la multiplicamos por dos; de otra forma se
anularían por estar arriba y abajo del eje horizontal y de acuerdo a la ley de lossignos serían iguales pero opuestas. Tomamos aleatoriamente el área A 1 yevaluamos:
4
0
3
1
4
0
1
)25,04(
)]()([
dx x x A
dx x f x g A
Aplicando las propiedades de las integrales obtenemos
4
0
3
4
0
1 25,04 dx x xdx A
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164
4
0
4
4
0
2
1
4
0
3
4
0
1
425,0
24
25,04
x x A
dx x xdx A
Simplificando y evaluando las integrales:
2
1
1
1
4422
1
16
1632
4
25625,0)16(2
4
0425,0)04(2
U A
A
A
A
En consecuencia, el área total sería la suma de A1 y A2, ó, la multiplicación de A1
por 2, esto es:
2
2
1
21
32
)16(2
2
U A
U A
A A
A A A
T
T
T
T
Ejercicios propuestos
Calcula el área de la región limitada por las curvas o funciones:
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165
1. f(x) = x ; g(x) = x2
2. f(x) = x3
; g(x) = 3x + 2
3. f(x) = 4x – 3 ; g(x) = x
3
Aplicaciones de las integrales definidas a la economía
Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos desituaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
Función de oferta
Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza ésta funciónpara relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en elmercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Se puededecir entonces que en respuesta a diferentes precios, existe una cantidadcorrespondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en elmercado en algún periodo específico. Si el precio es alto, mayor será la cantidadde productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al disminuir el costo,disminuye la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p yq, y se le denomina función de oferta y a su gráfica se le conoce como la gráficade oferta.
Función de demanda
Una empresa utiliza ésta función para relacionar la cantidad de productosdemandada por los consumidores con el precio unitario al que se puede vender,esa cantidad de acuerdo con la demanda. Si el valor del producto aumenta, se
producirá una disminución de la cantidad demandada del artículo, ya que no todoslos consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. Lademanda disminuye al aumentar el precio, por eso ésta función es decreciente.Para cada precio de un producto, existe una cantidad correspondiente de eseproducto que los consumidores demandan en un determinado periodo. Si el preciopor unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en
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166
unidades está dada por q, la ecuación que relaciona a las dos se llama función dedemanda y a su gráfica se le llama gráfica de demanda.
Excedente de los consumidores y de los productores
La determinación del área de una región tieneaplicaciones en Economía. En la figura 1, la curva deoferta para un producto indica el precio por unidad alque un fabricante venderá q unidades. Ademásencontraremos la curva de demanda en la cual seindica el precio por unidad al que los consumidorescomprarán q unidades. El punto de equilibrio delmercado es el
intersecto en el cual las curvas de oferta y demanda seencuentran representado por , donde es elprecio por unidad al que los consumidores compraránla misma cantidad de un producto que los fabricantes desean vender a eseprecio. En resumen, es el precio en el que se presenta estabilidad en elmercado por su relación entre el productor y el consumidor.
Supongamos que el mercado está en equilibrio y elprecio por unidad del producto es . De acuerdocon la curva de demanda, hay consumidores que
están dispuestos a pagar menos por el producto,pero así mismo existirán los fabricantes quebusquen cobrar más del precio de equilibrio por elmismo artículo. De tal forma el excedente que estápagando el consumidor es el área comprendidaentre la recta horizontal que pasa por el punto deequilibrio y el punto de intersección con el eje
vertical de la función de demanda, con límites entre y . (Figura 2).Modelando ésta situación establecemos el área como:
0
( )oq
o A p p dq
Esta integral bajo ciertas condiciones, representa la ganancia total de losconsumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio y se
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167
considera como el excedente del consumidor (EC), SI la función de la demandaestá dada por , entonces:
0
0
( )
oq
EC f q p dq
Algunos de los productores se benefician del precio de equilibrio, puesto que estándispuestos a suministrar al producto a precios menores, bajo estas condiciones laganancia total de los productores se representa mediante el área horizontal quepasa por el punto de equilibrio (P.E.) y la intersección de la curva de oferta con eleje y.
Esta ganancia llamada Excedente de los productores abreviada como EP se
halla mediante:
0
0
( ) oq
EP p g q dq
Donde y p representa la curva de oferta.
Ejemplo 1
La curva de la oferta para un producto es3
( ) 52
q P q Encuentre la ganancia de
los productores si la producción asciende a 30 artículos.
Solución
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168
Si la producción asciende a 30 artículos el precio es:3(30)
(30) 52
90(30) 5 45 5 50 dólares
2
P
P
La ganancia o superávit de los productores es:
30
0
30
0
350 5
2
Resolviendo operaciones
350 5
2
q EP dq
q EP dq
dqq
EP
30
0
452
3
Aplicando las propiedades de las integrales:
30
0
30
0
452
3dqdqq EP
30
0
30
0
2
30
0
30
0
2
45
4
3
4522
3
EP
EP
Por el teorema fundamental del cálculo:
)030(45)030(4
3 22 EP
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169
dólares 675
350.1675
350.1)900(4
3
EP
EP
EP
La ganancia de los productores es de 675 dólares.
Ejemplo 2
Los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado lafunción f ( x ) describió la razón de ventas cuando pasaron x años desde que elproducto se presentó en el mercado por primera vez.
Se sabe que 250.1200 x x f sí 100 x . Calcule las ventas totalesdurante los primeros seis años.
Solución
Planteamos la integral definida:
6
0250.1200 dx x Desarrollamos la integral:
6
0250.1200 dx x =
6
0
21
250.1200 dx x
Solucionando la integral y evaluándola en sus límites de integración se obtiene:
6
3/2
0
400 12503
x x = 3/2 3/2400 6 0 1250(6 0)3
= 1960 + 7500 = 9460
Finalmente se obtiene que la venta total durante los primeros seis años asciende a9460 unidades.
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170
Ejercicios propuestos de aplicación
1. La curva de demanda está dada por la ley d( x ) = 50 – 0.06 x 2. Encuentre el
superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a 50unidades.
2. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas dedemanda y oferta dadas.
Función de demanda: 1( ) 1.000 0,4 ² P q q
Función de oferta:2( ) 42 P q q
3. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en loscostos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorrosea de f ( x ) pesos al año donde f(x) =1.000 + 5000x.
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
b) Si la máquina se compró a $ 67.500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina enpagarse por sí sola?
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171
Unidad 4
MATRICES
4.1Definiciones de Matriz, fila, columna, elementos, orden.4.2 Tipos especiales de matrices.
