GUIA # 1RELACIONES

PRODUCTO CARTESIANO

1) A X B , SE LEE “______________________”

2) ( a , b ) ES UN “__________________________”

3) AL ESCRIBIR DE MODO CONJUNTISTA Y POR COMPRENSIÓN, COMPLETA

A X B = { ( a , b ) / “_____________” “ _______________” }

4) SI A = { 1, 2 } B = { , }, DETERMINA :

A ) A X B = “_______________________________”

B ) B X A = “_____________________________”

REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN EL PLANO CARTESIANO

5) DE ACUERDO AL SIGUIENTE PLANO CARTESIANO UBICA LOS PARES ORDENADOS

(-1, 5 ) , ( -3, -4 ) , ( 5, -4) , ( ½, 5), (-3/4, 3) , ( -2, -4 )

6)| ANOTA EN EL GRAFICO CON NÚMEROS ROMANOS LOS CUADRANTES

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

6) DE ACUERDO A LOS PUNTOS MARCADOS EN EL PLANO CARTESIANO SIGUIENTE ENCUENTRA LOS CONJUNTOS QUE FORMAN EL PRODUCTO CARTESIANO

a)4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 12

3 4 5 6

-1

-2

-3-4

-5

b) DE ACUERDO A LOS PUNTOS MARCADOS EN EL PLANO CARTESIANO SIGUIENTE ENCUENTRA LOS CONJUNTOS QUE FORMAN EL PRODUCTO CARTESIANO

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

7 LA SIGUIENTE NOTACIÓN #A INDICAEL “ ________________________________”8 LA SIGUIENTE NOTACIÓN #(A X B) INDICA EL “ _____________________________”

NOTA:CUANDO TENGA LA SIGUIENTE NOTACIÓN , A* SIGNIFICARÁ QUE, A ES CUALQUIER SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Y EL “ * “ INDICA QUE TAL CONJUNTO CARECE DEL ELEMENTO CERO ( 0 )

CONCEPTO DE RELACIÓN

DADOS LOS CONJUNTOS A Y B , SE LLAMA RELACIÓN DEFINIDA DE A EN B A CUALQUIER SUBCOJUNTO EL PRODUCTO CARTESIANO A X B, LUEGO COM’LETA LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS

9 SI TOMO UN PAR ORDENADO CUALQUIERA (a,b) DE UN PRODUCTO CARTESIANO ( A X B ), ENTONCES PODEMOS DECIR QUE “ a, ______________________b “

10 DOS MANETRAS DISTINTAS DE EXPRESAR QUE UN PAR ORDENADO ESTA EN LA RELACIÓN SON “_____________” Y “__________________”

11 ANOTA UN PRODUCTO CARTESIANO QUE TENGA LOS SIGUIENTES CONJUNTOSNÚMEROS NATUIRALES Y NÚMEROS NATURALES EN UN PLANO CARTSIANO

12 DE ACUERDO AL SIGUIENTE PRODUCTO CARTESIANO AXB ={ (1,2), (3,4)), (7,--3),(-6,-8), COMPLETE CON :, , ,Y A ) 1 “___” 2B ) 7 “____” 3C ) {(1,2), (3,4)}”_______” (AXB)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

13 LAS FORMAS DE REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA RELACIÓN SON

“__________________” Y “ __________________”

14 SI QUEREMOS REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LA RELACIÓN R = { (X, Y ) / X0, Y Y0}

RXR

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

15 LOS PARES ORDENADOS QUE FORMAN LA SIGUIENTE RELACIÓN GRAFICADA DE

MANERA SAGITAL SON S = {_____________________________}

A B

2

4

5

6

DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA RELACIÓN

NOTA EL DOMINIO DE UNA RELACIÓN, SON LAS PRIMERAAS COMPONENTES DE LOS PARES ORDENADOS DE LA RELACIÓN

16 CUANDO ANOTAMOS EL DOMINIO DE UNA RELACIÓN CUALQUIERA “ R “ SE ESCRIBE

COMO “_________________”

17 POR COMPRENSIÓN EL DOMINIO DE UNA RELACIÓN “ R “ SE ESCRIBWE COMO SIGUE

DOM R = { X / ( ___; ___) ___ }

18 SI TENEMOS LA SIGUIENTE RELACIÓN S = { (0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}N 0 XN, LUEGO EL DOM S =