4.3 Operaciones: suma y producto por escalar, resta de matrices.
4.4 Producto de matrices.
4.5 Propiedades de matrices, teoremas.
4.6 Matriz inversa.
4.7 Ecuaciones matriciales.
4.8 Sistemas de ecuaciones lineales.
4.9 Método de reducción de Gauss –Jordan.
4.10 Determinantes y Regla de Cramer.
4.11 Aplicaciones de las matrices: Modelos de entrada-salida de Leontief.
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172
Matriz
Definición
Recibe el nombre de matriz, a un conjunto X, que se denomina matriz de mfilas y n columnas, a un conjunto de m x n elementos de X, dispuestos en un
arreglo rectangular de m filas y n columnas. Las características de loselementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza delproblema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, depalabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que seespecifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales ydenotaremos el conjunto de todas las matrices de orden m x n ( m filas y n
columnas).
En un ordenamiento regular de números con m filas y n columnas. Se dice que lamatriz tiene dimensiones m x n.
43
3620
4
35
3
2
2
14132
X
A
Esta matriz es de la forma 3 x 4 porque tiene 3 filas y 4 columnas y sedenota A de 3 x 4.
Para representar una matriz A de orden m x n se escribe:
.2.1.
.22.21.2
.12.11.1
...
............
...
...
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
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173
43
4.33.32.31.3
4.23.2
2.21.2
4.13.12.11.1
4321
3620
4
35
3
2
2
1
4132
3
2
1
X
A
ColumnaColumnaColumnaColumna
Fila
Fila
Fila
Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la mismaletra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en lamatriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna.
Ejemplo 1
Si denotamos por M la matriz, entonces el orden de M es 2 × 3 (2 filas y 3columnas) y sus elementos son:
3235.05
018
X
M
m1.1 = 8 m1.2 = -1 m1.3 = 0
m2 .1 = 5 m2.2 = 0,5 m 2 .3 = 3
También se escribe A = (aij ) (i = 1,..., m) y j = 1,...,n) para indicar que A es la matriz
de orden m x n que tiene elementos aij Dos matrices A = (aij ) y B=( bij ), de orden m x n, son iguales si aij = bij para todo i
= 1,..., m y j = 1,...,n.
Matrices iguales
Definición
Dos matrices son iguales si los elementos que ocupan la misma posición enambas matrices coinciden en su valor.
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174
Ejemplo
434.33.32.31.3
4.23.22.21.2
4.13.12.11.1
X bbbbbbbb
bbbb
B
433620
4
3
53
2
2
14132
X
A
La matriz B = A si se cumple:
b1.1 = 2 b1.2 = 3 b1.3 = -1 b1.4 = 4
b2.1 =2
1 b2.2 =
3
2b2.3 = 5 b2.4 =
4
3
b3.1 = 0 b3.2 = -2 b3.3 = 6 b3.4 = 3
Tipos especiales de matrices
Matriz cuadrada
Definición
Es aquella cuyo número de filas m, es igual al número de columnas n (m = n). Enese caso se dice que la matriz es de orden M,.
Ejemplo
Sea la matriz:
A =33
12.04330
231
X
La anterior matriz es cuadrada de orden 3.Denotaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden m x n = M
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175
Así, en el ejemplo anterior, A∈ M 3
Los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son aquellos que
están situados en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta
la inferior derecha. En otras palabras, la diagonal principal de una matriz A = (ai j )está compuesta por los elementos a11, a22 ,. . ., amn.
En el ejemplo anterior la diagonal principal está compuesta por los elementos:
a11 = 1, a22 = -3, a33 = 1
Matriz nula
Definición
Una matriz es nula, si todos sus elementos son iguales a cero.En el siguiente ejemplo se muestra la matriz nula de orden 3 × 2.
23
00
00
00
x
T
Matriz diagonal
Definición
Una matriz cuadrada, A = (aij ), es diagonal si aij = 0, para toda i ≠ j.
Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero.
La siguiente matriz es diagonal:
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176
33300
060
001
x
D
Matriz identidad
Definición
Una matriz identidad es aquella en la cual los elementos que integran su diagonalprincipal son todos iguales a 1 y las demás componentes son cero.
A continuación se muestra la matriz identidad de orden 2.
10
01 I
Matriz triangular
Definición
La matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementossituados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero.La siguiente matriz es triangular inferior:
100
4603
112
S
Este tipo de matrices también se conoce como matriz escalonada. En algunoscasos se hace la distinción entre las matrices triangulares superiores o inferiores
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177
en dependencia de los elementos nulos de la matriz; los que están por encima opor debajo de la diagonal principal correspondientemente.
Operaciones entre matrices
Adición de matrices
Definición
Dos matrices A y B se pueden sumar si son del mismo orden.
Sean A = ija y B = ijb matrices de igual dimensión m x n, entonces, la suma A +
B es la matriz m x n obtenida al sumar elementos correspondientes de A y B.
ijij ba B A
Ejemplo 1
Sume las siguientes matrices:
893
4
725
653
2
432
B A
Solución
La suma entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:
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178
89
3
4
725
653
2
432
B A
a1.1 = 2 + 5 = 7 a1.2 = -3 + (- 2) = -5 a1.3 = 4 + (-7) = -3
a2.1 =3
2+
3
4=
3
6= 2 a2.2 = 5 + (-9) = - 4 a2.3 = -6 + 8 = 2
242
357
893
4
725
653
2
432
B A
Ejemplo 2
Sume las siguientes matrices:
365.2
722
53
218
0105.0
2.1252
143
B A
Solución
La suma entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:
365.2
722
5 3
218
0105.0
2.1252
1
43
B A
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179
a1.1 = -3 + 8 = 5 a1.2 = -4 + (-1) = -5 a1.3 =2
1+
3
2=
6
7
a2.1 = 5 +2
5=
2
15a2.2 = 2 + 2 = 4 a2.3 = 1.2 + (-7) = -5.8
a3.1 = 0.5 + 2.5 = 3 a3.2 = -10 + 6 = -4 a3.3 = 0 + 3 = 3
343
8.542
156
755
365.2
722
53
218
0105.0
2.1252
143
B A
Sustracción de matrices
Definición
Si A y B son matrices, entonces la diferencia A - B entre las dos matrices sedefine por A – B = A + (-1) B. Hay que tener en cuenta además que dos matrices
cualesquiera se pueden restar si son del mismo orden.
Sean A = ija y B = ijb matrices de igual dimensión m x n, entonces, la
diferencia A - B es la matriz m x n obtenida al restar los elementoscorrespondientes de A y B.
A - B = ijij ba
Ejemplo 1
Reste las siguientes matrices:
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180
42
35
23
A
78
44
53
B
Solución
La resta entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:
78
44
53
42
35
23
B A
a1.1 = 3 – (- 3) = 6 a1.2 = 2 - 5 = -3
a2.1 = 5 – (- 4) = 9 a2.2 = 3 - 4 = -1
a3.1 = 2 – (- 8) = 10 a3.2 = 4 - 7 = -3
310
19
36
78
44
53
42
35
23
B A
Ejemplo 2
Reste las siguientes matrices:
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181
1104
2.473
24
15
A
019
553
42
17
B
Solución
La resta entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:
019
553
42
17
1104
2.473
24
15
B A
a1.1 = -5 - 7 = - 12 a1.2 = - 4
1
- 2
1
= - 4
3
a1.3 = 2 - 4 = - 2
a2.1 = 3 - 3 = 0 a2.2 = 7 – (- 5) = 12 a2.3 = - 4.2 - 5 = - 9.2
a3.1 = 4 - 9 = - 5 a3.2 = -10 – (- 1) = - 9 a3.3 = 1 – (- 1) = 2
195
2.9120
24
312
019
553
42
17
1104
2.473
24
15
B A
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182
Producto de una matriz por un escalar
Definición
Un escalar c por una matriz A se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.
Sean A = ija una matriz de dimensión m x n y sea c cualquier número real,
entonces, el producto escalar c A es la matriz m x n obtenida al multiplicar cadaelemento de A por c, y se expresa así.
ijcacA
Ejemplo
Sean las siguientes matrices que aparecen a continuación, observamos que elescalar 5 multiplica cada elemento de la matriz A, para obtener la matriz C .
643
532 A
764325
B
643
5325
C
Solución
565453555352 C
La matriz resultante será:
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183
302015
251510 C
Ahora restemos a la matriz resultante o matriz C la matriz B
32
3232
372619
221315
764
325
302015
251510
BC
BC
Ejercicios propuestos
Sean las matrices:
70
52
A
311
52
13
B
320
02
52
C
0
2
1
D
100
010
001
E
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184
225
016
1035
F
Hallar:
1. B + C
2. C – B
3. 3B + 2C
4. E – 3F
5. 5E + 2F
Producto de matrices
Definición
Sean las matrices A de dimensión m x p y B la matriz de dimensión p x n, se ledenomina matriz producto C , entre A y B a la matriz resultante cuyos elementosque la componen surgen de cada una de las sumas de los productos entre loselementos de la fila i en la primera matriz por los elementos de la columna j en la
segunda matriz. La multiplicación de las matrices se puede realizar si y solo si, elnúmero de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.
Observemos en detalle cómo se obtiene el elemento C 23 en el siguiente ejemplo:
C AB
1208
740
1427
302
521
40
12
31
fila 2 por columna 3 = elemento que ocupa la posición 23
73103)1(5223221321
2
1
3223
bababac j
j j
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185
Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columnas de laprimera matriz sea igual al número de filas de la segunda. En ese caso se diceque las matrices son enlazadas.
En el siguiente ejemplo podemos ver cuál es el orden de la matriz producto.
Ejemplo 1
1. Sean las matrices:
436010
1221
4432
x
A
242320
11
22
x
B
Hallar la matriz producto entre A y B
Solución
Como vemos las dimensiones son A3x4 y B4x2 entonces la matriz producto será C cuya dimensión es 3 x 2.
23
20
11
22
6010
1221
4432
B A
La matriz resultante C resulta de las siguientes operaciones:
Posición 11 Fila 1 x Columna 1 (2x2) + (3x1) + (4x0) + (4x3) = 4 + 3 + 0 + 12 = 19
Posición 12 Fila 1 x Columna 2 (2x2) + (3x1) + (4x2) + (4x2) = 4 + 3 + 8 + 18 = 23
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186
Posición 21 Fila 2 x Columna 1 (1x2) + (2x1) + (2x0) + (1x3) = 2 + 2 + 0 + 3 = 7
Posición 22 Fila 2 x Columna 2
(1x2) + (2x1) + (2x2) + (1x2) = 2 + 2 + 4 + 2 = 10
Posición 31 Fila 3 x Columna 1 (0x2) + (1x1) + (0x0) + (6x3) = 0 + 1 + 0 + 18 = 19
Posición 32 Fila 1 x Columna 1 (0x2) + (1x1) + (0x2) + (6x2) = 0 + 1 + 0 + 12 = 13
Así, la matriz resultante será:
231319
107
2319
23
20
1122
6010
1221
4432
x
4x2
3x4
C B A
En el mismo ejemplo no podemos calcular B x A, ya que la matriz B es de 4 x 2 yla matriz A de 3 x 4, de modo que las columnas de B y los renglones o filas de A no son iguales, por tanto no se puede determinar el producto entre las dos.
436010
12214432
23
20
11
22
x
4x2
A B
Ejemplo 2
Hay casos, como veremos en este ejemplo, en los que se pueden calcular los
productos A x B y B x A, aunque se obtienen resultados diferentes.
Consideremos las siguientes matrices:
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187
23
32
03
3120
321
234
x
x
B
A
Solución 1
Como vemos las dimensiones son A2x3 y B3x2 entonces la matriz producto será C cuya dimensión es 2 x 2.
B A
03
31
20
321
234
Realizando las operaciones respectivas hallamos que:
)03()32()21()33()12()01(
)02()33()24()32()13()04(
x x x x x x
x x x x x xC
C B A
811
179
C
Solución 2
Como vemos las dimensiones son B3x2 y A2x3 entonces la matriz producto será D cuya dimensión es 3 x 3
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188
321
234
03
31
20
A B
Realizando las operaciones respectivas hallamos que:
)30()23()20()33()10()43(
)33()21()23()31()13()41(
)32()20()22()30()12()40(
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
D
D A B
6912
1197
642
D
Observamos que C es diferente de D, aunque se efectúen los productos con lasmismas matrices, lo que quiere decir que el producto de matrices no esconmutativo.
Ejercicios propuestos
Sean las matrices:
70
52
A
320
02
52
B
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189
225
016
1035
C
Halle:
1. A x B
2. B x C
3. C x A
4. 2 A x 3C
5. 5B x A
Propiedades de la suma y la multiplicación de matrices por un escalar
Sean A, B y C matrices m x n y sean c y d escalares, se cumplen las siguientespropiedades:
A + B = B + A Propiedad conmutativa de la suma de matrices
( A + B) + C = A + (B + C ) Propiedad asociativa de la suma de matrices
C (d A) = (cd) A Propiedad asociativa de la multiplicación de
escalares
(c + d) A = c A + d A Propiedades distributivas de los escalares
c( A + B) = c A + cB Propiedad distributiva de la multiplicación
Ejemplo 1
Sean las matrices:
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190
25
32 A
61
14 B
Resuelva la siguiente ecuación matricial:
B A x 2
Solución
Para hallar el valor de la matriz x aplicamos las propiedades de las matrices.