{____________}

19 SI TENEMOS LA SIGUIENTE RELACIÓN ,LUEGO EL

DOM T ={______________}

NOTA EL RECORRIDO DE UNA RELACIÓN, SON LAS SEGUNDAS COMPONENTES DE LOS PARES ORDENADOS DE LA RELACIÓN

20 CUANDO ANOTAMOS EL RECORRIDO DE UNA RELACIÓN CUALQUIERA “ R “ SE

ESCRIBE COMO “_________________”

21 POR COMPRENSIÓN EL RECORRIDO DE UNA RELACIÓN “ R “ SE ESCRIBWE COMO

SIGUE DOM R = { Y / ( ___; ___) ___ }

22 SI TENEMOS LA SIGUIENTE RELACIÓN S = { (0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}N 0 XN, LUEGO EL REC S =

{____________}

23 SI TENEMOS LA SIGUIENTE RELACIÓN ,LUEGO EL REC

T ={______________}

RELACIÓN INVERSA DE UNA RELACIÓN

NOTA TODA RELACIÓN R DEFINIDA DE A EN B TIENE UNA RELACIÓN INVERSA (R1) CUYOS ELEMENTOS SON LOS PATRES CONMUTADOS DE R

24 EL ENUNCIADO ANTERIOR ESCRITO POR COMPRENSIÓN QUEDA R1 = { ( X,Y) /

”__________”}

25 COMPLETA RELACIONANDO EL DOMINIO Y EL RECORRIDO DE LA RELACIÓN R

RESPECT A SU INVERSA DOM R = “________” Y REC R = “___________”

26 DE ACUERDO A LOS GRAFICOS SAGITAL Y CARTESIANO ENCUENTRA LA INVERSA DE

CADA RELACIÓN

A B

3 9

5

6 8

7

4

3

2

1-5

-4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

FUNCIONES

CONCEPTO DE FUNCIÓN

RETROALIMENTACIÓN DE CONTENIDOS

SE LLAMA FUNCIÓN DE A EN B A UNA RELACIÓN f DE A EN B QUE CUMPLEN LAS

SIGUIENTES PROPIEDADES ESCRITO POR COMPRENSIÓN , LA

DEFINICIÓN ANTERIOR NOS DICE QUE, “PARA TODO ELEMENTO X DEL CONJUNTO A

EXISTE UN ÚNICO ELEMENTO Y DEL CONJUNTO B”

SI f ES FUNCIÓN DE A EN B SE ANOTA f: A B .

EL CONJUNTO A SE LLAMA DOMINIO Y EL CONJUNTO B , CODOMINIO, SI (X,Y)f, ESTO

SE PUEDEC ANOTAR COMO f(X)=Y O SEA. LO QUE TE DICE ES QUE, UN ELEMENTO X DEL

CONJUNTO A SE RELACIONA POR UNA FUNCIÓN CON UN ELEMENTO Y DEL CONJUNTO B

POR MEDIO DE UNA MÁQUINA f ( FUNNCIÓN ) , TAMBIÉN PODEMOSDECIR RESPECTO A LOS

ELEMENTOS DEL DOMINIO Y CODOMINIO LO SIGUIENTE

Y SE LLAMA IMAGEN DE X

SI ( X , Y ) f

X SE LLAMA PREIMAGEN DE Y

27 USANDO EL CONCEPTO DE FUNCIÓN Y PARA LOS

SIGUIENTES GRAFICOS SAGITALES INDICA CUAL NO ES FUNCIÓN

f g

A B A B

a 0 a 0

b 1 b 1

c 2 c 2

3 3

h m

A B A B

a 0 a 0

b 1 b 1

2 2

c c

3 3

NOTA : TE DEBEMOS RECORDAR QUE, TODA FUNCIÓN TAMBIÉN SE PUEDEV GAFICAR EN UN PLANO CARTESIANO Y POR SU DEFINICIÓN TAMBIÉN SABEMOS QUE ES UNA RELACIÓN, LUEGO , PARA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS ENCUENTRA LOS DOMINIOS Y RECORRIDOS

28 SI TENEMOS UNA FUNCIÓN f: N N Y LA RELACIÓN ENTRE EL DOMINIO Y EL

CODOMINIO ES f(X) = X + 1

a) DOM f = “_______________”

b) RECORRIDO POR EXTENSIÓN RECf = { ________________}

c) RECORRIDO POR COMPRENSIÓN REC f = { _______________________}

29 PARA LA SIGUIENTE GRAFICA ENCUENTRA:

a) DOM f = { ___________________ ]

b) REC f = {____________________ }

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-430 PARA LAS SIGUIENTES GRAFICAS DETERMINA CUÁLES FUNCIÓN ( PUEDES

APOYARTE REALIZANDOLA GRAFICA SAGITAL E ALGUNOS PUNTOS DE LA

GRAFICA Y USAND A DEFINICIÓN

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

31

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 --1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO

CUANDO SE PIDE RESTRINGIR UNA FUNCIÓN EN EL DOMINIO, SEMPE DEBEMOS PENSAR EN QUE

NUNCA LA GRAFICA SAGITAL Y LA GRAFICA CARTESIANA NO CUMPLAN COMN LA DEFINICIÓN

DE DE FUNCIÓN , VEAMOS CON UN EJEMPLO LA SITUACIÓN, EN EL

SIGYUIENTE DIAGRAMA SAGITAL EN EL DOMINIO NO PEDEN EXISTIR ELEMENTOS QUE NO

TENGAN UNO DE LLEGADA EN EL RECORRIDO EN ESTE CASO DEBESMOS SACAR EL ELEMENTO

3 DEL DOMINIO O SEA, LÑO ESTAMOS RESTRINGIENDO

f f

A B A B

1 1

a a

2 b 2 b

3

FUNCIÓN SIN RESTRIGIR FUNCIÓN RESTRINGIDA

32 RESTRINGE LA SIGUIENTE FUNCIÓN

f

A B

1 A

2 B

3 C

4 D

B)

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

FUNCIONES REALES

SE LLAMA FUNCIÓN REAL ATODA FUNCIÓN DEFINIDA POR RXR

EJEMPLO: DETERMINA EL DOMINIO PARA LA SIGUIENTE FUNCIÓN

DESARROLLO ., PODRÍAMOS DECIR QUE ES UNA FUNCIÓN DE RXR SIN EMBARGO ESTA FUNCIÓN

NO PUEDE TOMAR NÚMEROS COMO EL CERO , LUEGO, SU DOMINIO SERÁ LOS “R { 0 }”, O

ESCRITO DE OTRA FORMA DOM f = R { 0 }

33 )ENCUENTRA EL DOMINIO PARA LA SIGUIENTE FUNCIÓN

NOTA

PARA DETERMINAR EL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN, SE DEBE DESPEJAR X EN TÉRMINOS DE

LA IMAGEN “ Y “ PARA OBTENER LAS RESTRICCIONES DE ESTA ÚLTIMA, VEAMOS UN EJEMPLO

DE LA SITUACIÓN.

EJEMPLO: PARA LA SIGUIENTE FUNCIÓN REAL f : R* R DEFINIDA POR

OBTENER EL RECORRIDO

DESARROLLO : LO PRIMERO ES DESPEJAR “X “ DE LA ECUACIÓN, RECUERDA QUE Y = f (X )

LUEGO DEBES RESTRINGIR LOS Y DE MANERA QUE f SEA

FUNCIÓN DE ACUERDO A LA DEFINICIÓN DE ESTA, COMO TE DARAS CUENTA EL VALOR QUE

INDETERMINA AL RECORRIDO “ Y “ ES EL CERO LUGO LO DEBES SACAR DEL RECORRIDO, POR

LO TANTO, MI NUEVO RECORRIDO PARA LA FUNCIÍON f ES, R* = R {0},

34 ) DETERMINA EL RECORRIDO PARA:

A)

B)

FUNCIONES IMPORTANTE DENTRO DE LOS NÚMEROS REALES

DEBEMOS HACER NOTAER QUE, EN LA NATURALEZA Y EN MUCHAS RAMAS DE LAS CIENCIAS

EXISTEN FENÓMENOS QUE TIENEN UN COMPORTAMIENTO DE FUNCIÓN , LO CUAL POR MEDIO

DE TABLAS DE DATOS Y FUNDAMENTALMENTE DE GRAFICOS NOS PERMITEN EXTRAPOLAR O

CONJETURAR SITUACIONES FUTURAS DE LOS FENOMENOS ESTUDIADOS USANDO LAS

FUNCIONES QUE PASAREMOS A DETALLAR EN ESTA MOMENTO

FUNCION CONSTANTE

SI 2c2 ES UN NÚMERO REAL CUALQUIERA, LA FUNCIÓN f. R R DEFINIDA POR f (X) =c

2

c

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

FUNCIÓN IDENTICA ( LINEA RECTA )