La ecuación dada esDespejamos la matriz x de la ecuación
)(2
1 A B x
Sustituimos las matrices A y B
61
14
25
32
2
1 x
Sumamos las matrices A y B
44
26
6 1
14
25
32
Multiplicamos por el escalar:
22
13
4426
21
- x
x
B A x 2
A B x 2
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191
Propiedades de la Multiplicación de Matrices
Definición
Sean A, B y C matrices para los cuales los productos siguientes estándeterminados, y sean las matrices de igual dimensión (m x n) entonces:
A(BC ) = ( AB)C Propiedad Asociativa
A(B + C ) = AB + AC Propiedad Distributiva
Ejemplo 1
Para
12
39
87
54
25
73
-C B A
Halle
a. A(BC )
b. ( AB)C
c. B + C
d. A(B+C )e. AC
f. AB + AC
a. A(BC)
12
39
87
54
25
73
-C B A
Hallamos primero el producto de BC así:
12
39
87
54)(
- BC
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192
2947
746)(
))1(8())3(7())2(8()97(
))1()5(())3(4())2()5(()94()(
BC BC
Luego el producto de A(BC )
2947
746)(
25
73
BC A
23136
224467)(
))29()2()7(5())47()2(()465(
))29(7())7(3()477()463()(
2947
746
25
73)(
BC A
BC A
BC A
b. (AB)C
12
39
87
54
25
73
-C B A
Hallamos primero el producto de AB así:
87
54
25
73)( AB
4164161)(
)8)2(())5(5(7)2(45)87())5(3()77()43()( AB AB
Luego hallamos el producto de ( AB)C
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193
23136
224467)(
))1()41(())3(6())1(41())3(61(
)2()41(()96())2(41()961()(
12
39
416
4161)(
C AB
C AB
-C AB
c. B + C
12
39
87
54
-C B
75
813
12
39
87
54
C B
-C B
d. A(B+C )
75
813
25
73C B A
Hallamos el producto de A(B+C )así:
5455
2574)(
))7)2(())8(5(
))77())8(3(
))5()2(()135(
)57()133()(
75
813
25
73)(
C B A
C B A
C B A
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194
e. ( AC )
12
39
25
73
- A C
1349
1613)(
))1()2(())3(5())2()2(()95(
))1(7())3(3())2(7()93()(
AC
AC
f. AB + AC
12
39
87
54
25
73
-C B A
Hallamos primero el producto de AB así:
416
4161)(
)8)2(())5(5(7)2(45
)87())5(3()77()43()(
AB
AB
Luego hallamos el producto de ( AC )
1349
1613)(
))1()2(())3(5())2()2(()95(
))1(7())3(3())2(7()93()(
AC
AC
Finalmente realizamos la suma de las dos matrices resultantes
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195
54552574
1349
1613
416
4161
AC AB
AC AB
Ecuaciones matriciales
Definición
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación de unasola matriz.
Ejemplo 1
Escriba el siguiente sistema de ecuaciones como una ecuación matricial:
3225
532
243
z y x
z y x
z y x
Solución
Se toman los coeficientes de cada una de las variables de las ecuaciones y se
forma una matriz de 3 x 3 con ellos. Con las variables también se forma otramatriz de 3 x 1, luego el producto de la matriz de coeficiente por la matriz devariables será igual a la matriz de 3 x 1 formada con los términos independientesde cada ecuación. Así:
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196
3
5
2
225
132
143
z
y
x
Separamos las matrices:
3
5
2
225
132
143
-
B
z
y
x
X A
Entonces la ecuación matricial se puede escribir como:
AX = B
Ejemplo 2
Escriba el sistema de ecuaciones como una ecuación matricial.
1232
1152
32
y x
z x
z y x
Solución
Identificamos los componentes de las tres matrices:
12
11
3
032
502
211
z
y
x
Separamos las matrices:
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197
12
11
3
D
z
y
x
X
032
502
211
C
Entonces la ecuación matricial se puede escribir como:
CX = D
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
1. Sustitución2. Igualación3. Reducción
A continuación, desarrollaremos un ejercicio de dos ecuaciones con dos incógnitaspor los tres métodos.
Ejemplo
Método de Sustitución
Sea el sistema
74
823
y x
y x
Solución
Resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución
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198
El sistema de ecuaciones
)2(74
)1(823
y x
y x
En la ecuación (1) se despeja una de las incógnitas. Por ejemplo despejemos a x.
)3(3
28
823
y
y x
x
2y83x
Se sustituye en la ecuación (2) la expresión a la cual es igual x , hallada en el pasoanterior, obteniendo:
73
28
4
y
y
Realizamos las siguientes operaciones, para obtener una ecuación expresada por una sola incógnita, en este caso queda en términos de y :
y y y y y y
321832)7(3)28(473
284
Despejamos la incógnita “y ” y finalmente hallamos su valor, así:
111
111111322138
y
y y y y
Conocido el valor de y , lo sustituimos en la ecuación (3)
23
6
3
28
3
)1(28
x x x x
Así la solución del sistema de ecuaciones propuesto es:
12 y x
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199
Para comprobar que la solución es correcta, remplace los valores hallados de x yy en cualquiera de las ecuaciones del sistema de ecuaciones dado, como semuestra a continuación en una de ellas:
8)1(2)2(3
)1(823
y x
88
826
Método de Igualación
El sistema de ecuaciones
)2(74
)1(823
y x
y x
Despejamos en las ecuaciones (1) y (2) la misma incógnita. En la ecuación (1) sedespeja la incógnita x.
x
= )3(3
28
y
Despejamos la incógnita x en la ecuación (2):
)4(4
7
7474
y
x
y x y x
Igualamos las expresiones (3) y (4)
y y
4
7
3
28
Aplicamos la propiedad de las proporciones:
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200
y y
y y
y y
322138
321832
)7(3)28(4
1
11
11
1111
y
y
y
Ahora remplazamos el valor de “y” en (3) o en (4):(Se utiliza arbitrariamente la ecuación (4))
24
8
4
17
4
)1(7
4
7
x
x
x
x
y x
Así la solución del sistema de ecuaciones propuesto es:
12 y x
Método de Reducción
El sistema de ecuaciones
)2(74
)1(823
y x
y x
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201
El método consiste en igualar los coeficientes de una variable en las dosecuaciones, pero con signo diferente; para ello multiplicamos la ecuación (1) por elcoeficiente de la variable a trabajar en la ecuación (2), y viceversa.
y x
y x
y x
1) y x
1428
823
)2(74
(823
Luego realizamos la correspondiente suma para cancelar la variable concoeficientes iguales en las dos ecuaciones.
2211
1428
823
x
y x
y- x
Despejamos la variable de la ecuación resultante
2
11
22
2211
x
x
x
Para hallar el valor de la otra variable realizamos el mismo procedimiento,multiplicando por los coeficientes de las variables correspondientemente:
21312
32812
)3(74
)4(823
y x
y x
y x
y x
Como podemos ver los coeficientes de la variable “x” son iguales, pero no designos contrarios, entonces debemos multiplicar por (-1) cualquiera de las dosecuaciones, con el fin, de cancelar la variable estipulada.
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202
1111
2131232812
21312
)]1([32812
y
y x y x
y x
y x
Despejamos la variable de la ecuación resultante
-1y
11
11
1111
y
y
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto es:
12 y x
Existen además sistemas de ecuaciones de 3 x 3 que pueden ser solucionadospor los métodos anteriores, pero en nuestro estudio vamos a abordar la soluciónde estos sistemas por Gauss – Jordán que enunciaremos a continuación:
Método de reducción de Gauss – Jordán
Definición
Es una técnica utilizada para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando lamatriz aumentada, efectuando operaciones matemáticas elementales con las filaspara llegar a una matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz aumentada, lacual nos permite determinar los valores de las variables.
La matriz aumentada es aquella que está compuesta en sus primeras columnaspor los coeficientes de las variables y en la última columna por los términosindependientes, o constantes del sistema; se acostumbra a colocarle una rectavertical antes de la última columna para recordar que estos son los términos
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203
independientes que aparecen en el lado derecho de la igualdad en cada una delas ecuaciones.
Se puede obtener una matriz de forma escalonada de la siguiente forma:
1. Inicialmente se obtiene un 1 en la parte superior izquierda de la matrizaumentada, esto se hace dividiendo el valor que se encuentra en esta posición por el mismo, luego se obtienen ceros en los términos inferiores siguientes al primer término tomado y que componen entre todos la primera columna, esto se hacemultiplicando por valores y con signo adecuados la primera fila ya transformada ysumando sus resultados por la fila siguiente inferior término a término, así se siguehasta lograr el objetivo trazado desde el principio.
2. Con el mismo procedimiento anterior se obtiene un 1 en la siguiente fila, en la
posición correspondiente al término que pertenece a la diagonal principal, luegollevamos a ceros a los valores que están por debajo y por encima de esté valor transformado, los cuales en su totalidad integran la segunda columna de la matriz,esto último se logra de la misma forma que se hizo en el primer paso,multiplicando en la segunda fila por valores con signos adecuados y sumandosus resultados con las otras filas término a término.
3. Así se continúa el proceso hasta dar una matriz escalonada, específicamenteuna matriz identidad.
Es importante tener en cuenta que algunos autores llaman las filas renglones, sinque eso cause diferencia alguna en el método a trabajar, ya que son palabrassinónimas.
Ejemplo
Sea el sistema
Solucionar el sistema de ecuaciones lineales por medio de su matriz escalonada.
Para empezar, se toman los coeficientes de cada variable y los términosindependientes de cada ecuación para hallar la matriz aumentada:
103
52
6
z y x
z y x
z y x
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205
por -1/2, o igualmente la fila 2 se divide por -2, quedando la matriz de la siguienteforma:
164202
1
2
110
6111
2
1
16420
1120
6111
22
- F F
Ahora el segundo término de la fila 1, es 1, por lo tanto se necesita llevar a ceropor medio de las siguientes operaciones: Se le restan a cada uno de los términosde la fila 1 cada uno de los términos de la fila 2, y su resultado se ubica en la fila 1,así:
Fila 1 Columna 1 - Fila 2 Columna 1 = (1 - 0) = 1Fila 1 Columna 2 - Fila 2 Columna 2 = (1 - 1) = 0Fila 1 Columna 3 - Fila 2 Columna 3 = (1 – (- 1/2)) = 3/2Fila 1 Columna 4 - Fila 2 Columna 4 = (6- 1/2) = 11/2
Quedando:
1642021
2110
2
11
2
301
1642021
2110
6111
211
F F F
Como se observa en la última matriz el segundo término de la fila 3, es -2, por lotanto se necesita llevar a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 2 por 2 luego se suman los valores resultantes de estamultiplicación término a término con los de la fila 3, y su resultado se ubica en lafila 3 así:
(Fila 2 Columna 1) x (2) + Fila 3 Columna 1 = (0 + 0) = 0(Fila 2 Columna 2) x (2) + Fila 3 Columna 2 = (2 - 2) = 0(Fila 2 Columna 3) x (2) + Fila 3 Columna 3 = (-1 -4) = -5(Fila 2 Columna 4) x (2) + Fila 3 Columna 4 = (1 + -16) = -15Quedando:
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206
15500
2
1
2
110
2
11
2
301
16420
2
1
2
110
2
11
2
301
323
2 F F F
Ahora, debemos convertir el tercer término de la fila 3 en 1, a través de lasiguiente operación matemática: Se multiplica cada uno de los términos de la fila 3por -1/5, o igualmente se divide la fila 3 por -5, quedando la matriz de la siguienteforma:
31002
1
2
1
10
2
11
2
301
5
1
155002
1
2
1
10
2
11
2
301
33
F F
Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 2, es -1/2, por lotanto se necesita llevar a cero por medio de las siguientes operaciones: A cadauno de los términos de la fila 2 se le suman los valores resultantes de lamultiplicación de la fila 3 por 1/2, y su resultado se ubica en la fila 2 así:
Fila 2 Columna 1 + (Fila 3 Columna 1) x (1/2) = (0 + 0) = 0Fila 2 Columna 2 + (Fila 3 Columna 2) x (1/2) = (1 + 0) = 1Fila 2 Columna 3 + (Fila 3 Columna 3) x (1/2) = (-1/2 + 1/2) = 0Fila 2 Columna 4 + (Fila 3 Columna 4) x (1/2) = (1/2 + 3/2) = 2
Quedando:
3100
20102
11
2
301
2
1
3100 2
1
2
110
2
11
2
301
322
F F F
Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 1, es 3/2, por lotanto se necesita llevarse a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 3 por -3/2, luego se suman los valores resultantes de esta
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207
multiplicación término a término con los de la fila 1, y su resultado se ubica en lafila 1, así:
(Fila 3 Columna 1) x (-3/2) + Fila 1 Columna 1 = (0 + 1) = 1(Fila 3 Columna 2) x (-3/2) + Fila 1 Columna 2 = (0+0) = 0(Fila 3 Columna 3) x (-3/2) + Fila 1 Columna 3 = (-3/2 + 3/2) = 0(Fila 3 Columna 4) x (-3/2) + Fila 1 Columna 4 = (-9/2+11/2) = 2/2=1Quedando:
3100
2010
1001
2
3
3100
20102
11
2
301
131
F F F
Como se sabe la columna 1 contiene los coeficientes de x, la columna 2 loscoeficientes de y, la columna 3 los coeficientes de z y la columna 4 los términosindependientes.
Así, el valor de cada una de las variables es:
x = 1y = 2z = 3
Si sustituimos estos valores de las variables en las ecuaciones del sistema, laigualdad debe corroborarse así:Ecuación 1.
666)3()2()1(6 z y x
Ecuación 2.
5556215)3(2)2()1(52 z y x
Ecuación 3.
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208
10101092110)3(3)2()1(103 - z y x
Ejemplo 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el Método de Gauss-Jordán.
1453
1022
43
z y x
z y x
z y x
Solución
La matriz aumentada es:
14513
10221
4311
Como se observa, el primer término de la fila 1 es 1, por lo tanto no necesitaoperación alguna para transformarlo.