SE DENOMINA FUNCIÓN IDENTICA A LA FUNCIÓN f. R R DEFINIDA POR f (X) = X

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

PARA ESTA FUNCIÓN EL DOM f = R Y REC f = R

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

SE LLAMA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO A LA FUNCIÓN

TAL QUE

X X0

X=

X X< 0

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

SI GRAFICAS LA LINEA RECTA Y=X ,Y LA LINEA RECTA Y = X, ENCONTRARAS QUE SUS

GRAFICAS SON LA QUE SE MUESTRA ARRIBA DE ESTE ENUNCIADO

FUNCIÓN EXPONENCIAL

SE DENOMINA FUNCIÓN EXPONENCIAL A LA FUNCIÓN f . ] 0 , +{ R TAL QUE, f(X) = ax

“ a” PUEDE TOMAR CUALQUIER VALOR, VEAMOS COMO QUEDAN LOS CASOS ESPECIFICOS

PARA : a= 2 a = ½

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

LA LINEA CURVA QUE APARECE CON FLECHAS, ESTAS INDICAN QUE SU GRAFICA SIGUE

INFINITAMENTE EN AMBOS SENTIDOS

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

COMO TE DARAS CUENTA, EL HECHO DE CAMBIAR LA BASE TE PRODUCE UN CAMBIO EN LA

GRAFICA

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA:UNA FUNCIÓN f SE LLAMA INYECTIVA O UNO A UNO SI Y SOLÓ SI.

X1 , X2 DOM f , f (X1) = f (X2) X1 = X2

LA DEFINICIÓN ANTERIOR NOS DICE QUE, SI TOMAMOS “DOS IMAGENES IGUALES “,

NECESARIAMENTE SON “IGUALES LAS PES DEBEN SER IGUALES “, LO ANTERIOR LO

MOSTRAREMOS PORMEDIO DE UN EJEMPLO USANDO LA DEFINICIÓN DE INYECTIVIDAD Y

USANDO MÉTODO GRAFICO SAGITAL

DEMOSTREMOS QUE SI f : RR DEFINIDA POR f (X) =X + 1 ES INYECTIVA

X1 , X2 DOM f , f (X1) = f (X2) X1 = X2

X1 +1 = X2 + 1

X1 = X2

LUEGO f(X) = X + 1 ES INNYECTIVA

VEAMOS USANDO UN MÉTODO GRÁFICO

EL SIGUIENTE DIAGRAMA SAGITAL MUESTRA UNA FUNCIÓN QUENOES INYECTIVA

f

A B

1 a

2 b

c

EN EL DIAGRAMA ANTERIOR, TOMAMOS DOS IPREIMAGENES IGUALES , EN ESTE CASO ES DOS,( PODRIAMOS HABER TOMADO DOS IMÁGENES IGUALES) Y DEBIERAMOS OBTENER DOS IMAGENES IGUALES (EN NUESTRO CASO ES “b” Y “ c” , LOS CUALES SON MUY DISTINTO , POR LO TANT , NO ES FUNCIÓN INYECTIVA (, LUEGO MUNA PREIMAGEN DEBE TENER UNA IMAGEN Y VICEVERSADOS PREIMÁGENES IGUALES EN EL OTRO CASO )

FUNCIÓN EPIOYECTIVA

UNA FUNCIÓN f : A B SE LLAMA PIYECTIVA O SOBREYECTIVA SI Y SOLO SI:

Y B, X A / f(X) = Y

LA DEFINICIÓ ANTERIOR TE DICE QUE, PUEDES TOMAR CUALQUIER ELEMENTO DEL RECORRIDO Y SIEMPRE TENDRA UNA PREIMAGEN EN EL DOMINIO ,, COMO EN EL CASO DE L INYECTIVA , AQUÍ TAMBIÉN DAREMOS DOS EJEMPLOS: UNO CON LSA DEFINICIÓN DE EPIYECTIVIDAD Y OTRO GRAFICAMENTE

EJEMPLO : DEMOSTREMOS QUE f : R R DEFINIDA POR f ( X ) = 6X 3

Y R, SI Y= 6X 3 ( RECUERDA QUE f(X) = Y)