El primer término de la fila 2, es 1, por lo tanto se necesita llevarse a cero por medio de las siguientes operaciones: Se restan los términos de la fila 2 con lostérminos de la fila 1, y su resultado se ubica en la fila 2, así:
Fila 2 Columna 1 - Fila 1 Columna 1 = (1 - 1) = 0
Fila 2 Columna 2 - Fila 1 Columna 2 = (2- (- 1)) = 3Fila 2 Columna 3 - Fila 1 Columna 3 = (-2 - 3) = -5
Fila 2 Columna 4 - Fila 1 Columna 4 = (10 - 4) = 6
14513
6530
4311
14513
10221
4311
122
F F F
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210
2420
23
510
63
401
2420
23
510
4311
211 F F F
Ahora el segundo término de la fila 3, es 2, por lo tanto se necesita llevar a ceropor medio de las siguientes operaciones: Se multiplican cada uno de los términosde la fila 2 por -2 y se suman con cada uno de los términos de la fila 3, y suresultado se ubica en la fila 3, así:
Fila 3 Columna 1 + (Fila 2 Columna 1) x (-2) = (0 + 0) = 0
Fila 3 Columna 2 + (Fila 2 Columna 2) x (-2) = (2 - 2) = 0Fila 3 Columna 3 + (Fila 2 Columna 3) x (-2) = (-4 + 10/3) = -2/3Fila 3 Columna 4 + (Fila 2 Columna 4) x (-2) = (2 - 4) = -2
23
2
00
23
510
63
401
2
2420
23
510
63
401
233 F F F
Ahora, debemos convertir el tercer término de la fila 3 en 1, a través de lasiguiente operación matemática: Se multiplica cada uno de los términos de la fila3 por -3/2 o igualmente se divide la fila 3 por -2/3, quedando la matriz de lasiguiente forma:
3100
23
510
63401
2
3
23
200
23
510
63401
33 F F
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211
Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 1, es 4/3, por lotanto se necesita llevar a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 3 por -4/3, luego se suman los valores resultantes de estamultiplicación término a término con los de la fila 1, y su resultado se ubica en la
fila 1, así:
Fila 1 Columna 1 + (Fila 3 Columna 1) x (-4/3) = (1 + 0) = 1Fila 1 Columna 2 + (Fila 3 Columna 2) x (-4/3) = (0 + 0) = 0Fila 1 Columna 3 + (Fila 3 Columna 3) x (-4/3) = (4/3 - 4/3) = 0Fila 1 Columna 4 + (Fila 3 Columna 4) x (-4/3) = (6 - 4) = 2
3100
23
510
2001
3
4
3100
23
510
6
3
401
131 F F F
Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 2, es -5/3, por lotanto se necesita llevarse a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 3 por 5/3, luego se suman los valores resultantes de esta
multiplicación término a término con los de la fila 2, y su resultado se ubica en lafila 2, así:
Fila 2 Columna 1 + (Fila 3 Columna 1) x (5/3) = (0 + 0) = 0Fila 2 Columna 2 + (Fila 3 Columna 2) x (5/3) = (1 + 0) = 1Fila 2 Columna 3 + (Fila 3 Columna 3) x (5/3) = (-5/3 + 5/3) = 0Fila 2 Columna 4 + (Fila 3 Columna 4) x (5/3) = (2 + 5) =7
3100
7010
2001
3
5
3100
23
510
2001
322 F F F
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214
Solución
Calculamos los productos de las diagonales:
5
249
5
150
3
1
5
3)5)(10(
53
15
310
Determinante de una matriz cuadrada de cualquier nivel
Definición
El determinante de una matriz n x n cuadrada se definirá de manera deductiva, es
decir, tomaremos la definición de un determinante de 2 x 2 para hallar un
determinante de 3 x 3, y éste a su vez determinará el determinante de 4 x 4, y así,
sucesivamente. A pesar de que existen varias maneras de definir un determinante,
se escoge la forma más fácil y aplicativa, con el fin, de facilitarle el entendimiento
al estudiante. Es importante recordar que para nombrar a un determinante
utilizamos el apócope “det” que asigna a una matriz cuadrada un valor escalar.
Determinante por cofactores
Un cofactor es el elemento de la forma ija en donde i es el número de la fila y j el
número de la columna a ser reducidas, para lograr una matriz menor, de tal forma
que si tenemos la matriz:
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216
Ahora tomamos el segundo término de la primera fila como cofactor, los númerosde la primera fila y la segunda columna no participan en el producto de lasdiagonales:
64)16)(4()106)(4(
)]52()23)[(4(25
234
Ahora tomamos el tercer término de la primera fila como cofactor, los números dela primera fila y la tercera columna no participan en el producto de las diagonales:
23]518)5()18)[(1(
)]51()63)[(1(6 5
131
Ahora, los signos para hallar el valor final del determinante de la matriz dada, vanintercalados empezando por el signo positivo, como se muestra en la formulageneral de arriba para determinar el determinante de una matriz de 3x3, por lotanto se llega a:
21236420 DetA
Ejercicios propuestos
Encuentre el determinante de las matrices:
1.
310420
012
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217
2.
353
232
521
3.
122
10422
1
2
32
Matriz inversa
Definición
Se sabe que una matriz identidad es la matriz m x n, cuadrada donde m = n parala cual cada término que hace parte de su diagonal principal es 1 y todos los otrosvalores que componen la matriz son iguales a 0, como se muestra a continuación:
100010
001
La inversa de una matriz se define así:
Sea A una matriz m x n, cuadrada donde m = n, entonces si existe una matriz A-1 de orden m x n, cuadrada donde m = n, que cumpla la siguiente condición opropiedad: AA-1 =A-1A = In. Entonces se dice que A-1 es la matriz inversa de A. Donde In es la matriz identidad. Una matriz es invertible si su determinante es 0.
Inversa de una matriz 2x2
1
Ad c
ba A
ac
bd
bcad
1
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219
A-1 =
2
7
2
321
Para demostrar que la matriz hallada es inversa realizamos la multiplicación de las
dos matrices A y A-1 cuyo resultado es la matriz identidad I.
10
01
2
72232
32)13(
2
7427
2
34)17(
2
7
2
321
23
47
1
1
1
A A
A A
A A
Ejercicios de aplicación para solucionar
Determine la inversa de las siguientes matrices, si existen:
1.
23
35
2.
135
52
3.
48
36
Inversa de una matriz m x n por el Método de Gauss
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220
Definición
Si A una matriz m x n, cuadrada donde m = n, para determinar su inversa primero
se construye la matriz m x 2n que tiene los elementos de A en la izquierda y loselementos de la matriz identidad In a la derecha, es decir, se crea una especie dematriz aumentada. Luego se efectúan las operaciones correspondientes ynecesarias con los renglones de la matriz A para transformarla en la matrizidentidad. Finalmente la matriz que quede a la derecha, específicamente dondeinicialmente estaba la matriz identidad In es la matriz inversa buscada.
Ejemplo 1
Sea la matriz:
1563
632
421
A
Halle la matriz inversa.
Solución
Comenzamos construyendo un matriz 3 x 6 en donde la mitad izquierda es A y lamitad de la derecha es la matriz identidad.
100
010
001
1563
632
421
Ahora transformamos la mitad izquierda de ésta nueva matriz en la matriz
identidad, efectuando operaciones elementales entre filas por el método deeliminación de Gauss-Jordán: A la fila 2 le restamos 2 veces la fila 1:
100
012
001
1563
210
421
2
100
010
001
1563
632
421
122
F F F
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221
A la fila 3 le sumamos 3 veces la fila 1:
103
012
001
300
210
421
3
100
012
001
1563
210
421
133
F F F
Multiplicamos la fila 3 por 3
1:
3
101
012
001
100
210
421
3
1
103
012
001
300
210
421
33
F F
A la fila 1 le sumamos 2 veces la fila 2:
3
101
012
023
100
210
001
2
3
101
012
001
100
210
421
211
F F F
Por último, la fila 2 le restamos 2 veces la fila 3:
3
101
3
214
023
100
010
001
2
3
101
012
023
100
210
001
322
F F F
Ya se ha transformado la mitad izquierda de la matriz en una matriz identidad.Por tanto la matriz inversa de la matriz dada, está representada por los valorescomponentes que se encuentran en la parte derecha de la recta perpendicular que divide la matriz resultante en dos partes, es decir:
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222
3101
3
214
0231
A
Para demostrar que la matriz hallada es inversa realizamos la multiplicación de las
dos matrices A y A-1 cuyo resultado es la matriz identidad I.
1
3 2 01 2 4
22 3 6 4 1
33 6 15
11 0
3
A A
1
2 1(1 (-3))+((-2) ( 4)) (( 4) 1) (1 2)+((-2) 1) (( 4) 0) (1 0)+ (-2) ( 4)3 3
2 1(2 ( 3)) (( 3) ( 4)) (( 6) 1) (2 2) (( 3) 1) (( 6) 0) (2 0) ( 3) ( 6)
3 3
(( 3
A A
2 1
) ( 3)) (6 ( 4)) (15 1) (( 3) 2) (6 1) (15 0) (( 3) 0) 6 153 3
54661524922346126
3
4422483
1
A A
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223
I A A
000
010
0011
Ejercicios propuestos
Determine la inversa de las siguientes matrices:
1.
041
111
142
2.
1011
154
321
3.
101
233
324
Aplicaciones de las matrices: Modelos de entrada-salida de Leontief
Definición
Para referirnos a los modelos matemáticos que se aplican en la economíadebemos establecer el concepto de modelo económico, referido como laherramienta para entender la realidad en forma simplificada, esquemática yaproximada.
En consecuencia la expresión matemática, que permite crear dichos modelos sedesarrolla a través de funciones, que relacionan entre otras: las variables de
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224
demanda, oferta, costos y producción, así como otros modelos económicosespecíficos donde se trabaja para poder estimar análisis de equilibrio.
Fue así como en la década de los años treinta del siglo XX como un profesor de la
Universidad de Harvard “Wassily Leontief” desarrolla una de los primeros métodosde análisis matemático del comportamiento económico. A continuacióndesarrollare con más detalle éste planteamiento que se basa principalmente en larelación insumo – producto, diseñado a partir de matrices y su relación con elentorno.
Supongamos que existen tres sectores de producción:
1. Agrícola2. industrial
3. Servicios
Cada uno de ellos produce un bien o servicio, el vendedor de abarrotes vendeproductos necesarios para la vida diaria, el ebanista construye los enseres que seutilizan en los diferentes negocios y viviendas, y el panadero produce el pan y losalimentos propios. Para poder expresar este modelo en un análisis de insumo-producto es la formulación de una tabla que contiene partidas que demuestran, yasea cuantitativamente o en términos de valor, de qué manera se distribuye laproducción total de una industria a todas las demás industrias en forma deproducción intermedia y a los usuarios finales no productores.
Compras - ventasDemanda Intermedia
Demanda Producción Agrícola Industria Servicios
Agrícola 600 400 1400 600 3000Industrial 1500 800 700 1000 4000Servicios 900 2800 700 2600 7000
En la primera columna de esta tabla la cifra 600 representa las compras que las
empresas del sector agricultura han efectuado a otras empresas del mismo sector,tales como semillas mejoradas, abonos, ganado para engorde, forrajes, etc. Lacifra 1.500 representa las compras que las empresas del sector agricultura hanefectuado al sector industrial, tales como: tuberías, herramientas, fertilizantesquímicos, insecticidas, tractores, etc. La cifra 900 representa las compras que lasempresas del sector agricultura han efectuado al sector servicios, tales como:
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225
servicios de transporte de carga, servicio de sanidad, servicios de asesoría legal,servicios de almacenajes en silos y bodegas, servicios de comercialización, etc.
Recordando los conceptos de algebra lineal podemos escribir estas ecuaciones en
forma matricial simbolizando con x i la producción del sector, con y i la demandafinal correspondiente al sector, y con x ij las ventas que el sector i ha efectuado alsector j de la siguiente manera:
7000
4000
3000
3
2
1
x
x
x
2600
1000
600
3
2
1
y
y
y
7002800900
7008001500
1400400600
333231
232221
131211
x x x
x x x
x x x
Como la producción de cada uno de los sectores es igual a la suma de las ventaso demanda intermedia más las ventas a demanda final, las relaciones entreproducción y demanda se pueden expresar de la siguiente forma:
33332313
22322212
11312111
y x x x x
y x x x x
y x x x x
En términos matriciales:
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
1
1
1
.
y
y
y
x x x
x x x
x x x
x
x
x
Una vez realizadas estas relaciones elaboraremos lo que se conoce como lamatriz de coeficientes de requisitos directos por unidad de producción bruta. Endonde cada transacción contiene dos sectores: un sector vendedor, que indicamoscon el subíndice i y el sector comprador que representamos con el subíndice j.Relacionando cada xij (ventas del sector i al sector j) con la producción bruta x j del
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226
sector comprador, efectuamos el cocientei
ij
x
xque define el coeficiente técnico aij.
Escrito de forma matricial:
2,03000
60011 a 1,0
3000
40012 a 2,0
7000
140013 a
5,03000
150021 a 2,0
3000
80022 a 1,0
7000
70023 a
3,03000
90031 a 7,0
4000
280032 a 1,0
7000
70033 a
1,07,03,0
1,02,05,02,01,02,0
333231
232221
131211
aaa
aaaaaa
A
Regresando al sistema de ecuaciones:
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
.
y
y
y
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
Simbólicamente, se expresa:
y x A X .
Establecido ya el sistema de ecuaciones como una relación funcional entreproducción bruta y demanda final el vector x es la variable dependiente y el vector y es la variable independiente.