DESPEJEMOS X: 6X = Y + 3

CUANDO USTED REEMPLAZA EL VALOR DESPEJADO DE “X” EN LA ECUACIÓN ORIGINAL LE DA

COMO RESULTADO f(X) = Y

EJEMPLO: EL SIGUIENTE ES UNEJEMPLO DE FUNCIÓN NO INYECTIVA USANDO DIAGRAMA

SAGITAL

f

A B

1

2 3

4

5 6

NO ES EPIYECTIVA LA FUNCIÓN , DEBIDO A QUE EL ELEMENTO ,NO TIENE NINGÚNA

PREIMAGEN QUE LA UNA

EJEMPLO :LA SIGUIENTE ES UNA FUNCIÓN CUADRATICA

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

EN ESTE CASO LA FUNCIÓN SE ENCUENTRA BIÉN DEFINIDA EN EL RECORRIDO, YA QUE , SE EN CUENTRA TOTALMENTE CONECTADA A LOS ELEMENTOS DEL RECORRIDO, LUEGO ES EPIYECTIVA O SOBTREYECTIVA

FUNCIÓN BIYECTIVAUNA FUNCIÓN f: AB SE LLAMA BIYECTIVA , SI Y SÓLO SI, f ES INYECTIVA Y EPIYECTIVAEJEMPLO:

f g

1 a 1 a

2 b 2 b

3 c 3 c

LA FUNCIÓN “f” ES BIYECTIVA, SIN EMBARGO, LA FUNCIÓN “g” NO LOES , DEBIDO AQUE NO ES EPIYECTIVA ( LA IMAGEN “b” NO TIENE PREIMAGEN )

FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN

UNA FUNCIÓN f DE A EN B (f . AB) TIENE SU CORRESPONDIENTE FUNCIÓN INVERSA f1: AB SI Y SÓLO SI ,f ES BIYECTIVA

EN TODA FUNCIÓN f : AB, QUE TIENE SU INVERSA f1: AB SE CUMPLE QUE

DOM f = A = REC f1 Y REC f = B = DOM f1 VEAMOS LA FIGURA DE ABAJO

f

1 a

2 b

3 c

f1

VEREMOS ALGUNAS GRAFICAS CARTESIANAS PARA VER COMO QUEDAN ALGUNAS FUNCIONES

INVERSAS DE OTRAS YA CONOCIDAS

EJEMPLO : LA FUNCIÓN f : R R DEFINIDA POR f(X) = 2X + 2, PARA OBTENER SU FUNCIÓN

INMVERSA EEBES DESPEJAR “X” EN FUNCIÓN DE Y , LUEGO , LO QUE ERA “X” SE ANOA COMO

“Y” Y LO QUE ERA “Y” SWE ANOTA CCOMO “X” , LUEGO LA FUNCIÓN ANTERIOR QUEDA COMO

SIGUE

LA AFICA f(X) Y f1(X) SON LAS QUE SE MUESTRAN EN LA GRAFICA SIGUIENTE

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

LA LINEA MÁS FINA ES DE SIMETRIA LA LINEA SUPERIOR ES f(X) Y LA LINEA QUE SE

ENCUENTRA MÁS BAJA ES f1(X)

35 ) GRAFICA LA FUNCIÓN , DEFINIDA POR f(X) = X 2 Y SU INVERSA EN EL

SIGUIENTE SISTEMA CARTESIANO

2

1

-3 -2 --1 0 1 2 3

-1

-2

-3

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

VEAMOS CON UN EJEMPLO LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

EJEMPLO: SE TIENEN DOS FUNCIONES f . A B Y g : B C, OBSERVEMOS LA S GRAFICAS

SAGITALES DEESTOS CONJUNTOS Y EL SIGNIFICADO DE LA COMPOSIION DE FUNCIONES

f g

A B C

1 1 0 2 a 1 3 b

g O f

AL APLICAR EN FORMA SUCESIVA LAS FUNCIONES ( f EN PRIMER LUGAR Y g EN SEGUNDO LUGAR ) , SE OBTIENE UNA NUEVA FUNCIÓN E A EN C QUE SE LLAMA COMPOSICIÓN Y SE ESCRIBE

g O f : A B

LO CUAL GRAFICAMENTE QUEDA

g O g

A B

1 1 0 2 1 3 2

LO ANTERIOR TOMA LA EXPRESIÓN FORMAL COMO SGUE

SI f ES FUNCIÓN DE A EN B, Y g ES FUNCIÓN DE B E C, SE LLAMA COMPOSICIÓN f Y g A LA FUNCIÓN, QUE SE DENOTA g O f DE A EN C, DEFINIDA PIOR

( g O f ) ( X ) = g ( f ( X ) ), X A

36 ) PARA LAS SIGUIENTES FUNCIONES : NN, ,DEFINIDA POR f8X) =2X Y g NN, DEFINIDA POR g(X) = X + 3:DETERMINE:

a) g O fb) f O gc)