En este ejemplo, se trata de satisfacer un aumento en la demanda final para elpróximo año de actividad de 400 unidades en el sector agrícola, 200 unidades enel sector industrial y 200 unidades en el sector servicios, y se pregunta: ¿Cuálesdeben ser los valores que permitirán satisfacer esos incrementos?
Despejando el vector x de la ecuación anterior se obtiene:
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227
y A I X .)( 1
La matriz )( A I se denomina la matriz de Leontief y la matriz 1)( A I se llamamatriz inversa de Leontief o matriz de coeficientes de requerimientos directos por
unidad de demanda final. Si aplicamos esto a nuestro ejemplo obtenemos:
9,07,03,0
1,08,05,0
2,01,08,0
1,07,03,0
1,02,05,0
2,01,02,0
100
010
001
A I
Hallamos la matriz inversa de (I – A)
Comenzamos construyendo un matriz 3 x 6 en donde la mitad izquierda es A y lamitad de la derecha es la matriz identidad.
100
010
001
9,07,03,0
1,08,05,0
2,01,08,0
Ahora transformamos la mitad izquierda de ésta nueva matriz en la matrizidentidad, efectuando operaciones elementales entre filas por el método deeliminación de Gauss-Jordán:
Multiplicamos la fila 1 por 25,1 :
100
010
0025,1
9,07,03,0
1,08,05,0
25,0125,01
A la fila 2 le restamos (0,5) veces la fila 1:
100
01625,0
0025,1
9,07,03,0
225,07375,00
25,0125,01
)5,0(
100
010
0025,1
9,07,03,0
1,08,05,0
25,0125,01
122 F F F
A la fila 3 le sumamos (0,3) veces la fila 1:
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228
10375.0
01625,0
0025,1
825,07375,00
225,07375,00
25,0125,01
)3,0(
100
01625,0
0025,1
9,07,03,0
225,07375,00
25,0125,01
133 F F F
Dividimos la fila 2 por 0,7375:
10375.0
03559,18474,0
0025,1
825,07375,00
3050,010
25,0125,01
7375,0
10375.0
01625,0
0025,1
825,07375,00
225,07375,00
25,0125,01
22 F F
A la fila 1 le sumamos 0,125 veces la fila 2:
0375.0
355,18474,0
169,03559,1
825,07375,00
3050,010
2881,001
)125,0(
10375.0
03559,18474,0
0025,1
825,07375,00
3050,010
25,0125,01
211 F F F
A la fila 3 le sumamos 0,7375 veces la fila 2:
111
03559,18474,0
01694,03559,1
6,000
3050,010
2881,001
)7375,0(
10375.0
03559,18474,0
01694,03559,1
825,07375,00
3050,010
2881,001
233 F F F
Dividimos la fila 3 por 0,6:
67,167,167,1
03559,18474,0
01694,03559,1
100
3050,010
2881,001
6,0
111
03559,18474,0
01694,03559,1
6,000
3050,010
2881,001
33 F F
A la fila 1 le sumamos 0,2881 veces la fila 3:
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229
67,167,167,1
03559,18474,0
48,065,084,1
100
3050,010
001
)2881,0(
67,167,167,1
03559,18474,0
01694,03559,1
100
3050,010
2881,001
311 F F F
Por último a la fila 2 le sumamos 0,3050 veces la fila 3:
67,167,167,1
51,086,136,1
48,065,084,1
100
010
001
)3050,0(
67,167,167,1
03559,18474,0
48,065,084,1
100
3050,010
001
322 F F F
Ya se ha transformado la mitad izquierda de la matriz en una matriz identidad.
Por tanto la matriz inversa está representada por la parte derecha, es decir:
67,167,167,1
51,086,136,1
48,065,084,1
)( 1 A I
Tomando en cuenta los incrementos previstos en la demanda final, se tiene que
satisfacer para el año próximo los niveles:
2800
1200
1000
200
200
400
2600
1000
600
y
Al sustituirlos en la ecuación:
y A I X .)( 1
Podemos hallar los siguientes valores:
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230
350.8
020.5
964.3
800.2
200.1
000.1
67,167,167,1
51,086,136,1
48,065,084,1
X
Estos resultados nos muestran que para satisfacer la demanda de 1.000 unidades,el agrícola debe generar una producción mínima de 3.964 unidades; el sector industrial 5.020 unidades, y el sector de servicios 8.350 unidades.
Al establecer la comparación de los resultados obtenidos en X, con los anteriores,encontraremos los incrementos de producción de cada sector necesarios paracumplir con la demanda final, los cuales serían x igual a:
350.1
020.1964
000.7
000.4000.3
8350
020.5964.3
a f x x x
Ya realizado todo el procedimiento podemos concluir que para satisfacer losincrementos previstos de demanda final sectorial (Agrícola = 400, Industria = 200,servicio = 200), se debe generar en el sistema de producción 964 unidades por elsector agrícola, 1.020 unidades en el sector industrial y 1.350 unidades en elsector de servicios. Es importante también resaltar que los cambios bruscos que
se visualizan en los incrementos de producción y de demanda se deben a lacompleja interrelación entre los sectores y su economía.
Para reflexionar
El modelo insumo-producto tiene como ventaja principal la de obligar alplanificador a considerar explícitamente el problema de la interdependencia entrelos sectores productivos. Esta relación de compra y venta entre sectores queda
explicita en la tabla de insumo producto.
Otros sectores de aplicación de la matriz insumo –producto es el cálculo de losefectos de cambio de la producción generados por los cambios en la composiciónde la demanda al aumentar los niveles de ingresos y educación; la incidencia delos salarios, impuestos o importaciones sobre el nivel de los precios, y es estudio
7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II
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231
de las repercusiones de las inversiones sobre la producción intersectorial comosobre los ingresos o importaciones.
Ejercicios propuestos de aplicación
Dada la siguiente tabla de relaciones intersectoriales realice las siguientesactividades:
Sector productor SECTOR COMPRADOR
Ganadero Manufactura ComercialGanadero 11 19 1 10 41
Manufactura 5 899 40 106 240Comercial 5 37 37 106 185
Insumos Primarios 20 95 107 21 243Producción Total 41 240 185 243 659
1. Hacer un comentario global sobre las diferentes relaciones intersectoriales de la
tabla.
2. Hallar la matriz de coeficientes técnicos de producción.3. Si cambiamos la demanda de uso final por Ganadería 25, Manufactura 201 ycomercial 145 unidades. Encontrar la producción total para esa demanda.
4. Lo mismo que lo anterior para los datos 30, 150 y 125 de los sectoresGanadero, Manufactura y Comercial respectivamente.
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BIBLIOGRAFÍA
Arya, J. y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la Administración y a laEconomía. Cuarta. Edición. Editorial Pearson Prentice Hall. México, 2002.
Haussler E ; Paul R y Wood Rwicks E Matemáticas para administración